kinematika€¦ · •posisi, rԦ𝑡= 𝑡 Ƹ •kecepatan, 𝑣Ԧ𝑡=𝑣 Ƹ, dengan 𝑣 = 𝑑...
TRANSCRIPT
Kinematika(Gerak Satu dan Dua Dimensi)
Dr. Agus Suroso
([email protected], http://agussuroso102.wordpress.com)
Fisika Dasar I Sem. 1 2018-2019
Kuliah sebelumnya
• Posisi, Ԧ𝑟 𝑡
• Kecepatan, Ԧ𝑣 𝑡 =𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
• Percepatan, Ԧ𝑎 𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡2
• Posisi, Ԧr 𝑡 = 𝑥 𝑡 Ƹ𝑖
• Kecepatan, Ԧ𝑣 𝑡 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 , dengan 𝑣𝑥 =𝑑𝑥
𝑑𝑡
• Percepatan, Ԧ𝑎 𝑡 = 𝑎𝑥 𝑡 Ƹ𝑖, dengan 𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
0 1 2 3-1-2
x
𝑥 𝑡
Arah (+)
Arah (-)
Pada gerak satu dimensi
Grafik x(t)
0 1 2 3-1-2 4 5X (m)
t = 0 t = 4 t = 7
Posisi benda setiap waktu
Grafik x(t)
0 1 2 3-1-2 4 5X (m)
t = 0 t = 4 t = 7
Grafik x-t3 4 5 621
0
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
X (m)
Kecepatan rata-rata
⟨𝑣⟩ =Δ𝑥
Δ𝑡
Kecepatan rata-rata: gradien garis yang melewati dua titik dalam kurva x-t.
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)
X (m)
7 8
Dx
Dt
Kecepatan sesaat
𝑣(𝑡) = limΔ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡=d𝑥
d𝑡
Kecepatan sesaat: gradien garis yang menyinggung grafik x(t) pada titik t tertentu.
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
x (m)
Grafik x(t)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
x (m/s)
v0 < 0
v2 > 0
v6 < v4
v4 = v5 > v2
Grafik v(t)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
x (m/s)
v0 < 0
v2 > 0
v6 < v4
v4 = v5 > v2
Grafik v(t)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s) 𝑣(𝑡) =d𝑥
d𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
Grafik v(t)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s)
𝑣
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) =d𝑥
d𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
Luas partisi pada gambar
Grafik v(t)
Luas daerah antara grafik v(t) dengan sumbu t
Δ𝑥 = න𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑𝑥 = න𝑡𝑖
𝑡𝑓
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s)
ti tf
𝑣(𝑡) =d𝑥
d𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
Percepatan rata-rata
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s) ⟨𝑎⟩ =Δ𝑣
Δ𝑡
Kecepatan rata-rata: gradien garis yang melewati dua titik dalam kurva v(t).
Contoh pada gambar, percepatan rata-rata pada selang t = 1 s hingga t = 5 s.
Percepatan sesaat
𝑎(𝑡) = limΔ𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡=
d𝑣
d𝑡=d2𝑥
d𝑡2
Kecepatan sesaat: gradien garis yang menyinggung grafik v(t) pada titik t tertentu.
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s)
a = 0
a > 0a < 0
Grafik a(t)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (m)7 8
a (m/s2)
3 4 5 6210
1
2
3
-1
-2
4
5
t (s)7 8
v (m/s)
a = 0
a > 0a < 0
Gerak lurus dengan percepatan konstan
Grafik a(t)
0 t (s)
a (m/s2)
a
Grafik v(t)
0 t (s)
v (m/s)
vi
vf
t
Percepatan
𝑎 =Δ𝑣
Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0
Grafik v(t)
0 t (s)
v (m/s)
vi
vf
t
Percepatan
𝑎 =Δ𝑣
Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0
Dari persamaan di atas diperoleh𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
Grafik v(t)
Percepatan
𝑎 =Δ𝑣
Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0
Dari persamaan di atas diperoleh𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
Perpindahan diperoleh dari luas daerahantara grafik v(t) dengan sumbu-t
Δ𝑥 =1
2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡 = 𝑣𝑖𝑡 +
1
2𝑎𝑡2
0 t (s)
v (m/s)
vi
vf
t
Grafik v(t)
Dari dua persamaan𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡,
Δ𝑥 =1
2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡 = 𝑣𝑖𝑡 +
1
2𝑎𝑡2,
diperoleh𝑣f2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎Δ𝑥.
0 t (s)
v (m/s)
vi
vf
t
Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi(Contoh gerak satu dimensi)
Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.• Anggap benda bergerak searah sumbu-y, sehingga posisi benda
setiap waktu Ԧ𝑟 = 𝑦 𝑡 Ƹ𝑗.
• Percepatan benda Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗.
• Misal, saat t = 0:
y0
v0
y
x
𝑔
Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.
Dari data percepatan, dapat dicarikecepatan benda tiap saat,
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡
⇔ න𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = න0
𝑡
(−𝑔) 𝑑𝑡
⇔ 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
y
v = v0 - gt
y
x
𝑔
y0
Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.
Dari kecepatan yang telah diperoleh, dapat dicari posisi benda tiap saat,
𝑦 =𝑑𝑦
𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑡
⇔ න𝑦0
𝑦
𝑑𝑦 = න0
𝑡
(𝑣0 − 𝑔𝑡) 𝑑𝑡
⇔ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −1
2𝑔𝑡2
y0+v0t – ½ gt2 = y
v = v0 - gt
y
x
𝑔
y0
Grafik v(t), mana yang benar?
0 t (m)
v (m/s)
v0
Benda di puncak
0 t (m)
v (m/s)
v0
Benda di puncakataunaikturun
naik
turun
Grafik v(t)
0 t (m)
v (m/s)
v0
Benda di puncak
0 t (m)
v (m/s)
v0
Benda di puncak
Salah*) benar
naikturun
naik
turun
*) Ini adalah grafik laju terhadap waktu.
Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasidan mengalami gesek konstan.(Contoh gerak satu dimensi)
Benda dilempar ke atas dengan kecepatan awal v0, mengalami percepatangravitasi – 𝑔 Ƹj , dan mengalami perlambatan tambahan akibat gesekan udarasebesar a (konstan) yang arahnya selalu berkebalikan dengan arah gerak.
v
y
x
𝑔 + 𝑎v
y
x
𝑔 − 𝑎
naik turun
Mana yang lebih lama, saat naik atau turun?
Grafik v(t)
0 t (m)
v (m/s)
v0
Benda di puncak
naik
turun
Perhatikan bahwaperlambatan benda saatnaik berbeda dibandingsaat turun, sehinggakemiringan grafik pada duaperiode tersebut berbedajuga.
𝑎𝑛𝑎𝑖𝑘 = |𝑔 + 𝑎|𝑎𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 = |𝑔 − 𝑎|
Jelas bahwa,
|anaik| > |aturun|
Grafik v(t)
0 t (m)
v (m/s)
v0
tnaik
tturun
Saat naik dan turun, partikelmenempuh perpindahan yang sama, sehingga luas daerah I dan II sama.
Sehingga,
tnaik < tturun .I
II
PerhitunganNaik
• Waktu yang diperlukan untuk naik (ingatsaat di puncak vf = 0):
𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔 + 𝑎 𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘 = 0
⇔ 𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘 =𝑣0
(𝑔 + 𝑎)(1)
• Tinggi yang dicapai benda:𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 Δ𝑦⇔ 0 = 𝑣0
2 − 2 𝑔 + a Δ𝑦
⇔ Δ𝑦 =𝑣02
2 𝑔 + a.
Turun
• Perpindahan dari puncak ke posisi awal:
Δy =1
2𝑔 − 𝑎 𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛
2
⇔ 𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛2 =
2Δ𝑦
𝑔 − 𝑎=
𝑣02
𝑔 + a (𝑔 − 𝑎)(2)
Kesimpulan
• Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh
𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛
=(𝑔 − 𝑎)
(𝑔 + 𝑎)< 1,
• Sehingga tnaik < tturun
Gerak dua dimensi
Gerak parabolaKondisi awal:• Posisi O. • Kecepatan Ԧ𝑣0 dengan sudut elevasi q
terhadap bidang datar.
Ԧ𝑣0 = 𝑣0 cos 𝜃 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 Ƹ𝑗
• Percepatan, Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗.Ԧ𝑣0
y
x
𝑔
q
Gerak parabolaKecepatan tiap saat
Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑣𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 . … (1)
Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka
𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡. … 2Ԧ𝑣0
y
x
𝑔
q
Gerak parabolaPosisi tiap saat
Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡. … (1)
Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka
𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1
2𝑔𝑡2. … 2
Substitusikan nilai 𝑡 dari pers. (1) ke (2), diperoleh
𝑦 𝑥 = 𝑥 tan 𝜃 −𝑔
2𝑣02 cos2 𝜃
𝑥2.
Ԧ𝑣0
y
x
𝑔
q
Gerak parabolaKecepatan tiap saat
Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡. … (1)
Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka
𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1
2𝑔𝑡2. … 2
Substitusikan nilai 𝑡 dari pers. (1) ke (2), diperoleh
𝑦 𝑥 = 𝑥 tan 𝜃 −𝑔
2𝑣02 cos2 𝜃
𝑥2.
Ԧ𝑣0
y
x
𝑔
q
𝑦(𝑥) berbentuk parabola.
y
x
𝑣𝑦
𝑣𝑥
Gerak parabolaKecepatan tiap saat
Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑣𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 . … (1)
Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka
𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡. … 2
Gerak parabolaTitik puncak lintasan
Pada titik puncak (P), kecepatan vertikal bendabernilai nol. Sehingga,
𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡𝑃 = 0.
Diperoleh waktu untuk mencapai puncak,
𝑡𝑃 =𝑣0 sin 𝜃
𝑔Substitusikan nilai 𝑡𝑃 ke persaman posisi vertikal,diperoleh
𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑣02 sin2 𝜃
2𝑔
y
x
𝑣𝑦
𝑣𝑥
P𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠
Gerak parabolaTitik terjauh lintasan
Pada titik terjauh (R), posisi vertikal bendabernilai nol. Sehingga,
𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡𝑅 −1
2𝑔𝑡𝑅
2 = 0.
Diperoleh waktu untuk mencapai puncak,
𝑡𝑅 =2𝑣0 sin 𝜃
𝑔= 2𝑡𝑃
Substitusikan nilai 𝑡𝑃 ke persaman posisi vertikal,diperoleh
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑣02 sin 2𝜃
𝑔
y
x
𝑣𝑦
𝑣𝑥R
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠
Gerak parabola pada bidang miring
Tentukan L.
Ԧ𝑣0
y
x
𝛽𝛼
R
𝐿
Gerak parabola pada bidang miring
Solusi I• Gunakan persaman gerak seperti pada gerak parabola
yang telah dibahas dan terapkan syarat batas di titik R:𝑦𝑅𝑥𝑅
= tan𝛼 .
• Dari persamaan di atas diperoleh waktu yang diperlukan oleh partikel untuk mencapai titik R (misalnya kita sebut sebagai 𝑡𝑅).
• Gunakan 𝑡𝑅 untuk menentukan posisi horizontal darititik R, kita sebut 𝑥𝑅.
• Gunakan trigonometri,
𝐿 =𝑥𝑅
cos 𝛼
Ԧ𝑣0
y
x
𝛽𝛼
R
𝐿
Gerak parabola pada bidang miring
Solusi II• Gunakan sumbu koordinat seperti di samping. Dengan
koordinat yang baru ini, posisi titik R adalah (𝑥𝑅′ , 𝑦𝑅
′ ) =(𝐿, 0).
• Uraikan percepatan gravitasi ke arah kedua sumbukoordinat yang baru,
𝑎𝑥′ = −𝑔 sin 𝜃 dan 𝑎𝑦′ = −𝑔 cos 𝜃
• Tuliskan posisi partikel dalam koordinat baru.• Pada titik R, 𝑦′ = 0. Dari fakta ini diperoleh 𝑡𝑅.• Gunakan 𝑡𝑅 untuk mendapatkan 𝐿 = 𝑥′(𝑡𝑅).
Ԧ𝑣0
y’
x’
𝛽𝛼
R
𝐿