SMA - 1

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

LIMIT FUNGSI

Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit yang akan dibahas di bawah pada bab ini. • Limit Fungsi Aljabar

a. Bentuk tak tentu 00 dapat diselesaikan dengan 2 cara :

1. Memfaktorkan :

ax

Lim→

)()(

xGxF =

axLim→ )()(

)()(xgaxxfax

−−

Contoh :

1→x

Lim

122 2

−−

xx =

1→xLim

)1(

)1(2 2

−−

xx =

1→xLim

)1(

)1)(1(2−

+−x

xx

= 1→x

Lim

1)1(2 +x

= 1

)11(2 + = 4

2. L’Hospital

ax

Lim→

F(x) = ax

Lim→

)()(

'

'

xGxF

Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital

1→x

Lim

122 2

−−

xx =

1→xLim

14x =

11.4 = 1

(turunan 2 22 −x adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )

SMA - 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

b. Bentuk tak tentu ~~ dapat diselesaikan dengan cara :

Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut :

Contoh :

~→xLim

12

32 −+

−xx

x = ~→x

Lim

222

2

2

12

3

xxx

xx

xxx

−+

−

= ~→x

Lim

2

1211

31

xx

xx

−+

−

= 001

00−+

− = 0

Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sbb :

~→x

Lim......

1

1

++++

−

−

nn

mm

qxpxbxax

Jika m = 0 hasilnya pa

Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0

Jadi ~→x

Lim

123

2 −+−xx

x = 0 karena pangkat pembilang < pangkat penyebut

c. Untuk ax

Lim→

)()(

xgxf , Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar,

maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x).

SMA - 3

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

Contoh :

5→x

Lim152

1442 −−

−−+xx

xx

= 5→x

Lim152

1442 −−

−−+xx

xx . xxxx

−++−++

144144

= 5→x

Lim)144)(152(

)14()4(2 xxxx

xx−++−−

−−+

= 5→x

Lim

)144)(3)(5(102

xxxxx

−+++−− =

5→xLim

)144)(3)(5(

)5(2xxxx

x−+++−

−

= 5→x

Lim

)144)(3(2

xxx −+++ =

)51445)(35(2

−+++

= )99(8

2+

= )33(8

2+

= )6(4

1 = 241

Soal ini dapat juga diselesaikan dengan rumus sbb :

=ax

Lim→ )(

)()(xh

xgxf −

= ax

Lim→ )(

)()('

''

xhxgxf −

)(21

xf

5→xLim

152144

2 −−−−+

xxxx =

* f(x) = x + 4 )(' xf = 1 * g(x) = 14- x )(' xg = -1 * h(x) = 1522 −+ xx )(' xh = 2x + 2

* )(2

1xf

= )4(2

1+x

SMA - 4

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

x=5 )45(2

1+

= 61

5→xLim

152144

2 −−−−+

xxxx =

5→xLim

)()()(

'

''

xhxgxf −

)(21

xf

= 5→x

Lim

22)1(1

−−−

x.

61

= 22)1(1

−−−

x .

61

= 210

2−

. 61 =

482 =

241

Contoh soal limit aljabar yang lain :

~→xLim

( )11252 22 ++−+− xxxx =

Apabila menemui soal seperti gunakan rumus sbb:

~→xLim

( )qpxaxcbxax ++−++ 22 = apb

2− ; berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)

Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1

Sehingga apb

2− =

1222 −− =

24− = -2

• Limit Fungsi Trigonometri a. Untuk x → 0

- 0→x

Lim

xkxsin = k dan

0→x

Lim

xkxtan = k

SMA - 5

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

- 0→x

Lim

bxax

tansin =

ba

- 0→x

Lim= 2

2cos1x

nx− = 2

2sin2x

nx

- Jika mengandung fungsi cos x, cot x atau csc x, maka diubah menjadi sin x atau tan x

# cot x = xtan

1 ; csc x = xsin

1

# 1cossin 22 =+ xx x2cos = 1 - x2sin = 1 – (sin x .sin x)

= 1 – ( - 21 ( cos 2x – 1) )

= 1 + 21 cos 2x -

21

= 21 ( 1 + cos 2x)

x2sin = sin x . sin x = - 21 ( cos (x+x) – cos (x-x) )

= - 21 ( cos 2x – 1)

Contoh soal :

1. 0→x

Lim

xx

210sin =

210 = 5

2. 0→x

Lim

xxx2tan

14cos − = 0→x

Lim

xxxx

2tan1)22cos( −+ =

cos (2x+2x) = cos 2x . cos2x – sin 2x.sin2x = x2cos2 - x2sin 2 = 1 - x2sin 2 - x2sin 2 = 1 – 2 x2sin 2

SMA - 6

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

= 0→x

Lim

xxx

2tan12sin21 2 −−

= 0→x

Limxx

x2tan

2sin2 2−

= 0→x

Lim

xx2sin2−

xx

2tan2sin

= 0→x

Lim -2

xx2sin

xx

2tan2sin = -2 . 2 .1 = -4

3. 3→x

Lim

152)62sin()7(

2 −+−−

xxxx =

3→xLim

)3)(5(

)3(2sin)7(−+−−

xxxx

= 3→x

Lim

)5()7(

+−

xx

)3()3(2sin

−−

xx

= )53()73(

+− .2 =

84− . 2 = - 1

4. 2→x

Lim

12123)2(cos1

2

2

+−−−

xxx =

)2(cos2 −x = 1 - )2(sin 2 −x )44(312123 22 +−=+− xxxx = 3 2)2( −x

2→x

Lim

12123)2(cos1

2

2

+−−−

xxx =

2→xLim

2

2

)2(3))2(sin1(1

−−−−

xx

= 2→x

Lim 2

2

)2(3)2(sin

−−

xx

=2→x

Lim

31

)2()2sin(

−−

xx

)2()2sin(

−−

xx

= 31 . 1. 1 =

31

SMA - 7

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

5. 0→x

Lim

xxx

cos3coscos1−

− =

* cos x = cos )21

21( xx +

= cos 21 x cos

21 x - sin

21 x sin

21 x

= x21cos2 - x

21sin 2

= 1 - x21sin 2 - x

21sin 2

= 1 – 2 x21sin 2

* cos 3x – cos x = - 2 sin 21 (3x+x) sin

21 (3x-x)

= - 2sin 2x sin x

0→xLim

xx

xcos3cos

cos1−

− = 0→x

Lim

xx

x

sin2sin2

)21sin21(1 2

−

−−

= 0→x

Lim

xx

x

sin2sin221sin2 2

−

= 0→x

Lim -

x

x

2sin21sin

x

x

sin21sin

= - 22

1.

21 = -

41 .

21 = -

81