MODUL MATEMATIKA 2012

1

LIMIT FUNGSI

A. DEFINISI

Limit fungsi untuk mendekati a

Definisi :

Suatu fungsi f(x) didefinisikan untuk x mendekati a, maka :

LxfLim

Jika x a maka

xfLimxfLimaxax

Definisi Intuitif

Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil

sedemikian hingga:

Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x a), f(x) dekat ke L

Bila x mendekati a tetapi x a, maka f(x) mendekati L

Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a

tetapi tdk sama dg a

Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

Lxfax

)(lim

Contoh :

5

4

6

4lim

2

2

2 xx

x

x

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.1

0.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.1

83333.03 75.01

)()( xfxxfx

MODUL MATEMATIKA 2012

2

6

4)(

2

2

xx

xxf

Menentukan limit fungsi

1. Metode Substitusi Langsung

Contoh :

11101

xLimx

2. Memfaktorkan

Contoh :

1) 11

1

1

1

1 0020 xLim

xx

xLim

xx

xLim

xxx

2) 1

1092

1 x

xxLimx

1110110 1

101

00xLim

x

xxLim

xx

3. Mengalikan dengan Sekawan

Contoh :

1) 47

9

2

2

3 x

xLimx

47

47

47

9

2

2

2

2

3 x

x

x

xLimx

167

4792

22

3 x

xxLimx

MODUL MATEMATIKA 2012

3

479

479 232

22

3xLim

x

xxLim

xx

844479

B. Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

Lxfax

)(lim

Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

Lxfax

)(lim

Teorema :

Lxfax

)(lim

jika dan hanya jika

)(lim)(lim xfLxfaxax

Contoh :

ada tidak )(lim Maka

. .2)2(lim)(lim ,0Untuk

. .11lim)(lim,0Untuk

.0,2

0,1)(

0

00

00

xf

xfx

xfx

x

xxf

x

xx

xx

kirilimit

kananlimit

C. Teorema Limit

1. kxfLimkxfax

untuk k dan Ra

k = konstanta

2. axfLimxxfax

3. a. xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

MODUL MATEMATIKA 2012

4

b. xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

4. Jika k = konstanta, xfLimkxfkLimaxax

5. a. xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

b. xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax

6. a. n

ax

n

axxfLimxfLim

b. nax

n

axxfLimxfLim

dengan 0 xfLimax

untuk n genap

Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

misalnya : 63

04

, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya : 00

1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk

tertentu.

D. Limit Fungri Trigonometri

cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)

1)sin(

lim maka ,)cos(

1lim1)cos(lim

000 x

x

xx

xxx

1sin

0 x

xLimx

1sin

0 x

xLimx

1 tg

0 x

xLimx

MODUL MATEMATIKA 2012

5

1 tg

0 x

xLimx

1sin

sin

00 ax

axLim

ax

axLim

xx

1 tg

tg

00 x

axLim

ax

axLim

xx

Contoh :

1. 5

6

5

61

5

6

6

6 tg

05

6 tg

0 x

x

x

Lim

x

xLimx

2. 3

4

3 tg

3

4

4sin

3tg

sin

000 x

xLim

x

xLim

x

uxLim

xxx

3

4

3

411

Soal Limit Fungsi

1. 3

3

3 x

xLimx

= .

2. x

xLimx 3sin

5sin

0 = .

3. ....3

23

3 x

xLimx

4. ....1

1

1 x

xLimx

5. ....99 22

0 x

xxxxLimx

6. ....43

23

2

xx

xLimx

7. 1 ,2 ax

xgLimxfLimax

....24

xgxf

xgxfLim

ax

8. ....44x

842

2

23

2 x

xxxLimx

MODUL MATEMATIKA 2012

6

9. ....5

8tan

0 x

xLimx

10. ....3tan

6sin

0 x

xLimx

E. Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya

jika lim ( ) ( )x a

f x f a .

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :

1. f(a) terdefinisi (ada)

2. lim ( )x a

f x terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu

(tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)(2 xxxf kontinu di x = 1

Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12

f(1) terdefinisi

2) 13113xxlim)x(flim 221x1x

lim ( )x

f x1

terdefinisi

3) lim ( ) ( )x

f x f1

1 Jadi fungsi f x x x( )2 3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x xx

( )2 9

3 kontinu di x = 3

Jawab : 1) f ( )3 3 93 3

0

0

2

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

y

f(a) f(x)

x a

f(x) kontinu di x = a,

sebab )()(lim afxfax

1.

y

f(a)

f(x)

x a

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x tidak ada

2.

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x f(a)

y

f(a) f(x)

x a

3.

MODUL MATEMATIKA 2012

7

3. Selidiki apakah fungsi

2untuk ,4

2untuk ,)( 2

42

x

xxf x

x

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)

2) 31111xxlimlimlim)x(flim 221x1x

)1x2x)(1x(

1x1x13x

1x1x

(terdefinisi)

3) )1()(lim1

fxfx

, berarti f(x) diskontinu di x = 1