lib.stikes-mw.idlib.stikes-mw.id/wp-content/uploads/2020/06/... · matematika dan statistik iii...

Hak Cipta dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang

Cetakan pertama, Desember 2016

Penulis : 1. Rudy Hartono, SKM.,M.Kes

2. Rahmat Kamaruddin, S.Si

Pengembang Desain Instruksional : Drs. Pramono Sidi, M.Si

Desain oleh Tim P2M2 :

Kover & Ilustrasi : Sunarti

Tata Letak : Nono Suwarno

Jumlah halaman : 306

Matematika dan Statistik

iii

DAFTAR ISI

BAB I: BILANGAN 1 Topik 1. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ……………........................................ 2 Latihan ………………………………………….............................................................................. 5 Ringkasan …………………………………................................................................................... 6 Tes 1 ……………………………..……......................................................................................... 6 Topik 2. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ...................................................... 8 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 16 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 17 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 17 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................. 19 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 20 BAB II: FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA 21 Topik 1. Keterlibatan Mahasiswa ................................................................................... 22 Latihan ………………………………………….............................................................................. 25 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 27 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 27 Topik 2. Persamaan Fungsi Logaritma 29 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 37 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 38 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 38 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 40 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 41 BAB III: SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI 42 Topik 1. Disiplin Dalam Standar Pelayanan Kebidanan ……………………………………………………… 43 Latihan ………………………………………….............................................................................. 46 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 48 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 48


iv

Topik 2. Memahami Konsentrasi 50 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 54 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 56 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 56 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 58 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 59 BAB IV: TURUNAN (DERIVATIF) 60 Topik 1. Definisi dan Rumus-Rumus Turunan ................................................................... 61 Latihan ………………………………………….............................................................................. 63 Ringkasan …………………………………................................................................................... 64 Tes 1 .……………………….…………………..……......................................................................... 65 Topik 2. Jenis-Jenis Turunan 67 Latihan ..……………………………………..............................................……............................... 76 Ringkasan ..…………………………………................................................................................. 78 Tes 2 .……………………….…………………..……......................................................................... 78 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 81 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 82 BAB V: PENGGUNAAN TURUNAN 83 Topik 1. Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum 84 Latihan ………………………………………….............................................................................. 91 Ringkasan …………………………………................................................................................... 93 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 93 Topik 2. Menentukan Titik Ekstrim 95 Latihan …………………….………………..............................................……............................... 102 Ringkasan ……….……………………………............................................................................... 103 Tes 2 ……………….……….…………………..……......................................................................... 103 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 106 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 107

Matematika Statistik

v

BAB VI: INTEGRAL 108 Topik 1. Integral Tak Tentu ............................................................................................. 110 Latihan ………….……………………………………....................................................................... 114 Ringkasan ……..…………………………………........................................................................... 115 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 115 Topik 2. Integral Tentu 118 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 121 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 122 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 122 Topik 3. Integral Parsial dan Penggunaan Integral ............................................................ 124 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 136 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 136 Tes 3 ……………………….…………………..……......................................................................... 137 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 139 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 140 BAB VII: STATISTIKA DESKRIPTIF 141 Topik 1. Konsep Dasar Statistik ...................................................................................... 142 Latihan ………………………………………….............................................................................. 158 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 159 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 160 Topik 2. Konsep Probabilitas 162 Latihan …….………………………………..............................................……............................... 178 Ringkasan ….……………………………….................................................................................. 180 Tes 2 .……………………….…………………..……......................................................................... 180 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 183 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 184

BAB VIII: STATISTIKA INFERENSIAL 185 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Inferensial .................................................................... 186


vi

Latihan ………………………………………….............................................................................. 199 Ringkasan …………………………………................................................................................... 201 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 202 Topik 2. Statistik Parametrik 205 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 233 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 237 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 238 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 242 LAMPIRAN ……………….............................................................................................. 244 BAB IX: STATISTIKA NON-PARAMETRIK 252 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik ............................................................... 253 Latihan …………………………………….........…....................................................................... 257 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 259 Tes 1 ……………………….…………………..……......................................................................... 259 Topik 2. Aplikasi Statistik Non Parametrik ....................................................................... 262 Latihan ……………………………………..............................................……............................... 278 Ringkasan ………………………………….................................................................................. 282 Tes 2 ……………………….…………………..……......................................................................... 282 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 287 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 288 LAMPIRAN .............................................................................................................. 290

Matematika dan Stastistika

1

BAB I

BILANGAN

Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin

PENDAHULUAN

Dalam menghitung (counting), matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari

objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan

pola-pola dan hubungan di antara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk

menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak

bagian dari matematika dan sering melibatkan metode-metode yang cukup canggih.

Pada Bab 1 ini disajikan beberapa topik mengenai bilangan, yang terbagi dalam

beberapa topik yang harus dipelajari sebagai dasar untuk melakukan operasi-operasi dasar

yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Topik 1 pada modul ini dibahas secara detail mengenai konsep bilangan, mulai dari

definisi yang paling sederhana sampai ke yang agak rumit. Pada Topik 1 ini juga dibahas

tentang bilangan bulat beserta sifat-sifat bilangan asli N mulai dari sifat tertutup, sifat

komutatif, sifat asosiatif sifat modulus, sifat distributive dan sifat invers.

Topik 2, memuat tentang bilangan pecahan dan pengembangannya serta bilangan

lainnya yang terdiri dari presentase, bilangan desimal, bilangan real, pertidaksamaan dan

nilai mutlak. Pada Topik 2 ini dilengkapi beberapa contoh soal latihan yang harus saudara

selesaikan sendiri.

Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat:

1. Membuktikan sifat-sifat operasi yang berlaku di antara himpunan-himpunan;

2. Mengenal/menjelaskan macam-macam bilangan dan operasinya;

3. Mengerti sifat-sifat operasi yang berlaku;

4. Mengerti sifat terurut sempurna dalam bilangan asli N ;

5. Mengerti dan dapat menggunakan prinsip pertidaksamaan;

6. Mengerti nilai mutlak dan operasinya. Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami bilangan, pelajari bab ini seteliti

mungkin karena Bab 1 ini merupakan modul dasar untuk itu. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.


2

Topik 1

Pengantar Konsep Bilangan

dan Bilangan Bulat

Dalam topik ini akan dibahas materi konsep bilangan dan apa yang kita sebut dengan

bilangan bulat. Untuk mempelajari topik ini, ada baiknya kita perhatikan suatu kejadian

sehari-hari yang terjadi di sekitar kita. Coba perhatikan keadaan berikut:

PENGANTAR KONSEP BILANGAN

Di toko pakaian, Anda membeli 5 barang dengan harga Rp17.000, Rp22.000, Rp18.000,

Rp23.000, dan Rp19.000. Berapa kira-kira Anda harus membayar?

Apakah Rp25.000, Rp50.000, Rp100.000, Rp200.000, atau Rp400.000?

Jika Anda melihat harga setiap barang dan kelima barang tersebut, Anda akan melihat

bahwa setiap barang berharga sekitar Rp20.000. Jadi, total harga akan berkisar Rp20.000 × 5

= Rpl00.000. Jika Anda dapat segera memperkirakan harga tersebut, Anda akan dapat

mendeteksi apakah Anda diminta membayar lebih atau kurang. Jika Anda sulit

memperkirakan harga tersebut, Anda dapat menjadi lebih miskin dengan cepat!

Sekarang, mari kita perhatikan contoh di bidang farmasi:

Seorang pasien dengan berat badan 61 kilogram membutuhkan dosis obat 20 miligram per

kilogram berat badan. Perkirakan berapa total obat yang harus diterima pasien? Apakah 200,

400 600, 800, atau 1200 miligram?

Berat badan pasien sekitar 60 kilogram. Jadi, pasien membutuhkan kurang lebih 20 mg

× 60.(Jika Anda tidak dapat langsung mengalikan 60, kalikan dulu dengan 10, lalu kalikan

dengan 6.) Jika pasien memiliki berat badan 10 kilogram,ia akan membutuhkan 20 mg × 10

=200 miligram.

Dengan demikian, pasien keberatan badan 60 kilogram membutuhkan 200 mg × 6 = 1200

miligram. Jadi, jawaban yang kredibel adalah 1200mg. Perkiraan yang kredibel bukanlah tebakan asal-asalan, tetapi jawaban yang masuk akal

berdasarkan informasi yang diberikan pada Anda. Dalam kasus ini, jawaban yang benar tentunya 1260 miligram Namun, kemungkinan Anda membahayakan pasien dengan estimasi banyak 5% dari jawaban yang benar lebih kecil dibandingkan jawaban dengan tingkat kesalahan 50%, 100%, atau 900%.

Anda mungkin berpikir tidak mungkin Anda memberikan jawaban dengan tingkat kesalahan 900%, tetapi dosis yang 10 kali lebih tinggi (overdose) atau 10 kali lebih rendah (underdose) memberi tingkat kesalahan sebesar itu. Kesalahan semacam ini sering kali terjadi pada mahasiswa yang sangat bergantung pada kalkulator dan menerima jawaban

kalkulator tanpa berpikir panjang. Karena itu, kami mendorong Anda untuk melatih contoh-contoh soal dalam materi pada bagian ini tanpa menggunakan kalkulator. Selanjutnya, setelah Anda yakin telah menjawab suatu pertanyaan, tanyakan pada diri anda sendiri, ‘Apakah jawaban ini kredibel?’


3

Untuk memudahkan anda menyelesaikan masalah seperti di atas, selanjutnya anda

akan mempelajari konsep serta sifat-sifat bilangan untuk membantu anda dalam

menyelesaikan beberapa masalah kefarmasian yang berkaitan dengan materi bilangan

Definisi:

Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a b yang

merupakan jumlah dari dan a b .

Juga ada suatu bilangan asli a b (atau ditulis sebagai a b atau ab ) yang merupakan hasil

kali dari dan a b .

Sifat-sifat bilangan asli N :

1. Sifat tertutup

N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena

jumlah/hasil kali dari setiap 2 (dua) bilangan asli juga merupakan bilangan asli.

Ditulis: Untuk setiap 1 2 1 2 1 2, , dan n n N n n N n n N . (notasi = ada).

2. Sifat komutatif

Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:

a. 1 2 2 1n n n n (komutatif penjumlahan)

b. 1 2 2 1n n n n (komutatif perkalian)

3. Sifat asosiatif

Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:

b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif penjumlahan)

b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif perkalian)

4. Sifat modulus

Untuk setiap bilangan asli nN berlaku:

a. 0 0n n (modulus penjumlahan)

0 adalah bilangan kesatuan untuk penjumlahan, 0 N.

b. 1 1n n (modulus perkalian)

1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1 N .

5. Sifat distributif

Untuk setiap bilangan asli n N berlaku:

a. 1 2 3 1 3 2 3n n n n n n n

b. 1 2 3 1 2 1 3n n n n n n n

Catatan (1):

Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu: 0 0,1,2,...N disebut himpunan bilangan cacah.


4

Definisi:

Sebuah bilangan x disebut negatif (invers penjumlahan) dari bilangan asli a , apabila berlaku

0a x x a ditulis x a .

Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilangan bulat negatif atau

| 0, x x n n x n N

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...I disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1)

sampai dengan (5) di atas berlaku pula untuk I . Untuk I ada tambahan sifat berikut,

6. Sifat Invers

Untuk setiap a I , terdapat a I sedemikian sehingga 0a a (sifat

invers/berkebalikan dari penjumlahan. Di sini 0 0 0 , sehingga invers dari a nol

adalah nol).

Definisi:

Jika , ,a b c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab c , maka a dan b disebut faktor-

faktor (pembagi-pembagi) dari c . sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b .

Definisi:

Suatu bilangan bulat a disebut genap jika salah satu faktor dari a adalah bilangan 2,

atau 2 |x x I . Bilangan yang bukan genap disebut ganjil,atau bilangan ganjil adalah

2 1|x x I

8 2 4 ; dimana 4 I , maka 8 genap.

0 2 0 ; dimana 0 I , maka 0 genap.

15 2 7 1 ; di mana 7 I , makal 5 ganjil.

Definisi:

Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk (composite) bila dapat

dinyatakan sebagai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif 1 .

Definisi:

Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu),

serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain: suatu bilangan asli kecuali

1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan sendiri disebut bilangan prima.


5

Latihan

1) Hasil dari 12 :3 8 5 adalah ....

a. –20

b. –44

c. 60

d. –160

2) Hasil dari 4 10:2 5 adalah ....

a. –15

b. 35

c. –29

d. –5

3) Hasil dari 10 43 4 adalah ....

a. –37

b. –57

c. –29

d. –19

4) Hasil dari 90: 3 4 adalah ....

a. –120

b. –60

c. 240

d. 160

5) Hasil dari 23 3 9 adalah ....

a. 35

b. –17

c. 29

d. –11

6) Suhu tempat A adalah o100 C di bawah nol, suhu tempat B adalah o200 C di atas nol,

dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B . Suhu tempat

C adalah…

a. o100 C

b. o300 C

c. o0 C

d. o50 C

7) Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3 , jawaban salah

diberi skor 1 , dan jika tidak menjawab diberi skor 0 . Dari 40 soal yang diujikan, Dedi

menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi

adalah ….


6

a. 81

b. 84

c. 87

d. 93 Petunjuk Jawaban Latihan

1) Selesaikan terlebih dahulu perkalian dan pembagian, lalu selesaikan penjumlahan dan

pengurangan.

2) 4 10: 2 5 4 5 5x x

6) tempat A o100 C dibawah nol berarti o100 C

Ringkasan

Anda telah mengingat kembali definisi bilangan, pengantar konsep bilangan, mulai dari

definisi bilangan, sifat-sifat dasar bilangan bulat, dan operasi dasar pada bilangan bulat

sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang bilangan. Di akhir

bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan sifat-sifat dasar bilangan

bulat. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya

maupun modul berikutnya.

Tes 1

1) Nilai n dari 8 14n adalah ....

A. 6

B. –6

C. 22

D. –22

2) Hasil dari penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 adalah...

A. 2650

B. 3200

C. 2197

D. 2.080

3) Seekor lumba-lumba melompat samapai ketinggian 3 meer di atas permukaan air laut,

kemudian turun dan menyelam sampai kedalamn 7 meter. Maka jarak puncak

lompatan dengan kedalaman penyelamatan adalah ....

A. 4 meter

B. 7 meter


7

C. 8 meter

D. 10 meter

4) Hasil kali dari bilangan 25 18 10 adalah ....

A. –700

B. 700

C. 540

D. –540

5) Hasil pemabagian dari bilangan 42: 8 15 adalah ....

A. 8

B. –6

C. 9

D. –7


8

Topik 2

Bilangan Pecahan dan

Bilangan-Bilangan Lainnya

Definisi:

Jika a bilangan bulat, 0a , maka terdapat suatu bilangan 1

a sedemikian sehingga

11a

a .

Bilangan 1

a disebut kebalikan (invers) dari a , ditulis juga 11

aa

.

Definisi:

Jika dan a b bilangan bulat dan 0b , maka terdapat sebuah bilangan1a

ab b

yang disebut

hasil bagi dan a oleh b .

a disebut pembilang, b disebut penyebut. Jika a

b bukan suatu bilangan bulat, maka ia

disebut bilangan pecahan.

Definisi:

Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran.

Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a jika berlaku:

... x a a a

n buah

Ditulis juga nx a

Definisi :

Bilangan x disebut bilangan akar n dari bilangan a jika berlaku:

a x x x

n buah

ditulis atau n na x x a

Pecahan menyatakan proporsi dari keseluruhan bagian. Sebagai contoh,Anda memiliki disk

drive dengan kapasitas 400 GB dan Anda menyimpan file sebesar 100 GB pada disk drive

tersebut. Bagian dari kapasitas penyimpanan yang telah digunakan pada disc drive tersebut

dapat ditulis sebagai:

100

400

Bilangan di atas garis disebut pembilang, sedangkan bilangan di bawah garis disebut

penyebut. Dalam contoh ini, Anda dapat menganggap 100 sebagai ‘proporsi’ dari


9

‘keseluruhan’ 400. Jika pembilang lebih besar dan penyebut, pecahan disebut “pecahan

kasar (vulgar fraction)”. Sebagai contoh, 18

4

A. MACAM-MACAM PECAHAN

1. Pecahan Setara

Jika Anda melihat contoh sebelumnya, 100

400 perhatikan bahwa jika Anda mengalikan

(atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, pecahan akan tetap

bernilai sama.

Jadi, 100 200

400 800

(karena kita mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 2). Pecahan ini

1

4

juga ekuivalen karena sekarang kita membagi pembilang dan penyebut dengan 200. Perhatikan bahwa dalam modul ini, Anda mungkin akan menemukan pecahan yang agak

“jelek”, seperti 25

.0,01

Berdasarkan pengalaman, mahasiswa sering kali merasa ngeri jika

diminta mengevaluasi pecahan semacam ini. Untuk mengevaluasi pecahan ini, prinsipnya

sama dengan sebelumnya, yaitu kalikan bilangan atas dan bawah pecahan hingga diperoleh

bilangan bulat yang mudah ditangani. Perkalian 10 biasanya paling membantu.

Jadi, 25 250 2500

25000,01 0,1 1

(tiap kali kita mengalikan atas dan bawah dengan 10).

2. Menyederhanakan Pecahan

Soal pecahan biasanya lebih mudah dikerjakan apabila pembilang dan penyebut

bernilai sekecil mungkin. Nilai tersebut diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan bilangan yang sama berulang kali untuk memperoleh bilangan bulat yang lebih kecil

sampai proses pembagian tidak dapat diulangi lagi. Biasanya lebih mudah untuk mencoba

membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan-bilangan kecil, seperti 2, 3, 4, 5, atau 10.

Contoh 1.2.1:

Sederhanakan 24

96 sesederhana mungkin.

Jawab :

a. Perhatikan pembilang dan penyebut,serta periksa apakah keduanya dapat langsung

dibagi.

b. Ulangi sampai diperoleh pecahan yang paling sederhana.

Karena 24 dan 96 merupakan bilangan genap, keduanya dapat dibagi 2.


10

Jadi, 24 12 6 3

96 48 24 12

Sekarang pembilang dan penyebut dapat dibagi 3 maka 3 1

12 4 . Pecahan kini berada dalam

bentuk paling sederhana.

B. PRESENTASE DAN BILANGAN DESIMAL

1. Persentase

Seperti pecahan, persentase juga menyatakan proporsi dan keseluruhan bagian.

Sebagai contoh, 90% mahasiswa lulus ujian, ini berarti 90 dari 100 mahasiswa yang ikut ujian

berhasil lulus. Perhatikan bahwa “kese1uruhan” di sini tidak harus 100. Jika mahasiswa yang

ikut ujian sebanyak 200 orang dan yang lulus 180 orang, persentase yang lulus juga 90%.

2. Desimal

Desimal adalah cara untuk menyatakan bilangan yang (biasanya) tidak bulat. Tanda

koma digunakan untuk memisahkan bilangan bulat dan bagian desimal yang tidak bulat.

Sebagai contoh, 1,25 gram obat berarti kita memiliki 1 gram obat, ditambah dua per sepuluh

dari 1 gram, dan ditambah 5 per seratus dari 1 gram. Perhatikan jika satu-satunya angka

sebelum koma adalah nol, kita sedang menghitung suatu nilai yang kurang dan satu. Sebagai

contoh. 0,25 gram obat berarti kurang dari 1 gram dan menyatakan dua per sepuluh dan

lima per seratus dari 1 gram seperti sebelumnya.

3. Konversi antara Pecahan dan Desimal

Setiap desimal (atau setiap bilangan bulat) dapat dikonversi menjadi pecahan hanya

dengan meletakkan bilangan desimal itu di atas penyebut 1.

Contoh 1.2.2:

Ubah 0,25 menjadi pecahan paling sederhana

Jawab:

a. Tulis 0,25 sebagai desimal.

b. Buat pecahan setara dengan mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 10 sampai

tanda koma desimal hilang.

c. Sederhanakan pecahan tersebut dengan pembagian.

Dengan demikian, 0,25 dapat ditulis menjadi 0,25 1 . Sekarang, evaluasi pecahan ini seperti

cara yang dijelaskan sebelumnya: 0,25 1 2,5 10 25 100 = (bilangan atas dan bawah

dikali 10)

Anda tentu dapat melihat bahwa pecahan ini mudah disederhanakan: 25 100 5 10 1 4

(bilangan atas dan bawah dibagi 5)


11

Pengubahan pecahan menjadi desimal dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut. Pembilang mungkin perlu ditulis sebagai desimal dengan memberikan satu atau lebih angka nol setelah koma untuk dapat melakukan pembagian.

Contoh 1.2.3:

Nyatakan 2 5 dalam bentuk desimal

Jawab:

Cobalah langsung membagi pembilang dengan penyebut. Jika pembilang lebih kecil dari

penyebut, tulis pembilang sebagai desimal dengan satu atau lebih angka nol setelah tanda

koma untuk dapat melakukan pembagian.

Jadi, tulis 2,0 dan bagi dengan 5, Anda akan memperoleh 0,4. Anda juga dapat menulis

2,00 dibagi lima dan memperoleh jawaban 0,40 yang setara dengan 0,4. Pada sejumlah

kasus, Anda tidak akan mendapat jawaban yang berakhir dengan nol dan Anda dapat

menulis jawaban dalam waktu yang tidak terbatas. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan

1/3 dalam bentuk desimal, jawabannya adalah 0,33333... dan seterusnya. Dalam modul ini,

kebanyakan jawaban akan diberikan dalam dua tempat desimal (jumlah digit setelah tanda

koma), kecuali proses pembagian dapat diselesaikan dengan sempurna tanpa hasil sisa.

Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/8 dalam bentuk desimal, Anda akan memperoleh

hasil tepat 0,125.

4. Konversi Antara Pecahan dan Persentase

Konversi pecahan menjadi persentase sangat mudah dilakukan, yaitu hanya dengan

mengalikan pembilang dengan 100 dan mengevaluasi pecahan tersebut seperti

sebelumnya,lalu hasilnya diberi tanda %.

Contoh 1.2.4: Nyatakan 4 5 dalam bentuk persentase

Jawab:

a. Kalikan pembilang dengan 100.

b. Evaluasi pecahan sebagai bilangan (atau desimal).

c. Beri tanda % setelah nilai hasil.

Jadi, 4 5 menjadi 400 5 80 . Dengan demikian, hasilnya adalah 80%. Perhatikan bahwa

persentase dapat mengandung desimal. Sebagai contoh, 305 100 3,05% .

Konversi persentase menjadi pecahan juga sangat sederhana. Bagi bilangan dengan 100, lalu

nyatakan pecahan dalam bentuk paling sederhana. Contoh 1.2.5:

Nyatakan 55% dalam bentuk pecahan


12

Jawab:

a. Bagi bilangan dengan 100.

b. Sederhanakan pecahan.

Jadi, 55% menjadi 55 100 . Jika kita sederhanakan, pecahan ini menjadi 11 20 yang

tidak dapat disederhanakan lebih lanjut

5. Konversi Antara Desimal dan Persentase

Cara paling cepat untuk mengonversi desimal menjadi persentase adalah dengan

mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 100.lalu memberikan tanda % setelah hasil.

Contoh 1.2.6:

Nyatakan 0,6 dalam bentuk persentase

Jawab:

a. Kalikan dengan 100.

b. Beri tanda %.

0,6 dikali 100 adalah 60%.

Pengubahan persentase menjadi desimal dapat dilakukan hanya dengan membalikkan

tahapan di atas.

Contoh 1.2.7:

Nyatakan 12% dalam bentuk desimal Jawab:

Bagi dengan 100.

Jadi, 12% = 12

0,12100

Dalam contoh ini, kita dapat menyederhanakan pecahan itu menjadi 3

25. Namun,

pembagian 100 lebih mudah daripada 25.

Catatan (2):

Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Uraian desimalnya selalu berakhir

atau berulang.

Misalnya: 1 2 0,5 (artinya 5

1 2 010

).

21 50 0,42 artinya 21 50 0 4 10 2 100 .

2 7 0,285714285714.... 285714 beruan lgka ang .

Definisi:

Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan

bilangan rasional Q . Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagal bilangan yang


13

dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan irrasional (non-

rasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan

bulat atau bilangan yang uraian desimalnya tidak pernah berulang.

Contoh 1.2.8 :

2 1,4142

3,1415

2,7182.....e (bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural).

Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan

bilangan nyata (real) R , atau #R .Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal I disebut

bilangan khayal (imajiner), di mana 1i (satuan khayal, 2 1i i i ). Bentuk umumnya #, ai a R .

Misalnya 54 , 2 , dan 2i i i .

Bilangan Real

Kita buat sebuah garis lurus. Ambil titik 0 sebagai titik awal (titik nol) yang menyatakan

bilangan nol. Kita buat peraturan bahwa titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilangan-

bilangan positif, di sebelah kiri 0 menyatakan bilangan-bilangan negatif. Kemudian kita

tentukan satuannya (unit). Garis ini disebut garis bilangan real (atau garis bilangan) yang

merupakan sistem koordinat pada garis lurus (dimensi satu) dan digambarkan sebagai

berikut:

Setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh satu dan hanya satu titik pada garis bilangan dan

setiap titik pada garis bilangan menyatakan satu dan hanya satu bilangan. Semua sifat yang

berlaku pada himpunan bagian dari #R , juga berlaku pada #R .

Misalnya sifat ke-6 adalah:

Untuk setiap # #, terdapat , sehingga 0 ( 0, )a R a R a a a a .

Untuk setiap # #0 dan , terdapat 1 , sehingga 1 1a a R a R a a .

Pertidaksamaan Definisi:

a bilangan real, 0 positifa a ( > dibaca “lebih besar”)

0 negatifa a ( > dibaca “lebih kecil”)

( artinya jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi bila definisi di atas dibaca : jika 0 maka positifa a , dan jika positif, maka 0a a ).


14

Kemudian jika a dan b bilangan real, maka :

0a b a b (definisi lebih besar) serta

0a b a b (definisi lebih kecil)

a b b a

pada garis bilangan : jika a b maka a terletak di sebelah kanan b . notasi : a b artinya a

lebih kecil atau sama dengan b .

Sifat-sifat :

1) Jika ,a b R , maka salah satu dari pernyataan ini benar :

a) a b ; b) a b ; c) a b

2) Jika 0a dan 0b , maka 0a b dan 0ab .

3) Sifat transitif :

Jika a b dan b c , maka a c atau jika a b dan b c , maka a c .

4) Jika a b dan c bilangan real sebarang, maka a c b c

5) Jika a b dan c d , maka a c b d

6) 0a jika dan hanya jika 0a

0a jika dan hanya jika 0a

7) Jika 0a dan 0b , maka 0ab

0a dan 0b , maka 0ab

0a dan 0b , maka 0ab

8) Jika a b dan 0c , maka ab bc

Jika a b dan 0c , maka ab bc

Contoh 1.2.9 :

Selesaikan pertidaksamaan : 2 5 24 0x x .

Harga nol dari 2 5 24 0x x adalah 1 8x dan 2 3x .

Sebut 2 5 24x x y , maka

0 untuk 3 8

0 untuk 3 atau 8

y x

y x x

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah nilai-nilai x yang memenuhi

3 8x atau dapat ditulis sebagai himpunan | 3 8x x .

Catatan (3):

Interval (selang):

Bilangan dan a b adalah bilangan real dan a b , maka himpunan bagian dan R# adalah:

1 |A x a x b interval buka

2 |A x a x b interval tutup-buka

3 |A x a x b interval tutup


15

4 |A x a x b

Notasi lain adalah: interval buka-tutup

1 ,A a b 2 ,A a b 3 ,A a b 4 ,A a b

Catatan (4):

Interval-interval tak hingga.

| | ,A x x a x x a a

| |a ,B x x a x x a B

| | ,C x x a x x a a

| | ,D x x a x a x a

#| | ,E x x R x x

Dimana a suatu bilangan real

, , , , dan A B C D E disebut interval tak hingga.

Harga Mutlak

Harga mutlak (absolut) dan suatu hilangan real didefinisikan sebagai:

jika 0

jika 0

a aa

a a

misalnya: 3 3, karena 3 0

2 2 2, karena 2 0

3 2 3 2 2 3, karena 3 2 0

Sifat-Sifat Harga Mutlak

Jika #, a b R , maka :

1) | | 0a

2) | | | |a a

3) 2 | |a a

4) | | jika dan hanya jika , dimana 0a b b a b b

5) | | jika dan hanya jika , atau aa b a b b

6) | | | |a b b a


16

7) | | | |a b b a

8) , 0a a

bb b

9) | | || | | ||a b a b

10) | | | | | |a b a b

11) | | || | | ||a b a b

12) | | | | | |a b a b

Contoh 1.2.10 : |2 3| 7x

Berarti : 7 2 3 7 10 2 4 5 2x x x

Latihan

1) Bentuk sederhana dari 96

360 adalah ....

a. 8

15

b. 8

30

c. 16

30

d. 4

15

2) Bentuk persen dari bilangan-bilangan pecahan 8 1 8

; ; ; 0,3625 4 50

berturut-turut

adalah ...

a. 32%, 25%, 16%, 36%

b. 36%, 25%, 16%, 32%

c. 25%, 16%, 32%, 36%

d. 16%, 32%, 36%, 25%

3) Toko A memberikan potongan harga 20% setiap penjualan barang, untuk pembelian

sepasang sepatu, Raisa membayar kepada kasir sebesar Rp40.000,00. Harga sepasang

sepatu sebelum mendapat potongan harga adalah …

4) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 6 0x x adalah ....

a. 2 3x

b. 2 atau 3x x

c. 2 atau 3x x

d. 2 3x

5) Selesaikan pertidaksamaan 2 5 | 4x x adalah ....


17

a. 1

43

x x

b. 3 4x x

c. 1

33

x x

d. 1

34

x x

6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 1

73

x

x

adalah ....

a. 2 4x x

b. 3 4x x

c. 1 4x x

d. 1 4x x

Petunjuk Penyelesaian Soal

1) Untuk menyederhanakan, pembilang dan penyebut bagikan dengan KPK kedua

bilangan tersebut

2) Kalikan dengan 100%

Ringkasan

Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis bolangan, terdiri dari aturan

bilangan pecahan, dan bilangan-bilangan lainnya, bilangan real,pertidaksamaan,dan harga

mutlak. Selain itu, presentase dan bilangan desimal juga telah dibahas, mulai dari konversi

bilangan desimal ke presentase serta konversi persentase ke bilangan desimal. Dengan bekal

ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian bilangan itu dan sifat-

sifatnya dapat teratasi dengan baik.

Tes 2

1) Bentuk pecahan dari 45 menit dari 1 jam adalah ....

A. 3

4 bagian dari 1 jam

B. 1

2 bagian dari 1 jam

C. 1

3 bagian dari 1 jam


18

D. 2

3 bagian dari 1 jam

2) Pecahan yang senilai dengan pecahan 3

14 adalah ....

A. 9

40

B. 9

38

C. 12

56

D. 12

72

3) Susunan deretan pecahan 7 11

, 1, 8 12

dalam urutan naik (dari kecil ke besar) adalah ....

A. 7 11

, 1, 8 12

B. 7 11

, , 18 12

C. 11 7

1, , 12 8

D. 11 7

, , 112 8

4) Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota

tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak laki-laki!

A. 3.200.000 jiwa

B. 1.600.000 jiwa

C. 4.000.000 jiwa

D. 3.000.000 jiwa

5) Bentuk persen dari dari bilangan 2

15 adalah ....

A. 35 %

B. 1

%3

C. 1

13 %3

D. 13%


19

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) B

2) D

3) D

4) A

5) B

Tes 2

1) A

2) C

3) B

4) A

5) C


20

Daftar Pustaka

Ayu Laraswati. 2013. Pengertian Bilangan Desimal Otal dan Biner. (online) Diakses pada

tanggal 10 Juni 2014

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-

dan-biner/

Ainul Wicaskono. 2012. Tugas Matematika Bilangan Bulat dan Ganjil. (online) Diakses pada

tanggal 10 Juni 2014

http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-

ganjil.html

Anonymous. 2010. Rumus Bilangan Ganjil dan Rumus Bilangan Genap. (online) Diakses

pada tanggal 10 Juni 2014

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-

bilangan-genap/

Anonymous. 2010. Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/

http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.html

http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.html

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/


21

BAB II

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA


PENDAHULUAN

Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari-hari , fungsi

eksponen dan logaritma sering kali digunakan untuk mendeskripsikan suatu peristiwa

pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank,

peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan

logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk

memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya.

Pada Bab 2 ini anda akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam

pemecahan masalah. Untuk mempelajari modul ini, Anda diharapkan telah memahami

pangkat/eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, menggambar

kurva suatu persamaan kuadrat, trigonometri.

Pada Topik 1 pada modul ini, dibahas mengenai definisi fungsi eksponen dan sifat-

sifatnya serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Pada Topik 2 diperkenalkan

fungsi logaritma, sifat-sifatnya serta operasi-operasi penggunaannya.

Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan Anda mampu menggunakan konsep

fungsi eksponen dan logaritma untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Secara

sistematis, Anda diharapkan mampu :

1. Menjelaskan sifat-sifat fungsi eksponen

2. Menjelaskan sifat-sifat logaritma

3. Menjelaskan bentuk- bentuk persamaan eksponen dan logaritma beserta fungsinya

4. Menjelaskan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan logaritma.

5. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.

Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang

terkait atau jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, tanyakan

kepada tutor pendamping Anda.


22

Topik 1

Keterlibatan Mahasiswa

Dalam Topik 1 ini akan dibahas materi perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk

mempelajari bagian modul ini, ada baiknya kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat

rasional. Bilangan berpangkat merupakan prasyarat mempelajari persamaan eksponen,

fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk mengingat kembali tentang bilangan eksponen,

perhatikan beberapa sifat berikut.

A. PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai

berikut :

1. p q p qa a a 7. 1p

pa

a

2. :p q p qa a a 8. p

q pqa a

3. ( )p q pqa a 9. p p pab a b

4. ( ) .p p pab a b 10. p

pp

a a

b b

5. p p

p

a a

b b

11. 0 1a

6. 1

0p

pa a

a

Pada modul ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya

merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi

disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan

radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.

B. PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA

1. Bentuk ( ) 1f xa

Jika ( ) 1f xa dengan 0a dan 0a , maka 0f x

Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponen berbentuk ( ) 1f xa ? Ya, perlu Anda ketahui bahwa: 1 dengan 0f xa a , dan 0a , maka

0f x . Perhatikan contoh berikut ini!


23

Contoh 2.1.1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari: uu

5 103 1x

Jawab:

5 10

5 10 0

3 1

3 3

5 10 0

5 10

2

x

x

x

x

x

2. Bentuk ( )f x pa a

Jika ( )f x pa a dengan 0a dan 0a , maka f x p

Contoh 2.1.2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 2 15 625x

b. 2 7 12

32x

Jawab :

a. 2 15 625x

2 1 35 5x

2 1 3x

2 4x , jadi 2x

b. 2 7 12

32x

2 7 52 2x

2 7 5x

2 2x

1x

3. Bentuk f x g xa a

Jika f x g xa a dengan 0a dan 0a , maka f x g x

Contoh 2.1.3 :

a. 2 2 19 27x x x

b. 1225 0,2

XX


24

Jawab:

a. 2 2 19 27x x x

2 22( ) 3( 1)3 3x x x

2 22 3 3x x x

2 22 2 3 3x x x

2 2 3 0x x

3 1 0x x

3 1x x

Jadi HP = 1,3

b. 1225 0,2

xx

2 2 1 15 5x x

2 4 1

2 1 4

5

x x

x x

x

Jadi HP = 5

4. Bentuk ( ) ( )f x f xa b

Jika ( ) ( )f x f xa b dengan 0a dan 1a , 0b dan 1b , dan a b maka 0f x

Contoh 2.1.4:

3 36 9x x

Jawab:

3 36 9x x

3 0

3

x

x

Jadi HP = 3

5. Bentuk ( ) 2 ( )( ) ( ) 0f x F xA a B a C

Dengan memisalkan f xa p , maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi

persamaan kuadrat : 2 0Ap Bp C

Contoh 2.1.5 :

2 32 2 16 0x x

Jawab :

2 3

2 3

2 2 16 0

2 2 2 18 0

x x

x x

Dengan memisalkan 2x p , maka persamaan menjadi


25

2 8 16 0

4 4 0

4

p p

p p

p

Untuk 4 2 4xp

22 2

2

x

x

Jadi HP = 2

Latihan

1) Bentuk 1

1

3 3

3 3

n n

n n

dapat disederhanakan menjadi …

a. 3

4

b. 3

2

c. 5

4

d.

4

3

2)

11 1

1 1

x y

x y

dalam bentuk pangkat adalah …

a. yy x

y xx y

x

b. x y

x y

y x

y x

c. y x

y x

y x

y x

d. x y

x y

y x

y x

3) Jika 2 7 dan 2 7, 4a a a b ab

a. 28

b. 30

c. 32

d. 34


26

4) Jika 4 3 2

6 5 4

1 maka nilai

4

x x xx

x x x

a. 1

16

b. 1

8

c. 1

2

d. 4

5) Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar, 1 1

1 1

2 2

x y

x y

a. x y

xy

b. y x

xy

c. x y

xy

d. xy y x

6) Diketahui 2 2 5x x . Nilai 2 22 2x x ….

a. 23

b. 24

c. 25

d. 26

7) Jika 2 3

62 3

p q

dengan p dan q bilangan bulat, maka p q ....

a. 3

b. 2

c. -2

d. -3

8) Nilai x yang memenuhi persamaan 5 52 2 64x x adalah ....

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1


27

Ringkasan

Pada topik ini, kita telah mempelajari persamaan eksponen dan fungsi eksponen

dengan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a ( a konstan) adalah fungsi yang

didefenisikan dengan rumus : , 0 dan 1xf x a a a

Tes 1

1) Nilai dari x agar 23 3 0x ....

A. 1

B. 1

2

C.

1

3

D.

1

4

2) Nilai x dari persamaan 5 1 33 27 0x x ....

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

3) Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 2 23 8 3 1 0x x

A. 2

B. -1

C. 0

D. -2

4) Jika 12xf x tentukan nilai dari 3 dan 3f f ....

A. 1

2

B. 0,25

C. 0,125

D. 25

5) Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.

3 2 1

2

125

125x

x


28

A. ½

B. 5/2

C. 5/3

D. 5/4


29

Topik 2

Persamaan Fungsi Logaritma

Pengertian logaritma sebagai invers (kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan

melalui pembahasan berikut ini: Contoh 2.2.1:

1. 42 2 2 2 2 16

2. 310 10 10 10 1000

Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka

dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara

menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:

Misal :

1. Berapa n , jika 2 16n

2. Berapa x , jika 10 1000x

Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma.

Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut:

1. 2 16n maka 2 2 4log16 log2 4n

2. 10 1000x maka 10 10 3log1000 log10 3x

Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu

bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat

didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a (ditulis loga x ) adalah eksponen

bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.

Dirumuskan :

loga x n artinya nx a untuk 0; 1 dan 0a a x

a disebut bilangan pokok

x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan 0x

n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis

Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh-contoh berikut ini dengan teliti agar kamu

tidak menemui hambatan di kemudian hari .

Contoh 2.2.2 :

Nyatakan dalam bentuk logaritma:


30

1. 43 81

2. 133 2 2

3. 30,001 10

Jawab:

1. 4 33 81 log81 4

2.

133 3 1

2 2 log 23

3. 3 100,001 10 log0,001 3

Nyatakan dalam bentuk pangkat

1. 5 log25 2

2. 3 1log 3

27

3. loga b c

Jawab:

1. 5 2log25 2 25 5

2. 3 31 1log 3 3

27 27

3. loga cb c b a

Tentukan nilai logaritma berikut!

1. 2 log32

2. 3 log3 3

3. 2 1log 2

2

Jawab :

1. 2 2 5log32 log2 5

2. 323 3 3

log3 3 log32

3. 122 21 1

log 2 log22 2

A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Ada 7 (tujuh) sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan

masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu:


31

Sifat 1

log log loga a ax y xy

Contoh 2.2.3:

Sederhanakanlah !

1. 2 2log4 log8

2. 3 31log log81

9

3. 2 2log2 2 log4 2

Jawab :

1. 2 2 2 2log4 log8 log4 8 log32 5

2. 3 3 3 31 1log log81 log 81 log9 2

9 9

3. 2 2 2 2log2 2 log4 2 log2 2 4 2 log16 4

Sifat 2

log log loga a a xx y

y

Contoh 2.2.4 :

Sederhanakanlah!

1. 2 2log16 log8

2. log1000 log100

3. 3 3log18 log6

Jawab :

1. 2 2 2 216log16 log8 log log2 1

8

2. 1000

log1000 log100 log log10 1100

3. 3 3 3 18log18 log6 log 1

6

Sifat 3

log loga n ax n x


32

Contoh 2.2.5 :

Sederhanakan! 1. 2log3 4log3

2. 2log 2loga b

Jawab:

1. 2 42log3 4log3 log3 log3

log9 log81

log9 81

log729

2. 2 22log 2log log loga b a b

2 2

2

log

log

a b

ab

Ingat :

1. 22log log log logx x x x

2log 2logx x

Jadi 2 2log logx x

2. 1 1log

logx

x

1 1log log logx x

x

Jadi 1 1log logx x

Sifat 4

1. log

loglog

ca

c

xx

a

2. 1

loglog

g

aa

g

Contoh 2.2.6: 3 7log7 log81

Jawab :

1. 3 7 log7 log81log7 log81

log3 log7

= 4log3

log3


33

= 4log3

4log3

2. 3 7 7

7

1log7 log81 log81

log3

= 7 4 4

7

log3 log3

log3 log3

= 3 4log3 4

Sifat 5 loga xa x

Contoh 2.2.7 :

1. 2

2 log5log5 24 2

2. 33

12

log2log2

3 3

Jawab :

1. 2

2 2 2log5log5 2 log5 24 2 2 5 25

2. 3 13

1 13 22 2

log2log2log23 3 3 3 3

Sifat 6

Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :

1. log log

log loglog log

nm

p m p

n

a m a ma a a

p n p n

2. Jika m n maka diperoleh:

log .log

log loglog .log

nn

p m p

n

a n aa a

p n p

Sehingga dapat disimpulkan bahwa : Untuk p dan a bilangan real positif 1p maka:

log lognp m pm

a an

log lognp n pa a

Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya

tetap.


34

Contoh 2.2.8 :

Hitunglah !

1. 8 log16

2. 8 log64

3. Jika 3 log5 a hitunglah 25 log27

Jawab :

1. 38 2 4 24 4 4

log16 log2 log2 13 3 3

2. 38 2 6 26 4 6

log64 log2 log2 1 23 3 3

3. 3 log5 a , maka :

225 5 3 5

3

3 3 1 3 1 3log27 log3 log3

2 2 log5 2 2a a

Sifat 7

Perhatikan uraian di bawah ini!

Misalkan logpn a , maka na p , oleh karena logpn a , maka logpn ap p a (karena na p ) sehingga disimpulkan :

Untuk p dan a bilangan real 1p maka logp ap a

Contoh 2.2.9:

Sederhanakan !

1. 2log10 x

2. 3 log9 a

3. 9 log

27b

Jawab :

1. 2 10 2log log 210 10x x x

2. 23 3 2 9 2log log log 29 9 9a a a a

3. 99 99 31 3

2 42

loglog loglog3 227 3 3 3

bb bb

= 34

32

2x

= 3

9 4log9n mb m na a

= 34b sifat 7

= 34 b mengubah eksponen ke akar


35

B. MENGGUNAKAN TABEL LOGARITMA

1. Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

.

.

721

log721,8 2,8530

log72,18 1,8530

log7,218 0,830

Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian

bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal

disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.

Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1

dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : 10na , dengan

1 10a dan n bilangan bulat, sehingga :

log 10 log log10

log

n na a

n a

Contoh 2.2.10 :

1. 4log34000 log 3,4 10

4log3,4 log10 dari tabel log4,4 0,5315

0,5315 4

4,5315

2. 2log0,284 log 2,84 10

2log2,84 log10 dari tabel log2,84 0,4533

0,4533 2

Anti Logaritma

Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

.

.

721

.8530

.8759


36

Contoh 2.2.11 :

log 0,8759 7,515x x

Misalnya, carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2 10x Jawab :

log2 log10x Dari daftar

log2 log10 log2 0,3010x

log10

log2x

13,322

0,3010x

C. OPERASI PADA LOGARITMA

1. Operasi Perkalian

log loga logba b

Contoh 2.2.12:

Hitunglah 6,28 × 2,536

Jawab: Jika 6,28 2,536p

log log 6,28 2,536p

log log6,28 log2,536 1,2021p

Jadi, antilog 1,2021 15,926p

2. Operasi Pembagian

log log loga

a bb

Contoh 2.2.13:

Hitunglah 325,6 : 48,5

Jawab: Jika 325,6: 48,5p

log log 325,6: 48,5p


37

log log325,6 log48,5p

2,5127 1,6857

0,8270

Jadi, log0,8270 6,7p anti

3. Operasi Akar dan Pangkat

log log

1log log

n

n

a n a

a an

Contoh 2.2.14 :

Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.

a. 85

b. 47,32

18,6

Jawab :

a. Jika 85p

8log log5

8log5

p

log 8 0,699 5,592p

Jadi, log 5,592 390800p anti

b. Jika 47,32

18,6p , maka

47,32

log log18,6

p

1log47,32 18,6

2

11,6750 1,1643

2

10,5107 0,2553

2

Jadi, log 0,2553 1,8001p anti

Latihan

1) Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:

a) 32 8

b) 45 625

c) 27 49


38

2) Tentukan nilai dari:

a) 2 3 5log8 log9 log125

b) 2 3 51 1 18 9 125log log log

3) Tentukan nilai dari

a) 4 27log8 log9

b) 8 27 19log4 log

4) Tentukan nilai dari:

a) 2 log8

b) 3 log27

5) Diketahui: log p A

logq B

Tentukan nilai dari 3 2log p q

Petunjuk Jawaban Latihan

1) logaax n

2) 2 3 5log8 log9 log125

Ringkasan

Sampai di sini kita telah dikenalkan dengan persamaan dan fungsi logarimat, Logaritma

merupakan invers atau kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Jika 23 9 , maka kita

dapat menuliskannya dalam bentuk logaritma, yaitu 3 log9 2 atau 9log3 2 . Ingat juga

bahwa jika tidak ditulis atau jika terdapat angka di depan log seperti ini 3log berarti log itu

berbasis 10 yang bisa kita tuliskan seperti ini 10 log . Namun umumnya log basis 10 tidak

dituliskan. Sifat- sifat yang berlaku dalam logaritma inilah yang sering kita hadapi dalam

operasi penyelesaian soal-soal logaritma. Logaritma digunakan untuk menentukan besar

pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya dalam bidang studi matematika, logaritma

juga sering digunakan dalam soal perhitungan bidang studi yang lain, misalnya menentukan

orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam

pelajaran akustik dan lain sebagainya.

Tes 2

1) Nilai logaritma dari 2 3 5log8 log9 log125 ....

A. 6

B. 7


39

C. 8

D. 9

2) Diketahui 2 3log 3 dan log 5a b , maka 6log 15 ….

A. a b

B. a b

C.

1

1

a b

a

D. 1

1

b a

b

3) Jika 3 7log 5 dan log 5m n , maka 35log 15 ....

A. 1

1

m

n

B. 1

1

n

m

C.

1

1

m n

n m

D.

1

1

n m

m n

4) Jika , , 1a b c , maka 3 3 3log log logabc abc abcab bc ac ....

A. 1

3

B. 2

3

C. 1

D. 4

3

5) Jika 2

3

log

log

xp

y dan 3

2

log

log

xq

y , 1, 1x y , maka

p

q ....

A. 2log 3

B. 3log 2

C. 4log 9

D. 2

2log 3


40

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) B

2) A

3) D

4) B

5) C

Tes 2

1) B

2) C

3) D

4) A

5) C


41

Daftar Pustaka

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-

soal.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma

Anonymous. 2011. Bentuk Akar Pangkat dan Logaritma. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-

logaritma.html

Anonymous. 2008. Perpangakatan dan Akar Bilangan. (online) Diakses pada tanggal 10

Juni 2014

http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/

Ali Yaramadon. 2013. Tugas Pengertian dan Macam-macam Bentuk Akar. (online) Diakses

pada tanggal 10 Juni 2014

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-

macam_6143.html

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Jakarta: Penerbit Erlangga.

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.html

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma

http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.html

http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.html

http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html


42

BAB III

SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI


PENDAHULUAN

Sifat-sifat dari suatu benda atau kejadian yang kita ukur, misalnya panjang benda,

massa benda, lamanya waktu lari mengelilingi sebuah lapangan sering kali kita jumpai, apa

saja yang bias kita ukur dari sebuah buku? Pada sebuah buku dapat kita mengukur massa,

panjang, lebar dan tebal buku. Bagaimanakah kita menyatakan hasil pengukuran panjang

buku?

Di Inggris, system metric merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk

menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang

digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol

untuk satuan dasar jumlah obat. Awalan (prefiks) digunakan untuk menyatakan kuantitas

yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar.

Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif (obat) yang

terlarut dab terdispersi alam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan

dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,

pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain

itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa

hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan dalam berbagai bentuk.

Pada modul ini di Topik 1, kita akan membahas tentang satuan massa, satuan volume

dan satuan jumlah obat. Pada Topik 2, akan dibahas empat cara berbeda untuk menyatakan

konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, bagian dan rasio.

Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan anda mampu menggunakan konsep

satuan pengukuran dan konsentrasi dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-

hari. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat :

1. Menyebutkan satuan massa, volume, dan jumlah obat yang biasa digunakan.

2. Mengkonversi satuan massa, volume, dan jumlah obat antara yang lebih besar dan

yang lebih kecil.

3. Memahami empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per

volume, persentase konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi,

rasio dan bagian.

4. Mengonversi pernyataan-pernyataan konsentrasi.


43

Topik 1

Satuan Pengukuran

A. SISTEM METRIK

Untuk profesional kesehatan saat ini, sistem metrik merupakan sistem yang kini paling

lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas

tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk

satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan

desimal, yang diterjemahkan menjadi power of tens. Pada sistem metrik terdapat awalan

(prefiks) yang digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari

satuan dasar. Tabel 3.1 memuat daftar awalan yang paling sering digunakan dalam farmasi

dan contoh untuk setiap awalan.

Tabel 3.1 Awalan yang Digunakan Dalam Sistem Metrik

Awalan Menyatakan Contoh

Kilo Seribu kali lebih besar dan satuan dasar Kilogram

Mili Seribu kali lebih kecil dan satuan dasar Millimeter

Mikro Satu juta kali lebih kecil dan satuan dasar Mikro omo

B. SATUAN MASSA

Satuan massa yang paling lazim digunakan didaftar pada Tabel 3.2.

Tabel 3.2. Satuan Massa

Satuan Singkatan Setara dengan

1 Kilogram Kg 1000 gram

1 Gram G 1000 miligram

1 Miligram Mg 1000 mikrogram

1 Mikrogram g atau mcg

Massa yang lebih besar atau lebih kecil dari jumlah-jumlah tersebut jarang digunakan dalam

farmasi. Untuk mengubah dari satuan yang lebih kecil ke satuan yang lebih besar (contohnya

miligram ke gram,gram ke kilogram), kita perlu membagi dengan 1000. Sebaliknya, untuk

mengubah dari satuan yang lebih besar ke satuan yang lebih kecil (contohnya kilogram ke

gram,gram ke miligram), kita harus mengalikan dengan 1000 (lihat Gambar 3.1).


44

Gambar 3.1 Konversi antara Satuan-satuan Massa

Contoh 3.1.1: Jumlahkan 0,0025kg , 1750mgr , 2,5gr , dan 750.000mcgr (berikan jawaban Anda dalam

gram). Jawab:

1. Ubah setiap kuantitas menjadi gram.

2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.

0,00250kg 0,00250 1000 gr 2,50gr

1750mgr 1750:1000 gr 1,75gr

2,50gr 2,50gr

750000mgr 750000:1000000 gr 0,75gr

Massa total = 7,50gr

Jawaban: 7,50gr

C. SATUAN VOLUME

Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100

sentiliter atau 1000 milliliter. Milliliter setara dengan centimeter kubik(cc) walaupun

singkatan yang lebih dipilih adalah ml. Tabel 3.1 mendaftar satuan-satuan volume yang lazim

digunakan dalam farmasi.

Tabel 3.1 Satuan yang digunakan dalam farmasi


1 Liter L 1000 mililiter

1 Mililiter mL 1000 mikroliter

Untuk mengonversi volume dari liter menjadi mililiter, kita harus mengalikan dengan 1000,

sedangkan untuk mengonversi volume dari mililiter menjadi liter, kita harus membagi

dengan 1000 (lihat Gambar 3.2)


45

Gambar 3.2 Konversi Antara Satuan-satuan Volume

Contoh, 3.1.2: Jumlahkan 3L, 1150mL dan 0,75L . Berikan volume total dalam mL

Jawab:

1. Ubah setiap kuantitas menjadi mililiter.

2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.

2L 3 1000 mL 3000 mL

1150 mL 1150 mL

0,75L 0,75 1000 mL 750 mL

Volume total = 4900 mL

Jawaban: 4900 mL

Contoh 3.1.3 :

Seorang pasien diberi resep 10 mL campuran untuk digunakan empat kali sehari. Berapa

banyak campuran (dalam liter) yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari?

Jawab:

1. Hitung berapa banyak campuran yang digunakan oleh pasien setiap hari.

2. Hitung berapa banyak campuran yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari

3. Konversi angka yang diperoleh dan mL ke L

Setiap hari pasien menggunakan 10mL 4 40mL

Selama 30 hari pasien membutuhkan 40mL 30 1200mL 1200 mL 1 0,2 L 1,2L

Jawaban: 1,2L

1. Satuan Jumlah Obat

Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang

mengandung 6,02 × 1023satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).

Jumlah mol suatu obat dapat langsung dinyatakan sebagai massa karena satu mol suatu

berat obat, dalam gram, sama dengan massa molekul relatif (relative molecular ‘op[]mass,


46

RMM) obat tersebut. Contohnya, 1 mol kalium kiorida (RMM =74,5) memiliki berat 74,5

gram. Tabel 3.4 menunjukkan satuan jumlah obat yang lazim digunakan dalam farmasi.

Tabel 3.4

Satuan Jumlah Obat


Mol Mol 1000 milimol

Milimol mmol 1000 mikromol

Gambar 3.3 menunjukkan konversi antara mol dan milimol, serta konversi satuan-

satuan ini ke dalam satuan massa.

Gambar 3.3 Konversi Antara Satuan-satuan Jumlah Obat

Contoh 3.1.4: Berapa milimol kalium kiorida (asumsikan 75RMM ) yang terdapat dalam 150gr obat?

Jawab:

1. Hitung jumlah mol obat.

2. Ubah hasil yang diperoleh ke dalam milimol.

75 gr adalah berat 1 mol kalium klorida

1gr adalah berat 1: 75 mol kalium klorida

150 gram adalah berat 150 : 75 mol kalium klorida = 2 mol

2 mol 2 1000 milimol = (2 × 1000) milimol = 2000 milimol

Jawaban: 2000 milimol

Latihan

1) Hasil jumlah dar 7 kg, 75 g, dan 750.000 mcg adalah .... g

a. 7000

b. 7500

c. 7000,75

d. 7075,75


47

2) Volume total dari 0,04 L, 20 rnL, dan 200 µL adalah .... mL

a. 20

b. 60

c. 60,2

d. 80,2

3) Seorang dokter meresepkan 250mg minosiklin untuk digunakan empat kali sehari

selama 20 hari. Total minosiklin yang dibutuhkan oleh pasien adalah ....

a. 10 g

b. 20 g

c. 30 g

d. 40 g

4) Satu kapsul obat mengandung bahan Fenilpropanolamin hidrokiorida 50 mg.

Berapakah dalam gram yang dibutuhkan untuk membuat 10.000 kapsul ....

a. 50 g

b. 100 g

c. 500 g

d. 1000 g

5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Jumlah

gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok adalah ....

a. 100 g

b. 200 g

c. 300 g

d. 400 g 6) Suatu inhaler menghantarkan 50 mcgr salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).

Inhaler tersebut mengandung 200inhalasi terukur. Jumlah miligram salmeterol

terkandung dalam inhaler ini adalah ....

a. 10 mg

b. 20 mg

c. 30 mg

d. 40 mg

7) Pasien diberi resep 15mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.

Banyak campuran yang harus diberikan adalah ....

a. 210 mL

b. 400 mL

c. 420 mL

d. 460 mL 7) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mgr bahan tersebut. Jika pasien

menggunakan tujuh kapsul sehari, jumlah mmol natrium bikarbonat yang digunakan

pasien adalah … (RMM natrium bikarbonat = 84).

a. 5 mmol

b. 50 mmol


48

c. 10 mmol

d. 100 mmol

8) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Jumlah massa natrium

klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut adalah … (RMMnatrium

klorida = 60).

a. 0,18 g

b. 1,8 g

c. 18 g

d. 180 g

9) Sebuah tablet efervesen untuk rehidrasi oral mengandung 120 mgnatrium klorida dan 150 mgr kalium kiorida. Jumlah mmol klorida terkandung dalam satu tablet adalah ....

(RMM natrium klorida (NaCl) = 60 dan RMM kalium klorida (KCl) = 75).

a. 1 mmol

b. 2 mmol

c. 3 mmol

d. 4 mmol

Ringkasan

Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan

dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat.

Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of ten.

Satuan massa yang paling lazim digunakan adalah kilogram, gram,miligram dan

mikrogram.

Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100

sentiliter atau 1000 milliliter.

Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang

mengandung 6,02 × 1023 satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).

Tes 1

1) Suatu inhaler menghantarkan 50 mikrogram salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).

Inhaler tersebut mengandung 200 inhalasi terukur. Berapa miligram salmeterol

terkandung dalam inhaler ini?

A. 100 g

B. 200 g

C. 300 g

D. 400 g


49

2) Pasien diberi resep 15 mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.

Berapa banyak campuran yang harus diberikan?

A. 0,1 mg

B. 1 mg

C. 10 mg

D. 100 mg

3) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mg bahan tersebut. Jika pasien

menggunakan tujuh kapsul sehari, berapa mmol natrium bikarbonat yang digunakan

pasien? (RMM natrium bikarbonat = 84).

A. 42 mmol

B. 420 mmol

C. 4,2 mmol

D. 0,42 mmol

4) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Berapa massanatrium

klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut? (RMM natrium klorida =

60).

A. 5 mmol

B. 50 mmol

C. 2 mmol

D. 20 mmol

5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Berapa

gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok?

A. 1,8 g

B. 18 g

C. 0,9 g

D. 9 g


50

Topik 2

Memahami Konsentrasi

A. PERNYATAAN KONSENTRASI

Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif(obat) yang

terlarut atau terdispersi dalam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai

pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,

pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain

itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa

hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan bentuk. Dalam kegiatan

ini, kita akan membahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi:

1. kuantitas per volume

2. persentase konsentrasi

3. bagian

4. rasio

1. Kuantitas Per Volume

Pernyataan kuantitas per volume digunakan untuk menunjukkan konsentrasi obat

dalam larutan dan untuk hasil uji laboratorium klinis. Pernyataan kuantitas per volume

memberikan jumlah atau berat obat (jumlah dalam mol atau berat dalam gram) dalam volume larutan. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 9gr/L berarti 9 gr natrium klorida

terlarut dalam 1 liter larutan; larutan natrium klorida 1 mmol/L mengandung 1 mmol/L (ekuivalen dengan 0,058 g) natrium klorida terlarut dalam1 liter larutan.

Contoh 3.2.1: Berapa berat natrium bikarbonat (dalam gram) dibutuhkan untuk membuat 200 mL larutan

6 gr/L ?

Jawab:

a. Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa banyak natrium bikarbonat yang terkandung dalam 1mL larutan.

b. Hitung berapa banyak natrium bikarbonat dibutuhkan untuk membuat 200mL larutan.

6 gr/L berarti 6 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1L (1000mL ) larutan.

Jadi, 6:1000 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1 mL larutan.

Jadi, 6:1000 200gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 200mL larutan.

Jawaban: 1,2gr .


51

Contoh 3.2.2 : Seorang pasien memiliki kadarkaliurn serum 4 mmol/L .

a. Berapa mmol kalium terkandung dalam 20 mL sampel serum pasien?

b. Berapa miligram kalium terkandung dalam sampel ini? (RMM kalium = 40) Jawab: a)

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa milimolkalium terkandung dalam 1 mL serum.

2) Hitung berapa milimol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

4mmol/L berarti 4mmol kalium terkandung dalam 1L serum.

Jadi 4:1000 mmol kalium terkandung dalam 1 mL serum.

Karena itu, (4 × 20) ÷ 1000 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

80:1000 mmol 0,08 mmol

Jawaban: 0,08 mmol

Jawab: b) Konversi jumlah mmol menjadi mgr dengan mengalikan nilai tersebut dengan RMM (lihat

kegiatan 3.1). 1mmol kalium memiliki berat 40 mgr .

0,08 mmol kalium memiliki berat 0,08 40 mgr 3,2mgr .

0,08 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.

Jawaban: 3,2 mgr kalium terkandung dalam 20 mL serum

2. Persentase Konsentrasi

Persentase dapat digunakan untuk menyatakan konsentrasi obat, baik dalam bentuk

sediaan cair maupun padat. Persentase konsentrasi menjelaskan jumlah bagian obat (dalam

gram atau militer) dalam 100 bagian bentuk sediaan. Ada tiga persentase konsentrasi yang

lazim digunakan. Penggunaan ketiga persentase ini bergantung pada sifat produk.

a. % b v

Persen berat-dalam-volume digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan dalam

100 mL produk cair. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 1% b v dalam air berarti 1gr natrium klorida terkandung dalam 100 mL larutan. Untuk membuat larutan ini, 1 gr

natrium klorida dilarutkan dalam sedikit air, kemudian larutan diencerkan hingga 100 mL

dengan air.

b. % b b

Persen berat-dalam-berat digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan, atau

kadang-kadang cairan, dalam 100 g produk padat. Sebagai contoh, salep hidrokortison 1% b b berarti 1 gr hidrokortison terkandung dalam 100 gr salep akhir. Untuk membuat


52

produk ini, 1 gr hidrokortison dicampur dengan sedikit basis salep, kemudian produk dibuat

menjadi 100 gr dengan penambahan basis salep lebih lanjut.

b. % v v

Persen volume-dalam-volume digunakan untuk menyatakan volume suatu cairan

dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, emulsi yang mengandung 50% v v parafin cair

berarti 50mL parafin cair terdapat dalam 100mL emulsi akhir.

Contoh 3.2.3:

Obat kumur mengandung 0,1% b v klorheksidin glukonat. Berapa gram klorheksidin

glukonat terkandung dalam 250 mL obat kumur?

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat (dalam gram) terkandung dalam 1 mL produk.

2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 250 mL produk.

0,1% b v berarti 100 mL obat kumur mengandung 0,1 gr klorheksidin glukonat.

Jadi, 1 mL obat kumur mengandung (0,1c 100) g klorheksidin glukonat.

Karena itu, 250mL obat kumur mengandung 0,1:100 250gr klorheksidin glukonat

= 0,25gr .

Jawaban: 0,25 gr

Contoh 3.2.4: Berapa berat mikonazol yang dibutuhkan untuk membuat 40 gr krim yang mengandung

2% b b obat?

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat terkandung dalam 1 gr produk.

2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 40 gr produk.

2% b b berarti 100 gr krim harus mengandung 2 gr mikonazol.

Jadi, 1 gr krim harus mengandung 2:100 gr mikonazol.

Karena itu, 40gr krim harus mengandung 2:100 40 gr mikonazol.

Jawaban: 0,8 gr

Contoh 3.2.5: Berapa banyak minyak kacang (arachis oil) yang dibutuhkan untuk membuat 300 mL emulsi

yang mengandung 30% v v minyak kacang?


53

Jawab:

1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 1 mL produk.

2) Hitung berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 300 mL produk.

30% v v berarti 100 mL emulsi mengandung 30 mL minyak kacang.

Jadi, 1mL emulsi mengandung 30:100 mL minyak kacang.

Karena itu, 30 mL emulsi mengandung 30:100 300 mL minyak kacang = 90 mL .

Jawaban: 90 mL

3. Rasio Konsentrasi

Rasio konsentrasi terutama digunakan untuk menyatakan konsentrasi larutan yang

sangat encer. Rasio menyatakan jumlah bagian pelarut (biasanya dalam mililiter) yang di

dalamnya terlarut atau terdispersi satu bagian obat (biasanya dalam gram). Jadi, larutan

obat 1: 5000 mengindikasikan 1 gr obat terlarut dalam 5000 mL ( 5L ) larutan.

Contoh 3.2.6: Berapa miligram adrenalin terkandung dalam 10mL larutan obat 1:10000 ?

Jawab:

1) Ubah rasio menjadi pernyataan kuantitas per volume. 2) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 1 mL larutan.

3) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 10mL larutan.

Larutan 1:10.000 berarti 1 g adrenalin terlarut dalam 10.000 mL larutan.

Jadi, 1mL larutan akan mengandung 1:10000 gr adrenalin.

Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:10000 10gr 0,001gr 1mgr adrenalin.

Jawaban: 1 miligram

4. Bagian sebagai Pernyataan Konsentrasi

Metode pernyataan konsentrasi ini mirip dengan pernyataan rasio. Namun, dalam

pernyataan konsentrasi bagian, simbol rasio diganti dengan kata ‘dalam’. Jadi, larutan 1:1000 menjadi 1 dalam 1000, tetapi artinya tidak berubah, yaitu 1gr obat terlarut dalam

1000 mL larutan.

Contoh 3.2.7: Satu ampul 10 mL yang berisi larutan bupivakain hidroklorida 1 dalam 200.000 diberikan

pada pasien. Berapa miligram bupivakain hidroklorida yang diterima pasien? Jawab:

1) Ubah pernyataan bagian menjadi pernyataan kuantitas per volume.


54

2) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 1 mL larutan.

3) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 10 mL larutan.

Larutan 1dalam 200.000 berarti 1 gr bupivakain hidroklorida terlarut dalam

200000 mL larutan.

Jadi, 1 mL larutan akan mengandung 1:200000 gr bupivakain hidroklorida.

Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:200000 10gr 0,00005gr 0,05mgr bupivakain hidroklorida.

Jawaban : 0,05 miligram

B. KONVERSI ANTAR PERNYATAAN KONSENTRASI

Konversi antar pernyataan konsentrasi sering kali perlu dilakukan. Untuk melakukan

hal ini, Anda harus memastikan bahwa Anda memahami makna setiap pernyataan

konsentrasi yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh 3.2.8: Suatu larutan mengandung 10mgr obat dalam 5mL larutan. Nyatakan konsentrasi ini

sebagai rasio konsentrasi. Jawab:

1. Tentukan pernyataan konsentrasi yang diperlukan.

2. Karena yang dibutuhkan adalah rasio konsentrasi, tentukan berapa volume larutan yang akan mengandung 1 gr obat.

3. Nyatakan konsentrasi sebagai rasio.

10 mgr obat terkandung dalam 5mL larutan.

Jadi, 1mgr obat terkandung dalam 5:10 mL larutan.

Karena itu, 1gr terkandung dalam 5:10 1000 mL 500 mL larutan Jawaban: rasio

konsentrasi 1: 500

Latihan

1) Pasien diberi resep suspensi yang mengandung 2 mgr/mL obat. Aturan pakainya

adalah pasien menggunakan 10 mL suspensi tiga kali sehari selama satu minggu.

Jumlah miligram obat yang akan diterima pasien dalam seminggu adalah ....

a. 400 mg obat

b. 410 mg obat

c. 420 mg obat

d. 430 mg obat


55

2) Pasien melarutkan dua tablet, masing-masing mengandung 300 mgr aspirin, dalam

120 mL air. konsentrasi aspirin % b v dalam larutan adalah …

a. 0,5 % b/v

b. 5 % b/v

c. 0,1 % b/v

d. 10 % b/v 3) Jumlah gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik

0,25%b v adalah ....

a. 0,125 g

b. 0,25 g

c. 0,5 g

d. 1 g

4) Obat gosok mengandung 5%v v metilsalisilat. Jumlah metil salisilat yang dibutuhkan

untuk membuat 600 mL obat gosok adalah ..

a. 10 mL

b. 20 mL

c. 30 mL

d. 40 mL

5) Banyaknya hidrokortison yang terdapat dalam 120 gr krim yang mengandung 0,5b b hidrokortison adalah …

a. 0,3 g

b. 0,6 g

c. 0,9 g

d. 1 g

6) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.

Konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60) adalah

… mmol/L

a. 10

b. 15

c. 20

d. 25 7) Banyaknya volume larutan adrenalin 1: 20000 yang mengandung 50 mgr obat

adalah ....

a. 1 L

b. 2 L

c. 3 L

d. 4 L

8) Konsentrasi % b v suatu larutan natrium bikarbonat 1000 mmol/L (RMM natrium

bikarbonat = 84) adalah .... % b/v

a. 0,84


56

b. 8,4

c. 0,42

d. 4,2 9) Pasien menggunakan 200 mL larutan antiseptik 1: 8000 setiap hari selama 10 hari.

Jumlah gram obat antiseptik yang telah digunakan adalah ….

a. 1 g

b. 0,75 g

c. 0,5 g

d. 0,25 g

10) Anda diberi obat serbuk yang mengandung kadar air 10%b b . Berat serbuk yang Anda

butuhkan untuk membuat 5 L larutan berair yang mengandung konsentrasi obat

anhidrat 4%b v adalah ....

a. 111,1 g

b. 222,2 g

c. 121,2 g

d. 221, 2 g

Ringkasan

Sampai di sini saudara telah mempelajari dan mengenal dengan baik beberapa tentang

Konsentrasi, Memahami Konsentrasi diperkenalkan empat cara berbeda untuk

menyelesaikan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, presentase konsentrasi, rasio, dan

bagian. Terdapat istilah % b v , %b b , dan % v v . Pada bagian terakhir disajikan bagaimana

menginterpretasi pernyataan konsentrasi dalam bagian dan mengonvensi pernyataan-

pernyataan konsentrasi.

Tes 2

1) Berapa gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik

0,25% b v ?

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,125

D. 0,0,2

2) Obat gosok mengandung 5% v v metil salisilat. Berapa banyak metil salisilat yang

dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok?

A. 30 mL

B. 60 mL


57

C. 90 mL

D. 120 mL

3) Berapa banyak hidrokortison yang terdapat dalam 120 g krim yang mengandung

0,5%b b hidrokortison?

A. 0,2 g

B. 0,6 g

C. 0,9 g

D. 0,12 g

4) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.

Nyatakan konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida =

60).

A. 15 mmol/L

B. 30 mmol/L

C. 45 mmol/L

D. 50 mmol/L

5) Berapa volume larutan adrenalin 1:20.000 yang mengandung 50mg obat?

A. 0,5 L

B. 0,1 L

C. 1 L

D. 10 L


58

Kunci Jawaban Tes Tes 1

1) D

2) C

3) B

4) B

5) A

Tes 2

1) C

2) A

3) B

4) A

5) C


59

Daftar Pustaka

Anonymous. 2010. Sistem Metrik. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014.

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/sistem metrik/

Anonymous. 2010. Konsentrasi. (online) Diakses pada tanggal 10 Juni 2014

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/konsentrasi/

Dakin & Porter, 1969. Elementary Analysis, 6. Bell and Sons Ltd., London.

Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, 1980. Matematika, Jakarta: Sumber Bahagia.

http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/sistem%20metrik/

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/konsentrasi/


60

BAB IV

TURUNAN (DERIVATIF)


PENDAHULUAN

Dalam Bab 4 tentang turunan akan diuraikan pengantar kepada definisi turunan,

aturan yang ada pada turunan dan penggunaannya.

Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada bab ini

pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisisnya, demikian halnya akan dibahas tentang

kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan turunan.

Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan

yang telah dibuktikan.

Bab 4 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman, dan

soal tes.

1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benar-

benar memahami dan materi yang dipelajari.

2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan

tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu

jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka

mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami.

3. Ulangilah pengerjaan tes sampai anda benar-benar merasa mampu mengerjakan

semua soal dengan benar.

Setelah mempelajari Bab ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan.

Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu:

1. Mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi.

2. Membuktikan suatu teorema turunan fungsi.

3. Memahami aturan rantai untuk fungsi tersusun.

4. Memahami turunan dari fungsi-fungsi invers, turunan fungsi implisit, dan penurunan

dengan bantuan logaritma.

5. Mencari turunan dari fungsi dalam persamaan parameter.

6. Mencari turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi.


61

Topik 1

Definisi dan Rumus-Rumus Turunan

Definisi

Pandang suatu fungsi y f x . Misalkan nilai x berubah dengan x sehingga y berubah

dengan y maka y f x x f x . Apabila 0x , maka didefinisikan:

Turunan pertama dari y terhadap x adalah:

limf x x f xdy y

y f fdx x x

Atau bila x h , menjadi

0limh

f x h f x

h

Catatan(1)

Apabila kita mengambil x positif ,kita katakan turunan ke kanan. Sebaliknya, bila x di

ambil negatif, kita katakan turunan ke arah kiri. Pada fungsi terdefenisi dalam interval

a x b : pada x a b , boleh kita ambil x positif maupun negatif. Tetapi pada x a ,

x harus positif. Kita tulis:

0limx

f a x f af a

x

dan pada ,x b x harus negatif, kita tulis:

0limx

f b x f bf b

x

Contoh 4.1.1:

Diketahui fungsi 35f x x

Maka

3 3

0 0

2 2 2

0

5 5lim lim

lim 15 15 5 15

x x

x

f x x f x x x xf x

x x

x x x x x

RUMUS-RUMUS DASAR TURUNAN

1. 1, maka n ny x y nx

2. suatu fungsi konstanta, maka 0y y

3. suatu fungsi trigonometri:y

a. sin , maka cosy x y x

b. cos , maka siny x y x

c. 2tan , maka secy x y x


62

d. 2cot , maka cscy x y x

e. sec , maka sec tany x y x x

f. csc , maka csc coty x y x x

4. suatu fungsi trigonometri:y

a. 1

log , maka ln

gy x yx g

b. 1

ln , maka y x yx

5. suatu fungsi eksponen:y

a. , maka lnx xy a y a a

b. , maka x xy e y e

6. suatu fungsi siklometri:y

a. 2

1 sin , maka

1y arc x y

x

b. 2

1arc cos , maka

1y x y

x

c. 2

1arc tan , maka

1y x y

x

d. 2

1arc cot , maka

1y x y

x

e. 2

1arc sec , maka

1y x y

x x

f. 2

1arc csc , maka

1y x y

x x

Contoh 4.1.2:

5 4, maka 5y x y x

3

2 3

1 2, maka 2y y x

x x

121

2

1, maka

2y x y x

x

Contoh 4.1.3: 1. siny x , maka ' cosy x

2. y 3log x, maka 1

3'

xy

In

3. y = 5, maka ' 0y

4. 2x , maka n' 2 l 2xy


63

Latihan

1) Diketahui fungsi 35f x x . Maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah …

a. 315x

b. 215x

c. 325x

d. 325x

2) Nilai turunan dari 5y x adalah ....

a. 4x

b. 41

5x

c. 45x

d. 54x

3) Nilai turunan dari 2

1y

x adalah ....

a. 3

1

x

b. 3

2

x

c. 3

3

x

d. 2

x

4) Diketahui y x , maka nilai turunan pertamanya adalah

a. 1

2 x

b. 1

x

c. 2

d. 2 x

5) 5 4 25 10 6y x x x , maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah ....

a. 4 35 10 6x x x

b. 5 4 220 20 6x x x x

c. 4 35 20 20x x x

d. 6 55 20 20x x x

6) Turunan pertama dari fungsi 4

3 2y x adalah ….

a. 3 2x

b. 12


64

c. 4

3 2x

d. 3

12 3 2x

7) Diketahui 5xy e , maka nilai y adalah ….

a. 5 x

b. 55 xe

c. 54 xe

d. 5

8) Diketahui fungsi ln3f x x , maka nilai dari dy

dx adalah

a. x

b. 1

x

c. lnx

d. 2xy

9) Diketahui 2

1

xey

x

tentukan nilai y untuk 2x

Ringkasan

Anda telah mengingat kembali definisi turunan, mulai dari teori turunan, rumus-rumus

dasar turunan dan operasi dasar pada turunan sampai pada operasi yang lebih luas yang

masih berlaku pada sebarang turunan. Di akhir bagian ini, diingatkan kembali mengenai

gabungan penggunaan rumus-rumus dasar turunan. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan

bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya maupun modul berikutnya

Turunan atau derivatif ke f x x adalah fungsi lain f x yang nilainya untuk

sebarang x c adalah :

0limh

f c h f cf c

h

Bila secara umum untuk dan , makax c h x

0limh

f x x f xf x

x


65

Tes 1

1) Nilai turunan dari 3 25 4 9f x x x x adalah ....

A. 23 10 4x x

B. 2 10 4x x

C. 23 10 4x x

D. 2 10 4x x

2) Nilai turunan dari 22 3 1f x x x adalah ....

A. 22 6 2x x

B. 22 6 2x x

C. 26 6 2x x

D. 26 6 2x x

3) Nilai turunan dari 2 4

adalah ....3 7

x

x

A. 2

2

3 14 12

19 42 49

x x

x x

B. 2

2

3 14 12

19 42 49

x x

x x

C. 2

2

4 2

2 9

x x

x x

D. 2

2

4 2

2 9

x x

x x

4) Nilai turunan dari 3

2 3f x x adalah ....

A. 272 24 54x x

B. 272 54 24x x

C. 224 72 54x x

D. 224 72 24x x

5) Nilai turunan fungsi dari fungsi 36f x x adalah..

A. 26x

B. 212x

C. 218x

D. 26x


66

6) Diketahui 3

2 6f t

t t , maka nilai dari f t adalah…

A. 22t t

B.

2132

2

2t t

t

C. 2

2

2t t

t

D. 1

2

t

t

7) Diketahui 23 2f x x x , maka nilai dari f t adalah ....

A. 3 4

3 2

x

x

B. 2

3 4

3 2

x

x

C. 3 2

3 4

x

x

D. 2

2

3 4

3 2

x

x

8) Diberikan 1 223 4y x x , nilai dari y adalah ....

A. 2 – x

B. 2 – y

C. 2 x

y

D. 2 y

x


67

Topik 2

Jenis-Jenis Turunan

A. ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI TERSUSUN

Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari (atau )u v ,

dan u v merupakan fungsi dari x , turunannya kita cari dengan mengembalikannya ke rumus

dasar. Cara pengembaliannya sebagai berikut :

1. Jika berbentuk , maka , bilangany u y u .

2. Jika berbentuk , maka y u v y u v .

3. Jika berbentuk , maka y uv y u v uv .

4. Jika berbentuk 2

, maka u u v uv

y yv v

.

Serta gabungan dari bentuk-bentuk tersebut.

Contoh 4.2.1:

1. 3 3 28 , maka 8 24y x y x x

2. 23tan , maka 3 tan 3secy x y x x

3. 2 , maka 2x xy x e y x e

4. 3 2 22, maka 3 2 1y x x x y x x

5. 3 2 32 , maka 3 2 2 ln2x x xy x y x x

6.

2 2

1 cos sin cos sin, maka

cos coscos

x x xx x x xy y

x xx

Contoh 4.2.2:

1. 4 3 3 28 7 2 3, maka 32 21 2y x x x y x x

2. 2 2 23 tan , maka 3 tan 3 tanx x xy x e x y x e x x e x

2 26 tan 3 tan secx x xxe x x e x e x

2 2 26 tan 3 tan 3 secx x xxe x x e x x e x

(dapat dicatat bahwa bila ,y UVW maka y U VW UV W UVW ).

3.

212

2

2 ln 1 11, maka

ln ln

Xx x x xxy y

x x x x

3 2 2

3 2 2

2 ln 1

2 ln ln

x x x x x

x x x x x


68

Selain dari ke-4 bentuk di atas (serta gabungannya), suatu fungsi mungkin merupakan

suatu fungsi tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya, kita gunakan

suatu rumus yang disebut aturan rantai. Jika y f x yang merupakan suatu fungsi

tersusun dan y g u u h x , maka: dy dy du

dx du dx .

Contoh 4.2.3:

1. 4 43 2 dimana 3 2, makay x u u x

32 34 3 12 12 3 2

dy duy u u x

du dx

2. 2 25cos 1 5cos dimana 1, makay x u u x

25sin 2 10 sin 1dy du

y u x x xdu dx

3. 1 1

sinln , maka cosln coslny x y x xx x

4. 3 3 34 4 2 2 4, maka 3 3x x xy e y e x x e

Catatan (2) :

Secara umum, jika y f x merupakan fungsi tersusun

1 1 1 2 2 1, ,..., , makan ny f u u f u u f x :

1

1 2

ndu dudy dy

dx du dx dx

Contoh 4.2.4:

2 1ln sin xy e

Penyelesaian :

Misalkan 1lny u 2 1

1 1sin sinxu e u 2

312

uxu e e

2 23 4 41 , 1u x u u x

Maka :

2 11 1

1 1

sin x

dy

du u e

2 112

1

cos cos xduu e

du


69

23 12

3

u xdue e

du

3

24 4

1 1

2 2 1

du

du u x

4 2x

dux

du

Jadi, 2 2

2

2 2

2

1 1

21

1 1

2 1

1 1cos 2

2 1sin

2 cos

2 1sin

x x

x

x x

x

y e e xxe

xe e

x e

Catatan (3) :

Secara geometri, turunan pada suatu titik menyatakan koefisien arag (gradient) garis

singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Misalkan fungsi y f x , titik 1 1,P x y pada

grafik dari y f x koefisien arah garis singgung

11

0limx

f x x f xm f x

x

Contoh 4.2.5:

Tentukan persamaan garis singgung di titik 2x pada fungsi 43f x x Penyelesaian:

Koefisien arah garis singgung : 312 2 12 8 96m f x x f

Persamaan garis singgung :

1 1y y m x x

karena 41 12, maka 3 2 48x y .

Jadi garis singgung tersebut adalah 96 144y x .

B. TURUNAN DARI FUNGSI-FUNGSI INVERS

Jika y f x kontinu dan monoton naik (atau turun) pada interval a x b , maka

terdapat suatu fungsi invers 1x f y yang kontinu juga.

Berlaku:

1 1f y

dy

dx


70

Contoh 4.2.6:

Diketahui 2 3f x y x . Fungsi inversnya adalah 1 1 3

2 2f y y

Terlihat bahwa, 1

2 dan 2

dy dx

dx dy

Contoh 4.2.7:

3f x x inversnya

23

13

23

2

1 1 1 dan

33 3

dx yx y

dydy x ydx

Terlihat bahwa 23 0 di 0, sedangkan untuk 0, tidak adady dx

x x ydx dy

C. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi implisit , 0f x y , kita memandang

tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x , kemudian menurunkan suku demi suku.

Misalnya untuk fungsi implisit 2 3 0x xy y .

2x x

y x y xy y xy

Bentuk suku 3 ,y misalkan 3y u , maka

2 23 3du du dy dy

u y y ydx dy dx dx

Atas kanan 0 0

Jadi turunan pertama dari 2 3 0x xy y adalah 22 3 0x y xy y y atau 22 3 2x y y x y

Jadi,

2

2

3

x yy

x y

Contoh 4.2.8:

2cos 0yx e xy diturunkan menjadi :

2

2

2

sin 2 0

2 1 sin

1 sin

2

y

y

y

x e y y xyy

e xy y x y

x yy

e xy


71

D. PENURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA (LOGARITHMIC

DIFFERENTIATION)

Pada beberapa fungsi tertentu, lebih mudah apabila mempergunakan logaritma ketika

mencari turunannya, terutama untuk fungsi berbentuk vy u di mana dan u v fungsi-fungsi

dari x dan fungsi berbentuk:

1 2

1 2

n

n

f x f x f xy

g x g x g x

Contoh 4.2.9:

sin

sin

sin

ln ln sin ln

1 1cos ln sin

1 cos ln sin

1 cos ln sin

x

x

x

y x

y x x x

y x x xy x

y y x x xx

y x x x xx

Contoh 4.2.10:

3 2 2cos , dengan logaritma menjadi:

ln 3ln 2 ln 2lncos

3ln 2 2lncos

1 3 22 sin

cos

xy x e x

y x x e x

x x x

y xy x x

3 2 2

32 2tan

3 cos 2 2tanx

y y xx

x e x xx

E. TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER

Suatu fungsi dalam persamaan parameter

x f t

y g t

kita ubah menjadi

1, y g t t f x


72

Menurut aturan rantai, berlaku:

,dy dy dt

dx dt dx sedangkan

1dt

dxdxdt

, sehingga diperoleh

dy

dy dt

dxdx

dt

Contoh 4.2.11:

Diketahui fungsi 3

t

t

x e

y e

Fungsi tersebut dapat kita ubah menjadi 33 3t ty e e x , sehingga

23dy

xdx

.

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh:

3

3

3 t

dy

dy edt

dxdt e

dt

Tetapi kadang-kadang sukar menggunakan cara pertama itu, misalnya:

Diketahui fungsi cos

tx t e

y t t

Akan menuliskan t sebagai fungsi dari x , maka:

cos sin

(mudah sekali dihitung)1 t

dyt t tdy dt

dxdt e

dt

F. TURUNAN KEDUA DAN TURUNAN YANG LEBIH TINGGI

1 3 3132 2 42 6 2 4 9y x x x x

Jika y f x mempunyai turunan pada suatu interval, maka turunannya adalah y f x merupakan suatu fungsi baru pada interval tersebut. Jika fungsi yang baru tersebut kita

turunkan, maka turunannya adalah y f x disebut turunan kedua dari y f x


73

terhadap x . Demikian seterusnya untuk yang turunan ketiga y f x , turunan keempat,

kelima, dan seterusnya.

Bermacam-macam notasi yang dapat kita gunakan, antara lain:

2 3

2 3

2 3

2 3

, , ,..., ,...

, , ,..., ,...

, , ,..., ,...

, , ,..., ,...

, , ,..., ,...

m

m

m

m

m

mx x x x

y y y y

f f f f

dy d y d y d y

dx dx dx dx

Dy D y D y D y

D y D y D y D y

Dapat dicatat: kita dapat menganggap y sendiri sebagai turunan ke-nol, atau 0y

Contoh 4.2.12:

Misalnya 52y x , maka 4 3 210 , 40 , 120y x y x y x , dan seterusnya.

Catatan (4):

Turunan yang lebih tinggi untuk fungsi berbentuk uv adalah :

1 2

0

2

3 3

1

2

m m m m m

mm k k

k

uv u v uv

uv u v u v uv

uv u v u v u v uv

m muv u v mu v u v uv

mu v

k

Catatan (5):

Koofesien di atas adalah koofesien binomial (mengikuti segitiga pascal)

!

(kombinasi)! !

mk

m mC

k k m k

Aturan di atas disebut aturan Leibnitz.

Contoh 4.2.13:

Tentukan turunan ke-3 dari 2y x f x


74

Jawab :

Misalkan

2

2

dan

3 3

0 3 2 3 2

u x v f x

uv u v u v u v uv

f x f x x f x x f x

Contoh 4.2.14:

2

, untuk setiap 1

xy f x x

x

. Tentukan turunan ketiga.

Jawab :

Bentuk u

yv

diubah ke dalam bentuk 1

dengan y uv vw

3 222 2

4 33 2 2

3 24 2 2 2 2

4 22 4 2 2 2

3 3

0 3 0 3 1 2 1 2 2 1

48 1 24 1

48 1 48 1 6 1

1 48 48 1 6 1

f x u v u v u v uv

v v x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

42 4 21 6 36 6x x

Contoh 4.2.15:

Turunan kedua untuk fungsi tersusun:

Asalnya 5 3, dimana 1y u u x . Menurut aturan rantai, diperoleh:

4 2 4 25 3 15dy dy du

u x u xdx du dx

Biarkan tetap berbentuk di atas, lalu dilanjutkan menghitung dy

du, yaitu:

4 2 4 2 3 2 2 4

3 3 3

5 15 60 3 30

30 6 , dengan 1

Du x u Dx u x x u x

u x u x u x

Contoh 4.2.16:

Turunan kedua untuk fungsi implicit:

Diketahui 3 0y y x

Turunan pertama:


75

2

2

3 1 0

1

3 1

y y y

yy

Turunan kedua:

2

2

2

32

6 3 0

6

3 1

6

3 1

yy y y y y

y yy

y

y

y

Contoh 4.2.17:

Turunan kedua untuk fungsi dalam bentuk parameter, misalnya :

3

33 2

x t t p t

y t t q t

,

maka

2

2

3 6

1 3

q tdy ty h t

dx p t t

Sehingga diperoleh

x p t

y h t

sebagai persamaan parameter dari grafik y

Dengan cara yang sama, diperoleh:

2

22

32 2 2

3 6

1 3 30

1 3 1 3

t

h t td y t

dx p t t t

Catatan (6) :

Secara umum untuk bentuk parameter

berlakux p t

y q t

3

p t q t p t q ty

p t

Contoh 4.2.18:

Pada Contoh (4.2.17) : 3 2, maka 1 3 dan 6x t t x t x t

3 23 2 ,maka 3 6 dan 12y t t y t y t


76

Sehingga 2

2

(3 6 ) dan

(1 3 )

dy t

dx t

2 2 2

2 2 3 2 3

(1 3 )( 12 ) (6 )(3 6 ) 30

(1 3 ) (1 3 )

d y t t t t t

dx t t

Catatan (7) :

Kita mempergunakan pula istilah hasil bagi diferensial sebagai istilah lain dari turunan.

Sedang “dierensial” mempunyai arti yang sedikit berbeda :

Jika y f x suatu fungsi, maka :

1. Dx disebut dierensial dari x , dimana dx x

2. Dy disebut dierensial dari y , dimana dy f x dx

( , x y adalah perubahan dari x dan y )

Contoh 4.2.19:

Jika 2 , maka 2y f x x dy xdx

Sementara 2 2 2y ( ) 2x x x x x x

Jadi, sebenarnya adalah dy y dengan mengabaikan suku 2x yang sangat yang sangat

kecil bila x kecil.

Contoh 4.2.20:

Rumus-rumus untuk diferensial tidak berbeda dengan rumus-rumus untuk turunan.

Misalnya : 1. 2cos , maka 2siny x dy xdx

2. 2 2

2

23 arctan2 , maka 6

1 4x xy e x dy e dx

x

Latihan

1) Turuna pertama dari 2

3

2

5

x t t

y t

adalah …

a. 1

4

b. 27

4

c. 27

d. 7

4


77

2) Diketahui 3 4xe , maka y adalah ....

a. 32 43 xx e

b. 32 43 xx e

c. 323 xx e

d. 32 4xx e

3) Diketahui 2 3f x y x . Fungsi inversnya 1f x adalah ....

a. 2

b. 1

2

c. 1 3

2 2y

d. 1

22

y

4) Turunan pertama dari fungsi implisit 2cos 0yx x e xy adalah ....

a.

21 sin

2y

x y

e xy

b.

21 sin

2y

x y

e xy

c.

21 sin

2y

x x

e xy

d.

21 siny

x y

e xy

5) Dengan logaritma, turunan dari 3 2 cosxy x e x adalah ....

a. 3 2 2 3cos 2 2tanxx e x x

x

b. 3 2 2cosxx e x

c. 3

2 2tanxx

d. 2 3cos 2 2tanx x

x

6) Diketahui fungsi 3

t

t

x e

y e

, maka nilai

dy

dx adalah ….

a. 3x

b. 2x

c. 23x

d. 26x


78

7) Turunan ketiga dari 2 adalah ....y x f x

a. 6 6xf x f x f x

b. 26 6x x

c. f x f x f x

d. 26 6f x xf x x f x

8) 2

untuk setiap 1

xy F x x

x

, maka turunan ketiga dari fungsi tersebut adalah ….

a. 42 4 21 6 36 6x x x

b. 42 4 21 6 36 6x x x

c. 42 4 21 6 36x x x

d. 42 4 21 6 36x x x

Ringkasan

Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis turunan, terdiri dari aturan

rantai untuk fungsi tersusun, turunan dari fungsi-fungsi invers,turunan fungsi implisit,

penurunan dengan bantuan logaritma, turunan dari fungsi dalam persamaan parameter,

turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi. Selain itu, turunan antar jenis turunan juga

telah dibahas. Dengan bekal ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan

pengertian fungsi dan sifat-sifatnya dapat teratasi dengan baik.

Tes 2

1) Jika 2sin 26

f x x

maka nilai dari 0f adalah ....

A. 2 3

B. 2

C. 3

D. 2

2) Persamaan garis singgung kurva 2 2y x di titik 2,p adalah ....

A. – 2 6 0x y

B. – 2 – 6 0x y

C. 2 2 –6 0x y

D. 2 – 6 0x y


79

3) Turunan ke- n dari

1

3 2f x

x

....

A.

1

1 3 !

3 2

n nn

n

nf x

x

B.

1

1 3 !

2

n nn

n

nf x

x

C.

1

3 !

2

nn

n

nf x

x

D.

1

3 !

2

nn

n

nf x

x

4) Suatu peluru ditembakkan ke atas, jika tinggi h meter stelah t detik dirumuskan

dengan 2120 5h t t t maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …

A. 270 meter

B. 320 meter

C. 670 meter

D. 720 meter

5) Diketahui 3 23 6 4f x x x , nilai dari 1f adalah ....

A. -21 B. -11 C. 21 D. 11

6) Diketahui

cos sin

sin cos

x a t t t

y a t t t

, nilai y adalah ....

A. tant

B. 2

1

t

t

C. tant

D. 1

t

7) Nilai y dari 2

1lntan

2siny x

x adalah ....

A. tan x

B. csc x

C. tan cscx x

D. 4tan cscx x


80

8) 2 2 2 2 21ln

2y x x a a x x a , maka y adalah ....

A. a x

B. 2 2a x

C. a x

D. 2

a x


81

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) A

2) D

3) A

4) C

5) C

6) B

7) D

8) C

Tes 2

1) C

2) A

3) A

4) D

5) C

6) C

7) D

8) B


82

Daftar Pustaka

http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

Razali Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.

Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press.



83

BAB V

PENGGUNAAN TURUNAN


PENDAHULUAN

alam Modul 5 tentang pemakaian turunan akan diuraikan turunan sebagai salah satu bagian

dari kalkulus banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya

dalam mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya .

Pembahasan mengenai turunan telah kita jumpai pada materi kalkulus. Pada modul ini

pembahasan lebih ditekankan pada unsur analisis dan pemakaiannya, demikian halnya akan

dibahas tentang kajian analitik (pembuktian) untuk aturan-aturan yang menggunakan

pemakaian turunan.

Selain itu, akan diberikan beberapa contoh dari penggunaan aturan-aturan turunan

yang telah dibuktikan.

Modul 5 ini memuat uraian, contoh, latihan, petunjuk jawaban latihan , rangkuman,

dan soal tes.

1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benar-

benar memahami dan materi yang dipelajari.

2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Apabila dalam kasus atau tahapan

tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah rambu-rambu

jawaban latihan. Jika langkah ini belum berhasil menjawab pemasalahan, maka

mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih memahami.

3. Ulangilah pengerjaan tes sampai Anda benar-benar merasa mampu mengerjakan

semua soal dengan benar.

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda mampu memahami konsep turunan.

Secara lebih terperinci, Anda diharapkan mampu :

1. Memahami garis singgung dan garis normal

2. Memahami nilai maksimal dan minimal dalam pemakaian turunan

3. Mampu menghitung nilai ekstrim

4. Mampu memahami pemakaian turunan dalam kehidupan sehari-hari.


84

Topik 1

Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai

Maksimum dan Minimum

Turunan sebagai salah satu bagian dari kalkulus banyak digunakan untuk

menyelesaikan masalah dalam bidang ekonomi dan bisnis, industri, fisika (misalnya dalam

mekanika dan elektro), biologi, ilmu-ilmu sosial, dan sebagainya. Pada Topik ini akan dibahas

beberapa di antaranya.

A. GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Jika fungsi f x mempunyai suatu turunan pertama 0f x pada 0x x yang hingga,

maka grafik y f x mempunyai garis singgung di 0 0,x y dengan koefisien arah :

0tanm f x

Jika 0m maka garis singgung sejajar sumbu X , persamaan: 0y y

Garis singgung tersebut mempunyai persamaan:

0 0y y m x x

Gambar 5.1

Jika f x kontinu pada 0x x tetapi f x , maka grafik mempunyai garis singgung

yang sejajar sumbu Y , persamaannya: 0x x . Sebagai contoh adalah titik B dan titik D

pada gambar.

Garis normal grafik fungsi f x pada salah satu titik adalah garis yang tegak lurus garis

singgung pada titik tersebut.


85

Persamaan garis normal di 0x x :

0 0

1Y y X x

f x

Jika garis singgung // sumbu Y maka garis normal //

sumbu X .

Jika garis singgung // sumbu X maka garis normal //

sumbu Y .

Gambar 5.1.2

Contoh 5.1.1:

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada 3 22 4y x x pada titik ...

Jawab:

2( ) 3 4f x y x x dan 2 4f

Jadi, garis singgung: 4 4 2 atau 4 4y x y x

Garis normal: 2

4 atau 4 184

xy y x

Contoh5.1.2:

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik 2, 2 terhadap hiperbola 2 2 16.x y

Jawab:

Misalkan titik 0 0,P x y adalah titik singgung, maka:

1. 2 20 0 16x y karena P hiperbola

2. 0

0

2 2 0 dan xx

x yy y my y

Garis singgung melalui titik 2, 2 dan 0 0,x y , sehingga

0

2 20 0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

2 20 0

0

3

( 2)

( 2)

( 2)

( 2)

2 2

2 2

2 2 16

8

ym

x

x y

y x

x x y y

x y x y

x y

x y


86

Subtitusikan ke (1) diperoleh 0 0

33, 5, dan

5y x m

Jadi persamaan garis singgung :

5 53 atau 3 5 16

3

xy y x

Catatan (1):

Sudut perpotongan antara dua buah grafik fungsi didefinisikan sebagai sudut antara kedua

garis singgung pada titik potong kedua grafik tersebut. Untuk menentukan sudut

perpotongan antara dua grafik fungsi, langkahnya sebagai berikut.

1. Tentukan titik potong

2. Tentukan koefisien garis singgung 1m dan 2m pada titik potong tersebut

3. Jika .., maka sudut perpotongan 00

Jika 1

2

1m

m , maka sudut perpotongan 090

Jika tidak memenuhi syarat di atas maka:

1 2

1 2

tan1

m m

m m

, dengan adalah sudut lancip

Contoh 5.1.3:

Tentukan sudut perpotongan antara grafik 2 24 dan 2 12 5y x x y

Jawab:

22 4

4

yy x x disubtitusikan ke 22 12 5x y

Diperoleh 1 1 2 2 2 1 4 4y x y x

Jadi titik potongnya adalah 1 2 dan1,2 4, 4P P

Untuk 2 24 2 4y x yy y

y

2 42 12 5 4 5

5

xx y x y y

Untuk titik 11 2

2 1 41,2 : 1, 4

2 5 5mP m

Untuk titik 12 2

2 1 4 164, 4 : , 4.

4 2 5 5P m m

Jadi 1 21

1 2

: tan 9 atau 83 401

om mP

m m


87

Catatan (2)

Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung di hitung dari titik singgung

sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi potongan garis tersebut

pada sumbu X di sebut panjang subgaris singgung (panjang subtangen).

Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal di hitung dari titik potong

dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu X . Sedangkan panjang proyeksi

garis tersebut pada sumbu X di sebut panjang subgaris normal (panjang subnormal).

Perhatikan Gambar 5.3

Jika tanm adalah koefisien arah garis singgung

Panjang subtangen 0( )t

yTS

mS

Panjang subnormal 0| |( )n SNS my

Panjang garis singgung 2 2TP TS SP

Panjang garis normal 2 2NP SN SP

Gambar 5.3

Contoh 5.1.4:

Tentukan panjang garis singgung, subtangen, garis normal, dan subnormal dari

2 5xy x y pada titik 2,1

Jawab:

22 – 0

1

yy xy y y

x

pada titik 2,1 , 3y m

panjang subtangen 0 1

3

y

m

panjang subnormal 0| | 3my


88

panjang garis singgung 2

1 101

3 3

panjang garis normal 2 2( 3) 1 10

B. MAKSIMA DAN MINIMA

Definisi :

Suatu fungsi f x dikatakan naik pada titik 0x x jika untuk 0h yang cukup kecil, berlaku

0 0 0f x h f x f x h

Fungsi f x dikatakan turun pada titik 0x x jika untuk 0h yang cukup kecil, berlaku

0 0 0f x h f x f x h

Catatan (3)

Telah diketahui bahwa turunan pertama pada titik 0x x menyatakan koefisien arah garis

singgung pada titik 0x x , maka definisi dapat kita tulis:

f x naik pada titik 0x x jika 0 0f x

f x naik pada titik 0x x jika 0 0f x

Apabila 0 0f x dikatakan f x mempunyai suatu titik krisis pada 0x x .

Suatu fungsi f x dikatakan naik (monoton naik) pada suatu interval jika 0 0f x untuk

setiap x pada interval tersebut. Dan fungsi f x dikatakan turun pada suatu interval jika

0 0f x untuk setiap x pada interval tersebut.

Contoh 5.1.5:

Perhatikan Gambar 5.4 berikut.

Gambar 5.4

f x naik pada interval dan a x r t x u , sedangkan f x turun pada interval

r x t . Titik kritis dari f x tersebut adalah titik , , dan R S T di mana garis singgung pada

titik tersebut horizontal.


89

Catatan (4):

Perhatikan Gambar 5.5 berikut:

Gambar 5.5

Busur dari f x pada Gambar 5.5 (a) disebut cembung dan busur dari f x pada Gambar

5.5 (b) disebut cekung.

Busur dari f x disebut cembung apabila ditarik garis singgung pada suatu titik pada busur,

maka semua titik lain pada busur tersebut terletak di atas garis singgung. Busur dari f x

disebut cekung apabila semua titik lain pada busur terletak di bawah garis singgung tersebut. Dapat ditulis juga:

f x di sekitar 0x x adalah cembung jika 0 0f x , dan f x cekung jika 0 0f x .

Gambar 5.6 Gambar 5.7

Catatan (5):

Apabila pada 0x x , busur dari f x berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya,

dikatakan bahwa f x mempunyai titik belok pada 0x x .

Dapat ditulis:

0 0,P x f x adalah titik belok dari f x jika 0 0f x dan 0 0f x .

Contoh 5.1.6:

4 3 23 10 12 12 7y x x x x


90

Penyelesaian: 3 2

2

12 30 24 12

36 60 24

y x x x

y x x

Untuk mencari titik belok 0y , sehingga 236 60 24 0y x x

Dari persamaan ini, diperoleh: 1

dan 23

x x

Jika:

1 maka , berarti cembung

31

2 maka , berarti cekung3

2 maka , berarti cembung

x y

x y

x y

1 1 1

2 2 23 3 3

x x x x x

, cembungy , cekungy , cembungy

Titik belok adalah1 322

,3 27

dan 2, 63 karena pada titik tersebut y berubah tanda.

(Juga dapat diselediki bahwa 72 60 0y x untuk 1

3x maupun 2x )

Definisi:

Fungsi f x dikatakan mempunyai harga maksimum relatif 0f x di 0x x jika ada 0q

yang cukup kecil, sedemikian sehingga 0f x f x untuk setiap x dengan 00 | |x x q .

Fungsi f x dikatakan mempunyai harga minimum relatif 0f x di 0x x jika ada 0q

yang cukup kecil, sedemikian sehingga 0f x f x untuk setiap x dengan 00 | |x x q .

Titik 0 ,x f x yang merupakan titik maksimum/minimum relatif disebut juga titik ekstrem

Catatan (6):

Jika f x didefenisikan pada suatu interval tertentu dan terdapat 0x x pada interval

tersebut sedemikian sehingga 0f x f x untuk setiap x pada interval tersebut, maka

f x dikatakan mempunyai maksimum mutlak 0f x pada titik 0x x

f x dikatakan mempunyai minimum mutlak bila 0f x f x


91

Gambar 5.8

Titik R adalah titik maksimum relatif dari f x , karena jika diambil 0q cukup kecil

berlaku untuk 0 | |f x f r x r q . Titik T adalah titik minimum relatif. Sedangkan S

bukan titik maksimum maupun minimum relatif.

Pada contoh di atas titik R merupakan titik maksimum mutlak pada interval a x u . Titik

T bukan titik minimum mutlak pada interval a x u karena f a f t . Tetapi jika

diambil interval r x u maka T merupakan titik minimum mutlak.

Contoh 5.1.7:

22 5 4 untuk 1 2f x x x x

5

4 5 04

f x x x merupakan titik kritis dan juga merupakan titik maksimum relatif

(ambil q kecil sekali, misalnya 0,001 maka

5 5 50,001 0,001

4 4 4f f f

.

Dapat dilihat dari gambar, titik 5

4x merupakan satu-satunya titik maksimum relatif dan

juga merupakan titik maksimum mutlak. Sedangkan titik minimum mutlak diperoleh pada

titik batas interval yaitu pada 2x dan pada gambar terlihat bahwa nilai minimum relatif

tidak ada.

Latihan

1) Persamaan garis singgung dan garis normal pada 3 22 4y x x pada titik (2,4)

adalah .... a. 18y x

b. 18y x

c. 4 18y x

d. 4 18y x


92

2) Persamaan garis singgung yang melalui titik (2,-2) terhadap hiperbola 2 2 16x y

adalah .... a. 3 5 16y x

b. 16y x

c. 3 5 5y x

d. 5 25y x

3) Sudut perpotongan antara grafik 2 24 dan 2 12 5y x x y adalah ....

a. 080

b. 081

c. 082

d. 083 4) Panjang garis singgung dari 2 5xy x y pada titik (2,1) adalah ....

a. 1

3

b. 3

c. 10

3

d. 10

5) Persamaan garis yang menyinggung parabola 2 2 4 1 0y x y di (-2,1) adalah ....

a. 0x y

b. 1 0x y

c. 1 0x y

d. 1 0x y

6) Persamaan garis singgung di (2,2) pada 2 22 2 6 0x xy y x y adalah …

a. 0y x

b. 2 0y x

c. 2 0y x

d. 2 0y x

7) Persamaan garis yang menyinggung 3 6 2y x x serta sejajar garis 6 2y x dan

6 12y x adalah ....

a. 14x y

b. 14x y

c. 6 14x y

d. 6 14x y

8) Perkalian dari dua bilangan positif adalah 16. Jumlah kedua bilangan tersebut apabila

jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah terkecil adalah …

a. 8

b. 9

c. 10

d. 12


93

Ringkasan

Gradian garis untuk persamaan y mx c adalah m

gradien garis untuk persamaan , maka a

ax by c mb

gradien garis jika diketahui dua titik, misal 1 1 2 2, dan ,x y x y maka untuk mencari

gradien garisnya

2 1

2 1

y ym

x x

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

jika saling sejajar maka 1 2m m

jika saling tegak lurus maka 1 2 1

2

11 atau m m m

m

Jika terdapat kurva y f x disinggung oleh sebuah garis di titik 1 1,x y maka

gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan 1m f x . Sementara itu

1 1 dan x y memiliki hubungan 1 1y f x . Sehingga persamaan garis singgungnya bisa

dinyatakan dengan 1 1y y m x x .

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui

gradiennya m dan menyinggung di titik 1 1,x y maka kita gunakan persamaan

1 1y y m x x

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya 1 1,x y dan 2 2,x y maka untuk mencari

persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

Tes 1

1) Persamaan garis singgung pada kurva 22 6 7y x x yang tegak lurus garis

2 13 0x y adalah ....

A. 2 15 0y x

B. 2 15 0y x

C. 15 0y x

D. 15 0y x


94

2) Garis singgung pada kurva 2 4 3y x x di titik (1, 0) adalah ....

A. 2 4y x

B. 2 4y x

C. 2 2y x

D. 2 2y x

3) Grafik fungsi 3 2 f x x a x b x c hanya turun pada interval 1 5x . Nilai

a b adalah ....

A. -11

B. -12

C. -15

D. -21

4) Persamaan garis singgung pada kurva 3 10y x di titik yang berordinat 18 adalah..

A. 4 8 0y x

B. 4 8 0y x

C. 6 18 0y x

D. 6 18 0y x

5) Persamaan garis singgung pada kurva y = 4 25 10y x x di titik yang berkoordinat

6 .… A. 4 0y x

B. 2 4 0y x

C. 4 4 0y x

D. 6 4 0y x


95

Topik 2

Menentukan Titik Ekstrim

CARA MENGHITUNG EKSTREM

Untuk menghitung ekstrem dapat dipergunakan suatu cara yang disebut tes turunan

kedua. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Hitung titik kritis 0x x dari persamaan f x .

2. Untuk titik kritis 0x x maka:

f x mempunyai nilai maksimum relatif jika 0 0f x

f x mempunyai nilai minimum relatif jika 0 0f x

Contoh 5.2.1:

2

2

250 250, maka 2f x x f x x

x x

Titik kritis diperoleh dari 0f x berarti 2

2502 0x

x , diperoleh 5x

3

5002 dan 5 6 0f x f

x

Berarti f x mempunyai minimum relatif di 5x sebesar 5 75f .

Catatan (7):

Apabila tes turunan kedua tidak kita gunakan atau gagal, pilihan lain adalah tes turunan

pertama. Langkahnya sebagai berikut.

1. Hitung titik kritis 0x dari 0f x

2. Tentukan suatu interval 0 0x q x x q dan tentukan tanda dari f x pada interval

tersebut.

a. Jika tanda f x berubah dari positif menjadi negatif pada 0x x maka 0x x maksimum relatif.

b. Jika tanda f x berubah dari negatif menjadi positif pada 0x x maka titik

0x x adalah minimum relatif.

c. Jika f x tidak berubah tanda, berarti 0x x bukan maksimum atau minimum

relatif.

Catatan (8):

F x mungkin pula mempunyai ekstrem pada 0x x meskipun 0f x tidak ada. Titik 0x x

dimana 0f x tidak ada juga merupakan titik kritis dari fungsi. Nilai 0x x ini dipergunakan

untuk langkah (2) pada tes turunan pertama di atas.


96

Contoh 5.2.2:

Diberikan 4 3 22 3 4 4f x x x x x

Tentukan nilai maksimum dan minimum (dengan tes turunan pertama). Jawab:

3 24 6 6 4 0f x x x x , diperoleh titik kritis 1

2, , 12

x .

Kita tentukan tanda dari f x di sekitar titik kritis.

Jika 2 maka negatif : turunx f x

Jika 1

2 maka positif : naik2

x f x

Jika 1

1 maka negatif : turun2

x f x

Jika 1 maka positif : naikx f x .

turun naik turun naik

f x f x f x f x

Dari Catatan (5) dapat disimpulkan bahwa 2 dan 1x x adalah titik minimum dan 1

2x adalah titik maksimum.

Contoh 5.2.3:

23

13

22 maka

3f x x f x

x


97

Pada titik 0x , f x tidak ada, tetapi 2f x , maka 0x adalah titik kritis (Catatan

(5)).

Kalau diselidiki tanda f x di sekitar 0x maka untuk:

0, negatif : turunx f x dan untuk 0, positif : naikx f x

Jadi, pada titik 0x , f x berubah tanda dari negatif ke positif, berarti 0x titik

minimum, dengan nilai sebesar 0 2f .

Contoh 5.2.4:

Tentukan dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya adalah terbesar. Jawab: Misalnya bilangan-bilangan itu dan p q ,

Maka 16p q dan hasil kalinya 16y pq p p terbesar.

Dan tentukan titik kritis 16 2 0dy

pdp

, diperoleh 8p .

Dengan tes turunan kedua 2

22 0

d y

dp , maka 8p adalah titik maksimum.

Jadi bilangan tersebut 8p dan 16 8 8q .

Contoh 5.2.5:

Suatu silinder dengan alas lingkaran memiliki volume 64 satuan volume.

Tentukan ukuran silinder tersebut agar luas bahan sekecil mungkin jika:

1. Silinder terbuka di atas,

2. Silinder tertutup di atas dan di bawah. Jawab: 1. Misalkan jari-jari alasr dan tinggi silindert .

Volume silinder 2 64V r

Luas bahan yang dipakai 2 luas selimut + luas alas 2L t r

Selalu diusahakan supaya L merupakan fungsi dari satu variabel saja, yaitu dengan

mengganti2

64t

r maka diperoleh :

2 2 2

2

2 64 1282

rL rt r r r

r r

Turunan pertama = 0, maka 21280r

r

Diperoleh titik kritis 3

4r


98

Ada baiknya bila kita melakukan tes turunan kedua untuk memastikan bahwa 3

4r

adalah titik minimum. Tetapi dalam soal-soal aplikasi seperti ini, mudah dirasakan

bahwa benar fungsi L r mempunyai minimum. Jadi tes turunan kedua tidak perlu

kita lakukan.

Jadi, 3

4r

satuan panjang dan

2 3

64 4t

r satuan panjang atau t r

2. Jika silinder tertutup maka

2 2 2

2

2 64 1282

rL rt r r r

r r

2

1284 0

dLr

dr r

Diperoleh titik kritis 332

r

Jadi, 332

r

satuan panjang dan 32

64 322t

r satuan panjang atau 2t r .

Contoh 5.2.6:

Tentukan ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi

suatu bola berjari-jari 8. Jawab :

Misalkan jari-jari kerucut = r

Jika AD x , maka tinggi kerucut.

Perhatikan segitiga ADE siku-siku di E, maka 2 64AE x

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED , berarti:

2 2

8 88 maka

8 64 64

xr xr

x x

Volume kerucut : 2 8

3

r xV

. Jika r diganti, diperoleh :

3 2

2

64 8 16 8

83 192

x xV

xx

2

2

16 8 240

8

x xdV

dx x

diperoleh titik kritis 8 dan 24x x

Karena x merupakan suatu panjang, maka kita ambil nilai yang positif, ..

Jadi, tinggi kerucut adalah 8 24 8 32x dan jari-jari alas 8 2r .

Contoh 5.2.7:


99

Tentukan ukuran dari persegi panjang dengan luas terbesar yang dapat dibuat di dalam

parabola 2 4y px yang dibatasi oleh garis x a (lihat gambar)

Jawab:

Misalkan persegi panjang tersebut PBB P

Jadi, ukuran dari persegi panjang tersebut adalah :

Panjang: 4

2 23

apy dan lebar

2 2

4 3

y aa x a

p

Contoh 5.2.8:

Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di dalam

bola berjari-jari R .

Jawab :

Misalkan : jari-jari alas silinder = r ,

tinggi silinder = 2t .

volume silinder = 22V r t

pada segitiga MPQ , 2 2 2r R t

Dengan mengganti 2r diperoleh

2 2

2 2

2

2 6 0, sehingga 3

V R t t

dV RR t t

dt

Jadi, tinggi silinder adalah: 2

23

Rt dan jari-jari:

2

3

Rr R

Contoh 5.2.9:

Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat sebuah

prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya sebesar mungkin.

Misalkan tinggi prisma = x dan sisi alas = y dapat dilihat dari gambar


100

cot30 3oAP Q P x x , sehingga 2 3v P Q AB AP Q B p x

Volume prisma = luas alas × tinggi = luas segitiga sama sisi.

2

2 3 2 3 tinggi

4 4

y x p xV PQR

atau

22 33

3 3 34

p xV px px

223

6 9 3 04

dV ppx x

dx

Diperoleh titik kritis 3 3

dan 6 18

p px x

Di sini kita melakukan tes turunan kedua pada masing-masing titik kritis. 2

26 18 3

d Vp x

dx , untuk

3

6

px diperoleh

2

23 (negatif)

d Vp

dx minimum, sedangkan

untuk 3

18

px di peroleh

2

23 (positif)

d Vp

dx , maksimum. Jadi, kita ambil

3

18

px sebagai

tinggi prisma dan sisi alas prisma adalah 2

2 33

pp x .

Catatan (9) :

Tanpa melakukan tes turunan kedua kita juga dapat menentukan bahwa yang diminta

adalah 3

18

px karena jika di ambil tinggi

3

6

px maka didapatkan sisi alas prisma

2 3 0y p x , jelas bukan prisma yang diminta.

Contoh (5.2.10):

Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama menghubungkan

membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk sebuah lingkaran.

Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan

lingkaran sekecil mungkin. Jawab :

Misalkan : Sisi bujur sangkar : x Jari-jari lingkaran : y

Keliling bujur sangkar : 1 4K x

Keliling lingkaran : 2 2K y

Berlaku hubungan : 4 2 (panjang kawat)x y p atau 2

4

p yx

Jumlah luas bujur sangkar dan lingkaran adalah 2 22L x y dan jika x diganti maka:

X y


101

2

22

16

p yL y

dan

222 0

4

p ydLy

dy

Diperolehkan titik kritis : 2 8

py

dan

2

2 8

px

Jadi, 1 2

8 24 dan 2

2 8 2 8

p pK x K y

Contoh 5.2.11:

Sebuah kerucut lingkaran tegak 1K tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r . Sebuah

kerucut lain 2K terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di mana

puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana puncaknya

berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran kerucut tersebut

agar volumenya terbesar. Jawab :

Misalkan tinggi kerucut 2K adalah x dan jari-jari lingkaran

alasnya y . Perhatikan segitiga PQR maka:

atau RS ST t x y

RP PQ t r

atau

r t xy

t

dimana

dan r t konstanta.

Volume kerucut 2 2 2

22

( ) ( )

3 3:

y x r x tv

tK

x dan

2

2 2

24 3 0

3

dv rt tx x

dx t

. dari sini diperoleh x t dan

3

tx

sebagai titik kritis. Jelas x t tak dapat diambil karena berakibat 0y dan volume = 0 bukan yang terbesar.

Jadi, 3

tx merupakan tinggi kerucut 2K dan jari-jarinya adalah

2

3

ry .

Contoh 5.2.12:

Tentukan persamaan garis melalui titik 3,4 yang bersama dengan sumbu-sumbu

koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil 0 .

Jawab :

Misalkan garis memotong sumbu X di ,0A a

dan memotong sumbu Y di 0,B b

Persamaan garis tersebut dapat ditulis: 1x y

a b

Karena melalui 3,4 , maka memenuhi


102

3 41

a b atau

3

4

ba

b

Luas segitiga ABO adalah

23

2 4

b

b dan

2

3 8

2 4

b bdL

db b

, sehingga diperoleh 0 dan 8b b

Jelas 0b tidak diambil berarti 8b .

Untuk 8b , maka

36

4

ba

b

, sehingga persamaan garisnya adalah 1

6 8

x y

Latihan

1) Diketahui 23 2f x x x . Nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah ....

a. 4

b. 3

c. 2

d. 1

2) Diketahui 2 2 3f x x x . Nilai minimum dari fungsi tersebut adalah ....

a. -1

b. -2

c. -3

d. -4

3) Tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya terbesar yang dibuat di dalam bola

berjari-jari R adalah ....

a. 3

R

b. 2

3

R

c. 3

R

d. 2

2

R

4) Ukuran dari kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang menyelubungi

suatu bola berjari-jari 8 adalah ....

a. tinggi = 8 dan jari – jari = 2

b. tinggi = 32 dan jari – jari = 8 2

c. tinggi = 24 dan jari – jari = 8 2

d. tinggi = 32 dan jari – jari = 8

5) Diberikan 4 3 22 3 4 4f x x x x x nilai maksimum dan minimum (dengan tes

turunan pertama) adalah ....


103

a. 2 dan 1x x titik minimum dan 1

2x titik maksimum

b. 2 dan 1x x titik minimum dan 1

2x titik maksimum

c. 1 dan 2x x titik minimum dan 1

2x titik maksimum

d. 2 dan 1x x titik minimum dan 2x titik maksimum

6) Dua buah bilangan yang jumlahnya 16 dan perkaliannya terbesar adalah …

a. 14 dan 2

b. 12 dan 4

c. 8 dan 8

d. 9 dan 7

Ringkasan

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan 1x

dan 2x dalam selang tersebut, 1 2x x mengakibatkan 1 2f x f x .

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan

1 2 dan x x dalam selang tersebut, 1 2x x mengakibatkan 1 2f x f x .

Suatu fungsi dikatakan naik jika bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke

atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di

samping naik pada selang ,a , konstan pada selang ,a b , dan turun pada selang ,b

. Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif

akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi

tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut

konstan pada selang tersebut.

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup ,a b dan terdiferensialkan

pada selang buka ,a b .

1. Jika 0f x untuk semua x dalam ,a b , maka f naik pada ,a b .

2. Jika 0f x untuk semua x dalam ,a b , maka f turun pada ,a b .

3. Jika 0f x untuk semua x dalam ,a b , maka f konstan pada ,a b .

Tes 2

1) Tentukan tinggi dari silinder lingkaran tegak yang volumenya tersebar yang dibuat di

dalam bola berjari-jari R ....

A. 2 5R

B. 2 2R


104

C. 5 5R

D. 5 2R

2) Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi p. dari karton tersebut dibuat

sebuah prisma segitiga tegak tanpa tutup. Tentukan ukuran prisma supaya isinya

sebesar mungkin.

A. 2 2P

B. 2 5P

C. 2 3P

D. 2 4P

3) Sebuah kawat panjangnya p di potong menjadi 2 bagian. Bagian pertama

menghubungkan membentuk sebuah bujur sangkar dan bagian lain membentuk

sebuah lingkaran.

Tentukan panjang masing-masing bagian, supaya jumlah luas daerah bujur sangkar dan

lingkaran sekecil mungkin.

A. Bagian

81

2 8

p

dan bagian

2

22 8

p

B. Bagian

81

2 8

p

dan bagian

2

22 8

p

C. Bagian

41

2 8

p

dan bagian

2

2 8

p

D. Bagian

41

2 8

p

dan bagian

2

2 8

p

4) Sebuah kerucut lingkaran tegak 1K tingginya t dan jari-jari lingkaran alasnya = r .

Sebuah kerucut lain 2K terletak di dalam kerucut pertama dalam keadaan terbalik di

mana puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut terbalik di mana

puncaknya berimpit dengan pusat lingkaran alas kerucut pertama. Tentukan ukuran

kerucut tersebut agar volumenya terbesar.


105

A. Tinggi dan jari-jari 23

tr

B. 2

Tinggi dan jari-jari 3

rt

C. 3

Tinggi dan jari-jari 3 2

t r

D. 2

Tinggi dan jari-jari 3 3

t r

5) Tentukan persamaan garis melalui titik (3,4) yang bersama dengan sumbu-sumbu

koordinat di kuadran pertama membentuk segitiga yang luasnya terkecil ≠ 0.

A. 0x y

a b

B. 0x y

a b

C. 1x y

a b

D. 1x y

a b


106

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) B

2) C

3) D

4) D

5) A

Tes 2

1) A

2) C

3) A

4) D

5) C


107

Daftar Pustaka


Hw, Slamet. 2000. Kalkulus. Surakarta : Muhammadiyah University Press.

Razali, Muhammad, dkk. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.



108

BAB VI

INTEGRAL


PENDAHULUAN

Gottifried Wilhelm von Leibniz (1649) adalah seorang ilmuwan, filsuf matematikawan,

diplomat, pustakawan, dan pengacara berkebangsaan Jerman keturunan Sorb. Leibniz dan

Newton, sama-sama diberi penghargaan atas perannya dalam mengembangkan kalkulus

modern, khususnya dalam pengembangan integral. Menurut catatannya, terobosan sangat

penting terjadi pada 11 November 1675 ketika ia mendemonstrasikan kalkulus integral pertama kalinya untuk menghitung luas daerah di bawah fungsi y x . Ia memperkenalkan

beberapa notasi dalam kalkulus yang tetap digunakan sampai sekarang, sebagai contoh

simbol integral merupakan modifikasi dari huruf diambil dari kata Latin Summa dan

penggunaan huruf d untuk diferensial (turunan) dari kata Latin differentia.

Dalam bab ini, Anda akan mempelajari integral yang di dalamnya menyangkut tentang

merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan. Menghitung integral tak tentu

fungsi aljabar. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar. Menghitung

integral dengan rumus integral subtitusi, menghitung integral dengan rumus integral parsial.

Pada bab ini terdiri dari 3 topik. Topik 1, memuat tentang integral tak tentu mulai dari

konsep yang merupakan invers atau kebalikan dari pendeferensialan, yaitu anti turunandari

suatu fungsi. Dibahas pula secara detail mengenai rumus-rumus integral tak tentu.

Topik 2, memuat tentang integral tentu yang merupakan suatu konsep yang

berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah suatu kurva yang

batas-batas dari daerah tersebut diketahui. Dijelaskan pula mengenai sifat-sifat integral tak

tentu dalam penyelesaiannya.

Topik 3, kita akan membahas tentang integral parsial dan penggunaan integral.

Memuat penggunaan integral khususnya volume dan luas benda putar yang dibatasi Dua

kurva yang diputar mengelilingi sumbu x .

Setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan Anda memahami konsep Integral,

secara sistematis Anda diharapkan mampu:

1. Menjelaskan konsep integral tak tentu

2. Menjelaskan konsep integral tentu

3. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana

4. Menjelaskan konsep integral parsial dan penggunaannya


109

5. Menjelaskan dan mengerti penggunaan integral khususnya luas dan volume benda

putar

6. Menjelaskan dan menggunakan integral luas dan volume benda putar yang dibatasi

Dua Kurva yang diputar mengelilingi sumbu x .


110

Topik 1

Integral Tak Tentu

PENGERTIAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul

ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir

bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang

integral adalah .

Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat

diturunkan pada selang tertentu. Pada pembahasan Integral tak Tentu akan diperkenalkan

sebagai kebalikan operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti

turunan”.

Jika F x adalah sebuah fungsi dengan F x f x dapat dikatakan bahwa

1. turunan F x adalah f x dan

2. antiturunan dari f x adalah F x

Proses menentukan anti turunan dari suatu fungsi f dinamakan integral tak tentu, ditulis

dengan lambang :

f x dx F x c

Perhatikan bagan berikut

Deferensial (turunan) Integral (anti turunan)

1xD x 1xF x F x

2 1 2xD x x 2( ) (2 ) 1xF x F x x

3 21 3xD x x 2 3( ) (3 )xF x F x x c

. .

1n nxD x c nx 1n n

xF x F nx x c

Dapat dilihat bahwa 1 1

1

1 1

nn n

x

xF nx x c n c

n

Jadi,

1

, 11

nn

x

xF x c n

n



111

Oleh Leibnitz ditulis dengan simbol 1

, 11

nn x

x dx c nn

B. RUMUS INTEGRAL TAK TENTU

1. Jika F x adalah fungsi dengan F x maka f x dx F x c ; dengan c

sembarang konstanta

Contoh 6.1.1:

Tentukan nilai 3 24 2x x dx

Jawab :

3 2 3 1 2 1

4 3

4 3

4 24 2

3 1 2 14 2

4 3

2

3

x x dx x x c

x x c

x x c

Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih

dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian

jika

3 2 4 324 2 , maka

3F x x x F x x x c

2. Untuk n bilangan rasional dengan 1n , dan ,a c adalah bilangan real maka berlaku

aturan:

a. 11

1n nx dx x C

n

b. 1

1n na

ax dx x Cn

Contoh 6.1.2 :

Hitunglah integral berikut

a. 34x dx c. 3x dx

b. 2

1dx

x d.

3

1dx

x

Jawab:

3 3 1 444

3 1x dx x C x C


112

b. 2 2 1 1

2

1 1 1

2 1dx x dx x C x C C

x x

c. 3 3 52 2 2

13 1 1 2

3 5 512 2

x dx x dx x x x x c

d. 3 3 12 2 2

1

3

1 1 1 2

3 1 212 2

dx x dx x x cx

3. Jika f x dan g x merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan , c k bilangan

real, maka:

a. dx x c

b. k dx kx c

c. 1

1

nn x

x dx cn

d. k f x dx k f x dx

e. f x g x dx f x dx g x dx

f. f x g x dx f x dx g x dx

Contoh 6.1.3:

Tentukan hasil dari

a. 32 4 x dx

b. 2

1x dx

c. 3 2

x x

dxx

Jawab:

a. 3 3 3 112 2 2 2

44 3 4 42 2 2 2 2 2 2x x dx x x dx x x dx x dx x dx

132

111

2

13

2

12

111

2

12

13

2

4

13

x c

x c

x c


113

b. 2

21 2 1 x dx x x dx

2 1 1 1

3 2

1 2

2 1 1 11

3

x x x c

x x x c

c.

3 32 2

x x x xdx

x x x

1 12 2

5 12 2

5 12 2

372 2

372 2

3

1 1

3

2

2

1 2

5 11 1

2 21 2

7 3

2 22 4

7 32 4

7 3

x x x x dx

x x dx

x x c

x x c

x x c

x x x x c

4. Misalkan 1 2, ,..., nf x f x f x adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak

tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari

masing-masing fungsi, yaitu:

1 2

1 2

n

n

f x f x f x dx

f x dx f x dx f x dx

Contoh 6.1.4:

Tentukan nilai dari 6 23 2 1 x x dx

Jawab:

6

6 2 2

7 3

3 2 1 3 3 2 1

3 2

7 3

x x dx x dx x dx dx

x x x c

Contoh 6.1.5:


114

Carilah nilai 3 2 jika 4 3 dan 0 1f x f x x x f

Jawab:

3 2 3 24 3 maka 4 3 f x x x f x x x dx

3 2 4 3

4 3 4 3

1 4 4 3 3

4 3

Karena 0 1 0 0 0 1, berarti 1,

1 4 1 4sehingga 3 3 1

4 3 4 3

f x x x dx f x x x x c

f f x c c

f x x x x c x x x

Latihan

Tentukan hasil dari integral berikut:

1) Tentukan integral dari 34x dx

a. 4x

b. 3x

c. 2x

d. 212x

2) Jika diketahui tentukan integralnya !

a. 24 9 5x x C

b. 3 22 95

3 2x x x C

c. 219 10

3x x C

d. 3 24 9 5 10x x x C

3) Jika diketahui

3

1

2 1dx

x maka integralnya adalah…

a.

2

1

4 2 1C

x

b.

2

1

4 2 1C

x

c.

2

1

2 4 1C

x

d.

2

1

2 2 1C

x

4) Integral dari

53

1

3 2x adalah …


115

a.

23

2

2 3 2C

x

b.

23

2

2 2C

x

c.

13

1

2 3 2C

x

d.

23

1

2 3 2C

x

5) Hasil dari 3 28 3 5 x x x dx adalah …

a. 4 3 212 5

2x x x x C

b. 3 2 12 5

2x x x C

c. 4 3 2 5x x x x Cs

d. 4 3 22 4 5x x x x C

Ringkasan

Integral Tak tentu adalah suatu bentuk anti turunan dari suatu fungsi yang dapat

diturunkan pada selang tertentu. Integral tak Tentu akan diperkenalkan sebagai kebalikan

operasi pendeferensial, yakni sebagai bentuk paling umum dari “anti turunan”.

Jika F x adalah sebuah fungsi dengan F x f x dapat dikatakan bahwa

1. turunan F x adalah f x dan

2. antiturunan dari f x adalah F x

Jika F x adalah fungsi dengan F x maka f x dx F x c ; dengan c sembarang

konstanta.

Selanjutnya Untuk n bilangan rasional dengan 1n , dan a , adalah bilangan real

maka berlaku aturan:

1. 11

1n nx dx x c

n

2. 1

1n na

ax dx x cn

Tes 1

1) Jika diketahui maka nilai integralnya adalah ....


116

A. 2

4 3 12 5

2x x x c

B. 2

4 3 12 2 10

2x x x c

C. 2

4 3 12 2 5

2x x x c

D. 2

4 3 12 2 10

2x x x c

2) Jika diketahui 2 1 5 x x dx , maka nilai integralnya adalah ....

A. 3 229 15

3x x x c

B. 3 229 15

3x x x c

C. 3 22 915

3 2x x x c

D. 3 22 915

3 2x x x c

3) Jika diketahui

3

1

2 1dx

x , maka nilai integralnya adalah ....

A.

2

1

4 2 1c

x

B.

2

1

4 2 1c

x

C.

2

1

2 1c

x

D.

2

1

2 1c

x

4) Jika diketahui 10

5 1 x dx maka nilai integralnya adalah ....

A. 111

5 155

x c

B. 111

5 155

x c

C. 11

5 1x c

D. 11

5 1x c


117

5) Jika diketahui

53

1

3 2dx

x ,maka nilai ntegralnya adalah

A.

23

1

2 3 2c

x

B.

23

1

2 2c

x

C.

23

1

2 2c

x

D.

23

1

2 3 2c

x


118

Topik 2

Integral Tentu

A. PENGERTIAN INTEGRAL TENTU

Pada Topik 2, telah diperkenalkan integral tak tentu dimana batas integral tak di

tentukan. Pada bab ini akan diperkenalkan integral tentu sebagai limit jumlah

reiman,sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang

datar,volume benda dan luas permukaan benda putar.

Jika fungsi f kontinu ,a b dan fungsi F adalah suatu anti turunan f pada ,a b , maka

b

a

f x dx F b F a

Selanjutnya ditulis b

aF b F a F x

Contoh 6.2.1:

Selesaikan 3

1

4 x dx

Penyelesaian :

3 2

1

22

44 4

12

134 3 4 1

2 2

33 7

2 2

4020

2

xx dx x

B. SIFAT-SIFATINTEGRAL TENTU

1. Integral tentu sebagai operator linear,yaitu bersifat :

Misal f dan g terintegralkan pada ,a b dan k suatu konstanta, maka kf dan f g

terintegralkan dengan,

a. b b

a a

k f x dx k f x dx

b. b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx


119

c. , b b

a a

f x dx f x dx a b

Contoh 6.2.2:

Selesaikan3

2

2

6x dx

Penyelesaian:

33 3 32 2

2 2 2

33

6 6 63

2 3 2 38

xx dx x dx

2. Sifat penambahan selang Jika f terintegralkan pada suatu selang tertutup yang mengandung tiga titik

, , dan a b c , maka

, ,c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx a b a c

Tidak tergantung dari urutan a, b, dan c.

Contoh 6.2.3:

Hitunglah 4

3

| 2| x dx

Jawab:

Jika | 2|f x x berubah nilainya pada titik 0x , sehingga harus diselesaikan

sebagai berikut,

2, jika 2

| 2|=2, jika 2

x xf x x

x x

4 2 4

3 3 2

2 4

3 2

2 4

2 2

3 2

| 2| | 2| | 2|

2 2

1 1 37 2 2

2 2 2

x dx x dx x dx

x dx x dx

x x x x


120

3. Sifat Simetri

a. Jika f fungsi genap f x f x , maka

0

2 a a

a

f x dx f x dx

b. Jika fungsi ganjil f x f x , maka

0a

a

f x dx

Contoh 6.2.4:

Selesaikan cos 4

xdx

Jawab:

Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan terlebih

dulu apakah fungsi tersebut ganjil atau genap

cos cos cos4 4 4

x x xf x f x

Karena f x f x , maka cos4

xf x

adalah fungsi genap, sehingga,

0

0

0

cos 2 cos 4 4

8 cos 4 4

8 sin4

8 sin sin04

4 2

x xdx dx

x xd

x

Contoh 6.2.5:

Selesaikan 3 3

2

3

2

xdx

x

Jawab:

Sebelum kita menyelesaikan hasil pengintegralan di atas, maka di tentukan dahulu

apakah fungsi tersebut ganjil atau genap.


121

33 3

22 2 dan

2 22

xx xf x f x f x

x xx

Karena f x f x , maka 3

2 2

xf x

x

adalah fungsi ganjil, sehingga

3 3

2

3

02

xdx

x

Latihan

1) Hasil dari 3

23 2 2 40p

x x dx Nilai 1

2p

a. 2

b. 1

c. 1

d. 2

2) Hasil dari 5cos x dx

a. 61cos sin

6x x C

b. 61cos sin

6x x C

c. 3 52 1sin sin sin

3 5x x x C

d. 3 52 1sin sin sin

3 5x x x C

3) Hasil dari 2

3 2x dx

a. 31

3 22

x C

b. 31

3 22

x C

c. 31

3 26

x C

d. 31

3 26

x C

4) Hasil dari 3

2

0

3 x x dx

a. 2

27

b. 27

2


122

c. 14

27

d. 22

14

5) Hasil dari 3

2

2

6 8 x x dx

a. 2

3

b. 3

2

c. 4

3

d. 3

4

Ringkasan

Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral

tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menentukan luas benda putar dan volume benda putar.

Tes 2

1) Hitunglah nilai dari 3

2

2

3 2 1 x x dx ....

A. 30

B. 31

C. 32

D. 33


1

4 6 x x dx ....

A. 20

B. 24

C. 28

D. 32


123


0

sin x dx

....

A. 4

B. 2

C. ½

D. ¼

4) Tentukan nilai dari 4

0

cos2 x dx

....

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

5) Tentukan nilai dari 2

2

2

xe dx

....

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4


124

Topik 3

Integral Parsial dan Penggunaan Integral

A. INTEGRAL PARSIAL

Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasilkali

dua fungsi, misalkan dan , makau f x v g x

x x xD f x g x f x D g x g x D f x

Atau

x x xf x D g x D f x g x g x D f x a

Dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan tersebut diperoleh

x xf x D g x dx f x g x g x D f x

Karena

xdv D g x dan xdu D f x , maka persamaan menjadi

u dv uv v du

Contoh 6.3.1:

Hitung 16 3 cos 2x x dx

Jawab:

Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya

akan ditunjukkan di sini.

Cara Pertama

Langkah pertama, tentukan dulu mana u dan mana dv , kemudian kita misalkan

3 (1)

cos 2 (2)

x u

x dx dv

Langkah pertama selesai, kita lihat lagi rumus dasar integral parsial, yaitu:

u dv uv v du

Terlihat di situ kita perlu u , perlu v dan perlu du . u nya sudah ada, tinggal mencari du dan

v nya. Dari persamaan (1), untuk menentukan du , caranya turunkan u nya,

3 1du

u x du dxdx


125

Dari persamaan (2), untuk menentukan v ,

cos 2 atau cos 2dv

dv x dx xdx

dv

dx artinya turunan dari v adalah cos 2x , untuk mendapatkan v , berarti kita harus

integralkan cos cos 2x jika lupa, silahkan lihat lagi cara integral pada fungsi

trigonometri,

1

cos 2 sin 22

v x dx x c

Kita rangkum lagi :

1

3 ; sin 2 ; 2

u x v x du dx

Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:

16 3 cos 2x x dx

Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16

3 cos 2

1 13 sin 2 sin 2

2 21 1

3 sin 2 sin 22 21 1

3 sin 2 cos 22 21 1

3 sin 2 cos 22 4

x x dx

uv v du

x x x du

x x x dx

x x x

x x x

sekarang kalikan dengan 16, dan tambahkan dengan C nya, sehingga diperoleh:

1 116 3 sin 2 cos 2

2 4

1 116 3 sin 2 cos 2

2 4

8 3 sin 2 4cos 2

x x x

x x x C

x x x C

Cara Kedua

16 3 cos 2 . ..........x x dx

Langkah Pertama

Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut


126

Tempatkan 3x di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL.

Sementara cos 2x di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar

dengan angka nol sebelah kiri.

Kolom pertama

3x jika diturunkan hasilnya adalah 1, jika diturunkan hasilnya adalah 0.

Kolom kedua

cos 2x jika diintegralkan hasilnya adalah 1

sin 22

x , kemudian 1

sin 22

x

diintegralkan, hasilnya adalah: 1

cos 24

x

Langkah ketiga

Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan

baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,lebih mudahnya ikuti tanda panah yang

diberikan gambar di atas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.

Sehingga menghasilkan:

1 1

16 3 sin 2 1 cos 22 4

x x x C

= 88 3 sin 2 4cos 3 sin 2 4c2 os 2xx x x C x x C

Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara

kedua saja.


127

B. PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Luas Daerah Bidang Rata

a. Luas Daerah di atas Sumbu x

Jika 0y f x , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x , garis x a dan

x b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus:

b

a

L f x dx

b. Luas Daerah di bawah Sumbu x

Jika 0y f x (kurva di bawah sumbu x ), maka luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y f x , garis x a dan x b serta sumbu x dapat ditentukan dengan rumus:

b

a

L f x dx


128

c. Luas Daerah Antara Dua Kurva di Atas Sumbu x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x dan y g x dimana f x g x

dalam interval x a dan x b dapat ditentukan dengan rumus :

b

a

L f x g x dx

d. Luas Daerah Antara Dua Kurva di Bawah Sumbu x

Rumus :

b

a

L f x g x dx

Contoh 6.3.2: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2y x , garis 0x dan 2x serta sumbu x

adalah ....


129

Jawab:

Cara Pertama :

2

0

2

2

2

21

02

1 2 2 2 0

2

2 4

6 satuan luas

L x dx

x

Cara Kedua

Karena gambarnya berbentuk trapesium, maka kita dapat juga menggunakan rumus

luas trapesium.

tinggi trapesium = 2

sisi sejajar 1 = 2

sisi sejajar 2 = 4

maka:

1 1

2 4 2 6 2 6 satuan luas2 2

L

Luas daerah yang dibatasi kurva 2 3 4y x x dan garis 4y x adalah ....

Jawab :

Cara Biasa

2

2

2

3 4 4

3 4 4 0

4 0

4 0

0 4

x x x

x x x

x x

x x

x x


130

02

4

3 2

3 2

4

01 2

43

1 0 4 2 4

3

64 0 32

3

64 96 0

3

32 kurva berada dibawah sumbu

332

3

a

b

L f x g x dx

x x dx

x x

x

Cara Praktis :

Gunakan rumus: 26

D DL

a

2

2

3 4 4 0

4 0

x x x

x x

Dari persamaan ini, diperoleh

1, 4, dan 0a b c

2

2

4

4 4 1 0

16 0

16

D b ac

dari rumus 26

D DL

a , diperoleh

2

16 16 64 32

6 36 1L

C. VOLUME BENDA PUTAR

Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar

menggunakan integral ada 2, yaitu :


131

1. Metode Cakram

Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi

Luas Alas di sini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas = 2r (dimana r adalah jari-jari

putaran), digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar


132

2. Metode Cincin Silinder

Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan

terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan

keliling putaran. Dikarenakan keliling lingkaran = 2 r , jika luas bidang yang diputar = A ,

maka volume = 2 r A . digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Contoh 6.3.3:

1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva 2y x , sumbu x, dan 0 2x jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab:

Menggunakan metode cakram


133

22

0

222

0

24

0

5

5 5

21

05

1 1 2 0

5 5

32 32 0 satuan volume

5 5

xV y dx

x dx

x dx

x

Menggunakan metode cincin silinder

2y x x y

Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x y

32

52

5 52 2

4

0

4

0

4

0

2

2 2

2 2

2 2

2 2

42 2

05

2 2 2 4 4 0 0

5 5

64 2 16 0 0

5

80 64 16 32 2 2 satuan volume

5 5 5 5

xV y x dy

y y dy

y y dy

y y


134

2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 2y x

dan garis 2y x diputar mengelilingi sumbu y?

Penyelesaian:

Perpotongan kurva dan garis: 2 2x x

2

2

2

2 0

2 0

0 atau 2

0 0 0

2 2 4

x x

x x

x x

x y

x y

Jadi titik potong kurva dan garis adalah 0,0 dan 2,4

Menggunakan Metode cakram:

2y x x y

Karena daerah yang diarsir ada di sebelah kanan sumbu x, maka dipilih x y

(separuh kurva sebelah kanan).

12

2y x x y

http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_131.png


135

42 21 2

0

242

0

1

2

yV x x dy

y y dy

42

0

2 3

2 3 2 3

1

4

41 1

02 12

1 1 1 14 4 0 0

2 12 2 12

16 640 0

2 12

16 24 16 88 satuan volume

3 3 3 3

y y dy

y y

Menggunakan metode cincin silinder:

2

1 2

0

22

0

2

2 2

yV x y y dx

x x x dx


136

2

2 3

0

3 4

3 4 3 4

2 2

22 12

03 4

2 1 2 12 2 2 0 0

3 4 3 4

162 4 0 0

3

16 12 82 satuan volume

3 3 3

x x dx

x x

Latihan

1) Tentukan hasil dar i 2 sinx x dx

2) Tentukan hasil dari 2 cos x x dx

3) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2 2y x dan 22 4y x x

4) Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva 36, y x y x dan 2 0y x ,

kemudian hitunglah luasnya.

5) Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi kurva 2y x

dan 26y x x jika diputar mengelilingi garis 4x ?

Ringkasan

Pada bab ini telah dijelaskan tentang integral yang meliputi integral tak tentu, integral

tentu serta penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diharapkan mampu

memahami apa yang termuat dalam modul, baik itu konsep sampai dengan penggunaan

rumus serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Konsep integral ini merupakan konsep yang mendasar dan sangat diperlukan dalam

penyelesaian soal soal integral,pemecahan masalah yang berkaitan dengan integral. Sering

kali integral muncul dalam masalah kehidupan sehari-hari, dalam menetukan luas benda

putar dan volume benda putar.


137

Tes 3

1) Luas daaerah yang dibatasi kurva 2y x dan garis 6x y adalah..

A. 5620 satuan luas

B. 22 satuan luas

C. 5624 satuan luas

D. 26 satuan luas

2) Jika 2

2 4f x x dan g x f x , luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g

dalam satuan luas adalah ....

A. 19 satuan luas

B. 23 satuan luas

C. 1320 satuan luas

D. 1321 satuan luas

3) Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola 2y x kuadran I, garis 2x y dan garis

4y adalah ....

A. 12 satuan luas

B. 9 satuan luas

C. 6 satuan luas

D. 3 satuan luas

4) Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh

kurva 22 2x y , sumbu Y , dan lingkaran 2 2 9x y diputar mengelilingi sumbu Y

adalah ....

A. 164

satuan volume15

B. 64

satuan volume15

C. 328

satuan volume15

D. satuan volume15


138

5) Perhatikan gambar diarsir di bawah ini!

Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar yang

terjadi adalah…

A. 6 satuan volume

B. 2

6 satuan volume5

C. 2

satuan volume5

D. 5

satuan volume2


139

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) A

2) C

3) B

4) B

5) C

Tes 2

1) D

2) B

3) C

4) C

5) B

Tes 3

1) A

2) D

3) D

4) D

5) B


140

Daftar Pustaka

http://kamikita.student.fkip.uns.ac.id/

http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-sma-

integral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog

Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-

riemann.pdf

Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf

Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s Outline

Series Mc Graw-Hill Book Company

Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus;

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam: Penerbit

Interaksar.

http://kamikita.student.fkip.uns.ac.id/

http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-sma-integral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog

http://www.matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/20-bank-soal-un-sma-integral-volume-benda-putar#ixzz23PemQAog

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf

http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf


141

BAB VII

STATISTIKA DESKRIPTIF

Rudy Hartono

PENDAHULUAN

Selamat Anda telah belajar tentang matematika, semoga makin memudahkan anda

mempelajari materi tentang statistik ini. Materi ini adalah tentang statistik. Modul ini

mempelajari tentang statistik deskriptif yaitu statistik yang menyederhanakan data sehingga

lebih mudah untuk memahami data tersebut. Untuk memudahkan dalam mempelajari

statistika, maka perlu diberikan pengantar statistika yang membahas tentang pemahaman

istilah-istilah dalam statistika, klasifikasi dan lain-lain.

Setelah mempelajari modul ini mahasiswa akan dapat :

1. Menjelaskan definisi statistik

2. Membedakan statistik deskriptif dan statistik inferensial

3. Membedakan antara populasi, sampel dan sampling

4. Menyebutkan dan memberikan contoh tentang data dan jenis-jenis data

5. Membedakan skala pengukuran data.


142

Topik 1

Konsep Dasar Statistik

A. DEFINISI STATISTIKA, STATISTIK DAN PARAMETER

Statistika menurut definisinya adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang cara-

cara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan data dan penarikan kesimpulan

berdasarkan data tersebut.

Statistik menurut definisi yang benar adalah semua harga, nilai, data atau besaran

yang dipunyai sampel dan biasanya dilambangkan dengan huruf abjad Latin misalnya rata-

rata hitung X , simpangan baku S , variansi 2S dan sebagainya. Statistik ini umumnya

merupakan penduga bagi parameter.

Parameter berasal dari kata para (sama dengan di samping) dan meter (sama dengan

suatu ukuran). Jadi parameter dapat diartikan suatu ukuran, besaran, data atau nilai yang

dipunyai populasi dan sulit untuk diukur. Parameter biasanya dilambangkan dengan huruf

abjad Yunani misalnya nilai rata-rata hitung ( ) simpangan baku ( ) , variansi 2( ) dan

sebagainya.

B. PENGGOLONGAN STATISTIKA

Berdasarkan ruang lingkup penerapan statistika dalam penelitian, maka statistika

dapat digolongkan menjadi statistika deskriptif dan statistika inferensial (statistika induktif).

Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas tentang cara-cara meringkas,

menyajikan mendeskripsikan suatu data dengan tujuan agar data tersebut mudah

dimengerti dan lebih mempunyai makna. Penyajian suatu data dapat berbentuk daftar

(tabel) dan dalam bentuk diagram (gambar). Deskripsi suatu data dinyatakan dalam bentuk

ukuran pemusatan misalnya rata-rata hitung, modus dan sebagainya. Bentuk lain adalah

ukuran letak misalnya median, kuartil dan sebagainya. Deskripsi lain adalah ukuran

penyebaran misalnya rentang, simpangan baku, koefisien keragaman dan sebagainya. Statistika inferensial adalah statistika yang dipergunakan untuk menyimpulkan tentang

parameter (populasi) berdasarkan statistik (sampel) atau lebih di kenal untuk proses generalisasi. Jadi dalam statistika inferensial diperlukan adanya suatu hipotesis.

Penggolongan lain berdasarkan manfaatnya, statistika dibedakan menjadi statistika

terapan yang membahas tentang penerapan statistika untuk menunjang ilmu-ilmu lainnya.

Berikutnya adalah statistika matematik yang membahas tentang perkembangan teori

statistika yang banyak bersifat matematik. Penggolongan berikutnya berdasarkan asumsi atau syarat-syarat parameter dan skala

data yang akan dianalisis, terdiri atas statistika parametrik dan statistika nonparameterik. Statistika parametrik memperhatikan tentang syarat-syarat atau asumsi parameter misalnya variansi sama, data berdistribusi normal dan sebagainya. Data yang dianalisis pada statistika parametrik skala pengukurannya adalah rasio atau interval.


143

Statistika nonparametrik sesuai dengan namanya merupakan kebalikan dari statistika

parameterik yang telah diuraikan di atas. Jadi tantang asumsi atau syarat-syarat parameter

tidak diperhatikan dan skala datanya berbentuk ordinal atau nominal. Namun demikian data

yang dianalisis, skala pengukurannya bisa berbentuk rasio atau interval, tetapi data tersebut

tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu statistika nonparametrik disebut juga sebagai

statistika bebas sebaran (freedisribution). Pada statistika nonparametrik, karena data yang

diuji sering berbentuk ranking atau jenjang, maka statistika nonparametrik sering juga

disebut teknik pengujian rank. Yang perlu mendapat perhatian, bila suatu data memenuhi

syarat untuk diuji dengan statistika parametrik sebaiknya diuji dengan statistika parametrik

pula. Bila data tersebut diuji dengan statistika nonparametrik berarti menyia-nyiakan

informasi, karena kemaknaannya menjadi berkurang, namun hal ini tidak merupakan

keharusan tergantung kepada keperluannya. Statistika nonparametrik di samping

mempunyai kelemahan di atas juga mempunyai keuntungan yaitu perhitungannya relatif

mudah dan memungkinkan untuk membuktikan hipotesis yang tidak terkait dengan

parameternya.

C. POPULASI, SAMPEL DAN SAMPLING

Populasi adalah kumpulan atau totalitas suatu obyek yang akan diduga

karakteristiknya (parameternya). Berdasarkan jumlahnya, populasi dibedakan menjadi

populasi finit dan populasi infinit. Populasi finit adalah populasi yang jumlahnya terbatas

berarti bisa dihitung jumlahnya misalnya staf pengajar Jurusan Kebidanan Politeknik

Kesehatan Makassar, Jumlah bayi yang lahir di RS Pertiwi Makassar periode Januari –

Oktober 2005 dan sebagainya. Populasi infinit adalah populasi yang jumlahnya tidak

terbatas berarti tidak bisa ditentukan jumlahnya misalnya jumlah bakteri, virus, debu dan

sebagainya. Pendapat lain menyatakan bila jumlah populasi itu > 10.000 dimasukkan ke

dalam populasi infinit dan kebalikannya dimasukkan ke dalam populasi finit. Pemahaman

tentang populasi infinit dan finit ini penting, karena jumlah sampel salah satunya tergantung

kepada jenis populasi apakah infinit atau finit.

Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil untuk diketahui karakteristiknya dan

proses pengambilannya dinamakan sampling. Tentang macam-macam sampling biasanya

dibicarakan dalam metode penelitian. Bila seluruh populasi itu dijadikan sampel, maka jenis

sampel ini disebut total populasi dan proses pengambilan sampelnya disebut sensus.

D. DATA

Data adalah catatan atas kumpulan fakta. Data merupakan bentuk jamak dari datum,

berasal dari bahasa Latin yang berarti "sesuatu yang diberikan". Dalam penggunaan sehari-

hari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah

hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka,

kata-kata, atau citra.

https://id.wikipedia.org/wiki/Fakta

https://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin

https://id.wikipedia.org/wiki/Variabel


144

Berdasarkan keilmuan atau sudut pandang ilmiah, maka fakta dikumpulkan untuk

menjadi data. Data kemudian diolah sehingga dapat diutarakan secara jelas dan tepat

sehingga dapat dimengerti oleh orang lain yang tidak langsung mengalaminya sendiri, hal ini

dinamakan deskripsi. Pemilahan banyak data sesuai dengan persamaan atau perbedaan

yang dikandungnya dinamakan klasifikasi.

Dalam pokok bahasan Manajemen Pengetahuan, data dicirikan sebagai sesuatu yang

bersifat mentah dan tidak memiliki konteks. Dia sekedar ada dan tidak memiliki signifikansi

makna di luar keberadaannya itu. Dia bisa muncul dalam berbagai bentuk, terlepas dari

apakah dia bisa dimanfaatkan atau tidak.

1. Jenis-Jenis Data

Data dapat dibagi menjadi berdasarkan:

a. Cara memperolehnya, maka data dapat dibagi menjadi: data primer adalah data yang

diambil secara langsung dari obyek penelitian oleh peneliti perorangan maupun

organisasi. misalnya: mewawancarai langsung pengunjung ApotikMalifah Farma untuk

meneliti kepuasan konsumen dan data sekunder data yang didapat tidak secara

langsung dari objek penelitian. Dalam hal ini peneliti mendapatkan data yang sudah

jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara

komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan

data statistik hasil penelitian dari mahasiswa diploma tiga, strata satu, strata dua dan

strata tiga minat farmasi, laporan hasil penelitian pakar dan lain-lain.

b. Sumber data. Data ini terdiri atas: data internal yaitu data yang menggambarkan

situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal, misalnya seorang mahasiswa

Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan data tentang

berat badan mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar dan data eksternal adalah

data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi tersebut,

misalnya mahasiswa Diploma Tiga Farmasi Poltekkes Makassar ingin mengumpulkan

data tentang kepuasan mahasiswa di Diploma Tiga Akademi Farmasi Sandi Karsa

Makassar.

c. Jenis data : data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka,

misalnya tinggi badan mahasiswa Diploma Tiga Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar

dan data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang

mengandung makna atau dengan kata lain adalah bukan dalam bentuk angka,

misalnya warna, suku, bangsa, bahasa, agama, rasa dan lain sebagainya.

d. Sifat data : data diskrit adalah data didapatkan dari hasil menghitung yang hasil

akhirnya adalah bilangan bulat, misalnya jumlah mahasiswa, jumlah balita, jumlah

kuman dan data kontinu adalah data yang didapatkan dari hasil mengukur dan akhir

data menghasilkan bilangan bulat dan atau desimal, misalnya berat badan si A adalah

38,0 Kg dan berat badan si B adalah 39,65 Kg. Berat badan si A menghasilkan bilangan

bulat dan berat badan si B menghasilkan bilangan desimal (pecahan).

e. Waktu pengumpulannya : data crosssection(at a point of time) adalah data yang

menunjukkan titik waktu tertentu, misalnya laporan keuangan Apotik Sana Farma

https://id.wikipedia.org/wiki/Deskripsi

https://id.wikipedia.org/wiki/Klasifikasi

https://id.wikipedia.org/wiki/Manajemen_Pengetahuan


145

Makassar per 31 Desember 2014dan data berkala (timeseries) adalah data yang

nilainya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode tertentu secara

historis,misalnya data timeseries adalah data perkembangan harga obat generik

dengan obat paten dari tahun 2010 sampai 2014.

2. Skala Pengukuran Data

Berdasarkan skala pengukurannya, data dibedakan menjadi data skala rasio (skala

nisbah), interval ( skala selang), ordinal (skala jenjang), dan skala nominal (skala kategorial).

Data skala rasio ciri-cirinya adalah nilainya bersifat absolut (mutlak) dan ciri-ciri yang

dipunyai skala interval, ordinal dan nominal juga dipunyai pada skala rasio serta dapat

dilakukan operasi matematika di dalamnya , /, , dan ^ . Contoh data skala rasio

adalah berat badan dalam kilogram, tinggi badan dalam sentimeter dan sebagainya.

Berdasarkan tingkatannya data skala rasio paling tinggi, kemudian berturut-turut adalah

skala interval, ordinal dan yang paling rendah tingkatannya adalah data skala nominal.

Data skala interval mempunyai ciri jarak antara interval satu dengan lainnya adalah

sama dan nilainya tidak bersifat absolut. Ciri-ciri ordinal dan nominal juga ada pada data

skala interval serta dapat dilakukan operasi matematika , /, , dan ^ . Contoh hasil

pengukuran terhadap 5 obyek menghasilkan angka 10, 8, 6, 4, dan 2. jadi selisih antara 10

dengan 8 adalah sama dengan selisih 8 dengan 6. Contoh lain adalah hasil pengukuran suhu

dengan skala celcius. Angka 00C berarti tidak menunjukkan suhunya tidak ada, misalnya

kalau diukur dengan skala Kelvin suhu tidak akan 0. Selisih antara 50C dengan 100C adalah

sama dengan selisih antara 100C dengan 150C. Data skala ordinal, ordinal berasal dari kata ordo yang artinya tataan atau deret. Data

skala ordinal mempunyai arti tingkatan, deret atau jenjang, sifat nominalnya ada dan nilainya tidak bersifat absolut. Contoh nilai mutu ujian terdiri atas 4, 3, 2, 1 dan 0. selisih antara nilai mutu 4 dan 3 tidak sama dengan selisih nilai mutu 3 dan 2. Contoh lain hasil kejuaraan tinju juara 1, 2, 3 dan 4. Selisih kemampuan antara juara 1 dengan 2 tidak sama dengan selisih juara 2 dan 3. Data ini mempunyai ciri posisi data tidak setara dan tidak bisa

dilakukan operasi matematik di dalamnya , /, , dan ^ .

Data skala nominal (kategorial), data tersebut dikategorikan misalnya jenis kelamin terdiri atas laki-laki dan wanita. Tekanan darah dikategorikan menjadi normal dan tidak normal. Cara pelayanan dibedakan menjadi luwes, sedang dan judes. Kategori suatu data sering diberikan nama atau lambang misalnya jenis kelamin laki-laki (= 2) dan wanita ( = 1), maka skala kategorial disebut pula sebagai skala nominal (berasal dari kata name = nama).Data nominal mempunyai ciri posisi data setara dan tidak dapat dilakukan operasi

matematika , /, , dan ^ .

Pembagian lain data dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung misalnya jumlah penduduk, jumlah

bidan, jumlah dokter dan lain-lain. Data diskrit tidak mungkin berbentuk pecahan. Kebalikannya adalah data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur misalnya tekanan darah, kadar hemoglobin, berat badan dan sebagainya. Jadi data kontinu nilainya bisa berbentuk pecahan ataupun bilangan bulat.


146

3. Penyajian Data

Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu :

a. daftar atau tabel,

b. grafik atau diagram.

a. Penyajian Data dalamBentukTabel

Misalkan, hasil ujian akhir semester mata kuliah Bahasa Indonesia 37 mahasiswa

Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar disajikan dalam tabel di bawah. Penyajian data pada

Tabel 7.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari Tabel 7.1, Anda dapat menentukan

banyak mahasiswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang mahasiswa

yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh mahasiswa?

Jika data hasil ujian akhir semester Mata Kuliah Bahasa Indonesia itu disajikan dengan

cara mengelompokkan data nilai mahasiswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti

pada Tabel 7.1.

Tabel 7.1 Penyajian Data Sederhana

Nilai Frekuensi

2 7

4 3

5 5

6 4

7 10

9 7

10 1

Tabel 7.2

Tabel Distribusi Frekuensi

Interval Kelas Turus Frekuensi

1–2 EB 7

3–4 C 3

5–6 EC 8

7–8 EE 10

9–10 EC 8

Jumlah 37

b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

Kerap kali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika

data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami

data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal


147

dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu

pada umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.

1) Diagram Batang

Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data

cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang

yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.

Ada dua jenis diagram batang, yaitu

a) diagram batang vertikal, dan

b) diagram batang horizontal.

Contoh 7.1.1:

Selama 1 tahun, Apotik "Malifah Farma" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai

berikut.

Tabel 7.3 Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam jutaan rupiah)

Bulan ke 2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2

Keuntungan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.

b) Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1

tahun?

c) Kapan Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua

bulan berturut-turut?

Penyelesaian :

a) Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada gambar berikut.

Gambar 7.1. Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per Bulan (dalam juta rupiah)

Gambar 7.1. Diagram batang vertikal Keuntungan Apotik "Malifah Farma" per

Bulan (dalam juta rupiah). Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan


148

terbesar yang diperoleh Apotik "Malifah Farma" selama 1 tahun adalah sebesar

Rp 6.200.000,00.

b) Apotik "Malifah Farma" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan

beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.

2) Diagram Garis

Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan

saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya

digunakan untuk menggambarkan data tentang keadaan yang berkesinambungan

(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan

berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.

Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar

(horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu

mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu

tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat

diagram garis adalah sebagai berikut.

a) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar

menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.

b) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.

c) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut

dengan garis lurus.

Contoh7.1.2 :

Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai

berusia 9 bulan.

Usia (bulan) 3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6

Berat Badan (kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) Buatlah diagram garisnya.

b) Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?

c) Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?

Jawab:

a) Langkah ke-1

Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu

tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg).

Langkah ke-2

Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t

bulan.

Langkah ke-3

Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut

dengan garis lurus.


149

Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari data tersebut tampak

pada Gambar 7.2.

Gambar 7.2

Diagram garis berat badan bayi sejak usia 0 – 9 bulan

b) Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai

8 sampai 9 bulan.

c) Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana Anda memperoleh

hasil ini? Jelaskan.

Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data

Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan data yang disajikan pada

suatu diagram garis. Dari observasi ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan

dengan cara interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti garis

patah pada diagram garis menjadi garis lurus. Interpolasi data adalah menaksir data

atau memperkirakan data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan.

Misalkan, dari gambar grafik Contoh soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada

usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi

pada usia 5,5 bulan.

Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan (waktu)

mendatang. Cara yang dapat dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan

memperpanjang ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar grafik soal 2.

dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah

ditentukan, Anda dapat menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda

harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira berat badan bayi pada usia

10 bulan? Berikan alasan Anda.


150

3) Diagram Lingkaran Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih

tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran.

Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut. a) Buatlah sebuah lingkaran pada kertas. b) Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk

menggambarkan kategori datanya yang telah diubah ke dalam derajat.

Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.

Contoh7.1.3 :

Tabel berikut menunjukkan banyaknya mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes

Makassar menurut tingkatan pada tahun 2014.

Tingkat Banyaknya

I

II

III

150

98

82

a. Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.

b. Berapa persen mahasiswa yang berada pada tingkat II ?

c. Berapa persen siswa yang berada pada tingkat III?

Jawab :

a. Jumlah seluruh siswa adalah 330 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 3

katagori: tingkat I = 150 orang, tingkat II = 98 orang, dan tingkat III = 82 orang.

• Tingkat I = (150/330) x 100% = 45,46%

Besar sudut sektor lingkaran = 45,46% × 360° = 163,66°

• Tingkat II = (98/330) x 100% = 29,7%


• Tingkat III= (82/330) x 100% = 24,85%


Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 7.3.

Gambar 7.3

Diagram lingkaran junlah mahasiswa Jurusan Farmasi di Poltekkes Makassar menurut tingkatan pada tahun 2014


151

b. Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat II adalah 29,7 %.

c. Persentase mahasiswa yang berada pada tingkat III adalah 24,85%.

D. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI, FREKUENSI RELATIF DAN

KUMULATIF, HISTOGRAM, POLIGON FREKUENSI, DAN OGIVE

1. Tabel Distribusi Frekuensi Data yang berukuran besar ( 30)n lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi

frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.

Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

a. Langkah pertama menentukan jangkauan J yaitu selisih antara nilai maksimal dan

nilai minimal.

Langkah kedua menentukan banyak kelas K yang terbentuk yaitu dengan

menggunakan rumus "Sturgess" yaitu: 1 3,3logK n dengan n adalah banyak data.

Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan.

b. Langkah ketiga menentukan panjang interval kelas I dengan menggunakan rumus:

JI

K

c. Langkah keempat menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas

bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas

terakhir.

d. Langkah kelima memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan

nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

e. Langkah keenam menuliskan turus-turus dalam bilangan yang bersesuaian dengan

banyak turus.

Ingatlah:

Menentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges dimaksudkan agar interval tidak

terlalu besar sebab hasilnya akan menyimpang dari keadaan sesungguhnya. Sebaiknya, jika

interval terlalu kecil, hasilnya tidak menggambarkan keadaan yang diharapkan.

Contoh7.1.4 :

Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang mahasiswa

tingkat II Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar.

Data hasil penelitian itu (dalam kg) disajikan berikut ini: 48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36

21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56

50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39

Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.


152

Jawab :

a. Jangkauan 74 16 58m nJ X X .

b. Banyak kelas 1 3,3log 1 3,3log35 6,095 1 3,3log3 09 .5 6, 5K n Banyak

kelas dibulatkan menjadi "6".

c. Panjang interval kelas I adalah 58

9,676

JI

K . Panjang interval kelas dibulatkan

menjadi "10".

Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi

frekuensi seperti pada Tabel 7.1.4. atau Tabel 7.1.5 Cara I:

Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil. Amati Tabel 7.1.4. Dari tabel tersebut

tampak bahwa frekuensi paling banyak dalam interval 46 - 55. Artinya, berat badan

kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg

Tabel 7.4 Tabel Distribusi Frekuensi


16–25 E 5

26–35 C 3

36–45 ED 9

46–55 EE 10

56–65 EA 6

66–75 B 2

Jumlah 35

Cara II:

Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar. Amati Tabel 5.

Tabel 7.5 Tabel Distribusi Frekuensi


15–24 C 3

25–34 E 5

35–44 ED 9

45–54 EC 8

55–64 EC 8

65–74 B 2

Jumlah 35


153

Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval 65–74. Artinya, berat badan

antara 65 kg dan 74 kg ada 2 orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15 – 24. 15

disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15 – 24 adalah hasil pembulatan,

ukuran yang sebenarnya terletak pada 14,5 – 24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas

bawah nyata) dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval kelas 15 – 24.

Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas pada setiap interval kelas,

harus diketahui satuan yang dipakai. Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas

bawah kelas dikurangi 1/2 satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval kelas 15 – 24 menjadi

14,5 – 24,5.

2. Frekuensi Relatif dan Kumulatif

Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak.

Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada

interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi

kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20 1

80 4 , sedangkan frekuensi relatifnya adalah

1100% 25%

4 .

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah

nyatakan rumus frekuensi relatif dengan kata-kata Anda sendiri.

Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut: frekuensi kelas ke-

Frekuensi relatif kelas ke- = banyak data

kk

Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud

dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.

Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu

a. frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas);

b. frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas). 1

Tepi atas = batas atas satuan pengukuran2

1Tepi bawah = batas bawah satuan pengukuran

2

Contoh7.1.5 :

Dari Tabel 4. untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah

a. frekuensi relatif;

b. frekuensi kumulatif "kurang dari";

c. frekuensi kumulatif "lebih dari". Jawab :

a. Frekuensi relatif kelas ke-4 = (frekuensi kelas ke-4 / banyak datum) × 100% = 10/35 ×

100% = 28,57%

b. Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55


154

= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)

c. Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55

= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).

3. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti diagram

batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan untuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut :

1

Titik tengah kelas tepi kelas tepi bawah kelas2

Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak

persegi panjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum

kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.

Contoh7.1.6 :

Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar

diberikan pada Tabel 6. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya.

Tabel 7.6 Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika

Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.

Interval Kelas Frekuensi

21–30 2

31–40 3

41–50 11

51–60 20

61–70 33

71–80 24

81–90 7

100

Gambar 7.4 Histogram hasil ujian matematika Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.


155

Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa memperoleh nilai antara

60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal lain dari histogram tersebut.

4. Ogive

Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif

lebih dari dinamakan poligon kumulatif.

Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang

menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut

ogive.

Ada dua macam ogive, yaitu sebagai berikut :

a. Ogive dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogive positif.

b. Ogive dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogive negatif.

Contoh7.1.7 :

Tabel 7.7. dan 7.8, berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari"

dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.

Tabel 7.7 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif "Kurang Dari" tentang Nilai Ulangan Biologi

Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.

Nilai Frekuensi

< 20,5 0

< 30,5 2

< 40,5 5

< 50,5 16

< 60,5 36

< 70,5 69

< 80,5 93

< 90,5 100

Tabel 7.8

Tabel distribusi frekuensi kumulatif "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar.

Nilai Frekuensi

> 20,5 100

> 30,5 98

> 40,5 95

> 50,5 84

> 60,5 64

> 70,5 31

> 80,5 7

> 90,5 0


156

a. Buatlah ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut.

b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85?

c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang lebih dari 40? Jawab :

a. Ogive positif dan ogive negatif dari tabel tersebut tampak pada Gambar 7.5.

Gambar 7.5 Kurva Ogif Positif dan Negatif Nilai Ulangan Biologi

Kelas XI SMK Farmasi Yamasi di Makassar

b. Dari kurva ogive positif, tampak siswa yang mempunyai nilai kurang dari 85 adalah

sebanyak 93 orang.

c. Dari kurva ogive negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai lebih dari 40 adalah

sebanyak 96 orang.

E. DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang

paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah

distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga

dijuluki kurva lonceng (bellcurve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip

dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu

alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti

jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal.

Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi

samplingrata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak

https://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_probabilitas

https://id.wikipedia.org/wiki/Statistika

https://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata

https://id.wikipedia.org/wiki/Simpangan_baku

https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kepekatan_probabilitas

https://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_alam

https://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_alam

https://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_sosial

https://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi

https://id.wikipedia.org/wiki/Fisika

https://id.wikipedia.org/wiki/Foton


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_sampling&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_sampling&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata


157

berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi

dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikannormalitas suatu data.

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham deMoivre dalam artikelnya

pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut

dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon deLaplace, dan dikenal sebagai teorema

Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu

eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805.

Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794

dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi

normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh

Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini

secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan rata-rata 0 dan

varian 1. Peubah acak normal baku dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil

transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal. Bentuk transformasi peubah

acak tersebut adalah sebagai berikut : X

Z

Oleh karena itu fungsi :

21 1;0,1 exp

22f z n z z

Perbandingan distribusi normal peubah acak x dan dengan distribusi normal standar z:

22

1

22 2

1 1

1

21 2

21 2

1 2 1 2

1

2

1;0,1

2

xx

x

zz z

z z

P x X x e dx

P x X x e dz n z dz

P x X x P z Z z

Nilai probabilitas dari 1 2P z Z z telah dihitung dan ditabelkan dalam Tabel distribusi

normal.

F. PERANAN STATISTIKA DALAM PENELITIAN

Statistika dalam penelitian mempunyai peranan yang sangat penting yaitu : 1. Memudahkan dalam membuat judul penelitian, rumusan masalah, tujuan dan

hipotesis. Seseorang yang kurang menguasai statistika, judul penelitian, rumusan masalah, tujuan dan hipotesis yang disusun biasanya kurang tajam atau mengambang.

Z

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengujian_hipotesis&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Abraham_de_Moivre&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/1733

https://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Simon_de_Laplace&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_Moivre-Laplace&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_Moivre-Laplace&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_galat&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode_kuadrat_terkecil&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Adrien_Marie_Legendre&action=edit&redlink=1


https://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jouffret&action=edit&redlink=1


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Charles_S._Peirce&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton


http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rata-rata-mean-atau-rataan.html

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/varian-dan-standar-deviasi-simpangan.html

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rumus-distribusi-normal-distribusi-gauss.html

http://www.rumusstatistik.com/2015/04/tabel-z-distribusi-normal.html

http://www.rumusstatistik.com/2015/04/tabel-z-distribusi-normal.html


158

2. Validitas dan reliabilitas alat pengumpul data ditentukan, biasanya dipergunakan korelasi Pearson dan Spearman.

3. Penentuan besar sampel, banyak faktor yang mempengaruhi besarnya sampel

penelitian di antaranya jenis penelitian (deskriptif atau inferensial), jenis populasi (finit atau infinit), simpangan baku, prevalensi, harga , harga , biaya, waktu, tenaga,

jenis percobaan (merusak atau tidak merusak unit percobaan) dan sebagainya.

4. Sangat penting untuk menyimpulkan hasil (generalisasi) khususnya jenis penelitian

inferensial.

Latihan

1) Distribusi yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika adalah

distribusi:

a. Ganda c. Gauss

b. Skewnees d. Portal

2) Distribusi normal sebagai pendekatan distribusi binomial untuk nbesarpertama kali

diperkenalkan oleh:

a. Abraham deMoivre c. Laplace

b. Legendre d. Galton

3) Jika populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai

kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut:

a. Ogive c. Histogram

b. Polygon d. Batang

4) Berdasarkan tabel berikut:

Penggunaan Ciprofloxacin

Tablet Frekuensi

15–24 3

25–34 5

35–44 9

45–54 8

Jumlah 25

Penggunaan Ciprofloxacin tablet terbanyak adalah :

a. 45 – 54 c. 35 – 44

b. 15 – 24 d. 25 – 34

5) Menentukan banyaknya suatu kelas yang terbentuk yaitu dengan menggunakan rumus yaitu: 1 3,3logK n dengan n adalah banyak data. Rumus tersebut adalah:

a. Phytagoras c. Dalton

b. Sturgess d. Pascal


https://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Abraham_de_Moivre&action=edit&redlink=1


159

6) Menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan yang berurutan

disebut dengan:

a. Counterpolasi data c. Interpolasi data

b. Ekstrapolasi data d. Isolasi data

7) Untuk menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan yang akan datang. Cara yang

dapat dilakukan yaitu dengan

a. Polarisasi data c. Interpolasi data

b. Ekstrapolasi data d. Sinkronisasi data

8) Jumlah penduduk, jumlah bidan, jumlah dokter, jumlah kuman termasuk dalam data:

a. Nominal c. Ordinal

b. Diskrit d. Kontinu

9) Data yang dapat berbentuk pecahan atau pun bilangan bulat disebut dengan data:

a. Kontinu c. Interval

b. Rasio d. Diskrit

10) Jika seorang mahasiswa Jurusan Farmasi Tingkat III ingin meneliti dengan

menggunakan data mahasiswa Jurusan Farmasi di Institusi Pendidikan lain, maka data

yang dihasilkan adalah data:

a. Kualitatif c. Internal

b. Diskrit d. Eksternal

Ringkasan

Statistik merupakan suatu teknik, cara atau metoda untuk mengumpulkan, mengolah,

menganalisis dan menarik kesimpulan pada suatu data.

Statistik berdasarkan ruang lingkupnya dibagi menjadi statistik deskriptif dan statistik

inferensial.

Populasi adalah sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya, sampel

adalah sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama dan sampling adalah

teknik, cara atau metoda yang digunakan untuk mendapatkan sampel dari suatu populasi.

Data merupakan kumpulan dari beberapa fakta yang nyata, dengan skala pengukuran

data adalah nominal, ordinal, interval dan rasio.

Penyajian data dapat dilakukan dengan berbagai cara antara lain diagram, grafik, tabel

dan sebagainya.

Peranan statistik sangat besar di segala aspek kehidupan.


160

Tes 1

1) Ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan

menarik kesimpulan pada suatu data di sebut dengan ....

A. statistik

B. matematika

C. statistika

D. matematik

2) Sekumpulan fakta yang didapatkan dari suatu penelitian disebut ....

A. data

B. transformasi

C. informasi

D. variabel

3) Untuk merubah data kualitatif menjadi data kuantitatif maka digunakan teknik ....

A. kualifikasi

B. stratifikasi

C. kuantifikasi

D. klasterisasi

4) Data yang diperoleh dari hasil penghitungan populasi di sebut dengan ....

A. statistik

B. variabel

C. parameter

D. skala

5) Estimatevalue adalah nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan ....

A. populasi

B. sampel

C. sampling

D. sub populasi

6) Data berikut ini adalah jumlah mahasiswa Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar tingkat

I sebanyak 100 orang, tingkat II sebanyak 200 orang dan tingkat III sebanyak 50 orang.

Prosentasi mahasiswa Tingkat Jurusan Farmasi I sebesar ....

A. 25,78%

B. 26,98 %

C. 27,64%

D. 28,57%


161

7) Data diskrit dan kontinu merupakan bagian dari data berdasarkan ....

A. jenisnya

B. sifat

C. sumber data

D. waktu pengumpulan

8) Data yang jumlahnya kecil serta memerlukan suatu kesimpulan sederhana, biasanya

dalam bentuk tulisan atau narasi adalah penyajian data dalam bentuk ....

A. tekstular

B. grafik

C. tabulasi

D. diagram batang

9) Jika variabel dalam bentuk kategorikal yang berfungsi untuk perbandingan frekuensi

distribusi data, maka jenis diagram yang digunakan adalah ....

A. line diagram

B. bar diagram

C. piechart

D. pictogram

10) Untuk melihat trend data dengan variabel numerical, maka jenis diagram yang

digunakan adalah ....

A. curtogram

B. pictogram

C. line diagram

D. piechart


162

Topik 2

Konsep Probabilitas

Rata-rata fenomena massa yang timbul secara berurutan atau serentak seperti

pancaran elektron, panggilan telepon, deteksi radar, kendali mutu, kegagalan sistem,

permainan berbasis kebetulan, mekanika statistik, turbulensi, suara, tingkat kelahiran atau

kematian, herediter banyak terkait dengan teori probabilitas. Dengan pendekatan teori

probabilitas diketahui bahwa bila jumlah pengamatan dari fenomena tersebut di atas

meningkat, maka rata-rata fenomena massa tersebut mendekati nilai konstan. Sebagai

contoh, pada pelemparan mata uang logam, presentasi munculnya sisi muka M

mendekati 0,5 atau nilai konstan tertentu. Angka yang sama akan diperoleh bila dilakukan

pelemparan n kali di mana kuantitas n besar. Tujuan dari teori probabilitas adalah untuk

mendeskripsikan dan meramal rata-rata tersebut di atas dengan menghubungkan

probabilitas dengan berbagai macam kejadian.

Probabilitas dari kejadian A di dalam suatu eksperimen A dapat ditafsirkan sebagai-

berikut:

“Jika eksperimen diulang n kali dan kejadian A timbul An kali, maka dengan derajat

kepastian yang tinggi (highdegree of certainty), frekuensi relatif An

n dari kejadian A adalah

mendekati Pr A ”.

Pr ...............................(1)AnA

n di mana n cukup besar.

Penafsiran probabilitas dengan menggunakan pendekatan definisi frekuensi relatif

seperti tersebut di atas sebetulnya tidak tepat. Ada cara untuk memperbaiki definisi di atas

dengan memberikan muatan probabilitas pada ungkapan “derajat kepastian yang tinggi”.

Pada penyelidikan probabilistik dari suatu fenomena fisika perlu dibedakan tiga hal

sebagai berikut :

Tahap pertama (klasik), yaitu suatu proses di mana Pr A dari suatu kejadian A tidak dapat

dibuat pasti. Tahap ini berdasarkan rumus (1) di mana Pr A dihitung dengan menggunakan

pendekatan frekuensi relatif.

Latihan 1, jika suatu dadu digulirkan 10000 kali dan angka 2 muncul sebanyak 1674 kali,

maka 1674

Pr 2 0,167410000

. Dalam beberapa hal Pr A diperoleh secara apriori lewat

penalaran yang murni tanpa lewat percobaan. Maka karena dadu mempunyai enam sisi yang

simetris dan jika dadu digulirkan secara jujur maka

1

Pr 2 0,1676

Tahap kedua (konseptual), di mana probabilitas memenuhi suatu aksioma tertentu. Lewat

penalaran deduktif ditentukan probabilitas Pr A dari suatu kejadian dan Pr B dari A


163

suatu kejadian B. Pada pengguliran dadu secara jujur dapat dideduksikan bahwa probabilitas

kejadian di mana angka ganjil muncul adalah sama dengan 3

0,56 .

Pernyataan yang bisa diberikan adalah sebagai berikut :

Jika 1

Pr 1 Pr 2 Pr 66

maka 3

Pr angka ganjil 0,56

Tahap ketiga (fisik), peramalan secara fisik dilakukan dengan menggunakan hasil pada tahap

kedua. Dalam tahap ini perhitungan probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif

dengan demikian hasilnya tidak tepat jika dadu digulirkan sebanyak 10000 kali maka

diharapkan bahwa angka genap akan muncul sebanyak 5000 kali atau separuh dari jumlah

pengguliran dadu tersebut. Untuk selanjutnya teori probabilitas berkenaan dengan tahap kedua yaitu dari

probabilitas yang diasumsikan mempunyai nilai tertentu, maka teori probabilitas menjelaskan bagaimana menurunkan probabilitas lainnya. Dengan demikian proses penurunan probabilitas bersifat tautologis karena hasilnya sarat dengan asumsi. Contoh

mudah yang mengandung makna tautologis adalah persamaan gerak suatu satelit adalah termasuk dalam hukum Newton. Tak seorang pun menyangkal kebenaran dari nilai ilmu mekanika.

Tahap satu dan tiga masuk dalam kajian bidang statistika, walaupun dalam statistika

semua hasil perhitungan dinyatakan dalam pernyataan probabilitas. Ada suatu perbedaan yaitu pada uji eksperimental akhir diterapkan pada kejadian di mana nilai probabilitasnya mendekati satu. Dalam hal ini penafsiran frekuensi relatif mengambil bentuk sebagai berikut:

Jika probabilitas suatu kejadian mendekati satu maka dengan derajat kepastian yang tinggi kejadian tersebut timbul pada suatu eksperimen tunggal.

Dalam hal ini dikembangkan teknik untuk menentukan jumlah hasil yang mungkin dari suatu eksperimen tertentu atau untuk menentukan jumlah elemen di dalam suatu himpunan tanpa menghitung secara langsung. Teknik ini disebut analisis kombinatorial.

Jika suatu prosedur dapat ditampilkan dalam 3x cara yang berbeda, demikian juga

untuk prosedur kedua dapat ditampilkan dalam cara yang berbeda dan seterusnya untuk

prosedur berikutnya, maka jumlah cara di mana prosedur dapat ditampilkan dalam urutan

adalah merupakan hasil perkalian n n n

1. Notasi Faktorial

! 1 2 3 2 1n n n n . Penting untuk diingat bahwa 0! 1

Contoh 7.2.1: 2! 2 1 2

3! 3 2 1 6

.

.

dan seterusnya


164

2. Permutasi

Permutasi suatu obyek adalah susunan himpunan dari n obyek dalam urutan yang

ditentukan. Jadi suatu susunan k n obyek dalam urutan yang ditentukan disebut k

permutasi atau permutasi n obyek yang diambil sejumlah k sekaligus. Perlu diperhatikan

bahwa susunan urutan amat penting dalam permutasi. Sebagai contoh adalah suatu

himpunan terdiri dari huruf , , , a b c d . Maka , ,bdca dcab acdb adalah permutasi 4 huruf

yang diambil 4 sekaligus. Maka , , ,dan bad adb cbd bca adalah permutasi 4 huruf yang

diambil 3 sekaligus. Maka , , , dan ad cb da bd adalah permutasi 4 huruf yang diambil 2

sekaligus. Jumlah permutasi n obyek yang diambil k sekaligus dinyatakan dengan rumus

sebagai berikut :

,

!1 2 1

!n k

nP n n n n k

n k

3. Permutasi Dengan Repetisi (Ulangan)

Sering dijumpai jumlah permutasi obyek di mana beberapa diantaranya adalah sama.

Untuk itu perlu disimak dalil sebagai berikut :

Dalil : Jumlah permutasi n obyek, 1n dari padanya sama, 2n dari padanya sama, ..., rn dari

padanya sama adalah:

1 2

!

! !.... r

n

n n n

Contoh 7.2.2.:

Seseorang ingin membentuk semua kemungkinan 5 huruf dari kata DADDY . Maka didapat

5! = 120 permutasi dari obyek 1 2 3, , , ,D A D D Y . Dalam hal ini 3 D adalah berbeda. Coba amati

6 permutasi sebagai berikut :

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1 3 2

2 3 1

3 2 1

D D D AY

D D D AY

D D D AY

D D D AY

D D D AY

D D D AY

akan menghasilkan kata yang sama bila indeks 1, 2, 3, dipindahkan. Angka 6 tersebut berasal

dari 3! = 3*2*1 = 6 cara yang berbeda atas penempatan 3 huruf pada 3 posisi yang

pertama di dalam permutasi.

Jadi 5! 5 4 3 2 1 120

203! 3 2 1 6

perkataan yang terdiri dari 5 huruf yang berbeda yang

dapat dibentuk dengan menggunakan huruf dari kata DADDY .

D


165

Contoh 7.2.3.:

Ada isyarat berbeda yang dapat dibentuk dari himpunan 4 bendera merah yang berbeda, 3

bendera putih yang berbeda, dan satu bendera biru yang masing-masing terdiri dari 8

bendera yang terpasang di suatu tiang ?. Dalam hal ini dicari jumlah permutasi 8 obyek

yang 4 diantaranya sama (bendera merah), 3 di antaranya sama (bendera putih). Jawab:

8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320280

4!3!1! 4 3 2 1 3 2 1 1 144

isyarat yang berbeda.

4. Kombinasi

Misalkan terdapat himpunan n obyek, maka kombinasi n obyek yang diambil k

sekaligus atau k kombinasi merupakan subhimpunan k elemen. Jadi k kombinasi adalah

pemilihan sebanyak k dari n obyek tanpa mempersoalkan urutan. Sebagai contoh; terdapat huruf , , , dana b c d dan diambil 3 sekaligus diperoleh kombinasi , , , ,abc acb cba cab cba

sehingga pada kombinasi tidak diperhitungkan. Rumus yang digunakan:

Jumlah kombinasi n obyek yang diambil k sekaligus adalah:

,

,

!

! ! !n k

n k

P nC

k k n k

Contoh 7.2.4.:

Terdapat panitia yang terdiri dari 3 anggota dari 8 orang yang ada.

8,3

8! 8! 8*7*6*5*4*3*2*156

3!(8 3)! 3!5! 3*2*1*5*4*3*2*1C

panitia yang berbeda.

Pemilihan Pengurus

Contoh 7.2.5.:

Sebanyak 8 anggota pengurus Lembaga Masyarakat Desa dipilih dari 20 orang anggota

Badan Musyawarah Desa. Hitung jumlah kelompok pengurus yang berbeda. Untuk itu

digunakan rumus kombinasi seperti di atas sebagai berikut :

,

,

!

! ! !n k

n k

P nC

k k n k

20,8

20! 20! 20*19*18*17*16*15*14*13125970

8!(20 8)! 8!12! 8*7*6*5*4*3*2*1C

5. Koefisien Binomial Contoh 7.2.6.:

Sebuah mata uang logam dilempar secara jujur sebanyak 10 kali selanjutnya hitung (a)

probabilitas timbulnya 3M (b) probabilitas timbulnya 3M

Untuk 10 pelemparan mata uang logam, ruang sampel yang terbentuk terdiri dari 102 hasil

yang mungkin yang masing-masing mempunyai probabilitas yang sama. Jumlah susunan


166

yang berbeda yang terbentuk dari 3M dan 7B adalah 10

.3

Dengan demikian probabilitas

timbulnya 3M adalah :

10 10

10 10!3 3!(10 3)!

Pr 0,11722 2

MMM

6. Hipotesis

Hipotesis berasal dari kata hipo yang artinya rendah atau lemah dan tesis adalah

pernyataan. Jadi hipotesis adalah pernyataan atau jawaban untuk menjawab/memecahkan

masalah penelitian, tetapi masih lemah karena belum didukung oleh data dan belum diuji

kebenarannya. Hipotesisi juga dapat didefinisikan secara sederhana sebagai suatu

pernyataan tentative yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa.

Pernyataan hipotesis lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabel-

variabel yang menjadi permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit misalnya, membuat

hipotesis bahwa rata-rata lama tinggal pasien di rumah sakit tersebut adalah enam hari;

petugas kesehatan membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi

tertentu efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan

dan pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam

menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapatkan obat.

Hipotesis statistik dinyatakan dalam dua bentuk yaitu hipotesis nol / nihil (Ho) dan

hipotesis alternatif (Ha). Hipotesis nol berdasarkan dugaan tak berbeda, tak berhubungan

dan sebagainya, maka pernyataannya biasanya diawali dengan kata-kata tidak terdapat

perbedaan, tidak terdapat hubungan dan sebagainya. Kebalikannya adalah hipotesis

alternatif dengan pernyataannya diawali dengan kata-kata terdapat perbedaan, terdapat

hubungan dan sebagainya. Ho dan Ha bersifat antagonistik, artinya bila Ho diterima maka

otomatis Ha ditolak dan demikian pula sebaliknya.

Kriteria penerimaan atau penolakan hipotesis berdasarkan kepada harga (alpha =

kesalahan tipe I) yaitu besarnya kesalahan dalam menolak Ho. Besarnya harga alfa ini

disebut sebagai taraf signifikansi atau taraf nyata. Biasanya harga juga dinyatakan dengan

huruf p (besarnya peluang kesalahan dalam menolak Ho). Dalam penelitian sebenarnya

masih terdapat kesalahan tipe II (= beta), yaitu besarnya kesalahan dalam menerima Ho. Harga biasanya dipergunakan untuk menentukan kuasa uji (1 = kuasa uji = power of

test). Dalam praktek yang dipakai untuk menentukan apakah Ho dan Ha yang diterima

adalah harga p . Besarnya harga biasanya ditentukan berdasarkan pendekatan

konvensional dari kelaziman bidang penelitiannya. Untuk penelitian bidang hayati harga

umumnya ditentukan setinggi-tingginya 0,05 atau 5 % dan bidang sosial bisa lebih besar lagi.

7. Statistik Deskriptif

Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut dapat dengan mudah

untuk dipahami atau dimengerti merupakan definisi dari statistik deskriptif. Statistik ini


167

terdiri atas 3 (tiga) bagian yaitu ukuran pemusatan (Central Tendency), ukuran penyebaran

(Dispersi) dan ukuran letak (Fractil).

8. Ukuran Pemusatan

Sekarang kita memasuki bahasan tentang ukuran pemusatan. Ukuran

pemusatanadalah nilai tunggal yang mewakili satu set data, nilai itu menunjukkan pusat nilai

data (Mason, et. Al, 1999). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus.

Mean adalah rata-rata, juga disebut dengan rerata. Simbol dari mean adalah X

dibaca X bar. Mean dipakai untuk menentukan angka/nilai rerata sekumpulan set data baik

dalam bentuk tunggal, perbandingan dua nilai rerata, maupun set data harmonik. Nilai

rerata adalah sebuah angka yang dapat mewakili sebagian besar nilai individu atau unit

analisis setiap individu. Set data bagaimanapun bentuknya hanya akan ada tiga jenis yaitu

tunggal, ganda (berbanding) dan harmonik. Data tunggal adalah data yang bersifat tunggal

dengan jumlah individu atau anggota relatif kecil. Biasanya kurang dari 10, tetapi tidak ada

batasan yang jelas apa yang dimaksud set data kecil. Beberapa ahli statistika menetapkan 11

unit (Siegel, 1997) ada juga yang menetapkan 30 unit analisis (Walpole, 1995). Data dengan

set data perbandingan maksudnya ada dua kelompok data atau lebih tetapi sudah diketahui

nilai reratanya. Misalnya berat badan mahasiswa di kelas A adalah 45,5 kg, berat badan

mahasiswa kelas B adalah 46,5 kg dan berat badan mahasiswa kelas C adalah 50 kg. Kasus

seperti ini adalah kasus rerata perbandingan.Rerata harmonik berbeda dengan rerata

tunggal dan rerata perbandingan.Rerata harmonik adalah rerata yang berubah secara

periodik baik beraturan atau tidak beraturan dalam ukuran waktu tertentu.Pemakaian rerata

harmonik banyak digunakan dalam dunia kesehatan.

Mean dengan data tunggal dapat diketahui dengan menggunakan rumus berikut :

mean ixX

n

Penjelasan dari rumus diatas adalah bahwa nilai rerata yang ditulis dengan X di baca

X bar adalah nilai rerata sebuah set data. Jika semua nilai gugus data dijumlahkan maka itu

ditulis dengan ix .Tulisan n kecil adalah jumlah semua individu.

Latihan

Ada tiga orang ibu hamil diukur kadar hemoglobinnya masing masing 10,0 mg/dl, 11,0 mg/dl

dan 10,0 mg/dl. Maka nilai rerata dapat dihitung menjadi:

10,0 11,0 10,0

Rerata 10,333

HB X

Perhitungan nilai reratadiatas adalah perhitungan yang digunakan jika set datanya

tunggal. Tugas ahli farmasi lebih banyak berhadapan dengan data dalam bentuk distribusi

frekuensi tunggal.Pemahaman lebih baik untuk menggunakan cara hitung rerata tertimbang

adalah dengan memperhatikan Tabel 7.11 Distribusi Frekuensi Berat Badan Mahasiswa DIII

Farmasi Poltekkes Makassar Tahun 2014 dibawah ini. Pada tabel tersebut diketahui bahwa

tabel tersebut terdiri dari dua kolom dan enam baris.


168

Tabel 7.9 Berat Badan Mahasiwa DIII Farmasi

Berat Badan (Kg) Frekuensi

45 1

46 4

47 14

48 15

49 3

50 2

Jadi tabel ini termasuk jenis tabel tunggal yang sederhana. Data dalam bentuk set data

tunggal, sehingga untuk menghitung nilai reratanya terlebih dahulu kita menjumlahkan

semua nilai berat badan untuk semua mahasiswa yang diukur berat badannya. Perhitungan

menggunakan rumus berikut ini:

i i

i

n f xx

f

Distribusi frekuensi dengan data tunggal adalah set data yang tidak mempunyai

interval kelas tetapi skalanya adalah data rasio.

Contoh 7.2.7:

Tabel 7.10 Berat Badan Mahasiswa Farmasi Poltekkes Makassar

Berat Badan (Kg)

Frekuensi

i if x

45 1 45

46 4 184

47 14 658

48 15 720

49 3 147

50 2 100

Jumlah 39 1854

Contoh 7.2.8.:

Kasus lain adalah jika data distribusi frekuensi berskala interval, maka perhitungan nilai

reratanya berbeda meskipun prinsipnya sama. Perhatikan tabel berat badan mahasiswa DIII

Farmasi tahun 2014 Kelas A.

ix if

ix if


169

Tabel 7.11 Berat Badan Mahasiswa DIII Farmasi

Berat Badan (Kg)

Frekuensi

Titik

Tengah i if x

35-40 1 37.5 37,5

41-45 4 42,5 170

46-50 14 47.5 665

51-55 15 52,5 787,5

56-60 3 57,5 172,5

61-65 2 62.5 125

Jumlah 39 39 1957.5

Perhatikan bahwa kita membutuhkan nilai tengah disetiap interval kelas.Caranya adalah

dengan menambah tepi bawah kelas dengan tepi atas kelas dibagi dua.Misalnya untuk kelas

pertama tepi kelas bawah adalah 35 dan tepi atas kelas adalah 40. Jadi .

Demikian juga untuk kelas kedua.

1957,5

50,1939

x

Rerata untuk data perbandingan adalah rerata dari dua atau lebih set data yang sudah

memiliki nilai rerata.

Contoh 7.2.9.:

Rerata mahasiswa Diploma III Jurusan Farmasi Poltekkes Makassar mengunjungi

perpustakaan adalah tingkat I adalah 2, tingkat II adalah 4 dan tingkat III adalah 8. Maka

rerata mahasiswa mengunjungi perpustakaan dalam seminggu adalah tingkat I, II, dan III

dihitung dengan rerata perbandingan. Harus digunakan rumus berikut untuk

menyelesaikannya.

1 2 3nU x x x

3 2 4 8 4U

Rerata Harmonik adalah rerata yang digunakan pada data yang berubah nilainya antar

waktu.

i

i

i

fH

f

x

ix if

35 40 :2 37,5


170

Tabel 7.12 Nilai Ujian Statistika Jurusan Farmasi 2014

Nilai Ujian

31-40 1 35,5 0,0282

41-50 2 45,4 0,0440

51-60 5 55,5 0,0901

61-70 15 65,5 0,2290

71-80 25 75,6 0,3311

81-90 20 85,5 0,2339

91-100 12 95,5 0,1256

Jumlah 80 1,0819

Sumber: Sudjana, 1995.

Jadi dengan menggunakan rerata harmonis diketahui 80

73,941,0819

H .

9. Median (Nilai tengah)

Median adalah nilai yang berada di tengah pada suatu set data atau nilai yang

membagi dua suatu set data. Median adalah nilai yang menjadi batas 50 persen distribusi

frekuensi bagian bawah dan 50 persen distribusi frekuensi bagian atas. Ringkasnya median

adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50

persen. Harga median dapat ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus

yang dihadapi. Hanya dua hal yang perlu dibedakan pada kasus ini yaitu set data ganjil dan

set data genap. Ini jika kita temukan data tunggal.

Median untuk set data ganjil adalah data yang terletak ditengah setelah data tersusun

dari yang terendah ke tertinggi.

Contoh 7.2.10.:

Kadar cholesterol penderita Stroke di RS Daya Makassar adalah 220, 223, 224, 229, 309

(mg/dl), maka mediannya adalah 224 mg/dl karena data ini terletak ditengah. Berbeda

halnya jika set data genap misalnya data kolesterol penderita stroke sebagai berikut; 220,

223, 224, 229, maka mediannya adalah (223+224 )/2 =223,5 mg/dl.

Median untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

1

2F

nMe b pf

ix if ix i

i

F

x


171

Me adalah median dan simbol adalah batas bawah kelas median.Ini diketahui

berdasarkan frekuensi paling besar dari semua frekuensi yang ada.Simbol adalah

panjang kelas diketahui dengan menghitung selisih tepi atas kelas dengan tepi bawah

kelas.Simbol adalah banyaknya data sedangkan simbol adalah frekuensi khusus

kelas median berada. Contoh 7.2.11:

Tabel 7.13 Distribusi Nilai Ujian Statistika

Nilai Ujian

Frekuensi

31-40 1

41-50 2

51-60 5

61-70 15

71-80 25

81-90 20

91-100 12

40 2370,5 10

2577,3Me

Perhatikan nilai 70,5 berasal dari nilai 70 71 /2 70,5. Adalah sebuah nilai yang terletak

antara tepi kelas atas dengan tepi bawah kelas.

10. Modus (Mode)

Secara sederhana modus didefinisikan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang

memiliki frekuensi yang terbanyak. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah

persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan

sesuatu nilai.Pada data tunggal menentukan mode/modus mungkin tidaklah terlampau sulit.

Hanya dengan memperhatikan nilai yang memiliki frekuensi terbanyak maka dapat

diidentifikasi nilai modus/mode dari distribusi data. Hal ini agak berbeda jika berhadapan

dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus

ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan midpoint atau nilai tengah dari

interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai

berikut:

1

1 2

bMo b p

b b

b

p

n f

ix if


172

Penjelasan rumus diatas adalah = modus dan simbol adalah batas bawah

kelas modus dicirikan sebagai interval kelas dengan frekuensi terbanyak. Simbol adalah

panjang kelas modus, simbol adalah frekuensi kelas modus dikurangi dengan frekuensi

kelas interval sebelum kelas modus. Simbol adalah frekuensi kelas modus dikurangi

dengan kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah kelas modus.

Tabel 7.14 Distribusi Nilai Ujian Statistika

Nilai Ujian

Frekuensi

31-40 1

41-50 2

51-60 5

61-70 15

71-80 25

81-90 20

91-100 12

Dari tabel diatas diketahui

1 270,5; 25 15 10; 25 20 5; 10b b b p

1070,5 10 77,17

10 5Mo

11. Dispersi (Nilai Penyebaran)

Pemahaman terhadap nilai sebaran mempermudah kita memahami cara melakukan

perhitungan nilai sebaran. Konsep nilai sebaran mendeskripsikan sebuah nilai yang

menunjukkan sebaran data. Sebaran data berguna untuk mengetahui variasi data, sehingga

apabila diperlukan untuk menilai pemerataan maka nilai sebaran akan membantu kita untuk

mengetahui keterwakilan setiap nilai dalam sebuah set data.

Dalam terminologi statistika penyebaran data dapat dilakukan dengan alat statistik

yang disebut variabilitas. Variabilitas sering juga disebut dispersi atau penyebaran. Definisi

ringkas variabilitas adalah derajat penyebaran nilai variabel dari suatu tendensi sentral

tertentu. Pengukuran variabilitas juga memiliki fungsi penting yakni sebagai alat untuk

mengetahui homogenitas dan heterogenitas data. Jika data yang kita hadapi memiliki tingkat

penyebaran yang tinggi berarti data cenderung bersifat heterogen. Pemahaman tentang

homogenitas dan heterogenitas data dalam kelompok sangat penting tidak hanya untuk

kepentingan identifikasi karakter/ ciri kelompok tetapi juga untuk memperoleh pemahaman

tentang perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Satu catatan yang perlu dicermati

dalam pengukuran variabilitas bahwa pengukuran ini dapat diterapkan jika data yang

diperoleh dalam bentuk numerik atau berskala interval dan rasio.

Mo b

p

1b

2b

ix if


173

Pengukuran variabilitas termasuk bidang statistika deskriptif. Pengukuran variabilitas

dapat dimanfaatkan untuk kepentingan praktis misalnya; penyusunan standar nilai baik

untuk kepentingan akademik maupun praktis dengan menggunakan standar deviasi. Untuk

menentukan peloncat tinggi yang diajukan dalam perlombaan seorang pelatih juga

memerlukan alat statistik berupa variabilitas untuk memilihnya. Seorang guru atau

instruktur juga memerlukan informasi tentang perbedaan variabilitas dalam kecakapan mata

pelajaran antar 2 kelas ketika hendak memperlakukan 2 kelas secara berbeda akibat adanya

perbedaan kondisi kelas/murid tersebut. Selain untuk kepentingan praktis pengukuran

variabilitas juga memiliki arti teoritik yang sangat penting. Setidaknya melalui pengukuran ini

dapat dilakukan identifikasi tentang ciri kelompok dan perbedaan antar 2 kelompok atau

lebih.

12. Jenis Pengukuran Variabilitas

Pengukuran variabilitas terdiri atas beberapa pengukuran antara lain: (a) Range; (b)

Mean Deviasi; (c) Standard Deviasi dan (d). score atau standar score.

a. Range

Range atau jarak pengukuran adalah selisih antara nilai tertinggi hasil pengukuran dan

nilai terendah hasil pengukuran tertinggi terendahR X X

b. Mean Deviasi (MD)

Mean deviasi atau rata-rata deviasi (penyimpangan) yaitu rata-rata dari deviasi nilai-

nilai dari mean dalam suatu distribusi. Dalam hal ini diambil nilai yang absolut artinya deviasi

baik yang berarah negatif maupun positif semuanya dianggap positif (+)

ix XMD

n

Penjelasan tentang rumus diatas adalah MD = mean deviasi yang ingin dicari dan

ix X adalah harga mutlak atau selisih antara nilai rerata dengan nilai setiap unsur

penyusunnya tanpa nilai negatif.

Contoh 7.2.13:

Perhatikan tabel berikut ini:

Tabel 7.15 Jumlah Sapi Peternak di Desa Lero

iX iX X ix X

8 -1 1

7 -2 2

10 1 1

11 2 2

Z


174

Perhatikan bahwa berdasarkan hasil perhitungan diketahui nilai rerata jumlah ternak

adalah 9.Jadi selisih antara jumlah masing masing ternak dengan 9 adalah

1 , 2 , 1 dan 2 . Setelah dikonversi menjadi nilai mutlak maka semuanya dirubah

menjadi bilangan bulat positif. Jadi mean deviasinya adalah 6 1

14 2

MD

c. Standar Deviasi (SD)

Standar deviasi (SD) secara matematik dibatasi sebagai akar dari jumlah deviasi

kuadrad dibagi banyaknya individu kurang 1. Pemahaman kita akan lebih mudah jika kita

perhatikan tabel berikut ini:

Contoh 7.2.14:

Tabel 7.16 Berat Daging Kurban Terdidtribusi

8 0 0

7 -1 1

10 2 4

11 3 9

4 -4 16

30

Digunakan rumus standar deviasi berikut ini:

2

1

1

x xs

n

Perhatikan bahwa adalah standar deviasi dan 2

1x x adalah kuadrat dari selisih nilai

rerata dengan nilai individu dan 5n , karena jumlah individunya adalah 5. Pada tabel diatas

reratanya adalah 8. Sehingga standar deviasinya adalah 30

2,73864

s .

d. Varians

Varians adalah nilai kuadrat dari simpangan baku (standar deviasi). Jadi jika data diatas

ingin diketahui nilai variansnya maka hanya dikuadratkan nilai simpangan bakunya sebagai

berikut :

Contoh 7.2.15:

2

2 22,7386 7,51

ix xs

n

iX iX X 2

ix x

s


175

e. Standar Error (Galat Baku)

Galat baku menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi akar sejumlah data atau jika

simbolkan dengan rumus statistik adalah ses

n yang berlaku sama terhadap data tunggal

dan data kelompok.

f. KoefisienVariasi (CoefisienVarians)

Pada koefisien variasi menunjukkan bahwa simpangan baku dibagi dengan rerata

dikalikan 100 %. Rumus ini juga berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.

13. Fraktil

a. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi.

Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang

dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk

membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen

distribusi dimaksud.Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni; kuartil 1 , kuartil 2

dan kuartil ke 3 .

Kuartil pertama adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah

dan 75 % distribusi bagian atas. Kuartil kedua adalah nilai yang membatasi 50%

distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat

diidentikkan dengan pengukuran median (Md). Kuartil ketiga adalah nilai yang

membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas. Asumsi teknik

pengukuran kuartil: data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik

(angka) dan lazimnya setingkat skala interval.

Cara menentukan kuartil dibedakan menurut data tunggal dan data berkelompok.

Cara menghitung kuartil data tunggal adalah:

1

4i

i nK

Penjelasan tentang simbol adalah Kuartil ke 1, sedangkan simbol adalah angka

1, 2 dan 3 atau , dan . Simbol (i) menunjukkan kuartil ke berapa yang hendak

dihitung; sedangkan (n) menunjukkan jumlah individu atau frekuensi.

Cara menentukan kuartil untuk data berkelompok atau data yang menggunakan kelas

interval. Rumus yang dapat dipakai adalah sebagai berikut:

4n

nN cfb

K Bb iFd

1K

2K 3K

1K

2K

3K

Ki i

1K 2K 3K


176

Penjelasan tentang rumus diatas adalah = nilai kuartil yang dicari .

Simbol adalah batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil. Simbol

adalah frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung kuartil. Simbol adalah:

frekuensi dalam interval kelas yang mengandung kuartil. Simbol (i) adalah lebar interval/

lebar kelas dan simbol adalah: komponen yang menunjuk pada urutan kuartil. Jika

artinya kuartil pertama. adalah jumlah data.

b. Desil

Nilai yang memisahkan distribusi data menjadi 10 bagian. Nilai desil membagi sepuluh

bagian yang sama. Fungsi desil merupakan nilai batas tiap 10% dalam distribusi yang

dipersoalkanmetode ini diterapkan pada kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 10

bagian yang sama. Untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen dalam distribusi

dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni; desil 1 , desil 2 , desil ke 3

dan seterusnya sampai dengan dersil ke 9 atau .

Cara menentukan harga desil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung desil

untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung desil untuk data

data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut:

1

10i

i nD

Penjelasan tentang rumus diatas adalah adalah desil ke- . Dimana simbol (i) adalah

bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9 yang menunjukkan desilkeberapa yang akan diketahui sedangkan

= jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data berkelompok

maka persentil dapat dilakukan dengan rumus :

10n

nN cfb

D Bb ifd

Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa Dn = nilai desil yang dicari (

sampai dengan ). Setelah itu perhatikan simbol = batas bawah dari interval yang

mengandung desil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol =

frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung desil dan adalah frekuensi

dalam interval kelas yang mengandung desil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis dengan

(i).Keterangan tentang 1

100N adalah komponen yang menunjuk pada urutan desil. Jika

1

100N artinya persentil pertama . adalah jumlah data.

nK 1 2 3a, , tauK K K

Bb cfb

Fd

4

nN

1

4N N

1D 2D

3D 9D

iD i

n

1 2,D D

9D Bb

cfb

( )fd

1( )P N


177

c. Persentil

Jika desil adalah nilai yang memisahkan distribusi menjadi 10 bagian maka nilai

persentil membagi distribusi menjadi 100 bagian yang sama. Oleh karena itu fungsi persentil

adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini

diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk

selanjutnya menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik

dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 , persentil 2 , persentil ke-3 dan

seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau .

Persentil pertama adalah suatu nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah

dan 99 % distribusi bagian atas.

Persentil kedua adalah nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98%

distribusi bagian atas. Persentil ke-50 adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian

bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan

pengukuran median ( ) dan kuartil ke-2 ( ) serta desil ke 5 atau . Persentil ke 99 (

) adalah nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas.

Asumsi teknik pengukuran persentil adalah bahwa biasanya persentil dipakai pada data yang

diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala

interval. Cara menentukan harga persentil dibedakan menjadi dua cara. Cara menghitung

persentil untuk data tunggal berbeda dengan data berkelompok. Cara menghitung persentil

untuk data data tunggal atau tanpa frekuensi adalah sebagai berikut:

1

100i

i nP

Penjelasan tentang rumus diatas adalah adalah persentil ke- . Dimana simbol ( )

adalah bilangan 1,2,3,4,..99. yang menunjukkan persentilkeberapa yang akan diketahui

sedangkan = jumlah individu / frekuensi. Apabila kita berhadapan dengan jumlah data

berkelompok maka persentil dapat dilakukan dengan rumus :

100n

nN cfb

P Bb ifd

Penjelasan tentang rumus diatas adalah bahwa =: nilai persentil yang dicari (

sampai dengan ). Setelah itu perhatikan simbol = batas bawah dari interval yang

mengandung persentil yang ingin dicari dan terletak pada kelas keberapa. Simbol =

frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung persentil dan adalah: frekuensi

dalam interval kelas yang mengandung persentil. Lebar interval kelas selanjutnya ditulis

1( )P 2( )P 3( )P

99P

1( )P

2( )P

50( )P

Me 2K 5D 99P

iP i i

n

nP 1 2,P P

99P Bb

cfb

fd


178

dengan ( ).Keterangan tentang 1

100N adalah komponen yang menunjuk pada urutan

persentil. Jika 1

100N artinya persentil pertama . adalah jumlah data.

Latihan

1) Bagian dari matematika yang merupakan cikal bakal statistika adalah :

a. Probabilitas

b. Signifikansi

c. Exactly

d. Rasio

2) Untuk menyederhanakan suatu data sehingga data tersebut mudah untuk dimengerti

maka digunakan statistik:

a. Inferensial

b. Deskriptif

c. Parametrik

d. Non-parametrik

3) 5 3 1 7 6 berdasarkan data tersebut maka nilai mediannya adalah:

a. 1

b. 5

c. 3

d. 7 5 10 15 10 5 6

10 11 12 13 14 15

4) Berdasarkan data diatas, maka nilai modus sebesar :

a. 10

b. 11

c. 12

d. 15

5) Masih menggunakan tabel diatas. Nilai median sebesar:

a. 10

b. 11

c. 15

d. 12

6) Nilai mean data diatas sebesar:

a. 12,353

b. 15,521

c. 12,917

d. 15,452

i

1P N

f

x


179

7) Range data di atas sebesar :

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

Penggunaan Paracetamol Tablet f

15 – 20

21 – 25

26 – 30

31 – 35

36 – 40

5

10

20

10

5

8) Nilai simpangan baku penggunaan Tablet Paracetamol di atas:

a. 5,244

b. 5,367

c. 5,125

d. 5,853

9) Nilai kuartil ke 2 pada penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar:

a. 25

b. 24

c. 28

d. 27

10) Nilai persentil ke 50 penggunaan Tablet Paracetamol di atas sebesar:

a. 10

b. 15

c. 20

d. 25

Petunjuk dalammenjawab.

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan benar dengan melingkari di depan jawaban

tersebut

Jawaban

1. A 6. A

2. B 7. D

3. B 8. A

4. C 9. C

5. D 10. D


180

Ringkasan

Probabilitas merupakan dasar dari ilmu statistik, tetapi bagian dari matematika.

Hipotesis adalah asumsi, dugaan atau kesimpulan sementara yang masih lemah,

sehingga memerlukan alat untuk menguji hipotesis tersebut. Alat tersebut yang dinamakan

statistik.

Statistik deskriptik adalah statistik yang digunakan untuk menyederhanakan suatu data

sehingga data tersebut mudah untuk dipahami/dimengerti. Pembagian statistik deskriptif

adalah centraltendency (ukuran pemusatan), dispersi (ukuran penyebaran) dan fraktil

(ukuran letak). Ukuran pemusatan terdiri atas mean, median dan modus. Ukran penyebaran

terbagi atas range, simpangan baku, varians, koefisien variasi, dan standarderror. Fraktil

terdiri atas kuartil, desil dan persentil.

Tes 2

1) Sifat dari statistika adalah ....

A. Exact

B. Unpredictable

C. Predictable

D. Probabel

2) Probabilitas dari fenomena fisika terdiri dari hal dibawah ini,kecuali....

A. Klasik

B. Konseptual

C. Fisik

D. Holistik

3) Central tendency (ukuran pemusatan) yang sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem

adalah ....

A. Median

B. Modus

C. Mean

D. Range

4) Besarnya peluang kesalahan dalam menolak Hipotesis nol (Ho)adalah ....

A. α

B. γ

C. β

D. σ


181

5) Power of test dalam pengujian hipotesis dikenal dengan simbol ....

A. α

B. γ

C. β

D. σ

Konsentrasi Larutan HCl f

6 – 10 %

11 – 15 %

16 – 20 %

21 – 25 %

26 – 30 %

10

5

20

5

10

6) Mean konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....

A. 16,5

B. 18,5

C. 15,5

D. 17,5

7) Median konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....

A. 18

B. 17

C. 16

D. 15

8) Modus konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

9) Simpangan baku konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....

A. 4,3011

B. 4,7892

C. 4,2671

D. 4,6731


182

10) Desil ke 5 konsentrasi larutan HCl di atas adalah ....

A. 10

B. 20

C. 18

D. 15


183

Kunci Jawaban Tes

Tes 1

1) C

2) C

3) C

4) A

5) C

6) D

7) A

8) A

9) C

10) C

Tes 2

1) D

2) D

3) C

4) A

5) C

6) B

7) A

8) D

9) A

10) C


184

Daftar Pustaka

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI

Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan

Nasional, Jakarta. p. 250.

Kuntoro, 2012. Probabilitas. Pustaka Melati Surabaya.

Santoso, Singgih, 2002. Buku Latihan SPSS Statistik Parametrik. PT Elex Media Komputindo

Kelompok Gramedia, Jakarta.

Siegel, S., 1958. NonparametricMethods for theBehavioral Sciences, McGraw-Hill. New York.

Steel, R. G. D. And J. H, 1981. PrinciplesandProsedures of Statistics. 2nd ed. McGraw-HillBook

Co., New York.

Zainuddin, M., 1990. Peranan Statistika Dalam Penelitian Dalam S. Tirtowidardjo dan

Sarmanu (ed). Penataran Dasar-Dasar Metodologi Penelitian, Statistika dan Komputer.

Lembaga Penelitian Unair.


185

BAB VIII

STATISTIKA INFERENSIAL

Rudy Hartono

PENDAHULUAN

Setelah kita mempelajari Bab 7, banyak manfaat statistik yang dapat diaplikasikan

dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Bagaimana menyederhanakan data

farmasi, sehingga lebih mudah untuk dipahami dan mengerti utamanya buat melakukan

perencanaan ataupun pengambilan keputusan akan lebih mudah dengan mempelajari

tentang statistik deskriptif.

Bab ini akan menguraikan tentang statistik inferensial. Seperti telah diketahui bersama

bahwa statistik inferensial terbagi atas 2 bagian yaitu statistik parametrik dan statistik non-

parametrik.

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat :

1. menjelaskan definisi statistik inferensial dan jenis-jenisnya.

2. menjelaskan syarat hipotesis dalam penggunaan statistik parametrik

3. menjelaskan interpretasi uji hiptesis.

4. Menjelaskan prosedur uji statistik.

5. Memahami tingkat kemaknaan, keputusan statistic dan nilai p.

6. Menjelaskan kesalahan pengambilan keputusan statistik.

7. Menjelaskan kuasan statistik dan distribusi pencuplikan.

Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami statistik inferensial, pelajari bab ini seteliti mungkin karena Bab 8 ini merupakan bab dasar untuk memahami bab selanjutnya. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila

dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.


186

Topik 1

Konsep Dasar Statistika Inferensial

A. DEFINISISTATISTIK INFERENSIAL DAN JENIS-JENISNYA

Manfaat utama statistik secara modern adalah melakukan inferensi statistik. Inferensi

statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik populasi dengan

menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi.

Bahasan inferensi statistik mencakup dua hal yaitu : (1) membuat dugaan tentang parameter

populasi dan (2) menguji hipotesis tentang karakteristik populasi.

Masalah utama dalam inferensi statistik adalah bagaimana memastikan bahwa

perbedaan-perbedaan yang teramati antara dua (atau beberapa) sampel betul-betul

mencerminkan perbedaan-perbedaan pada populasi asal sampel. Sewaktu melakukan

inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat kemungkinan inakurasi penarikan

kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi pencuplikan (sampling variability).

Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran sampel. Sebagai

contoh, kita memiliki sebuah populasi terdiri atas 100 kelereng yang setengah bagiannya

berwarna merah dan setengah bagian berwarna biru. Andaikata kita mencuplik sampel

terdiri atas dua kelereng, maka 1 dari 4 kesempatan (1/22) akan memperoleh kelereng

berwarna merah saja (atau biru saja). Artinya, kita membuat kesalahan sebesar 25% dengan

menyimpulkan bahwa populasi kelereng berwarna merah saja ( padahal sesungguhnya

hanya separuh bagian), jika sampel yang kita cuplik hanya berukuran 2 buah. Tetapi

andaikata sampel kita berukuran 10 kelereng, maka akan terdapat kemungkinan sebesar 1

dari 1024 kesempatan 10

1

2

bahwa kelereng yang kita cuplik berwarna merah saja. Artinya,

kita “hanya” membuat kesalahan sebesar 0,10 persen, jika sampel yang kita cuplik

berukuran 10 buah.

Jelas bahwa jika ukuran sampel-sampel diperbesar, variasi-variasi antara sampel akan

makin kecil, presisi akan meningkat, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat

kesimpulan dari sampel tentang karakteristik populasi sesungguhnya akan makin kecil.

Sebaliknya, jika ukuran sampel kecil, variasi-variasi antara sampel akan makin besar, presisi

akan berkurang, dan kemungkinan untuk secara keliru membuat kesimpulan dari sampel

tentang karakteristik populasi yang sesungguhnya akan makin besar. Yang akan ditekankan

di sini adalah bahwa peran peluang merupakan salah stu aspek yang perlu dijelaskan dalam

laporan penelitian untuk menilai presisi temuan penelitian kita.

Statistik inferensial adalah jenis statistik yang menganalisis data yang berasal dari

sampel, dan membuat suatu generalisasi (diberlakukan secara umum) kepada

populasi.Dalam statistika inferensia diadakan pendugaan parameter, membuat hipotesis,

serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang

berlaku secara umum. Metode ini disebut juga statistika induktif, karena kesimpulan yang

ditarik didasarkan pada informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpulan dari


187

statistika inferensia yang hanya didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat

tak pasti,memungkinkan terjadi kesalahan dalam pengambilan keputusan,sehingga

pengetahuan mengenai teori peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode-metode

statistika inferensial.

Berdasarkan ruang lingkupnya maka statistik inferensial kemudian dibedakan menjadi

statistik parametrik dan statistik non-parametrik. Statistik parametrik mensyaratkan

terpenuhinya banyak asumsi, yaitu asumsi tentang kenormalan data, homogenitas data, dan

datanya berupa interval atau rasio. Sedangkan statistik non parametrik tidak memerlukan

asumsi-asumsi diatas untuk terpenuhi yaitu data mempunyai data ordinal atau nominal.

Statistik non-parametrik biasa juga disebut dengan statistik bebas distribusi (free

distribution).

B. SYARAT UJI HIPOTESIS DALAM PENGGUNAAN STATISTIK

PARAMETRIK

Uji hipotesis merupakan proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi

besarnya pengaruh variasi pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu

penelitian. Para pengambil keputusan sering dihadapkan pada situasi yang disalamnya

pengetahuan tentang (parameter-parameter populasi sangat langkah, sehingga

membuatuhkan suatu startegi pengambilan keputusan berdasarkan probabilitas yang

disebut uji hipotesis. Uji hipotesis membantu para peneliti, klinisi, administrator kesehatan

dalam mengabil keputusan tentang populasi, dengan cara menganalisis data sampel yang

dicuplik dari populasi tersebut.

Secara sederhana hipotesis dapat didefinisikan sebagai suatu pernyataan tentative

yang menjelaskan terjadinya perilaku, fenomena, atau peristiwa. Pernyataan hipotesis

lazimnya menyangkut prediksi peneliti tentang hubungan variabel-variabel yang menjadi

permasalahan penelitian. Pengelola rumah sakit umpamanya, membuat hipotesis bahwa

rata-rata lama rawat inap pasien di rumah sakit tersebut lima hari; petugas kesehatan

masyarakat membuat hipotesis bahwa program pelatihan keterampilan komunikasi tertentu

efektif dalam meningkatkan kemampuan komunikasi pemberi pelayanan kesehatan dan

pasien; seorang dokter membuat hipotesis bahwa sebuah obat baru efektif dalam

menurunkan tekanan darah sebesar 90% dari semua kasus yang mendapat obat.

Definisi lain tentang uji hipotesis menyatakan bahwa suatu metode pengambilan

keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun

dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara

statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan,

sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya.

Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisis data". Keputusan dari uji

hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian

untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar.

https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_peluang

https://id.wikipedia.org/wiki/Observasi

https://id.wikipedia.org/wiki/Statistik

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Signifikan&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Probabilitas

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_nol&action=edit&redlink=1


188

Daerah kritis (bahasa Inggris: critical region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil

yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritis ini

biasanya disimbolkan dengan huruf C.

Hipotesis dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis yaitu (1) hipotesis konseptual, dan (2)

hipotesis operasional. Hipotesis konseptual merupakan pemikiran solutif tentang

permasalahan penelitian yang mendorong peneliti untuk melakukan riset . Pemikiran itu

dapat muncul berkaitan dengan teori sebelumnya (deduktif), atau timbul setelah orang

melakukan observasi-observasi dalam kehidupan sehari-hari (induktif). Umpamanya

berdasarkan pengalaman praktek, seorang dokter melihat kemungkinan bahwa suatu

kombinasi obat modern dan tradisional lebih efektif dan membutuhkan dosis yang lebih

rendah untuk menyembuhkan kanker dari pada kalau diberikan secara sendiri-sendiri.

Seorang manajer rumah sakit melihat bahwa program modifikasi perilaku mungkin lebih

efektif dari pada program latihan keterampilan karyawan untuk meningkatkan penampilan

kerja mereka. Dengan uji hipotesis dapat ditetapkan apakah pernyataan-pernyataan itu

cocok dengan data yang dikumpulkan.

Hipotesis konseptual dioperasionalisasikan menjadi hipotesis operasional. Hipotesis

operasional dinyatakan sedemikian rupa sehingga biasa langsung dievaluasi dengan teknik-

teknik statistik sesuai. Oleh karena itu hipotesis operasional disebut juga hipotesis kerja

(hipotesis statistik). Hipotesis statistik adalah sebuah pernyataan tentang parameter yang

menjelaskan suatu populasi (bukan sampel).

Sampai dengan keputusan obyektif apakah hipotesis tertentu cocok atau tidak dengan

data yang dikumpulkan, diperlukan suatu prosedur obyektif penolakan dan penerimaan

hipotesis. Prosedur yang obyektif menjadi penting dalam metode ilmiah, agar ketika seorang

peneliti lain bias mengulanginya (replikasi) dengan metode dan prosedur yang sama.

Statistik adalah angka yang dihitung dari sekumpulan sampel.

Hipotesis nol 0H adalah sebuah hipotesis yang berlawanan dengan teori yang akan

dibuktikan.

Hipotesis alternatif 1H atau hipotesis kerja aH adalah sebuah hipotesis (kadang

gabungan) yang berhubungan dengan teori yang akan dibuktikan.

Tes statistik adalah sebuah prosedur yang masukannya adalah sampel dan hasilnya adalah

hipotesis.

Daerah penerimaan adalah nilai dari tes statistik yang menggagalkan untuk penolakan

hipotesis nol.

Daerah penolakan adalah nilai dari tes statistik untuk penolakan hipotesis nol.

Kekuatan Statistik 1 merupakan probabilitas kebenaran pada saat menolak hipotesis

nol.

Tingkat signifikan test merupakan probabilitas kesalahan pada saat menolak hipotesis

nol.

Nilai P ( P -value) merupakan probabilitas, mengasumsikan hipotesis nol benar.

https://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris

https://id.wikipedia.org/wiki/Alternatif

https://id.wikipedia.org/wiki/Populasi


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_alternatif&action=edit&redlink=1


189

C. INTERPRETASI

Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol

bisa ditolak. Jika nilai p tidak lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan bisa

disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menolak hipotesa nol, dan bisa disimpulkan

bahwa hipotesa alternatif yang benar.

1. Prosedur Uji Hipotesis

a. Data. Data merupakan basis prosedur pengujian. Karena itu sifat-sifat dan skala

pengukuran data perlu diketahui untuk menentukan metode uji yang akan digunakan.

b. Asumsi. Asumsi adalah kondisi model statistik yang melatarbelakangi suatu uji. Setiap

uji dibuat berdasarkan model statistik tertentu dan dengan syarat-syarat pengukuran

variabel tertentu. Kadang-kadang kita dapat menguji apakah kondisi yang diisyaratkan

itu dipenuhi atau tidak. Namun sering kali kita hanya dapat membuat “asumsi” tentang

kondisi hal tersebut. Dalam banyak situasi kita harus biasa nyakin bahwa asumsi-

asumsi yang kita buat itu benar. Uji parametrik pada umumnya membuat asumsi lebih

banyak dari pada nonparametrik. Konsekuensinya, generalisasi penerapan uji

parametric lebih terbatas dari pada uji non-parametrik, tetapi uji parametric memiliki

kuasa statistik lebih besar dari pada uji non-arametrik.

c. Hipotesis. Dalam konteks analisis statistik dikenal istilah hipotesis nol dan hipotesis

alternatif. Jika kita membandingkan keunggulan cara pemberian vaksin Hepatitis B

intradermal dan intramuscular, dan kita mulai dengan asumsi bahwa kedua metode

menghasilkan titer anti bodi sama baiknya, maka asumsi itu disebut hipotesis nol.

Karena itu hipotesis nol sering disebut juga “hipotesis tanpa perbedaan”. Akan tetapi

jika kita berpikir bahwa metode intradermal lebih buruk dari pada metode

intramuscular, maka kita sedang membuat suatu pernyataan yang disebut hipotesis

alternatif. Hipotesis nol, ditulis 0H , lazimnya merupakan hipotesis yang dicoba untuk

ditolak. Sedangkan hipotesis alternatif, ditulis sebagai aH , lazimnya merupakan

hipotesis yang dicoba untuk diterima.

d. Statistik Uji. Merupakan suatu statistik yang dapat dihitung dari data sampel. Statistik

uji dapat memberi beberapa kemungkinan nilai, nilai yang teramati tergantung pada

sampel yang dicuplik. Statistik uji berfungsi sebagai “pengambil keputusan”, karena

besar kecilnya selalu dipakai untuk memutuskan apakah akan menolak atau tidak

menolak 0H .

e. Distribusi Pencuplikan Statistik Uji. Merupakan keadaan yang 0H -nya benar harus

diketahui untuk dipakai sebagai acuan penolakan atau penerimaan hipotesis nol.

Setiap distribusi statistik uji parametrik mempunyai bentuk tertentu. Umpama,

distribusi statistik z mengikuti bentuk distribusi normal, jika hipoteis nol benar dan

asumsi-asumsi dipenuhi. Sebaliknya, distribusi statistik nonparametrik, tidak memiliki

bentuk fungsional distribusi tertentu, sehingga kadang-kadang disebut statistik bebas

distribusi.


190

f. Aturan Pengambilan Keputusan. Semua nilai-nilai statistik uji terletak pada sumbu

horizontal dari grafik distribusi statistik uji, dan dibagi menjadi dua kelompok yaitu (1)

kelompok pertama membentuk daerah penolakan 0H , dan (2) kelompok kedua

membentuk daerah penerimaan 0H . Nilai-nilai statistik yang terletak dalam daerah

penolakan adalah nilai-nilai yang kecil kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol

benar. Sedang nilai statistik yang terletak dalam daerah enerimaan adalah nilai-nilai

yang besar kemungkinannya untuk terjadi, jika hipotesis nol benar. Hipotesis nol

ditolak bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan salah satu dari

nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penolakan. Sedangkan hipotesis nol tidak

ditolak (atau”diterima”) bila nilai statistik uji yang kita hitung dari sampel merupakan

salah satu dari nilai-nilai yang terletak di dalam daerah penerimaan.

g. Penghitungan Statistik. Berdasarkan data dari sampel kita menghitung sebuah nilai

statistik uji dan membandingkan nilai statistik uji itu dalam distribusi pencuplikan, pada

keadaan yang 0H -nya benar, apakah terletak dalam daerah penerimaan atau

penolakan.

h. Keputusan Statistik. Keputusan statistik akan berupa menolak atau tidak menolak

hipotesis nol. Hipotesis nol ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung terletak di dalam

daerah penolakan, dan hipotesis nol tidak ditolak jika nilai statistik uji yang dihitung

terletak di dalam daerah penerimaan.

i. Kesimpulan. Jika 0H ditolak, kita simpulkan bahwa aH benar. Sebaliknya jika 0H tidak

ditolak, kita simpulkan bahwa 0H mungkin benar.

2. Tingkat Kemaknaan

Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam

pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam uji hipotesis, kita

menolak 0H dan menerima Ha jika nilai statistik memiliki probabilitas untuk terjadi.

Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan 0H inilah

yang disebut tingkat kemaknaan . Nilai-nilai yang umum misalnya 0,05 dan 0,01.

Tingkat kemaknaan juga dapat dipandang sebagai cara untuk menetapkan apakah temuan

penelitian dapat dikatakan suatu peristiwa langkah, pada keadaan yang hipotesis nol-nya

benar. Jadi misalnya kita temukan bahwa suatu nilai statistik uji (atau nilai-nilai lainnya yang

lebih ekstrim dari nilai statistik uji tersebut) lebih kecil atau sama dengan dan 0H benar,

maka kita dapat mengatakan bahwa temuan itu merupakan peristiwa langkah, dan oleh

karena itu secara probabilistik kita menolak 0H .

Jelas bahwa probabilitas menentukan keputusan penolakan dan penerimaan 0H .

Konsekuensinya, demi alasan-alasan objektivitas, maka hendaknya sudah ditentukan

sebelum data terkumpul. Pemilihan tingkat kemaknaan hendaknya dilakukan dengan hati-

hati dan mempertimbangkan kemaknaan praktis hasil penelitian kelak. Dalam bedah otak

misalnya, seorang peneliti akan meneliti apakah penggunaan kortikosteroid dosis tinggi lebih

efektif jika dibandingkan dengan tidak menggunakan kortikosteroid untuk mengatasi


191

oedema otak. Kemaknaan praktis penelitian tersebut adalah jika kesimpulan penelitian kelak

membenarkan hipotesis alternatif, maka dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen

terapi oedema otak di rumah sakit itu, dampaknya tidak saja pada perubahan manajemen

terapi oedema otak di rumah sakit itu, tetapi juga akibat-akibat sampingan penggunaan

kortikosteroid dosis tinggi pada semua pasien oedema otak selanjutnya. Dengan kasus

seperti ini, peneliti sebaiknya memilih tingkat kemaknaan secara konservatif, misalnya0,01 . Dengan memilih 0,01 (tidak 0,05), maka akan diperlukan probabilitas nilai

statistik yang lebih kecil atau sama dengan 0,01, sehingga tidak mudah menolak 0H dan

mengambil kesimpulan bahwa kortikosteroid dosis tinggi lebih efektif dari pada tanpa

penggunaan kortikosterod.

3. Daerah Penolakan

Daerah penolakan merupakan suatu daerah dalam distribusi pencuplikan nol. Yang

dimaksud dengan distribusi pencuplikan nol ialah distribusi pencuplikan pada keadaan yang

0H -nya benar. Daerah penolakan memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas

kejadian masing-masing nilai itu, jika 0H benar, lebih kecil atau sama dengan .

Gambar 8.1 Daerah Penolakan pada Uji Satu Sisi dan Dua Sisi

Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji satu sisi dengan

5% .


192

Daerah yang diarsir berupa titik-titik adalah daerah penolakan pada uji dua sisi dengan

5% .

Sifat daerah penolakan dipengaruhi oleh pernyataan hipotesis alternatif ( )aH . Jika aH

menunjukkan prediksi arah perbedaan, uji yang dilakukan adalah ji satu sisi. Sebaliknya jika

Ha tidak secara khusus menunjukkan arah perbedaan, maka uji yang dilakukan ialah uji dua

sisi. Luas daerah penolakan baik uji satu sisi maupun uji dua sisi adalah sama. Yang berbeda

adalah lokasinya. Pada uji satu sisi, daerah penolakan terletak pada salah satu dari kedua sisi

distribusi pencuplikan. Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik di daerah

penolakan itu lebih kecil atau sama dengan .

Pada uji dua sisi, daerah penolakan terletak pada kedua sisi distribusi pencuplikan.

Probabilitas untuk memperoleh suatu nilai statistik pada salah satu dari dua daerah

penolakan itu lebih kecil atau sama dengan 1

2

Gambar di atas menyajikan daerah penolakan untuk uji satu sisi dan uji dua sisi. Salah

satu gambar (A) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan yang memuat daerah

penolakan satu sisi dan gambar lainnya (B) memperlihatkan kurva distribusi pencuplikan

yang memuat daerah penolakan dua sisi.

4. Keputusan Statistik

Jika uji statistik menghasilkan suatu nilai statistik yang terletak pada daerah penolakan,

kita menolak 0H , jika probabilitas kejadian suatu nilai statistik tertentu, pada keadaan yang

0H -nya benar, dalam suatu distribusi pencuplikan adalah sangat kecil, kita melihat terdapat

dua alasan yang menjelaskan fakta tersebut. Pertama, 0H salah (sehingga kita menolak 0H ).

Kedua 0H benar (tetapi keputusan kita menolak 0H ) dan nilai statistik itu kita pandang

sebagai suatu peristiwa langkah untuk terjadi. Dalam proses pengambilan keputusan, yang

sering kita pakai adalah alasan pertama. Pada kesempatan lain tentu saja alasan kedua

mungkin lebih tepat untuk dipakai. Probabilitas untuk alasan kedua, yaitu menolak 0H

meskipun 0H benar, adalah , dan kesalahan menolak 0H yang benar itu disebut kesalahan

tipe I.

a. Nilai p

Dalam laporan hasil penelitian perlu disebutkan probabilitas pasti temuan penelitian. Probabilitas pasti lazim dikenal sebagai nilai p . Nilai p menunjukkan probabilitas untuk

memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang teramati hanya karena

peluang, dengan asumsi 0H benar. Makin besar nilai statistik uji kemaknaan, makin kecil

nilai p . Tujuan melaporkan nilai p hasil penelitian ialah agar para pembaca dan peneliti

lainnya mendapatkan kesempatan untuk memutuskan sendiri apakah menolak atau

menerima hipotesis nol. Bagi peneliti satu dan lainnya, makna aplikatif suatu penelitian dapat berbeda. Misalnya, suatu temuan penelitian menghasilkan nilai 0,002p . Bagi

seorang peneliti, temuan tersebut disimpulkan bermakna, arena tingkat kemaknaan


193

yang dipakai adalah 0,05. Sebaliknya, pembaca hasil penelitian mungkin menyimpulkan

bahwa temuan tersebut tidak bermakna, sebab pertimbangan kepentingan aplikatif yang

berbeda, ia berpendapat bahwa tingkat kemaknaan yang lebih pantas di pakai sebagai

patokan adalah 0,01.

Terdapat beberapa isu penting yang perlu diperhatikan dalam membuat interpretasi hasil uji kemaknaan statistik. Pertama, nilai p hendaknya tidak dipandang sebagai aturan

yang kaku tentang peran peluang dalam suatu hasil penelitian. Nilai p hendaknya hanya

dipandang sebagai petunjuk berapa besar kemungkinan peluang ikut “bermain” terhadap hasil penelitian. Tidak ada nilai p , bagaimanapun kecilnya, dapat sama sekali menyingkirkan

peran peluang. Katakanlah sebuah studi menemukan bahwa hubungan antara kebiasaan

merokok ibu dan memiliki anak dengan berat badan lahir rendah (BBLR) bermakna pada 0,001p . Dengan 0,001p jelas terdapat 1 di antara 1000 bahwa hasil penelitian tersebut

terjadi hanya karena peluang, dan penelitian yang satu itu kebetulan milik kita. Hanya saja,

dalam kasus ini kita dapat mengatakan bahwa peran peluang agaknya bukan merupakan

alasan yang kuat untuk menjelaskan hubungan kedua variabel tersebut. Sebaliknya,

meskipun nilai p besar, tidak berarti bahwa temuan yang teramati semata-mata terjadi

karena peluang. Kita hanya dapat mengatakan bahwa peran peluang tidak dapat disingkirkan untuk menjelaskan temuan penelitian. Di samping nilai p , kontribusi ukuran sampel dan

interval keyakinan hendaknya juga diperhatikan dalam membuat interpretasi hasil. Beberapa

praktisi penelitian begitu fanatik dan terbawa arus yang salah dengan patokan

" 0,05"p sampai-sampai timbul pameo yang menyatakan bahwa bagi mereka nilai p

merupakan agama (the religion of p value).

Kedua, perlu dibedakan antara kemaknaan statistik dan kemaknaan praktis (biologis,

klinis dan sebagainya). Perbedaan yang begitu kecil sehingga mempunyai arti klinis bias saja

bermakna secara statistik ( artinya kecil kemungkinan terjadi karena kebetulan), jika sampel

yang dicuplik berukuran cukup besar. Sebaliknya, perbedaan yang besar dan mempunyai arti

klinis penting bias saja tidak pernah mencapai kemaknaan statistic, jika sampel terlalu kecil.

b. Kesalahan pengambilan keputusan statistik

Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang 0H . Pertama,

kesalahan tipe I, yaitu menolak 0H padahal sesungguhnya 0H benar. Kedua, kesalahan tipe

II, yaitu tidak menolak 0H padahal sesungguhnya 0H salah. Probabilitas untuk membuat

kesalahan tipe I disebut . Makin besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan

menolak 0H secara keliru. Probabilitas untuk membuat kesalahan tipe II disebut . Makin

besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan tidak menolak 0H secara keliru. Jadi

dan tidak saja menunjukkan suatu jenis kesalahan pengambilan keputusan statistik,

tetapi juga besarnya probabilitas untuk membuat kesalahan itu sehingga ditulis sebagai:

kesalahan tipe Ip

kesalahan tipe IIp


194

Tabel selanjutnya memperlihatkan empat kemungkinan hasil uji hipotesis. Dengan

sajian “tabel kontingensi” kiranya dapat dipahami bahwa antara keempat sel saling

bergantung, termasuk hubungan antara membuat kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II.

Antara membuat kesalahan tipe I dan membuat kesalahan tipe II terdapat hubungan

terbalik. Dengan ukuran sampel konstan, jika kita coba mengurangi kesalahan tipe I dengan

menetapkan pada tingkat yang rendah, probabilitas untuk untuk membuat kesalahan tipe

II akan meningkat. Sebaliknya, jika kita mencoba mengurangi kesalahan tipe II, probabilitas

untuk membuat kesalahan tipe I akan meningkat. Dalam inferensi statistik, seorang peneliti

harus pandai melakukan tawar-menawar dengan pertimbangan sebaik-baiknya tentang

potensi dalam membuat salah satu dari kedua kesalahan tersebut. Jadi, dalam uji hipotesis,

kita harus berusaha membuat keseimbangan optimal antara kedua jenis kesalahan tersebut.

Untuk mencapai keseimbangan itu kita perlu memahami konsep kuasa statistik.

Tabel 8.1 Empat Kemungkinan Hasil Uji Hipotesis

Kesimpulan Uji Kemaknaan Kebenaran

0H Benar aH Benar

Tidak menolak 0H (secara

statistik tidak bermakna)

Benar : 0H benar, dan kita

tidak menolak 0H

Kesalahan Tipe II atau : aH

benar, tetapi kita tidak

menolak 0H

Menolak 0H (secara

statistik bermakna)

Kesalahan Tipe I atau 0: H

benar, tetapi kita menolak 0H

Benar : aH benar, dan kita

menolak 0H

c. Kuasa statistik

Kuasa statistik (power) dapat didefinisikan sebagai probabilitas untuk menolak 0H

ketika 0H memang salah. Dengan kata lain, kuasa menunjukkan kemampuan untuk dapat

mendeteksi adanya perbedaan bermakna antara kelompok-kelompok yang diteliti, ketika

perbedaan-perbedaan itu memang ada. Kuasa ditulis sebagai berikut :

Kuasa 1 kesalahan tipe II 1p

Jadi misalnya ditetapkan sebesar 0,3, artinya terdapat peluang sebesar 30% untuk

membuat kesalahan tipe II dan secara keliru tidak menolak 0H padahal Ha benar, maka

kuasa dalam penelitian tersebut adalah 1 – 0,3 = 0,7. Dengan kuasa sebesar 70% berarti

penelitian itu mempunyai kemampuan sebesar 70% untuk dapat mendeteksi perbedaan

antara kelompok-kelompok yang diteliti, jika memang terdapat perbedaan.

Kuasa merupakan fungsi dari : (1) jenis uji statistik yang dipilih, (2) sifat dari hipotesis

alternatif, (3) ukuran sampel, (4) varians populasi, (5) tingkat kemaknaan α, dan (6) variabel-

variabel lain yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih.

Karena model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih

banyak daripada uji nonparametrik, pada umumnya parametrik memiliki kuasa yang lebih

besar dari pada uji nonparametrik. Pernyataan hipotesis alternatif juga menentukan kuasa.


195

Jika aH menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji satu sisi. Jika aH tidak secara

khusus menunjukkan arah, uji yang digunakan adalah uji dua sisi. Uji satu sisi memiliki kuasa

lebih besar daripada uji dua sisi. Pada umumnya kuasa uji statistik meningkat dengan

bertambahnya ukuran sampel.

d. Distribusi pengambilan

Konsep distribusi pengambilan perlu diketahui untuk memahami inferensi statistik.

Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang

diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bias diambil secara acak dari

sebuah populasi, pada keadaan yang 0H -nya benar. Statistik yang dimaksud misalnya mean

sampel, simpang baku sampel, T Mann-Whitney, W Kendall. Yang tercakup dalam distribusi

pengambilan, jika 0H benar, tidak hanya probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar

statistik yang terhitung dari sampel tetapi juga nilai-nilai lainnya yang lebih ekstrim (tidak

konsisten dengan 0H ) dari nilai statistik tersebut. Distribusi pengambilan, jika 0H benar,

inilah yang dipakai sebagai acuan untuk mengetahui probabilitas untuk memperoleh nilai

statistik yang kita hitung.

Distribusi pengambilan bias kita bangun secara empiris jika pengambilan berasal dari

populasi yang diskrit dan terbatas (finite). Langkah-langkah untuk membangun sebuah

distribusi pengambilan adalah sebagai berikut :

1) Dari suatu populasi terbatas dengan ukuran N , ambillah semua sampel berukuran n .

2) Hitung statistik sampel yang menjadi perhatian penelitian, misalnya mean sampel.

3) Buatlah daftar semua nilai statistik sampel pada satu kolom, dan daftar frekuensi

kejadian dari semua nilai statistik sampel tersebut pada kolom lainnya.

4) Buatlah histogram distribusi pengambilan dari statistik tersebut. Jika dari masing-

masing titik tengah ditarik garis, kita akan memperoleh polygon distribusi frekuensi.

Sesuai dengan namanya, polygon berarti suatu gambar dengan banyak sudut. Jika

sampel-sampel yang bias dicuplik sangat banyak (sehingga jumlah statistik sampel

sangat besar), polygon distribusi pencuplikan akan kehilangan sudutnya dan

membentuk kurva distribusi frekuensi.

Distribusi pengambilan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran

populasi N tak terbatas (infinite). Namun distribusi pengambilan dapat didekati dengan

mengambil cukup banyak sampel, masing-masing dengan ukuran n . Jika variabel yang

menjadi perhatian penelitian mempunyai distribusi normal, distribusi pencuplikan dapat

didekati dengan suatu asumsi yang kita percaya kebenarannya. Asumsi tersebut terkenal

dengan nama teorema limit sentral. Teorema limit sentral menyatakan bahwa:jika sebuah variabel pada populasi didistribusikan dengan mean = dan simpang baku = , dan jika

sampel-sampel acak berukuran n diambil dari populasi variabel itu, maka x dari sampel kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan mean = dan simpang baku =

n , jika n besar.


196

Contoh 8.1.1:

Kita akan mempelajari bagaimana mengetahui probabilitas untuk memperoleh sebuah mean

sampel dengan menerapkan pengetahuan tentang : (1) teorema limit sentral, dan (2)

distribusi pencuplikan mean sampel. Misalnya, kita mengetahui populasi berat badan lahir bayi di Kota Makassar didistribusikan normal dengan 3100g dan 500g . Kita ingin

mengetahui besarnya probabilitas untuk memperoleh mean sampel = 3000 g dari sampel

acak berukuran = 100, yang dicuplik dari populasi tersebut. Dengan menerapkan teorema

limit sentral, distribusi pencuplikan dari mean semua sampel berukuran n = 100 akan

mempunyai mean = 3100 ( = 3100) dan simpang baku = 500

50100

n . Teorema limit

sentral juga menyatakan bahwa jika n sampel cukup besar, mean sampel akan

didistribusikan secara normal. Karena variabel didistribusikan normal, statistik uji yang

digunakan adalah z yang mempunyai bentuk formula sebagai berikut:

3000 31002

500 100

xz

n

Dengan mengacu pada tabel distribusi normal baku, probabilitas untuk memperoleh nilai

sebesar x sampel ialah p = 0,228.

Dalam latihan 1 di atas populasi variabel (berat badan lahir bayi) diasumsikan apakah

distribusi pencuplikan x sampel memiliki bentuk normal pula,jawabannya : ya, asal n

sampel cukup besar. Dalam hal mean sampel, kita bias yakin bahwa distribusi pencuplikan

mendekati normal pada tiga keadaan yaitu : (1) pencuplikan berasal populasi yang memiliki

distribusi normal, baik ukuran sampel besar maupun kecil, (2) pencuplikan berasal dari

populasi yang memiliki distribusi tidak normal, asal ukuran sampel besar, (3) pencuplikan

berasal dari populasi yang bentuk fungsional distribusinya tidak diketahui, asal ukuran

sampel besar.

Contoh 8.1.2.:

Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan

menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang

jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut.

Dalam kasus ini, hipotesis nol 0( )H adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis

alternatif ( 1H ) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif ( 1H ) inilah yang akan

dibuktikan.

Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut:

1) Orang tersebut tidak bersalah.

2) Orang tersebut bersalah.

Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim:

1) Melepaskan orang tersebut.

2) Memenjarakan orang tersebut.





197

0H benar, (Orang

tersebut tidak bersalah)

aH Benar

(Orang tersebut bersalah)

Menerima 0H

(Orang tersebut dibebaskan)

Keputusan yang Benar

Keputusan yang salah

(Kesalahan Tipe II)

Menolak 0H

(Orang tersebut dipenjara)

Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe I)

Keputusan yang Benar

Dalam kasus ini, ada dua kemungkinan kesalahan yang dilakukan hakim:

1) Memenjarakan orang yang benar (Kesalahan Tipe I)

2) Melepaskan orang yang bersalah (Kesalahan Tipe II)

Rumus

Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masing-

masing uji hipotesis tersebut.

Nama Rumus Asumsi / Catatan

Satu sampel uji

xz

n

(Populasi normal atau 30n )

dan diketahui.

( z adalah jarak dari rata-rata

sehubungan dengan simpangan

baku rata-rata). Untuk distribusi

non-normal memungkinkan

untuk dihitung proporsi terkecil

dalam sebuah populasi yang

berada di dalam k simpangan

baku untuk setiap k .

Satu sampel uji

1 2 0

2 21 2

1 2

x x dz

n n

Populasi normal dan observasi

independen dan 1 dan 2

diketahui

Satu sampel uji

t

0 , 1x

t df ns

n

(Populasi normal atau 30n )

dan tidak diketahui

Pasangan uji t

0 , 1d

d dt df n

s

n

(Populasi normal dari perbedaan

atau 30n ) dan tidak

diketahui



https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_non-normal&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_non-normal&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Populasi


198

Dua sampel uji t test digabung

variansi yang

sama

0

1 2

2 21 1 2 22

1 2

1 2

,1 1

1 1,

2

2

p

p

x x dt

sn n

n s n ss

n n

df n n

(Populasi normal atau

1 2 40n n ) dan observasi

independen dan 1 2 tidak

diketahui

Dua sampel t -

test terpisah

variansi tidak

sama

22 21 2

1 2

2 22 21 2

1 2

1 2

,

1 1

x x dt

s s

n n

s s

n ndf

s s

n n

n n

(Populasi normal atau

1 2 40n n ) dan observasi

independen dan kedua 1 2

diketahui

Satu proporsi uji

0

0 01

p pz n

p p

0 10np dan 01 10n p

Dua proporsi uji

z

0 1 2:H p p

digabungkan

1 2

1 2

1 2

2

1 11

p pz

p pn n

x xp

n n

1 1 5n p dan 1 11 5n p dan

2 2 5n p dan 2 21 5n p dan

observasi independen.

Dua proporsi uji

z 0| | 0d

tidak digabung

1 2 0

1 1 2 2

1 2

1 1

p p dz

p p p p

n n

1 1 5n p dan 1 11 5n p dan

2 2 5n p dan 2 21 5n p dan

observasi independen.

Dua sampel F

test untuk

persamaan

variansi

2122

sF

s

Populasi normal

Diurutkan 2 21 2s s dan 0H ditolak

jika

1 2, 1, 12

F F n n

, probabilitas melakukan kesalahan tipe I (menolak hipotesis nol pada saat hipotesis nol

benar)

n = jumlah sampel

1n = jumlah sampel 1


x = rata-rata sampel

0 = dugaan rata-rata populasi

https://id.wikipedia.org/wiki/Varians


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=F_test&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=F_test&action=edit&redlink=1



199

1 = rata-rata populasi 1

2 = rata-rata populasi 2

= simpangan baku populasi 2 = variansi populasi

s = simpangan baku sampel k

= penjumlahan (dari angka sejumlak k )

2s = Varians sampel 21s = Simpangan baku sampel 1 22s = Simpangan baku sampel 2

t = t statistik df = derajat kebebasan

d = Rata-rata perbedaan sampel

0d = dugaan rata-rata perbedaan populasi

ds = simpangan baku perbedaan 2 = Chi-squared statistik

xp

n = proporsi sampel, (kecuali ditentukan sebelumnya)

0p = dugaan proporsi populasi

1p = proporsi 1

2p = proporsi 2

pd

= dugaan perbedaan proporsi

1 2min ,n n = minimum of 1n and 2n

1 1 1

2 2 2

x n p

x n p

Latihan

1) Penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi dengan menggunakan informasi

yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari populasi disebut ....

A. statistik inferensial

B. statistik deduktif

C. statistik deskriptif

D. matematika

2) Sewaktu melakukan inferensi tentang karakteristik populasi selalu terdapat

kemungkinan inakurasi penarikan kesimpulan karena peran peluang atau variasi-variasi

pencuplikan (sampling variability). Namun, peran peluang itu dapat diperkecil dengan

memperbesar ukuran ....




https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Variacs&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=T_statistik&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Derajat_kebebasan&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Chi-squared_statistik&action=edit&redlink=1


200

A. sampel

B. sampling

C. populasi

D. variabel

3) Proses pengujian kemaknaan statistik dan kuantifikasi besarnya pengaruh variasi

pengambilan sampel terhadap hasil-hasil yang teramati dari suatu penelitian disebut

uji ....

A. matematik

B. kausalitas

C. hipotesis

D. integral

4) Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol ....

A. ditolak

B. diekstrapolasi

C. diterima

D. disubtitusi

5) Untuk menentukan uji statistik yang akan digunakan, maka variabel yang diteliti perlu

diketahui ....

A. karakteristik

B. kategori

C. skala data

D. profil

6) Probabilitas tertentu yang dipakai sebagai patokan penolakan dan penerimaan 0H

inilah yang disebut tingkat kemaknaan dengan simbol ....

A. α

B. β

C. σ

D. Γ

7) Probabilitas untuk menolak 0H meskipun 0H benar, adalah α, dan kesalahan menolak

0H yang benar itu disebut kesalahan tipe ....

A. IV

B. III

C. II

D. I


201

8) Probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar atau lebih ekstrim dari nilai statistik yang

teramati hanya karena peluang, dengan asumsi 0H benar disimbolkan dengan nilai ....

A. Ʃ

B. χ

C. p

d. µ

9) Jika pada analisis statistik kesimpulan tidak menolak 0H padahal sesungguhnya 0H

salah, maka kesalahan ini disebut dengan kesalahan tipe ....

A. I

B. II

C. III

D. IV

10) Kuasa statistik merupakan fungsi dari, kecuali ....

A. uji statistik

B. ukuran sampel

C. hipotesis alternatif

D. mean populasi.

Ringkasan

Inferensi statistik adalah penarikan kesimpulan (inferensi) tentang karakteristik

populasi dengan menggunakan informasi yang diperoleh dari suatu sampel yang diambil dari

populasi.

Statistika inferensia menganalisis pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta

melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku

secara umum atau disebut dengan generalisasi.

Tingkat kemaknaan (level of significance) adalah suatu konsep penting dalam

pengambilan keputusan menolak atau menerima hipotesis nol.

Kuasa merupakan fungsi dari : jenis uji statistik yang dipilih, sifat dari hipotesis

alternatif, ukuran sampel, varians popula3si, tingkat kemaknaan α, dan variabel-variabel lain

yang berkaitan dengan uji statistik yang dipilih.

Distribusi pencuplikan merupakan suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai

statistik yang diperoleh dari semua sampel dengan ukuran sama, yang bisa dicuplik secara

acak dari sebuah populasi.

Terdapat 2 jenis kesalahan pada waktu kita membuat keputusan tentang 0H . Pertama,

kesalahan tipe I, yaitu menolak 0H padahal sesungguhnya 0H benar. Kedua, kesalahan tipe

II, yaitu tidak menolak 0H padahal sesungguhnya 0H salah.


202

Tes 1

1) Suatu distribusi teoritis dari semua nilai-nilai statistik yang diperoleh dari semua

sampel dengan ukuran sama, yang bias dicuplik secara acak dari sebuah populasi, pada

keadaan yang 0H -nya benar disebut dengan distribusi ....

A. pencuplikan

B. matematik

C. sampel

D. inferensi

2) Jika sebuah variabel pada populasi didistribusikan dengan mean = dan simpang

baku = , dan jika sampel-sampel acak berukuran n dicuplik dari populasi variabel itu,

maka rata-rata dari sampel kurang lebih akan didistribusikan secara normal dengan

mean = dan simpang baku = n , jika n besar di sebut dengan teorema limit ....

A. tendency

B. fungsi

C. sentral

D. integral

3) Rumus statistik yang digunakan jika populasi normal, maka untuk uji satu sampel

dengan jumlah sampel lebih dari 30 dan σ diketahui adalah ....

A. x

zn

B. 1 2

2 21 2

1 2

x xz

n n

C. 1 2 0

2 21 2

1 2

x x dz

n n

D. x

zN

4) Penggunaan rumus statistik untuk uji satu sampel dengan jumlah sampel lebih dari 30

dan σ tidak diketahui serta populasi normal adalah ....

A. 0 , 1x

t df ns

n

B. x

zn


203

C. 0 , 1d

d dt df n

s

n

D. 1 2 0

2 21 2

1 2

x x dz

n n

5) Makin besar probabilitas , makin besar pula kemungkinan menolak 0H secara ....

A. benar

B. integrasi

C. keliru

D. pasti

6) Daerah penolakan 0H memuat semua nilai-nilai statistik dengan probabilitas kejadian

masing-masing nilai itu, jika 0H benar, lebih kecil atau sama dengan ....

A. σ

B. α

C. µ

D. β

7) Untuk melakukan suatu penelitian, konsekuensinya demi alasan-alasan objektivitas

maka hendaknya sudah ditentukan pada saat

A. analisis data

B. sementara data terkumpul

C. sesudah data terkumpul

D. sebelum data terkumpul

8) Akibat model matematik yang digunakan pada uji parametrik memakai asumsi lebih banyak daripada uji nonparametrik, maka kuasa statistik pada uji parametrik memiliki kuasa yang .... A. lebih kecil B. identik C. lebih besar D. tidak berbeda

9) Distribusi pencuplikan yang sesungguhnya hampir tidak mungkin kita buat, jika ukuran

populasi ....

A. infinite

B. ferensi

C. finit

D. inferensi


204

10) Jika seorang peneliti ingin meneliti tentang khasiat obat baru untuk penyakit kanker,

maka α yang digunakan secara konservatif sebaiknya sebesar ....

A. 0,01

B. 0,05

C. 0,1

D. 0,001


205

Topik 2

Statistik Parametrik

Setelah kita mengkaji Topik 1, maka Topik 2 ini akan membahas tentang aplikasi

statistik parametrik yaitu sebagai berikut :

1. Uji perbedaan rata-rata 2 kelompok

2. Uji perbedaan rata-rata lebih dari 2 kelompok

3. Uji hubungan antara 2 variabel menggunakan korelasi product moment (Pearson)

4. Uji pengaruh antara 2 variabel menggunakan regresi linier sederhana

Uji Perbedaan Rata-Rata 2 Kelompok

Student’s t test (uji t ) pertama kali ditemukan oleh W. J. Gosset seorang mahasiswa

Perancis pada tahun 1908 dengan nama samaran Student. Prinsip penggunaan uji t adalah

untuk membuktikan signifikan atau tidaknya dua nilai rata-rata.

Syarat-syarat penggunaan uji t :

1. Uji t dipergunakan bila simpangan baku populasinya ( ) tidak diketahui, bila

simpangan baku populasinya diketahui seharusnya dipergunakan uji Z . Buku-buku

lama menyatakan bahwa uji t dipergunakan bila 1 2 dan 30n n , tidak tergantung

kepada simpangan baku populasi diketahui atau tidak. Bila ukuran sampel 1 dan 2

tidak sama, selisih keduanya adalah ≤ 50 %.

2. Data mempunyai skala pengukuran ratio atau interval.

3. Data berdistribusi normal. Pembuktian normalitas data ini dapat dipergunakan uji 2 ,

Liliefors, uji Kolmogorof Smirnov 1 sampel dan lain-lain.

Uji dapat dikelompokkan menjadi dua golongan yaitu uji satu sampel dan uji t dua

sampel.

A. UJI T SATU SAMPEL

Uji t satu sampel ini dipergunakan untuk membedakan nilai rata-rata sampel dengan

nilai rata-rata populasi sebagai standarnya.

Rumus-rumus yang dipergunakan untuk uji t adalah sebagai berikut:

0hit

xt

s

n

x = nilai rata-rata sampel

0 = nilai rata-rata populasi, biasanya sebagai nilai standar

s = simpangan baku sampel

n = ukuran sampel


206

Bentuk hipotesisnya ada tiga macam yaitu, nilai rata-rata sampel berbeda dengan nilai

rata-rata populasi, lebih besar atau lebih kecil dari nilai rata-rata populasi. Bila hipotesis ini

dirumuskan adalah sebagai berikut :

1. 0 0 0: ; : aH H (uji 2sisi/ekor)

2. 0 0 0: ; : aH H (uji 1 sisi/ekor)

3. 0 0 0: ; : aH H

Kriteria penerimaan hipotesisnya adalah :

Untuk hipotesis formula 1, 0H diterima bila:

hit1 1

1 1 1 12 2

n nt t t

Untuk hipotesis formula 2, 0H diterima bila :

hit 1 1nt t

Untuk hipotesis formula 3, 0H diterima bila:

hit 1 1nt t

1n = derajat bebas, dipergunakan untuk melihat tabel t .

Bila t hitung yang diperoleh kebalikan dari kriteria di atas, maka sebaliknya Ha yang

diterima. Bila mempergunakan program komputer 0H diterima jika probabilitasnya

0,05p .

Contoh 8.2.1:

Masyarakat mengeluh bahwa kadar nikotin rokok X diduga lebih tinggi dari kadar standar

yang ditentukan (kadar standarnya 0 20 mg/batang ). Untuk membuktikan keluhan

masyarakat ini diambil sampel random sebanyak 10 batang dan kadar nikotin per batangnya

masing-masing adalah 22, 21, 19, 20, 21, 22, 22, 21, 22 dan 25. Harga α yang dipergunakan

5%.

Penyelesaian :

0 0: 20 mgH

0: 20 mgaH 2

2

4645, 215, mean 21,5

4645 215 / 101,5811

10 1s

X X

0hit

hit

/

21,5 20 1,53,000

0,49991,5811 / 10

xt

s n

t


207

0,95 91,83t . Karena hitung tabelt t , maka aH diterima berarti keluhan masyarakat

tersebut terbukti benar (kadar nikotin > yang ditulis di dalam label). Berikut ini adalah

contoh perhitungan dengan menggunakan program SPSS.

T-Test

One-Sample Statistics

N Mean Std.

Deviation Std. Error Mean

NIKOTIN 10 21.5000 1.58114 .50000

One-Sample Test

Test Value = 20

t Df Sig. (2-tailed) Mean Difference

95% Confidence Interval of the

Difference

Lower Upper

NIKOTIN 3.000 9 .015 1.5000 .3689 2.6311

Uji t Dua Sampel

Uji t dua sampel ini dibedakan menjadi uji t dua sampel yang berhubungan dan uji t dua

sampel bebas.

Uji t dua sampel berhubungan

Uji t dua sampel berhubungan di sebut juga sebagai uji t sebelum sesudah (before

after t test) atau uji t dua sampel yang berpasangan (paired t test). Rumus yang

dipergunakan adalah :

hit

dt

s n

id d

2 2( )

( 1)

n di dis

n n

s = simpangan baku beda sampel

d = selisih nilai rata-rata 1 dan 2

n = ukuran sampel

Contoh 8.2.2:

Apakah ada pengaruh suntikan depo provera terhadap tekanan darah sistolik?

Wanita A B C D E F G H I J

Sebelum 125 128 130 131 125 137 134 128 135 129

Sesudah 128 127 129 134 127 132 128 130 131 128


208

id -3 1 1 -3 -2 5 6 -2 4 1 2

id 9 1 1 9 4 25 36 4 16 1

0 1 2

1 1 2

2

2

:

:

3 1 1 3 2 5 6 2 4 1 8

8 106

10(106) 83,3267

10(9)

i i

H

H

d

d d

s

t hit = hit

80,76045

3,3267

10

t

sedang 0,975 9

2,262t

Hasil yang diperoleh hitung < tabelt t , maka 0H diterima berarti Depo Provera tidak

berpengaruh nyata terhadap tekanan darah sistolik ( 0,05p ). Berikut ini adalah hasil

perhitungan dengan program SPSS :

NPar Tests

Tests of Normality

VAR00004 Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk

Statistic df Sig. Statistic df Sig.

SEBELUM 1 .124 10 .200* .942 10 .571

a. Lilliefors Significance Correction

*. This is a lower bound of the true significance.

T-Test Paired Samples Statistics

Mean N Std.

Deviation Std. Error Mean

Pair 1 PRE 130.6000 10 4.22164 1.33500

POST 129.8000 10 1.98886 .62893

Paired Samples Correlations

N Correlation Sig.

Pair 1 SEBELUM & SESUDAH 10 .578 .080


209

Uji t Dua Sampel bebas

Uji t ini akan membandingkan perbedaan dua nilai rata-rata dua kelompok sampel

yang betul-betul bebas atau terpisah. Uji t ini dibedakan

Paired Samples Test

Paired Differences

t df Sig.

(2-tailed)

Mean Std.

Deviation Std. Error

Mean


Difference

Lower Upper

Pair 1 SEB - SES

.80000 3.32666 1.05198 -1.57975 3.17975 .760 9 .466

menjadi 2 kelompok yaitu uji t dengan variansi homogen dan uji t dengan variansi

heterogen. Homogen atau heterogennya kedua variansi diketahui dengan uji F (F = Fisher). 21

hit 22

sF

s di mana 2 2

1 2s s

0H : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN)

aH : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN)

0H diterima berarti kedua variansi homogen

0H diterima bila : hit 1 2,aF F v v

1 1 2 21 dan 1v n v n

Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang homogen,

maka dipergunakan uji t dengan rumus perhitungan sebagai berikut:

1 2hit

1 2

2 21 1 2 2

1 2

1 1

( 1) ( 1)

2

x xt

sn n

n s n ss

n n

1x = nilai rata-rata sampel 1, 21s = variansi sampel 1

2x = nilai rata-rata sampel 2, 22s = variansi sampel 2

s = simpangan baku gabungan dua sampel

0H diterima bila :

hit1 1

1 db 1 db2 2

t t t


210

atau

hit 1

1 db2

t t

dan

hit 11 db

2

t t

1 2db 2n n

Contoh 8.2.3:

Terdapat dugaan dari para dokter, bahwa mutu vitamin B 12 buatan pabrik B lebih baik

dibanding dengan vitamin b12 buatan pabrik A. Untuk membuktikan dugaan para dokter ini

kedua kelompok vitamin tersebut disuntikkan secara terpisah kepada masing-masing 10

pasien. Penyuntikan dilakukan secara intramuskular setiap minggu selama 4 bulan. Mutu

atau kurang mutunya vitamin B12 ini ditentukan oleh kadar Hb sesudah disuntik. Kadar Hb

dihitung pada saat satu minggu setelah suntikan terakhir dengan peralatan dan cara yang

sama. Kadar Hb dua kelompok sampel sebelum disuntik tidak berbeda nyata. Buktikan,

apakah dugaan para dokter tersebut terbukti benar. Diketahui harga 5% dan data kadar

Hb-nya adalah sebagai berikut :

Pabrik

A 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8

B 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2

0 :

:a b

a a b

H

H

A : 212,12 1,18115 1,3951 10x s s n

B : 213,98 0,98522 0,97066 10x s s n

hit

1,39511,4373

0,97066F

0,05 9,93,18F , jadi hit tabelF F , maka 0H diterima artinya varian populasi homogen.

10 1 1,3951 10 1 0,97066

10 10 2

(12,5559) (8,73594)1,0876

18

s

0,95 18

12,12 13,98 1,863,8240

0,48641,0876 1 / 10 1 / 10

1,734

t

t

Kesimpulan : hit tabelt t 3,8204 1,734 sehingga aH diterima artinya vit B12 buatan

pabrik B memang lebih baik dibandingkan dengan buatan pabrik A. Berikut ini adalah hasil

perhitungan dengan program komputer.


211

T-Test

Group Statistics

PABRIK N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

DATA A 10 12.1200 1.18115 .37351

B 10 13.9800 .98522 .31156

Independent Samples Test

Levene's Test for Equality of

Variances t-test for Equality of Means

F Sig. t df Sig. (2-tailed)

Mean Difference

Std. Error Difference


Difference

Lower Upper

DATA

Equal variances assumed

.317 .581 -3.824 18 .001 1.8600 .48639 2.882 .83813

Equal variances

not assumed

-3.824 17.439 .001 1.8600 .48639 2.884 .83576

NPar Tests

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

DATA VAR00003

N 10 10 Normal

Parameters(a,b) Mean 12.1200 13.9800

Std. Deviation 1.18115 .98522 Most Extreme

Differences Absolute .200 .292 Positive .200 .292 Negative -.132 -.160

Kolmogorov-Smirnov Z .633 .923 Asymp. Sig. (2-tailed) .818 .362

a. Test distribution is Normal.

b. Calculated from data.

Bila terbukti bahwa kedua sampel berasal dari populasi dengan variansi yang heterogen

maka rumus perhitungan yang dipergunakan adalah :

1 2hit 2 2

1 1 2 2

x xt

s n s n


212

0H diterima bila : 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2hit2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

s t s t s t s t

n n n nt

s s s s

n n n n

Untuk uji dua ekor :

1 2

1 21 11 1 1 1

2 2

dan n n

t t t t

Untuk uji satu ekor :

1 21 21 1 1 1 dan

n nt t t t

Contoh 8.2.4:

Data berikut ini adalah pendapatan 15 karyawan Poltekkes Makassar dan 11 orang karyawan

Politani Pangkep (× Rp10.000,00). Buktikan apakah pendapatan kedua karyawan tersebut

berbeda nyata. (diketahui harga 0,05 ).

Poltekkes 35,3 35,9 37,2 33 31,9 33,7 36 35 33,3 33,6 37,9 35,6 29 33,7 35,7

Politani 32,5 34 34,4 31,8 35 34,6 34,6 33,5 31,5 33,8 33,6

Poltekkes : 2

1 1 1 134,45 2,22 4,95 15x s s n

Politani : 2

1 1 1 233,57 1,17 1,37 11x s s n

hit 0,05 14,10

4,953,61 2,86

1,37F F

Variansi kedua sampel tersebut adalah heterogen:

hit 0,95 14 0,95 10

34,45 33,571,30525 1,761 dan 1,812

4,95 1,37

15 11

t t t

4,95 / 15(1,761 1,37 / 11(1,81)1,79

4,95 / 15 1,37 / 11t

Hasil perhitungan diperoleh hit tabelt t , maka 0H diterima berarti pendapatan karyawan

Poltekkes dan Politani tersebut tidak berbeda nyata.

1. Uji Perbedaan Lebih dari 2 Kelompok (Analisis of Varians/ Anova)

Anova bila diterjemahkan ke dalam Bahasa Indonesia artinya adalah sidik ragam atau

analisis ragam, pertama kali diperkenalkan oleh R. A. Fisher pada tahun 1925. Untuk


213

mengenang jasa-jasanya, maka anova di sebut pula sebagai uji F. Karena jasanya dalam

bidang statistika, R. A. Fisher pernah dianugerahi gelar Baronet oleh Ratu Inggris.

Sidik ragam sebenarnya merupakan pengembangan dari uji t untuk dua sampel yang

bebas. Anova dipergunakan untuk mengetahui perbedaan nilai rata-rata lebih dari dua

macam perlakuan dan kontrol dalam hal ini masuk ke dalam perlakuan.

Anova dapat dikelompokkan menjadi anova satu arah dan anova dua arah. Beberapa

persyaratan yang harus dipenuhi pada anova adalah :

a. Normalitas

Data mempunyai skala pengukuran rasio atau interval dan berasal dari populasi

dengan sebaran normal. Uji normalitas dapat dilakukan dengan uji χ2 (chi-square), kertas

probabilitas, Kolmogorov Smirnov atau uji Liliefors. Data yang menyebar normal bila

digambarkan kurvanya berbentuk simetris seperti lonceng. Bila data tersebut terbukti tidak

menyebar normal, maka bisa didekati dengan cara transformasi data. Bila tetap tidak

memenuhi persyaratan, maka analisisnya bisa dipergunakan uji statistik non parametrik.

b. Homogenitas variansi

Perlu diketahui pangkat dua dari simpangan baku disebut variansi. Untuk mengetahui

apakah variansi dari perlakuan homogen atau tidak dapat dilakukan pengujian dengan uji

Bartlett.

c. Independen

Galat atau kekeliruan bersifat bebas terhadap sesamanya (independen). Dengan kata

lain, bahwa data pengamatan harus bebas satu sama lainnya. Persyaratan ini bisa dipenuhi

bila perlakuan yang diberikan terhadap unit eksperimen dengan cara acak (random). Bila

timbul keragu-raguan tentang acak atau tidaknya perlakuan yang diberikan dapat dilakukan

pengujian dengan uji randomisasi (uji statistik non parametrik).

Anova Satu Arah

Anova satu arah ditemukan pada :

Rancangan Acak Lengkap (RAL)

RAL disebut juga rancangan rambang lugas atau desain acak sempurna (DAS),

completely randomized design atau simple randomized design.

Pada RAL arah semua variabel yang berpengaruh selain perlakuan adalah homogen.

Keuntungan RAL, analisisnya termasuk sederhana dan banyak ulangan ( in ) boleh sama atau

tidak, bila tidak sama sebaiknya perbedaannya adalah < 50%. Suatu misal terjadi ‘kematian

atau kehilangan unit eksperimen saat percobaan berlangsung tidak menjadi masalah dari

segi analisisnya, asalkan jumlah unit eksperimennya yang hilang < 50%. Kerugian umumnya

kesulitan memperoleh unit eksperimen yang homogen. Demikian pula penanganan variabel

selain perlakuan yang homogen sering kali mengalami kesulitan. Akibatnya tidak jarang

kesulitan dalam penarikan kesimpulan apakah respons yang timbul itu betul-betul dari

perlakuan atau variabel lain yang tidak dikehendaki. RAL sangat cocok untuk penelitian klinik


214

atau penelitian lain dalam laboratorium dan kurang cocok untuk penelitian lapangan atau

survei.

Data Pengamatan Perlakuan (Variabel Independen)

1 2 ....... k

11x 21x ....... 1kx

12x 22x ....... 2kx

...... ...... ....... ........

11nx 22nx ....... kknx (variabel dependen)

Total 1x 2x ....... kx Tx

Nilai rata-rata 1x 2x ....... kx

Jumlah pengamatan 1n 2n ........ kn in

Variansi 2

1s 22s

....... 2

ks

Cara perhitungan :

2

2

2 2 2

1 2

1 2

...

sisa

T

ij

k

k

xFK

n

JKT x FK

x x xJKP FK

n n n

JK JKT JKP

Keterangan :

FK = faktor koreksi

JKT = jumlah kuadrat total

JKP = jumlah kuadrat perlakuan

sisaJK = jumlah kuadrat sisa. Istilah lain ialah jumlah kuadrat galat atau jumlah kuadrat

kekeliruan.

Sumber

variasi db JK KT hitF 1 2,v v

F

Perlakuan 1k JKP 1

JKP

k

perlakuan

sisa

KT

KT tabelF

Sisa ( 1)in ( 1)k

sisaJK sisa

( 1) ( 1)i

JK

n k

Total ( 1)in JKT


215

db = derajat kebebasan

KT = kuadrat tengah

1 dbv perlakuan, merupakan pembilang

2 dbv sisa, merupakan penyebut

Bentuk hipotesisnya adalah :

0 1 2: kH

0 1 2: kH

Penarikan kesimpulannya :

0H diterima bila 1 2hit ,v v

F F

dan sebaliknya aH diterima bila 1 2hit ,v v

F F

. Bila aH diterima,

berarti terdapat respons yang berbeda dari bermacam-macam perlakuan. Dengan kata lain

bila aH diterima berarti minimal terdapat sepasang perlakuan yang berbeda. Pasangan-

pasangan mana yang berbeda menyebabkan respons yang berbeda belum diketahui, masih

memerlukan pengujian lebih lanjut setelah anova (multiple comparison).

Menurut Frederik (1955), sebaiknya db sisa dari anova ≥ 20, ketentuan ini dapat

dipergunakan untuk menentukan salah satu cara sederhana untuk menentukan jumlah

ulangan ( in ), dengan rumus sebagai berikut :

1 1 20ik n , misalnya jumlah perlakuannya = 4 maka :

20 20

4 1 1 20 1 1 7,73 3

i i i in n n n

maka jumlah ulangan minimalnya sama dengan 8. untuk penentuan jumlah minimal ulangan

cara yang lebih baik akan diuraikan kemudian.

Menurut Higgins dikoreksi dengan menambahkan = 1

1n

f

dimana f adalah persentasi

dari penambahan sampel biasanya 10 – 20 %.

Latihan

Penggunaan anova dengan ulangan yang tidak sama

Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu bola lampu listrik buatan pabrik A, B, C

dan pabrik D. Mutu atau tidaknya bola lampu ditentukan oleh daya tahan hidupnya.

Pengambilan contoh dilakukan secara random, bola lampu buatan pabrik A dan B masing-

masing diambil sebanyak 5 buah. Untuk bola lampu buatan pabrik C dan D masing-masing

diambil 4 buah. Bola lampu tersebut dinyalakan dan daya hidupnya diukur (dalam bulan).

Buktikan dengan mempergunakan alfa = 5 %, apakah mutu bola lampu buatan empat pabrik

tersebut terdapat perbedaan?


216

Pengamatan Merek Lampu

A B C D

DAYA

TAHAN

12 14 6 9

20 15 16 14

23 10 16 18

10 19 20 19

17 22

ix 82 80 58 60 280

x 16.4 16 14.5 15

in 5 5 4 4 18

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2804355,55

18

12 20 23 10 17 19 4355,55 382,44

82 80 58 604355,55 10,25

5 5 4 4382,44 10,25 372,19

FK

JKT

JKP

JKS

Tabel Anova

Sumber variasi

db JK KT hitF 0 ,05F

Perlakuan 3 10.25 3.42 0.13 3.34

Sisa 14 372.19 26.58

Total 17 382.44

0 A B C D:H

A B C D:aH

Nilai dari hit 0,13 3,34F , maka 0H yang diterima. Jadi mutu merek bola lampu listrik

buatan pabrik A, B, C dan D tidak berbeda nyata ( 0,05p ). Nilai rata-rata daya tahan

tersebut sebenarnya berbeda dan perbedaannya bukan karena merek, tetapi karena faktor

lain yang tidak diketahui. Bila soal tersebut dikerjakan dengan program komputer hasilnya

adalah sebagai berikut :

One way

Test of Homogeneity of Variances

VAR00001

.123 3 14 .945

Levene

Statistic df1 df2 Sig.


217

Perbedaan rata-rata, mungkin disebabkan oleh :

1) variabel yang dikendalikan tidak betul-betul terkendali

2) perbedaan yang terjadi selama percobaan, misalnya lampu di goyang, voltase naik dan

lain-lain.

Latihan

Penggunaan anova dengan ulangan yang sama

Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan mutu obat tidur merek A, B, C dan plasebo. Obat

yang bermutu bila cepat menyebabkan tertidur setelah meminum obat tersebut. Variabel

kendali adalah berat badan, umur, waktu tidur sama, kegiatan, makanan. Taraf signifikansi

yang dipergunakan adalah 5% dan data percobaan (dalam menit) tersebut adalah :

Pengamatan Obat Tidur

Plasebo A B C

Mutu

78 55 64 75

91 66 60 93

97 49 67 78

82 64 62 71

85 70 66 63

77 68 65 76

x 85 62 64 76

ix 510 372 384 456 1722

21722

123533,5024

FK

2 2 2 2 2 278 91 97 82 77 76 123553,50

126808 123553,50

3254,5

JKT

125646 123553,5 2092,5

3254,5 2092,5 1162

JKP

JKS

ANOVA

VAR00001

10.244 3 3.415 .128 .942

372.200 14 26.586

382.444 17

Betw een Groups

Within Groups

Total

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.


218

Tabel Anova

Sumber

variasi db JK KT hitF 0 ,05F

Perlakuan 3 2092.50 697.5 12.005 3.10

Sisa 20 1162 58.1

Total 23 3254.5

Out put SPSS

Oneway

ANOVA

WAKTU

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Between

Groups 2092.500 3 697.500 12.005 .000

Within Groups 1162.000 20 58.100

Total 3254.500 23

Post Hoc Tests

Multiple Comparisons

Dependent Variable: WAKTU

LSD

(I) Pabrik (J) Pabrik Mean

Difference (I-J) Std. Error Sig.

95% Confidence Interval

Lower Bound Upper Bound

Plasebo Pabrik A 23.0000(*) 4.40076 .000 13.8202 32.1798 Pabrik B 21.0000(*) 4.40076 .000 11.8202 30.1798 Pabrik C 9.0000 4.40076 .054 -.1798 18.1798

Pabrik A Plasebo -23.0000(*) 4.40076 .000 -32.1798 -13.8202

Pabrik B -2.0000 4.40076 .654 -11.1798 7.1798 Pabrik C -14.0000(*) 4.40076 .005 -23.1798 -4.8202

Pabrik B Plasebo -21.0000(*) 4.40076 .000 -30.1798 -11.8202

Pabrik A 2.0000 4.40076 .654 -7.1798 11.1798 Pabrik C -12.0000(*) 4.40076 .013 -21.1798 -2.8202

Pabrik C Plasebo -9.0000 4.40076 .054 -18.1798 .1798

Pabrik A 14.0000(*) 4.40076 .005 4.8202 23.1798 Pabrik B 12.0000(*) 4.40076 .013 2.8202 21.1798

* The mean difference is significant at the .05 level.

Nilai hit 12,01 3,10F , jadi terdapat perbedaan yang nyata ( 0,05p ) tentang mutu

obat tidur (plasebo, A, B dan C). Untuk mengetahui obat tidur jenis apa yang mutunya

terbaik perlu pengujian lebih lanjut, yaitu pengujian nilai rata-rata setelah anova (paling

tidak ada sepasang yang berbeda).


219

Pengujian tentang perbedaan nilai rata-rata setelah anova ada bermacam-macam cara

yaitu : uji LSD (least significant different/ beda nyata terkecil), HSD (honestly significant

different/beda nyata jujur), Bonferroni, Sidak, Scheffe, REGWF, REGWQ, SNK (student

newman keul), Tukey, Tukey’s-b, DMRT (Duncan’s multiple range test), Hochberg’s GT2,

Gabriel, Waller-Duncan, Dunnet dan sebagainya. Dari soal di atas maka diberikan contoh

untuk uji LSD (Least Significant Different).

2. Uji LSD

Uji ini disebut pula sebagai uji beda nyata terkecil (BNT), uji ini merupakan

pengembangan dari uji t . Syarat penggunaan uji BNT, hasil uji F (anova) adalah bermakna.

Jumlah ulangannya bisa sama atau tidak, tetapi sebaiknya ulangannya adalah sama. Bila

ulangannya tidak sama, cara pengerjaannya tidak praktis seperti halnya pada uji t . Bila

jumlah ulangannya sama, cara pengujian ini mempergunakan satu nilai pembanding yang

dapat dihitung dengan mempergunakan rumus :

sisa1

1 db1 22

1 1LSD t KT

n n

t nilainya dapat dilihat pada tabel dengan harga 0,05 dan sisadb db dari anova.

Jadi

0,975 202(58,1) / 6 2,09 2(58,1) / 6 9,19LSD t

Selanjutnya dibuat matriks dengan menyusun secara urut dari nilai terkecil atau dari

nilai terbesar, dari nilai rata-rata respons perlakuan.

Matriks selisih nilai rata-rata

Obat Nilai rata-rata A B C Plasebo

62 64 76 85

A 62 0 2 14 23

B 64 0 12 21

C 76 0 9

Plasebo 85 0

LSD0,05 = 9,19

Cara membaca matriks, bila selisih antara dua perlakuan minimal sama dengan nilai >

LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini adalah berbeda nyata atau sangat nyata. Sebaliknya

bila lebih kecil dibandingkan dengan nilai LSD-nya, maka antara dua perlakuan ini tidak

berbeda nyata.

Selanjutnya untuk memudahkan dalam menyimpulkan hasil pada matriks tersebut

perlu dibuat notasi garis atau notasi huruf.


220

Obat : A B C Plasebo

Nilai rata-rata 62a 64a 76b 85b

Notasi garis

Notasi huruf a a b b

Nilai rata-rata pada baris sama yang diikuti oleh superskrip yang berbeda, menunjukkan berbeda nyata ( 0,05p ). Jadi dapat disimpulkan bahwa obat yang paling

bermutu adalah obat A atau obat B.

2. Uji t

Sebenarnya uji setelah anova ini mempunyai banyak kekurangan dibandingkan dengan

uji rata-rata setelah anova lainnya. Karena uji t setelah anova mempergunakan nilai

pembanding t yang berubah-ubah, akibatnya uji ini tidak praktis karena cara-cara

perhitungannya lebih panjang, sehingga peluang terjadinya kesalahan dalam perhitungan

akan lebih besar. Rumus uji t yang dipergunakan adalah sebagai berikut :

1 2hit

1 2. (1 / 1 / )

x xt

KT sisa n n

Plasebo >< obat A :

hit

0,975 10

85 625,23

58,10(1 / 6 1 / 6)

2,23

t

t

Jadi mutu obat A lebih baik dibandingkan dengan plasebo 0,05p

Plasebo >< obat B

hit

0,975 10

85 644,77

58,10(1 / 6 1 / 6)

2,23

t

t

Jadi mutu obat B lebih baik dibanding dengan plasebo 0,05p Plasebo >< obat C

hit

0,975 10

85 762,05

58,10(1 / 6 1 / 6)

2,23

t

t

Jadi mutu obat C dan plasebo tidak berbeda nyata 0,05p

obat C >< obat A :

hit

0,975 10

76 623,18

58,10(1 / 6 1 / 6)

2,23

t

t


221

Jadi mutu obat A lebih baik dibanding dengan obat C 0,05p

Antara obat C dengan obat B dan antara obat B dengan obat A bisa dikerjakan sendiri

untuk latihan.

4. Hubungan antara 2 Variabel menggunakan Korelasi Product Moment (Pearson).

Korelasi Pearson (product moment) merupakan salah satu statistika inferensial, yang

dapat dilihat pada bagan berikut, analisis statistik terbagi menjadi dua yaitu statistik

deskriptif dan statistik inferensial. Statistik deskriptif mempelajari penyajian statistik dari

data pada sampel, sedangkan statistik inferensial mempelajari penarikan kesimpulan pada

populasi dari seperangkat data dari sampel. Statistika inferensial terdiri dari uji komparasi

dan uji hubungan. Uji hubungan terdiri dari uji korelasi, uji regresi dan uji asosiasi.

Korelasi adalah hubungan dua variabel rambang (bivariate random) yang berdistribusi

normal yang menyatakan adanya perubahan satu variabel akan diikuti oleh perubahan

variabel lain. Sifat hubungannya adalah linier, karenanya bila hubungan dua variabel itu

nonlinier maka uji korelasi (yang bersifat linier) akan menyebabkan penerimaan Ho yang

menyatakan rho = 0. Macam hubungannya ada dua, yaitu

a. Positif bila perubahan variabel II dari kecil ke besar juga dengan perkataan lain

perubahan kedua variabel searah;

b. Negatif bila perubahan variabel I dari kecil ke besar akan diikuti oleh perubahan

variabel II dari besar ke kecil (perhatikan diagram sebaran pada halaman berikut),

dengan perkataan lain perubahannya berlawanan arah satu sama lain.

Korelasi juga bersifat simetris atau saling mempengaruhi artinya perubahan X diikuti

oleh Y dan sebaliknya perubahan Y juga diikuti oleh X ; dari kenyataan ini kita dapat

menyatakan bahwa korelasi terjadi pada satu sampel dengan pengamatan pada beberapa

variabel.

Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi merupakan ukuran kuat hubungan antara variabel X dan Y , yang dinyatakan dengan huruf r (huruf kecil) untuk sampel dan dengan untuk populasi. Harga

r beranjak dari 0 sampai +1 (korelasi positif) dan dari -1 sampai 0 (korelasi negatif);

koefisien ini tidak mempunyai satuan.

Perhitungan koefisien korelasi :

Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item X jumlah kuadrat item 2X dan jumlah

perkalian variabel-variabel tersebut XY dan cacah pasangan tersebut n , akan

diperoleh 2 2, , , , ,X X Y Y XY dan n .

Dari data statistik dasar di atas kita hitung koefisien korelasi dengan rumus sebagai berikut :


222

Rumus komputasi data kasar :

2 2

2 2

X YXY

nr

X XX Y

n n

Rumus komputasi deviasi :

2 2

2

2 2

2

2 2

xyr

x y

Yxy XY X

n

Xx X

n

Yy Y

n

Setelah selesai menghitung statistik r maka perlu diuji kemaknaannya berdasarkan

pengujian hipotesis nihilnya yang berbunyi :

0 : 0H (tidak ada hubungan korelasi antara X dan Y )

: 0aH (ada hubungan korelasi antara X dan Y )

Dengan kesalahan I (α ) = 0,05

Macam pengujian 0 : 0H

a. Bandingkan dengan titik kritis r dengan db 2n dan 0,05 . Bila 2n

r r

maka

0H ditolak dengan p .

b. Hitunglah z dengan rumus: 1

0,5ln1

rz

r

kemudian hitung z dengan rumus:

1

3z

n

hitung z dengan rumus :

z

zz

Gunakan titik kritis tabel z area under curve, bila 1

2

z z

atau 11

2

z z

maka 0H

ditolak dengan daftar sederhana z untuk hipotesis bermacam arah:

Dua arah Satu arah 1,96Z

2,571Z

0,05

0,01

1,65Z

2,326Z

1

2

Z

bertanda negatif


223

1. Hitung statistik t dengan rumus:

hit

2

2

1

r nt

r

titik kritis gunakan tabel dengan db 2n dan kesalahan I , bila

1 db2

t t

, maka 0H ditolak dengan p

2. Hitung F dengan rumus :

2

2

( 2)

1

r nF

r

titik kritis adalah tabel F distribusi dengan db numerator = 1 dan db

denumerator = 2n .

Bila 1, 2nF F

, maka 0H ditolak dengan p .

Estimasi dari r

Estimasi ini berguna untuk memperkirakan harga koefisien korelasi di populasi.

Estimasi ini merupakan estimasi interval 95 % untuk 0,05 , yang mempunyai harga

minimum dan harga maksimum.

Harga minimum adalah :

1

12

1 10,5ln

1 3

rz

r n

harga maksimum adalah :

1

12

1 10,5ln

1 3

rz

r n

bila 0H untuk r ditolak dengan 0,01p maka harga estimasi

juga dihitung untuk 0,01 .

Latihan

Berikut ini adalah data kadar kolesterol darah dalam mg % yang selanjutnya dianggap

sebagai variabel Y dan berat badan dalam kg yang selanjutnya dianggap sebagai variabel X .

Kedua variabel diukur dari 10 orang laki-laki.

Data tersebut disusun kemudian dilengkapi dengan kolom 2X yang berisi kuadrat dari

masing-masing X , kolom 2Y yang berisi kuadrat dari masing-masing Y dan terakhir kolom

XY yang berisi hasil perkalian X dan Y . Pada baris terakhir dilengkapi dengan jumlah

masing-masing kolom, hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut:

No. Kolesterol

(Y )

BB

( X ) 2Y 2X XY

1

2

3

4

5

150

175

180

250

225

45

50

45

65

75

22500

30625

32400

62500

50625

2025

2500

2025

4225

5625

6750

8750

8100

16250

16875


224

No. Kolesterol

(Y )

BB

( X ) 2Y 2X XY

6

7

8

9

10

200

175

275

160

190

60

75

80

50

55

40000

30625

75625

25600

36100

3600

5625

6400

2500

3025

12000

13125

22000

8000

10450 1980 600 406600 37550 122300

n Y X 2Y

2X XY

Koefisien korelasi r dihitung :

2 2

2 2

2 2

(600 1980)122300

10

(600) (1980)37550 406600

10 10

0,737

X YXY

nr

X XX Y

n n

x

r

r

Titik kritis 0,025 100,632r

Karena hit tabelr r , maka 0H ditolak dengan 0,05p , jika tidak ada tabel r maka digunakan tabel t :

hit 22

2 0,737 83,0841

1 0,7371

r nt

r

1 0,975 81 0,05 8

2

10 2 8 2,31db t t

, 0H ditolak, kesimpulan ada hubungan antara BB

dan Kolesterol.

Kesimpulan : terdapat hubungan korelasi yang bermakna antara berat badan dan kadar

kolesterol darah.

Dari perhitungan komputer (output) program SPSS maka dapat dilihat sebagai berikut :

Correlations

Descriptive Statistics

Mean Std. Deviation N

KOLESTER 198.0000 40.22161 10

BB 60.0000 13.12335 10


225

Correlations

KOLESTER BB

KOLESTER Pearson Correlation

1 .737(*)

Sig. (2-tailed) . .015

N 10 10

BB Pearson Correlation

.737(*) 1

Sig. (2-tailed) .015 .

N 10 10

* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).

Perhitungan estimasi

Harga minimum adalah :

1

2

1 1 1 0,737 10,5ln 0,5ln 1,96 0,203

1 1 0,737 10 33

rz

r n

( 1

2

z

nilainya negatif) dengan harga maksimum adalah :

1

12

1 1 1 0,737 10,5ln 0,5ln 1,96 1,684

1 1 0,737 10 33

rz

r n

( 11

2

z

nilainya positif).

Karena harga maksimal adalah 1, jadi interval konfiden 96% untuk adalah 0,203 dan 1.

4. Pengaruh antara 2 Variabel menggunakan Regresi Linier Sederhana

Kita berhadapan dengan masalah korelasi bila kita melakukan studi hubungan antara

dua variabel tanpa mempertahankan konstan salah satu variabel tersebut, dan kita

berhadapan dengan masalah regresi bila kita melakukan studi pengaruh terhadap suatu

variabel dan variabel lain dipertahankan konstan pada beberapa tingkat. Pada regresi kita

berhadapan dengan rancangan statistik k-sampel bebas yang membentuk peringkat sebagai

berikut :

a. Variabel X konstan pada setiap tingkatan dan variabel Y merupakan variabel

rambang.

b. Menggunakan asumsi distribusi normal univariat pada X tertentu

c. Hubungannya bersifat asimetris: X Y


226

Terdapat perbedaan masalah regresi pada studi eksperimental dan studi

observasional. Pada eksperimental variabel X dapat dikendalikan oleh peneliti sedang pada

observasional tidak satupun dari variabel X dan Y yang diubah oleh peneliti. Sebetulnya

masalah regresi lebih cocok untuk studi eksperimental dari pada studi observasional

walaupun masalah regresi pada praktek sehari-hari digunakan pada kedua studi.

Pada studi eksperimental, karena variabel bebas ( X ) dimanipulasi oleh peneliti, jika

dapat ditunjukkan bahwa variabel terikat (Y ) ada hubungan dengan variabel bebas yaitu

dengan adanya koefisien kemiringan (slope = 1 ) populasi tidak sama dengan nol, maka

dapat disimpulkan bahwa hubungan X dan Y dapat menunjang kausalitas artinya dapat

dinyatakan bahwa X menyebabkan Y , dan Y tergantung pada X . Pada studi observasional

hubungan X dan Y tidak menunjang kausalitas, walaupun pada kedua studi kita dapat

meramal harga Y pada suatu harga X tertentu asal X masih dalam batas rentangan harga

X ; artinya interpolasi boleh dilakukan tetapi bukan ekstrapolasi.

a. Hipotesis

Pada masalah regresi secara matematik sama saja dengan kita menentukan garis lurus

ramalan 0 1Y X dari data-data yang kita kumpulkan. Menurut matematika bahwa bila

menarik garis lurus harus ada dua cara yaitu :

1) Melalui dua titik dengan koordinat tertentu

2) Melalui satu titik dan sudut pengarah (sudut potong) antara garis dengan sumbu X .

Di sini akan digunakan cara nomor 2, sebagai titik ialah titik potong garis dengan

sumbu Y dengan koordinat 00,b dan sudut pengarah dalam hal ini adalah tangen sudut

tersebut 1b .

Pada masalah regresi hipotesis yang akan dibuktikan ada dua buah, hipotesis

ketergantungan atau hubungan 1 dan hipotesis asal garis regresi 0 .

b. Formulasi hipotesis tersebut adalah sebagai berikut :

Hipotesis ketergantungan:

0 1: 0 H Y tidak tergantung pada X

1: 0 aH Y tergantung pada X

Hipotesis asal :

0 1: 0H Y berasal dari titik asal 0,0

1: 0aH Y bukan berasal dari titik asal

b. Komputasi analisis regresi

Seperti pada studi korelasi maka pada studi regresi kita lakukan langkah-langkah

sebagai berikut :


227

Untuk setiap variabel hitunglah jumlah item X , jumlah kuadrat item 2X dan

jumlah perkalian variabel-variabel tersebut XY dan cacah pasangan tersebut ( n ), akan

diperoleh X , 2X , XY , Y , 2Y , XY dan n .

Setelah itu hitunglah variansi dan kovariansi dengan rumus :

2

2 2 sebagai variansi X

x X Xn

2

2 2 sebagai variansi Y

y Y Yn

sebagai kovariansi

X Yxy XY XY

n

Perhatikan ! variansi dan kovariansi tertulis dengan huruf kecil !

Menghitung koefisien b1 (kemiringan atau slope)

1 2

xyb

x

Menghitung koefisien b0 (titik asal atau intersep atau constant )

0 1

Y Xb b

n n

Menghitung galat baku ramalan (standard error of estimate = SEE)

Bila pada statistika deskriptif kita menghitung galat baku atau standar deviasi untuk

suatu seperangkat data maka perhitungan garis regresi diperlukan juga standar deviasi

tetapi dengan nama lain dan rumus lain.

Rumus SEE adalah sebagai berikut:

2

1

2

y b xySEE

n

1) Menguji hipotesis ketergantungan:

0 1: 0H y tidak tergantung pada X

1: 0aH y tergantung pada X

Untuk itu diperlukan penghitungan b1se dengan rumus :

b1 2

SEEse

x

Untuk pengujian 0H digunakan uji t dengan rumus :

1 1b1

1b

bt

se

dengan db 2n


228

Titik kritis adalah tabel t . 0H ditolak bila

b11 2

2n

t t

2) Menguji hipotesis asal :

0 1: 0H berasal dari titik asal 0,0

1: 0aH bukan berasal dari titik asal

Untuk itu diperlukan penghitungan b0se dengan rumus :

2

b0 2

1

X

nse SEE

n x

Untuk menguji 0H digunakan uji t dengan rumus :

0 0b0

b0

bt

se

dengan db 2n

Titik kritis adalah tabel t , di mana 0H ditolak bila b0 2nt t

Menguji linieritas garis

Untuk keperluan ini diperlukan data berikut :

1) Menghitung koefisien korelasi :

r dihitung dengan cara yang sama seperti pada studi korelasi dengan rumus :

2 2

xyr

x y

kemaknaan r dapat disamakan dengan kemaknaan b1.

2) Menguji linieritas garis regresi :

Untuk keperluan ini yang diperlukan adalah 2r atau coefficient of determination (CD)

yang berarti varian yang dapat diterangkan oleh hubungan X dan Y . Makin besar 2r

makin fit data-data dengan garis regresi itu, dengan perkataan lain makin mungkin

untuk menyatakan bahwa hubungan X dan Y makin mendekati linier.

3. Cara lain adalah melakukan/membuat diagram sebaran hubungan kedua variabel

(diagram plot).

Bila gambaran sekilas memperlihatkan adanya kecenderungan titik-titik hubungan

berada pada satu garis lurus atau sekitar garis lurus maka dapat disimpulkan garis regresinya

linier.

Latihan

Dari data di atas yang kita pakai pada studi korelasi didapatkan harga statistik sebagai

berikut :

10 1980 600 406600 37550 122300

N Y X 2Y 2X XY


229

22

2 2

22

2 2

60037550 1550

10

1980406600 14560

10

600 1980122300 3500

10

Xx X

n

Yy Y

n

X Yxy XY

n

Koefisien korelasi r dihitung :

2 2

2 2

2 2

(600 1980)122300

10 0,736752312600 1980

37550 40660010 10

X YXY

nr

X YX Y

n n

x

Coefficient of determination = 2r 0,7367523122 = 0,5428

Koefisien slope = koefisien b1

12

3500b1 2,258064516 b1

1550

xy

x

Standard error of estimate : 2

1 14560 (2,25806451628,846088

3500)

2 8

y b xy xSEE

n

Koefisien intersep = koefisien b0

0 1 0 0

1980 2,2580645 600b 62,516112904 b

10 10

Y Xb

n n

Uji hipotesis 1 (Ketergantungan)

b1 2

28,8460880,732691

1550

SEEse

x


230

Untuk pengujian 0H digunakan uji t dengan rumus :

1 1b1

1

2,2580645163,08188

0,732691b

bt

se

di mana 0,05p

Uji hipotesis 0 (titik asal)

0bse SEE

22

2

600

1 1 1028,846088 44,897901

10 1550

X

n

n x

Untuk menguji 0H digunakan uji t dengan rumus :

0 0b0

0

62,51611,39241 0,05

44,897901b

bt p

se

1 0,975 8 0,995 81 2

2

2,306 3,355n

t t t

Prediksi nilai Y dari harga X tertentu

Prediksi suatu nilai Y dari harga X tertentu tergantung pada kegunaan prediksi

tersebut, di sini terbagi dua yaitu :

Prediksi nilai Y populasi : Diperlukan Ypopse yang rumusnya :

2

Ypop 2

1

X X

nse SEEn x

Confident Interval 95 % :

1 Ypop . Ypop11

2 2

y xY t se u Y t se

Bila berat badan = 50 kg berapa kadar kolesterolnya ?

2

Ypop

60050

1 1028,8460 11,70014285

10 1588

50se


231

Hargaprediksi

kolester BB62,516129 2,258065Y x 62,516129 2,258065 50 141,746Y x

Nilai 0,05 82,306t

Minimum : 141,746 – 2,306 × 11,7001 = 114,7656

Maximum : 141,746 + 2,306 × 11,7001 = 168,7264

Jadi untuk berat badan 50 kg maka di populasi terdapat kadar kolesterol antara 114,7656

sampai dengan 168,7264.

Prediksi nilai Y individu :

Diperlukan seY ind yang rumusnya :

2

Yind 2

11

XX

nse SEE

n x

Confident Interval 95 % :

1 Yind . Yind11

2 2

y xY t se u Y t se

Seperti di atas bila berat badan adalah 50 kg maka :

Yind 28,846088se

2

Yind

60050

1 101 31,12860639

10 1550se

Harga prediksi

Y = 62,516129 + 2,258065 × 50 = 141,746

0,05 82,306t

Minimum : 141,746 – 2,306 × 31,12860 = 69,9634336

Maximum : 141,746 + 2,306 × 31,12860 = 213,528566

Jadi untuk berat badan sebesar 50 kg pada individu terdapat kadar kolesterol antara

69,963433 dan 213,5285663.

Out put komputer dengan program SPSS dapat dilihat sebagai berikut :


232

Regression


Mean Std. Deviation N

KOLESTER 198.0000 40.22161 10

BB 60.0000 13.12335 10

Correlations

KOLESTER BB

Pearson

Correlation

KOLESTER 1.000 .737

BB .737 1.000

Sig. (1-tailed) KOLESTER . .008

BB .008 .

N KOLESTER 10 10

BB 10 10

Model Summary

Model R R

Square Adjusted R Square

Std. Error of the

Estimate Change Statistics

R Square Change F Change df1 df2

Sig. F Change

1 .737(a) .543 .486 28.84609 .543 9.498 1 8 .015

a. Predictors: (Constant), BB

ANOVA(b)

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 7903.226 1 7903.226 9.498 .015(a) Residual 6656.774 8 832.097

Total 14560.000 9

a. Predictors: (Constant), BB

b. Dependent Variable: KOLESTER

Coefficients(a)

Model Unstandardized

Coefficients Standardized Coefficients

t Sig. 95% Confidence

Interval for B

B Std.

Error Beta

Lower Bound

Upper Bound

1 (Constant) 62.516 44.898 1.392 .201 -41.019 166.051 BB 2.258 .733 .737 3.082 .015 .568 3.948


233

Latihan

1) Ingin diketahui asumsi masyarakat tentang garam beriodium. Asumsinya adalah kadar

iodium pada garam kurang dari 30 ppm (part per million). Maka diambillah sampel

garam dapur secara random pada rumah tangga sebanyak 10 rumah tangga secara

acak dengan data sebagai berikut:

17 18 20 25 32 36 19 30 21 28. α yang digunakan sebesar 5%.

Jawab:

Diketahui µ = 30 ppm rata-rata = 24,6 lalu membuat hipotesis yaitu

0 : 30mgH

: 30mgaH

Menghitung jumlah data dan jumlah kudrat data 2 yaitu

246 dan 2 6444

Setelah itu masukkan ke dalam rumus simpangan baku sebagai berikut:

2

2

2

1

2476505

10 6,60310 1

nsn

0hit

hit

/

24,6 30 5,42,586

6,603 2,0881

10

xt

s n

t

Karena hipotesisnya adalah 1 sisi dan 5% maka nilai t tabel sebesar

1 1 1 0,05 10 1 0,95 9nt t t

. Karena tingkat kepercayaan sebesar 0,95 dan derajat bebas

sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 1,83. Nilai t tabel positif dirubah menjadi negatif

juga karena nilai t hitung negatif. Karena hit tabelt t atau 2,586 1,83 , maka aH

diterima berarti keluhan masyarakat tersebut terbukti benar bahwa kadar KIO3< dari

yang ditulis di dalam label).

2) Suatu studi ingin mengetahui tentang pengaruh suplementasi tablet besi terhadap

kenaikan kadar hemoglobin ibu hamil. Data kadar hemoglobin dengan satuan mg/dl

disajikan sebagai berikut:

Sebelum 9,0 9,2 8,3 7,9 8,8 8,5 8,2 9,4 9,5 9,6

Sesudah 10,1 9,7 9,2 8,5 8,9 8,8 8,6 9,5 9,8 9,6


234

5% , Apakah terdapat pengaruh pemberian tablet besi terhadap kenaikan kadar

hemoglobin?

Jawab:

Diketahui :

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

Mencari nilai d yaitu dengan mengurangi data sebelum dengan data sesudah sebagai

berikut :

Sebelum 9,0 9,2 8,3 7,9 8,8 8,5 8,2 9,4 9,5 9,6

Sesudah 10,1 9,7 9,2 8,5 8,9 8,8 8,6 9,5 9,8 9,6

d -1,1 -0,5 -0,9 -0,6 -0,1 -0,3 -0,4 -0,1 -0,3 0

d2 1,21 0,25 0,81 0,36 0,01 0,09 0,16 0,01 0,09 0

1,1 0,5 0,9 0,6 0,1 0,3

0,4 0,1 0,3 0

4,

3

d

2 1,21 0,25 0,81 0,36

0,01 0,09 0,16 0,01 0,09 0

2,99

id

22

( 1)

in di ds

n n

selanjutnya semua nilai yang didapatkan disubtitusi ke dalam rumus di atas sebagai

berikut:

210 2,99 4,3

0,356010(10 1)

s

hit hit

4,3

0,3563,8196

10

dt t

s n

sedang nilai t tabel, karena hipotesis 2 sisi dan α = 5% maka adalah

1 12 2

0,95 91 1 1 0,05 10 1 atau

nt t t

hal ini menunjukkan bahwa tingkat kepercayaan

sebesar 0,975 dan derajat kebebasan sebesar 9 maka nilai t tabel sebesar 2,262 (lihat

lampiran tabel t ). Karena nilai t hitung negatif maka nilai t tabel juga dibuat negatif

yaitu -2,262.

Hasil yang diperoleh hit tabelt t atau 3,8196 2,262 , maka 0H ditolak berarti Tablet

Besi berpengaruh nyata terhadap kenaikan kadar Hb ibu hamil ( 0,05p ).

3) Apakah terdapat perbedaan kadar Imunoglobulin A (IgA) pada lanjut usia yang

mendapatkan seng sulfat dan sinbiotik dengan data IgA sebagai berikut :


235

Suplemen Kadar IgA (ug/mmol)

Seng sulfat 1,2 1,5 1,0 1,9 2,0 1,7 1,6 1,3 2,0 0,9

Sinbiotik 1,4 1,7 1,3 2,1 2,2 1,9 1,7 1,5 2,2 1,4

Berdasarkan data tersebut di atas tarik kesimpulan dengan tingkat kepercayaan 95%.

Jawab:

0 1 2

1 2

:

:a

H

H

Hipotesis tersebut merupakan hipotesis 2 sisi.

Pertama kita mencari varian dari populasi yaitu :

21

hit 22

sF

s di mana 2 2

1 2s s

0H : variansi I = variansi 2 (DATA HOMOGEN)

aH : variansi I ≠ variansi 2 (DATA HETEROGEN)

0H diterima berarti kedua variansi homogen

0H diterima bila : hit 1 2,aF F v v

1 1 2 21 10 1 9, 1 10 1 9v n v n

Untuk mendapatkan nilai hitF , maka akan dicari masing-masing nilai varian kelompok 1

dan kelompok 2 sebagai berikut :

2

2

2

2

2

1

1

xx

nsn

xx

nsn

Untuk kelompok seng sulfat :

Nilai 2 24,25 dan 15,1x x sedang nilai 10n , maka

2

15,124,25

10 0,401210 1

s

22 0,4012 0,161s

Untuk kelompok sinbiotik :

Nilai 2 31,34 dan 17,4x x sedang nilai 10n , maka

2

2

17,431,34

10 0,118210 1

s


236

Setelah itu mencari hitF sebagai berikut: 21

hit 22

sF

s

hit

0,1611,3621

0,1182F

Karena 1 29, 9v v dengan 5% maka tabel 3,18F .

Kesimpulan: tabel hitF F atau 3,18 1,3621 sehingga 0H diterima, maka variansi

kelompok seng tidak berbeda dengan variansi kelompok sinbiotik.

Selanjutnya digunakan uji t 2 sampel bebas dengan variansi homogen sebagai berikut:

1 2hit

1 2

1 1

x xt

sn n

dan nilai 2 2

1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2

n s n ss

n n

Pertama mencari nilai simpangan baku beda sampel sebagai berikut :

(10 1)0,161 (10 1)0,11820,3743

10 10 2s

Selanjutnya substitusi ke dalam rumus t hitung sebagai berikut :

hit

1,51 1,741,3756

1 10,3743

10 10

t

Karena hipotesis 2 sisi dengan 5% , maka nilai

12

tabel 1 2 0,975 101 0,05 10 10 2

11 2

2t n n t t

. Artinya bahwa 0,975 adalah tingkat

kepercayaan (confidence of interval) dan 18 adalah derajat kebebasan yang

dipergunakan untuk melihat tabel t. Nilai t tabel sebesar 2,101 (terlampir tabel t ),

karena nilai hitt negatif, maka nilai tabelt juga dibuat negatif yaitu sebesar – 2,101. Jadi

2,101 1,3756 , maka 0H diterima akibatnya kesimpulan dari hasil analisis ini

adalah tidak ada perbedaan kadar IgA yang mendapatkan suplementasi seng dan yang

mendapatkan suplemen sinbiotik.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Di buat hipotesis nol dan alternatif untuk menentukan apakah uji satu sisi atau dua sisi

(jika hipotesis sesuai diberi skor 5).

2) Menentukan skala data dari variabel yang diteliti (jika skala data sesuai diberi skor 5).

3) Menentukan uji statistik yang sesuai (jika uji statistik sesuai diberi skor 10).

4) Menghitung statistik berdasarkan rumus tersebut (jika hasil akhir benar dan tepat

diberi skor 30).

5) Membandingkan hasil hitung dengan tabel statistik yang sesuai (jika benar dan sesuai

diberi skor 30).


237

6) Membuat kesimpulan (jika kesimpulan sesuai dengan uji statistik maka diberi skor 20).

Ringkasan

Uji beda adalah bagian dari statistik inferensial untuk melihat perbedaan rata-rata

pada kelompok. Uji beda terdiri atas 2 yaitu uji beda 2 kelompok atau biasa disebut uji t dan

uji beda lebih dari 2 kelompok yang biasa disebut analisis of varians (Anova). Persyaratan

data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio.

Uji hubungan antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat hubungan

antar variabel bebas dan variabel terikat. Uji statistik ini menggunakan uji korelasi product

moment (Pearson). Persyaratan variabel mempunyai data interval atau rasio.

Uji pengaruh antara 2 variabel yaitu uji statistik inferensial untuk melihat pengaruh

antara variabel bebas terhadap variabel terikat menggunakan regresi linier sederhana.

Persyaratan data dari variabel yang diteliti adalah data interval dan rasio.

Prosedur statistik parametrik dibuat berdasarkan sejumlah asumsi. Sebagai contoh,

umumnya untuk membuat asumsi bahwa sampel dicuplik dari populasi normal, atau paling

sedikit mendekati normal. Karena itu uji parametric seperti uji , , , z t r F dikategorikan

statistik teori normal. Di samping normalitas distribusi populasi, asumsi-asumsi yang

digunakan dalam model matematik uji paramterik adalah:

1. Independensi pemilihan unit sampel dari populasi,

2. Independensi pengamatan unit observasi,

3. Kesamaan varians jika membandingkan dua atau sejumlah sampel,

4. Variabel diukur minimal dalam skala interval.

Validitas penggunaan uji statistik parametrik ditentukan oleh pemenuhan asumsi

tersebut. Jika kondisi itu tidak dipenuhi, validitas hasil penelitian diragukan. Normalitas

distribusi bias diketahui secara visual dengan menampilkan data dalam bentuk histogram

ataupun menghitung statistic deskriptif, misalnya ukuran tendensi sentral dan derajat

kemencengan. Beberapa asumsi bias diuji, misalnya normalitas distribusi dicek dengan uji

kesesuaian kai kuadrat.

Untuk mengatasi penyimpangan asumsi teori normal dapat dilakukan dengan cara :

1. data ditransformasi sehingga distribusi mendekati normal dan varians menjadi lebih

stabil. Tergantung sifat ketidaknormalan data, transformasi data yang dapat dilakukan

adalah : akar kuadrat, logaritma, kebalikan (reciprocal), dan sinus arcus.

2. bebas distribusi, karena tidak bertujuan menduga maupun menguji parameter

populasi, tetapi cukup membandingkan karakteristik populasi-populasi secara umum,

maka metode bebas distribusi juga disebut nonparametrik.


238

Tes 2

1) Studi tentang khasiat simplisia (bahan obat yang berasal dari alam) sebagai antiinfeksi

yang terdiri atas kunyit, kunyit putih dan daun miyana. Variabel yang diukur adalah

jumlah kuman yang mati pada tikus yang mendapatkan infeksi. Data berikut

menunjukkan jumlah kuman yang masih hidup :

Simplisia Jumlah kuman (n x 107)

Kunyit 2,1 1,9 3,0 2,7 2,8 3,1 2,7 1,9 1,8 4,1

Kunyit putih 2,2 1,8 3,1 2,6 2,9 3,0 2,6 1,8 1,6 3,8

Daun miyana 1,9 2,0 3,0 2,8 2,7 2,9 2,8 2,0 1,7 3,9

Harga α sebesar 5%. Tarik kesimpulan berdasarkan data di atas.

2) Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara kadar kolesterol dengan asam

urat. α yang digunakan sebesar 5%. Berdasarkan hasil penelitian maka diketahui data

sebagai berikut :

kolesterol 90 95 96 97 98 100 99 94 91 93

Asam urat 100 105 110 115 120 125 123 120 115 118

3) Apakah terdapat pengaruh antara berat badan lahir bayi dengan asupan protein ibu

hamil.

Dengan data sebagai berikut:

Berat badan lahir bayi (kg) 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1

Asupan protein (g) 10 11 12 13 14 15 16 17 19 18

Tingkat kepercayaan sebesar 95%. Buat kesimpulan tentang masalah di atas.

Jawaban

1) 0H : tidak ada perbedaan rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia

aH : ada perbedaan yang bermakna rata-rata jumlah kuman pada ketiga simplisia

ANOVA

Jumlah Kuman Hidup

Sum of Squares df

Mean Square F Sig.

Between Groups .025 2 .012 .026 .975

Within Groups 12.974 27 .481

Total 12.999 29

Berdasarkan Tabel Anova di atas menunjukkan bahwa nilai hit 0,026F . Jika

dibandingkan dengan nilai 1 2tabel ,v vF F

, di mana 1 between groupdf 2v dan

2 within groupdf 27v dipergunakan untuk melihat tabel statistik. Nilai tabelF sebesar 3,35.


239

Karena hit tabelF F , maka 0H diterima artinya tidak ada perbedaan antara kunyit, kunyit

putih dan daun miyana dalam membunuh kuman (anti infeksi).

2) 0H : tidak ada hubungan antara kadar kolesterol dengan asam urat

aH : ada perbedaan yang bermakna antara kadar kolesterol dengan asam urat

90 100 8100 10000 9000

95 105 9025 11025 9975

96 110 9216 12100 10560

97 115 9409 13225 11155

98 120 9604 14400 11760

100 125 10000 15625 12500

99 123 9801 15129 12177

94 120 8836 14400 11280

91 115 8281 13225 10465

93 118 8649 13924 10974

953

Kolesterol

x

1151

As.

Urat

y 90921

2x

133053 2y

109846 xy

Menggunakan rumus koefisien korelasi Pearson

2 2

2 2

x yxy

nr

x yx y

n n

2 2

1151109846 953

10 0,6503953 1151

90921 13305310 10

r

Disubstitusi ke dalam rumus 2 2

2 0,6503 82,4211

1 1 0,6503

r nt

r

Setelah itu membandingkan dengan tabel t 1-1/2α (n-2) = t 0,975 (8). Nilai tabelt dengan tingkat

kepercayaan 0,975 dan df = 8 sebesar 2,306.

Karena hit tabelt t , maka 0H ditolak artinya ada hubungan yang bermakna antara kadar

kolesterol dan asam urat yaitu semakin meningkat kolesterol juga akan meningkatkan

asam urat.


240

3) Hipotesis titik asal

0H : y berasal dari titik asal

aH : y tidak berasal dari titik asal

Hipotesis ketergantungan

0H : asupan protein ibu hamil tidak mempengaruhi berat badan lahir bayi

aH : asupan protein ibu hamil mempengaruhi berat badan lahir bayi

Model Summary

Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate

1 .988a .976 .973 .04985

a. Predictors: (Constant), As.Protein

Berdasarkan tabel di atas menunjukkan bahwa 2 0,976R menunjukkan bahwa 97,6%

asupan protein ibu hamil akan mempengaruhi berat badan lahir bayi. Selebihnya 2,4%

variabel lain yang tidak diteliti tetapi ikut mempengaruhi hasil penelitian.

ANOVAb

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression .805 1 .805 324.012 .000a

Residual .020 8 .002

Total .825 9

a. Predictors: (Constant), As.Protein

b. Dependent Variable: BBL

Nilai F sebesar 324,021 dengan 0,000p menunjukkan bahwa besarnya pengaruh

variabel asupan protein terhadap BBL bayi.

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients

t Sig. B Std. Error Beta

1 (Constant) 1.218 .081 15.009 .000

As.Protein .099 .005 .988 18.000 .000

a. Dependent Variable: BBL

Berdasarkan tabel di atas menunjukkan bahwa nilai konstanta

15,009 dan 0,000t p berarti hipotesis titik asal menerima 0H artinya variabel y

tidak berasal dari titik asal.


241

Hipotesis ketergantungan menunjukkan bahwa asupan protein nilai 18 dan 0,000t p artinya adalah asupan protein mempengaruhi BBL Bayi dimana

semakin meningkat asupan protein ibu hamil juga akan meningkatkan berat badan

lahir bayi.


242

Daftar Pustaka

Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.

Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES.

Daniel Wayne W., 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.

Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati.

………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati.

Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan.

Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial.

Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE.

Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Jakarta: Gramedia.

Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT

Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2

Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN

979-403-313-8

Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability.

R. A. Fisher. 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd,

1925, p.43.

Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76.

ISBN 076194138X.

Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York:

Springer.ISBN 0387988645.

https://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/9796559242



https://id.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number

https://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/076194138X




243

NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means

Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference

to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350.

Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9.

NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations

the same as testing variances).

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda353.htm

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=McGraw_Hill&action=edit&redlink=1


https://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0-201-59877-9



244

Lampiran

Lampiran 1

Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas t-Student

dk 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 dk

1 –318,309 –63,657 –31,821 –12,706 –6,314 –3,078 –1,376 –0,727 –0,325 1

2 –22,327 –9,925 –6,965 –4,303 –2,920 –1,886 –1,961 –0,617 –0,289 2

3 –10,215 –5,841 –4,541 –3,182 –2,353 –1,638 –0,978 –0,584 –0,277 3

4 –7,173 –4,604 –3,747 –2,776 –2,132 –1,533 –0,941 –0,569 –0,271 4

5 –5,893 –4,032 –3,365 –2,571 –2,015 –1,476 –0,920 –0,559 –0,267 5

6 –5,208 –3,707 –3,143 –2,447 –1,943 –1,440 –0,906 –0,553 –0,265 6

7 4,785 3,499 2,998 2,365 1,895 1,415 0,896 0,549 0,263 7

8 4,501 –3,355 –2,896 –2,306 –1,860 –1,397 –0,889 –0,546 –0,262 8

9 4,297 –3,250 –2,821 –2,262 –1,833 –1,383 –0,833 –0,543 –0,261 9

10 –4,144 –3,169 2,764 2,228 1,812 1,372 0,879 0,542 0,260 10

11 4,025 –3,106 –2,718 –2,201 –1,796 –1,363 –0,876 –0,540 –0,260 11

12 3,930 –3,055 –2,681 –2,179 –1,782 –1,356 –0,873 –0,539 –0,259 12

13 3,852 –3,012 –2,650 –2,160 –1,771 –1,350 –0,870 –0,538 –0,259 13

14 3,787 –2,977 –2,624 –2,145 –1,761 –1,345 –0,868 –0,537 –0,258 14

15 3,733 2,947 2,602 2,131 1,753 1,341 0,866 0,536 0,258 15

16 3,686 –2,921 –2,583 –2,120 –1,746 –1,337 –0,865 –0,535 –0,258 16

17 3,646 –2,898 –2,567 –2,110 –1,740 –1,333 –0,863 –0,534 –0,257 17

18 3,610 –2,878 –2,552 –2,101 –1,734 –1,330 –0,862 –0,534 –0,257 18

19 3,579 –2,861 –2,539 –2,093 –1,729 –1,328 –0,861 –0,533 –0,257 19

20 3,552 –2,845 –2,528 –2,086 –1,725 –1,325 –0,860 –0,533 –0,257 20

21 3,527 –2,831 –2,518 –2,080 –1,721 –1,323 –0,859 –0,532 –0,257 21

22 3,505 –2,819 –2,508 –2,074 –1,717 –1,321 –0,858 –0,532 –0,256 22

23 3,485 –2,807 –2,500 –2,069 –1,714 –1,319 –0,858 –0,532 –0,256 23

24 3,467 –2,797 –2,492 –2,064 –1,711 –1,318 –0,857 –0,531 –0,256 24

25 3,450 –2,787 –2,485 –2,060 –1,708 –1,316 –0,856 –0,531 –0,256 25

26 3,435 –2,779 –2,479 –2,056 –1,706 –1,315 –0,856 –0,531 –0,256 26

27 3,421 –2,771 –2,473 –2,052 –1,703 –1,314 –0,855 –0,531 –0,256 27

28 3,408 –2,763 –2,467 –2,048 –1,701 –1,313 –0,855 –0,530 –0,256 28

29 3,396 –2,756 –2,462 –2,045 –1,699 –1,311 –0,854 –0,530 –0,256 29

30 3,385 –2,750 –2,457 –2,042 –1,697 –1,310 –0,854 –0,530 –0,256 30


245

31 3,375 –2,744 –2,453 –2,040 –1,696 –1,309 –0,853 –0,530 –0,256 31

32 3,365 –2,738 –2,449 –2,037 –1,694 –1,309 –0,853 –0,530 –0,255 32

33 3,356 –2,733 –2,445 –2,035 –1,692 –1,308 –0,853 –0,530 –0,255 33

34 3,348 –2,728 –2,441 –2,032 –1,691 –1,307 –0,852 –0,529 –0,255 34

35 3,340 –2,724 –2,438 –2,030 –1,690 –1,306 –0,852 –0,529 –0,255 35

dk 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 dk

36 3,333 –2,719 –2,434 –2,028 –1,688 –1,306 –0,852 –0,529 –0,255 36

37 3,326 –2,715 –2,431 –2,026 –1,687 –1,305 –0,851 –0,529 –0,255 37

38 3,319 –2,712 –2,429 –2,024 –1,686 –1,304 –0,851 –0,529 –0,255 38

39 3,313 –2,708 –2,426 –2,023 –1,685 –1,304 –0,851 –0,529 –0,255 39

40 3,307 –2,704 –2,423 –2,021 –1,684 –1,303 –0,851 –0,529 –0,255 40

41 3,301 –2,701 –2,421 2,020 1,683 1,303 0,850 0,529 0,255 41

42 3,296 –2,698 –2,418 2,018 1,682 1,302 0,850 0,528 0,255 42

43 3,291 –2,695 –2,416 2,017 1,681 1,302 0,850 0,528 0,255 43

44 3,286 –2,692 –2,414 2,015 1,680 1,301 0,850 0,528 0,255 44

45 3,281 –2,690 –2,412 2,014 1,679 1,301 0,850 0,528 0,255 45

46 3,277 –2,687 –2,410 –2,013 –1,679 –1,300 –0,850 –0,528 –0,255 46

47 3,273 –2,685 –2,408 –2,012 –1,678 –1,300 –0,849 –0,528 –0,255 47

48 3,269 –2,682 –2,407 –2,011 –1,677 –1,299 –0,849 –0,528 –0,255 48

49 3,265 –2,680 –2,405 –2,010 –1,677 –1,299 –0,849 –0,528 –0,255 49

50 3,261 –2,678 –2,403 –2,009 –1,676 –1,299 –0,849 –0,528 –02,55 50

51 3,258 –2,676 –2,402 –2,008 –1,675 –1,298 –0,849 –0,528 –0,255 51

52 3,255 –2,674 –2,400 –2,007 –1,675 –1,298 –0,849 –0,528 –0,255 52

53 3,251 –2,672 –2,399 –2,006 –1,674 –1,298 –0,848 –0,528 –0,255 53

54 3,248 –2,670 –2,397 –2,005 –1,674 –1,297 –0,848 –0,528 –0,255 54

55 3,245 –2,668 –2,396 –2,004 –1,673 –1,297 –0,848 –0,527 –0,255 55

56 3,242 –2,667 –2,395 –2,003 –1,673 –1,297 –0,848 –0,527 –0,255 56

57 3,239 –2,665 –2,394 –2,002 –1,672 –1,297 –0,848 –0,527 –0,255 57

58 3,237 –2,663 –2,392 –2,002 –1,672 –1,296 –0,848 –0,527 –0,255 58

59 3,234 –2,662 –2,391 –2,001 –1,671 –1,296 –0,848 –0,527 –0,254 59

60 3,232 –2,660 –2,390 –2,000 –1,671 –1,296 –0,848 –0,527 –0,254 60

61 3,229 –2,659 –2,389 –2,000 –1,670 –1,296 –0,848 –0,527 –0,254 61

62 3,227 –2,657 –2,388 –1,999 –1,670 –1,295 –0,847 –0,527 –0,254 62

63 3,225 –2,656 –2,387 –1,998 –1,669 –1,295 –0,847 –0,527 –0,254 63

64 3,223 –2,655 –2,386 –1,998 –1,669 –1,295 –0,847 –0,527 –0,254 64

65 3,220 –2,654 –2,385 –1,997 –1,669 –1,295 –0,947 –0,527 –0,254 65


246

66 3,218 –2,652 –2,384 –1,997 –1,668 –1,295 –0,847 –0,527 –0,254 66

67 3,216 –2,651 –2,383 –1,996 –1,668 –1,294 –0,847 –0,527 –0,254 67

68 3,214 –2,650 –2,382 –1,995 –1,668 –1,294 –0,847 –0,527 –0,254 68

69 3,213 –2,649 –2,382 –1,995 –1,667 –1,294 –0,847 –0,527 –0,254 69

70 3,211 –2,648 –2,381 –1,994 –1,667 –1,294 –0,847 –0,527 –0,254 70

71 3,209 –2,647 –2,380 –1,994 –1,667 –1,294 –0,847 –0,527 –0,254 71

72 3,207 –2,646 –2,379 –1,993 –1,666 –1,293 –0,847 –0,527 –0,254 72

73 3,206 –2,645 –2,379 –1,993 –1,666 –1,293 –0,847 –0,527 –0,254 73

74 3,204 –2,644 –2,378 –1,993 –1,666 –1,293 –0,847 –0,527 –0,254 74

75 3,202 –2,643 –2,377 –1,992 –1,665 –1,293 –0,846 –0,527 –0,254 75

dk 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 dk

76 3,201 –2,642 –2,376 –1,992 –1,665 –1,293 –0,846 –0,527 –0,254 76

77 3,199 –2,641 –2,376 –1,991 –1,665 –1,293 –0,846 –0,527 –0,254 77

78 3,198 –2,640 –2,375 –1,991 –1,665 –1,292 –0,846 –0,527 –0,254 78

79 3,197 –2,640 –2,374 –1,990 –1,664 –1,292 –0,846 –0,527 –0,254 79

80 3,195 –2,639 –2,374 –1,990 –1,664 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 80

81 3,194 –2,638 –2,373 –1,990 –1,664 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 81

82 3,193 –2,637 –2,373 –1,989 –1,664 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 82

83 3,191 –2,636 –2,372 –1,989 –1,663 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 83

84 3,190 –2,636 –2,372 –1,989 –1,663 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 84

85 3,189 –2,635 –2,371 –1,988 –1,663 –1,292 –0,846 –0,526 –0,254 85

86 3,188 –2,634 –2,370 –1,988 –1,663 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 86

87 3,187 –2,634 –2,370 –1,988 –1,663 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 87

88 3,185 –2,633 –2,369 –1,987 –1,662 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 88

89 3,184 –2,632 –2,369 –1,987 –1,662 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 89

90 3,183 –2,632 –2,368 –1,987 –1,662 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 90

91 3,182 –2,631 –2,368 –1,986 –1,662 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 91

92 3,181 –2,630 –2,368 –1,986 –1,662 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 92

93 3,180 –2,630 –2,367 –1,986 –1,661 –1,291 –0,846 –0,526 –0,254 93

94 3,179 –2,629 –2,367 –1,986 –1,661 –1,291 –0,845 –0,526 –0,254 94

95 3,178 –2,629 –2,366 –1,985 –1,661 –1,291 –0,845 –0,526 –0,254 95

96 3,177 –2,628 –2,366 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 96

97 3,176 –2,627 –2,365 –1,985 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 97

98 3,175 –2,627 –2,365 –1,984 –1,661 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 98


247

99 3,175 –2,626 –2,365 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 99

100 3,174 –2,626 –2,364 –1,984 –1,660 –1,290 –0,845 –0,526 –0,254 100

3,090 –2,576 –2,326 –1,960 –1,645 –1,282 –0,842 –0,524 –0,253

dk 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 dk

1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,309 1

2 0,289 0,617 1,961 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 2

3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 3

4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 4

5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 5

6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 6

7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 7

8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3.355 4,501 8

9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 9

10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 10

0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 11

0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 12

0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 13

0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 14

0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 15

0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 16

0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 17

0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 18

0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 19

0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 20

0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 21

0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 22

0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 23

0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 24

0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 25

0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 26

0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 27

0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 28

0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 29

0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 30


248

0,256 0,530 0,853 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,375 31

0,255 0,530 0,853 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,365 32

0,255 0,530 0,853 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,356 33

0,255 0,529 0,852 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,348 34

0,255 0,529 0,852 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,340 35

0,255 0,529 0,852 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,333 36

0,255 0,529 0,851 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,326 37

0,255 0,529 0,851 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,319 38

0,255 0,529 0,851 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,313 39

0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 40

dk 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 dk

0,255 0,529 0,850 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,301 41

0,255 0,528 0,850 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,296 42

0,255 0,528 0,850 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,291 43

0,255 0,528 0,850 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,286 44

0,255 0,528 0,850 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 3,281 45

0,255 0,528 0,850 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,277 46

0,255 0,528 0,849 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,273 47

0,255 0,528 0,849 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,269 48

0,255 0,528 0,849 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,265 49

0,255 0,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261 50

0,255 0,528 0,849 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 3,258 51

0,255 0,528 0,849 1,298 1,675 2,007 2,400 2,674 3,255 52

0,255 0,528 0,848 1,298 1,674 2,006 2,399 2,672 3,251 53

0,255 0,528 0,848 1,297 1,674 2,005 2,397 2,670 3,248 54

0,255 0,527 0,848 1,297 1,673 2,004 2,396 2,668 3,245 55

0,255 0,527 0,848 1,297 1,673 2,003 2,395 2,667 3,242 56

0,255 0,527 0,848 1,297 1,672 2,002 2,394 2,665 3,239 57

0,255 0,527 0,848 1,296 1,672 2,002 2,392 2,663 3,237 58

0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,001 2,391 2,662 3,234 59

0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 60

0,254 0,527 0,848 1,296 1,670 2,000 2,389 2,659 3,229 61

0,254 0,527 0,847 1,295 1,670 1,999 2,388 2,657 3,227 62

0,254 0,527 0,847 1,295 1,669 1,998 2,387 2,656 3,225 63

0,254 0,527 0,847 1,295 1,669 1,998 2,386 2,655 3,223 64

0,254 0,527 0,847 1,295 1,669 1,997 2,385 2,654 3,220 65


249

0,254 0,527 0,847 1,295 1,668 1,997 2,384 2,652 3,218 66

0,254 0,527 0,847 1,294 1,668 1,996 2,383 2,651 3,216 67

0,254 0,527 0,847 1,294 1,668 1,995 2,382 2,650 3,214 68

0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,995 2,382 2,649 3,213 69

0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3,211 70

0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,380 2,647 3,209 71

0,254 0,527 0,847 1,293 1,666 1,993 2,379 2,646 3,207 72

0,254 0,527 0,847 1,293 1,666 1,993 2,379 2,645 3,206 73

0,254 0,527 0,847 1,293 1,666 1,993 2,378 2,644 3,204 74

0,254 0,527 0,846 1,293 1,665 1,992 2,377 2,643 3,202 75

0,254 0,527 0,846 1,293 1,665 1,992 2,376 2,642 3,201 76

0,254 0,527 0,846 1,293 1,665 1,991 2,376 2,641 3,199 77

0,254 0,527 0,846 1,292 1,665 1,991 2,375 2,640 3,198 78

0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,640 3,197 79

0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 80

dk 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 dk

0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,373 2,638 3,194 81

0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,989 2,373 2,637 3,193 82

0,254 0,526 0,846 1,292 1,663 1,989 2,372 2,636 3,191 83

0,254 0,526 0,846 1,292 1,663 1,989 2,372 2,636 3,190 84

0,254 0,526 0,846 1,292 1,663 1,988 2,371 2,635 3,189 85

0,254 0,526 0,846 1,291 1,663 1,988 2,370 2,634 3,188 86

0,254 0,526 0,846 1,291 1,663 1,988 2,370 2,634 3,187 87

0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,369 2,633 3,185 88

0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,369 2,632 3,184 89

0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,368 2,632 3,183 90

0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,986 2,368 2,631 3,182 91

0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,986 2,368 2,630 3,181 92

0,254 0,526 0,846 1,291 1,661 1,986 2,367 2,630 3,180 93

0,254 0,526 0,845 1,291 1,661 1,986 2,367 2,629 3,179 94

0,254 0,526 0,845 1,291 1,661 1,985 2,366 2,629 3,178 95

0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 1,985 2,366 2,628 3,177 96

0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 1,985 2,365 2,627 3,176 97

0,254 0,526 0,845 1,290 1,661 1,984 2,365 2,627 3,175 98

0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,175 99

0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 100

0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 ∞


250

Lampiran 2

Tabel 2 Distribusi F


251


252

BAB IX

STATISTIKA NON-PARAMETRIK

Rudy Hartono

PENDAHULUAN

Setiap bahasan metode mengkombinasikan konsep, prosedur, contoh-contoh soal,

latihan-latihan soal, maupun jawaban latihan soal. Tujuannya adalah agar memudahkan

pembaca memahami konsep, membiasakan diri dengan prosedur dan formula metode

statistik non-parametrik, maupun melihat persoalan-persoalan yang bias dipecahkan dengan

metode-metode itu. Latihan soal beserta jawabannya memungkinkan mahasiswa untuk

dapat belajar sendiri.

Setelah kita mempelajari Bab VIII, banyak manfaat statistik parametrik yang dapat

diaplikasikan dalam segala bidang, utamanya di bidang farmasi. Aplikasi di bidang

statistiknon-parametrik. Bagaimana menyederhanakan data farmasi, sehingga lebih mudah

untuk dipahami dan mengerti utamanya buat pengambilan keputusan akan lebih mudah

dengan mempelajari tentang statistik deskriptif.

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa akan dapat :

1. Menjelaskan definisi statistik non-parametrik

2. menjelaskan syarat-syarat penggunaan statistik non-parametrik

3. kelebihan dan kekurangan statistik nonparametrik

4. menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji wilcoxon, Mc Nemar dan

Mann Whitney

5. menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan korelasi spearman.

6. Menganalisis dan menarik kesimpulan menggunakan uji chi square


253

Topik 1

Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik

DEFINISI STATISTIK NON-PARAMETRIK

Statistik inferensial merupakan alat untuk merancang penelitian, menganalisis data,

dan menarik kesimpulan tentang populasi dari data sampel. Namun sebelum melakukan

proses generalisasi tersebut, kita perlu mengetahui sifat-sifat data sampel itu sendiri.

Statistik deskriptif berfungsi mengembangkan indikator dan ukuran yang dapat

menggambarkan karakteristik data yang telah dikumpulkan dan ditabulasi. Ukuran statistik

yang lazim dipakai untuk menggambarkan data penelitian dan survei ialah ukuran tendensi

sentral, ukuran dispersi, ukuran fraktil, ukuran hubungan (dalam hal ini korelasi) dan lain-

lain.

Statistik inferensial berdasarkan ruang lingkupnya terdiri atas statistik parameterik dan

statistik non-parametrik. Statistik parametrik telah dibahas pada Bab 7 sebelumnya.

Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi

normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur

adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas

distribusi (free distribution).

1. Istilah - Istilah

Konsep dan metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi, farmasi,

kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari Biostatistik.

Observasi yang biasa juga disebut dengan pengamatan adalah suatu peristiwa yang

disertai dengan pengukuran atau perhitungannya, contohnya dosis obat paracetamol adalah

suatu peristiwa atau kejadian dan 500 mg adalah pengukuran.

Unit observasi yang juga disebut unit pengamatan merupakan sumber pengamatan,

contohnya orang atau obyek. Istilah yang lebih khas adalah individu atau subyek.

Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau

keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan

pengukuran-pengukurannya). Definisi populasi harus jelas dan ketat, sehingga mudah untuk

menghitung atau mengukurnya, contohnya semua balita di Kota Makassar, semua lanjut usia

yang berumur 60 – 70 tahun, semua wanita usia subur yang belum menikah, semua

penderita psikosomatik, dan semua dokter Pegawai Tidak tetap (PTT) di Sulawesi Selatan.

Populasi statistik dapat juga berupa panjang badan, kadar vitamin A dalam serum,

pembacaan hasil titrasi, jumlah sel eritrosit dalam darah manusia, dan lain sebagainya.

Populasi terdiri atas 2 yaitu pertama populasi yang dapat dihitung (finite) dan kedua populasi

yang tidak terhitung dan tak terbatas (infinite).


254

Unit sampel adalah setiap anggota populasi.

Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama

atau kelompok dari unit-unit sampel. Misalnya kita mempunyai populasi terdiri atas orang

yang resinten terhadap antibiotik di Indonesia. Jika data yang digunakan untuk menganalisis

hanya orang di 5 propinsi di Indonesia, berarti kita hanya memiliki sebagian dari orang yang

resisten terhadap antibiotik pada popualsi, dan disebut dengan sampel. Beberapa teknik

dalam mengambil sampel dari suatu populasi, cara, teknik atau metode ini disebut sampling

(pencuplikan). Tujuan dari sampling adalah supaya didapatkan suatu sampel yang mewakili

(representatif) tentang ciri khas populasi dimana variabel-variabelnya akan dikumpulkan

datanya.

Data merupakan suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan.

Di sisi lain data adalah kumpulan dari beberapa fakta.

Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai.

Misalnya variabel kadar parasetamol dalam 1 sendok teh dalam bentuk sirup, umur pasien

yang mengunjungi apotik di suatu rumah sakit, dan usia balita yang mengunjungi dokter

spesialis anak di Makassar.

Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan

karakteristik atau hubungan antar variabel populasi, contohnya rata-rata, varians,

simpangan baku, dan proporsi. Misalnya rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk

mengambil obat, atau angka kelahiran, angka kesakitan dan angka kematian. Istilah

parameter yang digunakan selalu berhubungan dengan populasi dan sering dirancukan

dengan istilah statistik yang mengarah ke sampel.

Peluang atau disebut juga dengan probabilitas adalah frekuensi relatif atau rata-rata

peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara rata-rata atau dalam

jangka panjang. Misalnya : peluang untuk sembuh setelah berobat dengan teknologi tinggi,

peluang interaksi penggunaan beberapa obat pada satu kali minum, peluang kegagalan

pengobatan jika menggunakan obat-obat yang belum terstandarisasi. Peluang dinyatakan

dalam bentuk angka, mulai dari 0 hingga 1. Contohnya, probabilitas untuk memperoleh bayi

laki-laki adalah sekali dalam 10 kehamilan atau 1/10, probabilitas memperoleh siswa yang

mempunyai Intelectual Questions (IQ) 200 adalah 1 dari 50 anak atau 1/50.

Nilai Sentral tendensi adalah ukuran pusat tendensi yang menggunakan

kecenderungan nilai-nilai pengamatan memusat pada suatu titik. Ukuran tendensi sentral

yaitu mean, median dan modus. Ketiga nilai sentral tendensi tersbut adalah yang terpenting.

Modus merupakan nilai atau angka yang mempunyai frekuensi kemunculan yang tersering

atau terbanyak. Mean merupakan rerata aritmatik yang bisa diperoleh dengan

menambahkan seluruh nilai dalam sampel dan membaginya dengan seluruh sampel. Median

merupakan nilai atau angka yang berada di tengah suatu set data yang telah diurutkan

(array). Contoh dapat dilihat kembali pada Bab 7 yang telah dibahas sebelumnya.

Ukuran dispersi atau disebut juga ukuran penyebaran yang menggambarkan sejauh

mana nilai-nilai pengamatan menyebar dari rerata aritmatiknya. Ukuran dispersi yang

penting adalah simpangan baku dan kuadrat dari simpangan baku yang disebut varians.


255

Semakin besar nilai simpangan baku menunjukkan bahwa makin lebar penyebaran dari nilai-

nilai observasi.

Statistik non-parametrik yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk

sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik non-parametrik

biasanya menggunakan data kualitatif, yakni nominal dan ordinal.

2. Model Matematik

Penggunaan model matematik tertentu selalu menyangkut sifat populasi dan cara

mengambil sampel pada populasi. Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik

baru bisa dikatakan valid (sahih) jika ada 2 asumsi berikut ini yang dipenuhi sebagai berikut :

a. Asumsi model matematik uji

b. Teknik pengukuran variabel

Semakin kuat asumsi yang mendasari suatu uji, makin sempit generalisasi

penerapannya, semakin kecil kemungkinan kesalahan inferensi, dan semakin besar kuasa

statistik ujinya. Kebalikannya, semakin sedikit asumsi mendasari suatu uji semakin luas

generalisasi penerapannya, semakin besar kemungkinan kesalahan inferensi dan semakin

kecil kuasa statistik uji tersebut. Uji parametrik, contohnya uji t dan F, menggunakan

sejumlah asumsi yang kuat. Jika semua asumsi bisa dipenuhi , uji t atau uji F mempunyai

kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric yang penggunaannya sama. Istilah lain

adalah lebih mampu untuk menolak Ho, ketika Ho memang salah dari pada uji non

parametric yang menggunakan asumsi lebih sedikit. Supaya penggunaan uji t memiliki kuasa

yang besar, paling tidak kondisi-kondisi di bawah ini perlu dipenuhi :

a. Pengamatan dilakukan independen, artinya nilai satu pengamatan tidak boleh

mempengaruhi nilai pengamatan lainnya.

b. Sampel berasal dari populasi yang mempunyai distribusi normal

c. Dalam analisis dua kelompok, populasi-populasi asal kedua kelompok memiliki varians

yang sama, atau sedikitnya rasio varians keduanya diketahui

d. Variabel diukur minimal dalam skala interval.

Jika data yang akan dianalisis memenuhi asumsi di atas, penggunaan uji statistic

parametric, misalnya uji t dan uji F tersebut di atas, adalah pilihan utama, sebab mempunyai

kuasa yang lebih besar dari pada uji non parametric. Selanjutnya apa yang dapat dilakukan

jika situasi tersebut tidak dapat dipenuhi. Bagaimana jika populasi tidak berdistribusi

normal? Bagaimana jika variabel tidak diukur dalam skala interval? Dan bagaimana jika

varians populasi tidak sama, saat akan dibandingkan sejumlah kelompok?

Secara empiris menunjukkan bahwa sebagian data riset mengandung sedikit

penyimpangan asumsi, tanpa memberikan perbedaan pengaruh terhadap keputusan

statistik. Sampai saat ini belum adanya standar baku tentang kapan penyimpangan asumsi

bisa dikatakan “sedikit” sehingga “boleh tidak terpenuhi” dan kapan dikatakan “banyak”

sehingga “hasil analisis tidak valid”. Situasi saat ini uji statistik non paramterik mempunyai


256

peran penting sebagai uji alternatif yang setara. Uji statistic non parametric dapat memiliki

kuasa statistik yang sebanding dengan uji parametric, asalkan besar sampel cukup besar.

3. Variabel dan Skala Pengukuran

Seperti telah diketahui sebelumnya bahwa variabel adalah suatu konsep atau

fenomena alam yang mempunyai variasi nilai. Di mana variasi nilai tersebut dapat diukur

baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Berdasarkan metode riset dengan rancangan

eksperimen murni, variasi nilai dapat dimanipulasi menurut keperluan penelitian. Observasi

dan pengukuran variabel akan menghasilkan data. Misalnya suatu penelitian melihat

pengaruh kontrasepsi oral terhadap tekanan darah sistolik. Pada penelitian ini kontrasepsi

oral merupakan suatu variabel yang secara kualitatif dapat diamati dan akan menghasilkan

data kategoarikal yaitu menggunakan kontrasepsi oral dan tidak menggunakan kontrasepsi

oral.

Cara klasifikasi variabel akan sangat penting dalam pembagian menurut tingkat

pengukuran. Berdasarkan teknik ini variabel diklasifikasikan menjadi: variabel nominal,

ordinal, interval dan rasio.

Variabel nominal tidak lain adalah kategori yang diberi nama. Kategori tersebut dapat

diurutkan maupun diberi peringkat. Tidak dapat dibedakan apakah kategori yang satu

mempunyai tingkat yang lebih tinggi dengan kategori yang lain. Misalnya : seks, suku,

bangsa, negara, nama, alamat, warna, suku dan lain sebagainya.

Variabel ordinal merupakan kategori yang dapat diurutkan atau diberi peringkat.

Sudah dapat dibedakan antara kategori satu dengan kategori lainnya, tetapi tidak dapat

diketahui besarnya perbedaan tersebut. Misalnya peringkat kelas (peringkat I, II, II dan

seterusnya), nilai prestasi mahasiswa (A, B, C, D dan E), skala sikap (sangat setuju, setuju,

kurang setuju, tidak setuju, sangat tidak setuju).

Variabel interval adalah variabel yang perbedaan antara nilai pengamatan yang satu

dengan lainnya dapat diketahui dengan pasti dan merupakan bentuk angka/bilangan,

mempunyai nilai nol tidak mutlak/absolut. Misalnya suhu dalam derajat Celsius, pendapatan,

pengeluaran, dan lain sebagainya.

Variabel rasio merupakan bagian dari variabel interval tetapi mempunyai nilai nol yang

mutlak/absolut. Contohnya tinggi badan, berat badan, luas, waktu. Sebagaimana variabel

rasio tinggi badan si Alif 195 cm tidak hanya boleh dikatakan berselisih 65 cm dengan tinggi

badan si Andi 130 cm, tetapi dapat juga dibuat kesimpulan bahwa tinggi si Alif adalah 1,5 kali

tinggi badan si Andi.

4. Syarat Penggunaan Statistik Non-Parametrik

Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut :

a. Data tidak berdistribusi normal

b. Umumnya data berskala nominal dan ordinal

c. biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi

d. Umumnya jumlah sampel kecil


257

Kelebihan dan kekurangan statistik non-parametrik

Kelebihan:

a. Tidak membutuhkan asumsi normalitas.

b. Secara umum metode statistik non-parametrik lebih mudah dikerjakan dan lebih mudah dimengerti jika dibandingkan dengan statistik parametrik karena statistika non-parametrik tidak membutuhkan perhitungan matematik yang rumit seperti halnya statistik parametrik.

c. Statistik non-parametrik dapat digantikan data numerik (nominal) dengan jenjang (ordinal).

d. Kadang-kadang pada statistik non-parametrik tidak dibutuhkan urutan atau jenjang secara formal karena sering dijumpai hasil pengamatan yang dinyatakan dalam data kualitatif.

e. Pengujian hipotesis pada statistik non-parametrik dilakukan secara langsung pada pengamatan yang nyata.

f. Walaupun pada statistik non-parametrik tidak terikat pada distribusi normal populasi, tetapi dapat digunakan pada populasi berdistribusi normal.

Kekurangan : a. Statistik non-parametrik terkadang mengabaikan beberapa informasi tertentu. b. Hasil pengujian hipotesis dengan statistik non-parametrik tidak setajam statistik

parametrik. c. Hasil statistik non-parametrik tidak dapat diekstrapolasikan ke populasi studi seperti

pada statistik parametrik. Hal ini dikarenakan statistik non-parametrik mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua kelompok tertentu.

d. Meski konsep dan prosedur non-parametrik sederhana, tetapi pekerjaan hitung-menghitung bisa membutuhkan banyak waktu jika ukuran sampel yang dianalisis besar

Latihan

1) Metode analisis data yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal disebut dengan

statistik .... A. parametrik B. non parametrik C. inferensial D. deskriptif

2) Jika untuk menguji hipotesis tetapi variabel yang diukur menghasilkan data kualitatif

maka selayaknya digunakan statistik ....

A. inferensial

B. non parametrik

C. parametrik

D. deskriptif


258

3) Ukuran statistik yang sering digunakan untuk menggambarkan data penelitian dan

survey, kecuali ....

A. Tendensi sentral

B. Fraktil

C. Dispersi

D. Adiksi

4) Statistik deskriptif berfungsi menggambarkan karakteristik data yang telah

dikumpulkan dan ditabulasi untuk mengembangkan ....

A. indikator

B. presisi

C. prevalensi

D. prediksi

5) Konsep maupun metode tentang statistik yang diterapkan ke dalam ilmu biologi,

farmasi, kesehatan, dan kedokteran bidang ilmu tersebut merupakan bagian dari ....

A. biostatistik

B. biografi

C. biosains

D. bioteknologi

6) Dosis obat natrium diklofenak adalah suatu peristiwa dan 25 mg adalah pengukuran,

contoh tersebut merupakan ....

A. observasi

B. konsep

C. fenomena

D. kategori

7) Individu atau obyek adalah unit ....

A. konsep

B. observasi

C. kategori

D. fenomena

8) Sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya disebut dengan ....

A. sampel

B. populasi

C. sampling

D. sub populasi


259

9) Populasi yang jumlahnya tidak terhitung dan tak terbatas disebut dengan ....

A. infinite

B. future

C. finite

D. infuture

10) Semua penderita HIV/AIDS di dunia, merupakan populasi ....

A. finite

B. infinite

C. constan

D. constanta

Ringkasan

Statistik non parametrik adalah statistik yang tidak menggunakan asumsi distribusi

normal sehingga lebih mudah dalam menyelesaikannya serta data dari variabel yang diukur

adalah data kualitatif (nominal atau ordinal) atau biasa disebut juga dengan statistik bebas

distribusi (free distribution).

Populasi merupakan sekumpulan subyek yang hendak diketahui karakteristiknya atau

keseluruhan dari subyek ataupun elemen penelitian lainnya (contohnya benda dan

pengukuran-pengukurannya).

Unit sampel adalah setiap anggota populasi.

Sampel merupakan sebagian dari populasi yang mempunyai karakteristik yang sama

atau kelompok dari unit-unit sampel.

Variabel merupakan suatu konsep atau fenomena alam yang mempunyai variasi nilai.

Parameter merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan

karakteristik atau hubungan antar variabel populasi.

Statistik non-parametrik dapat digunakan jika memenuhi syarat sebagai berikut :

1. Data tidak berdistribusi normal

2. Umumnya data berskala nominal dan atau ordinal

3. biasanya pada penelitian kesehatan atau kedokteran/farmasi

4. Umumnya jumlah sampel kecil

Tes 1

1) Tujuan dari sampling adalah agar didapatkan tentang ciri khas populasi di mana

variabel-variabelnya akan dikumpulkan datanya pada suatu sampel yang ....

A. representatif

B. prediktif

C. konstruktif

D. fakultatif


260

2) Suatu set nilai yang dicatat dari sebuah atau lebih unit pengamatan disebut ....

A. fakta

B. informasi

C. data

D. isu

3) Rata-rata lama waktu tunggu pasien untuk mengambil obat merupakan contoh dari ....

A. peluang

B. parameter

C. variabel

D. indikator

4) Statistik pada akhirnya membuat kesimpulan mengarah ke sampel, sedangkan yang

mengarah ke populasi adalah ....

A. indikator

B. probabilitas

C. variabel

D. parameter

5) Frekuensi relatif peluang terjadinya suatu peristiwa yang dapat diharapkan secara rata-

rata atau dalam jangka panjang disebut ....

A. probabilitas

B. matematik

C. exactly

D. inferensial

6) Yang termasuk dalam nilai sentral tendensi di bawah ini adalah ....

A. range

B. simpangan baku

C. modus

D. varians

7) Tidak termasuk dalam nilai penyebaran di bawah ini adalah ....

A. mean

B. standar error

C. median

D. modus

8) Setiap uji statistik yang menggunakan suatu uji statistik baru bisa dikatakan valid

(sahih) jika dipenuhi oleh, kecuali ....

A. asumsi model matematik uji


261

B. teknik peningkatan variabel

C. hipotesis

D. parameter

9) Data kuantitatif pada suatu variabel tetapi tidak mempunyai distribusi yang normal,

maka untuk menguji hipotesis harus menggunakan statistik ....

A. inferensial

B. parametrik

C. non parametrik

D. deskriptif

10) Mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya membandingkan dua

kelompok tertentu, maka hasil statistik non-parametrik tidak dapat di ....

A. ekstrapolasi

B. polarisasi

C. ekstradisi

D. tradisi


262

Topik 2

Aplikasi Statistik Non Parametrik

Aplikasi penggunaan statistik non parametrik setelah mempelajari konsep dasarnya

sebagai berikut yaitu Uji Wilcoxon, Uji Mc Nemar, Uji Mann Whitney, Korelasi Spearman dan

Uji Chi Square.

A. UJI WILCOXON

Uji Wilcoxon terdiri atas tiga macam yaitu uji jenjang bertanda Wilcoxon, uji jumlah

jenjang Wilcoxon dan uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon.

1. Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Signed Rank Test). Uji ini ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945. Uji ini disebut pula sebagai uji

pasangan bertanda Wilcoxon (Wilcoxon’s Pairs Sign Rank Test). Uji jenjang bertanda Wicoxon merupakan pengembangan dari uji tanda. Di samping tanda + atau – perbedaan pada uji ini juga memperhatikan nilai beda. Persyaratan datanya sama dengan uji tanda. Cara analisis uji jenjang bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut :

a. Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y X dari terkecil ke terbesar tanpa

memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y X sama besarnya, maka

jenjang untuk tiap-tiap Y X adalah jenjang rata-ratanya.

b. Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan.

c. Jumlahkan T semua jenjang bertanda + dan -.

d. Jumlah jenjang T yang terkecil bandingkan dengan nT

. 0H ditolak bila : hit nT T

.

Contoh : Pengaruh penyuluhan terhadap sanitasi pasar yang telah diuji dengan uji tanda

tersebut di atas akan diuji dengan uji jenjang bertanda Wilcoxon.

Penjual Penyuluhan Beda Rank

+ - Sebelum X Sesudah Y Y X Y X

A

B

C

D

E

F

G

H

I

23

40

35

24

17

32

27

32

25

21

48

45

22

19

37

29

38

24

-2

+8

+10

-2

+2

+5

+2

+6

-1

5

9

10

4

3

6

2

7

1

3.5

9

10

3.5

3.5

6

3.5

7.5

1

9

10

3.5

6

3.5

7.5

3.5

3.5

1


263

Penjual Penyuluhan Beda Rank


J

K

30

41

36

30

+6

-11

8

11

7.5

11

7.5

11

T 47 19

0,05 11

19

11

T

T

0H diterima, jadi penyuluhan tidak memperbaiki sanitasi pasar. Berikut out put SPSS dari

data di atas :


N Mean Std. Deviation Minimum Maximum

PRE 11 29.6364 7.35218 17.00 41.00

POST 11 31.7273 9.83962 19.00 48.00

Wilcoxon Signed Ranks Test

Ranks

N Mean Rank Sum of Ranks

POST - PRE Negative

Ranks 4(a) 4.75 19.00

Positive

Ranks 7(b) 6.71 47.00

Ties 0(c)

Total 11

a POST < PRE

b POST > PRE

c POST = PRE

Test Statistics(b)

POST - PRE

Z -1.252(a)

Asymp. Sig. (2-tailed) .211

a. Based on negative ranks.

b. Wilcoxon Signed Ranks Test

Bila 25n , maka perhitungannya dengan uji Z yaitu:

( 1)(2 1)

24T

n n n


264

hit

( 1)

4T

T T

T

n n

Z

0H diterima bila : hit 1 1

2 2

Z Z

2. Uji Jumlah Jenjang Wilcoxon(Wilcoxon’s Rank Sum Test)

Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan untuk membandingkan

perbedaan antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji t untuk dua sampel bebas.

Langkah-langkah analisisnya sebagai berikut :

a. Gabungkan kedua sampel dan berikan jenjang tiap tiap anggotanya dari yang terkecil

ke terbesar. Bila ada dua atau lebih nilai yang sama besarnya berikan jenjang rata-

ratanya.

b. Jumlahkan masing-masing cuplikan misalnya 1T dan 2T

c. Nilai T yang terkecil bandingkan dengan 1 2,n nT

d. Kriteria pengambilan keputusan adalah : 0H ditolak bila 1 2,n nT T

Contoh :

Data berikut ini adalah nilai tarik suara darma wanita FK dan FKG masing-masing sebanyak

10 orang. Buktikan apakah terdapat perbedaan kualitas suara tersebut 0,05 .

Nama

peserta

FK

Nilai Rank Nama

peserta

FKG

Nilai Rank

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

16

12

18

19

14

13

18

19

15

10

7

2

10

12

4

3

9

13

5

1

7.5

2

10

13.5

4

3

10

13.5

5.5

1

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

16

15

19

23

25

21

26

20

18

19

8

6

14

18

19

17

20

16

11

15

7.5

5.5

13.5

18

19

17

20

16

10

13.5

1 70T 2 140T

1 70T dan 0,05 10,1078T , maka 0H ditolak, jadi kualitas suara tersebut berbeda nyata.

Apabila 1n atau 2n atau keduanya > 20, maka analisisnya dengan uji Z.


265

1 2hit

1 2 1 2

( 1) 2

( 1)

3

n n n TZ

n n n n

Di mana :

N = jumlah sampel dengan jumlah jenjang terkecil (T )

T = jumlah jenjang terkecil



0H diterima bila hit 1 1

2 2

Z Z

Ranks

kelompok N Mean Rank Sum of Ranks

kualitas suara paduan suara FK 10 7.00 70.00

paduan suara FKG 10 14.00 140.00

Total 20

Test Statistics(b)

kualitas suara

Mann-Whitney U 15.000

Wilcoxon W 70.000

Z -2.662

Asymp. Sig. (2-tailed) .008

Exact Sig. [2*(1-tailed

Sig.)] .007(a)

a Not corrected for ties.

b Grouping Variable: kelompok

3. Uji Jumlah Jenjang Berstrata Wilcoxon (Wilcoxon’s Stratified Rank Sum Test)

Uji ini dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa kelompok /

strata dan jumlah sampel n pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau dibandingkan dengan

uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon mirip uji F pada rancangan

acak kelompok.

Langkah-langkah analisisnya mirip dengan uji jumlah bertanda Wilcoxon.

Perbedaannya, bahwa pemberian jenjang dilakukan pada tiap-tiap strata secara terpisah.

Selanjutnya jenjang untuk tiap-tiap perlakuan dijumlahkan. Jumlah jenjang yang terkecil T

dibandingkan dengan ,g nT


266

Kriteria penarikan keputusan adalah :

0H ditolak bila ,g n

T T

g = jumlah strata

n = jumlah sampel tiap-tiap strata.

Contoh :

Data berikut ini adalah nilai libido dua kelompok penderita impotensia yang berbadan

gemuk dan kurus setelah disuntik hormon testoteron buatan pabrik A dan B.

Buktikan apakah kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut berbeda

0,01

Berat

Badan

Hormon Testoteron

Pabrik A Pabrik B

(Nilai) (Rank) (Nilai) (Rank)

Gemuk 14

19

18

19

15

1

5,5

3,5

5,5

2

26

25

21

20

18

10

9

8

7

3.5

Kurus 18

12

10

13

16

7

2

1

3

5,5

19

16

15

23

19

8,5

5,5

4

10

8,5

1 36T 2 74T

36T

0,01 2,538T , maka 0H ditolak berarti kualitas testoteron buatan pabrik A dan B tersebut

berbeda nyata.

Untuk membuktikan perbedaan libido antara penderita gemuk dengan kurus yang

disuntik hormon testoteron A dan B cukup dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon.

B. UJI MC NEMAR

Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau

variabel – variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel itu

harus berskala nominal dan dikotomi, misalnya setuju – tidak setuju, mati – hidup, dan

sebagainya.

Pada buku-buku tertentu maka uji ini disebut uji simetri yang bertujuan membuktikan

hipotesis probabilitas “setuju” sebelum perlakuan sama dengan sesudah perlakuan :

setuju sebelum setuju sesudahP P


267

Model ini didasarkan pada kenyataan bahwa ada beberapa kasus yang mengalami

perubahan “ tanggap “ setelah diberi suatu perlakuan. Untuk keperluan ini maka kita akan

menghitung setiap perubahan sikap pada setiap kasus artinya kita akan menghitung :

1. Berapa orang yang asalnya setuju menjadi tak setuju

2. Berapa orang yang asalnya setuju tetap setuju

3. Berapa orang yang asalnya tak setuju menjadi setuju

4. Berapa orang yang asalnya tak setuju tetap tak setuju

Angka-angka itu kita masukkan dalam format tabel kategorik 2 × 2 sebagai berikut :

Sesudah

Sikap Setuju Tak Setuju

Sebelum Setuju A B

Tak Setuju C D

Syarat penggunaan:

Harga harapan (setengah dari jumlah yang mengalami perubahan sikap) harus lebih

dari atau sama dengan 5. atau bila dituliskan dalam bahasa matematik syarat itu berbunyi :

52

B C

Bila syarat itu tidak dipenuhi maka penyelesaiannya menggunakan Binomial Test.

Rumus yang digunakan : (bila syarat dipenuhi)

2

21

(Mc.Nemar)B C

B C

Untuk uji signifikansinya digunakan tabel chi kuadrat dengan derajat bebas db 1

dan 0,05 0H ditolak bila 2 2

hitung 0,05 1 tabel .

Contoh :

Berikut ini adalah hasil suatu penelitian perubahan sikap pemuka masyarakat terhadap

dihapuskannya restribusi sampah (data fiktif) :

Perubahan sikap

Setuju – setuju

Setuju – tidak

Tidak – tidak

Tidak – setuju

Cacah

16

11

1

4

2

211 4 1

2,411 4

2

0,05 13,841


268

Jadi 0H diterima, artinya probabilitas “setuju” pada keadaan sebelum penyuluhan

sama dengan setelah penyuluhan.

Berikut ini tampilan komputer dengan menggunakan program SPSS:

Test Statistics (a)

SEBELUM & SESUDAH

SEBELUM SESUDAH

Setuju Tidak setuju

Setuju 16 11

Tidak

setuju 4 1

Test Statistics (b)

SEBELUM & SESUDAH

N 32

Exact Sig. (2-tailed) .118(a)

a Binomial distribution used.

b McNemar Test

C. UJI MANN WHITNEY

Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya

terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama. Namun demikian, uji

Mann-Whitney juga dapat digunakan untuk menguji dua sampel berukuran sama. Bila

sampel 1 dan 2 masing-masing adalah 1 2 dan n n maka langkah-langkah pengujiannya

adalah sebagai berikut :

1. Gabungkanlah kedua sampel dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai

terbesar.

2. Hitunglah jumlah jenjang masing-masing sampel misalnya 1 2 dan T T

1 11 1 2 1

2 22 1 2 2

1

2( 1)

2

n nU n n T

n nU n n T

Nilai U yang terkecil bandingkan dengan 1 2,n nU

. Dengan kriteria penarikan

kesimpulan adalah : 0H diterima bila 1 2hit ,n nU U

.

Contoh :

Ingin diketahui mutu pakan ayam lokal buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Pakan buatan

pabrik A diberikan secara terpisah kepada 12 ekor ayam dan pakan buatan pabrik B


269

diberikan kepada 9 ekor ayam lainnya. Pertambahan berat badan (gram) tertera di bawah

ini.

Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70

Pakan B 77 82 84 81 74 79 83 83 83

Buktikan apakah ada perbedaan mutu kedua pakan tersebut di atas? 0,05 .

Pakan A 72 75 72 76 80 82 78 78 73 71 70 70

Rank 4,5 8 4,5 9 14 16,5 11,5 11,5 6 3 1,5 1,5

Pakan B 77 82 84 81 74 79 83 83 83

Rank 10 16,5 21 15 7 13 19 19 19

1 91,5T dan 2 139,5T

1

2

12(13)(12)(9) 91,5 94,5

29(10)

(12)(9) 139,5 13,52

U

U

0,05 12,926U

Karena 13,5 < 26 , maka 0H ditolak. Kesimpulan terdapat perbedaan mutu pakan ayam

buatan pabrik A dan buatan pabrik B. Out put komputer dapat dilihat sebagai berikut : Mann-Whitney Test

Ranks

12 7.63 91.50

9 15.50 139.50

21

KEL

1.00

2.00

Total

BB

N Mean Rank Sum of Ranks

Test Statis ticsb

13.500

91.500

-2.886

.004

.002a

Mann-Whitney U

Wilcoxon W

Z

Asymp. Sig. (2-tailed)

Exact Sig. [2*(1-tailed

Sig.)]

BB

Not corrected for ties.a.

Grouping Variable: KELb.


270

D. UJI KORELASI SPEARMAN

Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel

berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Dalam hal ini

seorang peneliti berhadapan dengan data yang terhimpun di dalam satu variabel dengan

subyek sebanyak 1, 2, 3,...,N N . Tiap subyek mempunyai dua variabel yang masing-masing

mempunyai skala ukuran ordinal atau lebih tinggi (interval, rasio) di mana asumsi pada

paragraf pertama tidak terpenuhi.

Teori

Misalkan subyek 1,2,...,N mempunyai variabel VAR-1 dan VAR – 2. Skor dari masing-

masing variabel diganti dengan peringkat. Bila ada skor yang sama (ties) maka dibuat rata-

rata peringkat. Sebaiknya untuk aturan / contoh ties lihat uji Friedman.

Untuk setiap subyek dihitung id yaitu selisih antara peringkat pada dua variabel pada subyek

ke – i , kemudian masing-masing di pangkatkan dua: 2id dan dijumlahkan: 2

1

N

ii

d

. Untuk lebih

jelasnya lihat tabel berikut:

Skor Peringkat id 2id

Skor Skor ... ... ... ...

Skor Skor ... ... ... ...

.

.

.

.

.

.

Skor Skor ... ... ... ...

Maka koefisien korelasi Spearman (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

2

13

6

1

N

ii

s

d

rN N

di mana N = jumlah subyek

Seperti koefisien korelasi Pearson, sr mempunyai nilai antara -1 sampai dengan +1. Cara

penafsiran sama dengan r .

Ties pada setiap variabel dihitung dengan rumus :

3

1

g

x i ii

T t t

di mana t = size of ties

3

1

g

y i ii

T t t

Rumus

3 2

1

23 3

62

Nx y

ii

s

x y x y

T TN N d

r

N N T T N N T T


271

Untuk menguji 0 : rho spearman 0sH , bila 4N dan

= 0,25 – 0,0005 (uji satu arah)

= 0,50 – 0,001 (uji dua arah)

Lihat tabel Q (buku Sidney Siegel). Selanjutnya 0H ditolak bila hit tabels sr r .

Untuk sampel besar, dipakai uji statistik 1sZ r N

Kriteria 0H ditolak bila hit 11

2

Z Z

atau hit 1

2

Z Z

.

Contoh :

Seorang peneliti ingin mempelajari hubungan tingkat pengetahuan (knowledge) dan praktek

aturan lalu lintas pada mereka yang mengajukan permohonan surat izin mengemudi (SIM)

sebanyak 12 subyek dipilih, pengetahuan diperoleh dari ujian teori dan praktek diperoleh

dari ujian praktek (road test). Masing-masing mempunyai skor 0 – 150. Selanjutnya 0H :

tidak ada hubungan antara pengetahuan dan praktek aturan lalu lintas diuji dengan

menggunakan 0,05 (uji dua arah).

Pengetahuan

(variabel 1)

Praktek

(Variabel 2)

PERINGKAT id 2

id Variabel 1 Variabel 2

82

98

87

40

116

113

111

83

85

126

106

117

42

46

39

37

65

88

86

56

62

92

54

81

2

6

5

1

10

9

8

3

4

12

7

11

3

4

2

1

8

11

10

6

7

12

5

9

-1

2

3

0

2

-2

-2

-3

-3

0

2

2

1

4

9

0

4

4

4

9

9

0

4

4

2 52id


272

Correlations

PENGETAH PRAKTEK

Spearman's rho

PENGETAH Correlation Coefficient 1.000 .818(**) Sig. (1-tailed) . .001 N 12 12

PRAKTEK Correlation Coefficient .818(**) 1.000 Sig. (1-tailed) .001 . N 12 12

** Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed).

E. UJI CHI SQUARE (KAI KUADRAT)

Uji chi square adalah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua

variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1

variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus

digunakan uji pada derajat yang terendah).

Prinsip-prinsip penggunaan :

1. Hanya dapat dipergunakan pada data kualitatip.

2. Dapat dipergunakan pada sampel dari berbagai macam ukuran (sample size) selama

tidak menyimpang ketentuan butir 9 dan 10. juga dapat dipergunakan pada berbagai

macam kategori.

3. Hitungan akhir selalu melibatkan angka sebenarnya (frekuensi) bukan prosen atau

proporsi.

4. Untuk setiap kategori, perbedaan nilai pengamatan (observed value) dan nilai harapan

(expected value) dihitung, selanjutnya dikuadratkan dan dibagi dengan nilai harapan

sehingga secara keseluruhan rumus perhitungan 2 menjadi :

2

o e

e

f f

f

dengan

ketentuan 0f harga yang diamati dan ef adalah harga harapan ; makin besar sample

size makin besar harga 2 sehingga kuadrat mempunyai tendensi meningkat dengan

meningkatnya sample size. Jumlah kategori mempengaruhi besar df (derajat bebas)

yang juga akan mempengaruhi bentuk : distribusi teoritis chi-quadrat. Makin besar df

makin besar pula titik kritisnya pada tingkat kepercayaan tertentu.

5. bila kita ingin membandingkan 2 atau lebih distribusi sampel maka uji yang sesuai

adalah r c contingency chi square. Data disusun menurut r -baris 2,3,..., kr dan

menurut c -kolom 2,3,..., kc dan menurut harapan diperoleh dari perkalian

jumlah total setiap sampel dengan proporsi yang sesuai pada distribusi total.

6. bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah Goodness

of fit test. Dalam hal ini nilai harapan diperoleh dari proporsi distribusi populasi dan

mempunyai 1db r atau 1db k .

7. bila kita ingin mengetahui asosiasi atau korelasi diantara 2 variabel dari data kualitatif,

maka lakukan uji chi kuadrat dulu dengan rumus diatas. Jika ternyata dalam pengujian


273

0H , kita menolak 0H , maka kita dapat melanjutkan dengan menghitung koefisien

kontingensi dengan rumus : = 2

2c

N

dengan c selalu > 0.

8. Distribusi sampling chi kuadrat akan sesuai dengan distribusi teoritis chi kuadrat bila :

nilai harapan setiap sel tidak boleh kurang dari satu. Cacah sel yang mempunyai nilai

harapan < 5 tidak melebihi 20 % jumlah sel seluruhnya (Rule of The Thumb). Aturan ini

berdasarkan pengalaman dari pakar penelitian dan atau statistik di seluruh dunia.

9. Jika tidak sesuai dengan ketentuan di atas, kategori-kategori tertentu yang sesuai

digabung, sehingga cacah sel lebih sedikit hingga nilai harapan baru memenuhi syarat.

Sering penggabungan ini menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan bila toh

masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah Fisher’s Exact

Test.

10. Untuk 1db diperlukan koreksi yang disebut Yate’s Correction for Continuity.

Besarnya koreksi itu ialah 0,5 hingga rumus itu menjadi:

2

2

2

1 2 1 2

0,5 2o e

c

e

NN ad bc

f f

f m m n n

11. Pada umumnya chi-kuadrat hanya dapat dipergunakan untuk uji independensi antar

faktor pada satu sampel dengan faktor yang bersifat bebas (independen). Chi kuadrat

tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum –

sesudah pada data kualitatif) dan dalam hal ini harus mempergunakan Mc Nemar

Simetry

Chi Square atau modifikasinya.

Rule of the thumb uji 2 :

a. Tidak boleh ada nilai harapan < 1

b. Nilai harapan: 5 0e bisa asal tidak lebih dari 20% jumlah sel yang

mengandung nilai tersebut.

k r chi kuadrat

Uji chi kuadrat yang termasuk dalam analisis kategorik yang berlaku hanya untuk data

berskala nominal, baik nominal yang asli ataupun nominal hasil transformasi. Seperti yang

kita telah ketahui bahwa untuk data berskala interval atau rasio yang berdistribusi normal

kita gunakan analisis parameterik dan untuk data berskala ordinal atau berskala interval

yang berdistribusi tidak normal atau tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji

non-parametrik.

Analisis kategorik merupakan analisis data berskala nominal yang diklasifikasi silangkan

dalam bentuk tabel kategorik B kali K ( B K ). B dalam hal ini adalah baris dan K adalah

kolom, dengan ketentuan B minimal 2 kategori begitu juga K minimal 2. Analisis ini

mempeljari pendekatan chi-kuadrat untuk sampel besar, koefisien asosiasi dan metode

Fisher untuk sampel kecil.


274

Kegunaan analisis kategorik:

1. Pada sampel-sampel bebas digunakan uji homogenitas proporsi pada masing-masing

sampel.

2. Pada satu sampel digunakan uji independensi bila faktor-faktor yang dipelajari bersifat

bebas (independent factor), dan digunakan uji simetri McNemar bila faktor-faktor yang

dipelajari berkaitan (related factor).

Uji Homogenitas Untuk K Sampel

Uji ini dipergunakan untuk menguji 0H : tidak terdapat perbedaan distribusi kategori

sebanyak r dari k – sampel.

Syarat :

1. Kita berhadapan dengan k sampel bebas

2. Sampel tersebut mempunyai data kualitatif yang terbagi dalam r – kategori

3. Memenuhi syarat penggunaan uji chi kuadrat pada umumnya

Seperti pada perhitungan chi kuadrat pada umumnya, bila syarat penggunaan uji chi

kuadrat terpenuhi, maka rumus perhitungan ialah seperti rumus 1, dan distribusi

samplingnya mendekati distribusi chi kuadarat dengan 1 1db k r

Hipotesis yang diuji :

0H : sebanyak k populasi mempunyai distribusi sama

aH : paling sedikit satu dari k populasi mempunyai distribusi yang berbeda dengan yang

lain.

Contoh :

Dua sampel terdiri dari 100 pria dan 100 wanita, kepada mereka ditanyakan apakah setuju

atau tidak terhadap pernyataan “wanita mempunyai hak dan kewajiban yang sama dengan

pria”, hasilnya ialah dari pria 30 orang setuju dan 70 tidak sedang dari wanita 45 orang

setuju dan 55 tidak.

Jika pria dari populasi 1 dan wanita dari populasi 2, dapat dinyatakan bahwa peluang setuju

untuk populasi ke i = iP ( i = 1, 2, jadi untuk uji homogenitas dua populasi kita menguji 0H

yang berbunyi : 1 2P P .

Tabel 9.1 Kerangka Hubungan

S T Jumlah

Pria a b 1n

Wanita c d 2n

Jumlah 1m 2m N


275

Di mana 1

1

ap

n dan 2

2

cp

n . Statistik pengujiannya adalah 2 seperti pada rumus pertama

yaitu : 2

2

1 2 1 2

2

nn ad bc

m m n n

Untuk 1n dan 2n besar maka 2 mendekati distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas

1db , 0H ditolak bila

2 2

1 . Setelah data dimasukkan dalam tabel maka terlihat

sebagai berikut :

Tabel 9.2 Hubungan Sex dan Tanggapan

S T Jumlah

Pria 30 70 100

Wanita 45 55 100

Jumlah 75 125 200

Kita hitung statistik 2 :

2

2

2

1 2 1 2

200 30 55 70 45 10024,1813

75 125 100 100

nn ad bc

m m n n

Untuk 0,05 dan 1db maka

2

0,05 13,841 . Karena

2 2

0,05 1 maka 0H

ditolak berarti 1 2P P .

Kita menyelidiki hasil biakan kuman stafilokokus yang terdiri dari 4 strain, yaitu strain I, II, III

dan NT (No Typing). Sampel diambil dari luka-luka dari para pekerja tambang. Selanjutnya

dibiakkan dalam pembenihan yang berbeda yaitu pembenihan H, E dan L maka dalam hal ini

3k dan 4r , hasilnya sebagai berikut :

Tabel 9.3 Pembenihan Stafilokokus

Strain H E L

Subtotal Obs Exp Obs Exp Obs Exp

I 34 30,9 47 45,9 22 26,3 103

II 19 23,4 41 34,8 18 19,8 78

III 12 12,3 14 18,3 15 10,4 41

IV 7 5,4 5 8,0 6 4,6 18

Subtotal 72 107 61 240

(GT)


276

1. Hitung harga harapan (expected) dengan mengalikan subtotal baris yang bersangkutan

dengan subtotal kolom yang bersangkutan kemudian dibagi dengan grand total (GT),

misalnya untuk menghitung harga harapan I – H didapat dengan mengalikan 103

(subtotl baris) dengan 72 (subtotal kolom) dan dibagi dengan 240 (GT) hasilnya ialah : 72

103 30,9240

. Dengan cara yang sama kita hitung harga harapan setiap sel dan

hasilnya tercantum dalam tabel 3.

2. Dengan rumus 1 kita hitung chi kuadrat hasilnya:

2 2

2 34 30,9 6 4,68,183

30,9 4,6

3. 4 1 3 1 6db 0,05

4. Dari tabel chi kuadrat kita dapatkan

2

0,05 612,59

5. Karena 2 12,59 maka 0H diterima dengan 0,05p

6. Kesimpulan : tidak terdapat perbedaan distribusi strain kuman stafilokokus pada ketiga

pembenihan (H, E dan L).

Uji Chi Kuadrat Untuk Dependensi dan Asosiasi / Korelasi

Uji ini dipakai untuk menguji 0H : apakah variabel X dan Y independen satu sama

lain.

Uji ini dipakai bila:

1. kita berhadapan dengan satu sampel

2. masing-masing individu/elemen dalam sampel tersebut mempunyai dua variabel dan x y yang masing-masing merupakan data kualitatip (atau disebut atribut)

3. masing-masing variabel dibagi menjadi dua atau lebih kategori.

4. bila kita akan menguji korelasi/asosiasi dari 2 variabel tersebut kita harus melakukan

pengujian chi kuadrat dulu, bila dalam pengujian itu 0H ditolak, yang berarti

menerima aH yang berbunyi : variabel X dan Y dependen satu sama lain, maka

dilanjutkan dengan menghitung kuat hubungan dengan rumus sebagai berikut : 2

2C

N

C = contingency coeficient

Sifat-Sifat C :

Bila tidak terdapat hubungan antara kedua variabel maka 0C dan C tidak dapat

mencapai nilai 1, karena bila k r batas atas harga C merupakan fungsi jumlah

kategori ( k ) dengan demikian:

max

1kC

k

maxC bergantung pada besarnya k dan r , jadi dua nilai C yang berasal dari tabel 3 × 3

tidak dapat dibandingkan (not comparable).


277

Proses penghitungan C

1. hitung chi kuadrat dari tabel kontingensi yang tersedia dengan mengingat syarat

perhitungan chi kuadrat

2. buktikan bahwa 0H ditolak atau diterima

3. hitung C dan maxC

4. hitung C corrected dengan rumus : corr

max

CC

C

Contoh :

Seorang ahli bedah saraf menyelidiki hubungan antara jenis tumor otak dengan letaknya di

otak. Untuk itu diselidiki 200 penderita tumor yang diselidiki :

Keganasan tumor : ganas, jinak, borderline. Letak tumor yang diselidiki : occipital (bagian

belakang), temporo-occipital (bagian kanan-kiri dan pelipis), frontal (depan).

Akan di uji 0H : tidak terdapat hubungan antara jenis tumor dengan letak tumor tersebut.

Hasilnya sebagai berikut :

Tabel 9.4 Hubungan Jenis Tumor Otak dan Letaknya

Letak Ganas Jinak Borderline

Subtotal Obs Exp Obs Exp Obs Exp

Occipital 100 70,79 8 4,57 9 21,64 103

Frontal 10 29,04 25 10,08 13 8,88 48

temporal 11 21,18 9 7,35 15 6,48 35

Subtotal 121 42 37 200

(GT)

Cara :

1. Lakukan uji chi kuadrat setelah mempersiapkan nilai harapan masing-masing sel.

2. Hitung signifikansi chi kuadrat yang didapat dengan membandingkan hasil chi kuadrat

dengan tabel chi dengan ketentuan 1 1 3 1 3 1 4db k r dan 0,05

Hasil hitungan chi kuadrat :

2 2

0,05 488,09 9,4 ternyata 0H ditolak.

3. Lanjutkan dengan menghitung C dengan rumus 2 hasilnya:

2

2

88,090,55

88,09 200C

N


278

4. Hitung maxC dengan rumus sebagai berikut: max

1 3 10,82

3

kC

k

dengan

corr

0,550,67

0,82C di mana corr 0,75C = kuat, 0,5 – 0,75 = cukup kuat. Artinya dari

hasil perhitungan corrC bahwa hubungan cukup kuat.

Uji untuk Asosiasi

Uji hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji hanya untuk tabel kategorik 2 ×

2, dan nilai minimal 0 (nol) dan maksimal 1 (satu). Pada tabel yang lebih besar dari 2 × 2 tidak dapat digunakan uji asosiasi karena nilainya mungkin lebih besar dari 1.

Cara:

1. Seperti pada perhitungan koefisien kontingensi C maka cara penghitungan chi

kuadrat. Bila 0H ditolak pada tingkat chi kuadrat baru dilanjutkan penghitungan

koefisien .

2. Untuk menghitung koefisien digunakan rumus : 2

N

Latihan

1) Yang bukan termasuk Uji Wilcoxon adalah ....

A. Uji jenjang bertanda Wilcoxon

B. Uji jumlah jenjang Wilcoxon

C. Uji jenjang berstrata Wilcoxon

D. Uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon.

2) Uji jenjang bertanda Wicoxon merupakan pengembangan dari uji ....

A. Tanda

B. Hubungan

C. Beda

D. Pengaruh

3) Uji jumlah jenjang bertanda Wilcoxon dipergunakan untuk membandingkan perbedaan

antara dua sampel bebas. Uji ini mirip dengan uji ....

A. t satu sampel

B. t dua sampel bebas

C. t dua sampel berpasangan

D. anova

4) Uji yang dipergunakan untuk membandingkan dua perlakuan pada beberapa

kelompok/strata dan jumlah sampel pada tiap-tiap kelompok itu sama. Kalau


279

dibandingkan dengan uji statistika parametrik, uji jumlah jenjang berstrata Wilcoxon

setara dengan ....

A. Uji t

B. uji χ2

C. Uji r

D. Uji F

5) Uji Mc Nemar merupakan uji perbandingan dua variabel yang berpasangan atau

variabel-variabel yang memenuhi rancangan penelitian before – after. Kedua variabel

itu harus berskala ....

A. Nominal dan dikotomi

B. Interval

C. Ordinal

D. Rasio

6) Uji Mann – Whitney sama dengan uji jumlah jenjang Wilcoxon, perbedaannya

terutama dipergunakan untuk dua sampel yang berukuran tidak sama ....

A. sama

B. sejajar

C. tidak sama

D. tidak sejajar

7) Uji ini sebagai alternatif dari uji korelasi Pearson dengan asumsi di mana sampel

berasal dari populasi mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi. Uji ini

adalah ....

A. Wilcoxon

B. Mc Nemar

C. Spearman

D. Mann Whitney

8) Uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data

kedua variabel adalah nominal atau kategorik disebut dengan uji ....

A. Mc Nemar

B. Chi Square

C. Mann Whitney

D. Spearman

9) Cacah sel yang mempunyai nilai harapan < 5 tidak melebihi 20% jumlah sel seluruhnya

merupakan salah satu syarat dari uji kai kuadrat disebut dengan ....

A. Rule of The Thumb

B. Rule of the Bom’s


280

C. Rule of the Jungle

D. Rule of the Spons

10) Yang termasuk uji asosiasi dibawah ini adalah ....

A. Mc Nemar

B. Yate’ Correction

C. Mann Whitney

D. Coefisien phi

11) Suatu studi ingin melihat pengaruh pemberian captopril dan diuretika terhadap

tekanan darah sistolik. Sampel terdiri atas 10 pasien mendapat captopril dengan dosis

6,25 mg dan diuretika. Pasien diukur tekanan darah sistolik sebelum pemberian obat

(x) dan 70 menit sesudah pemberian obat (y). Hasil terlihat pada tabel berikut:

Tabel Tekanan darah Sistolik Pasien sebelum dan sesudah pemberian captopril dan

diuretika

Pasien A B C D E F G H I J

Tekanan

darah

Sebelum 175 179 165 170 162 180 177 178 140 176

sesudah 140 143 135 133 162 150 182 139 173 141

Apakah pengobatan tersebut efektif untuk menurunkan tekanan darah pasien-pasien

itu, pada tingkat kemaknaan 0,05.

Jawab :

Ho : pengobatan tidak efektif untuk menurunkan tekanan darah

Ha : pengobatan efektif untuk menurunkan tekanan darah

Karena variabel tekanan darah adalah skala data interval, tetapi data tidak

berdistribusi normal, maka dianalisis menggunakan Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon.

Cara analisis Uji Jenjang Bertanda Wilcoxon adalah sebagai berikut :

a. Berikan jenjang (rank) untuk tiap Y X dari terkecil ke terbesar tanpa

memperhatikan tanda beda. Bila ada dua atau lebih nilai Y X sama besarnya,

maka jenjang untuk tiap-tiap Y X adalah jenjang rata-ratanya.

b. Beri tanda + atau – pada tiap-tiap jenjang dan beda 0 tidak diperhatikan.

c. Jumlahkan T semua jenjang bertanda + dan –.

d. Jumlah jenjang T yang terkecil bandingkan dengan nT

. 0H ditolak bila :

hit nT T

.

Penjual Tekanan Darah Beda Rank


A

B

C

D

175

179

165

170

140

143

135

133

-35

-36

-30

-37

6

7

3

8

5,5

7

2,5

8

5.5

7

2,5

8


281

Penjual Tekanan Darah Beda Rank


E

F

G

H

I

J

162

180

177

178

140

176

162

150

182

139

173

141

0

-30

+5

-39

+33

-35

-

2

1

9

4

5

-

2,5

1

9

4

5,5

1

4

2,5

9

5,5

T 5 40

Nilai T hitung yang terkecil adalah 5, sedangkan nilai T tabel dengan jumlah sampel 10

dengan α = 5% sebesar 8. Kesimpulan Ho ditolak artinya pengobatan dengan captopril

dan diuretika efektif menurunkan tekanan darah.

12) Hasil penelitian tentang pengaruh pemakaian estrogen terhadap kejadian kanker

endometrium. Sebanyak 317 wanita dengan kanker endometrium (kasus)

dibandingkan dengan 317 wanita tanpa kanker endometrium (control). Wanita dari

kedua kelompok tersebut kemudian diteliti riwayatnya apakah sebelum diagnosis

kanker menggunakan estrogen (paling sedikit 6 bulan lamanya) atau tidak memakai

estrogen. Data sebagai berikut :

Tabel Data Studi Pengaruh Estrogen terhadap Kanker Endometrium dengan rancangan

kasus-kontrol dan pencocokan.

Kasus

Kontrol

Total Estrogen Tanpa Estrogen

Estrogen 25 95 120

Tanpa estrogen 10 130 140

Total 35 225 260

Jawab:

Ho : tidak ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium

Ha : ada pengaruh yang bermakna antara esterogen terhadap kanker endometrium Karena rancangan kasus kontrol dan pencocokan maka uji yang digunakan adalah Mc

Nemar:

2

21

(Mc.Nemar)B C

B C

22 ( 95 10 1)

χ 7,16195 10

2

0,05 13,841 (nilai tabel)

Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak,

maka terdapat pengaruh yang bermakna antara estrogen terhadap kanker endometrium.


282

Ringkasan

Pemilihan statistik non-parametrik dapat langsung dilakukan jika jumlah sampel sangat

kecil atau skala data dari variabel yang diteliti adalah nominal atau ordinal. Dapat juga data

interval atau rasio tetapi distribusi data tidak normal atau disebut juga statistik bebas

distribusi, karena prosedur pengujiannya tidak berdasarkan asumsi distribusi populasi

normal.

Jenis-jenis statistik non-parametrik adalah sebagai berikut :

1. Untuk uji beda:

a. Uji beda 2 sampel adalah Uji Wilcoxon, Uji Mann-Whitney, Uji Mc. Nemar

b. Uji beda lebih dari 2 sampel adalah Uji Kruskal Wallis dan Uji Friedman

2. Untuk uji hubungan antar variabel: terdapat Uji Korelasi Spearman, Uji Chi Square

3. Untuk uji pengaruh antar variabel: terdapat Uji Regresi Logistik.

4. Uji Asosiasi: koefisien Kontingensi, Koefisien Phi.

Tes 2

1) Kai kuadrat tidak dapat digunakan pada correlated sample (misal rancangan penelitian

sebelum – sesudah) pada data kualitatif dan dalam hal ini harus mempergunakan uji ....

A. Mc Nemar Simetry

B. Mann Whitney

C. Mc Nemar

D. Yate’s correction

2) Uji hampir sama dengan uji C bedanya ialah bahwa uji hanya untuk tabel

kategorik ....

A. 4 × 3

B. 3 × 2

C. 3 × 3

D. 2 × 2

3) Jika data berskala ordinal atau berskala interval yang berdistribusi tidak normal atau

tidak diketahui macam distribusinya kita gunakan uji ....

A. Non-parametrik

B. Parametrik

C. Kai kuadrat

D. Yate’s correction

4) Bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah ....

A. Goodness of fit test


283

B. Goodness of testimony

C. Goodness of profit test

D. Goodness of try out Test

5) Apabila penggabungan sel menyebabkan sel dalam tabel tinggal 2 × 2 dan jika masih

tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah uji

A. Fisher’s Exact

B. Spearman

C. Mc Nemar

D. Mann Whitney

6) Uji korelasi Spearman dengan asumsi di mana sampel berasal dari populasi

mempunyai distribusi normal bivariat tak terpenuhi dan merupakan alternative dari uji

korelasi ....

A. Bivariat

B. Pearson

C. Kontingensi

D. Phi

7) Fisher’s Exact Test adalah uji yang digunakan untuk menguji kemaknaan hubungan

antara dua variabel kategorikal menggunakan pendekatan ....

A. Matematis

B. Inferensi

C. Probabilitas

D. Integral

8) Uji alternatif yang digunakan jika jumlah sampel yang kecil untuk tabel silang 2 × 2

adalah ....

A. Yate’s correction

B. Exact Fhiser test

C. Koefisien Phi

D. Koefisien Kontingensi

9) Analisis non parametrik hasil pengukuran pada subyek atau analisis yang sama,

sebelum dan sesudah memperoleh perlakuan atau intervensi atau analisis hasil

observasi kasus dan kontrol dengan pencocokan menggunakan uji ....

A. Mann Whitney

B. Wilcoxon

C. Kai Kuadrat

D. Mc Nemar


284

10) Yang termasuk uji parametrik di bawah ini adalah ....

A. Korelasi Pearson

B. Koefisien Kontingensi

C. Korelasi Spearman

D. Koefisien Phi

11) Sebelas pasien dari rumah sakit A dan Sembilan pasien dari rumah sakit B yang

menjalani prosedur operasi yang sama mengikuti sebuat studi. Variabel yang menjadi

perhatian adalah waktu operasi (dalam menit) sebagaimana terlihat pada tabel

berikut.

Tabel Waktu (dalam menit) yang diperlukan dalam ruang operasi di rumah sakit A dan

di rumah sakit B

Rumah Sakit A (x) Rumah Sakit B(y)

35

30

33

39

41

29

30

36

45

40

31

45

38

42

50

48

51

32

37

46

Dapatkah ditarik kesimpulan bahwa waktu operasi di rumah sakit B lebih lama dari

pada di rumah sakit A?

Jawab :

Ho : Waktu operasi di Rumah Sakit B sama dengan di Rumah Sakit A

Ha : Waktu operasi di Rumah Sakit B lebih lama dari pada di Rumah Sakit A

Data dianggap tidak berdistrubusi normal, dan jumlah data berbeda sehingga

menganalisisnya menggunakan uji Mann Whitney yaitu Gabungkanlah kedua sampel

dan beri jenjang dari tiap nilai terkecil sampai nilai terbesar.

Hitunglah jumlah jenjang masing-masing sampel misalnya 1 2 dan T T

1 1

1 1 2 1

2 22 1 2 2

1

2( 1)

2

n nU n n T

n nU n n T


285

Nilai U yang terkecil bandingkan dengan 1 2,n n

U

. Dengan kriteria penarikan

kesimpulan adalah : 0H diterima bila 1 2hit ,n n

U U

.

Rumah Sakit

A (x)

Peringkat Rumah Sakit

B(y)

Peringkat

35

30

33

39

41

29

30

36

45

40

31

7

3

6

11

12

1

2

8

14

12

4

45

38

42

50

48

51

32

37

46

15

10

13

18

17

19

5

9

16

T1 80 T2 122

Jika disubtitusi ke rumus U1 =

U2 =

Yang digunakan sebagai nilai U yang terkecil yaitu 22 sedangkan nilai U tabel sebesar

23 berarti Ho ditolak karena U hitung < U tabel artinya waktu operasi di Rumah Sakit B

lebih lama dari pada di Rumah Sakit A.

12) Teori Perilaku Skinner mulai banyak diterapkan untuk membentuk perilaku hidup

sehat. Telah dilakukan obeservasi perilaku konsumen dalam pemakaian garam

beriodium di sejumlah kota di Sulawesi Selatan. Selanjutnya dilakukan obeservasi

perilaku pemakaian garam beriodium pada 1000 konsumen di sejumlah pasar modern

dan tradisional, sebelum dan sesudah intervensi pemasaran sosial. Dengan tingkat

kemaknaan 5%, dapatkan anda membuktikan bahwa intervensi tersebut berhasil

mengubah perilaku konsumsi garam beriodium. Hasilnya tampak pada data berikut :

Sebelum

Total Garam Beriodium

Bukan garam beriodium

Sesudah

Garam Beriodium

300 300 600

Bukan garam beriodium

150 250 400

Total 450 550 1000


286

Jawab :

Ho : Intervensi tidak merubah perilaku konsumsi garam beriodium

Ha : Intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium

Karena data before after, maka digunakan uji Mc Nemar

2

21

(Mc.Nemar)B C

B C

22 ( 95 10 1)

χ 7,16195 10

2

0,05 13,841 (nilai tabel)

Kesimpulan : karena kai kuadrat hitung lebih besar dari kai kuadrat tabel artinya Ho ditolak,

maka intervensi merubah perilaku konsumsi garam beriodium.


287

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes 1

1) A

2) C

3) B

4) D

5) A

6) C

7) A

8) A

9) C

10) A

Tes 2

1) A

2) D

3) A

4) A

5) A

6) B

7) C

8) B

9) D

10) A


288

Daftar Pustaka

Chandra Budiman, 1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.

Dajan Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES.

Daniel Wayne W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.

Kuntoro, 2002. Pengantar Teori Probabilitas. Surabaya: Pustaka Melati.

………., 2011. Metode Statistik Edisi Revisi. Surabaya: Pustaka Melati.

Murti Bhisma, 1996. Penerapan Metode Non-Parametrik dalam Ilmu-Ilmu Kesehatan.

Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Nurgiyantoro Burhan, Gunawan, Marzuki, 2000. Statistik Terapan Untuk Ilmu-Ilmu Sosial.

Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Saleh Samsubar, 1996. Statistik Nonparametrik Edisi 2. Yogyakarta: BPFE.

Siegel Sidney, 1997. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Gramedia.

Sugiyono, 2003. Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Siagian, Dergibson & Sugiarto, 2002. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, PT

Gramedia Pustaka Utama Jakarta. ISBN 979-655-924-2

Walpole, Ronald E, 1993. Pengantar Statistika, PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta ISBN

979-403-313-8

Ross, Sheldon, 1976. A First Course in Probability.

R. A. Fisher 1925. Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd,

1925, p.43.

Cramer, Duncan; Dennis Howitt. 2004. The Sage Dictionary of Statistics. p. 76.

ISBN 076194138X.

Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. 2005. Testing Statistical Hypotheses (3E ed.). New York:

Springer.ISBN 0387988645.





https://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/076194138X




289

NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means

Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to

the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350.

Weiss, Neil A. 1999. Introductory Statistics (5th ed.). p. 802. ISBN 0-201-59877-9.

NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations

the same as testing variances)


https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=McGraw_Hill&action=edit&redlink=1


https://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0-201-59877-9



290

Lampiran

Lampiran 1

Fungsi Distribusi pada Distribusi Probabilitas Khi-Kuadrat

dk 20,001

20,005

20,01

20,025

20,05

20,10 2

0,20 2

0,30 2

0,40 2

0,50 dk

1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,275 0,455 1

2 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 0,713 1,022 1,386 2

3 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 1,424 1,869 2,366 3

4 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 2,195 2,753 3,357 4

5 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 3,000 3,655 4,351 5

6 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 3,828 4,570 5,348 6

7 0,598 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 4,671 5,493 6,346 7

8 0,857 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 5,527 6,423 7,344 8

9 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 6,393 7.357 8,343 9

10 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 7,267 8,295 9,342 10

11 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 8,418 9,237 10,341 11

12 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 9,034 10,182 11,340 12

13 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 9,926 11,129 12,340 13

14 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 10,821 12,078 13,339 14

15 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 11,721 13,030 14,339 15

16 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 12,624 13,983 15,338 16

17 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 13,531 14,937 16,338 17

18 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 14,440 15,893 17,338 18

19 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 15,352 16,850 18,338 19

20 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 16,266 17,809 19,337 20

21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 17,132 18,768 20,337 21

22 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,341 18,101 19,729 21,337 22

23 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,168 19,021 20,690 22,337 23

24 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 19,943 21,652 23,337 24

25 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 20,867 22,616 24,337 25

26 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 21,792 23,579 25,336 26

27 9,803 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 22,719 24,544 26,336 27

28 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 23,647 25,509 27,336 28

29 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 24,577 26,475 28,336 29

30 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 25,508 27,442 29,336 30 31 12,196 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 24,255 26,440 28,409 30,336 31


291

32 12,811 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 25,148 27,373 29,376 31,336 32

33 13,431 15,815 17,074 19,047 20,867 23,110 26,042 28,307 30,344 32,336 33

34 14,057 16,501 17,789 19,806 21,664 23,952 26,938 29,242 31,313 33,336 34

35 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 27,836 30,178 32,282 34,336 35

36 15,324 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 28,735 31,115 33,252 35,336 36

37 15,965 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 29,635 32,053 34,222 36,336 37

38 16,611 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 30,537 32,992 35,192 37,335 38

39 17,262 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 31,441 33,932 36,163 38,335 39

40 17,916 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 34,872 37,134 39,335 40

dk 20,001

20,005

20,01

20,025

20,05 2

0,10 20,20

20,30

20,40

20,50 dk

41 18,575 21,421 22,906 25,215 27,326 29,907 33,251 35,813 38,105 40,335 41

42 19,239 22,138 23,605 25,999 28,144 30,765 34,157 36,755 39,077 41,335 42

43 19,906 22,859 24,398 26,785 28,965 31,625 35,065 37,698 40,050 42,335 43

44 20,576 23,584 25,148 27,575 29,787 32,487 35,974 38,641 41,022 43,335 44

45 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 36,884 39,585 41,995 44,335 45

46 21,929 25,041 26,657 29,160 31,439 34,215 37,795 40,529 42,948 45,335 46

47 22,610 25,775 27,416 29,956 32,268 35,081 38,708 41,474 43,942 46,335 47

48 23,295 26,511 28,177 30,755 33,098 35,949 39,620 42,420 44,915 47,335 48

49 23,983 27,349 28,941 31,555 33,930 36,818 40,534 43,366 45,889 48,335 49

50 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 44,313 46,864 49,335 50

51 25,368 28,735 30,475 33,162 35,600 38,560 42,365 45,261 47,838 50,335 51

52 26,065 29,481 31,246 33,968 36,437 39,433 43,281 46,209 48,913 51,335 52

53 26,765 30,230 32,018 34,276 37,276 40,308 44,199 47,157 49,788 52,335 53

54 27,468 30,981 32,793 35,586 38,116 41,183 45,117 48,106 50,764 53,335 54

55 28,173 31,735 33,570 36,398 38,958 42,060 46,036 49,055 51,739 54,335 55

56 28,881 32,490 34,350 37,212 39,801 42,937 46,955 50,005 52,715 55,335 56

57 29,592 33,248 35,131 38,027 40,646 43,816 47,875 50,956 53,691 56,335 57

58 30,305 34,008 35,913 38,844 41,492 44,696 48,797 51,906 54,667 57,335 58

59 31,020 34,770 36,698 39,662 42,339 45,577 49,718 52,858 55,643 58,335 59

60 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 53,809 56,620 59,335 60

61 32,439 36,300 38,273 41,303 44,038 47,342 51,564 54,761 57,597 60,335 61

62 33,181 37,068 39,063 42,126 44,889 48,226 52,487 55,714 58,574 61,335 62

63 33,906 37,838 39,855 42,950 45,741 49,111 53,412 56,666 59,551 62,335 63

64 34,633 38,610 40,649 43,776 46,595 49,996 54,336 57,620 60,528 63,335 64

65 35,362 39,383 41,444 44,603 47,450 50,883 55,262 58,573 61,506 64,335 65


292

66 36,093 40,158 42,240 45,431 48,305 51,770 56,188 59,527 62,484 65,335 66

67 36,826 40,935 43,038 46,261 49,162 52,659 57,115 60,481 63,461 66,335 67

68 37,561 41,713 43,838 47,092 50,020 53,548 58,042 61,436 64,440 67,335 68

69 38,298 42,494 44,639 47,924 50,879 54,438 58,970 62,391 65,418 68,334 79

70 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 63,346 66,396 69,334 70

71 39,777 44,058 46,246 49,592 52,600 56,221 60,827 64,302 67,375 70,334 71

72 40,519 44,843 47,051 50,428 53,462 57,113 61,756 65,258 68,353 71,334 72

73 41,264 45,629 47,858 51,265 54,325 58,006 62,686 66,214 69,332 72,334 73

74 42,010 46,417 48,666 52,103 55,189 58,900 63,616 67,170 70,311 73,334 74

75 42,757 47,206 49,475 52,942 56,054 59,795 54,547 68,127 71,290 74,334 75

76 43,507 47,997 50,286 53,782 56,920 60,690 65,478 69,084 72,270 75,334 76

77 44,258 48,788 51,097 54,623 57,786 61,586 66,409 70,042 73,249 76,334 77

78 45,010 49,582 51,910 55,466 58,654 62,483 67,431 70,999 74,228 77,334 78

79 45,764 50,376 52,725 56,309 59,522 63,380 68,274 71,957 75,208 78,334 79

80 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 72,915 76,188 79,334 80

dk 20,001

20,005

20,01

20,025

20,05 2

0,10 20,20

20,30

20,40

20,50 dk

81 47,277 51,969 54,357 57,998 61,261 65,176 70,140 73,874 77,168 80,334 81

82 48,036 52,767 55,174 58,845 62,132 66,076 71,074 74,833 78,148 81,334 82

83 48,796 53,567 55,993 59,692 63,004 66,976 72,008 75,792 79,128 82,344 83

84 49,557 54,368 56,813 60,540 63,876 67,876 72,943 76,751 80,108 83,334 84

85 50,320 55,170 57,634 61,389 64,749 68,777 73,878 77,710 81,089 84,334 85

86 51,085 55,973 58,456 62,239 65,623 69,679 74,813 78,670 82,069 85,334 86

87 51,850 56,777 59,279 63,089 66,498 70,581 75,749 79,630 83,050 86,334 87

88 52,617 57,582 60,103 63,941 67,737 71,484 76,685 80,590 84,031 87,334 88

89 53,386 58,389 60,928 64,793 68,249 72,387 77,622 81,550 85,012 88,334 89

90 54,155 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 82,511 85,993 89,334 90

91 54,926 60,005 62,581 66,501 70,003 74,196 79,496 83,472 86,974 90,334 91

92 55,698 60,815 63,409 67,356 70,882 75,100 80,433 84,433 87,955 91,334 92

93 56,472 61,625 64,238 68,211 71,760 76,006 81,371 85,394 88,936 92,334 93

94 57,246 62.437 65,068 69,068 72,640 76,912 82,309 86,356 89,917 93,334 94

95 58,022 63,250 65,898 69,925 73,520 77,818 83,248 87,317 90,899 94,334 95

96 58,799 64,063 66,730 70,783 74,401 78,725 84,187 88,279 91,881 95,334 96

97 59,577 64,878 67,562 71,642 75,282 79,633 85,126 89,241 92,862 96,334 97

98 60,356 65,694 68,396 72,501 76,164 80,541 86,065 90,204 93,844 97,334 98

99 61,137 66,510 69,230 73,361 77,046 81,449 87,005 91,166 94,826 98,334 99

100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87,945 92,129 95,808 99,334 100


293

dk 20,50

20,60

20,70

20,80

20,90

20,95

20,975

20,99

20,995

20,999 dk

1 0,455 0,708 1,074 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828 1

2 1,386 1,833 2,408 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,815 2

3 2,366 2,946 3,665 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 3

4 3,357 4,045 4,878 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467 4

5 4,351 5,132 6,064 7,289 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 20,515 5

6 5,348 6,211 7,231 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458 6

7 6,346 7,283 8,383 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322 7

8 7,344 8,351 9,524 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 8

9 8,343 9,414 10,656 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 9

10 9,342 10,473 11,781 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 10

11 10,341 11,530 12,899 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 11

12 11,340 12,584 14,011 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28,299 32,909 12

13 12,340 13,636 15,119 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528 13

14 13,339 14,685 16,222 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123 14

15 14,339 15,733 17,322 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697 15

16 15,338 16,780 18,418 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 16

17 16,338 17,824 19,511 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790 17

18 17,338 18,868 20,601 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 18

19 18,338 19,910 21,689 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820 19

20 19,337 20,951 22,775 25,037 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315 20

21 20,337 21,991 23,858 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 46,797 21

22 21,337 23,031 24,939 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 22

23 22,337 24,069 26,018 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 23

24 23,337 25,106 27,096 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 51,178 24

25 24,337 26,143 28,172 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620 25

26 25,336 27,179 29,246 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052 26

27 26,336 28,214 30,319 32,912 36,741 40,115 43,195 46,963 49,645 55,476 27

28 27,336 29,249 31,391 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892 28

29 28,336 30,283 32,461 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301 29

30 29,336 31,316 33,530 36,250 40,256 43,773 46,979 50,692 53,672 59,703 30

31 30,336 32,349 34,598 37,359 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003 61,098 31

32 31,336 33,381 35,665 38,466 42,585 46,194 49,480 53,486 56,328 62,487 32

33 32,336 34,413 36,731 39,572 43,745 47,400 50,725 54,776 57,648 63,870 33

34 33,336 35,444 37,795 40,676 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964 65,247 34

35 34,336 36,475 38,859 41,778 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 35


294

36 35,336 37,505 39,922 42,879 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581 67,985 36

37 36,336 38,535 40,984 43,978 48,363 52,192 55,668 59,892 62,883 69,346 37

38 37,335 39,564 42,045 45,076 49,513 53,384 56,896 61,162 64,181 70,703 38

39 38,335 40,593 43,105 46,173 50,660 54,572 58,120 62,428 65,476 72,055 39

40 39,335 41,622 44,165 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402 40

dk 20,50

20,60

20,70

20,80

20,90

20,95

20,975

20,99

20,995

20,999 dk

41 40,355 42,651 45,224 48,363 52,949 56,942 60,561 64,950 68,053 74,745 41

42 41,335 43,479 46,282 49,456 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336 76,084 42

43 42,335 44,706 47,339 50,548 55,230 59,303 62,990 67,459 70,616 77,418 43

44 43,445 45,734 48,396 51,639 56,369 60,481 64,201 68,709 71,893 78,749 44

45 44,335 46,761 49,452 52,729 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077 45

46 45,335 47,787 50,507 53,818 58,641 62,830 66,617 71,201 74,436 81,400 46

47 46,335 48,814 51,562 54,906 59,774 64,001 67,821 72,443 75,704 82,720 47

48 47,335 49,840 52,616 55,993 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969 84,037 48

49 48,335 50,866 53,670 57,079 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231 85,350 49

50 49,335 51,892 54,723 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 50

51 50,335 52,917 55,775 59,248 64,295 68,669 72,616 77,386 80,747 87,968 51

52 51,335 53,942 56,827 60,332 65,422 69,832 73,810 78,616 82,001 89,272 52

53 52,335 54,967 57,879 61,414 66,548 70,993 75,002 79,843 83,253 90,573 53

54 53,335 55,992 58,930 62,496 67,673 72,153 76,192 81,069 84,502 91,872 54

55 54,335 57,016 59,980 63,577 68,796 73,311 77,380 82,292 85,749 93,167 55

56 55,335 58,040 61,031 64,658 69,919 74,468 78,567 83,513 86,994 94,460 56

57 56,335 59,064 62,080 65,737 71,040 75,624 79,752 84,733 88,236 95,751 57

58 57,335 60,088 63,129 66,816 72,160 76,778 80,936 85,950 89,477 97,039 58

59 58,335 61,111 64,178 67,894 73,279 77,931 82,117 87,166 90,715 98,324 59

60 59,335 62,135 65,227 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 99,607 60

61 60,335 63,158 66,274 70,049 75,514 80,232 84,476 89,591 93,186 100,888 61

62 61,335 64,181 67,322 71,125 76,630 81,381 85,654 90,801 94,419 102,166 62

63 62,335 65,204 68,369 72,201 77,745 82,529 86,830 92,010 95,649 103,442 63

64 63,335 66,226 69,416 73,276 78,860 83,675 88,004 93,217 96,878 104,716 64

65 64,335 67,249 70,462 74,351 79,973 84,821 89,177 94,433 98,105 105,988 65

66 65,335 68,271 71,508 75,424 81,085 85,965 90,349 95,626 99,330 107,258 66

67 66,335 69,293 72,554 76,498 82,197 87,108 91,529 96,828 100,554 108,525 67

68 67,335 70,315 73,600 77,571 83,308 88,250 92,689 98,028 101,776 109,791 68

69 68,334 71,337 74,645 78,643 84,418 89,391 93,856 99,227 102,996 111,055 69

70 69,334 72,358 75,689 79,715 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215 112,317 70


295

71 70,334 73,380 76,734 80,786 86,635 91,670 96,189 101,621 105,432 113,577 71

72 71,334 74,401 77,778 81,857 87,743 92,808 97,353 102,816 106,648 114,835 72

73 72,334 75,422 78,821 82,927 88,850 93,945 98,516 104,010 107,862 116,091 73

74 73,334 76,443 79,865 83,997 89,956 95,081 99,678 105,202 109,074 117,364 74

75 74,334 77,464 80,908 85,066 91,061 96,217 100,839 106,393 110,286 118,599 75

76 75,334 78,485 81,951 86,135 92,166 97,351 101,999 107,583 111,495 119,850 76

77 76,334 79,505 82,994 87,203 93,270 98,780 103,158 108,771 112,704 121,100 77

78 77,334 80,526 84,036 88,271 94,374 99,880 104,316 109,958 113,911 122,348 78

79 78,334 81,546 85,078 89,338 95,476 100,980 105,473 111,144 115,117 123,594 79

80 79,334 82,566 86,120 90,405 96,578 102,079 106,629 112,329 116,321 124,839 80

dk 20,50

20,60

20,70

20,80

20,90 2

0,95 2

0,975 2

0,99 2

0,995 2

0,999 dk

81 89,334 83,586 87,161 91,472 97,680 103,010 107,783 113,512 117,524 126,082 81

82 81,334 84,606 88,202 92,538 98,780 104,139 108,937 114,695 118,726 127,324 82

83 82,334 85,626 89,243 93,604 99,880 105,267 110,090 115,876 119,927 128,565 83

84 83,334 86,646 90,284 94,669 100,980 106,395 111,242 117,057 121,126 129,804 84

85 84,334 87,665 91,325 95,734 102,079 107,522 112,393 118,236 122,325 131,041 85

86 85,334 88,685 92,365 96,799 103,177 108,648 113,544 119,414 123,522 132,277 86

87 86,334 89,704 93,405 97,863 104,139 109,773 114,693 120,591 124,718 133,512 87

88 87,334 90,723 94,445 98,927 105,267 110,898 115,841 121,767 125,912 134,745 88

89 88,334 91,742 95,484 99,991 106,395 112,022 116,989 122,942 127,106 135,977 89

90 89,334 92,761 96,524 101,054 107,522 113,145 118,136 124,116 128,299 137,208 90

91 90,334 93,780 97,563 102,117 108,661 114,268 119,282 125,289 129,490 138,438 91

92 91,334 94,799 98,602 103,179 109,756 115,390 120,427 126,462 130,681 139,666 92

93 92,334 95,818 99,641 104,241 110,850 116,511 121,571 127,633 131,871 140,893 93

94 93,334 96,836 100,679 105,303 111,944 117,632 122,715 128,803 133,059 142,119 94

95 94,334 97,855 101,717 106,364 113,038 118,752 123,858 129,973 134,246 143,343 95

96 95,334 98,873 102,755 107,425 114,131 119,871 125,000 131,141 135,433 144,576 96

97 96,334 99,892 103,793 108,486 115,223 120,990 126,141 132,309 136,619 145,789 97

98 97,334 100,910 104,831 109,574 116,315 122,108 127,282 133,476 137,803 147,010 98

99 98,334 101,928 105,868 110,607 117,407 123,225 128,422 134,642 138,987 148,230 99

100 99,334 102,946 106,906 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169 149,449 100


296

Lampiran 2

Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon

n = 0,01 = 0,05

6 -- 0

7 -- 2

8 0 4

9 2 6

10 3 8

11 5 11

12 7 14

13 10 17

14 13 21

15 16 25

16 20 30

17 23 35

18 28 40

19 32 46

20 38 52

21 43 59

22 49 66

23 55 73

24 61 81

25 68 89


297

Lampiran 3

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik U Pada Uji Mann-Whitney

= 0,025 pada satu ujung atau = 0,05 pada dua ujung

N1/n2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2

3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13

5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20

6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27

7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41

9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48

10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55

11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62

12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69

13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76

14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83

15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90

16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98

17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105

18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112

19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119

20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

lib.stikes-mw.idlib.stikes-mw.id/wp-content/uploads/2020/06/... · matematika dan statistik iii...

Documents