BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Tidak diketahui siapa orang pertama yang menemukan phi atau biasa disebut rasio

antara keliling linkaran dengan diameter ini. namun, bukti-bukti menunjukkan bahwa phi ini

sudah banyak digunkan di dunia timur kuno. pada waktu itu pendekatan phi diambil 3, dan

untuk kwadratura lingkaran mesir yang diberikan dalam papyrus rhind didapat phi = (4/3)^4

= 3,1604....Tetapi usaha ilmiah pertama untuk menghitung phi agaknya datang dari

Archimedes dan kita akan mulai kronologi kita dengan hasil kerjanya.Sejarah ditemukannya

nilai Phi. Phi adalah suatu tetapan yang biasanya dipakai untuk mencari luas & keliling

lingkaran. Phi (π), merupakan huruf ke 16 dari abjad Yunani, biasanya digunakan untuk

konstanta matematika yang paling terkenal. Secara matematis, phi merupakan rasio keliling

terhadap diameter lingkaran. Tanpa menghitung seberapa besar ukuran lingkaran, nilai phi

selalu muncul dalam angka yang sama. Phi merupakan bilangan irasional, yaitu bilangan riil

dengan bilangan desimal yang tidak berulang. Bilangan ini tidak bisa diganti dengan rasio

bilangan bulat dan memiliki pecahan desimal yang tidak berujung, atau dikenal juga sebagai

bilangan desimal tak hingga. Tidak ada angka yang tepat untuk phi, angka ini juga sejauh ini

tidak ada ujungnya. Banyak ahli dan pencinta matematika yang tertarik mencari tahu

panjang digit yang mungkin dicapai oleh phi. Guinness World Record untuk jumlah digit

terbanyak phi dipegang oleh Lu Chao dari Cina, yang memperoleh 67.000 nilai desimal phi.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana sejarah penggunaan simbol π?

2. Apa pengertian dari phi?

3. Apa fakta mengenai nilai phi?

C. Tujuan

1. Mengetahui sejarah penggunaan simbol π

2. Mengetahui pengertian dari phi.

3. Mengetahui fakta mengenai nilai phi.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sejarah Penggunaan Simbol π

Dalam sejarah matematika, perbandingan keliling dan diameter lingkaran diungkapkan

dalam berbagai simbol di berbagai belahan dunia. Penggunaan huruf Yunani π juga

menyatakan beragam hal dalam sejarah matematika. Perbandingan keliling dengan

diameter lingkaran atau tepatnya 3,14159... disimbolkan dengan huruf π pertama kali

dilakukan oleh William Jones (1675-1749) tahun 1706. Namun pemakaian simbol ini

secara luas hingga kini setelah dipopulerkan oleh matematikawan Leonhart Euler (1707-

1783).

William Jones sendiri sebelumnya kurang dikenal, tetapi setelah korespondensinya

dengan Newton diketahui oleh para sejarawan, ia mulai dikenal dalam sejarah matematika.

Ia antara lain pernah menjadi anggota the Royal Society (suatu perhimpunan ilmuwan

ternama di Inggris) tahun 1711. Simbol huruf Yunani π sendiri telah digunakan dalam

matematika jauh sebelum Jones. Simbol ini antara lain telah digunakan oleh

matematikawan William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), dan David

Gregory (1661-1701).

Menurut sejarawan Cajori, penggunaan simbol tunggal untuk menyatakan

perbandingan keliling terhadap diameter mungkin pertama-tama dilakukan oleh J.

Christoph Sturm dalam bukunya Mathesis enucleata tahun 1689. Hanya ia menggunakan

simbol tunggal e bukan π. Tetapi klaim Cajori ini mungkin saja salah, sebab jauh sebelum

Eropa mengenal perbandingan keliling terhadap diameter lingkaran, peradaban Asia baik

India, Cina, Arab, Persia maupun Mesir telah mengenal perbandingan ini. Sebut saja al-

Kashi sekitar abad ke-15 telah menggunakan simbol tunggal berupa huruf Arab “tho”

untuk menyatakan bilangan 3,1415... .

"There are various other ways of finding the Lengths or Areas of

particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the

Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to the

Circumference as 1 to

, &c. = 3.14159, &c. = . This series

(among others for the same purpose, and drawn from the same

Principle) I received

from the Excellent Analyst, and my much esteem'd Friend Mr. John

Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art.

64.38 may be Examin'd with all desirable Ease and Dispatch."

Tahun 1734, Leonhart Euler (1707-1783) menggunakan huruf p dalam “De summis

serierum reciprocarum”. Dalam surat balasan tanggal 16 April 1738 dari Stirling

kepada Euler, juga terdapat penggunaan huruf p.

Tahun 1736, Euler menggunakan π untuk menyatakan keliling pada saat diameter

lingkaran sama dengan satu dalam bentuk 1 : π, pada buku Mechanica sive motus

scientia analytice exposita. Mulai tahun 1737, Euler menggunakan π untuk 3,14159...

dalam surat korespondensinya. Ini berlanjut pada surat-suratnya tahun 1738 dan 1739.

Johann Bernoulli mula-mula menggunakan huruf c tahun 1739 dalam suratnya kepada

Euler, tetapi pada surat tahun 1740 ia mulai menggunakan huruf π. Tahun 1741, π sudah

digunakan dalam Mathematical Tables oleh H. Sherwin. Pada tahun 1742, Nikolaus

Bernoulli juga menggunakan π dalam suratnya kepada Euler. Akhirnya, Euler

mempopulerkan penggunakan π secara luas setelah menulisnya dalam buku

Introductio in Analysin Infinitorum tahun 1748 dan tulisan-tulisan berikutnya. Berikut ini

petikan kalimat dari buku tersebut.

Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus

exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa

est .. esse = 3,14159 [hingga 128 desimal-pen], pro quo

numero, brevitatis ergo, scribam , ita ut sit

=Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu erit

longitudo Arcus 180 graduum.

Setelah penerimaan Euler akan lambang π tersebut, banyak orang juga

menggunakan lambang π, hingga kini semua orang menggunakan lambang π. Namun

dalam masa-masa setelah Euler tersebut tetap saja ada satu dua orang yang pernah

menggunakan lambang yang berbeda. Segner tahun 1751 menggunakan π tetapi pada

tahun 1767 kembali menggunakan lambang lama, δ : π. Matematikawan D. Lardner tahun

1828 menggunakan lambang π untuk menyatakan pendekatan pada rasio keliling dan

diemeter lingkaran, bukan rasio itu sendiri. Juga, Pietro Ferroni tahun 1782 malah

menggunakan lambang P untuk 3,14159... dan lambang ∏ untuk 6,283..

B. Pengertian Phi

Phi adalah suatu tetapan yang dipakai untuk mencari luas lingkaran. Di sekolah, kita

diajarkan bahwa nilai π (Phi) adalah 22/7. Sejak dulu, para ahli matematika telah mencari

nilai π (Phi) yang benar. Phi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan

perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang

dibaca phi dan phi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim digunakan adalah

3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat

desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.

C. Sejarah Nilai Phi

1. Abad ke-19 SM bangsa Babilonia menetapkan bahwa π = 25/8 = 3,125.

2. Abad ke-17 SM, pakar matematika dari Mesir Ahmes menghitung bahwa π = 256/81 =

3,1605.

3. Abad ke-9 SM, astronom India Yajnavalkya menghitung bahwa π = 339/108 =

3,1389.

4. Abad ke-3 SM, Archimedes dari Yunani menyatakan bahwa 3 + 10/7 < π < 3 + 1/7,

atau π (Phi) itu terletak antara bilangan 3,1408 dan 3,1428.

5. Tahun 263, matematikawan China Liu Hui menghitung bahwa π = 3,141014.

6. Abad ke-15, Ghyath ad-din Jamshid Kashani dari Persia telah menghitung nilai π

yang akurat sampai 16 digit.

7. Tahun 1600, matematikan Jerman Ludolph van Ceulen menghitung π dengan akurasi

sampai 32 digit. Ia sangat bangga atas hal ini sampai di pahatkan dibatu nisannya.

8. Tahun 1873, seorang matematikawan amatir William Shanks menyelesaikan 20 tahun

menghitung phi dengan akurasi sampai 707 digit.

9. Tahun 1910, matematikawan India Srinivasa Ramanujan, merumuskan deret π yang

digunakan matematikawan saat ini untuk menghitung nilai π.

Jadi, misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter terus kita ukur kelilingnya

dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang

dibutuhkan adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter

lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159. Phi juga biasanya diartikan

sebagai 1 putaran penuh lingkaran atau 1 phi = 360 derajat. 22/7 itu merupakan angka yang

mendekati phi,tapi bukan phi yang sebenarnya.

Phi sebenarnya adalah 3,14159265358979323846264338327

Babel kuno menghitung luas lingkaran dengan mengambil 3 kali kuadrat jari-jarinya, yang

memberikan nilai phi = 3. Satu Babel tablet (ca. 1900-1680 SM) menunjukkan nilai 3,125

untuk pi, yang merupakan pendekatan lebih dekat. Rhind Papyrus (ca.1650 SM), terdapat

bukti bahwa orang Mesir menghitung luas lingkaran dengan formula yang memberikan nilai

perkiraan untuk phi 3,1605. Budaya kuno yang disebutkan di atas ditemukan pendekatan

mereka dengan pengukuran. Perhitungan pertama phi dilakukan oleh Archimedes dari

Syracuse (287-212 SM), salah satu matematikawan terbesar dunia kuno. Archimedes

diperkirakan luas lingkaran dengan menggunakan Teorema Pythagoras untuk menemukan

bidang dua poligon reguler poligon tertulis di dalam lingkaran dan poligon di mana lingkaran

itu dibatasi. Karena daerah yang sebenarnya lingkaran terletak di antara area ditulis dan

dibatasi poligon, luas dari poligon memberikan batas atas dan bawah untuk daerah lingkaran.

Archimedes tahu bahwa ia tidak menemukan nilai phi tetapi hanya sebuah pendekatan dalam

batas-batas tersebut. Dengan cara ini, Archimedes menunjukkan bahwa phi adalah antara 3

1 / 7 dan 3 10/71. Pendekatan serupa digunakan oleh Zu Chongzhi (429-501),

matematikawan brilian dan astronom Cina. Zu Chongzhi tidak akan akrab dengan

Archimedes metode-tapi karena bukunya telah hilang, sedikit yang diketahui dari karyanya.

Dia menghitung nilai rasio keliling lingkaran dengan diameter menjadi 355/113. Untuk

menghitung akurasi ini untuk phi, dia selalu memulai dengan teratur menulis 24.576-gon dan

melakukan perhitungan yang panjang yang melibatkan ratusan akar kuadrat dilakukan sampai

9 desimal. Matematikawan mulai menggunakan huruf Yunani π di tahun 1700-an.

Diperkenalkan oleh William Jones pada 1706, penggunaan simbol ini dipopulerkan oleh

Euler, yang diadopsi itu pada 1737. Abad ke-18 matematikawan Perancis yang bernama

Georges Buffon merancang cara untuk menghitung phi berdasarkan probabilitas. Anda dapat

mencoba sendiri di Exploratorium’s Phi Toss exhibit.Pada tahun 1706, seorang ahli

Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani phi (π) untuk mewakili nilai yang

dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol ini untuk mewakili

bilangan. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling

akurat untuk phi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada

waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.

Nilai dari phi adalah banyaknya diameter lingkaran yang akan dipaskan dengan keliling

lingkaran. Nilai dari phi adalah 22 / 7 dan ditulis sebagai π = 22 / 7 atau π = 3,14.

Nilai phi dengan 100 tempat desimal pertama adalah:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062

862089986280348253421170679

D. Fakta – fakta menarik mengenai Phi

1. Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani

phi untuk mewakili nilai yang dikatakan.

2. Pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol π ini untuk mewakili bilangan.

3. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai phi yang paling

akurat. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada waktu itu

tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.

Nilai dari phi adalah 22/7 dan ditulis sebagai π = 22/7 atau = 3,14. Nilai phi dengan

100 tempat desimal pertama adalah:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375

1058209749445923078164062862089986280348253421170679.

Phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami.

Istilah phi sendiri diambil dari huruf Yunani "Phiwas". Itu juga merupakan Abjad Yunani

yang ke-16. Seorang pengusaha di Cleveland Amerika Serikat menerbitkan buku pada

pada tahun 1931 yang mengumumkan bahwa nilai phi adalah 256/81. Jika kita mencetak

miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.

Fakta menarik lain mengenai phi adalah kita tidak akan menemukan nol dalam 31 digit

pertama dalam dari phi.

Phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami.

Istilah phi sendiri diambil dari huruf Yunani "Phiwas". Itu juga merupakan Abjad Yunani

yang ke-16. Seorang pengusaha di Cleveland Amerika Serikat menerbitkan buku pada

pada tahun 1931 yang mengumumkan bahwa nilai phi adalah 256/81. Jika kita mencetak

miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.

Fakta menarik lain mengenai phi adalah kita tidak akan menemukan nol dalam 31 digit

pertama dalam dari phi.

Fakta-Fakta Menarik Lainnya Lagi Mengenai Phi:

1. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo membutukan waktu sekitar

116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Phi dengan komputer.

2. Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai

phi yaitu : π/4 = 4*arc tan (1/5) – arc tan (1/239). Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan

waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal phi menggunakan ENIAC

(Electronic Numeric Integrator and Computer).

3. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh

hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi.

4. Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Phi adalah sebuah bilangan

irasional.

5. Pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang juga Ahli matematika terkenal

membuktikan Phi adalah bilangan yang sulit dipahami.

6. Ada orang yang hafal semua angka desimal phi. Orang tersebut membuat lagu dan

musik berdasarkan digit dari phi. Dalam kehidupan ini, memang terdapat banyak

fakta yang menarik dan menyenangkan mengenai phi.

7. Tanggal 14 maret diperingati sebagai Hari Phi. Lalu mengapa tanggal 14 Maret

dirayakan sebagai hari Phi ? Karena dalam penulisan di barat tanggal tersebut ditulis

dengan 3.14 yang merupakan pendekatan dari nilai Phi itu sendiri. Pada tanggal ini pula

diperingati hari kelahiran Einstein, ilmuwan yang pernah meraih hadiah nobel bidang

fisika karena teori foto elektriknya.

Perhitungan dalam menggunakan nilai phi pada lingkaran

1. Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 7 maka akan lebih mudah

jika kamu menggunakan π yang 22/7.

2. Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 10 maka tentu akan lebih

mudah jika kamu menggunakan 3,14 sebagai nilai π.

E. Sejarah lampau tentang π dari abad ke abad

Dari berbagai sabak/tablet lempung, kayu, dan batu yang pernah ditemukan,

disimpulkan catatan-catatan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan π = 3 sejak tahun

4000 SM (Sebelum Masehi), kemudian π = 25/8 = 3,125 pada 1900–1600 SM. Bangsa Mesir

telah telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan π = (16/9)^2 ≈

3,1605 sejak tahun 1850 SM. India menggunakan π = (9785/5568)^2 ≈ 3.088 sejak tahun 600

SM. Bangsa Indian menggunakan π = sqrt(10) ≈ 3.1622 sejak tahun 150 SM.

Definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode

pendekatan yang lebih jelas ditemukan dari catatan tahun 250 SM milik Archimedes dari

Syracuse Yunani. Perhitungan keliling lingkaran dilakukan oleh Archimedes dalam

pendekatan bentuk lingkaran sebagai suatu polygon, yaitu bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama

sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga

dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429).

Pendekatan polygonal Archimedes ini mendominasi metode pencarian nilai π hingga 1000

tahun lebih. Bahkan pendekatan nilai π = 22/7 yang sempat dikenal sebagai “konstanta

Archimedes” itu masih digunakan hingga sekarang. Sebagai gambaran, perimeter-perimeter

lingkaran dengan menggunakan polygon segi-lima (pentagon), segi-enam (hexagon), dan

segi-delapan (octagon) yang lebih sederhana dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Di China, nilai-nilai π yang pernah dipergunakan meliputi 3,1547 (sekitar tahun 1 M),

sqrt(10) = 3,1623 (sekitar tahun 100 M), and 142/45 = 3,1556 (sekitar abad ke-3 M). Pada

masa kekaisaran Wei di sekitar tahun 265 M, matematikawan Liu Hui menggagas algoritma

iteratif untuk menghitung keliling lingkaran berdasarkan polygon 3.072 sisi yang

menghasilkan nilai π = 3,1416. Algoritma Liu Hui dapat menghasilkan nilai π = 3,14 lebih

cepat dari polygon 96 sisi dengan memanfaatkan sifat bahwa perbedaan dari selisih luas

polygon berurutan dengan sisi tetap adalah berkelipatan 4, yaitu selisih antara luas polygon

sisi-N terhadap polygon sisi-(N – 1) adalah 4 kali lipat dari selisih antara luas polygon sisi-(N

– 1) terhadap polygon sisi-(N – 2) jika semua polygon memiliki sisi yang sama.

Matematikawan Zu Chongzhi pada tahun 480 M menggunakan algoritma Liu Hui dengan

menggunakan polygon 12.288 sisi yang menghasilkan nilai π = 355/113 = 3,141592920…

yang dianggap akurat hingga 800 tahun kemudian.

Di Persia, pada tahun 1424 dipublikasikan Risala al-Muhitiyya (“Treatise on the

Circumference”) oleh Jamshid Masud al-Kashi al-Kashani yang mengemukakan perhitungan

berdasarkan struktur polygon 3 x 228 sisi dengan hasil π = 3,1415 9265 3589 7932 5… yang

memberikan ketelitian 17 digit desimal. Dengan nilai tersebut oleh Al-Kashani dikatakan

bahwa perhitungan keliling suatu lingkaran berdiameter 600.000 kali diameter bumi (rataan

jejari bumi 6.370 km) akan memberikan kesalahan yang kurang dari “ketebalan rambut ekor

kuda”, suatu ukuran Persia kuno yang setara dengan sekitar 0,7 millimeter. Al-Kashani telah

memberikan pemahaman dengan baik mengenai ketakbermaknaan deretan panjang angka

desimal.

Penggunaan pertama kali simbol π  dan pengukuhan definisinya sebagai ratio keliling

lingkaran (C) terhadap diameternya (d), yaitu π  = C /d , dikemukakan oleh William Jones

(matematikawan Inggris dari Welsh Inggris, teman baik Isaac Newton dan Edmun Halley)

pada tahun 1706 dalam bukunya Synopsis Palmariorum Matheseos (A New Introduction to

the Mathematics) yang membahas tentang kalkulus diferensial dan deret tak hingga. Sesudah

itu, simbol π tidak pernah digunakan lagi hingga pada tahun 1736 mulai digunakan lagi oleh

Leonhard Euler (matematikawan Swiss yang pernah tinggal di Jerman dan Rusia). Leonhard

Euler adalah murid doctoral Johann Bernoulli dan kemudian menjadi dosen doctoral untuk

Joseph Louis Lagrange. Dia sangat dikagumi oleh Pierre-Simon Laplace. Terutama pada

tahun 1748, melalui dua volume bukunya Introductio in analysin infinitorum (Introduction to

the Analysis of the Infinite), penggunaan simbol π oleh Euler semakin dikenal luas hingga

saat ini.

Acuan definisinya dengan bentuk lingkaran telah menyebabkan π banyak

dipergunakan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometeri, khususnya yang terkait

dengan bentuk-bentuk lingkaran, elips, bola, elipsoida. Struktur-struktur tersebut juga banyak

dijumpai dalam berbagai percabangan sains, seperti kosmologi, teori bilangan, statistika,

fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagntika. Terdapatnya dalam berbagai

fenomena matematika dan sains menyebabkan π menjadi salah satu dari lima konstanta

terpopuler bersama 0, 1, i = sqrt(–1), dan e (bilangan natural/Euler). Konstanta π dikenal baik

oleh kalangan dalam maupun kalangan luar scientific. Bahkan parlemen Amerika Serikat

menyetujui adanya hari khusus untuk memperingati keberadaan π, yaitu pada setiap bulan

Maret tanggal 14 atau dituliskan dengan format bulan/tanggal adalah 3/14, yang disebut

sebagai π-Day/Hari-π, diperingati oleh orang-orang dengan makan macam-macam kue pie

dan mendiskusikan berbagai perkembangan mutakhir tentang π

F. Napak tilas π a-la Archimedes

Sekarang, mari kita menapak tilas pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran

seperti yang pernah dilakukan oleh Archimedes. Kita hitung saja keliling lingkaran

berdiameter 1 berdasarkan keliling polygon segi-enam (hexagon) sebagai perimeter dalam

dan perimeter luar seperti pada gambar di bawah ini:

Dengan menggunakan pendekatan hexagonal, diperoleh keliling hexagon dalam

adalah 3 dan keliling hexagon luar adalah 2 sqrt(3) = 3,46410161513776. Jika kita kembali

ke definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya (π = C /d), maka diperoleh

nilai-nilai batas bawah dan batas atas 3,0 < π < 3,46410161513776. Nilai batas bawah π = 3

adalah penggunaan awal nilai π yang pernah digunakan oleh bangsa Babilonia tahun 4000

SM dan hingga saat ini digunakan pada sekolah-sekolah dasar di Jepang untuk pengenalan

awal tentang penggunaan π.

Dengan cara seperti itulah, semakin tinggi orde polygon yang digunakan sebagai

pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran, maka nilai batas bawah dan batas atas yang

makin konvergen. Konvergensi nilai tersebut seperti yang dihasilkan oleh Archimedes 223/71

< π < 22/7 (3 + 10/71 < π < 3 + 10/70  atau 3,1408 < π < 3,1429) dengan menggunakan 96-

gon, oleh Liu Hui π = 3.1416 dengan menggunakan 3.072-gon, dan oleh Zu Chongzhi π =

355/113 = 3,1415929204… dengan menggunakan 12.288-gon.

Kita juga bisa menghitung dengan cara lain, yaitu dengan memanfaatkan fungsi-

fungsi trigonometri terhadap segitiga siku-siku Phytagoras yang dapat kita analisis pada

struktur polygon di atas. Untuk polygon orde-6 (hexagon), dasar perhitungan keliling

perimeter hexagon dalam (Inner Perimeter) adalah:

Inner Perimeter = 6 AC = 6 x 2 x jejari AO x sin (½ x 3600/6) = 6 sin (½ x 3600/6)

Sedangkan perimeter hexagon luar (Outer Perimeter) adalah: Outer Perimeter = 6 DF = 6 x 2

x jejari OE x tan (½ x 3600/6) = 6 tan (½ x 3600/6)

Dengan demikian, jika sruktur polygon untuk perimeter dalam dan perimeter luar kita

kembangkan untuk orde-N yang lebih umum atau lebih tinggi, maka akan diperoleh rumusan

yang lebih umum, yaitu:

π by Inner Perimeter = N sin (1800/N)

π by Outer Perimeter = N tan (1800/N)

Dengan cara ini, sebenarnya kita sedang memindahan persoalan akurasi perhitungan

π menjadi persoalan akurasi perhitungan nilai fungsi trigometri sinus dan tangens. Mari kita

bandingkan hasil-hasil kalkulasi dengan 10 angka desimal menggunakan perangkat lunak

Microsoft Excel untuk pendekatan dari polygon 12.288 sisi Zu Chongzhi:

a. π by Inner Perimeter = 12.288 sin (1800/12.288) = 3,1415926194…

b. π by Outer Perimeter = 12.288 tan (1800/12.288) = 3,1415927220…

c. π kalkulasi Algoritma Zu Chongzhi = 355/113 = 3,1415929204…

d. π kalkulasi Microsoft Excel untuk fungsi PI() = 3,1415926536…

Dari pendekatan polygonal di atas, dapat pula diturunkan Algoritma Rekursif

Archimedes yang digunakan oleh Liu Hui dan Zu Chongzhi, yaitu:

a. Insialisasi dari hexagon (n = 0):

b. Initial Outer Perimeter (OP0) = 2 sqrt(3) = 3,4641016151378

c. Initial Inner Perimeter (IP0) = 3,0000000000000

d. Iterasi ke-n mulai n = 1, 2, dst untuk polygon 6 x 2n berlaku:

e. Outer Perimeter ke-n       : OPn = 2 OPn–1 IPn–1  /(OPn–1 + Pn–1)

f. Inner Perimeter ke-n        : IPn = sqrt(OPn IPn–1)

Sehingga dapat diperoleh hasil-hasil melalui perhitungan sederhana sebagaimana pada

tabel di bawah ini. Kolom terakhir tabel tersebut menggambarkan selisih antara keliling

perimeter luar terhadap keliling perimeter dalam polygon sebagai bentuk pendekatan bentuk

lingkaran berdiameter 1. Perhatikan pada tabel tersebut hasil-hasil dari polygon segi-96

Archimedes pada iterasi ke-4, polygon segi-3072 Liu Hui pada iterasi ke-9, dan polygon segi-

12.288 Zu Chongzhi pada iterasi ke-11. Terlihat pada iterasi ke-20 kita peroleh selisih

perimeter luar terhadap perimeter dalam sebesar  4 x 10–12 dengan polygon segi-6.291.456

sama sisi.

Sifat-sifat  π :

Beberapa sifat π yang penting adalah sebagai berikut

1. Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat dinyatakan dengan ratio

bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7 atau 355/113

merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Pernyataan nilai

π dalam angka desimal akan memiliki panjang angka desimal di belakang koma dengan

panjang tak-berhingga.

2. Nilai π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi

persamaan polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional.

Transendensi pada π memiliki dua konsekuensi, yaitu: pertama, π tidak dapat dinyatakan

sebagai kombinasi bilangan-bilangan rasional maupun sebagai akar kuadrat dan akar

integer dari suatu bilangan integer; kedua, tidak mungkin dibuat suatu segi empat

bujursangkar dengan luasan yang sama dengan luas lingkaran yang sesuai (squaring a

circle), dengan sisi segi empat bujur sangkar sqrt (π) seperti pada gambar di bawah ini.

3. Digit-digit desimal pada π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki

keacakan secara statistik, termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak

konsisten. Suatu bilangan irasional dikatakan memenuhi sifat normalitas jika semua angka

yang muncul dalam deretan angka desimalnya memiliki tingkat keseringan muncul yang

sama.

4. Meskipun bersifat irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat

pula upaya para matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu

(continued fractional) dengan pola tertentu.

BAB III

KESIMPULAN

Penggunaan pertama kali simbol π  dan pengukuhan definisinya sebagai ratio keliling

lingkaran (C) terhadap diameternya (d), yaitu π  = C /d , dikemukakan oleh William Jones

(matematikawan Inggris dari Welsh Inggris, teman baik Isaac Newton dan Edmun Halley)

pada tahun 1706 dalam bukunya Synopsis Palmariorum Matheseos (A New Introduction to

the Mathematics) yang membahas tentang kalkulus diferensial dan deret tak hingga. Sesudah

itu, simbol π tidak pernah digunakan lagi hingga pada tahun 1736 mulai digunakan lagi oleh

Leonhard Euler (matematikawan Swiss yang pernah tinggal di Jerman dan Rusia). Leonhard

Euler adalah murid doctoral Johann Bernoulli dan kemudian menjadi dosen doctoral untuk

Joseph Louis Lagrange. Dia sangat dikagumi oleh Pierre-Simon Laplace. Terutama pada

tahun 1748, melalui dua volume bukunya Introductio in analysin infinitorum (Introduction to

the Analysis of the Infinite), penggunaan simbol π oleh Euler semakin dikenal luas hingga

saat ini.

Phi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan

keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang dibaca phi dan

phi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7

namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai

π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.

Sifat-sifat π, Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat

dinyatakan dengan ratio bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7

atau 355/113 merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Nilai

π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi persamaan

polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional. Digit-digit desimal pada

π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki keacakan secara statistik,

termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak konsisten. Meskipun bersifat

irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat pula upaya para

matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu (continued fractional)

dengan pola tertentu.

DAFTAR PUSTAKA

Kurnia, Alviana. 2015. Sejarah Phi. Diakses dari http://alvianikurnia.blogspot.co.id/2015/03/sejarah-phi.html

Nazly. 2014. Asal Usul Phi. Diakses dari http://profnazly.blogspot.co.id/2010/09/asalusul-phi-314.htmlv

Nuhon, Zito. 2012. Sejarah Penemuan Nilai Phi. Diakses darihttp://sahabatanakcerdas.blogspot.co.id/2012/01/sejarah-penemuan-nilai-phi.html

Munawaroh, Zian. 2012. Uniknya Nilai Phi. Diakses dari http://zianmunawaroh.blogspot.co.id/2012/02/fakta-mengenai-nilai-phi.html

Wijanto, Heroe. 2012. Benarkah Nilai π (Pi) = 3,14 atau 22/7. Diakses dari http://heroe.staff.telkomuniversity.ac.id/?p=133

Wardana, Daniel Ari. 2009. Fakta – Fakta Menarik Mengenai Phi. Diakses darihttp://math07.findtalk.biz/t46-fakta-fakta-menarik-mengenai-phi

Meta. 2013. Nilai Phi Si Bilangan Gaib. Diakses dari https://chimbs.wordpress.com/2013/03/09/nilai-pi-%CF%80-si-bilangan-gaib/