Dasar Teori 2-1

BAB 2 2

Dasar Teori

2.1 Keserupaan Model-Prototipe

Keserupaan model-prototipe dapat terpenuhi apabila memenuhi keserupaan geometrik,

keserupaan kinematik, dan keserupaan dinamik. Berikut akan dibahas mengenai seluruh

keserupaan tersebut.

2.1.1 Faktor Skala

Hubungan antara parameter model dan prototipe ditunjukkan oleh rasio skala, yaitu rasio

parameter pada prototipe untuk variabel yang sama dari nilai parameter model.

Secara simbolis, ditunjukkan oleh:

m

px X

XN = (2.1)

Xp = nilai x pada prototipe

Xm = nilai x pada model

Nx = skala x antara prototipe dan model

Banyak rasio skala tidak dapat dipilih secara langsung, tetapi merupakan turunan dari

pemilihan skala lainnya, seperti dimensi luas yang merupakan perkalian dari dimensi panjang.

2.1.2 Keserupaan Geometri

Keserupaan geometri adalah fungsi dari dimensi panjang (L) mensyaratkan model dan

prototip sebanding ukurannya dalam segala arah sehingga didapat bentuk yang sama antara

prototip dan model.

keserupaan geometri dinyatakan dalam:

Lhv NNN == (2.2)

Dasar Teori 2-2

Nv = skala panjang vertikal

Nh = skala panjang horisontal

NL = skala panjang

Suatu model memiliki panjang skala vertikal yang tidak sama dengan panjang skala

horizontal sehingga tidak memenuhi keserupaan geometrik disebut sebagai model dengan

geometri terdistorsi. Model seperti ini dapat digunakan untuk pemodelan gelombang panjang,

sedangkan pemodelan gelombang pendek seperti pengujian koefisisen transmisi dan refleksi

ini harus memenuhi keserupaan geometri.

2.1.3 Keserupaan Kinematik

Keserupaan kinematik mengacu pada pergerakan dari sebuah sistem. Pergerakan yang terjadi

dapat berupa pergerakan fluida atau solid. Pergerakan didefinisikan sebagai perubahan

dimensi panjang terhadap waktu.

Keserupaan kinematik menunjukkan kesamaan gerak partikel pada model maupun pada

partikel. Keserupaan kinematik akan tercapai bila rasio anatara komponen-komponen dari

seluruh pergerakan vektorial untuk prototipe dan model adalah sama untuk semua partikel

untuk setiap saat.

2.1.4 Keserupaan Dinamik

Keserupaan dinamik mensyaratkan skala panjang, skala waktu, dan skala gaya yang sama.

Keserupaan dinamik secara matematik dijelaskan oleh hukum Newton II, bahwa gaya inersia

sebanding dengan sejumlah vektor dari gaya gravitasi, gaya tegangan permukaan, gaya

gesek/kekentalan, gaya kompresi elastis dan gaya tekanan, yang dinyatakan dalam persamaan

matematis :

pevgI FFFFF +++= (2.3)

Dimana :

IF = gaya inersia

gF = gaya gravitasi

Fν = gaya gesek

Dasar Teori 2-3

eF = gaya elastis

PF = gaya tekanan

Rasio gaya inersia di model dan prototipe harus sama dengan rasio jumlah vektor gaya, dalam

persamaan matematis dapat ditulis sebagai berikut :

[ ][ ]

[ ][ ]

ppeavg

mpeavg

pI

mI

FFFFF

FFFFF

F

F

++++

++++= (2.4)

Agar keserupaan dinamik terpenuhi, haruslah memenuhi kriteria-kriteria hidrolis tertentu.

Pada hampir seluruh masalah teknik pantai (dan sekitar 90% dari seluruh masalah hidrolis),

gaya akibat tekanan permukaan dan kompresi elastis biasanya kecil dan dapat diabaikan

(Warnock 1950). Karena alasan ini, keserupaan dinamik dianggap dapat terpenuhi apabila

keserupaaan Reynolds dan Froude terpenuhi.

2.1.4.1 Keserupaan Reynolds

Bila gaya yang terjadi didominasi kekentalan fluida, maka skala berdasarkan keserupaan

Reynolds harus dipenuhi. Dari gaya inersia dan gaya kekentalan diperoleh hubungan :

μρ

μρ LV

VLVL

=22

(2.5)

Keserupaan dapat terjadi saat angka Reynold model sama dengan angka reynold prototipe,

mp

LVLV⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρμ

ρ (2.6)

Persamaan 2.6 diatas dapat disederhanakan menjadi :

1=μ

ρ

NNNN Lv atau 1Re =N (2.7 & 2.8)

Ingat bahwa:

ρμ

=v (2.9)

Dari Persamaan 2.7 dan 2.9 diperoleh hubungan sebagai berikut :

Dasar Teori 2-4

1=νNNN VL (2.10)

dengan skala kecepatan

T

LV N

NN = (2.11)

dengan mensubtitusi Persamaan 2.11 ke Persamaan 2.10 diatas, maka didapat hubungan

skala waktu sebagai berikut,

v

LT N

NN2

= (2.12)

Karena sangat sulit menemukan fluida dengan viskositas yang memenuhi kriteria Reynold,

Namun demikian, pemodelan fisik tetap dapat dilakukan sepanjang bilangan Reynolds untuk

model memenuhi persyaratan tertentu. Hal ini didapat dari suatu penelitian atau eksperimen

yang telah banyak dilaksanakan. Persyaratan tersebut antara lain sebagai berikut :

• 4103×>eR (Hudson,1975)

• 4106.0 ×>eR (Jensen and Klinting, 1983)

• Re model tidak jauh berbeda dengan Re prototipe (Dalrymple, 1985)

2.1.4.2 Keserupaan Froude

Jika gaya gravitasi dominan dalam suatu fenomena fisik maka skala berdasarkan keserupaan

Froude harus dipenuhi.

Keserupaan Froude :

( ) ( ) 2/12/1pp

p

mm

m

LgV

LgV

= (2.13)

Karena percepatan gravitasi tetap (gm = gp) sehingga Ng = 1, maka Persamaan 2.13 diatas

dapat ditulis,

( ) ( )p

p

m

m

L

V

L

V= (2.14)

dapat ditulis juga sebagai:

Dasar Teori 2-5

1=L

V

NN

(2.15)

2.1.5 Syarat-Syarat Keserupaan Pengujian

Pengujian yang dilakukan haruslah memenuhi keserupaan-keserupaan:

1. Keserupaan geometri

2. Keserupaan kinematik

3. Keserupaan dinamik

a. kriteria froude

b. kriteria reynolds

Pengujian koefisien refleksi tergolong pada Pengujian gelombang pendek yang memerlukan

permodelan yang tidak terdistorsi, yaitu memiliki skala horizontal sama dengan skala vertikal

yaitu

Lhv NNN == (2.16)

atau

1=h

v

NN

(2.17)

Nv = skala panjang vertikal

Nh = skala panjang horisontal

NL = skala panjang

Karena itu syarat keserupaan geometri terpenuhi.

Apapabila panjang gelombang pada Pengujian dinyatakan dengan

)2tanh(2

2

LhgTL π

π= (2.18)

Rasio panjang gelombang antara prototipe dan model menjadi

Dasar Teori 2-6

m

p

m

p

LhgT

LhgT

LL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=)2tanh(

2

)2tanh(2

2

2

ππ

ππ

(2.19)

karena

1)2(

)2(==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L

h

m

p

m

p

m

p

NN

LL

hh

Lh

Lh

π

π

(2.20)

maka nilai tangen hiperbolis antara prototipe dan model akan sama sehinggga persaman 2.20

menjadi

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

m

p

m

p

m

p

TT

gg

LL

(2.21)

atau

2TgL NNN = (2.22)

karena nilai gravitasi tak dapat diubah sehingga Ng = 1, maka

2TL NN = (2.23)

Syarat keserupaan kinematik dapat dipenuhi apabila

LT NN = (2.24)

Dari Persamaan 2.24 dan 2.15 dapat diperoleh hubungan rasio kecepatan antara model dan

prototipe sebagai berikut:

2/1LV NN = (2.25)

maka keserupaan froude akan terpenuhi bila

vT NN = (2.26)

karena hampir tidak mungkin menemukan fluida dengan viskositas yang memenuhi kriteria

Reynold, maka untuk pengujian ini diasumsikan kriteria reynold sudah terpenuhi.

Dasar Teori 2-7

2.2 Teori Gelombang Airy

Gambar 2.1 Skema gelombang dan syarat-syarat batas

Sumber : Dean, Robert G, dan Dalrymple, Robert A.1992. Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists

Teori Gelombang airy adalah suatu teori gelombang sederhana yang paling sering dipakai

dalam menyederhanakan keadaan gelombang laut yang acak. Skema gelombang dan syarat-

syarat batas pada Teori Gelombang Airy dapat dilihat pada Gambar 2.1

Persamaan pengatur yang dipakai pada persamaan gelombang Airy

2

2

2

22

zx ∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ∇ (2.27)

Persamaan Laplace ini harus berlaku pada semua bagian fluida.

Persamaan gelombang airy yang dipakai juga memenuhi syarat-sayarat batas di bawah ini

2.2.1 Syarat Bebas Kinematik

Syarat ini menyatakan bahwa pada bagian batas antara fluida dengan zat lain seperti di

permukaan, di dasar tanah tidak ada aliran yang tegak lurus dari fluida ke benda lain di batas

tersebut.

Jika F(x,z,t) = 0, merupakan suatu persamaan permukaan batas, maka berdasarkan syarat

kinematis bahwa ketika suatu partikel ikut bergerak sesuai dengan bentuk permukaan maka

total derivative dari permukaan tersebut terhadap waktu akan sama dengan nol pada

permukaannya.

Dasar Teori 2-8

0.),,(

=∂∂

+∂∂

=zFw

tF

DttzxDF

(2.28)

dengan u = Kecepatan partikel arah sumbu x

w = Kecepatan partikel arah sumbu z

0. =∇+∂∂ Fu

tF

FnuFutF

∇=∇=∂∂

− ...

dengan n = arah normal bidang

Jadi FtF

nu∇∂∂−

=. pada F(x,z,t) = 0

Dengan

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∇zF

xFF

2.2.1.1 Bottom Boundary Conditions

Persamaan untuk batas bawah dasar perairan bisa ditulis F(x , z) = z +h(x) = 0. Maka dengan

u.n = 0

Dimana 1)/(

1

2 +

+=

∇∇

=dxdh

kidxdh

FFn

(2.29)

Didapatkan 0=+ w

dxdhu

pada z = -h(x)

dxdhuw −=

pada z = -h(x)

untuk dasar perairan yang rata , didapatkan , w = 0 pada z = -h. Untuk dasar perairan yang

memiliki kemiringan didapatkan

dxdh

uw

−= (2.30)

Dasar Teori 2-9

2.2.1.2 Kinematic Free Surface Boundary Conditions

Persamaan untuk permukaan perairan bisa ditulis

F( x , z , t) = z – η(x , t) = 0

Dimana η(x , t) adalah perpindahan permukaan air terhadap bidang horizontal.

Kinematic Boundary Condition yang berlaku pada permukaan air ini adalah

1)/(/.

2 +∂∂

∂∂=

xtnu

η

η

pada z = η (x,t)

dimana 1)/(

1

2 +∂∂

+∂∂

−=

x

kixn

η

η

didapatkan xu

tw

∂∂

−∂∂

=ηη

pada z = η (x,y,t)

2.2.1.3 Dynamic Free Surface Boundary Conditions

Kondisi batas ini mensyaratkan bahwa tekanan pada permukaan bebas harus seragam

sepanjang gelombang, dengan persamaan bernoulli dengan Pη = konstan pada permukaan

bebas )(

P)(

21 22 tCgzwu

t=++++

∂Φ∂

ρη

(2.31)

2.2.2 Lateral Boundary Conditions

Untuk gelombang yang periodik terhadap ruang dan juga waktu, maka kondisi batas lateral

bisa ditulis dalam suatu fungsi periodik persamaan (2.32)

),(),(),(),(

TtxtxtLxtx

+Φ=Φ+Φ=Φ

(2.32)

dengan L merupakan panjang dari gelombang dan T adalah periode gelombang.

2.2.3 Metode Pemisahan Variabel

Dengan menyelesaikan persamaan pengatur dan kondisi-kondisi batas diatas dengan metode

pemisahan variabel .Kecepatan Potensial dari gelombang dimisalkan dengan

Dasar Teori 2-10

)().().(),,( tTzZxXtzx =Φ (2.33)

dimana X(x) adalah fungsi dengan satu variabel x, yaitu koordinat horizontal saja. Z (z) hanya

dipengaruhi oleh z saja dan T(t) adalah fungsi yang dipengaruhi oleh faktor waktu saja.

Karena Φ harus periodik dalam waktu sesuai dengan lateral boundary condition maka bisa

ditulis ttT .sin)( σ= . σ , frekuensi sudut dari gelombang, dapat diselesaikan dengan

menggunakan syarat batas periodik

)(sin.sin Ttt += σσ

atau TtTtt .sin..cos.cos..sin.sin σσσσσ += yang berlaku untuk Tπσ 2

=

maka didapatkan persamaan potensial kecepatan yang baru

tzZxXtzx .sin).().(),,( σ=Φ dengan mensubstitusikannya ke persamaan laplace didapatkan

0.sin.)().(.sin).(.)(2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂ t

zzZxXtzZ

xxX σσ

jika persamaan tersebut dibagi semuanya dengan Φ maka didapatkan

0)(1)(12

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

zzZ

ZxxX

X Persamaan diatas dapat diselesaikan jika kedua komponen mempunyai nilai yang sama tapi

berlainan tanda, yaitu

222

)(/)( k

xXxxX

−=∂∂

222

)(/)( k

zZzzZ

+=∂∂

Persamaan diatas merupakan suatu persamaan differensial biasa yang dapat diselesaikan

secara terpisah. Didapatkan tiga kemungkinan solusi untuk menyelesaikan persamaan tersebut

sesuai dengan nilai k, yaitu jika k = real, k = 0 atau k = bilangan imajiner murni. Tabel 2.1

menunjukkan variasi solusi yang memungkinkan berdasarkan jenis k.

Dasar Teori 2-11

Tabel 2.1 Macam-macam solusi berdasarkan jenis k

Jenis k Persamaan Differensial

Biasa

Solusi

Real k2 >0

0

0

22

2

22

2

=−∂∂

=+∂∂

ZkzZ

XkxX

kzkz DeCezZkxBkxAxX

−+=

+=

)(sincos)(

k = 0

0

0

2

2

2

2

=∂∂

=∂∂

zZ

xX

DCzzZBAxxX

+=+=

)()(

Imajiner

k2 >0,k= ki

k =magnitude

of k

0

0

22

2

22

2

=+∂∂

=−∂∂

ZkzZ

XkxX

zkDzkCzZBeAexX xkxk

sincos)()(

+=

+= −

Dengan mengaplikasikan sayarat-sarat batas yang dipunyai bisa didapatkan solusi sebagai

berikut.

2.2.3.1 Penggunaan syarat batas lateral

Seluruh solusi yang ada pada tabel 2.1 memenuhi persamaan laplace, tapi ada beberapa yang

tidak periodik. Didapatkan jika k = real dan tidak nol maka solusi yang didapatkan menjadi

periodik. Didapatkan solusi untuk persamaan potensial kecepatan menjadi

tDeCekxBkxAtzx kzkz .sin))(sincos(),,( σ−++=Φ (2.34)

syarat batas terpenuhi jika

)(sin)(cossincos LxkBLxkAkxBkxA +++=+

= kLkxkLkxA sin.sincos.(cos −

+ )sin.coscos.(sin kLkXkLkXB +

untuk semua cos kL=1 dan sinkL=0, yang berarti kL=2п atau k (bilangan gelombang) = Lπ2

Dasar Teori 2-12

2.2.3.2 Penggunaan syarat batas bottom boundary condition untuk dasar yang

horizontal

Dengan mensubstitusikan pers. (2.34) ke pers.(2.29) syarat batas bottom boundary condition

didapatkan

0.sin(cos ) =−−=∂Φ∂

−= − tkDekCekxAz

w kzkz σ pada z = -h

atau 0.sin)(cos =−−= − tkDeCekxA khkh σ (2.35)

pers. (2.35) berlaku untuk semua x dan t jika persamaan didalam tanda kurung harus sama

dengan nol. Dapat disimpulkan bahwa khDeC 2= (2.36)

dengan mensubstitusikannya ke pers. (2.35) didapatkan persamaan

tDeeDekxA kzkzkh .sin)(cos 2 σ−+=Φ (2.37)

dengan mengeluarkan faktor khDe didapatkan persamaan

teekxADe zhkzhkkh .sin)(cos )()( σ+−+ +=Φ (2.38)

atau tzhkkxG .sin)(cosh.cos. σ+=Φ

2.2.3.3 Penggunaan syarat batas dynamic free surface boundary condition

Pada penjelasan sebelumnya , persamaan bernoulli di pers. (2.31) dapat digunakan untuk

menspesifikasikan tekanan yang konstan pada permukaan air. Tapi persamaan bernoulli harus

juga berlaku untuk pada z = η (x,t) yang merupakan faktor yang dicari. Salah satu metode

yang digunakan adalah dengan menggunakan deret taylor dengan menggunakan nilai yang

telah diketahui pada z = 0

.....)()()( 00 +

∂∂

+= === zzz quationbernoulliez

quationBernoulliequationBernoulliE ηη

atau 0

2222

22==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂Φ∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂Φ∂

−zz

wut

gzwut

gzη

)(....)(

21

0

222

tCwuztz

gz

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂Φ∂

−+=

η

Dasar Teori 2-13

dengan linearisasi , bisa dimisalkan jika η kecil , maka bisa diasumsikan bahwa kecepatan dan

tekanan yang ditimbulkan juga kecil. Bisa didapatkan bahwa η << 1, tapi η2<< η, atau uη<< η.

Dengan mengabaikan faktor yang sudah dilinearisasi persamaan Bernoulli bisa ditulis

)(tCt

gz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Φ∂

−=η

η

dari persamaan diatas dapat dicari persamaan pada permukaan air

)(1

0

tCtg z

+∂Φ∂

==

η (2.39)

dengan mensubstitusikan persamaan kecepatan potensial pada persamaan (2.38) , didapatkan

persamaan

gtCtzhkkx

gG

z

)(.cos)(coshcos0

++==

σση

gtCtkxkh

gG )(.coscoshcosh +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= σσ

(2.40)

karena η akan mempunyai nilai nol dalam arti waktu dan ruang, C(t)=0. Suku didalam tanda

kurung akan menjadi konstan , oleh karena itu η merupakan suatu fungsi dengan suatu

konstanta dikali dengan suatu fungsi yang periodik berdasarkan waktu dan ruang dikalikan

suatu fungsi waktu. Didapatkan η dengan persamaan

tkxH .coscos2

ση = (2.41)

didapatkan konstanta G sebagai suatu persamaan

khHgG

cosh2=

(2.42)

didapatkan suatu persamaan potensial

tkxkh

zhkHg σσ

sincoscosh2

)(cosh +=Φ

(2.43)

Dengan H = tinggi gelombang

g = Percepatan gravitasi

σ = Kecepatan Sudut Gelombang = Tπ2

k = Bilangan Gelombang = Lπ2

Dasar Teori 2-14

2.2.3.4 Penggunan syarat batas kinematic free surface boundary condition

Syarat ini akan digunakan untukmengetahui hubungan anatara k dengan σ . Dengan

menggunakan deret taylor untuk mencaritahu kondisi batas pada ketinggian yang tidak

diketahui , bisa didapatkan z = η (x,t) sampai z=0, didapatkan

0==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−zz x

ut

wx

ut

w ηηηη

η

)(....

0

tCx

ut

wz z

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−∂∂

+=

ηηη

dengan melinearisasi factor-faktor yang kecil seperti η, u , dan w dan karena η bukan

merupakan fungsi dari z, kita dapatkan persamaan free surface boundary conditions yang

telah dilinearisasi

0=∂∂

= ztw η

atau tz z ∂∂

=∂∂

− =ηφ

0

dengan mensubstitusikan Ф pada persamaan (2.43) dan η pada persamaan (2.41) didapatkan

0.sincos

cosh)(sinh

2 =

+−

ztkx

khzhkgkH σ

σ

tkxH .sincos2

σσ−= (2.44)

didapatkan persamaan dispersi gelombang

khgk tanh2 =σ (2.45)

Persamaan dispersi pada persamaan (2.45) menunjukkan bahwa pada daerah laut dalam

gelombang dengan karakteristik yang berbeda akan memilki kecepatan gelombang yang

berbeda jga, tetapi ketika memasuki daerah laut dangkal maka gelombang – gelombang tadi

akan memiliki kecepatan yang sama.

2.3 Zero Mean dan Zero Up-crossing

2.3.1 Zero Mean

Proses zero mean adalah proses pengubahan data time series fluktuasi muka air agar rata-

ratanya sama dengan nol untuk mendapatkan time series fluktuasi muka air rata-rata (η). Hal

Dasar Teori 2-15

ini dilakukan karena blok data timeseries fluktuasi muka air yang akan dianalisis adalah

elevasi muka air relatif terhadap fluktuasi muka air rata-rata.

Zero mean dilakukan dengan mengurangi nilai elevasi muka air dengan nilai rata-rata dari

timeseries fluktuasi muka air itu sendiri, dengan rumus :

ηηη −= i (2.46)

Dimana, η = Timeseries fluktuasi muka air baru terhadap elevasi muka air rata-rata

iη = Timeseries fluktuasi muka air hasil rekaman wave gauge yang telah dikalibrasi η = Nilai rata-rata timeseries fluktuasi muka air hasil rekaman wave gauge (η ) dengan

rumus:

∑=

=N

iiN 1

1 ηη (2.47)

dengan N =jumlah data dalam timeseries

Untuk lebih jelasnya mengenai proses zero mean dapat dilihat pada Gambar 2.2

(a)

η

η (t)

t

Dasar Teori 2-16

(b)

Gambar 2.2 Time series muka air (a) sebelum proses zero mean (b) sesudah proses zero

mean

2.3.2 Zero Up-crossing

Zero up-crossing adalah metode numerik untuk mencari nilai tinggi gelombang dan periode

dengan menyusur keatas dan memotong nilai nol. Ilustrasi metoda zero up-crossing dapat

dilihat pada Gambar 2.3

Gambar 2.3 Ilustrasi metoda zero up-crossing

Syarat untuk perioda

• Titik ηi < ηi+1 dan ηi <0 ; η i +1 >0

• Titik ηi < ηi+1 dan ηi >0 ; ηi -1 <0

η

η (t)

t

η

η (t)

t

H2

T2

H1 Hn

T1 Tn

Dasar Teori 2-17

Langkah mencari perioda:

1. Gunakan syarat diatas, simpan data yang memenuhi syarat diatas, sehingga akan ada 2

titik tersimpan.

2. Buat persamaan garis pada 2 titik tersebut (y=ax+b) dengan persamaan garis tersebut,

cari nilai x yang berupa perpotongan terhadap titik nol.

3. Cek lagi data untuk titik yang lain, kemudian simpan 2 titik yang memenuhi syarat dan

buat persamaan garis lagi. Dengan persamaan garis tersebut cari nilai x yang

perpotongan terhadap titik nol

4. Selisih kedua titik yang berupa perpotongan terhadap titik nol tersebut adalah satu

perioda (T).

Syarat untuk tinggi gelombang

• Titik ηi > ηi-1 dan ηi > ηi +1 Puncak Gelombang

• Titik ηi < ηi-1 dan ηi > ηi +1 Lembah Gelombang

Langkah mencari Tinggi Gelombang

1. Dengan syarat perioda cari 2 titik perpotongan terhadap titik nol.

2. Dengan syarat tinggi gelombang cari titik puncak atau titik lembah

3. Dengan tiga titik yang dipunyai bisa didapatkan persamaan parabolik (y=ax2+bx+c)

4. Dari persamaan parabolik cari titik puncak persamaan atau titik minimum persamaan

5. Tinggi gelombang adalah selisih titik puncak dan titik minimum persamaan diantara 2

titik perpotongan terhadap nol.

2.4 Teori Titik Berat Benda

2.4.1 Rumus Umum Sifat Penampang Dasar

Semua besaran sifat penampang datar dapat diwakili oleh rumus-rumus terpadu yang

diberikan dalam bentuk sebagai berikut ini.

∫=A

mmx dAyM

(a)

dAxMA

nny ∫=

(b)

∫=A

nmmnxy dAxyM

(c)

(2.48)

Dasar Teori 2-18

( )∫ ∫ +==A A

nnn dAyxdAM 2/22ρρ

(d)

Dikatakan bahwa Mxm adalah momen ke-m dari penampang terhadap sumbu X, My

n momen

ke-n dari penampang terhadap sumbu Y, dan Mρn adalah momen ke-n dari penampang

terhadap sumbu Z. Bentuk Mxymn merupakan momen silang ke-m dan ke-n dari permukaan

datar masing-masing terhadap sumbu X dan Y. Bentuk-bentuk yang sering kita temukan

dalam praktek, dapat diturunkan dari bentuk-bentuk dalam Pers 2.48 di atas.

2.4.2 Luas permukaan

Rumus untuk luas penampang merupakan kasus paling khusus dari Pers 2.48 dimana m = n =

0. Dengan demikian, diperoleh :

∫=A

dAA (2.49)

Dimana untuk tata sumbu kartesius misalnya, dapat digunakan bentuk diferensial luas

dA=dxdy. Perhatikan bahwa luas permukaan datar dapat dihitung tanpa memperdulikan titik

awal dari mana x dan y diukurkan, seperti dalam Gambar 2.4

Gambar 2.4 Penampang datar

Sumber : Halliday, David, dan Resnick, Robert.1978.Fisika Jilid 1

2.4.3 Momen Statis

Untuk kasus dimana m = 1 dalam Pers (2.48.a) dan n = 1 dalam Pers (2.48b) , diperoleh

bentuk

dAyMSA

xx ∫== 1

(2.50)

Dasar Teori 2-19

dAxMSA

yy ∫== 1

yang didefinisikan sebagai momen statis (static moments) permukaan masing-m,asing

terhadap sumbu X dan Y , seperti terlihat dalam Gambar 3.1. Perhatikan bahwa titik awal

O merupakan titik sembarang yang dipilih sebagai titik referensi darimana absis x dan ordinat

y diukurkan. Jika Sx dan Sy dipandang sebagai besaran vektor momen dari “gaya” dA terhadap

sumbu X dan Y, keduanya dapat digambarkan secara vektorial masing-masing pada sumbu X

dan Y seperti dalam Gambar 2.4.

2.4.4 Titik Berat Penampang

Titik berat permukaan dapat dipandang sebagai suatu titik, yang jika seluruh permukaan

dipusatkan (lumpedI) disana, akan memberikan momen statis yang sama terhadap kedua

sumbu atau terhadap sumbu manapun juga. Jadi, jika (xo, yo) adalah koordinat titik pusat C

relatid terhadap sumbu (X, Y) seperti dalam Gambar 2.5, diperoleh

∫

∫==

==

Axo

yA

o

SydAyA

SdAxxA

.

.

(2.51)

Gambar 2.5 Momen statis penampang

Sumber : Halliday, David, dan Resnick, Robert.1978.Fisika Jilid 1

Dasar Teori 2-20

Dengan demikian, koordinat titik berat penampang dapat dihitung dengan rumus

∫

∫

∫

∫

==

==

A

Axo

A

Ayo

dA

ydA

AS

y

dA

xdA

AS

x

(2.52)

2.5 Dinamika Struktur

Model yang dibuat mewakili suatu struktural sistem sebagai suatu osilasi sederhana dengan

viscous damping, seperti Gambar 2.6 di bawah ini.

Gerakan suatu perangkat alat ekstraksi gelombang dan gelombang akan tergantung dari

amplitudo dan periode (atau frekuensi sudut) dari gelombang datang, yang akan membuat

suatu Gaya pembangkit yang periodik dalam bentuk tF 00 cos. ω .

Gambar 2.6 Model dari gerakan sistem interaksi alat dengan gelombang

Sumber : Paz, Mario.1990.Structural Dynamics Theory and Computation

Gerakan ini juga akan di kontrol oleh suatu gaya pemulih yang disebabkan oleh buoyancy dan

proporsional terhadap perpindahan, dan oleh gaya penghambat (damping force) yang

disebabkan oleh gesekan, ekstraksi energi dan radiasi. Gaya ini diasumsikan terkait secara

linear dengan kecepatan dari gerakan alat atau fluida.

Dengan pengaruh dari gaya-gaya tersebut, alat atau fluida akan mengalami akselerasi atau

deakselerasi yang diperoleh dengan mengaplikasikan teorema Newton ke sistem tersebut dan

akan didapatkan

∑ = AMF .

Dasar Teori 2-21

maka dipunyai suatu sistem dengan persamaan III xmxcxktF ...cos. 00 =−−ω

tFxkcxxm III00 cos... ω=++ (2.56)

tmF

xmkx

mcx III

00 cos.. ω=++

dengan 2sm

k ω=, dimana ωs adalah frekuensi natural yaitu frekuensi yang dimiliki oleh

sebuah struktur sendiri

smc ως ..2=

maka pers. (2.30) akan menjadi

t

mF

xxx sI

sII

002 cos.....2 ωωως =++

(2.57)

persamaan (2.31) juga bisa ditulis dengan

ti

sI

sII e

mF

xxx ..02 0.....2 ωωως =++ (2.58)

dimana θθθ sin.cos. iei += berarti persamaan (2.58) memiliki dua bagian yaitu komponen

real dan juga komponen imajiner , karena hanya komponen imajinernya saja yang berlaku

pada komponen gaya maka komponen real pada persamaan tersebut dapat diabaikan.

Jika tI

s eAx .. 0. ω= (2.59)

bisa didapatkan tII

s eiAx ..0

0... ωω= (2.60)

tIII

s eAx ..20

0.. ωω−= (2.61)

deangan mensubstitusikan persamaan (2.61), persamaan (2.60) dan persamaan (2.59) ke

persamaan (2.58) maka didapatkan

titI

stI

stI e

mF

eAeiAeA ..0..2..0

..20

0000 .........2.. ωωωω ωωωςω =++− (2.62)

Dasar Teori 2-22

Sehingga 0.20

2

0

..2 ωωςωω ss

mF

A+−

= (2.63)

maka bisa didapatkan

θ

ω

ωωςωω .20.

20

2

..0

.)..2()(

. 0

iss

ti

se

emF

X+−

=

222

00

2222

)..(0

)..2()1(

)cos(.

.)..2()1(.

. 0

rr

tkF

rr

emF

Xs

ti

sς

θω

ςω

θω

+−

−=

+−=

−

(2.64)

dengan 21..2tanrr

−=

ςθ (2.65)

Persamaan (2.58) jika disederhanakan lagi menjadi

222

max

)..2()1(1

rrXX

Dst ς+−

== (2.66)

Persamaan (2.66) disebut Dynamic Magnification Factor yang bervariasi dengan frekuensi

rasio r dan damping rasio ς . Persamaan tersebut menyatakan bahwa suatu sistem struktur

dengan damping yang kecil, puncak dari amplitudo terjadi pada rasio frekuensi mendekati

satu, yaitu ketika dynamic magnification factor-nya memiliki nilai maksimum pada saat

resonansi (r =1).

2.6 Prinsip ekstraksi Gelombang

Prinsip dasar dari absorbsi energi gelombang adalah bahwa energi dari gelombang harus di

pindahkan dari gelombang. Berarti resultan gelombang, setelah melewati alat penangkap

energi gelombang, menjadi berkurang atau bahkan menjadi nol sama sekali.

Suatu perangkat ekstraksi energi gelombang, atau objek apapun, yang berosilasi di suatu

perairan akan menimbulkan suatu gelombang. Dimana Resultan gaya yang dimaksud adalah

interaksi antara gelombang yang dihasilkan oleh alat dan gelombang datang. Agar perangkat

penyerap energi gelombang dapat menyerap energi gelombang maka gelombang resultan

yang dihasilkan haruslah lebih kecil dibandingkan dari gelombang yang datang, yang berarti

gelombang datang dan gelombang yang dihasilkan oleh alat saling meniadakan satu sama

Dasar Teori 2-23

lainnya. Suatu perangkat absorbsi energi gelombang yang baik haruslah suatu perangkat

pembuat gelombang yang juga baik.

Suatu objek simetris yang ditahan sedemikian rupa sehingga objek tersebut berosilasi pada

satu bidang, baik tegak lurus atau pararel terhadap muka perairan , hanya dapat menyerap

energi gelombang 50 % dari total energi yang ingin di serap dari gelombang yang datang.

Gambar 2.7 di bawah ini menunjukkan proses absorbsi energi gelombang

Gambar 2.7 Simulasi prinsip ekstraksi energi gelombang

Gambar (a) menunjukkan gelombang datang yang tidak terganggu oleh suatu objek di

perambatannya, kondisi teoritis gelombang. Gambar (b) menunjukkan suatu objek asimetris

yang berosilasi secara vertical (heaving) pada suatu perairan . Gambar (c) menunjukkan

objek yang sama berosilasi secara horizontal (rocking) dan menciptakan gelombang yang

asimetris. Gambar (d) menunjukkan superposisi dari ketiga kondisi di gambar-gambar

sebelumnya.

Dari sini bisa kita dapatkan efek yang ditimbulkan oleh suatu alat absorbsi energi gelombang

yang dapat berosilasi dengan dua derajat kebebasan. Gelombang datang dengan keadaan

aslinya setelah melewati perangkat absorbsi gelombang, efek dari rocking dan heaving

terhadap gelombang datang di superposisikan dan karena mempunyai besar yang sama

dengan gelombang yang dating kedua gelombang tersebut saling meniadakan, dan bisa kita

dapatkan kondisi absorbsi energi gelombang ideal 100 %.