M e n g e n a l H i m p u n a n | 1

Kata – kata Motivasi

“Malas belajar hanya akan membuat

suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.

Tidak ada mata pelajaran yang sulit,

kecuali kemalasan akan mempelajari

mata pelajaran tersebut.”

M e n g e n a l H i m p u n a n | 2

TUJUAN

Tujuan dari penulisan buku ini adalah, sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui definisi himpunan.

2. Untuk mengetahui manfaat himpunan dalam kehidupan

sehari-hari.

3. Untuk mengetahui contoh penerapan soal himpunan dalam

kehidupan sehari-hari.

MANFAAT

Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan

sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru

atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak

dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam

kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa

pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu

Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan

logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita

mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika

M e n g e n a l H i m p u n a n | 3

memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal

pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk

berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis

dan koheren.

2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat,

dan objektif.

3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan

berpikir secara tajam dan mandiri.

4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri

dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari

kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

M e n g e n a l H i m p u n a n | 4

Himpunan (set)

A. Pengertian Himpunan

Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika.

Teori tentang himpunan dikembangkan pertama kali oleh

ilmuwan George Cantor (1845-1918). Walaupun pada mulanya

teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang

teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika

sendiri, cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan sehari-

hari.

Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda atau hal-hal lain

yang keanggotaannya diterangkan dengan jelas.

Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Perhatikan kumpulan berikut ini:

a. Kumpulan lukisan indah.

b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan,

karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah

menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah

tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan

kumpulan wanita cantik di Indonesia. Wanita cantik menurut

seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi,

kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.

M e n g e n a l H i m p u n a n | 5

Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu

himpunan:

Kelompok hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda,

kambing

Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek,

itik.

Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu

himpunan:

Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas

tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat

disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.

B. Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6,

8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

M e n g e n a l H i m p u n a n | 6

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100}

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,

…}.

Keanggotaan

x A : x merupakan anggota himpunan A;

x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = {{}}

maka

3 A

5 B

{a, b, c} R

c R

{} K

{} R

Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a,b}}},

maka

a P1

a P2

M e n g e n a l H i m p u n a n | 7

P1 P2

P1 P3

P2 P3

2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah

himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4.

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari

5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau

M e n g e n a l H i m p u n a n | 8

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah

IF2151}

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5,

6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

C. Jenis-jenis Himpunan

1. Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong

(null set).

Notasi : atau {}

M e n g e n a l H i m p u n a n | 9

Contoh 7.

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P)

= 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 },

n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {,

{}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu

elemen yaitu himpunan kosong.

2. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B

jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen

dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

M e n g e n a l H i m p u n a n | 10

U

AB

Contoh 8.

(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan B = {(x, y) |

2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian

tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah

improper subset dari A.

A B berbeda dengan A B

(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset)

dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1,

2, 3}

M e n g e n a l H i m p u n a n | 11

(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah

himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan

A = B.

3. Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen

B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah

himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A

Contoh 9.

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma

berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

M e n g e n a l H i m p u n a n | 12

4. Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika

dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut

sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka

A ~ B sebab A = B = 4

5. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)

jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

U

A B

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... },

maka A // B.

M e n g e n a l H i m p u n a n | 13

6. Himpunan Semesta

Himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, dan C = {6, 7, 8,

9}. Himpunan yang memuat semua anggota A, B, dan C

dapat dikatakan sebagai himpunan semesta. Secara umum

himpunan semesta didefinisikan sebagai himpunan yang

memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta disebut juga universum dan biasanya

dinotasikan dengan S.

Himpunan semesta (S) adalah himpunan yang memuat

semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Contoh Soal:

Tentukanlah himpunan semesta dari A = {3, 4, 5, 6, 7}.

Penyelesaian:

Semesta untuk himpunan A sangat banyak. Untuk contoh

dapat diambil beberapa himpunan.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

S = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S = himpunan bilangan asli kurang dari 12

S = himpunan bilangan cacah kurang dari 15

M e n g e n a l H i m p u n a n | 14

7. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota

himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan

perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang

banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu

bilangan cacah.

Contoh 6:

a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.

b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.

c. C = n(C) = 7, 7 bilangan cacah.

Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila

tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A

apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses

perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain

himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat

ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh 7:

Q= Apabila kita menghitung anggota himpunan Q,

maka proses perhitungan anggota Q tidak akan

M e n g e n a l H i m p u n a n | 15

berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga

dan n(Q) = ~.

D. Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh 14.

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B =

. Artinya: A // B

b. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

M e n g e n a l H i m p u n a n | 16

Contoh 15.

(i) Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {

2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

c. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7,

9 }

M e n g e n a l H i m p u n a n | 17

Contoh 17.

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun

1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang

dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas

tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam

negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A)

(E B) atau E (A B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat

sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari

Rp 100 juta” A C D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990

mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta”

BDC

M e n g e n a l H i m p u n a n | 18

d. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Contoh 18.

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10

}, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3,

5} = {2}

E. Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum komutatif:

A B = B A

A B = B A

2. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

M e n g e n a l H i m p u n a n | 19

3. Hukum distributif:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

F. Aplikasi Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-

hari

Konsep irisan himpunan sering digunakan dalam

kehidupan sehari-hari. Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

Misalnya: seorang guru menanyakan kepada siswanya siapa

yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola. Ada 30 orang yang

mengangkat tangan. Untuk ekstrakurikuler basket ternyata ada

20 orang. Guru tersebut terkejut karena di dalam kelas hanya

ada 40 orang, sedangkan menurut hitungannya ada 50 orang

yang ada di dalam kelas, di manakah letak kesalahannya?

Ternyata di dalam kelas itu ada murid yang mengangkat tangan

dua kali karena mereka mengikuti dua ekstrakurikuler, yaitu

basket dan sepak bola. Selain konsep irisan, konsep gabungan

juga banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Agar

kalian lebih paham perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal:

1. Di dalam suatu kelas ada 40 siswa. 25 siswa suka matematika,

20 siswa suka fisika, dan ada 15 siswa suka keduanya.

M e n g e n a l H i m p u n a n | 20

a. Buatlah diagram Venn-nya.

b. Tentukanlah banyak siswa yang tidak suka keduanya.

Penyelesaian:

a. Misalkan:

A = siswa yang suka matematika

B = siswa yang suka fisika

b. Banyak siswa yang tidak suka keduanya adalah

40 – 10 – 15 – 5 = 10

2. Di dalam kelompok ada 40 orang. 30 orang suka warna

merah, 20 orang suka warna biru, dan ada 5 orang yang tidak

suka keduanya. Dengan menggunakan diagram Venn,

tentukanlah jumlah orang yang suka kedua-keduanya.

Penyelesaian:

M = orang yang suka warna merah

N = orang yang suka warna biru

M e n g e n a l H i m p u n a n | 21

Misalnya:

X = banyak orang suka keduanya

40 – 5 = 30 – X + X + 20 – X

35 = 50 – X

X = 15

Jadi, banyak orang yang suka keduanya

= 15 orang.

3. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak, terdapat 32

anak gemar voli, 40 anak gemar sepak bola, dan 25 anak

gemar kedua kegiatan tersebut. Buatlah diagram Venn dari

keterangan di atas dan berapa anak yang tidak gemar kedua

kegiatan tersebut ?

M e n g e n a l H i m p u n a n | 22

Jawab :

4. Dalam sebuah kelas terdapat 40 anak, ternyata 25 anak

gemar minum susu, 35 anak gemar minum teh, dan yang

gemar kedua minuman tersebut sebanyak x anak. Buatlah

diagram Venn dari keterangan di atas dan berapa anak yang

gemar kedua minuman tersebut ?

M e n g e n a l H i m p u n a n | 23

Jawab:

M e n g e n a l H i m p u n a n | 24

G. Soal Latihan !!

1. Dari sekelompok anak terdapat 15 anak gemar bulu tangkis, 20

anak gemar tenis meja, dan 12 anak gemar keduanya. Jumlah

anak dalam kelompok tersebut adalah…

A. 17 orang

B. 23 orang

C. 35 orang

D. 47 orang

2. Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, setelah dicatat terdapat 38

anak senang berolahraga, 36 anak senang membaca, dan 5 orang

anak tidak senang berolahraga maupun membaca. Banyak anak

yang senang berolahraga dan senang membaca adalah…

A. 28 anak

B. 32 anak

C. 36 anak

D. 38 anak

3. Diketahui himpunan pasangan berurutan :

(1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) }

(2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) }

(3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) }

(4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) }

Himpunan pasangan berurutan yang merupakan

pemetaan/fungsi adalah ....

A. (1) dan (2)

M e n g e n a l H i m p u n a n | 25

B. (1) dan (3)

C. (2) dan (3)

D. (2) dan (4)

4. Dari suatu kelas terdapat 25 siswa suka membaca dan 30 siswa

suka mengarang. Jika12 orang siswa suka membaca dan

mengarang, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ....

A. 67 orang C. 43 orang

B. 55 orang D. 37 orang

5. Diketahui : P = { 6 bilangan ganjil yang pertama }

` Q = { 5 bilangan prima yang pertama}

P-Q =…..

A. {1,9} C. {1,2,11}

B. {1,9,11} D. {1,2,9,11}

6. Banyaknya himpunan bagian dari A = { bilangan prima kurang

dari 15} adalah…

A. 32 C. 18

B. 4 D. 6

7. Jika A = {0,1} maka n(A) =...

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

M e n g e n a l H i m p u n a n | 26

8. Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...

A. 2 C. 3

B. 5 D. 4

9. Diberikan {15,4,7,6,2} ∩ {2,4,6,8} = {4,x,6}, maka x adalah

A. 6

B. 4

C. 8

D. 2

10. Diketahui K = {a,b,c,d,e} dan L = {b,d,p}, maka K – L

adalah....

A. {a,b,c}

B. {a,d,p}

C. {a,c,d}

D. {a,c,e}

M e n g e n a l H i m p u n a n | 27

Kunci Jawaban Latihan

1. B

2. B

3. B

4. C

5. A

6. D

7. C

8. C

9. D

10. D

M e n g e n a l H i m p u n a n | 28

DAFTAR PUSTAKA

http://inilycca.blogspot.com/2011/09/soal-soal-dan-pembahasan-

materi.html

http://best-profesi.blogspot.com/2011/12/ujian-nasional-contoh-soal-

dan.html

http://smpmuh2depok.net/slamet/wp-

content/uploads/2013/03/BINTEK-UN-2013-PAKET-21.pdf

http://www.plengdut.com/2013/03/aplikasi-himpunan-dalam-

kehidupan.html

http://chusnulmuali.wordpress.com/tag/himpunan-dalam-kehidupan-

sehari-hari/

M e n g e n a l H i m p u n a n | 29

Petunjuk Penggunaan Quis Maker

1. Buka folder yang bernama .... lalu akan muncul

tampilan seperti berikut

2. Masukan Pasword yang kami beri yaitu: “rimaade”

kemudian klik oke

M e n g e n a l H i m p u n a n | 30

3. Selanjutnya akan muncul gambar

kemudian klik star untuk mulai

4. Kemudian akan muncul soal latihan seperti berikut

M e n g e n a l H i m p u n a n | 31

jawab soal-soal tersebut kemudian klik icon submit

untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah

5. Setelah anda menyelesaikan semua soal anda akan

mengetahui anda lulus atau gagal dalam tes tersebut

karena dengan sendirinya akan muncul halaman yang

memuat hasil skor yang anda peroleh seperti berikut

M e n g e n a l H i m p u n a n | 32

kemudian klik finish

6. Sekian petunjuk penggunaan Quis Maker yang dapat

kami sampaikan dan selamat mencoba teman-teman

M e n g e n a l H i m p u n a n | 33

Tentang Penyusun

Halo guys,,, saya RIMA AMALIA saya yang bertugas

menyusun buku ini, tidak terdapat banyak kesulitan dalam

penyusunan buku ini saya mengucapkan banyak terima

kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam

penyusunan buku ini. Semoga buku “MENGENAL

HIMPUNAN” yang kami susun dapat membantu belajar

kalian guys. Thank You

Saya ADE ISTIANA sebagai penyusun Quis makker

di dalam menyusun quis makker saya tidak terlalu

mengalami kendala, tetapi sesuatu hal itu pasti ada

kekurangannya, jika di dalam quis makker terdapat

kekurangan saya minta maaf dan mohon kritik yang

membangun , terimakasih untuk semua teman-teman yang

telah memberikan semangat dan bantuannya.

Mohon maaf atas kekurangan buku dan Quis makker

yang kami susun semoga dapat bermanfaat untuk kalian

semua..