LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSIPertemuan 9

SUB PEMBAHASAN :

1. Pengertian Limit2.Limit Sisi Kiri, Limit Sisi Kanan3.Kaidah-Kaidah Limit4.Penyelesaian Kasus-Kasus

Khusus

1. PENGERTIAN LIMIT

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang jika variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus-menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 = 𝑳

Dibaca: “Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”

Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang juga hingga mendekati L

Contoh: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥2

Maka:lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = lim𝑥→2

1 − 2𝑥2 = −7

lim𝑥→3

𝑓 𝑥 = lim𝑥→3

1 − 2𝑥2 = −17

Catatan:• x a dibaca x

mendekati a, buka berarti x = a

• lim f(x) = L dibaca bahwa L adalah limit fungsi f(x), bukan berarti L adalah nilai fungsi F(x)

Tabel 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐

x 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥2

3,50 1 − 2 3,50 2 = −23,5

3,10 1 − 2 3,10 2 = −18,22

3,05 1 − 2 3,05 2 = −17,605

3,01 1 − 2 3,01 2 = −17,1202

2,99 1 − 2 2,99 2 = −16,8802

2,95 1 − 2 2,95 2 = −16,405

2,90 1 − 2 2,90 2 = −15,82

2,50 1 − 2 2,50 2 = −11,5

2,10 1 − 2 2,10 2 = −7,82

2,05 1 − 2 2,05 2 = −7,405

2,01 1 − 2 2,01 2 = −7,0802

1,99 1 − 2 1,99 2 = −6,9202

1,95 1 − 2 1,95 2 = −6,005

1,90 1 − 2 1,90 2 = −6,22

1,50 1 − 2 1,50 2 = 3,5

1 1 − 2 1 2 = −1,0

Dari tabel di samping:• Jika x bergerak mendekati

2, maka f(x) akan mendekati -7. Dan jika x bergerak mendekati 3 maka f(x) akan berkembang mendekati -17.

Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan:1. Terdefinisi

Jika limitnya adalah L atau –L atau 0 atau ~ atau -~

2. Tak terdifinisi

Jika 0

0𝑎𝑡𝑎𝑢

~

~

2. LIMIT SISI KIRI, LIMIT SISI KANAN

Limit Sisi Kiri: Limit Sisi Kanan:

• Jika menganalisis lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) dari x < a

• Jadi jika lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿− berarti

𝐿−merupakan limit sisi-kiri dari F(x) untuk x a.

• Jika menganalisis lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) dari x > a

• Jadi jika lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿+ berarti

𝐿+merupakan limit sisi-kanan dari F(x) untuk x a.

Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan limit sisi-kanannya ada serta sama.

lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Jika salah satu dari ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.

Contoh:1. lim

x→2(1 − 2x2) = −7

Terdefinisi, karena:lim𝑥→2−

1 − 2𝑥2 = lim𝑥→2+

1 − 2𝑥2 = −7

Penjelasan:Gerakan x2 dari kiri (dari x=1; x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkan nilai -7.Begitu juga gerakan x2 dari kanan (dari x=2,99; x=2,95; x=2,90 dan seterusnya) menyebabkan f(x) mendekati nilai -7.

2. lim𝑥→0

( −3

𝑥)

Tak Terdefinisi, karena:

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

−3

𝑥= +~

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

−3

𝑥= −~

Penjelasan:

Karena lim𝑥→0−

(−3

𝑥) ≠ lim

𝑥→0+(−3

𝑥)

Maka lim𝑥→0

(−3

𝑥) tidak terdefinisi.

Penjelasan lanjutan, lim𝑥→0

( −3

𝑥) tidak terdefinisi

1

2

3

4

1 2 3-1-2-3

-3

-2

-1

-4

Dari gambar di samping,

• jika x mendekati 0 dari kiri (dari x = -3, x = -2, x = -1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak terhingga.

• Tetapi jika x mendekati 0 dari kanan (dari x = 3, x = 2, x = 1 dan seterusnya) maka f(x) akan menjadi negatif tak hingga.

Itulah sebabnya untuk x 0, limit f(-3/x) ini tidak terdefinisi.

3. KAIDAH-KAIDAH LIMIT1. Jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 dan n > 0, maka lim𝑥→𝑎

𝑥𝑛 = 𝑎𝑛

Contoh: lim𝑥→2

𝑥3 = 23 = 8

lim𝑥→5

𝑥3 = 53 = 125

4. Limit dari suatu perkailiang fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya.

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Contoh:lim𝑥→2

1 − 2𝑥2 𝑥3 = lim𝑥→2

1 − 2𝑥2 . lim𝑥→2

(𝑥3) = −7 8 = −56

3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih) dari limit fungsi-fungsinya. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Contoh:

lim𝑥→2

1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = lim𝑥→2

1 − 2𝑥2 + lim𝑥→2

𝑥3

= 1 − 2. 22 + 23

= −7 + 8 = 1

2. Limit dari suatu konstansa adalah konstanta itu sendiri.

lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘

Contoh: lim𝑥→2

3 = 3

Lanjutan...Kaidah-kaidah limit

5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembagiannya ≠ 0

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

Contoh:

lim𝑥→5

(𝑥2 − 25)

(𝑥 − 5)=lim𝑥→5

(𝑥2 − 25)

lim𝑥→5

(𝑥 − 5)=lim𝑥→5

(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)

lim𝑥→5

(𝑥 − 5)

= lim𝑥→5

𝑥 + 5 = 10

6. Limit dari suatu fungsi berpengkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya:

lim𝑥→𝑎

{𝑓 𝑥 }𝑛 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛

Contoh:

lim𝑥→2

{𝑓 1 − 2𝑥2 }3 = lim𝑥→2

(1 − 2𝑥2)3= (−7)3= −343

Lanjutan...Kaidah-kaidah Limit

7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit fungsinya.

lim𝑥→𝑎

𝑛𝑓(𝑥) = 𝑛 lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) 𝑛 > 0

Contoh:

lim𝑥→5

3𝑥2 − 𝑥 + 44 = 3 lim

𝑥→5(𝑥2 − 𝑥 + 44) =

364 = 4

4. PENYELESAIAN KASUS-KASUS KHUSUS

1. Bentuk Tak Tentu 0

0

Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu 0

0dapat dihindari dengan cara mengurai-

sederhanakan fungsinya.Contoh:

Jika 𝑓 𝑥 =(𝑥−3)2−9

𝑥, berapa lim f(x) untuk x0?

Penyelesaian:

Jika substitusi langsung x = 0 ke dalam lim f(x) akan menghasilkan bentuk tak tentu 0

0

Namun, jika diurai-sederhanakan menjadi;

𝑓 𝑥 =(𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9)

𝑥=(𝑥2 − 6𝑥)

𝑥= 𝑥 − 6

Dengan demikian: lim𝑥→0

𝑥−3 2−9

𝑥= lim

𝑥→0𝑥 − 6 = −6

Lanjutan....Penyelesaian kasus-kasus khusus

2. Bentuk Tak Tentu ~

~Hasil

~

~dapat dihindari dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya

dengan variabel berpangkat tertinggi pada penyebut.Contoh:

• lim𝑥→~

4𝑥5+𝑥2

3𝑥6+7𝑥3= lim

𝑥→~

4

𝑥+

1

𝑥4

3+7

𝑥3

=0+0

3+0= 0

• lim𝑥→~

6𝑥3+𝑥2+9

2𝑥3+5𝑥2−4= lim

𝑥→~

6+1

𝑥+

9

𝑥3

2+5

𝑥−

4

𝑥3

=6+0+0

2+0+0= 3

Lanjutan....Penyelesaian kasus-kasus khusus

3. Penyelesaian Pintas Limit Fungsi-Pembagian untuk x ~

lim𝑥→~

𝑦(𝑥)

= 0 jika m < n

= 𝑎𝑚

𝑏𝑛jika m = n

= + ~ jika m > n dan 𝑎𝑚 > 0

= - ~ jika m > n dan 𝑎𝑚 < 0

Contoh:

• 𝑦 𝑥 =(4𝑥5+𝑥2)

(3𝑥6+7𝑥3)𝑚𝑎𝑘𝑎 lim𝑦 𝑥 = 0

Karena m = 5, n = 6, 𝑎𝑚 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 3

• 𝑦 𝑥 =(6𝑥3+𝑥2+9)

(2𝑥3+5𝑥2−4)𝑚𝑎𝑘𝑎 lim𝑦 𝑥 = 3

Karena m = 3, n = 3, 𝑎𝑚 = 6 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 2Contoh:

• 𝑦 𝑥 =(𝑥2+25)

(𝑥−5)𝑚𝑎𝑘𝑎 lim𝑦 𝑥 = ~

Karena m > n dan 𝑎𝑚 > 0

• 𝑦 𝑥 =(25−𝑥2)

(𝑥−5)𝑚𝑎𝑘𝑎 lim𝑦 𝑥 = −~

Karena m > n dan 𝑎𝑚 < 0

Latihan:

1. limx→2

( 2x2 − 3x + 1)

2. limx→3

( 3x4 − 2x2 + 4x + 5)

3. limx→4

{( 2x − 3) + (x + 1)}

4. limx→5

x−1

x−3

5. limx→~

4x2+1

x2−1

6. limx→~

x3+4x2+12

4x2+12x

TERIMA KASIH