matemÁtica para economistas 1

5/11/2018 MATEMTICA PARA ECONOMISTAS 1

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E S T U D I O SGENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS I(MAT., 136)

Horario: 0668CUARTA PRAcTICA CALIFIClIDA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0668) 2008-1 El orden y la claridad seran tornados en cuenta para Ia calificacion de la prueba.+ Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 4 PREGUNTAS

/01. Una curva de demanda tiene por ecuacion P = _q2 +3 donde P es e1/ precio, q es cantidad y P y q SOIl, restringidos a.s~x~n.Qnegatives. Mostrarque P es una funcion monotona de q y use el 1t~nllin~de la inver sa para

t. dqencon rar d P .(04puntos)

.,/'jl2. Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de lassiguientes funciones:

2 3f(x,y) = = e X Y Z(04puntos)

03. Una firma produce un bien y consigUeR:Ci6~:a,resor cada unidad ve~dida.El coste de 'producir Q unidades es C ' g , Q + : k Q 2 dolares y el impuesto porunidad es t.Asumimos que los parametres-son positivos con P > a+ t. Lafirma quiere maximizar su beneficio.a) Encontrar la produccion optima Q* y el beneficio optimo ; r c * b) Pro~ar que ~~* = ~*,y dar una interpretacion economica.

(04puntos)

-1-

PONTIFICIAUNIV-ERSIDADCATOUCADE L P ER U


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

MATEMAT~CAS PARA ECONOMISTAS 1.MAT ..136

ASESORIA 2Profesor: Armando Blanco Del Rosario (010.1) 2010-)

1. Sea C(x) = x2 + 3x + 100 la funcion de costes de una empresa. Probar que el cociente dediferencias cuando x varia de 100 a 100 + Ax, es

C (100 + i';x)- C (100) := 203 + t.xi';x (t.x"* 0)lCual es el coste marginal C' ClOO)? lCalcular C'(x) y, en particular C'(IOO)?

2. Use la definicion de derivadas para probar que la derivada de una funci6n constante es 0para todo x real y la derivada de f(x) =mx es f'(x) := m para todo x real.

3. Encontrar el cociente de diferencias para cada funci6n lineal 0 cuadratica como funcionde Xo Y t.x

a) y = 5xb) y=30-J5xc) y=6x2+2x+9d) y = 1 - x2

4. Resolver el cociente de diferencias (~~) para las cuatro funciones de la pregunta (3).Asumir Xo = 2 y t.x =4 . lC6mo su respuesta varia si t.x = 27

5. Use la derivada para encontrar el cambio aproximado en la funci6n f(x) = X4. LCwindo xcambia de 3 a 3.0057Compare esta con el cambio real

6. Supongamos que el conjunto de demanda para copias de un libro de Matematicas paraEconomistas es

0::= {(q,p)! p2q = 6 ,OOO}donde q es el nurnero de copias (En cientos) y p es el precio en d6lares. Si el preciocrece de $20 a $ 21, LCuales aproximadamente el cambio en el numero de copias?

-1-


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7. Use el cociente de diferencias para calcular la pendiente de la funci6n beneficion(Q) = -1125 +250Q - 5Q2 entre Q = 9.99 y Q "" 10. Calcular la pendiente usando laderivada para Q = 9.99. (,Porque existe una diferencia entre los dos?

8. Una firma realize un estudio de la demanda para su producto y obtiene la funcion dedemanda de la forma:

i) Encontrar la derivada de esta funcionii) Calcular la pendiente cuando P " " 2 Y cuando P"" 5

z,Que observaciones puede Ud. hacer acerca del cambio del valor de la pendiente conrespecto al precio?

9. Encontrar los limites siguientes si existen:

a) lim x2x-)o b) lim f(x)x-)o st f(X )= {~2 ,x;t:2 \\r'c\ , C C ' . t } : : 0

)1"-\10

c) lim f(x) , si f(X)={~'x-)o \2)(\):) ~S.\t d( r o t - , e 'f) lim f (x) , si f(x) = = {-I , x < 0

x -e O 1 ,x>O

X~O d) lim . / ; ' -=1x-)]

. x2-1e) lim _--x -o l x-Ix> O

10. Hallar los limites siguientes si existen:. x2 -Ib) hm --Ix-)] x- c) lim Jx2-2x--)o 2 lim.Jx2 -2x-)-I

II , Hallar los lim ite s si existen:2a) lim x -I

x-)-5+ (x-l)(x+3)~x+5b) lim I-x

x-) +00 4x +5 @ ) I-xlim ---_x-)-oo 4x-)

I, I-x1m --x-)+oo 5x2-} I-xe) lim 2x-)-oo 5x -13g) lim ~x -)-rf) I+ x

12. EI coste de producir Q unidades de un bien es dado.ceQ) =1000+ 2Q+ 200Q

Leual es el limite del coste marginal para cuando Q crece en forma no acotada?

-2--


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e El coste de remover x% de la poluci6n es dada porC(x)=~ 1 00 - x

l,Es posible remover el 100% de la P~If:'~ . r -

El tiempo (En minutos) que toma un nuevo trabajador en realizar un trabajo adecuadodespues de realizar x veces dicho trabajo es dado. por:

T(x)~5 1+ } , j " " V.:Jl,Cwinto tiempo necesita un trabajador experimentado para realizar el trabajo?

15. Hallese, si es posible, la ecuacion de la recta tangente a las funciones siguientes en lospuntos que se indican.a) F(x) = In (x2 + 1) , Xo =0 b) f(x)=lx2-3x+21, Xo=0,1,2.

C I ! b Calcular los siguientes limites cuando existan:a) lim L:lx+ +O x c) limx~-4 + 16-2x

d) limx r+ + 00~x-I

17. Evaluar los siguientes limitesa) lim __l__7 + 2x~+oo x- b) lim -,_1_+2X-,>74 a-x-7c)' lim ~+7x-,>l+ d)

J-2X+X2J -x

/18. Una funcion f definida para x 2 ': a tiene la grafica,y

BA

xa c

Calcular, si existen, los siguientes limites :lim f(x) , lim f(x) , lim f(x)x-,>a' x- '>b x~+oo

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19. Encontrar el range de valores para el cual las siguientes inecuaciones SOil verdaderas,asumir x > 0a) 100)

22. Determinar x en los reales para que:a) 1 3 - 2x 1 s 5d) 1 3 - 8x I < 5

b)lxls2e )1 x I > . J 2

cj] x - 2 lsIf) I x2 - 2 I s : 1

23. La produccion diaria estimada, P, en una refineria verifica :I P - 2'250,000 I s 125,000

donde P es rnedido en barriles de petroleo. Calcular la produccion maxima y minima.

24. Analizar la continuidad de las siguientes funcionesr - 9 x ;to 3a) f(x)= x~ x =3r + 1 x < 1c) f(x)::::: 2 , x =1-x+2, x> 1

{

x2-9b) f(x) = = l< .~3 '

x=3, { 3x + 1 , x < 1)

d) f(x) = 2 ,x+ X +5, x >1

e) f (x ) = = { 3 X : 1 ,--x+5,

x 1

25. Analiza la continuidad y diferenciabilidad de:

f(x)={3X:l ,- : : 1 1-x+5, x > I

-4--


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26. Analizar la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

x2 - 9a) f(x)=--x -3 b) f(x)= X~ 5 {I, x:s; 4

c) f(x)= 2 ', x > 4

{X + 1 ,d) f(x) =., -x+5

x


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ii) Mostrar que [a derivada de eJ coste total y de el coste variable con respecto a laproduccion de la misrna respuesta.

b) Dada [a funcion de coste total, TC =:: tQ 3 _8Q2 + 1 2 0 Qi) Deducir [a ecuacion para Me. LEI MC varia con la produccion?ii) Estirnar aproximadamente el cambio en TC para la prcduccion, Q, que crece de ISa 16 unidades.

36. a) Dada la funci6n de dernanda de una firma en competencia perfecta es P 20,encontrar las expresiones para las funciones de ingreso medio y marginal.

b) Dada la funcion de demanda lineal de un monopolista,p= 50-2Q

Encontrar las expresiones para las funciones de ingreso marginal y medio.Asf:

c) Calcular MR y AR para Q = = 0;S,10,12.S,15,20,25.Comentar la relacion entre MR y AR.

37. Encontrar las expresiones para la funcion MC (Coste marginal), dado las funciones decoste medio :a ) A C = = 2 Q + S + 3o QEn cada casoi) Encontrar el valor del coste fijo y el coste variable yii) CalcuJe el valor del coste marginal cuando Q = = 50.

38. Dada la funcion de Utilidad total de un bien comoU =:: _x2 +20x - 86

Calcular y comentar los vaIores de la utilidad marginal cuando :a) x >2 b) x==S c) x = = 1 0 d) x = = 12

39. _d 2yEncontrar la expresion para en cada caso cuando :d x 2

a) y =7x2 - X c) y = = ax + b

40. Si f(x) = = Xl - 6x + 8 evaluar f'(3). LQue informaci6n puede sacar acerca del grafico dey = = f ( x ) e l1 x = = 3 ?

41. Encontrar [as expresiones :

a) ~~ para la funci6n de oferta : Q = = pl + P + 1.

-6-


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b) d~~) para la funci6n de ingreso total: TR = = 50Q ~ 3Q2.

c) d~;C) para fa funcion de coste media:

d) de para fa funcion de consumo : C =c 3y + 7 .d ye) ~i para la funcion de prod uccion : Q = = 10JLf) _ Q 2 ! . _ para fa funci6n de beneficia: rr = = _2Q3 + 15Q2 - 24Q - 3dQ

42. Si la funcion de demanda es :P = 100-4Q

Encontrar una expresion para TR y MR en terminos de Q.Asi estimar el cambio en TR cuando la produccion aumenta 0.3 unidades en el nivel deproduccion de Q = = 12.

Pando, J 7 de Abril del 2010

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e.

-.-------ESTUDIOSGENERALESLETRAS PONTIFICfAUNIVERS1DADCATOUCADEL PERUMATEMAT ICAS PARA ECONOMISTAS t(MAT.; 1 3 6)

Horario: 0101PRIMERAPMCnCA CALIFICAOA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario . 200S-il El orden y laclaridad seran tornados en euenta para la ca.lificaci6n de la prueba.+ Tiempo: 1hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR S6LO 04 PREGUNTAS .

01. 'Uri comerciante puedevender diariamente 2QOunidades de cierto bien en $30. tpar unidad y 250 unidades en $27por unidad. La ecuacionde oferta para ese. . .

bien es:

.t(j:;;_-;:7'\:;~--rc- . .a) Determine la ecuacion de demanaapar.A_~n,-Si:ip(:mgaqu.ees afin lineal.blEncuentre e1precio y la cantidad de equihlJrio.- _.'c) Determin~ e1precio y la cantidad de .equilibrio, sise cobra unimpuesto de$3.40 por unidad del biert..i) i.Que impuesto asurne el consumidor? lQv.e impuesto asume.el produc-to~ . ..ii) l.Curu es e1impuesto total que recibe el gobierno?

(04 puntoe)

. . . . , IJvv -""'- c J -_ . .. ..02.' La ecuacion de demanda de un producto de una compaitia es 2p ~'___'---y--~~donde Q unidades pueden venderse al' precio de p d61ar~s cada Uri, Si e1coste--de producir Q unidades es de (100.+2Q) d6lares, exprese e1 beneficia, t;como. . _. - ... "___. funci6n de de1P3Pda Q.Ademas, hallar el beneficia maximo y la producci6n pa-ra el cual ocurre .

.~(04pu'ntos)

1-


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L

a) Si los valores de inversion y gasto de_gobierno (Iy G) son variables exogenasfijadas en 50 y 30, respectivamente. Encuentre 81 err"Fbcio d~ 18 rent.a DB-cio~al enfunci6n de la tasa de~puest~:If~allar, Y*, ruando 1a tasa de im-

~~ ... C I~Explicar que ocurre con e1nivel de equilibrio, Y*, cuando ~ cambia a 40.

, ./_._,.-_ iJ! . ~ (04puntos)

03.. Dado un modele macroeconomico Keynesiano:Y=C+I+GC=20+0.75Yd _

ingreso disponible: Yd = (1-t)Y

En un mercado de dos bienes se tiene las curvas de demanda y oferta:

{Q~ = 410-51L-2Pz _

. .: -Ql =.-60+3Pl . { Q f f ~295-P, -3P2""Q 2 =-120+2P2. a) Hallar e1precio r cantidad de equilibrio para cada bien.b) lLos bienes son sustitutos 0complementarios?

(04puntos)

, . - . . . . - - . . . . . . . .::O5~).Si la ecuaci6n de ingreso total de una compafifa es:

Si Q e1numero de articulos vendidos.f' -~ a) lCuantos artfculos se deben vender para que el ingreso sea de $240?~ar elingr~mBxinlo y el ruveldeproduC


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~'ESTUDIOSGENERALESLETRAS

MATEMATlCAS PARA ECO NOMISTAS I(MAT-'f36)Horario. 0668

P R lM ERA PMCT ICA CAL IFICADAProfesor: Armando Blanco Del Rosario (0668).., El orden y la claridad seran tomadosen cuenta para la calificacion de la prueba, Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

PONTIFICIAUNI~ERSIDADCATOUCADEL P ERU

2009-1

Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son:q S =1~Pt4 , q d =8-4p~ "Si a este producto se Ie grava una tasi~1).lCual seria e1precio de venta y lacantidad vendida, ambos de equilibrio? Adem a s , hallar e1impuesto que corres-ponde al cons1L."11icioryl productor.\ i'


-; ./

(04 purcios] /ir

, ./

El peso promedio de un vehiculo deportivo se puede aproximar mediante:W ",,3t2 -90t+4200 (5s t s ; 27)p2)D f~fv,ec'/J.\Oen donde t es e1 tiempo eE afios (t = 0 representa a 1970),.",y W es e1 peso R[O-

media en libraa.de un veb.i.cJ..l.lo.;:.dep.OiffirQ..,Trace la grafica de' W como funci6nde~e modele. GEn que ana se tendd: 61 vehiculo departivo mas 11ge-r~~~tL8~G? - :',.

~ - - - - - - - - ~(04 puntos)

9 } ~ :t I!

El siguiente es una version general de un modele macroeconornico:r Y =C!+I +G ~--~ -::~__;~"~ lY~-10I , ' , 1 ,\) "1 C=10+2.CY-T) ( -:.1\~ T- u ~ jT'=10"'.ly r \" cy.. ' 2 ,,-_ j '~

EncontrafY)f-Q)f~n termi~os d~I y G. ~Que ocurre can Y, C ; r T cuando Gcrece 2 un\tades? - -('v

(04 puntos)

-1->"--r--~-'-

(2 ;)


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/,; 'j+ ! i. _ . , , , { : " " 1 ~, ' ..")~ !Li - 'i L , -- -- -vL

04. Las funciones de oferta 'Y demanda para dos bienes en un mercado son dadospor las ecuaciones:P1d =100-5Ql-Q 2P t ==50+Ql

P t =240-10Ql-8Q2P{=40+2Q2

Encontrar e1 precio y cantidad de equilibria para cada bien. 6Los bienes sonsustitutos 0 complementarios?

, . (04puntoe)

05. Las funciones de oferta y demanda de un bien son:P=30-3QdP ='14 +1.5Q8

i1 \ . J-j (demanda)(oferta)

a) cDalcular'elp~o y cantidad de equilibrio.~ H~lar los ,!~el precio para tener abunaancia.c) Hallar los valores del precio para tener escasez.

o l e N 'ItA 0('1ri (\0Q~bC~J (U4) (04puntos)

r\ / ~\

",/ '1..7..-; -~ . ~\ c _ J . .. .. .J~_f'--IJ ---J. i/"",7{ j

c:\ \.,_J. V.7 _

(-...., -\ . _ ) - ("-1\ ~ ,"-t:!G-~,- .,


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P ONTIFICIA UNIVERSIDA D CA TO UCA D EL P ER OESTUDIO S G ENERA LES LETR AS

MATE!ttA TICA S P ARA ECO NOM ISTA S I(MAT- 136)Horatio: 0668

PRIMERA PMCTICA CALIFICADAProfesor: AnnandoBlanco Del Rosario. (0668).. El orden.y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba... Tiempo: 1 hora can 50 minutes. ,.. Sepuede usar: calculadora personal.

COl'.'TESTAR SOLO ,4 PREGUNTAS

'I.ItI- I

I01. Si e1coste total de producirun bien es: ,

TCCQ)=0.lQ2-4Q-2 .donde Q es la can.ti4~.Ges--_p-~QGluci~as. ~Hallar el nivel de'producci6n parg_~~~~~-tot31 _SJ;f~Y valor del coste totalminimo.

, : (04puntos)

.:..... - -.

02. Lacurva .de dernanda es dada por Qd = 66 - 3py la curva de oferta es".,qada,por;,QS= 2p- 4 . _ Encontrar el precio y cantidad de equilibria. Si parcadaunidad vendida se impone un impuesto de T = 5u.m. sobre el bien,encontrar el. nuevo precio y cantidad. de equilibria. Ademas como sedistribuye el impuesto entre e1consumidor y e1productor.

,~ ,(04puntoe)

03. , Las funciones de oferta y demanda para des bienes son dados per lasecuaciones.

Encontrar el precioycantidad de equilibrio de cada bien. Ademas Zlosbienes son sustitutos 0 complementarios? (Justificar). '/~,

I:..;/>7.,~1 (04puntos): : ,i . J.

2008-II


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04. Dado e1modele m~~Y =c+i+ G ". \'0;201=35. . . . _ ..C ~0.9(Yd )+70 -1

Yd = r~T ~.'- . ,." .T::::0.2Y+25 [.Calcular e1myel deeguilibrio del 'ingreso nacional. Adernas, Cual es e1efecto en el i~greso' nacional de equilibno, si lap:[Qpension mar~al alconsumo decrece 0.2unidades? "

~.

(04puntos)

II

~ 05. Dada la funcion de coste total:

TCCQ)=S( ~:~ ) + 2 .a) Bosquejai la grafica de la funci6n de coste tdtal .. b) Hallar el dominic de la funci6n de coste total.c):'Hallar el range de la funcicn de coste total.

~ ~ 1 , ~~ ,

.Pando, 13de septiembre del 2008. .' "'. : : _ - : _",- :.;.\_)._

'".'l::- _.'; ~ .." ~~

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-2~

(04puntos)

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I


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PONT IFIC IA UN lVERSIDAD CAT6uCA DEL PERUESTUDIO S G ENER ALES lE fRA S

MATEMATICA S PARA ECONOM IS T AS I .(MAT- 135)Horario: 0668

PRlMERA PMCTICA CAUFICADA. Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0668) 2008-1.EI orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora can SO minutes, Sepuede usar: calculadora personal.

CONTFSTAR SOLO 4- PREGl.lI\17fAS

01. Un .fahricantes de relojes puede producir un cierto reloj a un costounitario de sis (dolares). Si estirna que siel preeio de venta unitario derelojes es p, entonces e1 numero de relcjesvendidos por semana esq = 1 2 S-:-p .a) Expresar e1monto del beneficia semanal del fabricante como funci6ndep.b) Hallar e1 beneficio maximo y e1 precio para el cual setienen dichobeneficia maximo,

(04puntos)

02. Asumir e1siguientemodelade mercado.Qd =SOO'-9pQS =-100+6p'

a) Bosquejar la grafica de este modela:b) Determine e1precio y cantidad de equilibria.c) Si se impone un impuesto de T = 5 par unidad vendida. Calcular e1-nuevo precio y cantidad de equilibria.

d) lQue parte del impuesto es pagado par el consumidor?

( q _ 4 puntos)

-1-


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03. Las funciones de demanda y oferta para los bienes (pantalones y camisas)son dados par las ecuaciones:

-a) Encontrar e1precio y cantidad de equilibrio para cada bien.b) Los bienes son sustitutoso complementarios (Justificar).

(04puntos)

04. Asumimos un modelo simple de ingreso nacional con:

c = 750+0.75~1=500G=O

a) Calcular el myel de equilibrio del ingreso y consumo.b) Si Icambia a 510, i.CuaI es el efecto en el ingreso nacional yconsumode equilibrio?

(04puntos)

05. Se tiene la funcion de coste total:TC(Q)==100+5Q

a) Si Q cambia de 10 unidades a 11. 2,CuaIes el cambioen TC(Q)?b) Si Q cambia de 40 a 41unidadeiS:2.Curu.es el cambia en tc:Q)?c) l;CuaI es la interpretacion economica de este ca:mbia en TC(Q)? .

(04puntos)

Pando, 12de Abril del 2008

TC C~()) .::.\co + E o - : . . .ISO r - c . c u )- : . ' " \~ ' : : >+c; C . lto1:: . Y f : : Dt( (4\) ;_30S

-2-


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. . . . .

ESTUDIOS;GENEmESLETRASM A T E 1 \ U l : i c A S P A R A E C O N O M I S T A S 1.'(Mj\.T136)

PR IM ERA PRACnCA CALIFICADA(0101)

.P rofesor: Armando Blanco Del Rosario (0101) 2006-101. Si el dominic de la funcion y = 5+3i ~s el conjunto { x/I ~:;: 4 }

a) Hallar elrango de la.funcion y expresarlocomo un conjunto. . . " . - -i.b) Resolver el problema: maxi.inizar (5+ 3x)

sujeto a : ?:E [1,4]c) Resolver el problema: minimizer (5 +3x)

sujeto a :x~ [1,4](04puntos)

02. Representar graficamente la funci6n;r(Q) =-,Q2 +5Q +2

donde ;r(Q) es la funcion beneficio y Q es la cantidad vendida de un bien. .. .~. _Ademas hallar el beneficio m.aximoy ..el nivel deproduecion para.elcual OCUITe_'~CuaJ es el ni~el de produccion para tener perdida? _ - .' -. -. ....

{Qd =QB

03. Dado el modele de mercado : Qd =3 _ p2QS =~6p-4.

. .' .. . ,.a) Hallar la soluci6nde equilibria. _b) Bosquejarun grafico de .Is.curva de oferta y demanda de un bien mostrando elpun to de equilibrio. .' . .... .c) i,Cwil esel niY,eldeproduccicn para tenerescasez?d) "Cual es el nivelde PrQducc'ign para tener abundancia?. .J ..('; -;:U ~) - l c , , - . ~il.L,l (O f puntas)

-.".

04. Sea el modele de renta nacional : '.. . ....,:-{ g : : i I ( Y + ~ : ~ ) g < 1 } ~ : ! ; : e s ~ ~ ~0 '; ~:~; ,~~:;~~~;~{a) Identificar.las variables endogenas y las vanahlesex6genasb) Dar un significado economico del parametro g.c) Hallar Ia.renta.nacional de equilibrio. .d) t o Q u e restriccion es necesario hacer sobre los parametres para que' exista una

solucion? (04 puntos)'-. "- " ~> :.i ...........-. ',~"",-,_,

,__.


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.TAlllR 01PRESE]\rTAR EL TALLER 01 EN LA SEGUNDA pRACTICA CALIFICAnA.

V '; ; : ;C ~ ~ _; _ I . . . L ~ .."" - , I ..... T=1+0.2Y

1. En el siguiente modele macroeconomrco, las variables endogenas son Y (ingreso. nacional) ,C (C9DSU~O) YT (Impuesto total)C = ::2+0.8 CY - T)

y las variables exogenas son I(inversi6n) y G (Gasto publico), a) Encontrar Y, C y T en t e rminOB de I y Gb) Hallar ' e 1 nivel de equilibrio y* ,C * ,T * e:\,.c) lQue ocurre con y* ,C *, T '" cuando Gcrece s: unidades? " Z .J..~> .,"" :;.


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"",._..PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICADELFACUL TAD DE ESTUDIOS GENERALES LETRAS

Semestre 2002-IIilJATEilfATICAS PARA ECONOMISTAS 1(Mat 136; Horario 0668)

ProfesorAsistentes: Erick Lahura: Rosa Diaz MalaverJessica Sanchez GasteloLily Zapata Revoredo

PR4CTlCA DIRIGIDA 31. Dadas las siguientes matrices:

Hallar:a. A+Bb. e-Ac. 3Ad. 4B+2Ce. ABf CA2. Dados los vectores:

("1~ u . : [ S ] y v= r O J. 1 L3

obtener graficarnente: te_,\ 'a. 2vb. u+vC. u-vd. 4u-2ve. 2u+3v

a. (3,2 ..& ) Y (O,-I,S) r+-b. (9.0.4).y(2~O,-4)


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[-1A : : : :. 0. r 1l ,9 1-8 7 . , xI I ' b = = [ 6 " x = I 1 I,-? 4 I ...-. J L 0J ' . L ~2 _j

Calcular:a. Abb. Albc. ud. x'A5. Sean las siguientes matrices

[2 4 1A= I-1 3j[3 81

B= 0 dC_ f 1 0 9~ l- L 6 .~!.::Demostrar que:

a. (A +BY= A'+B'b. (AC)'= C'A'c. (ABC)'= C'B'A'

~(._),.

Comprobar 5 1 alguna de ellas es la inversa de la otra ..Sea A =1 -X(X'Xr1 X'.

l,La matriz A debe ser cuadrada? GY(X' X)?, iY X?Demostrar que la matriz A es idempotente.Determinar si las filas y columnas de las siguientes matrices son linealmeateindependientes 0 no:


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b. [~~]c. [ - 1 4 12 - 8Jd. [~~ ] 'f9. CaIcular los siguientes determinantes:

r : 3 10 ~ J6r x 5 ~ J~-1~ - ,~1 2 '0 '2 " ' -4'

6 toQ - 5 - . . 9

a. ., . \ _'. .l , ;.:. ')+ \~ )C ~ > - _ ~ -:'?-. " ~\ f:t, I' l 2 - ~ = - 0- -, ~ ')

b.

c.

" " '. . . . r:r- ,~Cl; _.., ...J9 .. ]~ - - - r ~. . , . . . , _ .6 ._ .. c ~"1 i '- '-.J "- --'8

~-IZ . ~ \I, !r ; r I r. z. . . . . . . ." ' - ._ - '-.- ., '_./"" -" -') - ' , _ , 1 .\ - . ) , /

)

Q9)Demostrar que para una matriz A de orden nxn se cumple que:

(-/\

II. Comprobar si las siguientes matrices son no singulares: < . C ) e .r- v " " I I l O V \ 1 " ' e .


22/88

ESTUDIOSGENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECO NOMIST AS I(MAT-136)

Horatio: 0 I 0 I1~~~- ..\ (?f-~+ ~o ' : ;> - '; -- "1 ; ) (.~;>() SEGUNDAPMCTICACALIFICADA

Profesor:ArmandoBlancoDelRosario. 200/--+ El orden y la c1aridad seran tornados en cuenta para la caiificaci6n de laprueba. ~ 'I'iempo: 1 hora con 50minutes, .. . . U Se puedeusar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 04PREGUNTAS

01. Usandou tabla decir si exists lim hex) donde:. x~o --'_ --,

{

X2 , -'2


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04. Se defin~;:ia funcion: I 2x , z cI'2J1}!x=1 -,f(x)= - .. .~;,t1, 1.< < 3. . 2x ,3::;;x1. Determinar los val ores de las constantes a,b que hacen de f una funci6~continua en x = 1. . '- 0 . _ ~ :L- ' .

2. Reescriba la funcion f con los valores calcullaris Ae a, b.Estudie, lac_Qnti~_,cnuidad 0 discontinuidad de f en -t~3..\. ' __. -:: b ), @ ; e : : - _ ) i . ; : J , ~ C

;(04 puntos)

05. Dada la funcion:

! 2X- .. . ' ..;.X


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---.-~-.-PONTIF1CIAUNIV,ERSIOADCATOLICAD E L P E R U

ESTUDIOSGENERALESLE1R~S

MATEMATIC AS PARA EC ONOM ISTAS I(M AT- 1 3 6)

H orario: 0 1 01T ER CE RA PMCT ICA CAL IFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Tiempo: 1hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 04 PREGUNTAS IJ

01. Dadas las funciones de ingreso total y coste total:TR(Q) = 260QTC(Q) = 1125 + 10Q+ 5Q2

a) Hallar el ingreso marginal, MR(Q).b) Hallar el coste marginal, MC(Q).c) Hallar el beneficio marginal.d) Hallar el coste medio mfnimo y la produccion para el cual ocurre.

~,' \, . . _ . ~ (04puntos)

/?"


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{1-x{(x)= (1-x)(2-x) , xz1

(04puntos)

x


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ESTUOIOSGENERALESLETRt\,SPONTIFICIAUNIY.ERSIDADCATOLICADEL P ERU

MATEMATICAS PARA ECO NOMIST AS I(MAT- (36)

Horario. 0 I 0 ICUAlJ.TAPMCTICA CALIfICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101).+ El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba.+ Tiempo: 1 hora con 50 minutos.+ Se puede usar: calculadora personal.


01. a) Determine el dominic y el rango de la funcion {definida por la formula.

b) Probar que {tiene inversa g, y encontrar la formula para la inversa. Encon-trar g' (t In 3 ) en dos maneras diferentes: (04puntos)

02. .Encontrar todas las derivadas parciales de primer orden de:b) z=ylnxI

(04puntos)

103. Examinar las propiedades estaticas comparativas de la cantidad de equilibrio y/ compruebe los resultados mediante analisis grafico,

a>O,b>O

(04puntos)

-1-

2010-1


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Si o X cambia de 4 a 4.02, estimar el correspondiente cambio en y=x3+3x+3.Ademas, hallar el cambio exacto y compare ..0 / ''?,\'ex) ~3'i- +-:).; (04puntos)

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - ---~--------

{Yl =5xl +3x2

. Y2 = 5axt+6axlx2 +(c?+4)x~(!.'l. \0 '. r-: 0d o " f . . l . ,.l, O)(}.+ I:?\. .A)C'Z, 4 - .Ademas, dado el valor de a expresar e1sistema en una forma abreviada.

05. Usar determinantes jacobianos para hallar el valor de "a" para que exista de-pendencia funcional de:

(04puntos)

Pando, 05 dejunio del 2010

2


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~""""'-~_'$ , ''_ .""",~~.

ESTUDIdsGENERALES,'=J~l.ML_.

MA TEM A TIC AS PA RA EC ONOM ISTA S I(MAT-I 36)

Horario : 0 I 0 I

Sabado, 08 de Mayo del 2010

E X A M E N P A R C IA LD E

M A T E M A T I C A S P A R AE C O N O M I S T A S 1

. Duracionr Dos horas cincuenta minutos

PONnFICIAU"'IV.ERSIDADQATOJ,. . ICAD EL P ER U

El orden y la claridad seran tornadosen cuenta para la calificacion de laprueba.

Se puede usar: calculadoras personales. Todo trabajo debe ser mostrado. La evaluacion maxima es 20 puntos.

Profesor:Armando Blanco Del Rosario

-1-


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- - - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - ,01. El mercado de la naranjaen Espafiapresenta las funciones de oferta y

demanda siguiente:

Se pide:a) Calcula el precio y la cantidad de equilibrio.b) Si el Estado fijaraun precio maximo de 85 u.m.lQue pasarfa?

(2.5 puntos)L__ . ~----------------------------~---~,-".-,-----.,-----,-----------"-----..,02. Calcula los siguientes limites: (Si e,a_sten)

~< ... --. ' f !~S' \ \a) lim x2 -2x-3

x---+-1 x+1

b) lim x2 ;3x + 4X4-CO -5x +2x-1

c) lim F::J. "x41+ (",3_1)x-I

(2.5 puntos)

03. Estudia la continuidad de la siguientes funcion. ,~ :J t\ t

{

x2f(x)= 1

4x-3

x2(2.5 puntos)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - , ~

04. Una mujer compra un automovil en 3800 euros. Si despues de dos afiosvale 3000 euros, hallar la relacion entre el afio y el valor del autom6vil sise representa por una ecuaci6n afin lineal. "I:\" .j VlCuimto costara el autom6vi15 afios despues del dfa de la compra? /II \A'! ' I, ,~ - , ' :. '/ < _ ,!~".j if

_ . , . . . . - _ : : ! _ _ ~ : 0 8 ). J~'~T--.- -2-


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05. Un distribuidor vende naranjas a 80 -O.02,Q euros el kilo, donde Q, es lacantidad de kilos vendida.a) Hal1ar la expresion para los ingresos TR(Q) (precio por cantidadvendida) por la venta de 1aeantidad Q y representa TR(Q).

b) lQue cantidad producira el ingreso maximo, y cual es dicho ingresomaximo?

(2.5puntos). , _..~ .__ __ u

06. Representa una funci6n que cumpla estas condiciones:lim (ex) ::= + C i ) , lim {(x) =2 , lim ((x) =:0X--J>3 X--J>-CO X--J>+CO

lEs discontinua en algun punto?

___________ ~_' ..._._. ---- ~ .. ~os) _ j~ ' " . . - - ,07. Justifica que valor debe tomar a para que la funci6n sea continua ed.~l!!J

{ax=-2(ex) =: \,4x-2a

x~lx>l

(2.5puntos)

OS. Suponga que el gobierno decide imponer una tasa de T d6lares sobre cadakilo de naranjas que tratamos en el ejercicio 01. lQue precio pagaranfinalmerrto los consumidores por cada kilo de naranjas?

(2.5puntos)

Pando, 08deMayo del 2010

-3-


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ESTUDIOSGENERALESLETRASIPONTIF IC IAUNIY.ERSIDAD~E~r~t ICA

MATEMATICA S P ARA ECO NOMIST A S I(MAT- 136)H orario: 0 10 1

TEBCERA PMCTICA CALIFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). El orden y la claridad seran tomados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

2010-I


Oy Dadas las funciones de ingreso total y coste total:TR(Q) = 260QTC(Q)= 1125 + lOQ + 5Q2

a) Hallar el ingreso marginal, MR(Q).b) Hallar el coste marginal, MC(Q).c) Hallar el beneficio marginal.d) Hallar el coste medio minima y la producci6n para el cual ocurre.

(04puntos)

02. a) Escriba la ecuaci6n de la tangente a la curva Y=x2 +4x +1,que es paralelaala recta4x-2y+5 =0. } . ; 1 \ll.~1 1 ~ t ;"1' -1>.". i : : \ ; : : . 1 . ' 1 ' - " , ~ , - ; ; , ~ . . . . .h'lti!b) Supongamos que la funcion de l~~~:tnanda de un bien es:

qd :::: 8000..+ldonde qes la cantidad yp el precio en d6lares. Si el precio disminuye de $9 a$8.5. leua1 sera el incremento aproximado de la cantidad vendida?

(Q4puntos),------------------,---,----1-


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Estudiese la diferenciabilidad de la funci6n:I-x x


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOIJICA DEL PERUESTHmIOS"GENEM~ES;iL~TRAS'MAjfEM4\" .A.~~~'JE1;~ON0MISTASl,. ". .. ' , ~ ~ . ~ ~ ~ ~ 0 3" ' ,_ ! - -RABAJO INDIVIDUAL(Tiempo : 30 Minutos)Profesor: Armando BIanco del Rosario 2003-1(Desarrol!ela prueba.en.los ..espacios en blanco que estan despues de las preguntas)

Calcule .la funci6n de ingreso marginal a partir de In funcion de ingreso medic.(Graficamente) (A R ingreso medic)P=AR

---p=AR(Q)

I

. (01punto)

Segtin la figura 1:a) Para una produccion Q = QIestudiar

economicamente el coste media (AC).b) Para una produccion Q = Q2 estudiareconomicamenteel coste media (AC).

c) Para una produccion Q = Q3' estudiareconomicamente el coste medio (AC).CAC = AC(Q) , coste media yMe = MC(Q), coste marginal)

(Figura 1)g'~~


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f Una.empresaoferta,Jlnbien.A".s~~n.la.funci9:t).;.:"q.l' (p-) = -1+ a p '... a,?,Odonde p es etpr~ciq.uJ).itario.lle '.41., Un)~stll,dtq:. de mere ado perlIlite eonccecexplicitamente lafuncieri d e dern"J,J).d~el bieri:

, [3>0a) Calcule, en funcion de a.y [J,eJ precio p* .cieequilibrio de mercado.b) (,Tiene sentido calcular lasderivadas ao~*y O / ; ?

Calciilelas en su caso.M'~N" '. ,.,~-..." .c) Interprete graficarnente los resultados.

(Aplicacion al Analisis Estadistico Comparative).

a..) -,1 - t ~ ~ ; J ; o % ....P . r V -i7\p-f+ I ? : . p"" t- ;

c)

7P(01 punto)

Pando, 03 de Mayo del 2003

2


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PONTIFICIA UNlVERSIDAD CATOUCA DEL PERUFACULTAD DE CIENCIAS SOCIALESMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS

EXAMENNo.12010-1

Cada problema abajo vale 5 puntos, salvo segundo que vale 4 puntos. Resolverlos sinmateriales de consulta ni calculadoras.

1) Consideremos juego estatico dado por[@ l) (O '~ )J( 1 , i ) Q , O )

l,Hay alguna situacion de equilibrio? Mostrar ambas curvas de reaccion en unplano cartesiano. l,Ray equilibrios de Nash con estrategias mixtas?

2) Consideremos juego estatico dado porl < 2 , ! ) (0,0) ( ~ ' O ) l(2,1) (I,].) (3,1)(1,2) (0,1) (~,-4)l,Hay alguna situacion de equilibrio? Supongamos que este juego sea jugado dosveces; no hay factor de descuento. l,Hayalgun equilibrio de Nash en quesituacion [opcion tercera.opcion tercera] se de en etapa primera?

3) Consideremos problema de optimizacionmax 5xl + 2X2 + 6X3 + 3x4con Xl + x2 = 1

X3 + X4 = 1Xl + X3 = 1

l,Es cierto que valor maximo de funcion objetivo es 8? Bajo supuesto adicionalde no negatividad de variables xj, l,cmil es conjunto solucion de este problema?

4) Resolver problema demax xycon 4x+y~4

x+2y~4 ~ )(-~x,y~O

Hay que usar condiciones de Kuhn-Tucker.

Lima, 5 de Mayo de 2010


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" ' ' : " , , : ' , ' : : " , " " , ' ' . ' , 1 1 "PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOSGENERALES LETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 1.(OlOl)

TALLER N 3TRABAJO GRUPAL

Profesor: Armando Blanco Del Rosario 2003-1

01.- Un monopolista tiene una funcion de demand a

donde q denota unidades vendidas y p denota el preeio. Encontrar el ingreso total de lafirma, (TR), en te rrn in o s d e q ; t amb ie n e ncon tr ar el ingreso marginal, (MR).

02.- El capital, K, y el trabajo, L, en una economfa es dada por las funeiones lineales:, K= 2+ 3t , L= 1+ 4t

donde t denota tiempo. Eneontrar la tasa de cambio con respecto al tiempo de el ratiocapital-trabajo ~ .

03.- Sea las funciones f y g definidas como sigue:f(x)=x3 +1 , g(;)=x4-2

Eneontrar expresiones para f (g (x)), g (f (x)) Y sus derivadas .. 0 4.- Supongaroos que l a producc ion Q de una firma depende de el trabajo, L, por l a func ion deproduccion.

supongamos que L es dada por la funcion lineal:i=4+3t

Encontrar dQ .dt05.m Para la fund6n de coste total

TC(q)=q2+10q+25 , q>OMostrar que: (Analiticaro"~hte): ' , : ; : l l : J fi) MC es menor queAC cuando AC decrece.ii) Me = = AC en urlRu~to donde AC tiene recta tangente horizontal.

iii) Me mayor q~~.4b2~ando AC crece.06.- Resolver la pregunta (05) grafiearnente.

1


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07.- Una firma usa. un insumo, L, p~ra g~llerar laproducci611,~q, acorde a la funcion deproduccion . .. " .. .. .' .' '. .." Q~16L2

dEI precio del in sumo es w por unidad y su coste fijo es Co > 0 , Mostrar.qued de d .cuan 0 d Q ecrece.

(,Como en su resultado se aplica el teorema de Ia funcion inversa?08.- Una curva de demanda tiene ecuad6n p = _q2 + 3 donde p es el precio, q es la cantidad

que toman valores no-negatives. Mostrar que p es una funcion mono tona de q y use elteorema de Ia funcion inversa para hallar. :!. '

09.- Un monopolista vende cantidades x e y respectivamentede los productos X e Y. Losprecios P x y P y que corresponden para X e Y son dados por las funciones siguientes:

p x = 25 - 2x + y , P y = 20 + x -yEncontrar el ingreso totaly los ingresos margin ales de X e Y.

10.- Para la funci6n ingreso total del problema (09) y el nivel de produccion de x = 5, y = 6.Use la formula de pequefios .incrementos Para encontrar aproximadamente el cambio en elingreso cuando:a) x crece 0,01 eyes estacionario.b) xes estacionario e y crecea 0.02.c) x crece 0.01 e y crece a 0.02d) x crece 0.03 e y decrece 0.01.

11.- Para la funci6n de produccion: Q = :fL ' encontrar el producto media de trabajo y elproducto marginal del trabajo.

12.- Considere el siguiente modele macroecon6mico.Y = C + I , C = a + bY (a> 0 , 0 < b < 1)

Las variables end6genas Y, C son el il}.gresPIlacional y el consumo respectivamente, lavariable exogena I es la inversion. EncOll.trar'el valor de equilibrio de Y y C en terminosde I y los parametres a, b . Encontrar tambien una expresi6n para el cambio en y* cuandoI crece de 10 a II . Determine su signo y comente sobre su magnitud.

13.- Responder el problema (12) graficamente.14.- Ahora considerese la siguiente versi6n no lineal de el modele de el problema (12).

Y=C+I, C;::;f(Y ) (0


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PONTIFICIA UNIVERSIDADCATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 1(MAT 136)

HORARIO:0101'CUARTA PRAcTICA CAUFlCAOA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario 2003 -1 E1 orden y 1a claridad seran tornados en cuenta para 1acalificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora con cincuenta minutos Se puede usar: Ellibro texto 0notas del curso.

CON 'fE STAR S6LO 16 PUNTOS

01. a) Aplicar los determinantes jacobianos como criterio de existencia dedependencia funcional entre los pares de funciones siguientes:

b) Encontrar el diferencial, dy, para la funcion siguiente:y = (4x+3) (3x-8)

(04 puntos)

02. Mostrar que la funcion de dernanda de la forma Q =4 ' donde aye sonpconstantes positivas, tiene una elasticidad de demanda constante & d = =C , esto es,para todo valor de (P,Q) , t ; d ' = " ' -c . AsL mostrar que Q = 20)0 tiene la elasticidadp:de demanda constante, & d = -2 (Interpretar economicamente),

(04 puntos)

Encontrar el cambio porcentual aproximado en '1a produccion que resulta delcambio indicado en las otras variables.Q = 200 - 2P + 0.02Y + 0.3 Pl?

Y Y P, crece eQy, P no cambia, donde P, es el precio de un producto sustituto.

(04 puntos) ~:Jt\: A

1


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04. Encontrar las elasticidades parciales de. trabajo, L, y capital, K , para laT-linctiondeproduccion

~ Q = lQKOj L O .5 'Interpretar economicamente. ,t~~k~tt~

(04 puntos)

05. Dos bienes 1 y 2 tienen las funciones de demanda :, 1/2 -1/2; x2 zz : 4Pl P2

donde Xi Y Pi denota respectivamente la cantidad demand ada y el precio para elbien i .a) Sup~~gamo~ que los precios son dados como funciones del tiempo t.

PI =l2t1/2 J ,- P2 zz : 3t3/2 ,H 1 1, dX l dX2a lar as denvadas totales - -dt ' dt '

b) Supongamos ahara que los precios son dados como las siguientes funcionesdeltiempo t y la tasa de cambio. :'/2PI = 2 ut' P2 = 3t3/2

hallar las derivadas parciales tot,ales:x1 X 2 Xl ~"t'T'iiYu

(04 puntos)

Pando, 24 de Mayo del 2003

2


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ESTUDIOSGENERALESLETRAS

PONTIFICIAUNIV:ERSIDADCATOLICADEL PERU

MATEMATICAS PARA ECONOM IS TA S 1(MAT-136)

TALLER NQ 5Horario: 0668TRABAJO INDIVIDUAL

(Tienipo: 30 minutos)Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0668) 2008-1(Desarrolle la prueba en los espacios en blanco que estan despues de las preguntas)

I A PE lL iD OS Y N OM B RE S H O R A RIO Y N D E C O M IS IO N JO DIG O D EL A LU MN O

01. Para una cierta clase de pan, se demanda Q piezas a la semana, cuando pcentavos es el precio unitario y la ecuacion de la demanda esp2 + 400Q =18000.:: { , : ; : : : : : ~ .a) Calcule la elasticidad de la demanda cuando elprecio unitario es de 160centavos.

b) Si el precio de 60 centavos disminuye en un 6%lQue variacionaproximadase observa en la demanda semanal?

" .01) EoL:::

.~_... --'---",.~.

(02puntos)

--

I


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02. Si Z=x2Y S -10xy+ i.Evaluar ~~ y ;~ en e1 punta (2,3). Ademas estimar e 1cambio en z si x crece 10% e y decrece 0.1.

(02puntos)

Pando, 14 de Junio del 2008-2-


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PONTIF1C]A UN1VERS]DAD CATOL1CA DEL PERUFACULTAD DE ESTUD10S GENERALES LETRAS

Semestre 2002-1]l~IATEft;/ATICAS PARA ECONOJUSTAS 1

(Nfat 136/Horario 0668)ProfesorAsistentes : Erick Lahura: Rosa Diaz MalaverJessica Sanchez GasteloLily Zapata Revoredo

PRACTICA CALIFICADA 2

Indicacionesa. No esta permitido el uso de apuntes, copias, Iibros 0 algun otro tipo de

material.b. Cada pregunta tiene un puntaje maximo de 5puntas.c. Todas Jas preguntas son ohligatorias.d. La duraci6n de la practica calificada es de 1 horay 50 minutos .

"Muchasuerte!

1. Encontrar los ceros de las siguientes ecuaciones:a. x3 -13x + 12b. x'+4x2+x-6 -L

/ r.., '. 4 - . c. Xl + 3x2 - 16x - 48,J < _. . : : :

'LJf.x.~f , q - .

. . . .!ado el siguiente modelo de equilibrio parcial no lineal:Qd =QsQ d = 8_p2Qs =p2_2o

o Encontrar los valores de equilibrio deP yQ.

3. Sea una economia donde se producen y consumen dos bienes, cuyas demandas yofertas estan determinadas por lassiguie!1!es~ci


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Q 1 d = 18- 31; +r.Qt = -2+4F;

Q : = 12+ 1; - 2PzQ ; =-2+3P2Encontrar los valores de equilibrio 1 5 . y 1 2 ; para i =1,2. Usar fracciones en vez dedecimales.

4. Sea el modele de renta nacional.y = C +10 +GC = a+b(Y -fa)G=gY

(a>O,O


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JVIATEMATICAS PARA ECON01\lISTAS 1Taller Dirigido N 2 - Horario G6R- Pertodo 2010 I

Prof. Abclardo Jordan L.

1. Dado los conjuntos A = {I, 2,3,4} y B = {-1,3,4,6}.(i) Defina dos funciones j y 9 de A en B de modo que rang(f)\rang(g) ={3, 6}.

2. Dadas las funciones f, 9 Y h definidas en IK por(ii) Defina una funcion de B en A de modo que exist a su inversa definida en A.

l\ .__..,lo L A o . . v t ( / 'j(1;) = 2x - 1 , 9(:1:) = 2 - x , h(X)=X 2-.T+4

(i) Obtenga y grafique las funciones f -.9, 9 + i, h - g, f + h.(ii) Crafiquc la funcion f g.(iii) Resuelva la ecuacion j(x) = hex) .

3. En la siguiente figura, la recta represent a la grafica de una funcion lineal f (x) = - ~x+5,mientras que la parabola con ver tice en q representa la grafica de una funcion cuadraticag.

x(3,0)" 0 ; 0 )

.>\ " reClP~C\0tHallar la regia de correspondencia de la funci6n g. 4:) '0-(ii) Resuel va la inecuacion f (x) :::; g ( : r ; ) .(iii) Si A cs cl conjunto solucion de (ii), grafiquc la legion {(x, y) : X E A, f(x ) ::; y :::;

g ( : r ) } .

1


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2

4. EI dia de Sl1 curnplcauos, JP so propuso obtcncr la informacion de 1(\ temperaturadurante todo el dia, informacion que se reporta. en.la siguiente figura, donde T(t) es latemperatura en grades ccntigrados a las t horas del dia.

T ( I )

. : -'. :IN F OR M A CIO N D E LA T E M P E R A TU R A E C D iA b E M I C U M PL EA N O S 2 00 9

( i) Hallar Ia regIa de correspondeneia de la funei6n T(t).(ii) Si por eada vez que la temperatura haya alcanzado los 15C, JP recibe 1000 d6lares

pOI' su curnplcafios.j Cuanto rccibio J.P.?(iii) ~En que horario del dia, la temperatura estuvo por arriba de los 16C?

5. La figura que se muestra representa la grrifica de una funci6n f definida en el intervale[-5,8).

o1D\k~'121 noXI(e Y1( ) 1 " 0 5n . c . J . o - -

S::b .>(1 k ~..:,(i ) Hallar los iimitcs lim f ( : r ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) Y lilt! f ( ; x ; )

X--40- x----;.O+ x--.4- ;1;-1--4+(ii) Hallar lim f ( 1 . ; )x~~l(iii) (,Existm]os hmitcs lim f ( x ) y lim f ( x ) ?x-~.5 x->8 I I - I .~0. ~ ~ ---""1 l( i : : ' ; " LZSLCtC"_k iP

6. La figura representa a la grafica de una funcion f derivable en [0, + 00 [ .

J . ) ~nO l p(,'S\~ coLk r a < O-U'~ J ! \ J ) d - z :

J( = - : 5 p c > \ " '" ~ (Nf(~.)= % '


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3

o x= 1 x= 2 x

Analizar si son vcrdadcras las siguientcs afiruracioncs:(i ) Si 0 < X l < 1 , X 2 > 2, entonces f'(xd < 0 y ! ' ( X 2 ) < 0(ii) Existe un punto z entre 1 y 2, tal que f'(z) < o . f Z ~(iii) .t'(l) = 0 y 1'(2) = O 'V

i~ (Z)


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,/.. . _ ,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMATEMATICAS PARA ECONOMISTASl(MAT 136)

HOR4.RIO: 0101T ER CE RA PMCT ICA CA LiFICA O AProfesor: Armando Blanco DelRosario+ El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de Ja prueba. Tiempo: 1 hora can cincuenta minutes Se puede usar: El1ibro texto a notas del curso.

2003 -1

CONTESTAR SOLO 16 PUNTOS

01. Para la funcion coste total: TC(Q) = Q2 + 10Q + 25, Q.> 0Mostrar que: (Analfticamente)i) MC es menor que AC cuando AC decrece.ii) MC::oAC en un punto donde AC tiene recta tangente horizontal.iii) MC mayor que AC cuando AC crece.

IAdemas, hallar.el coste rnedio, (AC), mfnirno.

(04 Puntas)

Una firma usa un insurno, L, para generar la produccion, Q, acorde a la funci6n dei produccion: Q = = 16L2l /J / . - , dQt. /d precio del insumo es w por unidad y su coste fijo es Co>O.Mostrar que diL~ decrece cuando d Q decrece.r , :


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.,\ /" /.1-.

/6) l,Cmil es el efecto sobre elingreso de equilibrio 8i el impuesto aut6nomo (1'0)/' crece en 50 unidades?~,/ ( ilY':o b ~ o 'A 1 0 J

c) SiiJ' ingreso nacional empleado completamente es 1,000 y 01 gobiemo ~osea/?u.;~so ocurra. l,Cuanto podrfa ser cada cambio .en:

.,/ i) Gasto de gobierno 0 ii) Impuesto aut6nomo?' -_ ,. .. .. .. .. ,, ,. . .. . ., ., .r

04. La figura muestra algunas curvas de Ynivel.parala funciorrZ = f(x,y). f

el valor de f(2,3)? Resolver 5la ecuaci f (x,3) = 8. I 4

) Enco.ntrar \. e . l . . menor yalor dye,. 3-1------l--J-JZ = f(x,y), ~i x = 2. "Cuales e 2+._ .....+-- \;Icorrespondientevalor de y? I~~'! l,Cuales son los\~nos de a f ~:' Y ) / Y _ 1 + - -+---I--+-'-'l+-___,~-+-___''---,-X

\ \of(' . . I 2 '4 5o x . Y) en los PU't(tosA, B y f ? \ fEsti~ar los valores d e laJs.der.i.V.das \ /parciales en A. \ . \. /

\'-.:.104 Puntos)

05. Dado un modelo de ingreso nacional sin comercio exterior.Y=C+lo+GoYd =:; Y-TT =:; To +tYC=Co +bYd

y To =:; 240, Co = 100, Go=330, 1 0 =90, b = 0.75, t = O.2.EI ingreso de equilibriaes:y*= 1 (CoQ + 10 ~\l-b+bt


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 1(0101)TALLER N 5

TRABAJO INDIVIDUAL(Tiempo : 30 minutes)

Profesor: Armando Blanco Del Rosario 2003- 1(Desarrolle la prueba en los espacio en blanco que estan despues de las preguntas)

C O D IG O D EL A LU M N O1:.-fii> 3.D 8"1t;

A PEllIO O S Y N O M B R E S H O R A R IO V N Q D E COMISIDN

.. Considere el sistema de ecuaciones:

{.vCt +V .8 . =c2.8x+y3 donde a , f J son

vCt V .8 - V .8 =x - y constantes positivos.i_ , Este sistema de ecuaciones define V y V como funcion de x e y , alrededor delpunta P =:; (V ,V, x , y) =(I , 2,1, I)?Si la respuesta es afirmativa encuentre, ~~ , ~~. , ,(~~y ~~ en el punta P. Ademasencuentre una aproximacion de U (0.99, 1.01).

(2 puntos)

Pando, 07 de Junia del 2003

1


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~6 '\~~~ x

- ;2L-t-y{;).;:l, < - ")(~,,j..1)d(P-,'2(v~,(l)


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PONTIFI(:IA Ui~IVERSIDADCATOLICA DEL PERU. . }!:S1:{J~IQS(;ENIY\~}!:~~.El'MSMATEMA1:'ICAS PARAE.CQN().MISTi\S(MAT.;136)

TALLER N 1TRABAJO INDIV IDUAL(Tiempo: 30 minutd's)

Profesor: Armando. Blanco Del Rosario (06(:)8) 2008-1(Desarrolle laprueba en los espacios en blanco queestan despues de las preguntas)

,.,.w~::oWt-ecl AC;16ne oferta de un producto en particular es Q2 +4Q -4P +20 = 0 .a) osquejar lagrafica de la curva de oferta. ~ ").,Calcule el precio mas bajo al eual se ofreceria e1pr'ducto. Y l : : ~ J,~,

(Olpunto)

.1


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03. Supongamos que los conjuntos de oferta y demanda de whisky de malta delamarca Glenbowley son los siguientes: S consta 'de un par (q,p) para el queq--;-3p =-5 y D tiene un par tal que q+2p=145 . Aqui; pes e1 precio porbotella, expresado en dolares, y q es el mimero de miles de botellas vendidas.Determine el precioy Ia cantidad de equilibrio. Supongamos ahora que elgobierno impone un impuesto .indirecto de T d61ares por botella, lcuaIes seranel nuevo preeio de venta y ! f l - ' cantidad vendida? Ademas, calculas e1 i estoque asume e1consumidory'el pro_d-q9ts>r.,.,..- _ ",,,_y'/'

/ _/ I ;,;._.iiI::jt" I " [/ ,,.,_ ,

/)'1

- 1 -

Pando, 05 de abril del 2008

2


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PONTIFIClA UNIVERSIDAD CAT6LICA'DEL PERUESTUDIOS G]~NERALES LETRASM a t :e m a t :ic a s p a r a E c o n om ; s t : a s 1 ~p r ac t :i c a D i r i gi d a n' 2Ramon G a r c ; a - C c b i a nH o r a r i o : 01012002-1

20-4-2002

1. S e a A = 1- X(X' X ;-1X'a) i . .A det e s e r cuadradaj , l Y (X'X)?, l. Y x'?b) D f l m o s t r a r q u e l a m a t : r l Z A e s i de m p o t : e n t : e .2. l S o n l i n e a l n ~ n t : e i n d e p e n d i e n t : e s l a s f i l a s de l a s. . ~ a { ~_83] ( b { ~ ~ J ( ~ { ~ ~ ]1 ( d { -21 _48]

'8 1 33. c a lc u l ar l o s s ig u i e nt : e s d e t : e rm i n an 1 : es : (aJ4 0 1/ 1 6 0 3

s ; g u i e n t : e s m a 1 : r i c e s ?

o 2o 32 3

h a l l a r l o s m e n o r e s y l o s c o f a c t o r e s d e l o s e l e l l l e n 1 : o sc,

5. caTcul a r 1os. 5i g u i errtes d e t : e n n i nantes : : ~-3 1 4 j76o6, calcul ar los s;guien~es de~enninantes :

C-) n+2 n+~ a b c ~ ~ I O In+l n-+3 n+5 b c . d~.


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r - r , .-. ..~ , ~

8. comprobar si 1as sigu; enres matr1ces son nOSOi~9U~ares: ' ( 1 1 :_\r- _ .. . .. . 1 - rv '__~ I.._Cz6

o9. H a l l a r ~l10. H a l l a r

m a t r i c e s :

(d )[~ ~ ~ l3311. usar la ~ . e g l a d e c r a m e r ( s ; e s posi b ' le ) p a r a r e s o l v e r l o s s i g u i e n t e siX+3Y-2z=7iX-ZY=11 {-X+3Y=-3s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s : (0 (b) (c x+y=52x+y=12 4x-y=12 3x+z=4ix{-Y+::=o(d x- y+z::bx..;- y -z ::c12. R e s o l v e r l o s s i s t e m a s d e ecuac'icnes d e l ej e r c ' ic ' [ o a n t e r i o r , u s a n d oi n v e r s i o n de m a t r i c e s .13 . R e s o l v e r e l m o d e l e de l a r e n t a n a c i o n a l :

{y ~C+l0 +0, O


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12a+5 2b

17. Sabi endo que~~: calcular sin desarrol1ar: i a bI a-I b-l18. oadas tale, que, A= I 4 ~ 2 JY .'_ A

a) ca'tcu'lar det(B) . -b) ca'lcular los elementos de la matriz B , conociendo que son

2C+~C Ic-l i

numeros

19. Dadas las matriceso1-2

1o J '-1enrer-os ,

Hallar la matriz X si AXB=C20. Se tiene una matr;z A, a la cual se le aplica las aperacianeselementales siguientes: a la primera fila se le resta la se~undaenseguida a la tercera fila se le resta el triple de la prlmera y ,finalmente a la segunda fila se le multiplica par 3 , a btenienda se lamatriz:

c al c ul e 1a inver-sa de 1a matri z A.21. Resolv er los sistemas

{

X+ y-- Z = 6a) 2x+4z = 16

2x+j+z=7

mediante el usa de la inversion matricial

b) Determlne 13matriz A de: [~ ~1:] {~ J

22.a) si C= [ ~ ~lesuelva la ecuac icn matricial (/+cxf =C-I

la matriz [ ~ ~ l ~ ' a ; 2 J-a 1 4

b) ,Para que valor de a t i e n einversa?

23. Dada la Ila1:riz: A = [ ~ ~ ~ ]pl P 1

a) Pruebe que la inversa s;empre existe.b) De'tenni ne A-1


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+, ""._~__"_"--c

A = l ~0 5 ~ F0 0 0"5 0 -4 0 o \25. calcular la de~erminan~e de A sit _ o s ]0 0 10 0 5 0 2 3

o { 2 , si i=ja) Dada 1a mat ri Z A=(a; j) de orden nx.n, dcnde a; j= ..' ,1, 51 1 -j; j

para n=3 de~ermine si exis~e A-l, y si ex.is"te halle A-t.b) nadas las matrices A, 6, C Y X cuadradas del mismo orden'~al que A Y B son inver't ib] es, hall e 1a matri z X de 1 aecuaci 6n mat:ri ci a1; (2AXB+C)g-l=A

24 .

o~

I( ) ' 0 \

: t


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MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 1(MAT-136)

ASESORIA 1

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0101) 2010-1

1. La funci6n de demanda es dada por Ja ecuaci6n:P = 100 - 05 Q

a) Dar una descripci6n verbal de Ia pendiente y de la ordenada en el origen.b) Leual es la cantidad demandada cuando P = S ?c) Graficar la funcion de demanda p:= 100 - O.SQ para 0 ~ Q ~ 200.d) Encontrar una expresi6n para la funci6n de demanda en Ia forma Q:::: f(p) y

graficarla.

2. La funcion de oferta es dado por :P=10+0.SQ

a) Dar una descripcion verbal de la pendiente y de la ordenada en el origen.b) Graficar la funci6n de oferta para 0 ~ Q :::;100.

3. Una firma tiene un coste de producci6n fijo de $ lOy un coste de producci6n variablede $ 2 por unidad producida.a) Escribir la ecuaci6n de la funci6n de coste totalb) Graficar la funcion de coste total.

4. Supongamos que la bolsa de papel se vende par $ 3.5 independientemente del nurnerode unidades vendidas.a) Escribir la ecuaci6n de la funcion de ingreso total.b) Graficar la funcion de ingreso total

5. a) Deducir la ecuacion de la recta de pendiente 1.7 y que pasa par el punta (2,S)b) Dibujar dicha recta.

-1-


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6. a) Una recta pasa por los puntos (2,4) Y (6, I).Deducir la ecuaci6n de la recta.

b) Dibujar la recta

7. Un consumidor tiene un ingreso dado, M =$180 el cual es gastado en dos bienes X eY. EI precio de esos bienes son P, = $ 2 Y P, = $ 6 respectivamente.a) Deducir la ecuacion de presupuesto y explicar cada componente de la ecuacion.b) Graficar la ecuaci6n de presupuesto del consurnidor.

8. Dadas las ecuaciones :2x + 3y =2+X + 2y = 6

a) Resolver algebraicamenteb) Resolver graficamente

9. Las funciones de demanda y oferta para un bien son dad os como:Funcion de DemandaFuncion de Oferta

Pd=IOO-O.5QdP s= lO +O .5Qs

Calcular el precio y la cantidad de equilibrio algebraicamente y graficamente.

10. Encontrar el precio y la cantidad de equilibrio para dos bienes substitutos Xe Y dadaSllS respectivas ecuaciones de demanda y oferta:Qdx= 82-3Px+P> ,Qsx = - 5 + 15 P,Qdy = 92 + 2 Px - 4 P,Qsy = - 6 + 32 Py

I 1. El ingreso total y el coste total son dadas por las funciones :TR = 3QTC = ]0 + 2Q

(ingreso total)(coste total)

a) Calcular la cantidad de equilibrio algebraicamente y graficarnente en el punto"break-even point" (TR = TC)

b) Calcular el valor total del ingreso y coste total en el p un to "break-even point".

12. Dada la condicion para el equilibrio del ingreso nacional Y = E, Y la ecuaci6n degasto, E =C donde C = Co + bYa) Describir las constantes Co y b. z,existe una restriccion para el rango de valores el

cual b puede asumir?

-2-


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b) Encontrar una expresi6n para el nivel de equilibrio del lngreso (forma reducida).c) Deducir como el nivel de equilibrio del ingreso cambia si :

(i) b crece(ii) b decrece.

13. Dado el modelo de ingreso nacional Y =0 E ; E =C + I donde C =280 + 0.6Y ,1 0 =80 :a) Encontrar los valores de la ordenada en el origen y la pendiente de la ecuaci6n de

gasto.b) Graficar la ecuaci6n de equilibrio yla ecuaci6n de gasto sobre un rnisrno diagrama.

As! determinar el nivel de equilibrio del ingreso Ye (i) graficarnente, (ii)algebraicamente.c) i,C6mo el nivel de equilibrio del ingreso cambia si la propensi6n marginal alconsumo crece a 0.9?

1 4. Dada las siguientes funciones cuadraticas :(a) P = = _ Q2 (b) P = - Q2 + 4i) Graficar cada uno para -3 < Q < 6 indicando.

Los puntos de interseccion con los ejes Las raices de la cuadratica Puntos de retorno.

ii) Calcular los puntos de intersecci6n con los ejes algebraicamenteiii) i,Cual es la relacion entre los graficos (a), (b) y (c)?

15. Las funciones de oferta y demanda para un mercado en particular son dados porIaecuacion:

ya) Graficar cada funcion sobre el intervalo de Q = = 0 hasta Q ==5.b) Encontrar el precio y Ia cantidad de equilibrio grafica y algebraicamente,

16. La funcion de demandapara un monopolista es dado porIa ecuacionP==50-2Q

(a) Escribir la ecuacion de la funcion del ingreso total(b) Graficar la funci6n del ingreso total para O:S;Q :s ; 30(c) Estimar el valor de Q'para que el ingreso total es maximo y estimar el valor maximo

del ingreso total

-3-


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17. La funci6n de demanda para un bien es dada como Q '" 65 - 5p. EI costefijo es $ 30.y pot cada unidad producida tiene un coste adicional de $ 2.a) Escribir las ecuaciones para el ingreso total y coste total en terrninos de Q.b) Encontrar los puntos "break - even" (TC =TR) algebraicamentec) Graficar el ingreso total y el coste total sobre un mismo diagrama, asi estirnar los

puntos "break-even".

18. Dibujar el grafico de (a) y '" x3 y (b)y = _x3 sobre \-Inmismo diagrama. Desde estegrafico estimar los puntos de retorno y las ralces de la ecuacion cubica. compare lagrafica de (a) y (b)

19. Dibujar el grafico de los siguientes :a) y =0..5 x3 - 5x2 + 8.5x + 27 b) y = -:-O.5x3 - 5x2 + 8.5x + 27.Del grafico estimar :i) los rai cesii) los puntos de retornoCompare el grafico de (a) y (b)

20.. La funcion de coste total de una firma es dada por la ecuacion, TC = Q2 . La funciondemanda para el bien es P =90. - Q.(a) Escribir las ecuaciones para el ingreso total y el beneficio. Calcular los puntos

"break - even".(b) Graficar las funciones de ingreso total y coste total sobre un mismo diagrama

para 0.:::;Q :::;12, mostrando los puntas "break-even".(c) Estimar el ingreso total y coste total en el punta "break-even"(d) Del grafico estimar el valor de Q para el cual la firma tiene :

i) beneficio ii) Perdida.(e) Del grafico estimar el beneficio maximo y el nivel de produeei6n para el cual el

beneficio es maximizado.

21. Resolver las ecuaciones :b) e5x=_J_e X -5 d) 5+2et =~+5e e

22. La poblacion de un pueblo rue 753 en 1980.. Si la poblaci6n crece de acuerdo a laecuaci6n P = 753 e003tdonde P es el numero de personas en la poblaci6n en el tiempo t.a) Graficar la ecuacion de la poblacion para t = 0 (en 1980) a t = 30. (en 20.10.).

Del grafico, estimar la poblacion en los afios i) 1990. Y I i} 2 ,0.0 .0 ..

-4-


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b) Confirme su respuesta algebraicamente.c) (,En que ana la poblaci6n sera 1750 personas?

23. Con la definicion de la funcion In, parte c) del problema 22). Dado:P=753e003t

Encontrar t cuando la poblaci6n es P = 1750

24. Resolver las siguientes ecuacionesa) log (x + 2) = 2.5c) ex+5 =1.56

b) 2In(x) +In (x + 1) = 0d) 2x.2x+I=7

25. Trasladar y = 1..xa) 0.23 unidades a la derecha y hallar su grafica y ecuaci6n.b) 3 unidades hacia arriba y hallar su grafica y ecuaci6n.

26. La funci6n de demanda para un bien es dada por la ecuacion Q + 1= 2 g 0 Y laecuaci6n de oferta es la funci6n lineal P = 5 + 0.5 Qa) Escribir la funci6n de demanda en laforma P = f (Q)b) Graficar las funciones de oferta y demanda sobre un mismo diagrama para

-1 : s; Q : S ; 20Del grafico estirnar el punto de equilibrio. Confirme su respuesta aigebraicamente.

Pando, 17 de Abril del 2010

-5-


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MATEMATICAS PARA ECONOIVIISTAS 1 (MAT 136)PRACTICA DIRIGIDA No.1Profesor: Ramon Garcfa ..Oobian (0101)2002-1 .1.- Representar graficamente las siguientes funciones. - - _a) y=-x 2 + 5x - 2 " "F

o 2. l,Cual es el dominio de las siguientes funciones?1a) y---;==-~ . 1 .b) / Y = --;===----'--'- ~1 - x 2 -1 xc) Y=2 1x -

, ,3. HaUq('la soluci6n de equilibria para cada uno de los siguientes modeloa",':;:;t~i:

a) O d =Q.Q d = 3 _ p'Q. = 6p - 4

b) Qd=Q.Qd = 8 - p2Q. = p2 _ 2

4.f;~{ipir los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial. 'tL3 { ';;;;~ ,~ :!: .' .,.,,':', ' ",'-, 'a t ' l ~ ~ r+6x2 + 2X3 = 4 4 \ ' Z , . ' b) UllX, + a12x2 +a13x, = b,.,.,.,... , ',- - ,. r , ,~" ., ~,,-, t'2x. +8x2 - 4x3 = 24 L. 'I' --r anx 2 -a~x3 = b2SXI +2X2 + l Ox, =20, ' ~ a31x1 ~a33x~ ..r bl

5. Dadas A = ( : - ; )a) A+ B b)C-A

B = @ : _ ~ ) yc) 3 A

c = ( ! ~ ) . h allar :d) 48 +2C

~) 2AB+C {.~ 1'\ .!lJ - Be + 2ABC3


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6. Oados

a} (_Cuales de los siguientes productos estanbien definidos: w 'x , x'y", xyl) zzt I xy?b) Hallar tcdos los productos que esten bien definidos. /.

7. Determinar cuales de los siguientes conjuntos de vectores de IR 4 son linealmenteindependientes1 1 1 0 1 (~~ J '0 0 ( < a) I b) 'l~ .41 1 -10 1 0

.8. a) Escribir (2,2) como combinaci6n lineal de (1,2) Y(1,4).b} Escnbir (1,2,3) como cornbinacion lineal de (1,1,0) ,(1,0,1) Y (0,19. Verificar si los siguientes vectores

generan IR 3 "' Zo

10. l.Cuales de las siguientes familias de vectores son bases de IR3?

Pando, 06,de abriJ20()~A!~


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=:= . -==~~_STUDIOS .'GENERALESlTRAS

"MATEMATICA S PARA ECONOM IST A S I. (MAT136)

Horarto: OJ02 . 0668

Sabado, 10 de Mayo del 2008

E X A M E N P A R C I A LD E

M A T E M A T I C A S P A R AE C O N O M I S T A S 1

Duracion: Dos horas cincuenta minutos

El ordeny Ia claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de Iaprueba.

Se puede usar: calculadoras personales. Todo trabajo debe sermostrado. . La evaluaci6n maxima es 20 puntos.

Profesor:Armando Blanco Del Rosario

..:._1-


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I.AHace algU~ tiempo usted formulo e1 siguiente modele lineal para laI . demanda __~_=~~o!- :~ ; i}+-? ' ; ; !~~I dondE(CZ)3sa demand;ensu~ de novelaseh linea para Perezl.ibros.com,.1 a un precio p d61ares cada uno.I - f '< C i .I Use este modelo para expresar los ingresos mens:uales como funcion delG pre.CiO u?'.tario . .. .p, y CO~ _8 .1 d.t~~in~~~~~~ __!ue_~=?_~_CO.brarparaobtener1l1,gr~f?q~~~s_~m.os. -..-. Q= (-bCp-r~.sc)p 1'K.:-bCpI tq~9 (2.6puntos)

-nLfl - = - \>" 6)Las funcione~ de oferta y demanda de un determinado _PJ_o_ductoon:

q8(p}=12p-4 , qd(p)=8-4p-I Si a este producto seJg_g1'_a,ya__conna tasa T; l.Cua! seria e1 precio de. ventay la cantidad vendida, ambos de equilibrio? -.-_.- ...---.---.--...-.~~--.(- (2.5puritos)1_ ' ; .12R -~"2.t - : r t f 4 p _ 3t.:: n ., . - - . , ~4 ~ \~,0~:::3,~t: b (y. t : y)Considere el modelo ~acroecon6mico~ I\,../ J ,)' - . . J l t-., _ c,o~r,;r_ o Y ' { ' ) C: b,-9 Y

Y=C+{o+G /4'.r)C=l/Y-T) , T=tY ' W : - ' f ~ '- t 1 ]. ) v " " \} Q[ SvS l t)'{_I, .dande b ,E JO,1[, y t E JO,l[ son parametres, y Tdenota impuestos.. C~ by Ci-t)a) Expresar Y y C en terminoe de 10 ,G, y los parametres.IIb) l.Que ocurre a Y y C cuando t crece?

'( ~ b(Y -T ) + 1, + G (2.5puntos)

'tf u - - ~ - b )

1IIf. . ) < " ' ! ~( _':".:,--~-...:._', I. "

l~)r ..

\ ' 2 . , , , ' : : , '1' 0'Lx 1 " . c:'\'i8)(.4- )

_ p. ' : < _ ~i? (2.5puntos) v{, 7 :_0~"' ) ;"'-/ 1 6 .jL~] I';{:J ?,"1.(" .~) \. . , , _ ~ .f , ~:}.,. ~

g . ' . J


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~ - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,J I /\ 2 > . , 2 r(x + f;x) {(x)"r>(X)=X -x+2. Mostrar que, f;x - ==2x-l+Ax y usar esteresultado para encontrar f'(x). Ademas, hallar el valor de x para el cualI f'(X)~Oi (2.5 puntos)r - - ' ~ , , - - - - - - - - - - ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ _ ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - '! .~ i.Para que valor dea es la siguiente funcion continua en JR2?

{ax-":l{(x)= 23x +1

, ~~1: . ; ;x>l

(2.5 puntas}

Calcular la derivada de las siguientes funciones:a) (ex) = = Xl~5

v . . .1 Ic) h(x)=(xln(x)}~X) "

iny-h'l)((2.5 puntas)

"!

l\/Sea A(:r) ~den~ta e1coste en dolares de con~truir una casa con x metros/" ~uadrad~s de area. i.Cwiles la interpretacion de A'(lOO) = 250 ?

(2.5 puntos)

f ) t-;~\,tV \ 10)~- -. I

, I(5)


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PONTIFICIA U~TVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

, (MAT -136)(0101)

II

Sab ado, 19 deiNoviembre del 2005

PRUEBA' ,-PREPARATORIA DE_ ,.~IATEMATICAS

PARA ECONOMISTAS,1, .

Duraci6n: Dos horas

,.i+ 'El orden y la,claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba, Se puede usar: CaIculadoras personales.'. Todotrabajo debe ser mostrado. La evaluaci6n maxima es 20 puntos. La formula de evaluacion es: Nota='min{20,E} donde E es el puntajeacumulado por su mejor respuesta dada a cada pregunta.

Profesor:Armando Blanco del Rosario

"" .~~~


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01. Las funciones de demanda y oferta d~ un bien es:C(~ r' ( L a c)(furicion de demanda) P = 200 - 5~' . . . . + ) ; , . / , " ,(funcion de oferta) P = 92 + 4Q . . . V--5qa) Calcular el precio y cantidad de equilibria.b) Bosquejar e1grafico de las funciones de demanda y oferta en tU1 mismoeje de coordenadas y mostrar el equilibria.

(3.5 puntos)

02. Calcular los siguientes lirnites (si existen) 7 -'?G jla) r .2.-2 b) lim 2.:c.;.1 c) lim l-x-.:c2 XIm- \ .:c-3 3 ':" 2 ,,; 2 -.'-.-----~x -+ 1 x3_1 x-++ 'Xl ;:::-+2" .' '1 '1~ 2 ' > ( .L_)L xPl'1 r \ e_. 1 - )v.Dpuritos'J i I( / ,I .I03. Estudiar Ia derivabilidad de la funcion 1 .~lc f -

g(x) ~ { (x-I)' - -'/7: -~x:s;l - -i I .._ -, --J--

.x-I , x>l.< (3.5 puntos)- "

IL

SQ'Dar una canfirmaci6n grafica del signo del multiplicador CdPara e1model a de mercado lineal.

P=aQ-" :-b . (a>O ,b>O) ; P=-cQ+d (c > 0 d > 0)L 1 r r - .-'t- "-\ < ... '\l .1 . . .. .. . \ 4 . 1 - ~~.~'1 .(3.5 puntas)

Adema h'all f alf . oQ'(.emas, . ar en orma an It1Ca.ad .

Usando difer enciales. Hallar e1valor aproximado de: {l.OI) x ( 1 . 9 ~ d ') . .Si l(x,y) =X xy.

(3.5 puntas)~ '1 .. + l-1. -r1 " l ' -'l.. -t-~~'6. Probar que la expresi6n F (z, y, z, t) = ;;2yt+3xt3Y+2(x+z)2y3_6";"Odefine a la variable t implicitamente como t = (x., y, z), en una

vecin dad de (xo ,Yo ,Zo ,to)=(1,1,0,1).at at atHallar: ox ' 8y Y a; en e1punta (xo ,Yo r zo) = (1,1,0) .(3.5 puriios)

;\.,Paride, L9 de notiiembre del 2005

2 ,.._ ,. . _,.< ,_

\ ~ X [ ~ ~ ~ ? ~ ~ i ~ ~ : ~ ? i k ? B Y 1 & ~ * ~ ~ ~ ~ ~ ~ j ~ i 1 ~ i l g ~ ~ y : : }~ ; , ~ ~ p ~ : ~ ' , , : : : . ,. ' .


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ESTUOIOSGENERALESLETRAS.---,._,...., .., , _ . . . .'-

Lr - ~ 2 .

MATEMATICA S P AR A ECO NOMISTA S I(MAT- 136)

Horario: 0 i 1SEGUNDA PMCTICA C. .U.IFI_CADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). - El orden y la c1aridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR S6LO 04 PREGUNTAS01. Encontrar los siguientes lfrnites: (Si existen)

a) 1 . J x -1Im--_x-,>,1 X-l . x3-2x2+4x-8b) Iim--"-2---'---x-+2 x +x-6

.. ,. f2x2-x ,x , ~ . ' ; , : .. 3 : y=g(x) i !: : - - - - - t - : ----1------1-; 1--

x 2. : : . : ' : J : : . : ; : L . : : . ; . .: 1 i ! i1 : : : : - - - 7 - ! - - - - I - - - - - i- - - - - : - - - -

- . . . i . . -v -i - - , .. . ~ - . . - . ~ - -- . . ..

" - ~ - " ' - - - ' f .- ~ t 'l.L.: :2 I I' + " " ' r " " + " + 3. . i . . + ~ " ! " ' + - 4

a) lim [{(x)g(x)]x-,>,o+ I,

e) lim [((x) + g(x)] Ix-,>,3-(04puriios) I

I-----".---.....,~

b) lim [((x)g(x)]X--i>O-

c) lim [((x)+g(x)]x-,>,-2. d) lim [{(x) +g(x)]x-,>,l e) lim [f(x) g(x)]x-,>,1

PONTIFICIAUNl~ERSIDADCATOUCAD E L P E R U

2010-1

II

x


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r - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - ~I3. .Hallar todos los pares de numerus reales a y b que verifican simultaneamente:lim ~ax2 + bx +1-13x-o>o x y

(04puntos)'--------_._1---' --~,.1 04. Sea

IJ

~I .

, x~O

, x~l

Obtenga las constantes a y b de modo que f sea continua en x =0 y x =1,y gra-fique esta funeion.(04puntos)

Encontrar e1valor de a (aE IR) de modo que:lim f{x) exista si:x-o>l

{

x3 _ a3x-af(x)= V"i-~. . x-a

x>lx


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I j::STUDIOSGENERALESlETRAS....,._ ._ _ _ ~H" " ... _,I pot ' -~TrFlC: iA. UNfVERSID"lU)I,(:ATO.'~JCADE L P ERU

J

MAT EMAT ICA S P ARA ECONOMISTA S I(MAT- 136)H o r a r i o : O I O I

SEGUNDA PMCTICA CALIFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. 2009-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR S6LO 04 PREGUNTAS

r-'usando una tabla decir si existe .1imh(X)do:de: --- -_ . ,I U1. x~o. 1 . r x 2hex) = 1 1.3 x

-2


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04."-,---~~"~~-"---=-.-,'-~--"-~~-'-'-'~-'~--="~'~'--'--'-ISe define la funci6n: I

Ir 2x, x


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ESTUDiOS'GEN~RALESLETRAS

- PONTIFICIAUNIV:ERSIDADCATOLICADEL P ERU

)

MATEM ATICAS PARA ECONOM ISTAS I(MAT- 1 36)

Horatio: 0668SEGUNDAPRACTICACAUnCADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0668). El orden yla claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba.+ Tiempo: 1 hora can 50 minutos.+ Se puede usar: calculadora personaL

.2009-1

CONTESTAR SOLO 04 PREGUNTAS/

01: Calcule ellimite indicado, dado que lim ((x) = 3y lim g(x) = 4:. / x4a x~a

b) lim 2{(x) - g(x)x~a ((x) g(x) c) li~ ?j5{(x)+3g(x)x-c>aa) lim ({(x)-g(x))x4a

j, .(04ptintoe}

~. Calcularlos siguientes limites, (si existen).

)I, x - 4a lID---x--+42- vr; b) lim ( x ~ a - 26_9)x --+3 x c) lim (2x+3~3(3X-2)2x-++oo x + 5(04puntos)

03. Calcular los siguientes limites. (si existen).

Sl {X+2 ,((x) = . x3 , x:sO

x> Oa) lim ((x)x-c>O+

1b) Ii 2x + 3lill+-~-X-10 3x +2

(04puntoe)-----' . .-_.------...: ._._------_--'-1-


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Dada la funci6n siguiente, determine los valores de a y b de modo que f(x) seacontinua en todo IR.

{

X2+ax-2 x:;t:lr e x ) = x-I b ', x=l(04puntos)

05. ",Sea f: m -+ m una funci6n continua en e1 punta X o = -4. Se define


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PO NTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6uCA DEL PERUESTUDIO S G ENER ALES LETRA S"

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS I(MAT - 136 )

"Horario: 0668SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0668) 2008-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puedeusar: calculadora personal.


01. Caleular los siguientes limites, si existen.. . 2) li l-cos (x)a m 2x--+o x b)'lim.Jx-1x--)ol x-ld) lim ( . 1 - - t )X--)oO x x

(04puntos)

\/

02. Supongamos que la funcion f es defllllda s~breel conjunto A~ m, as!, 1 f;A-?R, a e Ili .

Decidir si cada afirmaci6nes verdadera 0 falsa. Si la afirmacion es falsa,justificar su respuesta dando un ejemplo:a) La funci6n f no tiene que estar definida en x = a .para que lim {(x)exista.

b) Supongamos que f es definida en el punta x = a, (i.e. a ,EA), entonceslim f(x) debe ser igual a f(a).

c) Si ambos lim f(x) y lim f(x) existen, entonees lim f(x) existe,x--)oa- x--)oa+ x--)oa

d) Si lim {(x) existe, entonces lim {(x) = lim {(x).x--+a x--+a- x--+a+(04puntos)

-1-

. "


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,.Calcular los siguientes lfmites si existen:a) lim (Zx+l)(:+5)(X-3)

x~-ao x +92b) limx2-4x+3

x~3+ x -6x+9 \

c) lim ~3X-5x~+ao x - 2 i.,-(04puntosJ

04. Una ,llamada de marcacion directa de Savannah, Georgia a Atlanta,Georgia cuesta $0.10 por el primer minuto y$0.07 por cadarninutoadicional 0 fracci6n de minuto. Si\\C,; , e e f Y ' ! es e1 cargo poruna Hamadaque dura t minutos, construya una'taoIade los cargos por llamadas conuna duracion de casi 1minute y usela para encontrar los siguienteslimites, si existen.

a) lim Ctt)t-l-l- . b) lim CCt) ,t-l-l+ c) Iim Cfz)t-l-l(04puntos)

,;-05. Bosqueje, lomejor que puedaz.Ia graficade una funcion que satisfaga,todas las condiciones siguientes:a) Su dorinioesel intervaloIu.d] ,

" b ) "1(0)"= f(l) ~ l(2} ~f(3);;{(4) ~1-,c) lim f(x) = 2X-l-l ' 'd) limf(x)=lx-+2,e) lim : r e x ) = 2

X-l-3-'f) lim f(x) =1

, ' 'X-l-3+" "

(04puntos)

Pando, 27 de septiembre del 2008

-2-


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIO SG ENERA LES LETRA S.

MATEMATICAS PARA ECO NOMIST AS. I(MAT- 136 )Horario. 0668

SEGUNDA PMCTICA CALIFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0668) 2008-I+ El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba,+ Tiempo: 1 hora can 50 minutes.+ Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 4- PREGUNTAS

si xO

(04puntoe) .

-1-


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03. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientosde euros) enrelaci6n can e1valor x (en cientos de euros) de 10 vendido porcada uno, Dicho incentivo sigue la funcion:

_{ .. O.Olx , si 0~x~100((x) - 3o .x 100, 2x +2300. 'l Sl X >

a) Estudiar la cantidad ((x). Indicar .si e1 incentivo recibido pot unempleado es sensiblemente distinto si e1 valor de las ventas esligeramente superior 0 inferior a 10000 euros.

b) l.Cu~i1s la cantidad maxima que un empleado podria recibir comoincentivo si sus ventas fueran muy grandes? (Justifique su respuesta)

(04puntos)

c04. a) Aplicando 1adefinicion de derivada, calcula f'(3) siendo:{(x)::: 2 \ - 3

b) La ecuacion de la recta tangente a tina fu.n6ron:,f ' (x) enel punta; de;'abscisa x=2 es 4x:'_3y+l:::0 l.CuaJ.eselVa16rd:ef'(2)'?~yelde f(2)?,

I04puntos)05. Sea TC(Q) den~t~el coste total de producir Q unidades por mes de un

bien. l.Curu es la interpretacion deTC~(100) = = 3D?:Supongamos e1precioobtenido por unidad es fijado en :r5 y 1a producci6n por mes es de 100- ,unidades. l.Esposibleaumentar laproducci6n? (Justificar)

(04puntos)

Pando, 26de Abril del 2008 .

-2-


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ESTUDIOSGENERALESLETRASPONTIFICIAUNI~ERSIDADCATOLICADEL P ER U

MATEMATICAS PARA ECO NO MISTAS I(MAT - (36)

Horario: 0 I 0 IPRlMERA PRAcTICA CALIFICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). 2010-II+ El orden y la c1aridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba.+ Tiempo: 1 hora con 50minutos.+ Se puede usar: calcu1adora personal.


01. Supongamos que las ecuaciones de oferta y demanda para e; mere:o' ~e' : - ; : l . .bro de texto son:q8=10+50p lqd =200-30p

#Hallar el precio y cantidad de equilibrio sin impuestos.$Supongamos que el gobierno impone un imPUes.tode 3 dolares por libro de!texto que el vendedor debe pagar. . .

lCu81es son los precios y cantidades de equilibria?c) lComo se distribuyen los 3 d61ares de impuestos entre el consumidor y pro-ductor segun b)?

(04puntos)

- - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - . - - . - - . - . - - - - - - - . - .. - . - -. - - - - - - - - - - ~ - - -02. Sea el modele de ingreso nacional.\

Y=C+lo+GC =lO+i(Y -To)G=tY

.IIdentiflque las variables end6genas y las variables exogenas.MHallar la propension marginal al consumo. ..Encontrar e1equilibrio del ingreso nacional.i f i.Que restricciones son necesari as para una solucion razonable en economia?

. (04puntos)

-1-


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La funci6n de demanda y oferta de un modelo de mercado dos bienes son dadascomo:

Qt = = -45 +P1Q~ = -40 +5 P2dHanarel equilibrio del modelo.''1f~on estos bienes sustitutos0complementarios?(04puntos)

I.-. ~-------------, ..-,~-

7~ada las funci~:es de oferta y demanda

r P = = Q2 +12Q +32 (oferta)p=_Q2 -4Q+200 (demanda)~akUlar el precioy cantidad de equilibrio.IIosquejar la grafica de las curvas de oferta y dema~da en los mismos ejes de!oordenadas.

(04puntos)

05. Siel coste fijoes-:'-:;:ste variable por unidad 4, y la funcion d : = : : - lP=24-'2Qa) Hallar el beneficio 0ganancia en terminos de Q.b) lPara que valores de Q no se gana ni se pierde?e) leual es elbeneficio maximo? Ademas hallar el preeio y eantidad para elcual ocurre el beneficio maximo.

(04puntos)

Pando, 11de septiembre del 2010

2


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ESTUDIOSGENERALES,~~.:rRA~ ,

PONT IF IC IAUN'~ERSIDADCATOUCA D. El P E RU

MATEMATICAS PARA ECONOMISTA S I. (M AT- 136)Ho ra rio : 0101

SE GU ND A PM .C TIC A C A LIF IC A DAProfesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). 2010-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal,


01. Encontrar los lfmites siguientes de las funciones, (si existen)1 7 /i 2I~/ lim (~x2 +2x _'[;:2 +x) - = 1- f lim x2 -3x-4 '"d./ x~+oo 1 . . . x- -?4 x -2x-8 "I,( x )lim --. x->O x2 + ]] " 1

(04puntos)

/A , l Considerar {C X ) = { X 2 +3 , x:s;l~. x+l,x>l/ y,,\ X .; . , \Calcular (si existe) I!~~((x) x g(x)] y

;{ lim[{(x)-g(x)] -jx--?l I

{X2 , x::;;1y considerar g(x) = =. 2, x>l)( fly:> (c..-...._1-_ ..__ >y

1!n:J_fi(x) +g(x)] JIc f11im [ g f( ( x ] ix-e-I x r

(04puntos)

~ Trace la grafica de una funci6n (que satisfaga todas las siguientes condiciones:b) lim ((x) =+00 /x--?-2-e) lim ((x) =: -00 ;/x~rI, h) Iirn ((x) =1x-+3+

a) lim {(x)::= 0,~\ x-+-4" : d ) , J lim (ex) =-3 ;/,_, X--?O ,g) lim ((x) =4x-+3-

c) lim ((x) = = 0x-+-2+o lim f(x)=2..~) x-+l+i) lim (ex) = = 0x-+5

j) li.m {(x)=-l /x-c+-oo /' k) lim. {(x)=5 /X--?,+OO V'I 1) {(3) = 2 (04puntos)-1-


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ESTUDIOSGENERALESL!=TR~~_

_] t' )_-1iII'---t"I---c----1-4----_2 , . : . , /01 /.

PON1IFlCIAUN"IV6ER,. ,tDADCAT UCAbEL PERU

MATEMATICAS PARA ECONOMIST AS I(MAT- 1 36 )Hora rio : 0 10 I

TERCERA PRA cT IC A CA LIF IC ADAProfesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). 2010-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.


Sea {la funci6n definida por x2 - 2 para x < 0 y por -3x2 +15 para x >1. Defi-na ((x) como una funci6n afin lineal en el intervale [0,1) de manera que {seacontinua para todo x Em. : : 1 - 2 I o!

(04puntosj

. La funci6n de oferta de una empresa competitiva viene dada por:

{

0 , p


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(04puntos)

Usando la definicion de la derivada, calcula a para que la tangente ala graficade f(x) =l!.+l en el punto (l,f(l corte el eje horizontal en x = 3.x

(04puntos)

Dada la funci6n:\ , _ , , _ , \

x< 1 ~\Jl\, _- ,,7-1


84/88

! I t '> 1Il l~I," ~ ~ '"ESTUDIOSGENERALESLETRASA _ _ ( . ., ; . . . .. . . . . _ _

PONTfF lC !AUNIXERSIDAD(:A,TOPCA. DE L P ERU

MATEMATICAS PARA ECONOM ISTAS 1(MAT~136)

Horatio. 0 101C UA RTA PM .C TIC A C AL IFIC AD A

Profesor: Armando Blanco Del Rosario (0101). '2010-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora con 50 minutos. Se puede usar: calculadora personaL


(04puntos)

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

-=:3:> 02. Hallar la recta de la tangente ala curva ((x) = t : ( : 2 ) -8x en el punta de abscisax = - t (04puntos)

. La curva de coste total de una inmobiliaria es TC(Q) =:Q3 _4Q2 + 33 7 Q .tHalJar el coste medio, AC(Q), y el coste marginal, MC(Q).' I HalJar el coste medio minimo y la produceion para el cual ocurre,

(04puntos)

-1-


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Dada Ia funcion de ingreso total de un bien:TR(Q) = _3Q2 + 1~8Q

f:,Hallar el ingreso medio yel ingreso marginal.(~squejar la g r o \ f . ica del ingreso medio y el ingreso marginal en los mismosr " ejes coordenados. .r Comentar la relacion entre el ingreso marginal y el ingreso medic.

(04puntos)

Ca1cular las derivadas de las siguientes funciones:

(04puntos)

Pando, 06 de noviembre del 2010


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ESTUDIOSGENERALES! lETRAS~

MATEMATICA S P AllA ECONOMISTA_f . ) I(l \tATm I .36)Horario: 0 10i

E X A M EN P A R C IA LD E

M A T E M A T I C A S P A R AECONOMISTAS 1

Sabado. 16de Octubre del 2010

Duraeion: Dos Iter-as eirreuerrtamirrutos

.. El ordcn y la claridad seran tomados en cuenta para la calificacion de laprueba .

.. Se puede usar.rcalculadoras personates.

.. Todo trabajo debe ser mostrado .

.. La evaluacion maxima es 20 puntas.

Pr-ofesor:Armando Blanco Del Rosar-io


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Las funciones de oferta y demanda de cierto articulo son q8 = p-10 Yqd := 5600 . Halla e1preciode equilibrio y el correspondiente numero depunidades ofertadas y demandadas. Dibuja en los mismos ejes las curvasde oferta y demanda. l..Dondecorta la funcion de demanda al eje p? J..Quesignificado tiene este punto?

(2.5 puntas)_ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . _ _ . _ i I l W l i " '" I_ I I# I . _ .~ _ . . - - ?. __ ~.- .-E-n-el-s-igu-i-~:-~-~-"--~~:~:~::nta n:~io:al"'--,c-on-....-ar-:~l:-:~ Y.1 (renta nacional), C (consume) y T (impuesto total).

{Y:=C+I+G',C=2+Q.8(Y-T)T := :1+O.2Y

Asumiendo conocidas I(inversion) y G (gasto de gobierno).a) Encontrar y'" , C'" y T'" en terminos de I y G.b) iQue ocurrecon Y*, C'" y T'" cuando G crece 0.01 unidades?

(2.5puntos)- - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - -

~ - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - ~

.-"".~~-... ~(~)llim 2 x-3 ,:::0 /,'. ,lim (~x2+x-x) .__ ' //~:; x43 3x -13x -\-12 X-HOC zwJ{im rex) si rex) = { ~-2 , x,;3r .x43 -x2+8x-14 , x>3Encontrar los limites: (Si existen)

(2.5 puntos)___ -'- .. . . _ '. . . . . . t

matemÁtica para economistas 1

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