Pengertian nilai Maksimum dan MinimumMisalkan kita memiliki fungsi f(x) dan suatu domain S. Kita ingin menyelidiki apakah f(x) memiliki nilai maksimum atau minimum pada S atau tidak. Untuk kasus yang seperti ini kita membutuhkan konsep turunan untuk menyelesaikan masalah ini.Untuk lebih jelasnya, akan dijelaskan definisi dari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yaitu : f(c) adalah nilai makasimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jka f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimumUntuk mengetahui eksistensi dari nilai minimum dan maksimum dari suatu fungsi, digunakanTeorema Eksistensi Maksimum - Minimum, yaitu Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimumdari teorema tersebut jelaslah bahwa agar f memiliki nilai maksimum atau minimum maka f harus kontinu dan berada pada selang tertutup [a,b].Untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi, kita membutuhkan titik titik kritis. Lalu apa yang dimaksud dengan titik kritis?BerdasarkanTeorema Titik Kritis, yaitu andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu dari : titik ujung dari I titik stasioner, yaitu titik c sehingga f(c)=0 titik singular, yaitu titik c dimana f(c) tidak adadan nilai maksimum adalah nilai f(c) terbesar ketika kita mensubstitusikan semua nilai kritis dalam fungsi f, sedangkan nilai minimum adalah nilai f(c) terkecil ketika kita mensubstitusikan semua nilai kritis dalam fungsi f.Dalam maple,kita bisa menggunakan perintah CriticalPoints untuk mencari titik titik kritis. Misal kita ingin mencari nilai Maksimum dan Minimum dari fungsiLangkah langkahnya :1. cari titik titik kritisnya, yaitu dengan perintah CriticalPoints tuliskanwith(Student[Calculus1] definisikan fungsi f(x)f := (8*x^2+18*x)/(x-4) tuliskanCriticalPoints(f,x)maka kita mendapatkan titik titik kritis yaitu -1, 4, dan 91. Selanjutnya kita substitusikan titik titik tersebut pada f(x)- Tuliskansubs(x=-1,f) dan kita mendapatkan nilai 2- Tuliskansubs(x=4,f) dan fungsi menjadi tak terdefinisi- Tuliskansubs(x=9,f) dan kita mendapatkan nilai 162Yang merupakan nilai maksimum adalah 162 dan nilai minimum adalah 2Contoh Soal :Carilah nilai maksimum dan minimumdari y(x) = x2+ 6x + 5 pada interval [ -4,0].Penyelesaian :Turunandari y(x) adalah y (x) = 2x + 6Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :y(x) = 2x + 6= 0(dikali )x + 3= 0x= -3sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.y(-4) = (-4)2+ 6 (-4) + 5= -3y(-3) = (-3)2+ 6 (-3) + 5=-4y(0)=02+ 6 (0)+ 5 = 5Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

Contoh soal : Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata rata untuk mobil kecil 4 m2dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah .Penyelesaian :Persamaan garis fungsi pembatas :x + 5y = 440..........tipot sb-x (440,0), tipot sb-y (0,88)x + y = 200............tipot sb-x (200,0), tipot sb-y (0,200)tipot kedua garis :x + 5y = 440x + y = 200 - 4y = 240 y = 80x + y = 200x + 80 = 200 x = 120jd tipot kedua garis (120,80)tipot sb-x pilih yg lebig kecil yaitu (200,0) dan tipot sb-y pilih (0,88)Uji titik pojok :fungsi obyektif : f(x,y) = 1000x + 2000y(200,0)..........f(200,0) = 1000 . 200 + 0 = 200.000(0.88)...........f(0,88) = 0 + 2000 . 88 = 176.000(120,80).......f(120,80) = 1000 . 120 + 2000 . 80 = 280.000Jadi hasil maksimum tempat parkir adalah Rp. 280.000

Contoh soal:Sebuah keramik memuat 30 cm persegi. Di keramik tersebut terdapat secarik kertas yang berukuran 4 cm di atas dan dibawah, dan 3 cm di samping kiri dan kanan. Berapa ukuran keramik tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin.Jawab:Andaikan keramik mempunyai lebar x dan tinggi y. Maka luasnya adalahA = x . yUkuran bahan cetakanya adalah x 6 dan y 8 dan luasnya adalah 30 cm2, sehingga (x 6) (y 10) = 30y = 30x/x -6Masukkan nilai y ke persamaan A = x.y A = x.y= x (30x/x -6)= 30x/x -6+10 xNilai-nilai x yang di perbolehkan adalah 5 < x < ~ , dan minimumkan A pada selang terbuka (5, ~)dA/dx = 30 (x 6) 30x/ (x 6)2=30x 180 30x + 10(x2 12x + 36)/ (x 6)2=30x 180 30x + 102 120x + 360/ (x 6)2= 10x2 120x + 180= 10(x2 12x + 18)/(x 6)2= -b ( b2 4ac)1/2/2a= (-12) ((-12)2 4(1)(18))1/2/2(1)= 12x (144 72)1/2/2= 12 (72)1/2/2= 12 6(2)1/2/2x1,2= 6 3 ( 2)1/2x1= 6 + 3 (2)1/2atau bernilai 6 + 4,23 = 10,23 = 10,1 (memenuhi)x2= 6 3 (2)1/2atau bernilai 6 4,23 = 1,77 (tidak memenuhi)jika x sudah di dapatkan maka cari y dengan memakai persamaan :y = 30x/x -6y = (30/6+3(2)1/2-6)+ 10= (30/3(2)1/2)+10= (30+10(3(2)1/2)/3(2)1/2= (30+30(2)1/2)/3(2)1/2= (30+30(1,41))/3(1,41)= 30+42,3/4,23= 72,3/4,23= 17,09= 17,1Maka, kita dapat menyimpulkan bahwa x = 10,1 dan y = 17,1