Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

Koordinat Cartesius dalam ruang berdimensi tiga

Kesepakatan umum: sumbu y positif ke kanan sumbu z positif ke atas sumbu x tegak lurus terhadap kertas

Bidanganya : yz, xz, xy P (x,y,z) P (2,-3, 4)

Persamaan Standar BolaDefinisi bola adalah himpunan titik-titik di dalam ruang

berdimensi tiga yang mempunyai jarak konstan (jari-jari) dari sebuah titik tetap (pusat).

ex: (x, y z ) titik pada sebuah bola r = jari-jari( h, k, l ) = titik pusat.

Persamaan:

Bentuk terurainya:

2222 rkzkyhx

0222 JIzHyGxzyx

Koordinat Silinder dan Koordinat bola1. Koordinat Cartesius ( x, y, z )2. Koordinat Silinder ( r, θ, z )3. Koordinat bola ( ρ, θ, φ )

y

x

z

P (x,y,z)

θ

rz

P (r,θ, z )

θ

φ

ρ

P (ρ , θ, φ )

Koordinat SilinderHubungan koordinat silinder dan cartesius- Silinder ke cartesius - Cartesius ke silinder

Contoh:

1. Tentukan koordinat cartesius dan koordinat silinder dari titik berikut: dan Peny:

cosrx 22 yxr

sinry x

y1tan zz zz

5,3/2,4 2,5,5

dan

2. Tentukan persamaan ini dalam koordinat silinder pada persamaan cartesius berikut: dan Peny:

3. Tentukan persamaan cartesius suatu persamaan berikut: dan

5,32,25,3/2,4 2,4/5,252,5,5

zyx 422 xyx 222

zyx 422 xyx 222

zr 42 cos22 rr

cos2r

164 22 zr zr 2cos2

Peny: dan

Koordinat BolaHubungan koordinat bola ke koordinat cartesius

164 22 zr zr 2cos2

164 222 zyx zr 222 sincos

141616

222

zyx zrr 2222 sincos

zrr 22 sincos

zyx 22

zyx ,,,,

Bola ke cartesius Cartesius ke Bola

Contoh soal:1. Tentukan koordinat cartesius sebuah titik yang mempunyai

koordinat bola Peny:

cossinx 222 zyx

sinsinyx

y1tan

cosz222

1coszyx

z

3/2,3/,8

4,6,323/2,3/,8

2. Tentukan grafik dari Peny:

Ini merupakan persamaan bola yang titik pusatnya di (0,0,1) dan jari-jarinya 1.

cos2

cos2cos2 2

zzyx 2222

112222 zzyx

11 222 zyx