PERTIDAKSAMAAN

Oleh : Hidayati RusnedySMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA

1. Pengertian PertidaksamaanPertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang

dihubungkan dengan notasi / lambang <, >, ≤ atau ≥. Contoh : a. x + 5 < 12 c. 2x2 – 3x + 5 ≥ 0

b. (x – 2)(x + 3)2(x + 4) ≤ 0 d. √(10 – 2x) > x + 5

Sebelum kita bahas lebih jauh tentang pertidaksamaan, masih ingatkah kamu tentang pengertian interval / selang ?

Contoh : Nyatakan suatu himpunan penyelesaian yang merupakan

himpunan bilangan real yang memenuhi :a. x > 4 c. 2 ≤ x ≤ 5b. x ≤ -2 d. x ≤ -1 atau x > 4

4

-1

-2

52

4

Sifat-sifat Pertidaksamaan1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau

pengurangan suatu bilangan yang sma dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut.Misal :

x + 3 < 5 ↔ x + 3 – 3 < 5 – 3

↔ x < 22. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau

pembagian suatu bilangan positif dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut

Misal :2x ≥ 18

↔ 2x . ½ ≥ 18 . ½ ↔ x ≥ 9

3. Tanda pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau pembagian suatu bilangan negatif dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut.Bukti :Misalnya : a < b dan k < 0karena a < b maka a – b = n , dimana n < 0sehingga : k ( a – b ) = kn ↔ ka - kb = kn > 0 ↔ ka > kbContoh :- 4x < 12 ↔ - 4x . – ¼ > 12 . - ¼ ↔ x > -3

Pertidaksamaan LinierPertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah satu

Contoh :Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut ini :a. 2x – 5 < 13b. 3x + 2 ≥ 5x – 22c. 3 < x + 4 < 7d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5Jawab :a. 2x – 5 < 13 ↔ 2x < 13 + 5 ↔ x < 18HP = { x / x < 18 }

18

b. 3x + 2 ≥ 5x – 22 ↔ 3x – 5x ≥ - 22 – 2 ↔ - 2x ≥ -24 ↔ x ≤ 12

HP = { x / x ≤ 12 }c. 3 < x + 4 < 7 ↔ 3 – 4 < x < 7 – 4 ↔ - 1 < x < 3

HP = { x / -1 < x < 3 }d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5 ↔ 3x + 1 ≤ 2x – 6 ↔ 3x – 2x ≤ -6 - 1 ↔ x ≤ - 7 atau : 2x – 6 ≤ x – 5 ↔ 2x – x ≤ -5 + 6 ↔ x ≤ 1

12

3- 1

atau : 3x + 1 ≤ x – 5

↔ 3x – x ≤ -5 – 1 ↔ 2x ≤ -6 ↔ x ≤ -3

hasilnya

- 7

-3

1

- 7

HP = { x / x ≤ - 7 }

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah dua.Ada 2 cara menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat yaitu :a. dengan metode garis bilanganb. dengan metode sketsa grafik

Penyelesaian

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol.2. Faktorkan.3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang

menyebabkan nilai faktor sama dengan nol.4. Gambar garis bilangannya

• Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

• Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda.

6. Tentukan himpunan penyelesaian→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 74x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 74x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0–x2 + 4x + 5 ≥ 0–(x2 – 4x – 5) ≥ 0–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0x = 5 atau x = –1

Garis bilangan :• menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

• karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif

• karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Metode sketsa grafik

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan metode sketsa grafik fungsi kuadrat seperti yang telah kita pelajari pada kompetensi dasar grafik fungsi kuadrat yang lalu. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Hal yang perlu diperhatikan sebelum kita menggambar parabola y = ax2 + bx + c adalah a dan D (diskriminan = b2 – 4ac) . Perhatikanlah hal yang berikut ini :

a.

Jika a > 0 (Mempunyai nilai balik minimum).D > 0 (memotong sb x di 2 titik yang berlainan).

b.

a > 0D=0 (menyinggung sb x/terdapat 1 titik persekutuan).

c.

a > 0D < 0 (tidak memotong/menyinggung sb x).

d.

a < 0 (mempunyai nilai balik maksimum)

D > 0 (memotong sb x di 2 titik yang berlainan).

e.

a < 0 D = 0 (menyinggung

sb x, mempunyai 1 titik persekutuan).

f.

a < 0 D < 0 (tidak

memotong/menyinggung sb x)

Hal yang perlu diperhatikan dalam menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu :

a. Titik potong dengan sumbu X syaratnya y = 0b. Titik potong dengan sumbu Y syartanya x = 0c. Sumbu simetri yaitu x = -b/2ad. Titik Puncak yaitu P( -b/2a , -D/4a)Contoh 5 :Tentukan HP dari pertidaksamaan kuadrat x2 – x < 3x

dengan menggunakan sketsa grafik. Jawab :

x2 – x < 3x ↔ x2 – x - 3x < 0 ↔ x2 – 4x < 0

Kita harus menggambar grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x dan setelah itu kita tentukan daerah penyelesaiannya yang berada dibawah sumbu X.

a. Titik potong dengan sumbu X syaratnya y – 0y = x2 – 4x 0 = x2 – 4x0 = x ( x – 4)x = 0 atau x = 4

b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya x = 0y = 3

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (3,0)

c. Sumbu simetri x = -b/2a x = - (-4) / 2.1 x = 2

d. Puncak P(-b/2a , -D/4a) P ( 2, -(b2 – 4ac) /4a )

P ( 2, -((-4)2-4.1.0 / 4.1) P ( 2, -16/4) P (2 , -4)

Sketsa grafiknya adalah sebagai berikut :

20

-4

4

Y

X

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diantara 0 dan 4 yang berada dibawah sumbu X (karena tanda pertidaksamaannya < 0)

Jadi HP = { x / 0 < x < 4}

Pertidaksamaan Bentuk Pecahan

Pertidaksamaan bentuk pecahan adalah pertidaksamaan yang terdiri atas pembilang dan penyebut dimana bagian penyebut terdapat variabel.

Penyelesaian• Ruas kanan dijadikan nol• Samakan penyebut di ruas kiri• Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)• Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan

penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

• Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan :

12

01

2

:

1,01

2

xdanxadalahnolpembuatFaktorx

x

Jawab

xx

x

-1 2

- - - - - - - - - + + + + + + + +

Jadi HP = { x / -1 < x < 2 }

Pertidaksamaan Bentuk Akar

Pertidaksamaan yang mengandung bentuk akar diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas. Akan tetapi harus dijamin bahwa setiap yang berada dalam akar dan hasil penarikam akar harus ≥ 0

Penyelesaian:

• Kuadratkan kedua ruas• Jadikan ruas kanan sama dengan nol• Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat• Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus

≥ 0

Contoh

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut :

152 x

2

5

523

05262

:1)52(

)1()52(

:22

x

xx

xx

akarbentuksyaratx

x

maanpertidaksasyarat

5/2

5/2

3

3

hasilnya

Syarat bentuk akar

Syarat pertidaksamaan

Jadi HP = { x / 5/2 ≤ x ≤ 3 }

Pertidaksamaan Tingkat TinggiVariabel berpangkat lebih dari 2

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadratContoh:

(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Garis bilangan:• menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

• karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif

• karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif

• selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling

• karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Bentuk Harga Mutlak

variabelnya berada di dalam tanda mutlak |…..|(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)Pengertian nilai mutlak:

Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5berarti:–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3–2 ≤ 2x ≤ 8Semua dibagi 2:–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:

|3x + 7| > 2berarti:3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 23x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:

|x – 2|2 – |x – 2| < 2Misalkan |x – 2| = yy2 – y < 2y2 – y – 2 < 0(y – 2).(y + 1) < 0

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0y = 2 atau y = –1Garis bilangan:

Artinya:–1 < y < 2–1 < |x – 2| < 2Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku|x – 2| < 2Sehingga:–2 < x – 2 < 2–2 + 2 < x < 2 + 20 < x < 4