limit-fungsi
DESCRIPTION
pengertian limit fungsiTRANSCRIPT
-
LIMIT FUNGSI
Pendahuluan
Limit fungsi disatu titik dan limit fungsi di tak higga merupakan konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral. Untuk dapat memahami konsep limit funsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutalk sebagai ukuran jarak pada garis bilangan, persamaan sebagai ukuran kedekatan dan dan berbagai sifat tentang funsgi real sebagai obyeknya. Pada bab ini akan dibahas tentang konsep limit funsi termasuk berbagai sifat dan limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi, limit di tak hingga dan bentuk tak tentu dari limit fungsi
Konsep limit fungsi
-
1 Teorema
1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax
+=+ 4. [ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax
=
2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax
= 5. )x(g
axlim
)x(fax
lim
)x(g
)x(f
axlim
=
dengan 0)x(glimax
3. )x(flim.c)x(f. climaxax
= , c = konstanta 6. [ ] nax
n
ax)x(flim)x(flim
=
2 Bentuk Tak Tentu
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,
misalnya : 63 04, . 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :
00 1, , ,
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.
-
3 Limit Fungsi Aljabar
Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x
x x
+ = + = + =3
2 22 3 2 3 9 6 15
2. lim ( )x
x xx
++
++= = =0 5 7
0 05 0 7
07
2 2 0
Bentuk tak Tentu Limit Fungsi Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : ( )00 1, , dan .
3.1 Bentuk ( )00 Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.
Catatan : 1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh
dibagi dengan (x a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum
difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 1. lim lim lim( )( )( )( )
x
x x
x x
x x
x xx
xx
+
+
+
+= = = =35 6
9 3
3 23 3 3
23
3 23 3
16
2
2
2. lim lim( )( ) ( )xx x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
+
+
+
+
+
+
+
+= = = =
05
4 25
4 2 05
4 20 0 5
0 4 0 252
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
3. ( )lim lim lim ( ) ( )( )x x xx x x x xx x xx x x x xx x x + + + + + + + + + = = =1 3 5 1 1 3 5 11 3 5 13 5 1 1 3 5 11 3 5 12 2 2 2 22 22 2 lim lim lim
( )( )( )
( )( )( )
( )xx x
x x x x
x x
x x x x x
x
x x x
+
+ +
+ + +
+ + +
= = =1
5 41 3 5 1 1
1 4
1 1 3 5 1 1
4
1 3 5 1
2
2 2 2 2
( )1 4
1 1 4 43
2 2 23
838
+ +
+
= = = ( ) ( )
3.2 Limit Bentuk ( )
Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : lim
x
ax
= 0 .
Contoh :
)a(Q
)a(P
)x(Q
)x(P
ax)x(Q)ax(
)x(P)ax(
ax)x(g
)x(f
axlimlimlim ==
-
1.2
1
12
6
0012
006
12
6limlim
x8x7x12
x5x2x6lim
2x
8x7
2x
5x2
x3x
x83x
2x73x
3x12
3x
x53x
2x23x
3x6
x23
23
x==
+
+=
+
+=
+
++
+
+
2. 02
0
002
000
2limlim
x4xx2
x3x7x6lim
2x
4x1
3x
32x
7x6
x4x
2x44x
3x4x
4x2
4x
x34x
2x74x
3x6
x234
23
x==
+
+=
+
+=
+
+=
+
+
3. ==+
+=
+
+=
+
+=
+
+
0
5
000
0055
limlim7x4x2
2x3x5lim
4x
72x
4x2
4x
22x
3
x4x
74x
2x44x
3x2
4x
24x
2x34x
4x5
x23
24
x
Kesimpulan: Jika f x a x a x an n n( ) .....= + + +0 1 1 g x b x b x bm m m( ) .....= + + +0 1 1 maka: 1. lim ( )( )
x
f xg x
a
b=
0
0 untuk n = m
2. lim ( )( )x
f xg x
= 0 untuk n < m
3. lim ( )( )x
f xg x
= atau - untuk n > m
4. limx
x x x
x x x
+
+= =
2 76 2 8
26
13
5 4 3
5 3 2 (kesimpulan (1)) 5. lim
x
x x x
x x x
+
+ +=
10 8 7
12 5 22 312
0 (kesimpulan (2)) 6. lim
x
x x
x x x
+
+ =
3 6 22 7
7 4
6 4 3 (kesimpulan (3))
3.3 Limit Bentuk ( ) Limit ini umumnya memuat bentuk akar:
Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !
)x(g)x(f
)x(g)x(f
x)x(g)x(f
)x(g)x(f
xlim)x(g)x(flim
+
+
+
=
2. Bentuknya berubah menjadi ( )
3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)
Contoh: 1. =+++
1x4x2x6xlim 22
x
=
+++
++++
++++
1x42x2x62x
1x42x2x62x22
x1x4x2x6xlim
==
++++
++++
+++
1x42x2x62x
1x10
x1x42x2x62x
)1x42x()2x62x(
xlimlim
5lim210
11
10
1x42xx2x2
1x10
x===
++
)x(g)x(flimx
pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1,
sebab xx2 =
-
2. =
+=+
++
++
x32xx2x2
x32xx2x2222
x
22
xx3xxx2limx3xxx2lim
==
++
++
+
x32xx2x2
x42x
xx32xx2x2
)x32x)(x2x2(
xlimlim
Secara umum: =++++
rqxpxcbxaxlim 22
x
1) b qa
2 jika a = p
2) jika a > p 3) - jika a < p
3. 21
42
42
)5(322
x2x5x41x3x4lim ===+
4. =++
8xx31x7x4lim 22x
5. =++
7x4x53x2x4lim 22x
3.4 Limit Bentuk ( )1 Definisi : ( )
asli bilangan n
.....718281,2e1limn
n1
n==+
Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut : 1. ( ) ( ) ( ) e1lim1lim1lim x
x1
x
x
x1
x
x
x1
x==+=+
2. ( ) ( ) ex1limx1lim x10x
x1
0x==+
Contoh :
1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 4414114 44
4
441lim1lim1lim1lim l=+=
+=+=+
x
x
x
xxxx
x
x
x
xx
2. ( ) ( ) ( ) 2121x21
x
21
x2
x21
x
x
x21
xe1lim1lim1lim =
+=
+=+
3. ( ) ( ) ( ) 33x310x
3
x31
0xx1
0xex31limx31limx31lim
=
=
=
4 Limit Fungsi Trigonometri
Teorema : 1. lim limsin
sinx
xx
x
xx
= =0 0
1
2. lim limtan tanx
xx
x
xx
= =0 0
1
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: ba
bxsinaxtan
0xbxtanaxsin
0xbxtanaxtan
0xbxtanax
0xbxaxtan
0xbxsinax
0xbxaxsin
0xlimlimlimlimlimlimlim =======
pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.
x bilangan real
-
Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )
x af x f a
=
Contoh : 1. ( )lim sin cos sin cos
xx x
+ = + = + =
02 0 0 0 1 1
2. 21
0201
21cos3
21sin2
21cos
21sin
xcos3xsin2xcosxsin
21x
lim ===+
pi+pi
pipi
+
pi
Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : ( )00 0, , . . 4.1 Limit Bentuk ( )00
1. 43
x4tanx3sin
0xlim =
2. 32
32
xsinxsin
x3sin2
0xxsinx3x2sin2
0xxsin.x3
)x2sin21(1
0xxsin.x3x2cos1
0x)1.(.limlimlimlim =====
3. )ax(
)ax(21sin
21
axax
)ax(21sin).ax(
21cos2
axaxasinxsin
ax).ax(cos2limlimlim
+
+=
[ ] acos).aa(cos221
21
=+=
4.2 Limit Bentuk Limit bentuk ( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :
)x2
sin(
xsin.2
sin
2x
xcosxsin1
2x
xcosxsin
xcos1
2x
2x
limlim)(lim)xtanx(seclim
pi
pi
pi
pipipi
===
( ))x
2sin(
)x2(
21sin
221
2x)x2
sin(
)x2(
21sin)x
2(
21cos2
2x
.xcos2limlim
pi
pipi
pipi
pi+pi
pi
+==
( ) 0cos].[cos221
21
2221
=pi=+= pipi
4.3 Limit Bentuk ( )0. Limit bentuk ( )0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :
( ) =pi
===pi
pi
pipi
pi
pi
pi
xsinlimlimlimxtan).1x(lim
21
)x1(21sin
)1x(
1x)x21
21sin(
x21sin)1x(
1xx21cos
21)(sin1(
1x21
1x
( )pipipi
==pi
2
211
21
211 sin
5 Limit Deret Konvergen
Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1. Teorema :
r1
aS
=
S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama
-
r : rasio, yaitu r UU= 21 Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :
a) 2 1 12 14+ + + + ..... b) 3 1 13 19 + + ..... Jawab : a) S a
r= = = =
12
12
12
12
4 b) S a
r= = = =
13
13 9
413
43( )
2. Hitung limit berikut : a) ( )
n41
161
41
n...1lim ++++
b)
=
n
1i
i
n3.2lim
Jawab : a) ( )lim ...n
arn
+ + + + = = =1 14 116 14 11
1431
4
b) 2....lim3.2lim3132
321
32
r1a
n3
292
32
1i
n
1i
i
n====
+++=
==
3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 ..... b) 0,242424 ..... Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....
32
96
9,0
6,0
1,01
6,0
r1a
=====
b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 + 338
9924
99,0
24,0
01,01
24,0
r1a
====
4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! Jawab : S a
r= =
12 121 ...... (1) U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4
( )( )arr
ar
rr1 1 12
4 4
+= = ...... (2) ( )
21
r1r12
r1r
r4r8
r44r124412 : (2) dan (1) Dari
==
+===++
Persamaan (1) : ar
a a1 112 12 612 = = =
Rasio = 12 dan suku pertama = 6
5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !
Jawab :
R D C
S Q
52 52
5 5 P B A
Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2. Rasio luas = 50100
12=
Jumlah semua bujursangkar = a1 5 1501 12 200 = = cm2
-
6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )
x af x f a
= .
Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1. f(a) terdefinisi (ada) 2. lim ( )
x af x
terdefinisi ada
3. lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.
Perhatikan gambar berikut :
Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)( 2 += xxxf kontinu di x = 1
Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12= + = f(1) terdefinisi 2) ( ) 13113xxlim)x(flim 22
1x1x=+=+=
lim ( )
xf x
1 terdefinisi
y
f(a) f(x)
x a
f(x) kontinu di x = a,
sebab )()(lim afxfax
=
1.
y
f(a)
f(x)
x a
f(x) diskontinu di x = a,
sebab lim ( )x a
f x
tidak ada
2.
f(x) diskontinu di x = a,
sebab lim ( )x a
f x
f(a)
y
f(a) f(x)
xa
3.
-
3) lim ( ) ( )x
f x f
=1
1 Jadi fungsi f x x x( ) = + 2 3 kontinu di x =1. 2. Selidiki apakah fungsi f x x
x( ) =
2 93 kontinu di x = 3
Jawab : 1) f ( )3 3 93 3 002
= =
(tidak terdefinisi) Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3
3. Selidiki apakah fungsi
=
=
2untuk ,42untuk ,)( 2
42
x
xxf x
x
kontinu di x = 2
Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi) 2) ( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 22
1x1x
)1x2x)(1x(
1x1x13x
1x1x=++=++===
++
(terdefinisi) 3) )1()(lim
1fxf
x
, berarti f(x) diskontinu di x = 1