1

MENGHITUNG POPULASI PEREMPUAN

PADA SEMBARANG WAKTU DI MASA MENDATANG

MENGGUNAKAN MODEL MATRIKS LESLIE

Djuwita Trisnawati

06071008005

Mahasiswi Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP UNSRI

E- mail : dj_wiwit@yahoo.com

Abstrak

Model matematika dapat digunakan untuk mengembangkan matematika

itu sendiri maupun untuk menyelesaikan matematika. Salah satu dari model

matematika yang dapat diterapkan dalam bidang demografi yaitu untuk

menghitung pertumbuhan populasi perempuan (betina) adalah Model Matriks

Leslie. Dengan menggunakan matriks Leslie, distribusi umur suatu populasi

perempuan pada waktu yang akan datang dapat diperkirakan jika diketahui

distribusi umur awal populasi tersebut. Elemen matriks Leslie terdiri dari dua

parameter demografi, yaitu jumlah rata-rata dari anak perempuan (betina) yang

dilahirkan oleh perempuan (betina) yang berada dalam kelompok umur ke-i dan

perbandingan perempuan (betina) dalam kelompok umur ke-i yang dapat

diharapkan masih hidup dan sampai ke kelompok umur ke-i+1 . Banyaknya

individu dalam setiap kelompok umur pada waktu yang akan datang dapat

ditentukan jika distribusi umur mula-mula dan matriks Leslie diketahui, kemudian

mengalikan distribusi umur mula-mula dengan matriks Leslie yang dipangkatkan

sesuai dengan waktu yang diinginkan untuk dicari. Perhitungan populasi

perempuan dengan menggunakan Matriks Laslie dirumuskan secara singkat,

sebagai berikut. )1()( kk LXX k = 1,2,…

Kata kunci : Model Leslie, Demografi, Matriks Leslie, Parameter Demografi

2

I. PENDAHULUAN

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan

teknologi modern dan mempunyai peranan penting dalam berbagai disiplin ilmu

dan memajukan daya pikir manusia. Matematika selalu mendasari perkembangan

ilmu pengetahuan yang lain, termasuk dalam bidang teknologi yang selalu

memerlukan pemikiran dan perhitungan-perhitungan matematika. Dengan

menggunakan konsep matematika, suatu masalah akan menjadi lebih sederhana

untuk disajikan, dan dipahami. Matematika tidak hanya dipergunakan untuk

menyelesaikan permasalahan matematika saja, tetapi sangat menunjang untuk

menyelesaiakan masalah-masalah yang ada dalam kehidupan ini.

Melalui aplikasi-aplikasinya, matematika dapat dipergunakan dalam

bidang yang lain, salah satunya dalam bidang demografi. Demografi adalah ilmu

tentang susunan, jumlah dan perkembangan penduduk. Demografi merupakan

studi matematik dan statistik terhadap jumlah, komposisi dan distribusi penduduk,

manusia dan perubahan yang terjadi karena proses fertilitas, mortalitas,

perkawinan, migrasi serta mobilitas sosial.

Salah satu model matematika yang dapat digunakan dalam demografi

adalah model matriks leslie. Model matriks Leslie merupakan model matriks

populasi yang mengklasifikasikan individu-individu populasi perempuan ke dalam

kelas-kelas umur yang berbeda. Dengan menggunakan matriks Leslie

dimungkinkan untuk meramalkan struktur umur dan banyaknya individu dalam

setiap kelas umur pada waktu yang akan datang, dengan syarat sebaran umur awal

diketahui.

Berkaitan dengan peranan matematika dalam bidang demografi, maka

dalam makalah ini penulis mencoba untuk memaparkan aplikasi model matriks

leslie dalam menentukan banyaknya individu setiap kelompok umur perempuan

pada waktu yang akan datang.

3

II. MATERI PENUNJANG

II.1. Rata-rata

Rata-rata adalah jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data.

Rata-rata = DataBanyak

DataSemuaJumlah

_

__

II.2. Matriks

Matriks ialah susunan elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan

kolom serta dibatasi oleh tanda kurung siku ’[ ]’ atau kurung biasa ’( )’.

Contoh matriks :

A =

1

21

11

.

.

.

ma

a

a

2

22

21

.

.

.

ma

a

a

3

23

13

.

.

.

ma

a

a

...

...

...

mn

n

n

a

a

a

.

.

.

2

1

Matriks A di atas merupakan matriks m x n karena mempunyai m baris

dan n kolom atau dengan kata lain matriks yang berordo m x n.

II.3. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Sedangkan matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Contoh matriks kolom :

B =

9

7

5

Contoh matriks baris :

A = 2 4 5

4

II.4. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujursangkar ialah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom

yang sama. Contohnya matriks 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, dan seterusnya.

C =

4

2

1

0

6

2

2

0

4

II.5. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali cA

adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dari

matriks A oleh c. Untuk perkalian matriks dengan skalr berlaku sifat komutatif

dan distributif. (Anton, 1991:24)

Sifat komutatif : Sifat distributif :

cA = Ac c(A ± B) = cA ± cB

b. Perkalian antar Matriks

Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari

matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Jika A

adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah

matriks m x n yang elemen-elemennya ditentukan sebagai berikut.

Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari

matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian

dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkan hasilkali

yang dihasilkan. (Anton, 1991:25)

c. Perkalian Matriks dengan Matriks Kolom

Sebuah matriks yang bukan berbentuk matriks kolom dapat dikalikan

dengan sebuah matriks kolom, dengan catatan jumlah kolom matriks yang bukan

merupakan matriks kolom sama dengan jumlah kolom dari matriks kolom yang

bersangkutan, hasilnya adalah matriks kolom baru.

5

III. MATERI POKOK

Menghitung Populasi Perempuan pada Sembarang Waktu di Masa

Mendatang Menggunakan Model Matriks Leslie

Salah satu model pertumbuhan populasi yang paling umum digunakan

oleh para ahli demografi adalah model matriks Leslie, yang dikembangkan pada

tahin 1940-an oleh PH Leslie. Model ini menjelaskan pertumbuhan jenis kelamin

perempuan pada manusia atau hewan karena perempuan bereproduksi. Pada

model ini perempuan (manusia) atau betina (hewan) dibagi menjadi kelas-kelas

umum dalam durasi waktu yang sama. Lebih spesifik lagi, anggaplah umur

maksimum yang dicapai oleh sebarang perempuan dalam suatu populasi adalah L

tahun (atau satuan waktu lainnya) kemuadian populasi tersebut akan dibagi

menjadi n kelas umur. Maka, tiap kelas mempunyai durasi L/n tahun. Kelas-kelas

umur yang diperoleh dapat ditandai berdasarkan tabel berikut.

Tabel 1

Kelas Umur Interval Umur

1

2

3

.

.

.

n – 1

n

[0,L/n]

[L/n, 2L/n]

[2L/n, 3L/n]

.

.

.

[(n – 2)L/n, (n – 1)L/n]

[(n – 2)L/n, L/n]

Anggaplah jumlah perempuan dalam masing-masing dari n kelas tersebut

diketahui pada waktu t = 0. Secara khusus, misalkan terdapat )0(

1x perempuan di

dalam kelas pertama, )0(

2x perempuan di dalam kelas kedua, dan seterusnya.

Dengan n bilangan-bilangan ini, dapat dibentuk sebuah matriks kolom:

6

Matriks kolom ini disebut sebagai distribusi umur awal (initial age distribusi).

Dengan berjalannya waktu, jumlah perempuan pada tiap kelas berubah

karena tiga proses biologis, yaitu lahir, mati, dan penuaan. Dengan menguraikan

ketiga proses ini secara kuantitatif, maka distribusi umur awal dapat

diproyeksikan menjadi distribusi masa mendatang.

Cara termudah untuk mengetahui proses pertambahan umur adalah dengan

mengobservasi populasi dalam waktu diskret, misalnya t0, t1, t2, ..., tk. Model

Leslie mempersyaratkan bahwa durasi antara dua waktu observasi yang berurutan

sama dengan durasi interval umur. Dengan demikian, dapat ditetapkan sebagai

berikut.

t0 = 0

t1 = L/n

t2 = 2L/n

.

.

.

tk = kL/n

.

.

.

Dengan asumsi ini seluruh perempuan pada kelas ke-(i + 1) pada waktu tk + 1

sebelumnya berada dalam kelas ke-i pada waktu tk .

Proses kelahiran dan kematian di antara dua waktu observasi yang

berurutan dapat dijelaskan dengan parameter-parameter demografi berikut ini :

ai

(i = 1, 2, ..., n)

Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dari

tiap perempuan ketika si ibu berada dalam kelas

umur ke-i.

bi

(i = 1, 2, ..., n – 1)

Fraksi perempuan pada kelas umur ke-i yang

diharapkan dapat bertahan dan mencapai kelas umur

ke-(i + 1).

Berdasarkan definisi di atas, diperoleh : (i) ai ≥ 0 untuk i = 1, 2, ..., n

(ii) 0 < bi ≤ 1 untuk i = 1, 2, ..., n – 1

7

Perhatikan bahwa nilai bi tidak boleh nol, yang berarti tidak ada

perempuan yang hidup melewati kelas umur ke-i. Begitu juga dengan nilai ai,

diasumsikan bahwa paling sedikit satu nilai ai bernilai positif sehingga terdapat

sejumlah kelahiran. Setiap kelas umur yang memiliki nilai ai positif disebut kelas

usia subur (fertile age class).

Anton (1991), distribusi umur x(k)

pada waktu tk dapat didefinisikan

sebagai berikut.

)(

)(

2

)(

1

)(

.

.

.

k

n

k

k

k

x

x

x

x

di mana xi(k)

adalah jumlah perempuan pada kelas umur ke-i pada waktu tk .

Selanjutnya, pada waktu tk, perempuan yang berada dalam kelas umur pertama

adalah anak perempuan yang lahir antara waktu tk – 1 dengan tk . Sehingga, dapat

dituliskan sebagai berikut.

atau, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

)(

1

kx = )1(

11

kxa + )1(

22

kxa + . . . + )1( k

nn xa (1)

8

a1 a2 a3 … an – 1 an

b1 0 0 … 0 0

0 b2 0 … 0 0

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

0 0 0 … bn – 1 0

)(

1

kx

)(

2

kx

)(

3

kx

.

.

.

)(k

nx

)1(

1

kx

)1(

2

kx

)1(

3

kx

.

.

.

)1( k

nx

Perempuan-perempuan pada kelas umur ke-(i + 1) dengan (i = 1, 2, ..., n – 1)

pada waktu tk adalah perempuan-perempuan pada kelas ke-i pada waktu tk – 1 yang

masih hidup pada waktu tk, sehingga

=

atau, secara matemtis dapat ditulis sebagai berikut:

)(

1

k

ix = )1( k

ii xb , i = 1, 2, . . ., n – 1 (2)

Dengan menggunakan notasi matriks, persamaan (1) dan (2) dapat

dituliskan sebagai berikut :

=

atau singkatnya, )(kx = )1( kLx , k = 1, 2, . . . (3)

jumlah

perempuan

pada

kelas i + 1

pada

waktu tk

fraksi

perempuan

pada kelas i

yang bertahan

hidup dan

memasuki

kelas i + 1

jumlah

perempuan

pada

kelas i pada

waktu tk - 1

9

a1 a2 a3 … an – 1 an

b1 0 0 … 0 0

0 b2 0 … 0 0

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

0 0 0 … bn – 1 0

di mana L adalah matriks Leslie (Leslie matrikx)

L =

Dari persamaan (3) akan dihasilkan

)1(x = )0(Lx

)2(x = )1(Lx = )0(2 xL

)3(x = )2(Lx = )0(3xL

.

.

. )(kx = )1( kLx = )0(xLk

Dengan demikian, jika diketahui distribusi umur awal )0(x dan matriks Leslie L,

maka dapat ditentukan distribusi umur perempuan pada sebarang waktu di masa

mendatang.

Contoh Distribusi Umur Hewan Betina :

Ny Asmi salah seorang peternak bebek petelur. Ia baru menjalani usaha ternak

bebek selama 2 tahun terakhir. Bebek petelur akan bertelur hingga 3 tahun. Ny

Asmi hanya menetaskan seperempat dari telur yang dihasil untuk dijadikan

indukan. Tahun lalu, ny Asmi memiliki 80 ekor bebek betina dan tahun ini bebek

betinanya menjadi 219 ekor. Setiap tahun ny Asmi selalu membuat data

pertumbuhan jumlah bebek betina yang dimilikinya. Data untuk satu tahun

terakhir terlihat pada tabel berikut.

10

Umur (bulan) Jumlah Bebek

Betina

Tahun Lalu

Jumlah Anak

yang dihasilkan

Jumlah Bebek

Betina

Tahun ini

0 – 12

12 – 24

24 – 36

36

25

18

72

75

36

183

26

10

Total 80 183 219

Table 2

Data ini akan digunakan ny Asmi untuk mengetahui berapakah perkiraan

jumlah bebek betina 2 tahun yang akan datang, jika jumlah bebek betina

meningkat drastis maka ia akan mengurangi jumlah telur yang akan dijadikan

indukan. Tetapi jika jumlahnya tidak begitu meningkat, ny Asmi akan menambah

jumlah telur yang akan dijadikan indukan.

Penyelesaian :

Model matriks leslie dapat digunakan untuk mengetahui jumlah bebek

betina ny Asmi pada tahun depan. Dengan menggunakan matriks leslie bebek

betina akan dibagi menjadi beberapa kelas. Karena usia maksimal dari usia

produktif bebek petelur adalah 3 tahun, maka bebek betina dapat dibagi menjadi 3

kelas umur dengan durasi yang sama sebesar 12 bulan (satu tahun) seperti pada

tabel 2.

Berdasarkan table 2 akan didapat jumlah bebek betina pada durasi waktu

pertama untuk masing-masing kelas umur, yaitu sebagai berikut.

Dari persamaan 1 didapat:

x1(1)

= 2 (36) + 3 (25) + 2 (18)

x2(1)

= 13/18(36)

x3(1)

= 2/5 (25)

11

2 3 2

13/18 0 0

0 2/5 0

36

25

18

183

26

10

464

132

10

1344

335

52

diperoleh matriks leslie dan distribusi awal, yaitu:

L = x(0)

=

Sehingga,

x(1)

= L x(0)

= =

x(2)

= L x(1)

= =

x(3)

= L x(3)

= =

Jadi, setelah 3 tahun terdapat 1344 betina yang berumur antara 0 sampai

12 bulan, 335 betina yang berumur antara 12 sampai 24 bulan, dan 52 betina yang

berumur antara 24 sampai 36 bulan. Jumlah ini memungkinkan ny Asmi untuk

tidak mengurangi telur yang akan ditetaskan menjadi induk, sehingga jumlah

indukan dapat bertambah dan menghasilkan telur yang lebih banyak lagi.

12

IV. KESIMPULAN

Salah satu dari model matematika yang dapat diterapkan dalam bidang

demografi adalah model matriks leslie. Model matriks leslie dapat digunakan

untuk menghitung pertumbuhan populasi perempuan (betina). Dengan

menggunakan matriks Leslie, distribusi umur suatu populasi perempuan pada

waktu yang akan datang dapat diperkirakan jika diketahui distribusi umur awal

populasi tersebut.

Perhitungan populasi perempuan dengan menggunakan Matriks Laslie

dirumuskan secara singkat, sebagai berikut.

)1()( kk LXX k = 1,2,…

Dengan L adalah matriks Leslie (Leslie matrikx), dan

)1( kx adalah jumlah perempuan pada waktu tk - 1

13

V. DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer. (Panto Silaban dan Inyoman

Susila) Jakarta: Erlangga.

Kartini, Suprapto, Subandi, dan U. Setiyadi. Matematika untuk Kelas XI SMA

Program Studi Ilmu Alam. Klaten: Intan Pariwara.

UPI. ”Materi 8 Matriks”. http://file.upi.edu/Direktori/L%20%20FPEB/PRODI.%

20EKONOMI%20DAN%20KOPERASI/SITI%20PARHAH/MATERI%2

08.pdf . Diakses 20 Mei 2010.

ITS. ”Proyeksi Jumlah Penduduk Indonesia dengan Model Matematika”.

http://digilib.its.ac.id/ITS-Master-3100002015408/435. Diakses tanggal 08

April 2010.