Pembahasan 2.3 1.Misalkan

* + Bukti : BATAS BAWAH Karena 10, x x S > emaka menurut definisiadalah salah satu batas bawah dari 1S . Akan ditunjukkan 10 inf S = . Misalkantsebarang batas bawah 1S , akan ditunjukkan0 t s . Andaikan0 t > , karena 10 S e berartitbukan batas bawah 1S . Kontradiksi dengantbatas bawah 1S . Pengandaian0 t >salah. Jadi0 t s . adalah salah satu batas bawah dari 1S ,tsebarang batas bawah 1S sehingga0 t s maka menurut definisi 10 inf S = . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti1 u u + > . Andaikanuadalah batas atas 1S , berarti 1, s u s S s e . 11 u S + e danuadalah batas atas 1S maka1 u u + < . Kontradiksi dengan fakta1 u u + > . Pengandaianuadalah batas atas 1S salah. Jadi 1S tidak memiliki batas atas. 2.Misalkan

* +. Bukti : BATAS BAWAH Karena 20, x x S > e .Andaikan 0bukan batas bawah dari 2S berarti 2s S - e sehingga0 s < . 0 s < berarti 2s S e . Kontradiksi dengan 2s S e . Jadi pengandaian 0bukan batas bawah dari 2S salah. Jadi 0batas bawah dari 2S . Akan ditunjukkan 20 inf S = . Misalkantsebarang batas bawah 2S , akan ditunjukkan0 t s . Andaikan0 t > , berarti02tt > > . 02tt > >berartitbukan batas bawah 2S . Kontradiksi dengantbatas bawah 2S . Pengandaian0 t >salah. Jadi0 t s . adalah salah satu batas bawah dari 2S ,tsebarang batas bawah 2S sehingga0 t s maka menurut definisi 20 inf S = . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti1 u u + > . Andaikanuadalah batas atas 2S , berarti 2, s u s S s e . 21 u S + e danuadalah batas atas 2S maka1 u u + < . Kontradiksi dengan fakta1 u u + > . Pengandaianuadalah batas atas 2S salah. Jadi 2S tidak memiliki batas atas karena 2Stidak memiliki batas atas, maka 2Stidak memiliki supremum. 3. Misalkan

*

+. Bukti: Akan dibuktikan sup 31 S =1 > 0 menurut Teorema 2.1.8 b Untuk setiapn N e , berlaku0 n >menurut Teorema 2.1.8 c. 1 > 0, 1 N e , 0 n > untuk setiapn N e maka0 1 n < s . Sehingga 10 1, n Nn< s e . - 31 11, Sn ns eberartiadalah batas atas dari 3S . Sekarang untuk setiapkita tahu bahwa mungkin sajaatau 0 . Misalkan0 c > , berarti 311 11S Scc < = = e . Jadi 311S Sc- =e sehingga 1 Scc 311S Sc- =e sehingga 1 Scc < , maka menurut lemma 2.3.4. sup 31 S =- 31 10, Sn n> e Andaikan 0 bukan batas bawah dari 3S , berarti3s S - e sehingga0 s < . 0 s < berarti 3s S e . Kontradiksi dengan 3s S e . Jadi pengandaian 0bukan batas bawah dari 3S salah. Jadi 0batas bawah dari 3S .Akan ditunjukkan 30 inf S = . Misalkantsebarang batas bawah 3S , akan ditunjukkan0 t s . Andaikan0 t > , berarti02tt > > . 02tt > >berartitbukan batas bawah 3S . Kontradiksi dengantbatas bawah 3S . Pengandaian0 t >salah. Jadi0 t s . adalah salah satu batas bawah dari 3S ,tsebarang batas bawah 3S sehingga0 t s maka menurut definisi 30 inf S = . 4. ( )411 ,1: 1 : :11 ,n n genapnS n Nnn ganjiln = e = ` )+ Akan ditunjukkan 2 = sup 4Si.Untukn genap berlaku ( ) 10nn> , sehingga ( ) 111 1 1 2nn n = < , berarti 41 12 21S Scc+ < = = e . Jadi 41 11S Sc+- = e sehingga2 Scc < . 2 adalah batas atas 4S dan untuk setiap0 c >41 11S Sc+- = e sehingga2 Scc < , maka menurut lemma 2.3.4. sup 42 S = Akan ditunjukkan 12 = inf 4Si.Untukn genap berlaku ( ) 10nn> , sehingga ( ) 11 11 12nn ns = ii.Untukn ganjil berlaku ( ) 10nn< , sehingga ( ) 11 11 1 12nn n< < = +Dari i)dan ii) maka 12 adalah batas bawah 4S . Misalkantsebarang batas bawah 4S , akan ditunjukkan 12t s . Andaikan 12t > , karena 412S e berartitbukan batas bawah 4S . Kontradiksi dengantbatas bawah 4S . Pengandaian 12t >salah. Jadi 12t s . 12 adalah salah satu batas bawah dari 4S ,tsebarang batas bawah 4S sehingga 12t s maka menurut definisi 41inf2S = . 1. 5., , S S R u = C _ batas atasSBuktikan { } inf sup : S s s S = eBukti : Misalkaninf v S = maka adit { } sup : sup ' v s s S S = e =inf v S = , berarti,i) v batas bawahS dan, ii) sebarangtbatas bawahS berlakut v s . i) v batas bawahS , berarti, v s s S s ekarena -1 maka' , v a b a A B s < e' vbatas bawahA B ii.Untuka b = ,karenab w s dana v s makaa b w = s dana b v = s , a b A B e . wdanv batas atasA B karena' b w > dan' a v > maka' a b w = > dan' a b v => , a b A B e . ' wdan' v batas bawahA B iii. Untuka b > ,karenaa v s maka, b a v a A B < s e . vbatas atasA B karena' b w > maka' , w b a b A B < < e . ' wbatas bawahA B Dari i, ii, iii makaA Bmempunyai batas atas dan batas bawah. JadiA Bterbatas. Akan ditunjukkan ( ) { } sup supsup ,sup A B A B= . Misalkansup u A = , berarti i)ubatas atasA,ii)' u sebarang batas atasAberlaku' u u > . ubatas atasA, berarti, a u a A s e . Misalkansup v B = , berarti i) vbatas atasB ,ii)' v sebarang batas atasB berlaku' v v > . vbatas atasB , berarti, b v b B s e . KarenaAdanB mempunyai batas atas makaA B mempunyai batas atas(soal sebelumnya). LANJUTKAN........................!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10.11.