keserupaan

Tugas kelompokMata Kuliah : Aljabar Linier IIDosen : Inggrid Marlissa S,si

KESERUPAAN

Disusun oleh :

Exan basuki : 2013-84-202-007

Imron Rosadi : 2013-84-202-058

Bernadeta Yumo : 2013-84-202-059

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE2014/2015

Keserupaaan Aljabar linier II

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan ke hadirat ALLAH SWT, nerkat rahnat dan

hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah tepat pada waktu yang telah di

tanttukan. Makalah ini berjudul “ Keserupaan “.

Dalam proses penyusunan makalah ini, tentunya terdapat pihak-pihak yang

telah banyak membantu. Untuk itu penulis ucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dosen Inggridselaku dosen pengetahuan lingkunngan

2. Rekan- rekan kerja kelompok, yang telah meluangkan waktu dan tenaga

demi tercapinya makalah ini.

Kesalahan hanya milik kami dan kesempurnaaan hanya milik ALLAH SWT.

Kami selaku penuis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tentunya masih

jauh dari kesempurnaan. Harapan penulis kritik dan saran yang membangun dan

memberi moyivasi dari pembaca, agar dalam pembuatan makalah selanjutnya

menjadi lebih baik.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan juga bagi penyusun.

Akhir kata penulis ucapkan terima kasih.


KESERUPAAN

Matriks sederhana untuk operator linier basis standar tidak selalu menghasilkan matriks yang paling sederhana untuk operator linier T:R2R2 yang di definisikan oleh

T¿¿ [1]

Dan basis standar B=[e1,e2] untuk R2, di mana

e1=¿ [1 ¿ ] ¿¿

¿¿

Berdasarkan teorema 8.4.1, matriks untuk T berkenaaan dengan basis ini adalah matriks standar untuk T, yaitiu,

[ T ]B=[ T ]=[ T (e1 ) | T (e2) ]Dari [1] di peroleh

T (e1 )=[ 1−2] T (e2)=¿ [ 1¿ ]¿

¿¿¿

sehingga

[2]

sebagai perbandingan, kita telah menunjukkan pada contoh 4 subbab 8.4 bahwa jika

u1=¿ [ 1¿ ]¿¿

¿¿[3]


(T )B=[ 1 1−2 4 ]

Maka matriks untuk T berkenaan dengan basis B,={u1 ,u2}adalah matriks diagonal

2[ T ]

B,=[ 1 1−2 4 ]

[4]

ingat kembali dari Rumus (8) Subbab 6.5 bahwa jika himpunan B =[u1, u2,…….un] dan

himpunan B,={ u

,1 , u

,2 . .. .. u

,n }adalah basis- basis untuk sebuah ruang vector V, maka

matriks transisi dari B, ke B di definisikan oleh rumus

P=[ [ u1, ]B | [ u

2, ]B|.. . .| [ un, ]B ]

[5]

Matriks ini memiliki sifat bahwa untuk setiap vector v pada V

P [ v ] B.=[ v ] B [6]

Yaitu perkalian dengan P memetakan matriks koordinat untuk v relative terhadap B,ke

matriks koordinat untuk v rekatif terhadap B [lihat rumus ke {7} subbab 6.5]. kita telah

menunjukkan dalam teorema 6.5.4 bahwa P dapat di balik dan P−1

adalah matriks transisi

dari B ke B,.

Teorema berikut ini memberikan sudut pandang alternatif yang sangat berguna mengenai matriks transisi; teorema ini menunjukkan bahwa matriks transisi dari suatu basis

B,dapat di pandang sebagai matriks sebuah operator identitas.


Jika B dan B,adalah basis-basis untuk sebuah ruang vector berdimensi terhingga V. dan jika

I:VV adalah operator identitas, maka [I]B,B adalah matriks transisi dari B,ke B

TEOREMA 8.5.1

Pengaruh perubahan Basis terhadap matriks Operator Linier.

Sekarang kita telah siap untuk membahas masalah utama dalam subbab ini.

Jawaban untuk pertanyaan ini dapat di peroleh dengan memperhatikan komposisi dari ketiga

operator linier pada V yang di tunjukkan pada gambar 8.5.2 di bawah ini.

I T I

V V V VBasis = B’ Basis = B Basis = B Basis = B

Masalah, misalkan B dan B,adalah dua basis untuk sebuah ruang vector berdimensi

sehingga V, dan misalkan T:VV adalah sebuah operator linier ,hubungan apakah, jika

memang ada,yang terdapat antara mariks [ T ]B dengan matriks

[ T ]B,

?

Dalam gambar ini, V pertama di petakan ke dirinya sendiri oleh operator identitas,kemudian

V di petakan keT [ v ] oleh T, selanjutnya T [ v ] di petakan kedirinya sendiri oleh operator identitas. Keempat runang vector yang terlihat di dalam komposisi ini adalah sama ( yaitu V ); akan tetapi , basis untuk ruang ini berbeda-beda. Karena vector awalnya adalah V dan

vector akhirannya adalah T [ v ] , komposisi ini dapat di katakana sama dengan T,jelasnya:

T = I o T o I (7)

Jika, sebagaimana di ilustrasikan dalam gambar 8.5.2. ruang vector pertama dan ruang vector

terakhir di tetapkan memiliki basis B, dan dua ruang vector di pertengahan di tetapkan

memiliki basis B, maka dari rumus (7) dan rumus (15) subbab 8.4 ( dengan sedikit penyesuaian pada nama basis-basisnya) kita akan memperoleh

[ T ]

B, ,B, = [I o T o I]B,B=[I]B,B [T]B,B [I]B,B (8)


v v T(v) T(v)

Namun dari teorema 8.5.1 kita mengetahui bahwa [I]B,B adalah matriks transisi dari B,ke B

dan sebagai konsekuensinya [ I ]

B,B adalah matriks transisi dari B ke B

,. Oleh karena itu, jika

misalkan P= [ I ]

B,B , maka

P−1=[ I ]B,

B , sehingga (9) dapat di tuliskan sebagai

[ T ]

B,=P−1 [ T ]B P

Sebagai rangkumannya kita dapat menurunkan teorema berikut ini.

Peringatan, dalam menerapkan teorema 8.5.2. kita mudah lupa apakah P adalah matriks transisi dari B ke B’(salah) atau darii B ke B’(benar). Sebagaimana di tunjukkan dalam gambar 8.5.3, akan sangat membantuapabila kita menuliskan (10) dalam bentuk (9), dengan tetap mengingat bahwa ketiga subskrip “ bagian dalam” adalah sama, dan kedua subskrip bagian luar juga sama. Setelah anda dapat memahami pola yang di tunjkukkan dalam gammbar ini, anda hanya perlu mengingat bahwa P=[I]B,B I adalah nattriks transisi dari B’ ke B dan P-

1=[I]B,B’ adalah inversnya.

CONTOH 1

Misalkan T:R2R2 di definisikan oleh

T ([ x1

x2 ])=[ x1 + x2

−2x1 + 4 x2 ]Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis standar B =[e1,e2] untuk R2, kemudian gunakan teorema 8.5.2 untuk menentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis B =[e1,e2], dimana

u

,1=[11 ]

dan u

,2=[12 ]


Jika T:V-V adalah sebuah operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jiika B dan B’ adalah basis-basis untuk V, maka

{T}B = p-1[T]BP [10]

Di mana P adalah matriks transisi dari B’ ke B

Teorema 8.5.2

Pennyelesaian

Kita telah menunjukkan sebelumnya pada subbab ini [lihat(2)] bahwa

[ T ]B=[ 1 1

−2 4 ]Untuk menentukan [T]B

’ dari (10), kita harus menentukan matriks transisi

P= (T )

b , B,=( [ u,1 ] B | (u ,2 )B)

(lihat 5), melalui inspeksi

U’1 = e1 + e2

U’2 = e1 + 2e2

Sehingga

[u’1]B =

[11 ] dan [u’

1]B = [12]

Dengan demikian , matriks transisi dari B’ ke B adalah

P=[1 1

1 2 ]Anda daapat menemukan bahwa

P−1=[ 2 −1

−1 1 ]Sehingga menurut teorema 8.5.2 mtriks untuk T relative terhadap B’ adalah

[ T ]

B' = P−1 [T ]B P = [ 2 −1−1 1 ] [ 1 1

−2 4 ] [1 11 2 ] = [2 0

0 3 ]Yang konsiten dengan 4.

Keserupaan Hubungan yang ditunjukkan dalam Rumus (10) sedemikian pentingnya sehingga etrdapat suatu terminologi yang berkaitan dengannya.


DAFTAR PUSTAKA

Rorres , A. 2004. Aljabar Linier Elementer, jilid 1. Jakarta, penerbit Erlangga


keserupaan

Documents