Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA 1MATEMATIKA 1INTEGRAL TAK WAJAR

IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T.

13TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

Integral Tak WajarIntegral Tak Wajar

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

c

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

cdx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen

Contoh Periksa kekonvergenan ITW

0

212 )x(

dxdxxxe

4

2

)xx(

dx

522a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

4

2

lim4

2

42

1lim

2 be x

b

0

2)12(lim

0

2)12( b x

dx

x

dxb

a.

2

1

)12(2

1

2

1lim

bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

bxb

0

)12(2

1lim

1616

2

1

2

1 2

eeelim b

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2

16

2

1 e

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

122 52

lim52

lima

b

ba xx

dx

xx

dx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga

(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang

Jika kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

t

abt

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

sas

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xfcx

maka

b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )()()(

b

sdxxf

t

a csdxxf

ct)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b

a

dxxf )(

konvergen.

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xlnlimx 0

maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

22

0)()(ln0

2

1lim tt

Integral tak wajar divergen

dxx

x

2

0 1

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab

Fungsi diskontinu di x=1 dan x

xxf

1)(

x

xx 1lim

1

2

1

1

0

2

0 111dxx

xdxx

xdxx

x

s

tts

dxx

xdxx

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0011

|1|lnlim1

lim

Karena

maka integral tak wajar divergen dxx

x

2

0 1

REFENSIREFENSI

Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.

James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.

Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.

Terima KasihTerima KasihIMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T,M.T.