LIMIT FUNGSI

Pendahuluan

Limit fungsi disatu titik dan limit fungsi di tak higga merupakan konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral. Untuk dapat memahami konsep limit funsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutalk sebagai ukuran jarak pada garis bilangan, persamaan sebagai ukuran kedekatan dan dan berbagai sifat tentang funsgi real sebagai obyeknya. Pada bab ini akan dibahas tentang konsep limit funsi termasuk berbagai sifat dan limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi, limit di tak hingga dan bentuk tak tentu dari limit fungsi

Konsep limit fungsi

1 Teorema

1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

+=+ 4. [ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax

=

2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

= 5. )x(g

axlim

)x(fax

lim

)x(g

)x(f

axlim

=

dengan 0)x(glimax

3. )x(flim.c)x(f. climaxax

= , c = konstanta 6. [ ] nax

n

ax)x(flim)x(flim

=

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

misalnya : 63 04, . 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

00 1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

+ = + = + =3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim ( )x

x xx

++

++= = =0 5 7

0 05 0 7

07

2 2 0

Bentuk tak Tentu Limit Fungsi Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : ( )00 1, , dan .

3.1 Bentuk ( )00 Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan : 1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh

dibagi dengan (x a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum

difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 1. lim lim lim( )( )( )( )

x

x x

x x

x x

x xx

xx

+

+

+

+= = = =35 6

9 3

3 23 3 3

23

3 23 3

16

2

2

2. lim lim( )( ) ( )xx x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

+

+

+

+

+

+

+

+= = = =

05

4 25

4 2 05

4 20 0 5

0 4 0 252

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3. ( )lim lim lim ( ) ( )( )x x xx x x x xx x xx x x x xx x x + + + + + + + + + = = =1 3 5 1 1 3 5 11 3 5 13 5 1 1 3 5 11 3 5 12 2 2 2 22 22 2 lim lim lim

( )( )( )

( )( )( )

( )xx x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

+

+ +

+ + +

+ + +

= = =1

5 41 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

( )1 4

1 1 4 43

2 2 23

838

+ +

+

= = = ( ) ( )

3.2 Limit Bentuk ( )

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : lim

x

ax

= 0 .

Contoh :

)a(Q

)a(P

)x(Q

)x(P

ax)x(Q)ax(

)x(P)ax(

ax)x(g

)x(f

axlimlimlim ==

1.2

1

12

6

0012

006

12

6limlim

x8x7x12

x5x2x6lim

2x

8x7

2x

5x2

x3x

x83x

2x73x

3x12

3x

x53x

2x23x

3x6

x23

23

x==

+

+=

+

+=

+

++

+

+

2. 02

0

002

000

2limlim

x4xx2

x3x7x6lim

2x

4x1

3x

32x

7x6

x4x

2x44x

3x4x

4x2

4x

x34x

2x74x

3x6

x234

23

x==

+

+=

+

+=

+

+=

+

+

3. ==+

+=

+

+=

+

+=

+

+

0

5

000

0055

limlim7x4x2

2x3x5lim

4x

72x

4x2

4x

22x

3

x4x

74x

2x44x

3x2

4x

24x

2x34x

4x5

x23

24

x

Kesimpulan: Jika f x a x a x an n n( ) .....= + + +0 1 1 g x b x b x bm m m( ) .....= + + +0 1 1 maka: 1. lim ( )( )

x

f xg x

a

b=

0

0 untuk n = m

2. lim ( )( )x

f xg x

= 0 untuk n < m

3. lim ( )( )x

f xg x

= atau - untuk n > m

4. limx

x x x

x x x

+

+= =

2 76 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1)) 5. lim

x

x x x

x x x

+

+ +=

10 8 7

12 5 22 312

0 (kesimpulan (2)) 6. lim

x

x x

x x x

+

+ =

3 6 22 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk ( ) Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

)x(g)x(f

)x(g)x(f

x)x(g)x(f

)x(g)x(f

xlim)x(g)x(flim

+

+

+

=

2. Bentuknya berubah menjadi ( )

3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh: 1. =+++

1x4x2x6xlim 22

x

=

+++

++++

++++

1x42x2x62x

1x42x2x62x22

x1x4x2x6xlim

==

++++

++++

+++

1x42x2x62x

1x10

x1x42x2x62x

)1x42x()2x62x(

xlimlim

5lim210

11

10

1x42xx2x2

1x10

x===

++

)x(g)x(flimx

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1,

sebab xx2 =

2. =

+=+

++

++

x32xx2x2

x32xx2x2222

x

22

xx3xxx2limx3xxx2lim

==

++

++

+

x32xx2x2

x42x

xx32xx2x2

)x32x)(x2x2(

xlimlim

Secara umum: =++++

rqxpxcbxaxlim 22

x

1) b qa

2 jika a = p

2) jika a > p 3) - jika a < p

3. 21

42

42

)5(322

x2x5x41x3x4lim ===+

4. =++

8xx31x7x4lim 22x

5. =++

7x4x53x2x4lim 22x

3.4 Limit Bentuk ( )1 Definisi : ( )

asli bilangan n

.....718281,2e1limn

n1

n==+

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut : 1. ( ) ( ) ( ) e1lim1lim1lim x

x1

x

x

x1

x

x

x1

x==+=+

2. ( ) ( ) ex1limx1lim x10x

x1

0x==+

Contoh :

1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 4414114 44

4

441lim1lim1lim1lim l=+=

+=+=+

x

x

x

xxxx

x

x

x

xx

2. ( ) ( ) ( ) 2121x21

x

21

x2

x21

x

x

x21

xe1lim1lim1lim =

+=

+=+

3. ( ) ( ) ( ) 33x310x

3

x31

0xx1

0xex31limx31limx31lim

=

=

=

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema : 1. lim limsin

sinx

xx

x

xx

= =0 0

1

2. lim limtan tanx

xx

x

xx

= =0 0

1

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: ba

bxsinaxtan

0xbxtanaxsin

0xbxtanaxtan

0xbxtanax

0xbxaxtan

0xbxsinax

0xbxaxsin

0xlimlimlimlimlimlimlim =======

pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

x bilangan real

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )

x af x f a

=

Contoh : 1. ( )lim sin cos sin cos

xx x

+ = + = + =

02 0 0 0 1 1

2. 21

0201

21cos3

21sin2

21cos

21sin

xcos3xsin2xcosxsin

21x

lim ===+

pi+pi

pipi

+

pi

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : ( )00 0, , . . 4.1 Limit Bentuk ( )00

1. 43

x4tanx3sin

0xlim =

2. 32

32

xsinxsin

x3sin2

0xxsinx3x2sin2

0xxsin.x3

)x2sin21(1

0xxsin.x3x2cos1

0x)1.(.limlimlimlim =====

3. )ax(

)ax(21sin

21

axax

)ax(21sin).ax(

21cos2

axaxasinxsin

ax).ax(cos2limlimlim

+

+=

[ ] acos).aa(cos221

21

=+=

4.2 Limit Bentuk Limit bentuk ( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :

)x2

sin(

xsin.2

sin

2x

xcosxsin1

2x

xcosxsin

xcos1

2x

2x

limlim)(lim)xtanx(seclim

pi

pi

pi

pipipi

===

( ))x

2sin(

)x2(

21sin

221

2x)x2

sin(

)x2(

21sin)x

2(

21cos2

2x

.xcos2limlim

pi

pipi

pipi

pi+pi

pi

+==

( ) 0cos].[cos221

21

2221

=pi=+= pipi

4.3 Limit Bentuk ( )0. Limit bentuk ( )0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 . Contoh :

( ) =pi

===pi

pi

pipi

pi

pi

pi

xsinlimlimlimxtan).1x(lim

21

)x1(21sin

)1x(

1x)x21

21sin(

x21sin)1x(

1xx21cos

21)(sin1(

1x21

1x

( )pipipi

==pi

2

211

21

211 sin

5 Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1. Teorema :

r1

aS

=

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama

r : rasio, yaitu r UU= 21 Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

a) 2 1 12 14+ + + + ..... b) 3 1 13 19 + + ..... Jawab : a) S a

r= = = =

12

12

12

12

4 b) S a

r= = = =

13

13 9

413

43( )

2. Hitung limit berikut : a) ( )

n41

161

41

n...1lim ++++

b)

=

n

1i

i

n3.2lim

Jawab : a) ( )lim ...n

arn

+ + + + = = =1 14 116 14 11

1431

4

b) 2....lim3.2lim3132

321

32

r1a

n3

292

32

1i

n

1i

i

n====

+++=

==

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 ..... b) 0,242424 ..... Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

32

96

9,0

6,0

1,01

6,0

r1a

=====

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 + 338

9924

99,0

24,0

01,01

24,0

r1a

====

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! Jawab : S a

r= =

12 121 ...... (1) U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4

( )( )arr

ar

rr1 1 12

4 4

+= = ...... (2) ( )

21

r1r12

r1r

r4r8

r44r124412 : (2) dan (1) Dari

==

+===++

Persamaan (1) : ar

a a1 112 12 612 = = =

Rasio = 12 dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

Jawab :

R D C

S Q

52 52

5 5 P B A

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2. Rasio luas = 50100

12=

Jumlah semua bujursangkar = a1 5 1501 12 200 = = cm2

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )

x af x f a

= .

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1. f(a) terdefinisi (ada) 2. lim ( )

x af x

terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)( 2 += xxxf kontinu di x = 1

Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12= + = f(1) terdefinisi 2) ( ) 13113xxlim)x(flim 22

1x1x=+=+=

lim ( )

xf x

1 terdefinisi

y

f(a) f(x)

x a

f(x) kontinu di x = a,

sebab )()(lim afxfax

=

1.

y

f(a)

f(x)

x a

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x

tidak ada

2.

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x

f(a)

y

f(a) f(x)

xa

3.

3) lim ( ) ( )x

f x f

=1

1 Jadi fungsi f x x x( ) = + 2 3 kontinu di x =1. 2. Selidiki apakah fungsi f x x

x( ) =

2 93 kontinu di x = 3

Jawab : 1) f ( )3 3 93 3 002

= =

(tidak terdefinisi) Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

=

=

2untuk ,42untuk ,)( 2

42

x

xxf x

x

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi) 2) ( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 22

1x1x

)1x2x)(1x(

1x1x13x

1x1x=++=++===

++

(terdefinisi) 3) )1()(lim

1fxf

x

, berarti f(x) diskontinu di x = 1