interpolasi

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

1

PERTEMUAN 9 INTERPOLASI

Materi pada pertemuan ini:

1. Metode polinomial/direct 2. Interpolasi Lagrange 3. Interpolasi Newton 4. Interpolasi Spline

Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan mengaplikasikan berbagai teknik interpolasi.

INTERPOLASI Interpolasi adalah metode untuk mendapatkan data baru di dalam rentang sebuah himpunan data diskrit. Sebagai contoh, suatu kali seorang mahasiswa diminta untuk melakukan eksperimen di Lab Sensor dan Telekontrol untuk mengukur tegangan keluaran sensor PIR (passive infrared) yang dapat digunakan untuk mendeteksi orang dengan jarak tertentu. Hasilnya berupa tabel dan grafik berikut ini.

jarak V

2 5

2.5 4.2

3 3.4

4 2.4

5 1.8

6 1.2

7 0.8

8 0.5

9 0.4

10 0.3

Setelah melaporkan hasilnya kepada dosennya, sang dosen bertanya: "kalau jarak obyeknya adalah 5.5 m dari sensor, tegangan keluarannya berapa?". Si mahasiswa kebingungan karena dia tidak mengukur tegangan keluaran pada jarak yang diminta dosennya tersebut. Dia juga tidak bisa lagi melakukan eksperimen karena semua alat yang digunakan sudah dikembalikan. Dalam kasus ini, kita dapat melakukan 2 cara untuk memperoleh data yang tidak terdapat dalam himpunan data diskrit yang ada, yaitu dengan membuat kurva yang mencakup titik yang hedak dicari.

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10

V

jarak, d (m)


2

Interpolasi

Regresi

Bedanya adalah: pada interpolasi, kurva yang terjadi dipaksakan untuk melewati titik-titik data yang tersedia, sedangkan pada regresi, bentuk kurvanya mengikuti fungsi tertentu yang belum tentu melewati titik-titik data yang tersedia. Pada pertemuan ini akan dibahas mengenai interpolasi.

METODE POLINOMIAL Metode ini sering juga disebut metode langsung (direct). Dengan metode ini, kita menetapkan fungsi polinomial orde berapa yang akan digunakan untuk melakukan interpolasi terhadap data yang ada. Orde polinomial akan menentukan banyaknya titik yang diperlukan untuk perhitungan. Banyaknya titik yang diperlukan = orde polinomial+1 Jadi kalau polinomialnya berupa garis (linier, orde 1), maka banyaknya titik yang diperlukan adalah 2. Untuk interpolasi kuadratis atau parabolik (orde 2), banyaknya titik yang diperlukan adalah 3. Langkah yang dilakukan untuk interpolasi polinomial adalah: 1. Tentukan orde polinomial yang akan digunakan untuk interpolasi, orde n. 2. Tentukan titik-titik pada data yang tersedia yang akan digunakan. Beri notasi (x0, y0),

(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn). 3. Tentukan persamaan polinom pn(x) yang melewati semua titik tadi sehingga

nixpy ini ...0 ),(

4. Setelah persamaan diketahui, maka dapat digunakan untuk menentukan nilai interpolasi pada x tertentu, misal pada x = z, yaitu

)(zpy n

Ketentuan pemilihan titik data yang digunakan adalah z harus berada di dalam rentang x0 sampai dengan xn.

Interpolasi Linier

Pada kasus eksperimen PIR di atas, jika digunakan interpolasi linier (orde = 1, sehingga diperlukan 2 buah titik data), sedangkan titik yang ditanyakan adalah x = 5.5, maka kita dapat memilih titik data yang akan digunakan, yaitu (5, 1.8) dan (6, 1.2). Kita dapat juga menggunakan titik data yang lain yang melingkupi x = 5.5, tetapi aturan emasnya adalah kita pilih rentang terkecil yang digunakan. Persamaan polinomial yang digunakan adalah

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10

V

jarak, d (m)

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10

V

jarak, d (m)


3

xaaxpn 10)(

Masukkan nilai kedua buah titik data yang dipilih ke dalam persamaan polinomial tersebut.

2.16

8.15

10

10

aa

aa

Selesaikan persamaan di atas, dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut.

6.0

6.0

1

1

a

a

lalu substitusikan hasilnya ke dalam salah satu persamaan tersebut.

8.4

8.13

8.1)6.0(5

0

0

0

a

a

a

Jadi persamaan polinomialnya adalah

xxpn 6.08.4)(

Untuk x = 5.5, maka interpolasinya adalah

5.1

5.56.08.4)5.5(

np

Interpolasi Kuadratik

Untuk interpolasi kuadratik diperlukan 3 titik data. Titik yang ditanyakan adalah x = 5.5, jadi kita dapat memilih titik data yang akan digunakan, yaitu (4, 2.4), (5, 1.8) dan (6, 1.2), atau kita juga dapat memilih (5, 1.8), (6, 1.2) dan (7, 0.8). Misalkan kita pilih yang kedua. Persamaan polinomial yang digunakan adalah

2

210)( xaxaaxpn

Masukkan nilai ketiga titik data yang dipilih tadi ke dalam persamaan polinomial tersebut.

8.0497

2.1366

8.1255

210

210

210

aaa

aaa

aaa

Selesaikan persamaan di atas, misalnya menggunakan eliminasi Gauss, diperoleh

1.0

7.1

8.7

2

1

0

a

a

a

Jadi persamaan polinomialnya adalah

21.07.18.7)( xxxpn

Untuk x = 5.5, maka interpolasinya adalah

475.1

5.51.05.57.18.7)5.5( 2

np

INTERPOLASI LAGRANGE Pada interpolasi polinomial/langsung, semakin tinggi orde polinomial, semakin banyak persamaan simultan yang harus diselesaikan. Hal ini memungkinkan semakin besar ralat


4

yang terjadi. Oleh karena itu dikembangkan metode lain untuk interpolasi, salah satunya adalah interpolasi Lagrange. Polinomial Lagrange diformulasikan dengan:

n

i

iin xfxLxp0

)()()(

))...()()...()((

))...()()...()((

)(

1110

1110

0

niiiiiii

nii

n

ijj ji

j

i

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xxxL

contoh:

Seperti pada contoh interpolasi kuadratik sebelumnya, lakukan interpolasi Lagrange untuk x = 5.5 m.

Polinomial Lagrange orde 2:

)6)(5(4.0)7)(5(2.1)7)(6(9.0

8.0)67)(57(

)6)(5(2.1

)76)(56(

)7)(5(8.1

)75)(65(

)7)(6(

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((

)()()()()()()()()(

2

1202

101

2101

200

2010

21

221100

2

0

2

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxx

xfxLxfxLxfxLxfxLxpi

ii

Untuk x = 5.5

475.1

)65.5)(55.5(4.0)75.5)(55.5(2.1)75.5)(65.5(9.0)5.5(2

p

Diperoleh hasil yang sama dengan cara langsung. Tetapi di sini lebih mudah karena tidak perlu menyelesaikan sistem persamaan simultan.

INTERPOLASI NEWTON Beberapa kelemahan Interpolasi Lagrange:

memerlukan komputasi yang banyak

untuk menghitung interpolasi pada beberapa titik x, masing-masing harus dihitung dengan cara yang sama, tidak ada hasil komputasi untuk sebuah nilai x dapat digunakan untuk nilai x yang lain

apabila orde polinomial dinaikkan, maka komputasi dilakukan lagi dari semula, tidak ada hasil komputasi sebelumnya (orde yang lebih kecil atau besar) yang dapat digunakan

Polinomial Newton dikembangkan untuk mengatasi kelemahan ini. Polinomial Newton diformulasikan dengan cara rekursif

))...()(](,,...,,[)()(

)(

1100111

00

nnnnn xxxxxxxxxxfxpxp

bxp

Dalam bentuk lengkap, polinomial Newton dapat dituliskan sebagai


5

))()(())(()()(

))(()()(

)()(

)(

21031020103

1020102

0101

00

xxxxxxbxxxxbxxbbxp

xxxxbxxbbxp

xxbbxp

bxp

dengan bi adalah nilai selisih-terbagi (divided-difference):

],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfb

xxxfb

xxfb

xfb

nnn

di mana

0

01111011

02

0112012

01

0101

],,...,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnn

Untuk mempermudah dalam menghitung, selisih-terbagi dapat dibuat dalam bentuk tabel. Contoh tabel selisih terbagi untuk titik sebanyak 4 buah (polinomial orde 3 atau kubik).

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3

0 x0 f(x0) f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3, x2, x1, x0]

1 x1 f(x1) f[x2, x1] f[x3, x2, x1]

2 x2 f(x2) f[x3, x2]

3 x3 f(x3)

contoh: Tabel selisih-terbagi untuk 4 buah data dari hasil experimen PIR, di sekitar x = 5.5

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3

0 4 2.4 (1.8-2.4)/(5-4)

= -0.6

(-0.6+0.6)/(6-4)

= 0

(0.1-0)/(7-4)

= 0.0333333

1 5 1.8 (1.2-1.8)/(6-5)

= -0.6

(-0.4+0.6)/(7-5)

= 0.1

2 6 1.2 (0.8-1.2)/(7-6)

= -0.4

3 7 0.8

Interpolasi Newton orde 3 dengan data di atas


6

)6)(5)(4(0333333.0)4(6.04.2)(3 xxxxxp

Jadi untuk x = 5.5

4875.1

)65.5)(55.5)(45.5(0333333.0)45.5(6.04.2)5.5(3

p


7

SOAL LATIHAN INTERPOLASI

1. Pada persoalan pemanasan air menggunakan ketel pada Pertemuan 1. Hitunglah

kapasitas panas spesifik air pada suhu 61°C menggunakan: a) Interpolasi linier b) Interpolasi kuadratik c) Interpolasi Lagrange orde 3 d) Interpolasi Newton orde 4

2. Pada persoalan peluncuran roket pada Pertemuan 1, kecepatan

roket diukur pada beberapa titik waktu dan diberikan dalam tabel. Hitunglah kecepatan pada detik ke 16 menggunakan metode berikut ini dan hitunglah ralat sejati relatifnya. a) Interpolasi linier b) Interpolasi kuadratik c) Interpolasi Lagrange orde 3 d) Interpolasi Newton orde 4

t (s) v(t) (m/s)

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

interpolasi

Documents