6.5. Stochastic Frontier

Pokok bahasan sebelumnya adalah bahwa semua frontier adalah deterministic. Semua

perusahaan merupakan bagian dari keluarga frontier produksi, biaya dan profit dan semua variasi

dalam kinerja perusahaan diatribusikan pada variasi dan efisiensi perusahaan relative terhadap

family frontier yang umum. Walaupun scenario ini berhubungan dengan teori yang mendasari

kajian sebelumnya, pembuktiannya sulit untuk menjustifikasi secara empiris. Konsep umum

yang dari frontier deterministic yang disediakan oleh semua perusahaan mengabaikan

kemungkinan realitas bahwa kinerja perusahaan mungkin dipengaruhi oleh factor keseluruhan

diluar kontrolnya (seperti kinerja mesin yang buruk,iklim kurang mendukung, suplai input

terganggu dan lainnya ) seperti juga factor dibawah kontrolnya (inefisiensi). Untuk menghindari

pengaruh dari gangguan eksogen, yang baik dan yang buruk, bersama dengan pengaruh

kesalahan pengukuran dan inefisiensi ke dalam satu term error satu sisi (one –sided error term)

dan label campuran “inefesiensi” adalah sesuatu yang dapat dipertanyakan.

Penggunaan stokastik frontier adalah campuran error satu–sisi dan error dua-sisi. Lantas

untuk kuantitas tertentu dan daftar input yang digunakan, terdapat output maksimal yang

mungkin didapat,tetapi level maksimal ini adalah random sifatnya dibandingkan dengan

kepastian. Asumsi ini bahwa beberapa input lain atau pengaruh eksternal mempunyai

kemungkinan pengaruh maksimal juga ,tetapi yang lain mempunyai pengaruh potensial yang

tidak terbataskan.Sebagai contoh, pengaruh dari cuaca dan kejadian eksternal lain mungkin

dipertimbangkan didistribusikan secara normal. Akan tetapi, masih terdapat kemungkinan lain

yang akan terjadi akibat dari input lain atau kejadian lain yang mempunyai nilai maksimal

(kemungkinan terbaik), sehingga nilai suboptimal menciptakan erroe satu-sisi. Disamping itu

juga, haruslah ditekankan bahwa “noise” statistic didapat dari setiap persamaan regresi dan

biasanya diargumenkan didistribusikan secara normal; ini adalah alasan lain untuk stokastik

alami dari frontier. Sebagi contoh, pengukuran error atas output cukup cocok untuk kejadian ini,

tetapi menciptakan masalah berat bagi frontier deterministic.

Kesimpulan ini diberdayakan kembali jika kita mempertimbangkan juga “noise” dari statistic

bahwa semua terdiri dari hubungan empiris. Interpretasi stndar adalah bahwa pertama, mungkin

terdapat kesalahan pengukuran (diharapkan atas variabel dependen dan tidak pada variabel

independen). Kedua, persamaan mungkin tidak secara penuh dispesifikasi (diharapkan dengan

menghilangkan dengan variabel secara individu tidak penting). Kedua argument ini terpenuhi

hanya seperti juga untuk fungsi produksi bagi semua jenis persamaan, dan ini diragukan pada

yang terbaik tidak dapat dipisahkan “gangguan” dari inefisiensi, atau mengansumsi “gangguan”

hanya satu sisi.

Argumen ini berada dibelakang frontier stokastik(juaga disebut “composed error”) model dari

Aigner,et al.(1977) dan Meusen dan Van den Broeck (1977). Ide penting dibalik model frontier

stokastik adalah bahwa error term dipisahkan atas dua macam. Komponen simetrik

membolehkan variasi random dari frontier antara perusahaan dan menangkap pengaruh

kesalahan pengukuran, “gangguan” statistik lain dan goncangan random (random shock) diluar

control perusahaan.Komponen satu-sisi menangkap pengaruh inefisiensi relatife terhadap

frontier stokastik. Model frontier produksi stokastik mungkin ditulis sebagai berikut :

Y=f ( X ) exp (v−u ) , … ..(6.6)

dimana frontier stokastik adalah f ( X ) exp (v ), v mempunyai beberapa nilai distribusi simetrik

yang menangkap pengaruh random dari kesalahan pengukuran dan goncangan eksogen yang

mana menyebabkan penempatan dari deterministik inti f(X) bervariasi antar perusahaan.

Inefisiensi teknis relative terhadap frontier produksi stokastik kemudian ditangkap oleh

komponen error satu-sisi exp (-u), u. Inefisiensi teknis relative terhadap frontier produksi

stokastik kemudian ditangkap oleh komponen error satu-sisi exp (-u), u≥0.

Kondisi u≥0 menjamin bahwa semua observasi, berada diatas atau dibawah frontier produksi

stokastik. Namun saying tidak ada jalan menentukan apakah kinerja observasi dari observasi

khusus dibandingkan dengan inti deterministik dari frontier dikarenakan inefesiensi atau variasi

random dalam frontier. Ini membentuk kelemahan utama dari model frontier stokastik; tidaklah

mungkin memisahkan residual individu kedalam kedua komponen tersebut, dan juga tidak

mungkin mengestimasi inefisiensi teknis dari observasi.namun yang terbaik kita dapat lakukan

adalah mendapatkan estimasi dari rata-rata inefisiensi atas sampel.

Estimasi langsung dari model frontier produksi stokastik mungkin didapat dari metode MLE atau

COLS. Memperkenalkan distribusi probability spesifik dari v dan u, mengasumsikan bahwa u

dan v adalah independen dan bahwa X adalah eksogen, propertas asimtotik dari MLE dapat

dibuktikan dalam cara biasa. (catatan bahwa keberadaan komponen error simetrik v memecahkan

permasalahan batas jarak yang tertangkap oleh varian dari model frontier domestik). Model ini

mungkin juga diestimasikan dengan COLS dengan menyesuaikan tern konstan dengan E(u),

yang diturunkan dari residual COLS. COLS mengestimasi lebih mudah untuk dihitung

dibandingkan dengan estimasi ML, walaupun secara asimtotik kurang efisien. Olson, et al (1980)

menghadirkan pembuktian Monte Carlo yang mengindikasikan bahw COLS secara umum

membentuknya sebagi ML, walaupun untuk sampel yang lebih besar lagi.

Apakah diestimasikan oleh ML atau oleh COLS, distribusi dari u harus dipsefikasikan

terlebih dahulu. Aigner et al (1977) dan Meeusen dan Van den Broeck (1977)

mempertimbangkan menggunakan distribusi eksponensial dan hal normal untuk u.Kedua

distribusi ini mempunyai mode sama dengan nol. Stevenson (1980) telah emperlihatkan

bagaimana distribusi half-normal dan eksponensial dapat digeneralisasi truncated normal dan

gamma,secara berurutan. Kedus generalisasi dapat mempunyai model non-zero, dengan model

zero dapat diuji untuk kasus khusus.

Artinya,terdapat kemungkinan untuk berargumentasi bahwa hasil yang diperoleh tersebut

bukan nilai optimal dari sesuatu dan lebih lanjut tidak alasan untuk error satu sisi atau error

kompeten. Dalam pandangan ini, konsep maksimalitas dibuang dan fungsi produksi dinyatakan

hanya memberikan distribusi output dari input tertentu yang tersedia. Jika pandangan ini diterima

kemudian tidak alasan untuk mempelajari frontier.Namun ahli ekonom sepakat bahwa setiap

input mempunyai kemampuan maksimum tertentu dalam menghasilkan output sehingga

akhirnya output yang dihasilkak dari kemungkinan hasil terbaik dalam penggunaan input dengan

kemungkinan hasil maksimum.

6.6 Pertimbangan Dualitas

Sebagian besar aplikasi dari metodologi frontier telah banyak digunakan untuk mengestimasi

parameter dari frontier produksi. Tingkahlaku asumsi yang mendasari estimasi langsung frontier

produksi secara umum adalah asumsi yang dikemukakan oleh Zellner-Kmenta-Dreze tentang

expected profit maximization, yang mengimplikasikan kuantitas input secara eksogen.

Sudah sangat dikenal bahwa baik keunikan dua fungsi biaya atau fungsi produksi

mendefinisikan teknologi; yang mana akan diestimasi tergantung atas asumsi dan atau data.

Tingkah laku asumsi yang mendasari estimasi langsung fungsi biaya secara umum adalah

minimisasi biaya dengan output eksogen (missal karena perusahaan diregulasi). Ini

membutuhkan data atas harga input tapi tidak kuantitas input. Akhirnya, frontier biaya

menghasilkan informasi atas ekstra biaya dari inefisiensi teknis dan alokatif (walaupun tidak

untuk masing-masingnya secara terpisah, tanpa asumsi lebih lanjut)

Biaya frontier dapat secara nyata sebagai deterministic atau stokastik, seperti juga frontier

produksi.Forsund dan Jansen (1977) mengestimasi biaya frontier Cobb-Douglas homotetik

deterministic (deterministic homothetic Cobb-Douglas cost frontier), dengan inefisiensi teknis

direpresentasikan oleh densitas penggunaan seperti yang diaplikasikan oleh Gabrilson (1975).

Biaya frontier Cobb-Douglas stokastik telah diestimasikan oleh Schmidt dan lovell (1979).

Model frontier stokastik dapat juga diperluas sehingga untuk mendapatkan ekstimasi terpisah

dari inefisiensi teknis dan alokatif, disediakan bentuk fungsional dari frontier produksi terpilih

secara mudah untuk mengizinkan derevasi frontier biaya dan permintaan input dalam bentuk

tertutup. Schmidt dan Lovell (1979) mempertimbangkan bentuk :

InY =ε0+ ∑i=l

n

αi∈X i+v+u ,….(6.7)

Dimana kondisi u ≥ 0 membolehkan produksi terjadi dibawah stokastik frontier produksi. Sebagai

tambahan, mereka mengansumsi bahwa kondisi derivasi pertama minimisasi biaya tidak

terpuaskan; ini diekspresikan oleh

¿( X i

X n)=¿ (αi wn

αn w i)+εi , i=1,2,…n-1

Di mana ε i didistribusikan secara simetrik, sebut saja multivariate normal dengan mean sama

dengan nol.Kondisi ε ≤ 0 atau ε ≥ 0 mengizinkan produksi terjadi diatas jalur ekspansi biaya

terkecil. Kombinasi inefisiensi teknis u ≥ 0 dan inefisiensi biaya boleh ε 1≤ 0 atau ε 1≥ 0

menghasilkan frontier biaya stokastik dalam bentuk

ln (W ' X )=β0+1r

lnY +∑i=l

n (αi

r ) lnW i−1r

(v−u )+E, …(6.9)

dimana r=∑i=l

n

α i. Pengeluaran yang diamati melebihi frontier biaya stokastik untuk dua alas an:

dengan jumlah (1/r)≥ 0 dikarenakan inefisiensi teknis,dan oleh jumlah E≥ 0 dikarenakan

inefisiensi alokatif.(Istilah E adalah fungsi spesifik terbaik dari u).

Model dapat diestimasikan dengan menggunakan MLE atas sistem persamaan n dalam

persamaan (6.8) dan (6.9). Output dari prosedur estimasi terdiri dari:

a. Estimasi parameter frontier (α 0 , α1 ,… , α n r¿ ;

b. Mean technical inefficiency diatas sampel [ E (u ) ] ;c. Perluasan inefisiensi alokatif dengan pengamatan (ε i¿;

d. Rata-rata biaya dari inefesiensi alokatif atas sampel [( 1r )E(u)];

e. Dan biaya inefesiensi alokatif dengan observasi (E)

Model dasar persamaan (6.7) - (6.9) dan kedua perluasan didiskusikan oleh Schmidt dan Lovell

(1979,1980), dengan apalikasi pada US Steam Electric Generation. Model perluasan mampu

merinci berbagai macam pertanyaan berhubungan dengan magnitude dan biaya teknis serta

inefesiensi alokatif. Akan tetapi,aplikasi ini dibarengi dengan bentuk fungsi batasan

(homogenous Cobb-Douglas). Hasil itu juga menekankan bahwa estimasi sistem seperti

persamaan (6.8 - 6.10) membutuhkan data atas kedua harga input dan kuantitas input, yang

mungkin tidak tersedia.

Suatu sistem yang terdiri dari frontier biaya translog deterministic dan persamaan share yang

berhubungan dengan fungsi telah diestimasikan oleh Greene (1980b). Keuntungan dari

spesifikasi translog adalah karena tentu fleksibelitasnya. Kekurangannya adalah tidak mungkin

menyediakan solusi eksplisit untuk fungsi produksi berhubungan dengan fungsi biaya translog

(atau sebaliknya), yang membuat sulit untuk secara pasti bagaimana error (inefesiensi) dalam

satu fungsi berhubungan koresponden kuantitas dalam fungsi lain.

6.7. Model Efesiensi Non- Frontier

Studi model frontier produksi dimotivasi sebagian oleh ketertarikan dalam struktur

teknologi produksi efisien, tetapi juga oleh ketertarikan dalam perbedaan antara operasi

observasi dengan frontier.Walau notasi frontier dan efisiensi secara nyata saling melengkapi,

terdapat kemungkinan juga menginvestigasi efisiensi tanpa penggunaan eksplisit model frontier

dengan satu-sisi error term. Pembedaan cukup baik,tetapi semua model yang dikaji sebelumnya

membuat beberapa penggunaan struktur error satu-sisi untuk memaksa observasi satu-sisi dari

frontier, sedangkan tak satupun model dibicarakan dalam subseksi ini berbuat yang sama.

Model pertama, dikaji oleh Lau dan Yotopoulos (1971) dan juga digunakan oleh Trosper (1978),

adalah sarana untuk mengamati efisiensi teknis dan harga, yang terakhir adalah kombinasi dari

efisiensi alokatif dan efisiensi skala. Sampel dari perusahaan dipartisi menjadi dua tipe, sebutkan

saja besar dan kecil. Fungsi prediksi (bukan frontier) ditulis

Y i=A i f ( X i ) , i=¿1.2 …….(5.10)

Istilah Ai ≥ 0 adalah indeks efisiensi teknis, dengan dua tipe perusahaan secara efisensi teknis

sama jika, dan hanya jika, A1=A2. Kondisi derivasi pertama dari maksimal profit ditulis

∂ A i f (X i)∂ X ij

=λ ij(W ij

P i) , i=1,2; dan j=1 , .., n

Notasi λ ij ≥ 0 adalah indeks efisiensi harga, ketersediaan dari tipe perusahaan untuk menyamakan

nilai MPP input dengan harga yang sudah dinormalkan. Dua tipe perusahaan adalah sama dalam

efisiensi harga jika, dan hanya jika,λ1 j=λ2 j untuk j=1,..,n dan mereka secara absolute efisien

secara ekonomi jika,λ1 j=λ2 j=1 untuk j=1,..,n. Dua tipe perusahaan akan sama efisien secara

ekonomis jika, dan jika hanya, A1=A2, dan λ1 j=λ2 j untuk j=1,..,n. Akhirnya dua tipe perusahaan

adalah sama efisien secara ekonomis jika,dan jika hanya,fungsi profit masing-masing

berpotongan. Dari pengamatan terakhir dari jumlah yang diuji untuk efisiensi relative menjadi

mungkin, given (common) spesifikasi parametric untuk dua fungsi produksi. Untuk spesifikasi

homogeneus Cobb-Douglas, persamaan (6.11) dan (6.12) dapat dipecahkan untuk fungsi profit

π i=π i(Pi , W i, A i , λi) untuk i=1,2. Uji hipotesis berikut adalah mungkin : (i) efisiensi teknis sama;

(ii) efisiensi harga sama;(iii) efisiensi ekonomis sama; dan (iv) absolute efisiensi harga untuk

masing-masing tipe perusahaan.

Walaupun model ini dapat diperluas menjadi m kasus tipe perusahaan yang berbeda, ia tidak

dapat diperluas untuk mengivestiasi efisiensi atas basis perusahaan ke perusahaan. Disamping itu

keterbatasan data sepertinya membuat m sedikit dalam uji empiris. Kesulitan lain dengan model

ini, share dengan model frontier produksi stokastik bila lebih dari satu tipe inefisiensi yang lebih

menarik, bahwa bentuk fungsi terpilih untuk fungsi produksi secara cukup dapat di telusuri untuk

mengizinkan derivasi dari fungsi produksi yang bersangkutan. Secara praktis membatasi

penggunaan model spesifikasi homogen Cobb-Douglas, semua parameter mengestimasi dan

menguji statistic didasarkan atas model homogen Cobb-Douglas secara luas terpengaruh.

Model kedua. Dilakukan oleh Toda (1976,1977), tidak dilambangkan oleh implementasikan

penggunaan bentuk fungsional terbatas, dan nyatanya dapat diimplementasikan dengan ragam

yang luas dari bentuk fungsi fleksibel. Telah digunakan untuk tujuan sendiri dalam mengalami

inefisiensi teknis, walaupun kelihatannya dapat diperluas untuk melihat inefisiensi teknis dan

skala juga. Toda (1976) mulai dari mengansumsi CRS dan kedua efisiensi teknis dan alokatif,

dan dirancang secara tegas untuk fungsi rata-rata biaya Generalized Leontief dalam bentuk :

c (Y , W )Y

=∑i=1

n

∑j=1

n

αij W i1/2W j

1/2 , α ij=α ji , …(6.12)

Dengan persamaan permintaan input-output minimisasi biaya :

X i (Y , W )Y

=∑i=1

n

αij (W j

W i)

12 , i=1 , .., n…(6.13)

Kemudian dia mengizinkan rasio input-output untuk berbeda dari persamaan permintaan input-

output minimisasi biaya dengan mengansumsi bahwa :

X i

Y=∑

i=1

n

α ij [θ ji (W j

W i)]

1/2

, i=1 ,.. , n… ..(6.14)

Di mana θ ji mengukur efisiensi alokatif. Menggunakan persamaan (6.14), rata-rata biaya

diobservasi adalah :

c (Y , W )Y

=∑i=1

n

αij W i+12∑i=1

n

∑j=1

n

αij (θ1 j1 /2+θ1 i

1 /2 )W i1/2W j

1 /2 ,….(6.15)

Dapat dilihat dengan jelas dari persamaan di atas bahwa W’(X/Y) = c(Y,W)/Y jika, dan hanya

jika, (θij−1/2+θ ij

1/2)=2 membutuhkan θij=1 untuk semua i#j, jika setiap θij# 1, kemudian W’(X/Y)> c(Y,W)/Y, yang merupakan penyederhanaan dari fakta bahwa inefisiensi alokatif

adalah mahal.

Catatan bahwa simetri terjadi dalam fungsi rata-rata biaya persamaan (6.12) dan persamaan

permintaan input-output minimisasi biaya persamaan (6.13), tetapi gagal dalam mengobservasi

anologinya persamaan (6.15) dan (6.14). Lebih lanjut tes untuk tes simetri adalah juga tes untuk

efisiensi alokatif. Toda memperlihatkan bagaimana mengestimasi sistem persamaan (6.14) dan

(6.15). Metode ini menghasilkan estimasi parameter fungsi biaya α ij dan parameter inefisiensi

alokatif θij.Dari parameter inefisiensi alokatif akan memungkinkan membalikkan arah, magnitud

dan biaya dari inefisiensi alokatif.

Keuntungan mengagumkan dari model ini adalah bahwa model ini ditempatkan pada klasifikasi

bentuk fungsional fleksibel. Bentuk ini juga kelihatannya memungkinkan mengerjakan lebih

banyak dengan model ini dibandingkan apa yang dilakukan Toda. Sebagai contoh , inefisiensi

teknis mungkin diperkenalkan dengan penjumlahan gangguan satu-sisi ke persamaan(6.15)dan

(6.16). Kesulitan utama dengan model ini adalah bahwa parameter θij bukan untuk spesifik

perusahaan,dan ukuran hanya porsi sistematik dari inefisiensi alokatif. Untuk memperluasnya

akan ada deviasi random dari rasio output optimal (misalmoel yang dilakukan oleh Schmidt dan

lovell(1977)) porsi sistematik dari inefisiensi alokatif adalah bagian dari perluasan inefisiensi

alokatif itu sendiri.

Sebagai kesimpulannya, dalam model frontier deterministic dan stokastik, inefisiensi

diperkenalkan melalui disturbance error term sehubungan dengan implikasi model ekonometrik

yang cukup ruwet. Dalam model non-frontier inefisiensi diperkenalkan melalui variasi koefisien

(Lau dan Yotopoulos) atau melalui asymmetry (Toda),membuat bagian yang tidak memerlukan

teknik ekonometrik canggih,tetapi mengurangi informasi yang akan diperoleh.