MATEMATIKAMATEMATIKA

Oleh :Oleh :

Devie Rosa AnamisaDevie Rosa Anamisa

PembahasanPembahasan

Sistem Bilangan RealSistem Bilangan Real PertidaksamaanPertidaksamaan Nilai MutlakNilai Mutlak Persamaan KuadratPersamaan Kuadrat Fungsi Dan limitFungsi Dan limit TurunanTurunan

Sistem Bilangan RealSistem Bilangan Real

Bilangan asli : 1,2,3....Bilangan asli : 1,2,3.... Bilangan bulat : ....,-3,-2,-1,0, Bilangan bulat : ....,-3,-2,-1,0,

1,2,3,....1,2,3,.... Bilangan Real : semua bilangan Bilangan Real : semua bilangan

rasional dan tak rasional.rasional dan tak rasional. Bilangan rasional : bilangan yang dapat Bilangan rasional : bilangan yang dapat

ditulis dalam m/n. contoh : 1/2, ¾,...ditulis dalam m/n. contoh : 1/2, ¾,... Bilangan tak rasional : Bilangan tak rasional : √2, √3, ....√2, √3, ....

Cont...Cont...

Jadi himpunan bilangan dapat Jadi himpunan bilangan dapat digambarkan :digambarkan :

Sifat-Sifat Dari Operasi AritmatikaSifat-Sifat Dari Operasi Aritmatika

Hukum Komutatif : x + y = y + x danHukum Komutatif : x + y = y + x dan xy = yxxy = yx Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x+y) + z Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x+y) + z

dan x(yz) = (xy)zdan x(yz) = (xy)z Hukum distribusi : x(y+z) = xy + xzHukum distribusi : x(y+z) = xy + xz

Contoh :Contoh :4 – 2 (8-11)+6 = 4 – (2.8 – 2.11) + 6 4 – 2 (8-11)+6 = 4 – (2.8 – 2.11) + 6 = 4 – (16 - 22) + 6= 4 – (16 - 22) + 6 = 4 – 16 + 22 + 6= 4 – 16 + 22 + 6 = 16= 16

PertidaksamaanPertidaksamaan

Sama halnya dengan persamaan, Sama halnya dengan persamaan, prosedur untuk menyelesaikan ketidak prosedur untuk menyelesaikan ketidak samaan terdiri atas pengubahan samaan terdiri atas pengubahan ketidaksamaan satu langkah tiap kali ketidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas.sampai himpunan pemecahan jelas.

Contoh : Contoh : Selesaikan ketidaksamaan – 5 Selesaikan ketidaksamaan – 5 ≤ 2x + 6 ≤ 2x + 6

< 4< 4 dan perlihatkan grafik himpunan dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaian!penyelesaian!

Cont.....Cont.....

Jawab :Jawab :

– – 5 5 ≤ 2x + 6 < 4≤ 2x + 6 < 4

-5 - 6 ≤ 2x < 4 – 6-5 - 6 ≤ 2x < 4 – 6

-11 ≤ 2x < -2-11 ≤ 2x < -2

-11/2 < x < -1-11/2 < x < -1

Nilai MutlakNilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan |x| didefinisikan :dinyatakan dengan |x| didefinisikan :

|x| = x jika x |x| = x jika x ≥ 0≥ 0

|x| = - x jika x < 0|x| = - x jika x < 0

misal : |-5| = -(-5) = 5misal : |-5| = -(-5) = 5 Sifat dari nilai mutlak :Sifat dari nilai mutlak :

|ab| = |a| |b||ab| = |a| |b| |a/b| = |a| / |b||a/b| = |a| / |b|

Cont...Cont... |a+b| |a+b| ≤ |a| + |b|≤ |a| + |b| |a-b| ≥ |a| - |b||a-b| ≥ |a| - |b|

Ketidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak :Ketidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak : |x| < a |x| < a -a < x < a -a < x < a |x| > a |x| > a x < -a dan x > a x < -a dan x > a

Contoh :Contoh : selesaikan ketidaksamaan |x-4| < 1.5 dan selesaikan ketidaksamaan |x-4| < 1.5 dan

perlihatkan himpunan penyelesaikan pada garis perlihatkan himpunan penyelesaikan pada garis real.real.

Jawab :Jawab : |x-4| < 1.5|x-4| < 1.5 -1.5 < x – 4 < 1.5-1.5 < x – 4 < 1.5 2.5 < x < 5.52.5 < x < 5.5

Persamaan KuadratPersamaan Kuadrat Parabola merupakan salah satu bentuk Parabola merupakan salah satu bentuk

persamaan kuadrat.persamaan kuadrat. Persamaan parabola dengan sumbu simetri yang Persamaan parabola dengan sumbu simetri yang

sejajar dengan sumbu y diberikan oleh sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan kuadrat :persamaan kuadrat :

dengan a, b dan c adalah bilangan riil dan a dengan a, b dan c adalah bilangan riil dan a ≠ 0≠ 0 Sifat-sifat parabola :Sifat-sifat parabola :

Titik potong pada sumbu x :Titik potong pada sumbu x : D > 0 D > 0 x x1,21,2 = -b ± √b.b - 4ac = -b ± √b.b - 4ac -------------------------------------- 2a2a D = 0 D = 0 x = -b/2a x = -b/2a D < 0 D < 0 grafik parabola tidak memotong sumbu x grafik parabola tidak memotong sumbu x Nilai ekstrim Nilai ekstrim y = D/-4a y = D/-4a

Cont....Cont....

Contoh :Contoh :

maka buatkan grafik parabola !maka buatkan grafik parabola !

Jawab :Jawab : terhadap sumbu x : (x-4)(x+1) maka xterhadap sumbu x : (x-4)(x+1) maka x11 = 4 dan = 4 dan

xx22 = -1 jadi titiknya (4,0) dan (-1,0) = -1 jadi titiknya (4,0) dan (-1,0) terhadap sumbu y : f(0) = (0-4)(0+1) = -4 terhadap sumbu y : f(0) = (0-4)(0+1) = -4

maka titikknya (0,-4)maka titikknya (0,-4) terhadap sumbu simetri : x = -b/2a = 3/2 = 1.5terhadap sumbu simetri : x = -b/2a = 3/2 = 1.5 terhadap titik ekstrim : y = -61/4terhadap titik ekstrim : y = -61/4

Cont..Cont..

Karena a > 0 Maka grafiknya :Karena a > 0 Maka grafiknya :

Fungsi Dan LimitFungsi Dan Limit

Fungsi f adalah suatu aturan Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap padanan yang memetakan setiap objek x dan satu himpunan dengan objek x dan satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan ke dua.satu nilai f(x) dari himpunan ke dua.

Himpunan yang pertama disebut Himpunan yang pertama disebut daerah asal (domain)daerah asal (domain)

Himpunan yang kedua disebut Himpunan yang kedua disebut daerah hasil (range)daerah hasil (range)

Operasi Dalam FungsiOperasi Dalam Fungsi

Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x) Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x) Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x) Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x) Contoh :Contoh :

F(x) = F(x) = √ 4 + x dan g(x) = √16 – x√ 4 + x dan g(x) = √16 – xhitung penjumlahan pengurangan, hitung penjumlahan pengurangan, pembagian dan perkalian fungsi diatas?pembagian dan perkalian fungsi diatas?

LimitLimit

Limit aljabar :Limit aljabar : Limit : xLimit : xa a Limit ditak hingga : x Limit ditak hingga : x ~ ~ Limit trigonometri : x Limit trigonometri : x 0 0

Limit : xLimit : x a a Bentuk aljabar : limBentuk aljabar : limxxaa f(x) f(x) Contoh :Contoh :

maka lim (x-3) (x+3) (x+3)maka lim (x-3) (x+3) (x+3)

xx3 --------------- = lim x3 --------------- = lim x3 ------- = 63 ------- = 6 (x-3) 1(x-3) 1

Limit : x Limit : x ~ ~ Bentuk aljabar : Bentuk aljabar :

limlimxx~~ f(x) / g(x) f(x) / g(x) Contoh :Contoh :

TurunanTurunan

Rumus dasar turunanRumus dasar turunan n n-1n n-1

Y = X Y = X n X n X Y = ku Y = ku k du/dx k du/dx Y = u+ v Y = u+ v du/dx + dv/dx du/dx + dv/dx Contoh :Contoh :

Y = maka y’ = Y = maka y’ =

TugasTugas

Tugas sebagai nilai akhir matakuliah Tugas sebagai nilai akhir matakuliah remidi akan diadakan pada tanggal remidi akan diadakan pada tanggal 28 April 2010 jam 09.00 di lab jar. 28 April 2010 jam 09.00 di lab jar. maka diharapkan kehadiran maka diharapkan kehadiran mahasiswa matematika TKJ dan mahasiswa matematika TKJ dan belajar lebih rajin karena tugas belajar lebih rajin karena tugas bersifat individu dan langsung untuk bersifat individu dan langsung untuk mendapatkan nilai remidi (tidak ada mendapatkan nilai remidi (tidak ada nilai susulan)!nilai susulan)!

Selamat belajar!!!Selamat belajar!!!