makalah kms 1
TRANSCRIPT
Oleh : Oleh : Ibnuh Adi ngingi Meical manutilaa Stenford Laruwi Wiwi wattimena Abdusalam punggawa Watti Florence Batlolona Tasya J Akyuwen Apongsina Masela Joine Mawettars
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PATTIMURA AMBON 2012
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada tuhan yang maha esa karena atas limpahan nikmat dan karunianya sehingga penyusunan makalah ini dapat diselesaikaan Makalah ini dibuat sebagai suatu latihan pengembangan dasar pengajaran dalam mengkaitkan suatu problematika pada mahasiswa. Oleh karena itu kami selaku mahasiswa mencoba menerapkan metode-metode pembelajaran. Penulis menyadari akan kekurangan dalam penyusunan makalah ini, karena keterbatasan sumber referensi yang dimiliki, namun penulis tetap berusaha semaksimal mungkin untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangatlah penulis harapkan untuk penyempurnaannya. Atas partisipasi sebelumnya penulis mengucapkan banyak terima kasih
Ambon, 10 Januari 2012
PENULIS
2
BAB 1 PENDAHULUAN Tujuan y y Menjelaskan algoritma pembagian suku banyak. Menentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian. y y Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau kuadrat. Menentukan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema faktor.
3
BAB II PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN SUKUBANYAK
Sukubanyak atau polinom dalam variabel yang berderajat sebagai berikut . dengan : y y
secara umum dapat ditulis
adalah bilangan bilangan real dengan adalah koefisien dari adalah
adalah koefisien dari koefisien dari
, . . . .demikian seterusnya.
disebut suku tetap ( konstanta).
y
. adalah biolangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak.
Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel yang ada dalam sukubanyak itu. variabelnya
Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak diatas diawali oleh suku yang mempunyai pangkat tertinggi, yaitu variabel suku tetap yang semakin turun, yaitu
. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat
mengikuti aturan pangkat turun dalam variabel . perlu dingat kembali bahwa variabel suatu variabel-variabel
. sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun
dan diakhiri dengan
sukubanyak tidaklah harus dalam variabel , tetapi dapat saja variabel-variabel yang lain seperti
4
B. NILAI SUKUBANYAK Berbekal dari fakta bahwa suatu sukubanya adalah bentuk aljabar yang memuat variabel, maka sukubanyak itu dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dari variabelnya. Misalnya suatu sukubanyak dalam variabel dapat dituliskan sebagai fungsi dari . sebagai contoh, sukubanyak
dalam bentuk umum yang telah banyak dibicarakan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut. Catatan : Nama fungsi sukubanyak diatas dinyatakan dengan , kadang-kadang dinyakan dengan :
y y
yang menunjukan fungsi sukubanyak dalam variabel atau yang menunjukan fungsi polinom dalam variabel .
Dengan menuliskan atau menyatakan suatu sukubanyak sebagai fungsi dalam variabel , maka nilai sukubanyak itu dapat dengan mudah ditentukan. Secara umum, nilai sukubanyak untuk adalah dengan adalah bilangan real. Selanjutnya nilai dari dapat dicari
dengan dua metode, yaitu Metode Substitusi atau Bagan/ Skema. 1. Metode substitusi Nilai suatu sukubanyak untuk sebuah nilai variabel tertentu dapat dicari dengan metode substitusi sebagai berikut : Nilai sukubanyak Untuk bilangan real ) ditentukan oleh5
Perhatikan bahwa nilai sukubanyak sudstitusi nilai terhadap variabel
untuk
diperoleh dengan cara menyulih atau oleh karena itu,
yang ada pada sukubanyak
menghitung nilai sukubanyak seperti itu disebut Metode Substitusi. CONTOH : 1) Hitunglah nilai sukubanyak a) Jawab : a) Untuk diperoleh : untuk adalah diperoleh : b) untuk nilai nilai berikut.
Jadi, nilai b) Untuk
Jadi, nilai
untuk
adalah dan , sebagai berikut.
2) Diketahui sukubanyak dengan dua variabel
Hitunglah : a) b) c)
6
Jawab : a)
Jadi, b)
merupakan sukubanyak dalam variabel
Jadi, c) artinya variabel Jadi, merupakan bilangan real . merupakan sukubanyak dalam variabel . dan
2. Metode bagan/skema Untuk mendeskripsikan cara menghitung nilai sukubanyak dengan menggunakan metode bagan / skema , simaklah sukubanyak berderajat 4 berikut ini :
Dengan metode substitusi ,nilai sukubanyak
untuk
ditentukan oleh
7
Nilai
tersebut ternyata dapa disusun secara berurutan dengan menggunakan operasi
perkalian dan operasi penjumlahan seperti berikut ini :
Berdasarkan bentuk persamaan yang terakhir ini terlihta bahwa nilai sukubanyak
dapat
diketahui secara bertahap dengan menggunakan algoritma (perhitungan langkah demi langkah) sebagai berikut . Langkah 1 Kalikan dengan kemudian jumlahkan hasilnya dengan
Langkah 2 Kalikan hasil pada langkah pertama dengan dengan , kemudian jumlahkan hasilnya
8
Langkah 3 Kalikan hasil pada langkah kedua dengan Langkah 4 Kalikan hasil pada langkah ketiga hasilnya dengan Hasil perhitungan pada langkah empat ini tidak lain adalah nilai sukubanyak untuk dengan , kemudian jumlahkan dengan , kemudian jumlahakan hasilnya
Proses perhitungan (mengalikan dan menjumlahkan) pada algoritma tersebut ternyata dapat ditampilkan dengan memakai bagan atau skema berikut . Catatan: Tanda menyatakan operasi kalikan dengan
Menghitung nilai sukubanyak dengan cara seperti diatas dikenal sebagai metode bagan atau metode skema .
9
Catatan 1) Metode substitusi cocok dipakai untuk menghitung nilai sukubanyak yang bentuknya sederhana dan untuk nilai yang tidak terlalu besar , serta untuk nila bilangan bulat .
2) Cara bagan atau cara skema dapat dipakai untuk menghitung nilai semua bentuk sukubanyak dan sebarang nilai CONTOH Hitunglah nilai setiap suku banyak ini dengan menggunakan metode bagan . a) b) Jawab : a) Koefisien koefisien dari
y +
+4
+ +
untuk
untuk
,
Untuk
-
+ 4
adalah
,
sehingga bagannya diperlihatkan berikut ini. Berdasarkan
bagan tersebut. Nilai suku banyak
-
+4
untuk
adalah
5 1 -3 + 5 2 4 + 10 14 -1 + 70 69
10 + 345 355
1
tanda
menyatakan kalikan dengan 510
b) Untuk menghitung nilai suku banyak dipandang sebagai sukubanyak dalam variabel dari adalah
maka sukubanyak
bentuknya berdasarkan pangkat turun = 0 dan + + untuk
Koefisien koefisien dari
, y +
sehingga bagannya diperlihatkan berikut ini.berdasarkan
bagan tersebut, nilai suku banyak 2 + + + .
0 +
+
Tanda
menyatakan dikalikan dengan 2.
C. OPERASI ANTAR SUKU BANYAK 1. Penjumlahan,Pengurangan,Perkalian Penjumlahan atau pengurangna suku banyak dengan suku banyak dapat
dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku suku yang sejenis dari kedua suku banyak itu . Sedangkan perkalian suku banyak dapat
ditentukan dengan cara mengalikan suku suku dari kedua suku banyak itu. Dalam mengalikan suku suku dari kedua buah suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.
11
CONTOH Diketahui dua buah sukubanyak
dinyatakan dengan aturan
a) Tentukan b) Tentukan c) Tentukan Jawab : a) Jadi, b) Jadi, c)
serta derajatnya serta derajatnya serta derajatnya
+
dan
berderajat 3.
dan
berderajat 2.
12
Jadi, dan berderajat 8.
Beradasrkan hasil perhitungan pada contoh 4 dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Misalkan masing masing merupakan sukubanyak berderajat adalah sukubanyak berderajat maksimum adalah sukubanyak berderajat dikatakan memiliki kesamaan dengan sukubanyak , jika kedua maka :
y y Sukubanyak
sukubanyak itu mempunyai nilai yang sama untuk semua variabel sukubanyak itu ditulis sebagai :
bilangan real. Kesamaan dua
Misalkna diketahui dua buah sukubanyak
yang dinyatakan dalam bentuk umum.
Jika
mempunyai kesamaan dengan
Dan
, ditulis
maka berlaku hubungan :
,
dan
13
Dalam aplikasinya, sifat kesamaan dan buah sukubanyak diatas digunakan untuk mencari nilai atau nilai nilai dalam suatu bentuk aljabar yang belum diketahui. Cara perhitungan demikian disebut metode koefisien tak tentu. Agar lebih jelasnya,simaklah beberapa contoh berikut ini. CONTOH : 1. Tentukan nilai Jawab: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan pada kesamaan
Dengan menggunakan sifat kesamaan sukubanyak , diperoleh :
pada kesamaan yang memenuhi kesamaan :
Jadi, nilai
adalah
2. Hitunglah nilai
14
Jawab : Jumlahkan pecahan diruas kiri persamaan Karena bagian penyebut berlaku persamaan pembilang juga harus berlaku kesamaan. maka bagian
Berdasarkan kesamaan sukubanyak yang terakhir,diperoleh :
..(1) ..(2) ..(3) dan
Dari persamaan persamaan (1),(2),(3) diatas , di peroleh Jadi, nilai yang memenuhi kesamaan
Adalah
15
2. Pembagian Sukubanyak Hubungan cara yang dibagi ,pembagi, hasil bagi,dan sisa Sebagai ilustrasi ,missal bilangan 4.369 dibagi dengan 14 dapat diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Dari bagan ini terlihat bahwa 4.369 dibagi dengan 14 memberikan hasil bagi 312 dengan sisa pembagian 1.
yang dibagi
pembagi
hasil bagi
sisa pembagian
Dengan demikian, dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut .
Ternyata pembagian bilangan dengan metode bersusun pendek dapat diaplikasikan pada pembagian suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya sukubanyak dengan akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek. hasil bagi dibagi
_ _ _
yang dibagi
sisa pembagian16
Langkah 1 Dimulai dengan Tulislah Langkah 2 Sisa Tulislah Langkah 3 Sisa menurunkan 4 menjadi . sisa 7. Tulislah 3 ditempat hasil menurunkan menjadi sisa ditempat hasil. dibagi dengan sisa
ditempat hasil disebelah kanan
disebelah kanan Langkah 4 Sisa 7 sudah tidak dapat dibagi lagi dengan pembagiannya 7. CONTOH : a) Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak Jawab: Pembagian sukubanyak bersusun pendek diperlihatkan pada bagan dibawah. oleh dengan metode oleh memberikan hasil bagi dan sisa
17
Berdasarkan bagan tersebut, diperoleh hasil baginya pembagiannya adalah 17.
dengan sisa
hasil bagi
yang dibagi _
_
_
sisa pembagian b) Hitunglah nilai nilai Jawab : maka kemudian bandingkan nilai yang diperoleh pada contoh (a) dengan
Jadi, Nilai sisa pada contoh (a) adalah 17 dan nilai dengan demikian , sisa
18
D. PEMBAGIAN SUKUBANYAK DENGAN PEMBAGI BERBENTUK LINIER Cara yang akan digunakan untuk membagi sukubanyak dengan pembagi berbentuk linier dikenal sebagai metode Horner. Ada 2 macam pembagi berbentuk linier yang akan dibicarakan disini , yaitu pembagi berbentuk dan .
1. Pembagian Sukubanyak Dengan Persamaan yang menghubungkan sukubanyak yang dibagi pembagi , sukabanyak hasil bagi dan sisa pembagian Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian pada pembagian sukubanyak oleh dengan sukubanyak adalah :
dengan menggunakan bantuan bagan atau skema dikenal sebagai metode pembagian sintetik atau metode Horner. Agar lebih memahami cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian pada sukubanyak oleh pembagi berbentuk linier dengan menggunakan metode pembagian sintetik atau metode Horner , simaklah beberapa contoh berikut ini . CONTOH : 1) Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan
Jawab : pembagian , maka berarti 19
Bagan atau skemanya diperlihatkan dibawah ini . dan sisa pembagian dan
Berdasarkan bagan diatas ,diperoleh hasil bagi oleh sisa pembagian Catatan : jika sebuah sukubanyak dikatakan habis dibagi oleh
memberikan hasil bagi
dibagi dengan atau
menghasilkan .
maka
adalah faktor dari dibagi dengan
2) Sukubanyak 10. Hitunglah nilai Jawab : Pembagian sukubanyak dengan metode Horner dibawah ini .
memberikan sisa
kemudian tentukan hasil baginya.
dengan
diselesaikan
Dari bagan diatas terlihat bahwa sisa pembagiannya adalah diketahui sisa pembagiannya adalah 10 , maka :
oleh karena
Jadi , nilai
dan hasil baginya20
2. Pemabagian Sukubanyak Dengan
Misalkan menjadi
adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh ) . Jika sukubanyak dibagi dengan
, sehingga bentuk memberikan hasilnya
dan sisa pembagian
,maka diperoleh hubungan dan sisa dapat ditentukan harus diganti
Berasarkan persamaan tersebut terlihat bahwa hasil bagi
dengan metode pembagian sintetik atau metode Horner , hanya saja nilai dengan .
Selanjutnya persamaan diatas dapat diubah bentuknya sebagai berikut .
Persamaan tersebut menunjukan bahwa sukubanyak hasil bagi
dibagi dengan
memberikan dapat harus
dan sisa pembagian . Koefisien- koefisien dari
dan sisa pembagian
ditentukan dengan metode pembagian sintetik atau metode Horner . hanya saja nilai diganti dengan
21
Deskripsi tersebut menjelaskan bahwa metode pembagian sintetik atau metode Horner dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dan CONTOH : 1) Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan Jawab : maka Bentuk dapat ditulis menjadi dan , bagan atau .
berarti
skemanya diperlihatkan dibawah ini.
Jadi, pembagian sukubanyak hasil bagi 2) Hitunglah ).
Berdasarkan bagan diatas, diperoleh hasil bagi
dengan
dan sisa memberikan
dengan sisa pembagian ), kemudian tunjukan bahwa sisa yang diperoleh pada soal (a) sama dengan
22
Jawab : Dari hasil (a), sisa pembagian Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian
E. PEMBAGIAN SUKU BANYAK DENGAN PEMBAGI BERBENTUK KUADRAT Misalkan sukubanyak dibagi dengan dan bentuk
dapat difaktorkan atau yang tidak dapat difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak itu dapat ditentukan dengan metode pemabagian bersusun pendek . CONTOH : Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan
Jawab : Meskipun pembagi dapat difaktorkan menjadi tetapi dalam
contoh ini, hasil bagi dan sisa tetap ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek .
23
_
hasil bagi
_
Berdasarkan bagan tersebut, sukubanyak dituliskan sebagai : yang dibagi pembagi hasil bagi sisa pembagian
16
sisa pembagian
dapat
jadi, pembagian sukubanyak memberikan hasil bagi Misalkan sukubanyak pembagian adalah : dengan sisa pembagian dibagi dengan
dengan . dan sisa dan
memberikan hasil bagi dengan
. Persamaan yang menyatakan hubungan antara
Dengan : sebagai sukubanyak yang dibagi,misalnya diketahui berderajat . sebagai sukubanyak pembagi, misalnya diketahui berderajat dan
y y
24
y
sebagai sukubanyak hasil bagi, berderajat dibagi dikurangi dengan derajat sukubanyak pembagi.
yaitu derajat sukubanyak yang
y
sebagai sukubanyak sisa pembagian, berderjat paling tinggi dan maksimum yaitu berderajat maksimum satu kurangnya dari derajat sukubanyak pembagi.
F. MENENTUKAN SISA PEMBAGIAN SUATU SUKUBANYAK OLEH PEMBAGI BERBENTUK LINEAR Ada dua macam pembagi berbentuk linear yang dibahas disini, yaitu pembagi berbentuk dan pembagi berbentuk a) Pembagi Berbentuk Jika sukubanyak pembagi menjadi: ,maka persamaan sebelumnya dapat ditulis .
Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real . Karena sukubanyak pembagi berderajat satu, maka sisa pembagian
maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat . Sisa pembagian ditentukan dengan menggunakan teorema berikut: Teorema 1 Jika sukubanyak berderajat dibagi dengan maka sisanya ditentukan oleh
Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Sisa atau Dalil Sisa .
25
Bukti Teorema 1 Perhatikan kembali persamaan Karena persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real , maka dengan menyulihkan atau subtitusi kedalam persamaan itu diperoleh :
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian CONTOH : 1. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan Jawab : Sukubanyak nilai dibagi dengan dapat dihitung dengan dua metode, yaitu: sisanya adalah dibagi
1. Metode substitusi
Jadi, sisa pembagiannya adalah
26
2. Metode bagan/skema , maka pembaginya berarti
sehingga bagan
atau
dan skemanya
,
diperlihatkan berikut ini.
Dari bagan diatas diperoleh Jadi, sisa pembagian 2. Diketahui sukubanyak menghasilkan sisa 15. Hitunglah nilai Jawab : jika dibagi dengan maka sisanya dibagi dengan
Sisa
karena diketahui sisa
maka diperoleh hubungan :
Jadi,
sukubanyak
dibagi
mengahasilkan sisa 15 untuk nilai
27
3. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak Jawab :
dengan
Sukubanyak tersebut dipandang sebagai sukubanyak dalam variabel dipandang sebagai konstanta),sehingga :
(dengan
Pembagian
dengan
memberikan sisa
Jadi, pembagian sukubanyak . maka dikatakan adalah faktor dari
dengan
memberikan sisa
Dalam hal sisa atau
habis dibagi dengan .
b) Pembagi Berbentuk Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukan bahwa pembagian sukubanyak dengan memberikan hasil bagi dan sisa pembagian . Pernyataan ini
dituliskan dalam persamaan berikut :
Persamaan diatas berlaku untuk semua bilangan real Nilai sisa pembagian ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.
28
Teorema 2 Jika sukubanyak berderajat dibagi dengan maka sisanya ditentukan oleh
Bukti Teorema 2
Perhatikan kembali persamaan :
Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real persamaan itu diperoleh :
, maka dengan substitusi
ke
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian
Catatan: dapat ditentukan dengan metode substitusi dan metode bagan. Jika metode bagan sekaligus dapa ditentukan.
Nilai
yang digunakan, maka koefisien dari
29
CONTOH : 1. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan
Jawab : Sukubanyak nilai 1. Metode Substitusi dibagi dengan dapat dihitung dengan dua metode, yaitu : . Sisanya adalah
Jadi, sisa pembagiannya adalah 2. Metode Bagan/Skema , maka Bentuk dapat ditulis menjadi
berarti
dan dam .
Bagan atu skemanya diperlihatkan berikut ini :
Dari bagan diatas diperoleh
Jadi, sisa pembagiannya adalah30
Dari bagan diatas sekaligus juga ditentukan koefisien koefisien dari dan hasil baginya adalah
, sehingga
2. Pembagian
sukubanyak
dengan
memberikan sisa 7. Hitunglah nilai Jawab : dibagi dengan , sisanya
Sisa
karena diketahui sisa
maka diperoleh hubungan
Jadi, nilai
31
G. MENETUKAN SISA PEMBAGIAN SUATU SUKU BANYAK OLEH PEMBAGI BERBENTUK KUADRAT Sekarang akan dibahas cara menentukan sisa pembagian suatu suku banyak oleh pembagi berbentuk kuadrat dimana bentuk kuadrat nya dapat dinyatakan dalam faktor faktor linear. Untuk ini, prasyarat yang diperlukan adalah teorema sisa tentang pembagian sukubanyak oleh atau pada umumnya tidak dibagi oleh
Sebagian besar soal soal teorema sisa ,bentuk sukubanyak
diketahui. Akan tetapi, yang diketahui adalah sisanya apabila sukubanyak pembagi pembagi linearnya. CONTOH : 1. Jika dibagi dibagi sisanya 2. dibagi sisanya 4, jika dibagi
sisanya -3, dan jika
Tentukan sisanya jika Jawab : dibagi dibagi ( dibagi Pembagi Misalkan sisanya
sisanya 4, maka sisanya -3, maka sisanya 2 maka
..(1)
..(2)
..(3)
maka sisanya maksimum berderajat 2. dan hasil baginya maka diperoleh hubungan .
32
y Substitusi Substitusi Substitusi
diperoleh : diperoleh : diperoleh :
y
y
Persamaan persamaan ( dibagi
membetuk system persamaan linear tiga variabel dan .
dengan penyelesaian
Jadi,
memberikan sisa
.
H. TEOREMA FAKTOR 1. Pengertian Faktor Dan Teorema Faktor Teorema 3 Misalkan adalah sebuah sukubanyak, adalah faktor dari jika dan hanya jika
Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Faktor. Perhatikan bahwa dalam Teorema Faktor memuat kata hubung logika jika dan hanya jika , sehingga Teorema Faktor adalah sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi dua arah. Oleh karena itu, pernyataan dalam Teorema Faktor itu dapat dibaca sebagai berikut ;
33
1. Jika 2. Jika Bukti Teorema 3 : 1. Misalkan
adalah faktor dari maka
maka
dan
adalah faktor dari
adalah faktor dari
dapat dituliskan sebagai
Dengan
adlah sukubanyak hasil bagi dengan bentuk tertentu. kedalam persamaan sehingga diperoleh
Subtansi nilai
Jadi, jika 2. Misalkan
adalah faktor dari dibagi dengan
maka memberikan hasil bagi dan sisa dengan
menggunakan teorema 1, pernyataan ini dapat dituliskan sebagai
untuk
persamaan diatas dapat diubah menjadi
Hubungan ini menunjukan bahwa
adalah faktor dari
.
Berdasarkan uraian 1 dan 2 tersebut terbukti bahwa : adalah faktor dari jika dan hanya jika
34
CONTOH : Tentukan nilai a) b) Jawab : a) mempunyai faktor , syaratnya . karena maka diperoleh hubungan : b) adalah faktor dari adalah faktor dari untuk setiap pernyataan berikut ini. mempunyai faktor
Jadi,
mempunyai faktor
untuk nilai , syaratnya
Karena
maka diperoleh hubungan :
Jadi,
adalah faktor dari
, untuk nilai
I. MENENTUKAN FAKTOR FAKTOR SUATU SUKUBANYAK Setelah memahami pengertian faktor dan teorema faktor , sekarang dipelajari bagaimana cara menentukan faktor faktor daru suatu sukubanyak dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma berikut.
35
Langkah 1 Jika adalah faktor dari suku banyak maka nilai nilai Langkah 2 Dengan cara coba coba ,subtitusikan nilai maka, dari Langkah 3 Setelah diperoleh sebuah faktor sukubanyak hasil bagi CONTOH : Carilah faktor faktor dari setiap suku banyak berikut ini , kemudian tuliskan sukubanyak itu dalam bentuk perkalian dan faktor faktornya . a) Jawab : a) , maka suku tetapan , yaitu maka . b) oleh . , faktor faktor yang lain dapat ditentukan dari adalah faktor dari sehingga diperoleh maka , . Jika demikian bukan factor yang mungkin adalah faktor faktor bulat dari
. Akan tetapi jika
Substitusi nilai nilai adalah faktor dari
sehingga diperoleh maka
jika
, tetapi jika
bukan faltor dari
36
y
Untuk nilai
diperoleh :
bukan faktor dari y Untuk nilai diperoleh :
.
adalah faktor dari Hasil bagi oleh ditentukan dengan metode pembagian sintetik.
dan bentuk ini
Dari bagan tersebut terlihat bahwa hasil baginya adalah dapat difakrorkan menjadi Jadi, faktor faktor linier dari Sukubanyak adalah
dalam bentuk perkalian faktor faktornya adalah .
b) Nilai nilai : Substitusi nilai- nilai
maka suku tetapan yang mungkin adalah factor bulat dari , yaitu
37
y
Untuk
diperoleh :
bukan faktor dari y Untuk diperoleh :
bukan faktor dari y Untuk diperoleh : oleh
adalah faktor dari Hasil dari sintetik. ditentukan dengan metode pembagian
Hasil baginya adalah
dan bentuk ini dapat difaktorkan menjadi adalah dan
jadi .
, faktor faktor linier dari Dengan demikian ,sukubanyak faktor faktor lineranya, yaitu
dapat dituliskan dalam bentuk
Catatan: pada contoh ini , faktor faktor yang diperoleh mempunyai koefisien koefisien bilangan rasional. Faktor faktor yang mempunyai cirri seperti itu disebut faktor faktor rasional .
38
Perhatikan bahwa dalam mencari faktor faktor linier dari suatu suku banyak berderajat tiga , pertama tama dicari dahulu sebuah faktor linearnya. faktor faktor yang lain ditentukan dari sukubanyak hasil bagi yang berderajat dua. Dengan menggunakan analisis yang sama ,faktor faktor linear dari sukubanyak berderajat empat dapat ditentukan dengan cara mencari terlebih dahulu satu atau dua buah faktor linearnya. Kemampuan faktor faktor yang lain ditentukan dari sukubanyak hasil bagi yang berderajat tiga atau dua.untuk lebih jelasnya , simaklah contoh berikut ini . CONTOH : Tentukan faktor faktor linear setiap sukubanyak berderajat empat berikut ini .
Jawab : suku tetapan Nilai nilai yang mungkin adalah faktor faktor bulat dari yaitu
Substitusi nilai- nilai Untuk diperoleh :
y
adalah faktor dari y Untuk diperoleh :
39
Untuk
1) bukan faktor dari diperoleh : adalah faktor dari
y
y
Untuk
diperoleh :
2) bukan faktor dari Hasil bagi
. dibagi oleh
Dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek sebagai berikut.
_
_
_
40
Hasil baginya adalah
dan bentuk kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi
. Jadi, faktor faktor linear dari sukubanyak adalah .
Misalkan
adalah suku banyak , Sedangkan
merupakan faktor dari
jika dan hanya jika dengan
jika dan hanya jika
adalah akar persamaan
menggunakan kaidah silogisme pada dua pernyataan tersebut , dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Misalkan hanya jika adalah sebuah sukubanyak, merupakan faktor dari jika dan
disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak
Catatan : 1. jika sukubanyak berderajat maka persamaan maksimum mempunyai
buah akar yang real. Taksiran geometri dari sumbu X.
2.
adalah menyatakan titik potong grafik fungsi
dengan
41
CONTOH : Tunjukan bahwa salah satu akar persamaan sukubanyak tentukan akar akar yang lain. Jawab: Misalkan . Untuk menunjukan bahwa 3 adalah akar dari adalah 3. Kemuadian
y
cukup diperlihatkan bahwa
Karena y
maka 3 adalah akar dari persamaan
Untuk menentukan akar akar yang lain , dicari terlebih dahulu hasil bagi dengan . Hasil bagi itu ditentukan dengan metode
pembagian sintetik sebagai berikut.
Hasil baginya adalah Jadi, akar akar yang lainnya adalah dan .
Pada contoh diatas akar akar persamaan sukubanyak itu dikatakan memiliki akar akar rasional bulat.
42
Akar akar rasional (bulat maupun pecahan)dari suatu persamaan sukubanyak secara umum dapat ditentukna dengan menggunakan teorema berikut. Teorema Akar Akar Rasional Misalkan adalah persamaan sukubanyak adalah akar rasional dari . maka c adalah
dengan koefisien koefisien bulat . jika faktor bulat positif dari dan
adalah factor bulat dari
Dalam prakteknya, akar akar rasional dari suatu persamaan sukubanyak yang diungkapkan dalam teorema diatas ditentukan dengan menggunakan algoritma sebagai berikut. Langkah 1 Mula mula di tentukan akar akar yang mungkin dari persamaan sukubanyak , adalah faktor bulat positif dari dan adalah faktor bulat dari . yaitu
Langkah 2 Dari himpunan akar akar yang mungkin yang diperoleh pada langkah 1, akar akar yang sebenarnya harus memenuhi syarat
CONTOH : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Jawab : , Akar akar yang mungkin adalah .43
y
dan
y
faktor bulat positif dari faktor bulat dari
yaitu
yaitu 1 dan 3 dan
Akar akar yang mungkin adalah
Menghitung nilai nilai
y
Untuk
diperoleh :
Karena y Untuk
maka diperoleh :
adalah akar dari
.
Karena y Untuk
maka , diperoleh :
bukan akar dari
Karena y Untuk
, maka ,diperoleh :
adalah akar dari
Karena
maka 1 adalah akar dari
44
Dari perhitungan diatas telah di peroleh tiga buah akar, yaitu sehingga perhitungan nilai
dan berderajat 3
tidak perlu dilanjutkan. Sebab untuk
maksimum hanya mempunyai tiga buah akar. Jadi, akar akar persamaan suku banyak , dan adalah .
atau himpunan penyelesaiannya adalah HP
Algoritma yang telah dijelaskan di atas hanya dapat digunakan untuk menentukan akar akar rasional dari suatu persamaan sukubanyak. Akar akar irasional tidak dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma itu. Akar akar irasional ini dapat ditentukan dari sukubanyak hasil bagi yang berderajat dua, sehingga akar akar nya dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat. Berikut ini diberikan sebuah contoh penyelesaian persamaan sukubanyak yang mempunyai akar akar rasional dan irasional. CONTOH : Tentukan akar akar dari persamaan sukubanyak Jawab : Akar akar yang mungkin adalah
.
Menguji nilai akar akar yang mungkin . maka bukan akar
y
45
y maka
maka
bukan akar
y y Menentukan akar akar irasional. Karena 2 adalah akar akar dari
bukan akar dari
maka 2 adalah akar dari
, maka
dapat dituliskan menjadi
bentuk kuadrat ini merupakan hasil bagi dengan
Akar akar irasionalnya ditentukan dari persamaan kuadrat Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh Jadi, persamaan sukubanyak dan akar irasional HP , atau . atau mempunyai akar rasional 2 , ditulis himpunan penyelesaiannya
46
DAFTAR PUSTAKA 1. www.belajar-matematika.com 2. Abrahansom, D; Gray, M.C (1971). The Art Algebra. Adelaide: Rigby Limited. 3. Krismanto, A (1998). Persamaan dan pertidaksamaan Absolut serta persamaan polinom. Yogyakarta: PPPG Matematika 4. Wirodikromo, Sartono ( 2000). Matematika 2000. Jilid 7. Jakarta: Erlangga
47