23/11/2010

1

KuantorTujuan

• Menjelaskan pengertian kuantor, yakni kuantor universal dankuantor eksistensial serta penggunaannya

• Menjelaskan hubungan antara kuantor universal dan kuantoreksistensial

• Menjelaskan peranan domain penafsiran untuk menentukanjenis kuantor dan penulisannya

• Menjelaskan teknik atau cara mempredikat satu dan n-aritasobjek

• Menjelaskan tentang pengembangan fungsi proposisi

• Menjelaskan tentang variabel yang terikat dan bebas padakuantor

• Menjelaskan pembatasan kuantor untuk membuat ekspresi

Kuantor

Dalam suatu pernyataan akan ada variabel-variabel yang seringatau kadang-kadang muncul, atau bersifat umum serta tidakbersifat khusus, seperti “manusia”, “binatang”, dan sebagainya.

Contoh :

1. Semua gajah mempunyai belalai

2. Beberapa mahasiswa mengambil mata kuliah logika informatika

3. Setiap penduduk harus belajar dari buku teks

4. Ada penduduk kota Jakarta yang terkena flu burung

Semua pernyataan di atas mengindikasikan seberapa seringpernyataan –pernyataan di atas tersebut bernilai benar.

Untuk memperlihatkan hal tersbeut, digunakan kuantor-kuantor (quantifiers), sedangkan proses pemberian kuantordisebut pengkuantoran (quantification)

Kuantor

Kuantor Universal

Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah variabel, maka jikaingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuk semuanilai yang dimungkinkan untuk x akan ditulis (x)A.

Di sini x disebut kuantor universal, dengan A dalah scope darikuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor.

Pernyataan-pernyataan yang berisi kata “semua”, “setiap” ataukata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanyapengkuantoran secara universal, maka dipakai kuantoruniversal.

Dalam bahasa Inggris, misalnya untuk orang, ada kata “everypeople”, “all people”, “anybody”, “each people”, dan lain-lain.

Kuantor

Contoh :

Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks

Pada contoh di atas, jika ingin ditulis dalam bentuk logika predikat, makaasumsikan predikat B adalah “harus belajar dari buku teks” sehingga jikaditulis menjadi B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”.

Kata “Setiap mahasiswa”mengindikasikan bernilai benar untuk semua x,maka penulisan yang lengkap adalah :

(x)B(x)

Contoh di atas dibaca “Untuk semua x, x harus belajar dari buku teks”. Akantetapi notasi tersebut belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa,maka harus ditulis menjadi :

(x)(M(x) B(x))

Yang dapat dibaca “Untuk semua x, jika x adalah mahasiswa maka x harusbelajar dari buku teks”.

tony.d-2010

23/11/2010

2

Kuantor

Contoh :

Semua bilangan prima adalah ganjil

(x)(P(x) O(x))

Di mana P mengganti “bilangan prima”, sedangkan O mengganti “ganjil (odd)”sehingga dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah bilangan prima, maka xadalah bilangan ganjil”

Contoh Tahap-tahap Pengkuantoran Universal :

Semua mahasiswa harus rajin belajar

Langkah 1 : Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya.

“jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”.

Selanjutnya ditulis menjadi :

mahasiswa(x) harus rajin belajar(x)

Kuantor

Langkah 2 : Beri kuantor universal di depannya

(x)(mahasiswa(x) harus rajin belajar(x))

Langkah 3 : Ubah menjadi fungsi

(x)(M(x) B(x))

Penulisan fungsi, terutama pada peletakan tanda kurung biasa berada didalam tanda kurung di belakang kuantor universal diperlakukan miripproposisi majemuk, sedangkan kuantor universal mirip perangkai unary.

Catatan:

Pengkuantoran universal dari suatu proposisi A(x) adalah A(x) selalu benaruntuk seluruh nilai x pada universe of discourse-nya.

Kuantor

Kuantor Eksistensial

Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah variabel, maka jikaingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuksekurang-kurangnya satu dari x, maka akan ditulis (x)A.

Di sini x disebut kuantor eksistensial, dengan A dalah scope darikuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor.Simbol mengantikan kata “ada”, “beberapa”, atau “tidaksemua”.

Dalam bahasa Inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapatditunjukkan dengan penggunaan kata “some”, “there is”, “atleast one”, dan kata lain yang sama artinya.

Kuantor

Contoh Tahap-tahap Pengkuantoran Eksistensial :

Ada pelajar yang memperoleh beasiswa prestasi

Langkah 1 : Carilah lingkup (scope) dari kuantor eksistensialnya.

“ada x yang adalah pelajar dan x memperoleh beasiswa prestasi”.

Selanjutnya ditulis menjadi :

pelajar(x) memperoleh beasiswa prestasi(x)

Langkah 2 : Beri kuantor eksistensial di depannya

(x)(pelajar(x) memperoleh beasiswa prestasi(x))

Langkah 3 : Ubah menjadi fungsi

(x)(P(x) B(x))

Lihat contoh bilangan prima.

tony.d-2010

23/11/2010

3

Kuantor

Mempredikatkan satu dan N-aritas Objek

Dalam penulisan fungsi kuantor, perhatikan situasi-situasi yang melibatkanpenggunaan kuantor.

• Jika pernyataan memakai kuantor universal (), maka digunakanperangkai implikasi (), yakni: “Jika semua …….., maka …….”

• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (), maka digunakanperangkai konjungsi (), yakni: “Ada …….. yang …… dan …….”

Contoh :

1. Semua orang harus bekerja (x)(O(x) B(x))

2. Beberapa mahasiswa lulus sarjana (x)(M(x) L(x))

3. Ada sesuatu yang hilang di Desa Sidomakmur (x)(S(x) H(x))

4. Semua rumput berwarna hijau (y)(R(y) H(y))

Kuantor

Pada contoh-contoh sebelumnya berhubungandengan predikat unary ataurelasi satu tempat (objek hanya satu), dan tentu saa penulisan simbo,harusmampu menunjukkan predikat n-ary, yakni relasi yang objeknya sebanyak nbuah.

Contoh :

1. Setiap orang mencintai Yogyakarta (x)(C(x,y))

2. Setiap bilangan genap dapat dibagi 2 (x)(G(x) B(x,2))

3. Ada suatu kota besar yang terletak di sebelah barat kota Bekasi, Krawangdan Cirebon (x)(K(x) B(x,b,k,c))

4. Tidak ada bilangan prima diantara 23 dan 29 (x)(K(x) A(x,23,29))

5. Badu mengenal semua benda (x)(K(b,x))

6. Badu mengenal setiap benda (x)(K(b,x))

Kuantor

Untuk dua pernyataan terakhir pada contoh, mungkin saja akan ada yang

menggunakan dua simbol predikat yang hampir sama, yakni memakai K1 dan

K2. Penggunaan dua simbol predikat yang berbeda kadang-kadang terasa

agak aneh, dan bisa saja diterima jika pada kumpulan pernyataan terdapat

dua predikat yang sama, tetapi dengan variabel yang berbeda.

Tetapi sebaiknya tetap bisa dibedakan agar tidak terjadi salah penafsiran

atau ambiguitas.

Kuantor

Domain Penafsiran Kuantor dan Kuantor Ganda

Domain penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantoryang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya.

Contoh :

Setiap orang mencintai Yogyakarta.

Selanjutnya ditulis menjadi : (x)(C(x,y))

Simbol tersebut bisa dibaca “untuk semua x, x mencintai Yogyakarta”.

Persoalan yang terjadi adalah domain penafsiran seseorang untuk x bisaberbeda-beda. Ada yang menganggap x adalah manusia, tetapi mungkinada yang yang menganggap x adalah makhluk hidup selain manusia.Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkanpasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwadomain penafsiran hanya orang, simbol penulisan diganti menjadi :

(x)(O(x) C(x,y))

tony.d-2010

23/11/2010

4

Kuantor

Simbol yang sudah diubah dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah orang,maka x mencintai Yogyakarta”. Atau lebih tepatnya bisa dibaca “untuk semua x,jika x mempunyai properti O, maka x membawa relasi C ke y”.

Contoh Lain :

Setiap orang dicintai oleh seseorang.

Selanjutnya ditulis menjadi : (x)(y)(C(y,x)

yang dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah orang, maka ada y tertentuyang y tersebut juga orang dan y tersebut mencintai x”.

Ternyata pembacaannya lebih sulit dan lebih banyak kekurangannya, yaknix dan y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang,dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baiklagi jika bisa memakai variabel yang sama.

(x)(O(x) (y)(O(x) C(y,x)))

KuantorJika ditulis seperti berikut :

(x)(H(x) M(x))

dapat dibaca “untuk semua x, x hidup atau x mati”. Akan tetapi, jika ditulisseperti berikut :

(x)(H(x)) M(x)

dibaca “untuk semua x hidup, atau x mati”.

Pada “x mati”, x tidak terhubung dengan kuantor universal, yangterhubung hanya “x hidup”. Peletakkan tanda kurung bisa mempengaruhihasil.

(x)(H(x) M(x)), x dapat saja diganti dengan y & menjadi (y)(H(y) M(y))

(y)(H(y) M(y)) merupakan variant dari (x)(H(x) M(x))

Suatu ekspresi logika disebut variant dari (x)A jika ia berbentuk (y) Sx A, dimana

y adalah variabel, dan Sx A adalah ekspresi dari A dengan mengganti x dengan y.

Jadi, bentuk (x)A sama saja dengan bentuk (y) Sx A.y

y

y

Kuantor

Contoh Lain :

• Seseorang dicintai oleh semua orang. (x)(O(x) (y)(O(x) C(y,x)))

• Dua bilangan apa saja dapat dijumlahkan (x)(y)(x)(x+y=z)

• Ada bilangan prima kurang dari 10, yang dapat dibagi oleh semuabilangan genap antara 100 dan 1000 (x)(P(x) K(x,10) (y)(G(y) K(y,100) K(y,1000) A(x,y)))

Kuantor universal () dan kuantor eksistensial () diperlakukan sepertiperangkai unary, mirip perangkai negasi (), dan kuantor juga memilikiurutan lebih tinggi dibandingkan perangkai binary.

Contoh :

• H(x) dibaca “x adalah hidup”

• M(x) dibaca “x dalah mati”

Kuantor

Latihan :

• Badu sangat sibuk, tetapi Dito tidak sibuk

• Jika Siti mirip Dewi dan Dewi mirip Santi, maka Siti mirip Santi

1. Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logikapredikat jika universe of discourse adalah semua manusia.

2. Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logikapredikat jika universe of discourse adalah semua hewan.

• Semua harimau adalah pemangsa

• Ada harimau hidup di Kebun Binatang Ragunan

• Hanya harimau yang mengaum

tony.d-2010