SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU

Ruth Dian Fitrio

Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Cenderawasih

AbstrakSkripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan dua persamaan yang terdiri dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui, khususnya yang berorde satu dan memiliki koefisien konstan menggunakan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi sistem persamaan diferensial dengan metode koefisien tak tentu dimulai dengan menuliskan sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks

y '=A y+F (x) dengan A merupakan matriks koefisien berordo n×n dan F (x) merupakan matriks fungsi tak homogen dari sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari determinan dari matriks koefisien A, jika det(A)≠0, maka perhitungan dapat

dilanjutkan yaitu mencari solusi homogen ( y¿¿h)¿ dari sistem homogen y '=A y dengan cara mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial, yaitu

yh=c1 v1 eλ 1x+c2 v2e

λ2x+…+cn vn eλn x dengan λ1 , λ2 ,…, λn merupakan nilai eigen dan

v1 , v2 ,…,vn merupakan vektor eigen dari matriks A. Langkah selanjutnya yaitu mencari

solusi khusus ( y p) dari fungsi tak homogen F (x). Langkah-langkahnya yaitu, melihat

bentuk fungsi yang mirip dengan fungsi tak homogen F (x) dari bentuk-bentuk fungsi

yang tersedia. Kemudian lihat kesamaan F (x) dengan solusi homogen ( yh), setelah itu

memilih pemisalan y p yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk F (x) dengan

mengikuti aturan yang ada. Selanjutnya, substitusikan y p ke sistem y '=A y+F (x) untuk

mencari nilai dari koefisien-koefisien pada y p. Setelah yh dan y p diperoleh, maka dapat ditentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen yaitu y= yh+ y p.

Kata kunci: Sistem Persamaan Diferensial, Metode Koefisien Tak Tentu

1. Latar BelakangPersamaan diferensial dengan

bentuk

an ( x ) y (n )+an−1 ( x ) y (n−1 )+…+a0 ( x ) y=g (x )dengan a0 , a1 ,…,an dan g adalah fungsi-

fungsi dari variabel bebas x, an≠0 dan

g ( x )≠0 merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak homogen.

Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang memuat 2 atau lebih persamaan diferensial linear tak homogen.

Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat dicari dengan menggunakan suatu metode tertentu. Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak tentu.

2. Landasan TeoriDefinisi 2.1 (Anton, 2009)Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Definisi 2.2 (Anton dan Rorres, 2004)Sistem persamaan linear adalah suatu sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui dengan bentuk: a11x1+a12 x2+...+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+...+a2n xn=b2

⋮am1 x1+am2 x2+...+amn xn=bm

(2.1)

dengan a ij dan b i merupakan konstanta dani=1 ,2 ,…,m, j=1 ,2 ,…,n.

Sistem persamaan linear (2.1) dapat ditulis matriks sebagai berikut

[ a11 a12a21 a22

⋯ a1n⋯ a2n

⋮ ⋮am1 am2

⋱ ⋮⋯ amn

] [ x1x2⋮xm

]=[ b1b2⋮bm

]Definisi 2.3 (Anton & Rorres, 2004)Misalkan A adalah matriks bujursangkar, maka sebuah vektor tak nol v dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Av adalah kelipatan skalar dari v, yaitu:

Av=λvdengan λ adalah skalar. Selanjutnya skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan v dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan A yang terkait dengan λ.

Persamaan Diferensial (Finizio & Ladas, 1988)

Persamaan diferensial linear yaitu persamaan diferensial yang berpangkat satu dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannya yaitu persamaan diferensial yang berbentuk :

an ( x ) y (n )+an−1 ( x ) y (n−1 )+…+a0 ( x ) y=g (x)dengan a0 , a1 ,…,an dan g adalah fungsi-

fungsi dari variabel bebas x, serta an≠0.a. Jika g ( x )=0 maka persamaan

tersebut homogen.b. Jika g(x )≠0 maka persamaan

tersebut tak homogen.c. Jika seluruh koefisien a0 , a1 ,…,an

adalah konstanta, maka persamaan tersebut dikatakan memiliki koefisien konstan.

Metode Koefisien Tak TentuMetode ini digunakan untuk

menghitung suatu penyelesaian khusus dari persamaan diferensial tak homogen

an ( x ) y (n )+an−1 ( x ) y (n−1 )+…+a0 ( x ) y=g (x)dengan koefisien-koefisien a0 , a1 ,…,an

merupakan konstanta-konstanta, an≠0 dan g(x ) adalah kombinasi linear dari fungsi dengan tipe yang dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 2. 1 Metode Koefisien Tak Tentu

Suku-suku dalam g(x ) Pilihan untuk y p

k eγx C eγx

K xn(n=0 ,1 ,…) Kn xn+K n−1 x

n−1+…+K1 x+K 0

kcosωx atau ksinωx Kcosωx+MsinωxSumber: Purcell, 2004

Aturan untuk metode koefisien tak tentu:a. Aturan Dasar

Jika g(x ) adalah salah satu fungsi yang ada dalam Tabel 2.1, pilih fungsi y p yang bersesuaian dan tentukan koefisien tak tentunya dengan mensubstitusikan y p pada persamaan awal.

b. Aturan ModifikasiJika g(x ) sama dengan solusi

persamaan diferensial homogen, kalikan y p yang bersesuaian dalam

Tabel 2.1 dengan x (atau x2 jika

g(x ) sama dengan solusi akar kembar persamaan diferensial homogen)

c. Aturan PenjumlahanJika g(x ) adalah jumlah fungsi-fungsi yang terdapat dalam Tabel 2.1 pada kolom pertama, y p adalah jumlah fungsi pada baris yang bersesuaian.

3. Pembahasan3.1 Sistem Persamaan Diferensial

(SPD) Linear Orde SatuDefinisi 3.1 (Goode, 1991)Sistem Persamaan Diferensial (SPD) linear orde satu dengan n persamaan dan n fungsi tak diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk y1 '=a11 y1+a12 y2+…+a1n yn+F1 (x )y2 '=a21 y1+a22 y2+…+a2n yn+F2 ( x )⋮yn '=an1 y1+an2 y2+…+ann yn+Fn ( x )

dengan y i ' ¿d y idx

, untuk i=1,2 ,…,n.

Sistem (3.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks

y '=A y+F (x)dengan

(2.2)

(3.1)

y=[ y1y2⋮yn

], y'=[ y1 'y2 '

⋮y n '

], A=[ a11 a12

a21 a22

⋯ a1n⋯ a2n

⋮ ⋮an1 an2

⋮¿ann

¿] dan

F (x)=[F1(x )F2(x )⋮

Fn(x )],

A merupakan matriks koefisien yang berordon×n. Jika F ( x )=0, maka Sistem (3.1) dikatakan SPD homogen, sehingga bentuk matriksnya adalah

y '=A yselain itu dikatakan SPD tak homogen.

3.2 Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode Koefisien Tak Tentu

Langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:1. Menuliskan sistem dalam bentuk

matriks y '=A y+F ( x ) .2. Menghitung determinan dari matriks

koefisien A, jika det( A )=0, maka perhitungannya tidak dilanjutkan.

3. Mencari solusi homogen dari sistem

y '=A yyaitu

yh=c1 v1 eλ 1x+c2 v2e

λ2x

dengan λ dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks A.

4. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen F ( x ) dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi F ( x ) dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan y p yang bentuknya sesuai dengan bentuk F ( x ), setelah itu substitusikan y p ke

sistem y '=A y+F ( x ) untuk mencari

koefisien-koefisien dari y p .5. Diperoleh solusi umum dari sistem

persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu

y= yh+ y p

3.3 Studi Kasus Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode Koefisien Tak Tentu

Diberikan sebuah SPD linear sebagai berikut

y1' =−3 y1+2 y2−x2

y2' = y1−2 y2+e

x

Solusi umumnya yaitu y= yh+ y p 1. Bentuk matriks dari Sistem (3.2)

adalah

y '=A y+F (x)dengan A=[−3 21 −2]

dan F ( x )=[−x2

ex ].2. det( A )=|−3 2

1 −2|=4karena det(A)≠0, maka solusi dapat dicari.

3. Solusi Homogen ( yh ) dari SPD

homogen y '=A yyh=c1 v1 e

λ 1x+c2 v2eλ2x

Mencari nilai-nilai eigen dari matriks A

A=[−3 21 −2]

det(λI−A ¿=0

det([ λ 00 λ]−[−3 2

1 −2])=0|λ+3 −2−1 λ+2|=0

( λ+3 ) ( λ+2 )−(−2)(−1 )=0λ2+5 λ+6−2=0λ2+5 λ+4=0( λ+1 ) ( λ+4 )=0Sehingga diperoleh nilai eigen dari A yaitu λ1=−1 dan λ2=−4.Selanjutnya, mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen.Untuk λ1=−1,

( λI−A ) v=0

[ λ+3 −2−1 λ+2] [x1x2]=[00][ 2 −2−1 1 ] [x1x2]=[00]

(3.2)

Dengan operasi baris elementer, diperoleh

[1 −10 0 ][ x1x2]=[00]– x1+x2=0x2=x1

Misalkan x1=s, maka x2=s sehingga

vektor v=[ ss]=s [11] jadi vektor eigen

yang bersesuaian dengan λ1=−1

yaitu v1=[11]. Digunakan cara yang

sama untuk λ2=−4, sehingga diperoleh vektor

eigen v2=[−21 ].Sehingga diperoleh solusi homogen dari SPD yaitu

yh=c1 v1 eλ 1x+c2 v2e

λ2x

¿c1[11]e−x+c2[−21 ]e−4 x

4. Solusi khusus ( y¿¿ p)¿ dari fungsi tak homogen F (x)

F ( x )=[−x2

ex ]=[−x2

0 ]+[ 0ex]=[−10 ] x2+[01] ex

Dapat dilihat bahwa F (x) memuat bentuk-bentuk polinomial dan eksponensial, dan F (x) tidak sama dengan solusi homogen dari SPD, sehingga dapat dipilih pemisalan y p

yang sesuai dengan bentuk F ( x ) yaitu

y p=a x2+b x+c+d ex

Substitusikan y p pada SPD

( y p )'=A yp+F (x )

2a x+b+d ex=A ax2+Ab x+A c+A d ex+[−10 ] x2+[01]exDari persamaan di atas, dikumpulkan koefisien-koefisien a ,b , c ,dand sesuai dengan variabelnya, yaitu:

1) koefisien dari x2yaitu

0=Aa+[−10 ]2) koefisien dari x yaitu2a=Ab

3) koefisien dari ex yaitu

d=A d+[01]4) dan koefisien dari konstanta yaitu

b=Ac

Dari Persamaan (1), diperoleh a=[−12−14

]. Dari Persamaan (2), diperoleh b=[ 345

8].

Dari Persamaan (3), diperoleh d=[ 210410

] dan dari Persamaan (4), diperoleh

c=[−1116−2132

].Sehingga diperoleh solusi

khusus ( y p ) yaitu

y p=a x2+b x+c+d ex

¿ [−12−14

] x2+[ 3458] x+[−1116−21

32]+[ 210410

]e x

5. Jadi solusi umum dari SPD tak homogen yang diberikan yaitu

y= yh+ y p

¿c1[11]e−x+c2[−21 ]e−4 x−[ 1214] x2+[ 345

8] x−[ 111621

32]+[ 210410

]ex

4. KesimpulanLangkah-langkah menentukan

solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:1. Menuliskan sistem dalam bentuk

matriks y '=A y+F ( x ) .…(1)

…(2)

…(3)

…(4)

2. Menghitung determinan dari matriks koefisien A, jika det( A )=0, maka perhitungannya tidak dilanjutkan.

3. Mencari solusi homogen dari sistem

y '=A yyaitu

yh=c1 v1 eλ 1x+c2 v2e

λ2x

dengan λ dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks A.

4. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen F ( x ) dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi F ( x ) dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan y p

yang bentuknya sesuai dengan bentuk

F ( x ), setelah itu substitusikan y p ke

sistem y '=A y+F ( x )untuk mencari

koefisien-koefisien dari y p .

5. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu

y= yh+ y p

5. SaranBagi pembaca yang tertarik untuk

membahas lebih mendalam mengenai metode ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi atau solusi persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi.

6. Daftar PustakaAnton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa Aksara.

Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen. Jakarta : Erlangga.

Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta: Erlangga.

Goode, S. W. 1991. An Introduction to Differential Equations and Linear Algebra. New York: Prentice-Hall International, Inc.

Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 2 (Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.