kalkulus modul limit fungsi

Kalkulus I

Lukmanulhakim Almamalik V‐ 1

5 LIMIT FUNGSI

5.1 PENDAHULUAN LIMIT • Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x

tidak sama dengan c (x≠c).

• Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = 1x1x 2

−+ dan akan kita cari berapa nilai

fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.

x f(x) = x+1 x g(x) = 1x1x2

−+

0.9 1.9 0.9 1.9 0.95 1.95 0.95 1.95 0.99 1.99 0.99 1.99 0.999

1

1.999

? 0.999

1

1.999

?

1.001 2.001 1.001 2.001 1.01 2.01 1.01 2.01 1.1 2.1 1.1 2.1

• Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai

g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. • Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari

g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:

1x

lim→

(x + 1) = 2 dan 1

lim→x 1x

1x 2

−+

= 2

• Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

c xlim→

f(x) = L

jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.

Kalkulus I


• Jika ditulis cx

lim→

f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua

arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.

• Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.

∞→xlim x = ∞ dan

∞→xlim

x1

= 0

5.2 TEOREMA LIMIT

• Jika )(lim xf

cx→ dan )(lim xg

cx→ keduanya ada dan R∈k maka berlaku pernyataan-

pernyataan berikut: a. AA

cx=

→lim , R∈cA, .

b. cxcx

=→

lim .

c. { } )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

±=±

d. )(lim)(lim xfkxkfcxcx →→

=

e. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

=

f. )(lim

)(lim

)()(lim

xg

xf

xgxf

cx

cxcx

→

→→

= , asalkan 0)(lim ≠→

xgcx

Contoh 5.1

a. 6lim7xlim2xlim6)7x(2xlim2x2x

2

2x

2

2x →→→→+−=+−

( )067.22.2

6limxlim7xlim2

6limxlim7xlim2

2

2x2x

2

2x

2x2x

2

2x

=+−=

+−=

+−=

→→→

→→→

b. 12xlim7x.lim12x7xlim1x1x1x

−=−→→→

( ) ( ) 712.17.11)(2xlimxlim71x1x

=−=−=→→

c. 3

121)5.(31)2.(

2)(5xlim

3)(2xlim

25x32xlim

1x

1x1x −

=+−+−

=+

+=

++

−→

−→

−→

d. 2 2

1lim 2 4 ( 1) 2( 1) 4 5x

x x→−

+ − = − + − − = −

Kalkulus I


g.

1lim

−→x (2 – 3x + 4x2 – x3 ) =

1lim

−→x 2 -

1lim

−→x 3x +

1lim

−→x 4 x2 -

1lim

−→x x3

= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10 Contoh 5.2

Hitung 4

23lim 2

2

2 −+−

→ xxx

x.

Penyelesaian: Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk 2≠x diperoleh:

2x1x

2)2)(x(x1)2)(x(x

4x23xx

2

2

+−

=+−−−

=−+−

Sehingga:

nilai 41

2212

21lim

423lim

22

2

2=

+−

=+−

=−+−

→→ xx

xxx

xx

Contoh 5.3

Tentukan 1x

1xlim1x −

−→

.

Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.

e.

f.

Kalkulus I


( )( ) ( ) 2111lim1

11lim1

1lim111

=+=+=−

+−=

−−

→→→x

xxx

xx

xxx.

Contoh 5.4

Tentukan 168lim 4

3

2 −+

−→ xx

x.

Penyelesaian:

( )( )( )( )3223

22

244

33

24

3

2 )2()2.()2.()2()2()2.()2(lim

)2()2(lim

168lim

−+−+−+−−−+−+−−

=−−−−

=−+

−→−→−→ xxxxxxx

xx

xx

xxx

( )

( ) 83

8888444

8x4x2x4x2xlim 23

2

2x−=

−−−−++

=−+−

+−=

−→.

Contoh 5.5


Kita faktorkan fungsi kuadratnya

Contoh 5.6 Hitung limit berikut


Hitung

Kalkulus I


Contoh 5.7 Tentukan limit berikut


Contoh 5.8 Tentukan limit berikut


Kalkulus I


Contoh 5.9

Hitung 5

lim→x

5

21−−−

xx

Penyelesaian :

5

21−−−

xx

= 5

21−−−

xx

. 21x21x

+−+−

= 21

1+−x

Maka 5

lim→x

5

21−−−

xx

= 5

lim→x

21

1+−x

= 41

Latihan 5.1 Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.

1. )2(lim1

+→

xx

2. xx

1lim2→

3. 2

1xxlim

−→

4. 12lim

0 −+

→ xx

x 5. xlim

4x→ 6.

1x1xlim

2

1x −−

→

Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada.

7. )20x(lim 2

5x−

→ 8. )1x3x(lim 2

2x++

−→ 9.

3x2xlim

0x −+

→

10. 4x

8x2xlim 2

2

2x −−+

→ 11.

1x1xlim

1x −−

→ 12.

8x64xlim 3

6

2x −−

→

13. 1s1slim 3

4

1s +−

−→ 14.

u11ulim

23

1u −−

→ 15. 2

2

1x x13x2lim

−+−

−→

16. 5x3

4xlim2

2

2x +−

−→

17. x

1x1lim3

0x

−+→

Kalkulus I


5.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)

• Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan). Limit Kanan

• Jika ditulis Lxfcx

=+→

)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan.

Limit Kiri

• Jika ditulis Lxfcx

=−→

)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri.

Contoh 5.10 a. 0lim

0=

+→x

x (x didekati dari kanan)

b. xx −→0lim tidak ada. (x didekati dari kiri)

c. Untuk bilangan bulat n [ ] nxlim

nx=

+→ dan [ ] 1nxlim

nx−=

−→

Contoh 5.11 Diberikan fungsi

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<−=

1x,x

1x,1x2)x(f

3

Karena untuk x < 1 adalah fungsi 12 −= xxf )( , maka

1)1x2(lim)x(flim1x1x

=−=−− →→

.

Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi

1xlim)x(flim 3

1x1x==

++ →→.

Selanjutnya, karena nilai )x(flim1)x(flim

1x1x +− →→== maka 1)x(flim

1x=

→.

Kalkulus I


Contoh 5.12 Tentukan )(lim

2xf

x→ jika diketahui:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

2x,x

2x,x)x(f

Penyelesaian: Jika x didekati dari kiri maka 2lim)(lim

22==

−− →→xxf

xx

Jika x didekati dari kanan maka [ ] 2lim)(lim22

==++ →→

xxfxx

Karena limit kiri = limit kanan, maka 2)(lim2

=→

xfx

.

Contoh 5.13 Diberikan fungsi berikut

Hitung limit

Penyelesaian:

Latihan 5.2 Evaluasi apakah limit berikut ada!

a.

b. dan

1. dimana

kalkulus modul limit fungsi

Documents