Pertemuan Ke-6

PENJADWALAN DAN ALOKASI SUMBER DANA

PenjadwalanA. Konsep DasarPenjadwalan proyek merupakan pekerjaan yang sangat menentukan bagi manajer perangkat lunak. Dasar pemikiran adanya penjadwalan adalah sering adanya keterlambatan perangkata lunak. Hal-hal yang menyebabkan keterlambatan tersebut adalah:

• Batas waktu yang kadang tidak realistis• Perubahan kebutuhan user• Memandang rendah sumber daya dan usaha• Tidak mempertimbangkan resiko• Kesulitan teknis yang tidak dilihat sebelumnya• Kesalahan komunikasi

Dari masalah “keterlambatan “ tersebut, maka manajer harus memperkirakan waktu dan sumber daya yang diperlukan untuk menyelesaikan kegiatan dan mengaturnya dalam urutan yang logis. Perkalian jadwal akan bertambah rumit dengan adanya fakta bahwa proyek yang berbeda mungkin menggunakan metode perancangan dan bahasa implementasi yang berbeda pula

Hal- hal yang terkait dengan Penjadwalan proyek meliputi:• Melibatkan pemilahan pekerjaan total pada

suatu proyek menjadi kegiatan-kegiatan terpisah dan penilaian waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaian kegiatan-kegiatan.

• Beberapa kegiatan dilakukan secara pararel

• Harus mengkoordinasikan kegiatan-kegiatan pararel ini dan mengaturnya sehingga menghasilkan hasil yang optimal dan menghindari adanya kegiatan yang tertunda akibat belum selesainya suatu pekerjaan yang penting.

• Dalam memperkirakan jadwal ,manajer harus memperkirakan bahwa setiap tahap proyek akan bebas dari masalah.

• Membuat estimasi seolah tidak ada masalah, kemudian menaikkannya untuk memperhitungkan masalah yang diantisispasi.

• Manajer harus memperkirakan sumber daya untuk menyelesaikan pekerjaan.

B. Proses Penjadwalan

Penjadwalan proyek Perangkat lunak Merupakan aktivitas yang mendistribusiakn usaha estimasi pada durasi proyek yang direncanakan dengan mengalokasikan usaha untuk rekayasa perangkat lunak tertentu.

Penjadwalan proyek dapat dilihat dari dua perspektif yang berbeda yaitu:1. Tanggal akhir pelepasan perangkat lunak telah

dibuat sebelumnya dan tidak dapat dibatalkan2. Tanggal akhir ditentukan oleh tim rekayasa. Usaha

didistribusikan dan tanggal akhir ditentukan setelah melalui proses yang cermat.

Sayangnya keadaan pertama lebih sering terjadi dari yang kedua. Kegiatan proses penjadwalan proyek dapat digambarkan sebagai berikut:

Identify activity dependencies

Estimate resources

for activities

Allocate people

to activities

Create projectcharts

Identify activity

Resources requirements Activity charts

and bar charts

Gambar Proses Penjadwalan proyek

Ada beberapa dasar untuk membuat penjadwalan proyek perangkat lunak yaitu:• Pembagian

Proyek harus dibagi-bagi ke sejumlah tugas dan aktivitas yang dapat dikendalikan

• Saling KetergantunganTugas-tugas harus saling tergantung dan harus dapat dilakukan secara pararel dan berurutan. Sedang aktivitas lain adapula yang tidak saling tergantung.

• Alokasi WaktuSetiap tugas yang dijadwalkan harus dialokasi dalam sejumlah satuan kerja (missal person-day usaha). Stiap tugas harus ditentukan tanggal mulai dan tanggal selesai yang merupakan fungsi saling ketergantungan.

• Validasi KerjaSetiap proyek memiliki sejumlah staf tertentu. Pada saat alokasi waktu dilakukan manajer proyek harus memastikan bahwa tidak ada kelebihan alokasi jumlah manusia pada saat tertentu

• Batasan tanggung jawabSetiap tugas yang dijadwalkan harus ditugaskan kepada satu tim anggota tertetu.

• Batasan KeluaranSetiap tugas yang dijadwalkan harus memiliki keluaran tertentu. Keluran biasanya dalam bentuk hasil kerja yang dikombinasikan dengan deliverables.

• Kejadian penting yang ditentukan.Setiap tugas harus dihubungkan dengan kejadian penting proyek. Kejadian penting diselesaikan bila satu atau lebih hasil kerja sudah dikaji kualitasnya dan telah disetujui.

C. Metode Penjadwalan

Untuk membuat penjadwalan terhadap suatu proyek perangkat lunak, ada dua metode yang dapat digunakan yaitu :

a. Diagram BatangDiagram batang menunjukkan siapa yang bertanggungjawab untuk setiap kegiatan dan kapan kegiatan tersebut dijadwalkan dimulai dan berakhir.

b. Jaringan KegiatanJaringan kegiatan menunjukkan ketergantungan diantara kegiatan-kegiatan yang membentuk proyek.

Kedua metode tersebut dapat dibuat secara otomatis dari database informasi proyek dengan memakai tool manajemen proyek missal Microsoft Project.

Contoh:

PEKERJAAN DURASI (HARI) KETERGANTUNGAN

T1 8T2 15

T3 15 T1 (M1)

T4 10 -

T5 10 T2, T4 (M2)

T6 5 T1, T2 (M3)

T7 20 T1 (M1)T8 25 T4 (M5)T9 15 T3 , T6 (M4)

T10 15 T5, T7 (M7)

T11 7 T9 (M6)

T12 10 T11 (M8)

Tabel Durasi dan ketergantungan pekerjaan

Lihatlah serangkaian kegiatan yang terlukis di table DIATAS dapat dilihat bahwa• Pekerjaan T3 bergantung pada Pekerjaan T1

yang berarti bahwa T1 harus selesai sebelum pekerjaan T3 dimulai. Misal T1 merupakan perancangan komponen dan T3 merupakan implementasi dari rancangan tersebut.

• Saling dan durasi yang diperkirakan untuk suatu kegiatan diketahui, maka jaringan kegiatan yang menunjukkan rangkaian kegiatan dapat dilihat pada gambar DIBAWAH INI yang menunjukkan kegiatan-kegiatan apa yang dapat dilakukan secara pararel dan yang mana yang harus dilakukan secara urut karena ketergantungan dari kegiatan sebelumnya.Kegiatan direpresentasikan sebagai persegi. Patokan (milestone) dan deliverable proyek ditunjukkan dengan sudut bulat. Tanggal menunjukkan tanggal dimulainya kegiatan.

START

T1M1 T3

M4

T9

M6

T11

M8

T12

FINISH

T10

M7T5M2

T2

M3T6

T7

T4

M5

T8

4/7/99

9/9/99

25 days

10 days

10 days

18/7/99

8 days

15 days 15 days

7 days15 days

5 days

20 days

15 days

10 days

15/8/9925/7/99

25/7/99

4/8/99

11/8/99

5/9/99

Gambar Jaringan Kegiatan

• Pada tool manajemen proyek ini semua kegaiatn harus berakhir pada patokan. Suatu kegiatan bisa dimulai ketika patokan sebelumnya (yang mungkin tergantung pada beberapa kegiatan) telah dicapai.

• Sebelum maju dari satu patokan ke patokan yang lainnya, semua jalur yang menuju ke patokan tersebut harus telah selesai. Contohnya, pekerjaan T9 tidak dapat dimulai sampai pekerkjaan T3 dan T6 selesai. Kedatangan pada patokan M4 menunjukkan bahwa pekerjaan-pekerjaan telah selesai.

• Waktu minimum yang dibutuhkan untukmenyelesaiakan proyek dapat diperkirakan dengan memperhitungkan jalur terpanjang pada grafik kegiatan (jalur kritis).

• Dalam kasus ini diperlukan waktu 11 minggu atau 55 hari kerja. Pada gambar DIATAS jalur kriris ditunjukkan dengan garis tebal. Jadwal keseluruhan proyek tergantung pada jalur kritis, Ketidak tepatan dalam penyelesian kegiatan kritis akan menyebabkan “tertundanya” proyek.

• Dilain pihak, penundaan kegitan yang tidak berada pada jalur kritis tidak menyebabkan ketidaktepatan jadwal keseluruhan. Contoh, jika T8 tertunda, maka tanggal selesainya proyek tidak terpengaruh karena T8 tidak berada pada jalur kritis. (ditunjukkan dengan batang yang diasir). Gambar DIBAWAH ini menunjukkan cara alternative dalam merepresentasikan informasi jadwal proyek. Gambar tersebut merupakan diagram batang (sering disebut GANTT, sesuai penemunya) yang menunjukkan kalender proyek dan tanggal dimulainya dan selesainya kegiatan.

Gambar Diagram Batang Kegiata

Pada gambar diagram batang diatas, diikuti oleh batang terasir yang panjangnya dihitung dengan memakai alat Bantu penjadwalan. Ini menunjukkan adanya flesibilitas pada tanggal penyelesaian kegiatan. Jika suatu kegiatan tidak selesai tepat waktu, maka jalur kritis tidak akan terpengaruh sampai akhir periode yang ditandai oleh batang yang diasir. Kegiatan yang berada pada jalur kritis tidak memiliki marjin untuk kesalahan dan dapat diidentifikasi karena tidak mempunyai batang diasir.

• Selain mempertimbangkan jadwal, manajer proyek harus mempertimbangkan juga sumber daya dan khususnya staf bagi kegiatan proyek. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar DIBAWAH INI dan gambar BERIKUTNYA. Pada gambar tersebut menunjukkan staf tidak harus diberi tugas sepanjang waktu pada proyek. Selama waktu kosong, mereka bisa jadi berlibur, bekerja di proyek lain, megikuti kursus, dsb.

Gambar Alokasi Waktu dan penanggung jawab

• Pada akhirnya, jadwal proyek awal akan menjadi tidak benar. Seiring berjalannya proyek, waktu hasil estimasi harus dibandingkan dengan waktu yang sebenarnya dihasbiskan. Perbandungan ini dapat dipakai sebagai dasar revisi jadwal untuk bagian lain dari proyek tersebut. Ketika angka-angka yang benar telah diketahui, diagram kegiatan harus ditinjau. Selanjutnya kegiatan proyek berikutnya dapat disusun ulang untukmemperkecil panjang jalur kritis.

Alokasi Sumber Dana

Pentingnya Manajemen Biaya Proyek• Proyek fabrikasi mempunyai track record yang buruk

dalam hal penggunaan biaya untuk mencapai sasaran proyek

• Hasil studi yang dilakukan oleh CHAOS menjelaskan bahwa sejak tahun 1995, rata-rata penggunaan biaya mencapai 189% diatas perkiraan biaya asli 100%, namun mengalami peningkatan hingga 45% pada studi yang dilakukan pada tahun 2001.

• Pada tahun 1995, proyek fabrikasi yang tertunda (dibatalkan) mencapai $81 milyar.

Biaya dan Manajemen Biaya Proyek• Biaya adalah suatu sumber daya yang dikeluarkan

untuk mencapai suatu sasaran yang bersifat khusus • Biaya-biaya biasanya diukur dengan satuan uang

seperti rupiah, dolar atau mata uang lainnya.• Manajemen Biaya Proyek adalah suatu proses atau

kegiatan yang diperlukan untuk memastikan bahwa proyek akan dapat diselesaikan dalam suatu anggaran yang telah disetujui.

Proses dalam Manajemen Biaya Proyek

Proses yang dilakukan dalam manajemen biaya proyek meliputi :

• Perencanaan sumber daya : menentukan sumber daya apa saja yang digunakan dan berapa jumlahnya.

• Estimasi Biaya : menyusun suatu perkiraan biaya-biaya dan sumber daya yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu proyek.

• Penganggaran Biaya : membuat suatu alokasi perkiraan biaya secara menyeluruh ke dalam rincian pekerjaan untuk menetapkan suatu baseline sebagai ukuran kinerja.

• Pengendalian Biaya : melakukan pengendalian terhadap perubahan-perubahan pada anggaran proyek

Prinsip Dasar dalam Manajemen Biaya Proyek• CEO (Chief Executive Officer) atau manajer eksekutif

perusahaan sebagai salah satu stakeholder proyek yang sangat penting perannya, biasanya mengetahui lebih banyak tentang keuangan perusahaan, namun sedikit mengetahui tentang IT. Sehingga manajer proyek IT harus dapat menjembatani antara kebutuhan biaya proyek dengan keuangan perusahaan dalam bahasa mereka. Prinsip yang paling mendasar untuk dapat dipahami oleh seorang manajer proyek antara lain berkaitan dengan :

• Laba : Pendapatan dikurangi biaya • Siklus Hidup Biaya : Taksiran biaya proyek secara

menyeluruh selama umur proyek• Analisis Arus Kas : Ditunjukkan dengan estimasi aliran-

aliran biaya dan manfaatnya untuk suatu proyek• Biaya dan Manfaat dapat terukur (tangible) dan tidak

terukur (intangible), langsung (direct) maupun tidak langsung (indirect)

• Biaya yang dikeluarkan tidak harus selalu menjadi criteria dalam memilih/seleksi proyek

Perencanaan Sumber Daya• Sifat alami dari suatu proyek atau organisasi akan mempengaruhi

perencanaan sumber daya. Perencanaan sumber daya ini pada prinsipnya membuat rencana kebutuhan berbagai sumber daya (khususnya material, SDM, biaya dll) berdasarkan aktivitas pekerjaan dalam suatu proyek. Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, antara lain :

• Bagaimana tingkat kesulitan pekerjaan dalam proyek tersebut ? • Apakah terdapat statemen khusus tentang lingkup (scope) proyek yang

akan mempengaruhi penggunaan sumber daya?• Apakah organisasi tersebut pernah melakukan kegiatan atau proyek yang

serupa, sehingga dapat dipakai untuk acuan penggunaan sumber daya ? • Apakah organisasi mempunyai orang-orang, peralatan, dan material yang

tersedia dan mampu untuk melakukan pekerjaan di dalam proyek ?

Estimasi Biaya• Salah satu keluaran dari manajemen biaya proyek

yang paling penting adalah suatu perkiraan (estimasi) biaya.

• Ada beberapa jenis perkiraan biaya dan alat bantu (tool) serta teknik yang dapat digunakan untuk membantu menyusun estimasi biaya.

• Adalah penting juga untuk disusun suatu rencana manajemen biaya yang menguraikan bagaimana variasi pengaturan biaya atas suatu proyek.

Jenis-jenis Estimasi Biaya :

Type of Estimate When Done Why Done How Accurate

Rough Order of Magnitude (ROM)

Very early in the project life cycle, often 3–5 years before project completion

Provides rough ballpark of cost for selection decisions

–25%, +75%

Budgetary Early, 1–2 years out Puts dollars in the budget plans

–10%, +25%

Definitive Later in the project, < 1 year out

Provides details for purchases, estimate actual costs

–5%, +10%

Tool dan Teknik Estimasi Biaya1. Pendekatan atas-bawah : menggunakan harga riil proyek sejenis yang

sebelumnya pernah dikerjakan untuk perkiraan biaya yang baru.2. Pendekatan bawah-atas : menaksir materi pekerjaan secara rinci dan

menjumlahkan secara keseluruhan untuk menentukan biaya total proyek.3. Pendeekatan parametrrik : membuat perkiraan biaya proyek dengan

menggunakan model matematika berdasarkan variabel atau karakteristik proyek.

Contoh Tool :• COCOMO (Constructive Cost Model) yang dikembangkan oleh Barry

Boehm : software yang digunakan untuk menyusun estimasi biaya proyek

Jenis-jenis Masalah Yang Berkaitan dengan Estimasi Biaya• Menyusun estimasi untuk suatu proyek yang sangat besar adalah tugas yang

sangat kompleks dimana estimasi harus dilakukan pada berbagai langkah-langkah atau aktivitas pekerjaan dalam proyek.

• Banyak orang yang melakukan estimasi hanya mempunyai sedikit pengalaman sebelumnya. Untuk menghindari hal tersebut, mungkin perlu dilakukan pelatihan dan pembimbingan penyusunan anggaran.

• Banyak orang cenderung meremehkan kegiatan estimasi ini sehingga pada akhirnya banyak perkiraan yang bias/menyimpang. Penyimpangan ini dapat dihindari dengan melakukan review/tinjauan/presentasi anggaran biaya atau dengan pendapat untuk meyakinkan bahwa anggaran biaya tidak menyimpang.

• Pihak manajemen biasanya menginginkan informasi jumlah biaya proyek dan bukan estimasi riil atas suatu proyek. Manajer proyek harus melakukan negosiasi dengan pihak sponsor proyek untuk menentukan biaya proyek yang realistis.

Contoh Estimasi BiayaDeskripsi Proyek : Penggantian Sistem Bisnis

Category DescriptionObjective Install a suite of packaged financial applications software

which will enable more timely information formanagement decision-making, easier access to data bythe ultimate end user, and allow for cost savings throughproductivity improvements throughout the company.

Scope The core financial systems will be replaced by Oraclefinancial applications. These systems include:

General Ledger Fixed Assets Ops Report [AU: spell out Ops] Accounts Payable Accounts Receivable Project Accounting Project Management

Assumptions Oracle's software provides

Minimal customization No change in procurement systems during accounts

payable implementationCost/Benefit Analysis& Internal Rate of Return (IRR)

BSR was broken down into a three-year cash outlaywithout depreciation. Costs are represented inthousands. Capital and expenses are combined in thisexample.

Analisis Arus Kas : Proyek Penggantian Sistem Bisnis

FY95

($000)

FY96

($000)

FY97

($000)

3 Year Total ($000)

Future Annual Costs/Savings

($000) Costs

Oracle/PM Software (List Price)

992 500 0 1492 0

60% Discount (595) (595)

Oracle Credits (397) 0 (397)

Net Cash for Software 0 500 500

Software Maintenance 0 90 250 340 250

Hardware & Maintenance 0 270 270 540 270

Consulting &Training 205 320 0 525 0

Tax & Acquisition 0 150 80 230 50

Total Purchased Costs 205 1330 600 2135 570

Information Services & Technology (IS&T)

500 1850 1200 3550 0

Finance/Other Staff 200 990 580 1770

Total Costs 905 4170 2380 7455 570

Savings

Mainframe (101) (483) (584) (597)

Finance/Asset/PM (160) (1160) (1320) (2320)

IS&T Support/Data Entry (88) (384) (472) (800)

Interest 0 (25) (25) (103)

Total Savings(349) (2052) (2401) (3820)

Net Cost (Savings) 905 3821 328 5054 (3250)

Penganggaran Biaya• Salah satu keluaran dari manajemen biaya proyek yang paling

penting adalah suatu perkiraan anggaran biaya melibatkan alokasi perkiraan biaya proyek ke item-item materi pekerjaan dan menyediakan suatu pedoman pembiayaan.

• Sebagai contoh : Pada proyek penggantian system bisnis di atas, total anggaran biaya untuk pengadaan hardware dan maintenance pada tahun 97 (FY97) sebesar $270,000, pemeliharaan software sebesar $250,000 dan sebagainya.

Pengendalian Biaya• Pengendalian biaya proyek meliputi :• Monitoring penggunaan biaya ; • Memastikan bahwa perubahan biaya proyek sudah tercakup dalam

anggaran biaya yang direvisi dalam pedoman anggaran biaya ; • Memberikan informasi kepada stakeholder proyek terhadap perubahan-

perubahan yang mempengaruhi biaya proyek

MANAJEMEN MUTU PROYEK• Menurut organisasi internasional untuk standarisasi, ISO, mutu

didefinisikan sebagai keseluruhan karakteristik dari suatu kesatuan yang membawa kepada kemampuan pencapaian standar kebutuhan yang disyaratkan. Manajemen mutu proyek merupakan suatu proses untuk memberikan jaminan bahwa hasil-hasil dari suatu proyek sesuai dengan standar atau sasaran yang telah ditetapkan.

Proses Manajemen Mutu• Proses dalam suatu manajemen mutu proyek terdiri atas :• Perencanaan Mutu : mengidentifikasi standar mutu yang berkait dengan proyek dan

bagaimana cara pencapaiannya.• Jaminan Mutu : mengevaluasi keseluruhan pencapaian proyek untuk memastikan

proyek tersebut sesuai dengan standar mutu yang telah ditetapkan.• Pengendalian mutu : monitoring proyek secara khusus untuk memastikan bahwa

pelaksanaan proyek telah memenuhi standar mutu serta uuntuk mengidentifikasi cara meningkatkan mutu secara keseluruhan.

• Manajemen Mutu Modern• Menitikberatkan pada kepuasan pelanggan/stakeholder• Menyukai pencegahan ke pemeriksaan• Mengenali tanggung jawab manajemen untuk mutu• Beberapa konsep manajemen mutu modedrn dikembangkan oleh pakar-pakar

manajemen mutu seperti Deming, Juran, Crosby, Ishikawa, Taguchi, dan Feigenbaum.

• Salah satu kegiatan penting dalam manajemen mutu adalah merancang mutu dan mengkomunikasikan factor-faktor penting yang secara langsung berperan untuk memenuhi kebutuhan kustomer/stakeholder.

• Perancangan berdasarkan eksperimen akan membantu mengidentifikasi variabel yang mempunyai pengaruh pada keseluruhan hasil suatu proses dalam suatu proyek.

• Banyak aspek yang mempengaruhi perancangan mutu seperti kemampuan, corak, keluaran sistem, pencapaian, keandalan, dan sebagainya.

Jaminan Mutu• Jaminan mutu meliputi semua aktivitas yang berhubungan dengan bagaimana

standar mutu uuntuk suatu proyek dapat dicapai.• Sasaran dari jaminan mutu ini adalah adanya peningkatan mutu yang

berkelanjutan.• Benchmarking dapat digunakan untuk menghasilkan gagasan untuk peningkatan

berkwalitas.• Audit mutu dapat digunakan untuk membantu mengidentifikasi bagaimana cara

meningkatkan pencapaian atas proyek pada masa depan atau sekarang.

Perencanaan Mutu

Pengendalian Mutu

• Keluaran dari proses pengendalian mutu yang utama adalah :• Pengambilan keputusan • Pengerjaan ulang• Penyesuaian proses

Beberapa tool dan teknik dalam pengendalian mutu antara lain :• analisa pareto• statistik sampling• diagram kendali mutu (diagram : p, c, R, s, x dll) Baca buku

statistika/manajemen mutu• pengujian

Upaya Peningkatan Mutu Proyek Beberapa usul untuk meningkatkan mutu proyek

meliputi :• Kepemimpinan yang memperhatikan/peduli akan

mutu• Pemahaman ongkos mutu• Memusatkan pada faktor tempat kerja dan pengaruh

organisatoris yang mempengaruhi mutu• Mengikuti perkembangan model-model untuk

meningkatkan mutu

AND PROJECT COSTING

END OF SCHEDULLING

CPM dan PERT

PERT dan CPM adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. PERT yang memiliki kepanjangan Program Evalution Review Technique sedangkan CPM merupakan kepanjangan dariCritical Path Method

PERT dan CPM keduanya mengikuti enam langkah dasar, yakni:

• Mengidentifkasikan proyek dan menyiapkan struktur pecahan kerja,

• Membangun hubungan antara kegiatan, memutuskan kegiatan mana yang harus terlebih dahulu dan mana yang mengikuti yang lain,

• Menggambarkan jaringan yang menghubungkan keseluruhan kegiatan,

• Menetapkan perkiraan waktu dan/atau biaya untuk tiap kegiatan,

• Menghitung jalur waktu terpanjang melalui jaringan. Ini yang disebut jalur kritis

• Menggunakan jaringan untuk membantu perencanaan, penjadwalan, dan pengendalian proyek.

Proses dalam CPM/PERT

1. Komponen jaringan (network component)

Jaringan CPM/PERT menunjukkan saling berhubungnya antara satu kegiatan dengan kegiatan lainnya dalam suatu proyekAda dua pendekatan untuk menggambarkan jaringan proyek yakni kegiatan pada titik (activity on node – AON) dan kegiatan pada panah (activity on arrow – AOA). Pada konvensi AON, titik menunjukan kegiatan, sedangkan pada AOA panah menunjukan kegiatan.

Pebandingan antara konvensi jaringan AON dan AOA

A datang sebelum B, yang datang sebelum C

(a) A B CBA C

A dan B keduanya harus diselesaikan sebelum C dapat dimulai

(b)

A

CC

B

A

B

B dan C tidak dapat di mulai sebelum A selesai

(c)

B

A

CA

B

C

Activity on Arti dari Activity onNode (AON) Aktivitas Arrow (AOA)

C dan D tidak dapat dimulai hingga A dan B keduanya selesai (d)

A

B

C

D B

A C

D

C tidak dapat dimulai setelah A dan B selesai, D tidak dapat dimulai sebelum B selesai. Kegiatan Dummy ditunjukan pada AOA (e)

CA

B D

Dummy activity

A

B

C

D

Activity on Arti dari Activity onNode (AON) Aktivitas Arrow (AOA)

B dan C tidak dapat dimulai hingga A selesai. D tidak dapat dimulai sebelum B dan C selesai. Kegiatan dummy ditunjukan pada AOA.

(f)

A

C

DB A B

C

D

Dummy activity

Activity on Arti dari Activity onNode (AON) Aktivitas Arrow (AOA)

Contoh:Pemerintah akan membangun rumah sakit berstandar internasional, rumah sakit tersebut akan di bangun dan harus melalui delapan kegiatan yakni: membangun komponen internal, memodifikasi atap dan lantai, membangun tumpukan, menuangkan beton dan memasang rangka, membangun pembakar temperatur tinggi, memasang sistem kendali polusi, membangun alat pencegah polusi udara, dan kegiatan terakhir yaitu pemerikasaan dan pengujian.

Kegiatan tersebut dapat di lihat pada tabel di bawah ini berikut penjelasan susunan kegiatannya:

Kegiatan Penjelasan

Pendahulu

langsungA membangun komponen internal -B memodifikasi atap dan lantai -

C membangun tumpukan AD menuangkan beton dan memasang

rangkaA,B

E membangun pembakar temperatur tinggi

C

F memasang sistem kendali polusi CG membangun alat pencegah polusi

udaraD,E

H pemerikasaan dan pengujian F,G

Gambar AON untuk proyek rumah sakit tersebut:

G

E

F

H

CA

Start

DB

Gambar AOA untuk proyek rumah sakit tersebut:

H

Pemeriksaan dan pengujian

7Dummy Activity

6

FMem

asang

sistem kendali

polusi

E

Mem

bangun pembakar

temperatur tinggi

G

Mem

bang

un

alat p

ence

gah

polus

i uda

ra

5D

Menuangkan beton dan memasang

rangka

4C

Membangun kumpulan tumpukan

1

3

2

BM

emodifikasi

atap dan

lantai

AM

emba

ngun

kom

pone

n in

tern

al

2. Jadwal aktivitas (activity scheduling)

• Menentukan jadwal proyek atau jadwal aktivitas artinya kita perlu mengidentifikasi waktu mulai dan waktu selesai untuk setiap kegiatan

• Kita menggunakan proses two-pass, terdiri atas forward pass dan backward pass untuk menentukan jadwal waktu untuk tiap kegiatan. ES (earlist start) dan EF (earlist finish) selama forward pass. LS (latest start) dan LF (latest finish) ditentukan selama backward pass.

A

Nama kegiatan atau simbol

Earliest Start ES

Earliest FinishEF

Latest Start

LS Latest Finish

LF

Lamanya kegiatan

2

Forward pass, merupakan indentifikasi waktu-waktu terdahulu

Aturan mulai terdahulu:• Sebelum suatu kegiatan dapat dimulai, kegiatan

pendahulu langsungnya harus selesai.• Jika suatu kegiatan hanya mempunyai satu

pendahulu langsung, ES nya sama dengan EF pendahulunya.

• Jika satu kegiatan mempunyai satu pendahulu langsung, ES nya adalah nilai maximum dari semua EF pendahulunya, yaitu ES = max [EF semua pendahulu langsung]

Aturan selesai terdahulu:• Waktu selesai terdahulu (EF) dari suatu

kegiatan adalah jumlah dari waktu mulai terdahulu (ES) dan waktu kegiatannya, EF = ES+waktu kegiatan.

Backward pass, merupakan indentifikasi waktu-waktu terakhir

Aturan waktu selesai terakhir:• Jika suatu kegiatan adalah pendahulu langsung

bagi hanya satu kegiatan, LF nya sama dengan LS dari kegiatan yang secara langsung mengikutinya.

• Jika suatu kegiatan adalah pendahulu langsung bagi lebih daru satu kegiatan, maka LF adalah minimum dari seluruh nilai LS dari kegiatan-kegiatan yang secara langsung mengikutinya, yaitu LF = Min [LS dari seluruh kegiatan langsung yang mengikutinya]

Aturan waktu mulai terakhir. • Waktu mulai terakhir (LS) dari suatu

kegiatan adalah perbedaan antar waktu selesai terakhir (LF) dan waktu kegiatannya, yaitu LS = LF – waktu kegiatan.

Contoh:• Hitunglah waktu mulai dan selesai

terdahulu, untuk proyek rumah sakit berstandar internasional yang di bangun pemerintah. Dan berikut menunjukan jaringan proyek lengkap untuk proyek rumah sakit tersebut, bersama dengan nilai ES dan EF untuk semua kegiatan.

Kegiatan

Penjelasan Waktu (minggu)

A membangun komponen internal 2

B memodifikasi atap dan lantai 3

C membangun tumpukan 2

D menuangkan beton dan memasang rangka

4

E membangun pembakar temperatur tinggi

4

F memasang sistem kendali polusi 3

G membangun alat pencegah polusi udara 5

H pemerikasaan dan pengujian 2

TOTAL (minggu) 25

B

3

0 3

C

2

2 4

E

4

F

3

G

5

H

2

4 8 13 15

4

8 13

7

D

4

3 7

Start0

0

0

A

2

20

E

4

F

3

G

5

H

2

4 8 13 15

4

8 13

7

13 15

10 13

8 13

4 8

D

4

3 7

C

2

2 4

B

3

0 3

Start

0

0

0

A

2

20

42

84

20

41

00

Hasil perhitungan ES, EF, LS dan LF

Kegiatan

Waktu

ES EF LS LF

A 2 0 2 0 2B 3 0 3 1 4C 2 2 4 2 4D 4 3 7 4 8E 4 4 8 4 8F 3 4 7 10 13G 5 8 13 8 13H 2 13 15 13 15

A. membangun komponen internal

B. memodifikasi atap dan lantai

C. membangun tumpukanD. menuangkan beton

dan memasang rangkaE. membangun pembakar

temperatur tinggiF. memasang sistem

kendali polusiG. membangun alat

pencegah polusi udaraH. pemerikasaan dan

pengujian

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Chart untuk ES-EF

A. membangun komponen internal

B. memodifikasi atap dan lantai

C. membangun tumpukanD. menuangkan beton

dan memasang rangkaE. membangun pembakar

temperatur tinggiF. memasang sistem

kendali polusiG. membangun alat

pencegah polusi udaraH. pemerikasaan dan

pengujian

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Chart untuk LS-LF

3. Hambatan aktivitas (slack activity) dan jalur krirtis (critical path)

• Waktu slack (slack time) yaitu waktu bebas yang dimiliki oleh setiap kegiatan untuk bisa diundur tanpa menyebabkan keterlambatan proyek keseluruhan.

• Jalur kritis adalah kegiatan yang tidak mempunyai waktu tenggang (Slack=0), artinya kegiatan tersebut harus dimulai tepat pada ES agar tidak mengakibatkan bertambahnya waktu penyelesaian proyek. Kegiatan dengan slack = 0 disebut sebagai kegiatan kritis dan berada pada jalur kritis.

Contoh:• Hitunglah slack dan jalur kritis

untuk kegiatan-kegiatan pada proyek rumah sakit pemerintah yang berstandar internasional.

Slack CriticalKegiatan ES EF LS LF LS – ES Path

A 0 2 0 2 0 YaB 0 3 1 4 1 -C 2 4 2 4 0 YaD 3 7 4 8 1 -E 4 8 4 8 0 YaF 4 7 10 13 6 -G 8 13 8 13 0 YaH 13 15 13 15 0 Ya

4. Kemungkinan waktu penyelesaian aktivitas (probabilistic activity times)

• Waktu optimis (optimistic time) [a]• Waktu pesimis (pessimistic time) [b]• Waktu realistis (most likely time) [m]

Pel

uan

g

Optimistic Time (a)

Most Likely Time (m)

Pessimistic Time (b)

Activity Time

Peluang 1 di antara 100 terjadi

Peluang 1 di antara 100 terjadi < a

Expected time (waktu yang diharapkan):

t = (a + 4m + b)/6

Variance of times: v = [(b – a)/6]2

s2 = Varians proyek = (varians kegiatan pada jalur kritis)

Standard deviasi proyek (s) =

varians proyek

Nilai deviasi normal (Z) = [batas waktu (n) – waktu penyelesaian yang

diharapkan]/s

Contoh:• Lihat contoh pembangunan rumah sakit

diatas. Waktu yang diharapkan pada contoh ini merupakan waktu normal yang dibutuhkan untuk mengerjakan proyek rumah sakit tersebut diatas. Kontraktor membuat perkiraan waktu dan hasilnya sebagai berikut:

Kegiatan

Waktu optimis

(a)

Waktu pesimis

(b)

Waktu realisti

s(m)

Jalur kritis

A 1 3 2 Ya

B 2 4 3 -

C 1 3 2 Ya

D 2 6 4 -

E 1 7 4 Ya

F 1 9 2 -

G 3 11 4 Ya

H 1 3 2 Ya

Untuk mencari waktu yang diharapkan perusahaan dan variansnya, maka dilakukan perhitungan sebagai berikut

Kegiatan (a) (b) (m) Jalur

kritis

Waktu yang diharapkan

t = (a + 4m + b )/6

Varians [(b-a)/6]2

A 1 3 2 Ya 2 0.11

B 2 4 3 - 3 0.11

C 1 3 2 Ya 2 0.11

D 2 6 4 - 4 0.44

E 1 7 4 Ya 4 1.00

F 1 9 2 - 3 1.78

G 3 11 4 Ya 5 1.78

H 1 3 2 Ya 2 0.11

Varians proyek = (varians kegiatan pada jalur

kritis)

= varians A + varians C + varians E + varians G + varians H

= 0,11 + 0,11 + 1,00 + 1,78 + 0,11= 3,11

Standard deviasi proyek (s) =

varians proyek

3.11

=1.76 minggu

• Kemudian perusahaan menetapkan batas waktu penyelesaian proyek yakni selama 16 minggu, maka:

Nilai deviasi normal (Z) = [batas waktu (n) – waktu penyelesaian yang

diharapkan]/S= (16 minggu – 15 minggu)/1.76= 1/1.76= 0.57

• Kemudian merujuk pada Tabel Normal, kita dapat mendapat peluang 0.7157, artinya ada peluang sebesar 71.57% untuk perusahaan menyelesaikan proyek tersebut dalam kurun waktu 16 minggu atau kurang dari itu

Waktu

Peluang (T≤16 minggu) adalah 71,57%

0.57 Standard deviations

15 16 minggu

Kelebihan CPM/PERT

• Sangat bermanfaat untuk menjadwalkan dan mengendalikan proyek besar.

• Konsep yang lugas (secara langsung) dan tidak memerlukan perhitungan matematis yang rumit.

• Network dapat untuk melihat hubungan antar kegiatan proyek secara cepat.

• Analisa jalur kritis dan slack membantu menunjukkan kegiatan yang perlu diperhatikan lebh dekat.

• Dokumentasi proyek dan gambar menunjukkan siapa yang bertanggung jawab untuk berbagai kegiatan.

• Dapat diterapkan untuk proyek yang bervariasi • Berguna dalam pengawasan biaya dan jadwal.

Keterbatasan CPM/PERT

• Kegiatan harus jelas dan hubungan harus bebas dan stabil.

• Hubungan pendahulu harus dijelaskan dan dijaringkan bersama-sama.

• Perkiraan waktu cenderung subyektif dan tergantung manajer.

• Ada bahaya terselubung dengan terlalu banyaknya penekanan pada jalur kritis, maka yang nyaris kritis perlu diawasi.

ECONOMIC ORDER QUANTITY( EOQ )

Economic Order Quantity - yang biasa disingkat EOQ - adalah sejumlah produk yang harus dipesan untuk memenuhi persediaan. Tentunya sejumlah produk yang dipesan ini harus memenuhi suatu nilai yang ekonomis. EOQ harus dapat meminimasi biaya variabel. Yang termasuk dalam biaya variabel dalam kasus ini adalah biaya penyimpanan dan biaya pemesanan.

Dapat kita bayangkan bahwa jika jumlah pemesanan unit produk melebihi jumlah pemesanan yang ekonomis, hal ini akan membuat biaya penyimpanan menjadi lebih tinggi dibandingkan dengan biaya persediaan dari jumlah pemesanan yang ekonomis.

Selain itu, bila jumlah pemesanan unit produk kurang dari jumlah pemesanan yang ekonomis, maka biaya pemesanan akan lebih besar dibandingkan dengan biaya pemesanan dari jumlah pemesanan yang ekonomis. Hal ini disebabkan karena perusahaan harus memesan produk berkali-kali dengan biaya pemesanan yang dilipatgandakan.

Biaya penyimpanan meliputi biaya sewa gudang, biaya listrik, pajak, asuransi, dan lain-lain. Sedangkan biaya pemesanan dapat meliputi biaya antar barang dari tempat pemesanan ke gudang, biaya pemeriksaaan, biaya penanganan material, dan lain-lain. Dalam model EOQ, biaya ini dihitung secara tahunan.

Komponen lain yang termasuk dalam model EOQ adalah titik pemesanan kembali (reorder point). Reorder point adalah suatu titik (sejumlah item tertentu) di mana perusahaan harus memesan kembali. Reorder Point bergantung pada lead time, yaitu waktu yang diperlukan perusahaan untuk memenuhi pemesanan. Jadi, model EOQ juga harus dapat menjawab pertanyaan berapa banyak dan kapan item yang harus dipesan agar tercapai nilai yang ekonomis.

Secara umum model perhitungan (rumus) EOQ adalah sebagai berikut.

Keterangan :Q* = nilai EOQ (unit)C = biaya pemesanan per pesananR = permintaan per tahun (unit)h = biaya penyimpanan

Contoh Soal 1:

William manufacturing company purchases 8000 units of a product each year at cost of $10. The order cost is $30 per order, and holding cost per unit per year is $3. What are the economic order quantity?

• Penyelesaian :

Untuk menghitung banyaknya pesanan selama setahun adalah sebagai berikut.

Keterangan :m = banyaknya pesanan selama setahun (pesanan per tahun)

Keterangan :TC(Q*) = total biaya EOQ per tahunP = purchase of an item

Reorder Point:Bila L dinyatakan dalam bulan:

Total biaya untukhu EOQ per tahun:

Bila L dinyatakan dalam bulan:

Bila L dinyatakan dalam minggu:

Keterangan :

B = Reorder Point (unit)L = Lead Time (month/week)

Pada Contoh Soal 1, berapa total biaya untuk EOQ per tahun, banyak pesanan yang harus dipesan selama setahun, dan reorder point bila lead time-nya adalah dua minggu?

Penyelesaian 2 :total biaya untuk EOQ per tahun (dalam $):

Contoh Soal 2 :

Banyak pesanan yang harus dipesan selama setahun:

reorder point (unit):

Kesimpulan:Jadi, untuk mencapai nilai yang ekonomis, "William Manufacturing" harus memesan 400 unit produk dengan total biaya pemesanan sebesar $81200. Produk tersebut dipesan sebanyak 20 kali selama setahun.William Manufacturing harus memesan pada saat persediaan di gudang tersisa 308 unit.

LINIER PROGRAMMING, MINIMASI BIAYA, PENENTUAN JUMLAH PESANAN YANG EKONOMIS

Penyelesaian Sistem Pers. Linier (SPL)

Salah satu variabel disubstitusikan ke persamaan lain4 5 5 4x y x y

Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi ! x + 4y = 55x – 2y = 3

5 2 3x y 5 5 4 2 3y y

25 20 2 3y y

22 22y

1y

5 4(1)x 1x

Substitusi

Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan LinierMetode Grafis

Diketahui Pertidaksamaan Linier

2x + y ≥ 2

4x + 3y ≤ 12

1/2 ≤ x ≤ 2

y ≥ 0

Diktanyakan:

1. Gambar tiap persamaan tsb

2. Arsir daerah tiap pertidaksamaan

3. Gambar dalam satu bidang xoy kemudian arsir daerah yg memenuhi semua syarat di atas.

Jawab untuk pertidaksamaan

2x + y ≥ 2

1

2

Jawab untuk pertidaksamaan

4x + 3y ≤ 12

3

4

Jawab untuk pertidaksamaan

1/2 ≤ x ≤ 2, 4x + 3y ≤ 12, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0

4

3211/2

2

x

y

Nilai Ekstrem Fungsi LinierMisalkan sistem pertidaksamaan linier sbb:

5x + 6y ≤ 30 , x ≥ 0

3x + 2y ≤ 12 , y ≥ 0

dan relasi T = x + 5y,

Carilah sepasang nilai (x, y) yang merupakan anggota penyelesaian pertidaksamaan di atas dan membuat nilai T optimum.

6

6

5

4

(3/2, 15/4)

x y T= x + 5y

0 5 25

4 0 4

0 0 0

3/2 15/4 20,25

Diketahui sistem pertidaksamaan:

x – y + 1 ≤ 0

x – y + 3 ≥ 0

2 ≤ x ≤ 5

Carilah nilai maksimum dan minimum dari T = 9x + 40 y jika (x, y) merupakan anggota himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier di atas.

Uraian dan Contoh:

Peternak ayam potong memiliki sejumlah ayam yg tiap waktu tertentu dijual kepada konsumen berdasarkan berat badannya. Karena itu peternak tersebut berusaha memberi makanan yang memenuhi syarat agar ayam-ayam menjadi lebih berat dan harga per ekornya menjadi lebih mahal. Berdasarkan saran petugas kesehatan hewan, peternak perlu menggunakan bahan A dan bahan B yang harus dicampur sendiri supaya lebih ekonomis. Kedua bahan makanan tersebut mengandung sejumlah tertentu protein, mineral, vitamin, dan kalori. Bagaimana kombinasi kedua bahan itu agar biaya yang ditanggung serendah mungkin dan hasil yang diperoleh akan memenuhi syarat.

Model Matematika:

Misal: bahan A adalah x

bahan B adalah y, dan

harga perunit bahan A adalah p

harga perunit bahan B adalah q

Total biaya yang perlu dikeluarkan oleh peternak

T = px + qy

T = px + qy adalah fungsi tujuan (objektif)

1. bahan A dan B bersifat non negatif variabel atau x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. zat-zat yg terdapat bahan A dan B harus terpenuhi

misalkan: jumlah minimum protein adalah c1

jumlah minimum mineral adalah c2

jumlah minimum vitamin adalah c3

jumlah minimum kalori adalah c4

dalam satu unit bahan A terpenuhi dalam satu unit bahan B terpenuhi

protein sebanyak a1 ; protein sebanyak b1

mineral sebanyak a2 ; mineral sebanyak b2

vitamin sebanyak a3 ; vitamin sebanyak b3

kalori sebanyak a4 ; kalori sebanyak b4

Sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut:

a1x + b1y ≥ c1…………………….

a2x + b2y ≥ c2…………………….

a3x + b3y ≥ c3…………………….

a4x + b4y ≥ c4…………………….

Nilai minimum dapat diperlihatkan dengan gambar berikut:

A

B

C

D

E

LATIHAN

1. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari bahan tersebut akan membuat setelan jas dan rok untuk untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 m wol dan 1 meter katun; satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok yg harus ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya, bila satu stel jas harganya Rp 80.000,00 dan satu stel rok harganya Rp 40.000,00.

Terjemahkan dalam model matematika:

a. aktivitas (variabel)

b. fungsi tujuan

c. fungsi pembatas (constraints)

Jawab

a. x adalah jumlah stelan jas

y adalah jumlah stelan rok

b. fungsi tujuan f(x,y) = 80.000x + 40.000y

c. fungsi pembatas adalah: 3x + 2y ≤ 60; x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 0

d. Agar mencapai keuntungan sebesar-besarnya stel jas dan rok yg harus dibuat adalah:

30

20

20

40

x y f(x,y)=80000x + 40000y

0 20 800.000

20 0 1.600.000

10 15 1.250.000

Latihan

1. Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, C berturut turut 20 kg, 18 kg dan 12 kg, untuk memupuk kebun sayurnya. Dlm stiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg,; B = 2 kg dan C = 3 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 5 kg; B = 3 kg dan C = 1 kg. Harga 1 kaleng pupuk cair Rp 1000,- dan 1 kantong pupuk kering Rp 1.500,-. Berapa banyak tiap jenis pupuk harus dibeli dg harga paling murah dengan zat yg diperlukan terpenuhi?

2. Seorang agen sepeda ingin membeli sepeda 25 buah untuk persediaan, ia ingin membeli sepeda biasa (jenis I) dg harga 60.000/buah, dan sepeda balap (jenis II) dg harga 80.000/buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 1.680.000,- dg harapan untung Rp 10.000 utk sepda biasa dan Rp 12.000 utk sepeda balap.Ditanyakan:a. aktivitas (variabel) b. fungsi tujuan (objektif)c. fungsi pembatas (constraints)

3. Suatu perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah-rumah untuk 540 org. Banyak rumah yg akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I dg biaya sewa Rp 90.000/tahun dan ditempati oleh 4 org; rumah jenis II dg sewa tiap tahun Rp 107.000 dan dapat ditempati 6 orang.Ditanyakan:a. aktivitasb. fungsi tujuanc. fungsi pembatas

Penyelesaian Program Linier dengan cara Grafis

a. Persoalan dengan jawaban tunggalcontoh:

sebuah pabrik baja mempunyai persdiaan 18 ton bahan mentah yg akan diproseskan menjadi besi beton dengan kontrak pembuatan 7,6 ton dari bahan yg tersedia dan menjual sebagian bahan mentah kepada pabrik lain. Tercatat selama proses pembuatan besi beon berlangsung, 5% baja hilang. Berapa banyak bahan mentah yg dijual kepada pabrik lain?

Jawab:1. misal baja yg akan dijual adalah x ton2. jumlah baja yg diproses menjadi besi beton (18 – x) ton3. bahan mentah yg hilang selama proses menjadi besi beton (18 – x) – 5% (18 – x) = 95% (18 – x) = 7,6. dengan demikian diperoleh : 18 – x = (7,6) : (0,95) = 10 tonjadi jumlah besi beton yg dpt dijual kepada pabrik lain adalah 10 ton.

Penyelesian sistem persamaan linier (PL) tiga variabel dengan cara grafis

Tahapan proses penyelesaian dg 3 variabel:1. Terjemahkan data persoalan PL menjadi sistem

pertidaksamaan sebagai pembatas dan fungsi linier T = ax1 + bx2 + cx3 sbg fungsi tujuan.

2. Lukis bidang datar dari tiap pembatas dan arsir ruang himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier

3. Menentukan titik dalam ruang penyelesaian yg memungkinkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum

Persoalan tiga variabel:

Fungsi tujuan: T =c1x1 + c2x2 + c3x3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0yang mencapai optimum

Pembatasan: a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ h1 atau ≥ h1 a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ h2 atau ≥ h2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ h3 atau ≥ h3

Contoh:

Gambar bidang datar yang ditunjuk oleh:2x1 + 3x2 + 6x3 = 120Maka titik potong sumbu koordinat adalah:Pd. Sb x1, bila x2 = 0, x3 = 0 mk P1(60,0,0)Pd. Sb x2, bila x1 = 0, x3 = 0 mk P2(0,40,0)Pd. Sb x3, bila x1 = 0, x2 = 0 mk P3(0,0,20)

Gambarlah bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

Gambar bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

p1

P2

P3