limit-fungsi

9
LIMIT FUNGSI Pendahuluan Limit fungsi disatu titik dan limit fungsi di tak higga merupakan konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral. Untuk dapat memahami konsep limit funsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutalk sebagai ukuran jarak pada garis bilangan, persamaan sebagai ukuran kedekatan dan dan berbagai sifat tentang funsgi real sebagai obyeknya. Pada bab ini akan dibahas tentang konsep limit funsi termasuk berbagai sifat dan limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi, limit di tak hingga dan bentuk tak tentu dari limit fungsi Konsep limit fungsi

Upload: fido

Post on 19-Dec-2015

20 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

pengertian limit fungsi

TRANSCRIPT

  • LIMIT FUNGSI

    Pendahuluan

    Limit fungsi disatu titik dan limit fungsi di tak higga merupakan konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral. Untuk dapat memahami konsep limit funsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutalk sebagai ukuran jarak pada garis bilangan, persamaan sebagai ukuran kedekatan dan dan berbagai sifat tentang funsgi real sebagai obyeknya. Pada bab ini akan dibahas tentang konsep limit funsi termasuk berbagai sifat dan limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi, limit di tak hingga dan bentuk tak tentu dari limit fungsi

    Konsep limit fungsi

  • 1 Teorema

    1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

    +=+ 4. [ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax

    =

    2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

    = 5. )x(g

    axlim

    )x(fax

    lim

    )x(g

    )x(f

    axlim

    =

    dengan 0)x(glimax

    3. )x(flim.c)x(f. climaxax

    = , c = konstanta 6. [ ] nax

    n

    ax)x(flim)x(flim

    =

    2 Bentuk Tak Tentu

    Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

    misalnya : 63 04, . 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

    00 1, , ,

    Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

  • 3 Limit Fungsi Aljabar

    Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

    f x f a

    =

    Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

    x x

    + = + = + =3

    2 22 3 2 3 9 6 15

    2. lim ( )x

    x xx

    ++

    ++= = =0 5 7

    0 05 0 7

    07

    2 2 0

    Bentuk tak Tentu Limit Fungsi Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : ( )00 1, , dan .

    3.1 Bentuk ( )00 Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

    Catatan : 1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh

    dibagi dengan (x a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum

    difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 1. lim lim lim( )( )( )( )

    x

    x x

    x x

    x x

    x xx

    xx

    +

    +

    +

    += = = =35 6

    9 3

    3 23 3 3

    23

    3 23 3

    16

    2

    2

    2. lim lim( )( ) ( )xx x x

    x x x

    x x x

    x x x x

    x x

    x x

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    += = = =

    05

    4 25

    4 2 05

    4 20 0 5

    0 4 0 252

    3 2

    3 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    3. ( )lim lim lim ( ) ( )( )x x xx x x x xx x xx x x x xx x x + + + + + + + + + = = =1 3 5 1 1 3 5 11 3 5 13 5 1 1 3 5 11 3 5 12 2 2 2 22 22 2 lim lim lim

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    ( )xx x

    x x x x

    x x

    x x x x x

    x

    x x x

    +

    + +

    + + +

    + + +

    = = =1

    5 41 3 5 1 1

    1 4

    1 1 3 5 1 1

    4

    1 3 5 1

    2

    2 2 2 2

    ( )1 4

    1 1 4 43

    2 2 23

    838

    + +

    +

    = = = ( ) ( )

    3.2 Limit Bentuk ( )

    Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : lim

    x

    ax

    = 0 .

    Contoh :

    )a(Q

    )a(P

    )x(Q

    )x(P

    ax)x(Q)ax(

    )x(P)ax(

    ax)x(g

    )x(f

    axlimlimlim ==

  • 1.2

    1

    12

    6

    0012

    006

    12

    6limlim

    x8x7x12

    x5x2x6lim

    2x

    8x7

    2x

    5x2

    x3x

    x83x

    2x73x

    3x12

    3x

    x53x

    2x23x

    3x6

    x23

    23

    x==

    +

    +=

    +

    +=

    +

    ++

    +

    +

    2. 02

    0

    002

    000

    2limlim

    x4xx2

    x3x7x6lim

    2x

    4x1

    3x

    32x

    7x6

    x4x

    2x44x

    3x4x

    4x2

    4x

    x34x

    2x74x

    3x6

    x234

    23

    x==

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +

    3. ==+

    +=

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +

    0

    5

    000

    0055

    limlim7x4x2

    2x3x5lim

    4x

    72x

    4x2

    4x

    22x

    3

    x4x

    74x

    2x44x

    3x2

    4x

    24x

    2x34x

    4x5

    x23

    24

    x

    Kesimpulan: Jika f x a x a x an n n( ) .....= + + +0 1 1 g x b x b x bm m m( ) .....= + + +0 1 1 maka: 1. lim ( )( )

    x

    f xg x

    a

    b=

    0

    0 untuk n = m

    2. lim ( )( )x

    f xg x

    = 0 untuk n < m

    3. lim ( )( )x

    f xg x

    = atau - untuk n > m

    4. limx

    x x x

    x x x

    +

    += =

    2 76 2 8

    26

    13

    5 4 3

    5 3 2 (kesimpulan (1)) 5. lim

    x

    x x x

    x x x

    +

    + +=

    10 8 7

    12 5 22 312

    0 (kesimpulan (2)) 6. lim

    x

    x x

    x x x

    +

    + =

    3 6 22 7

    7 4

    6 4 3 (kesimpulan (3))

    3.3 Limit Bentuk ( ) Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

    Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

    )x(g)x(f

    )x(g)x(f

    x)x(g)x(f

    )x(g)x(f

    xlim)x(g)x(flim

    +

    +

    +

    =

    2. Bentuknya berubah menjadi ( )

    3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

    Contoh: 1. =+++

    1x4x2x6xlim 22

    x

    =

    +++

    ++++

    ++++

    1x42x2x62x

    1x42x2x62x22

    x1x4x2x6xlim

    ==

    ++++

    ++++

    +++

    1x42x2x62x

    1x10

    x1x42x2x62x

    )1x42x()2x62x(

    xlimlim

    5lim210

    11

    10

    1x42xx2x2

    1x10

    x===

    ++

    )x(g)x(flimx

    pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1,

    sebab xx2 =

  • 2. =

    +=+

    ++

    ++

    x32xx2x2

    x32xx2x2222

    x

    22

    xx3xxx2limx3xxx2lim

    ==

    ++

    ++

    +

    x32xx2x2

    x42x

    xx32xx2x2

    )x32x)(x2x2(

    xlimlim

    Secara umum: =++++

    rqxpxcbxaxlim 22

    x

    1) b qa

    2 jika a = p

    2) jika a > p 3) - jika a < p

    3. 21

    42

    42

    )5(322

    x2x5x41x3x4lim ===+

    4. =++

    8xx31x7x4lim 22x

    5. =++

    7x4x53x2x4lim 22x

    3.4 Limit Bentuk ( )1 Definisi : ( )

    asli bilangan n

    .....718281,2e1limn

    n1

    n==+

    Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut : 1. ( ) ( ) ( ) e1lim1lim1lim x

    x1

    x

    x

    x1

    x

    x

    x1

    x==+=+

    2. ( ) ( ) ex1limx1lim x10x

    x1

    0x==+

    Contoh :

    1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 4414114 44

    4

    441lim1lim1lim1lim l=+=

    +=+=+

    x

    x

    x

    xxxx

    x

    x

    x

    xx

    2. ( ) ( ) ( ) 2121x21

    x

    21

    x2

    x21

    x

    x

    x21

    xe1lim1lim1lim =

    +=

    +=+

    3. ( ) ( ) ( ) 33x310x

    3

    x31

    0xx1

    0xex31limx31limx31lim

    =

    =

    =

    4 Limit Fungsi Trigonometri

    Teorema : 1. lim limsin

    sinx

    xx

    x

    xx

    = =0 0

    1

    2. lim limtan tanx

    xx

    x

    xx

    = =0 0

    1

    Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: ba

    bxsinaxtan

    0xbxtanaxsin

    0xbxtanaxtan

    0xbxtanax

    0xbxaxtan

    0xbxsinax

    0xbxaxsin

    0xlimlimlimlimlimlimlim =======

    pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

    x bilangan real

  • Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )

    x af x f a

    =

    Contoh : 1. ( )lim sin cos sin cos

    xx x

    + = + = + =

    02 0 0 0 1 1

    2. 21

    0201

    21cos3

    21sin2

    21cos

    21sin

    xcos3xsin2xcosxsin

    21x

    lim ===+

    pi+pi

    pipi

    +

    pi

    Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : ( )00 0, , . . 4.1 Limit Bentuk ( )00

    1. 43

    x4tanx3sin

    0xlim =

    2. 32

    32

    xsinxsin

    x3sin2

    0xxsinx3x2sin2

    0xxsin.x3

    )x2sin21(1

    0xxsin.x3x2cos1

    0x)1.(.limlimlimlim =====

    3. )ax(

    )ax(21sin

    21

    axax

    )ax(21sin).ax(

    21cos2

    axaxasinxsin

    ax).ax(cos2limlimlim

    +

    +=

    [ ] acos).aa(cos221

    21

    =+=

    4.2 Limit Bentuk Limit bentuk ( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :

    )x2

    sin(

    xsin.2

    sin

    2x

    xcosxsin1

    2x

    xcosxsin

    xcos1

    2x

    2x

    limlim)(lim)xtanx(seclim

    pi

    pi

    pi

    pipipi

    ===

    ( ))x

    2sin(

    )x2(

    21sin

    221

    2x)x2

    sin(

    )x2(

    21sin)x

    2(

    21cos2

    2x

    .xcos2limlim

    pi

    pipi

    pipi

    pi+pi

    pi

    +==

    ( ) 0cos].[cos221

    21

    2221

    =pi=+= pipi

    4.3 Limit Bentuk ( )0. Limit bentuk ( )0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :

    ( ) =pi

    ===pi

    pi

    pipi

    pi

    pi

    pi

    xsinlimlimlimxtan).1x(lim

    21

    )x1(21sin

    )1x(

    1x)x21

    21sin(

    x21sin)1x(

    1xx21cos

    21)(sin1(

    1x21

    1x

    ( )pipipi

    ==pi

    2

    211

    21

    211 sin

    5 Limit Deret Konvergen

    Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1. Teorema :

    r1

    aS

    =

    S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama

  • r : rasio, yaitu r UU= 21 Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

    a) 2 1 12 14+ + + + ..... b) 3 1 13 19 + + ..... Jawab : a) S a

    r= = = =

    12

    12

    12

    12

    4 b) S a

    r= = = =

    13

    13 9

    413

    43( )

    2. Hitung limit berikut : a) ( )

    n41

    161

    41

    n...1lim ++++

    b)

    =

    n

    1i

    i

    n3.2lim

    Jawab : a) ( )lim ...n

    arn

    + + + + = = =1 14 116 14 11

    1431

    4

    b) 2....lim3.2lim3132

    321

    32

    r1a

    n3

    292

    32

    1i

    n

    1i

    i

    n====

    +++=

    ==

    3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 ..... b) 0,242424 ..... Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

    32

    96

    9,0

    6,0

    1,01

    6,0

    r1a

    =====

    b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 + 338

    9924

    99,0

    24,0

    01,01

    24,0

    r1a

    ====

    4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! Jawab : S a

    r= =

    12 121 ...... (1) U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4

    ( )( )arr

    ar

    rr1 1 12

    4 4

    += = ...... (2) ( )

    21

    r1r12

    r1r

    r4r8

    r44r124412 : (2) dan (1) Dari

    ==

    +===++

    Persamaan (1) : ar

    a a1 112 12 612 = = =

    Rasio = 12 dan suku pertama = 6

    5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

    Jawab :

    R D C

    S Q

    52 52

    5 5 P B A

    Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2. Rasio luas = 50100

    12=

    Jumlah semua bujursangkar = a1 5 1501 12 200 = = cm2

  • 6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

    Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )

    x af x f a

    = .

    Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1. f(a) terdefinisi (ada) 2. lim ( )

    x af x

    terdefinisi ada

    3. lim ( ) ( )x a

    f x f a

    =

    Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

    Perhatikan gambar berikut :

    Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)( 2 += xxxf kontinu di x = 1

    Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12= + = f(1) terdefinisi 2) ( ) 13113xxlim)x(flim 22

    1x1x=+=+=

    lim ( )

    xf x

    1 terdefinisi

    y

    f(a) f(x)

    x a

    f(x) kontinu di x = a,

    sebab )()(lim afxfax

    =

    1.

    y

    f(a)

    f(x)

    x a

    f(x) diskontinu di x = a,

    sebab lim ( )x a

    f x

    tidak ada

    2.

    f(x) diskontinu di x = a,

    sebab lim ( )x a

    f x

    f(a)

    y

    f(a) f(x)

    xa

    3.

  • 3) lim ( ) ( )x

    f x f

    =1

    1 Jadi fungsi f x x x( ) = + 2 3 kontinu di x =1. 2. Selidiki apakah fungsi f x x

    x( ) =

    2 93 kontinu di x = 3

    Jawab : 1) f ( )3 3 93 3 002

    = =

    (tidak terdefinisi) Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

    3. Selidiki apakah fungsi

    =

    =

    2untuk ,42untuk ,)( 2

    42

    x

    xxf x

    x

    kontinu di x = 2

    Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi) 2) ( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 22

    1x1x

    )1x2x)(1x(

    1x1x13x

    1x1x=++=++===

    ++

    (terdefinisi) 3) )1()(lim

    1fxf

    x

    , berarti f(x) diskontinu di x = 1