integral tak wajar
TRANSCRIPT
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada bagian ini kita mendefenisikan ∫a
b
f ( x )dx pada interval [a, b] yang
terbatas. Selanjutnya ∫a
b
f ( x )dx = limmax ∆x → 0
∑¿1
n
f ( x ) ∆ x k ada f terbatas pada interval
[a,b]. Sementara banyak integram pada titik-titik terentu tidak terdefenisi atau
tidak terbatas, tetapi titik tersebut berada pada interval, misalnya integram ∫0
3
¿¿
tidak dapat ditentukan, karena pada saat x=2, integram maendekati +∞.
Pada bagian ini kita memperluas konsep integral terentu yang
didefenisikan oleh Rienmann yaitu integral tertentu yang mencakup.
a. Integral dengan batas integrasi tak terhingga.
b. Integtral yang sama integram menjadi tak terbatas pada interval
pengintegrasian.
Integral yang memenuhi ciri a atau b disebut integral tak wajar (improper
integrals).
Pengertian Integral Tak Wajar
∫a
b
f ( x )dx disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila:
(i). Dalam a ≤ x≤ b , ada yang menyebabkan f(x) diskontinu.
(ii). Batas-batas atau b = ± ∞
Kemungkinan-kemungkinan:
1). Diskontinu di x=c, a < c < b
2). Diskontinu diatas bawah x = a
1
3). Diskontinu di x= b
4). Batas atas tak terhingga.
5). Batas bawah = -∞
1.2 Identifikasi Masalah
Bagaimanakah pemecahan pemasalahan integral yang berkaitan dengan integral tak wajar?
1.3 Tujuan Penulisan
a. Mengetahui prinsip dasar dari integral tak wajar
b. Mengaplikasikan konsep integral tak wajar kedalam beberapa contoh
soal.
c. Mendalami teknik pengintegralan dengan integral tak wajar.
1.4 Mamfaat penulisan
Penulisan ini bermamfaat untuk meningkatkan kemampuan belajar dibidang
teknik pengintegralan terutama dibidang integral tak wajar
2
BAB II TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pengertian Integral Tak Wajar
∫a
b
f ( x )dx disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila:
(i). Dalam a ≤ x≤ b , ada yang menyebabkan f(x) diskontinu.
(ii). Batas-batas atau b = ± ∞
Kemungkinan-kemungkinan:
1). Diskontinu di x=c, a < c < b
Cara penyelesaian : ∫a
b
f ( x )= limε → 0+¿ ∫
a
c−ε
f ( x ) dx+¿ limε → 0+¿∫
c+ε
b
f ( x ) dx¿
¿¿
¿¿
Contoh : ∫0
31¿¿ ¿, diskontinu di x = 2
Jawab : ∫0
31¿¿ ¿
= lim
ε → 0+¿−1
x−2¿ 2−ϵ
0+ lim
ε →0+¿− 1x−2
¿ 32+ε
¿
¿
= limε → 0+¿¿ ¿
¿
= -1 ½ - 2/0
= +∞
Sedangkan bila dikerjakan tanpa limit
3
∫0
31
¿30=−1
12¿¿ → ternyata terjerumus.
(Wikaria Gazali, Soedadyatmodjo : 2007)
2). Diskontinu diatas bawah x = a
Cara penyelesaian : ∫a
b
f ( x )=¿ limε → 0+¿ ∫
a+ε
b
f ( x ) dx ¿
¿¿
Contoh: ∫1
31
x−1dx=…? diskontinu di x =1
Jawab. ∫1
31
x−1dx=¿ lim
ε → 0+¿ ∫1+ ε
31
x−1dx=¿ lim
ε → 0+¿¿(x−3)¿ 31+ ε
¿¿ ¿
¿¿
= limε → 0+¿[¿ 2−Inε ]¿
¿
= +∞
3). Diskontinu di x= b
Cara penyelesaian ∫a
b
f ( x )dx = lim
ε → 0+¿ ∫a
b−ϵ
f ( x )dx ¿
¿
Contoh : ∫0
21
√4−x2dx=…? diskontinu di x=2
Jawab :
∫0
21
√4−x2dx=¿ lim
ε →0+¿ ∫a
2−ϵ1
√4− x2dx= lim
ε →0+ ¿arcsin12 x ¿2−ε
0
¿ ¿
¿¿
= limε → 0+¿¿ ¿
¿
4
= π2
4). Batas atas tak terhingga.
Cara penyelesaian: ∫a
∞
f ( x )dx= limπ → ∞
∫a
μ
f ( x ) dx
Contoh : ∫2
∞1
e2 x dx=…?
Jawab :
∫2
∞1
e2 x dx=¿ limμ→∞
∫2
μ
e−2 x dx=limμ→∞
−1
2e−2 x=¿
limμ→ ∞
−1
2e2 x ¿μ2¿
= limμ → ∞
[ −1
2 e2 μ+ 1
2 e4]= 1
2 e4
5). Batas bawah = -∞
Cara penyelesaian : ∫−∞
b
f ( x ) dx=lim μ→−∞
∫μ
b
f ( x ) dx
Contoh: ∫−∞
11
1+x2 dx=lim μ →−∞
∫μ
11
1+x2= lim μ→−∞
arc tg x¿ 1μ¿
= lim μ →−∞
(arc tg1−arc tgμ )
= 14
π+12
π
= 34
π
Catatan :
(i). Cara-cara penyelisaian dengan limit tersebut dengan sendirinya bila
harga limit ada.
5
(ii). Cara penyelesaian biasa (tanpa limit), mungkin juga dapat digunakan,
seperti contoh-contoh pada kemungkinan 2,3,4,5, asal hati-hati dan
konsisiten, terutama dalam melakukan operasi-operasi bilangan!. Dalam
hal ini yang dikatakan integral tak wajar. Sebaiknya menggunakan limit.
(Wikaria Gazali, Soedadyatmodjo : 2007)
BAB III METODE PENULISAN
3.1 Objek penulisan
Objek penulisan mencakup gambaran/ penjelasan,dan penyelesaian dari
contoh soal yang berkaitan dengan integral tak wajar
3.2 Metode Pengumpulan Data
Dalam penulisan makalah ini, penulis secara umum mendapatkan bahan
tulisan dari berbagai referensi, baik dari tinjauan kepustakaan berupa buku – buku
atau dari sumber media internet yang terkait dengan Integral Tak Wajar.
3.4 Metode Analisis
Penyusunan makalah ini berdasarkan metode deskriptif analisis, yaitu
dengan mengidentifikasi permasalahan berdasarkan fakta dan data yang ada,
6
menganalisis permasalahan berdasarkan pustaka dan data pendukung lainnya,
serta mencari alternatif pemecahan masalah yang berkaitan dengan Integral Tak
Wajar.
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Integral tak Wajar
Pada bagian ketiga kita mendefenisikan ∫a
b
f ( x )dx pada interval [a, b] yang
terbatas. Selanjutnya ∫a
b
f ( x )dx = limmax ∆x → 0
∑¿1
n
f ( x ) ∆ x k ada f terbatas pada interval
[a,b]. Sementara banyak integram pada titik-titik terentu tidak terdefenisi atau
tidak terbatas, tetapi titik tersebut berada pada interval, misalnya integram ∫0
3
¿¿
tidak dapat ditentukan, karena pada saat x=2, integram maendekati +∞.
Pada bagian ini kita memperluas konsep integral terentu yang
didefenisikan oleh Rienmann yaitu integral tertentu yang mencakup.
7
c. Integral dengan batas integrasi tak terhingga.
d. Integtral yang sama integram menjadi tak terbatas pada interval
pengintegrasian.
Integral yang memenuhi ciri a atau b disebut integral tak wajar (improper
integrals).
1. Integral Dengan Batas-batas Tak Terhinggga
Jika f kontinu pada interval [a,+∞], maka kita tentukan intergral tak wajar
∫a
+∞
f ( x ) dx sebagai limit yaitu ∫a
+∞
f ( x ) dx = liml →+∞
∫a
l
f ( x )dx.
Contoh 1.
Diberikan f(x) = e− x pada interval [0, +∞], tentukan ∫0
+∞
e−x dx?
Penyelesaian :
∫0
+∞
e−x dx= liml →+∞
∫0
l
e−x dx
= liml →+∞
−∫0
l
e−x (−dx )
= liml →+∞
[e−x ] l0
= liml →+∞
(1−e−1)
= 1
8
Secara lengkap daerah yang dibatasi fungsi f(x) = e− x, pada interval [0,
+∞¿, dapat dilihat pada gambar berikut:
Jika f kontinu pada interval (-∞ , b], maka dapt kita tentukan integral tak wajar
∫−∞
b
f ( x ) dx sebagai limit
yaitu :
∫−∞
b
f ( x ) dx = liml →−∞
∫l
b
f ( x ) dx
Contoh 2
Evaluasi ∫−∞
0
e−x dx=?
Penyelesaian :
∫−∞
0
ex dx= liml →−∞
∫l
0
ex dx
= liml →+∞
[e−x ] 0l
9
= liml →+∞
(1−e1)
= 1
5.1.1 Defenisi
Misalkan f kontinu pada interval¿, +∞¿ jika ∫−∞
0
f ( x ) dx dan ∫a
+∞
f ( x ) dx ada atau
konvergen maka
∫−∞
+∞
f ( x ) dx = lima →+∞
∫a
0
f ( x )dx+ liml →+∞
∫0
b
f ( x ) dx
Catatan:
a. Jika salah satu limit integral pada ruas kanan tidak ada nilainya maka
integral tak wajar tak wajar pada ruas kiri kita katakan divergen.
b. Jika f nonnegatif pada interval ¿, +∞¿, maka ∫−∞
+∞
f ( x ) dx menyatakan luas
luas daerah dibawah kurva y = f(x)
Contoh 3.
Evaluasi ∫−∞
+∞dx
1+x2 = ?
Penyelesaian:
∫−∞
+∞dx
1+x2 = ∫0
+∞dx
1+x2 + ∫−∞
0dx
1+x2
= liml →+∞
∫a
0dx
1+x2 + liml →+∞
∫0
bdx
1+x2
= liml →+∞
[ tan−1 x ]0a
+ liml →+∞
¿[ arc tan x¿b0¿
10
= lima →+∞
[ tan−1a ]+ liml →+∞
¿[ arc tan b¿¿
= π2+ π
2
= π
Karena f(x) = 1
1+ x2 ≥ 0 ,∀ x∈¿, +∞¿ , maka integral ∫−∞
+∞dx
1+x2=π menyatakan
luas daerah arsiran kurva f(x).
Contoh 4.
Evaluasi ∫−∞
+∞
x dx=?
Penyelesaian:
∫−∞
+∞
x dx=¿ lima→−∞
∫a
0
x dx¿+ limb →+∞
∫0
b
x dx
= lima →−∞ [ 1
2x2]0a+ lim
b →+∞ [ 12
x2]b0= lim
a →−∞ [ 12
a2]+ limb→+∞ [ 1
2b2]
Karena kedua limit diruas kanan tidak terdefenisi di R, maka ∫−∞
+∞
x dxdivergen.
Secara geometrik, integral tak wajar ini merupakan suatu luas yang tak terbatas
antara garis f(x) = x, sumbu x, garis x=a dan garis x=b, dimana
a →−∞ danb →+∞.
Contoh 5.
11
Dalam teori elegtromagnetik, potensial magnetik disebuah titik, pada garis
sirkulasi gulungan dinyatakan dengan u=2 π Nlrk
∫a
+∞dx¿¿¿ ¿. dimana N, l, r, k, dan a
adalah konstanta. Tentukan u ?
Penyelesaian:
u=2 π Nlrk
∫a
+∞dx¿¿¿ ¿ = 2 π Nlr
klim
k →+∞∫
a
bdx¿¿¿ ¿¿
Kita gunakan trigonometri.
x √r2+¿ x2
¿
r
x=r tanθ
dx=r sec2θ dθ
r3 sec3=¿
u = 2 π Nlr
klim
b →+∞∫
a
bdx¿¿¿ ¿¿ =
2 π Nlrk
limb →+∞
∫a
br sec2θ dθr3+sec2θ
= 2 π Nlr
k limb →+∞
∫a
bdθ
r2 sec θ
12
= 2 π Nlr
k
limb →+∞
1
r2 ¿
= 2 π Nlr
kr
limb →+∞
1
r2 [ x
√r2+x2]ba
= 2 π Nlr
kr limb →+∞ [ b
√r2+b2–
a
√r2+a2 ]=
2 π Nlrkr
¿ ]
Dengan demikian diperoleh
u = 2 π Nlr
kr¿ ]
5.1.2 Teorema
(tes banding)
Misalkan f dan g adalah dua fungsi yang kontinu dan 0 ≤ f ( x )≤ g ( x ) , ∀ x∈ ¿], mak
berlaku
i. Jika ∫a
∞
g ( x ) dxkonvergen maka ∫a
∞
f ( x )dxkonvergen
ii. Jika ∫a
∞
f ( x )dxdivergen maka ∫a
∞
g ( x ) dxdivergen.
Contoh:
Selidikilah apakah ∫1
+∞dx
√1+x5, x∈ [1 , ∞ ]adalah konvergen.
Penyelesaian:
0 ≤√x3 ≤√x5 ,∀ x∈ [ 1, ∞ ]⟹0≤√ x3≤√1+x5 ,∀ x∈ [ 1 , ∞ ]
13
⟹ 0 ≤1
√1+x5≤
1
√ x3,∀ x∈ [ 1 ,∞ ]
∫1
+∞dx
√ x3= lim
b →∞∫1
b1
√ x3dx
= limb → ∞
[−2
√x]b1
= limb → ∞
[−2b
+2]
= 2
Karena 0 ≤1
√1+x5≤
1
√ x3,∀ x∈ [ 1 ,∞ ] dan ∫
1
+∞dx
√ x3 ada maka berdasarkan teorema
5.1.2 (i) disimpulkan ∫1
+∞dx
√1+x5 juga konvergen.
5.2 integral tak wajar dengan integran tak terhingga
Terdapat tiga kemungkinan suatu integran tak terhingga pada suatu
selang terbatas yaitu tak terhingga pada titik ujung kiri selang, tak terhingga pada
titik dalam selang dan, dan tak terhingga pada titik ujung selang kanan.
i). Integran tak terhingga pada titik ujung kiri selang.
Jika f kontinu pada interval (a,b], tetapi f bernilai tak terhingga pada x= a
maka ∫a
b
f ( x )dx=¿ limt →a+¿∫
t
b
f (x )dx ¿
¿¿, asalkan limit pada ruas kanan ada dan
terhingga.
Contoh
Evaluasi ∫1
3dx¿¿ ¿
14
Penyelesaian:
∫1
3dx¿¿ ¿ lim
t → 11∫
1
3dx¿¿ ¿
= limt → 11
¿
= 3limt → 11
¿]
= 3 (212)
= 3,78
ii). Integran tak terhingga pada titik ujung kanan selang
jika f kontiniu pada interval [a, b), tetapi f bernilai tak terhingga pada
x=b maka ∫a
b
f ( x )dx=¿ limt →b−¿∫
a
t
f ( x ) dx ¿
¿¿ asalkan limit pada ruas kanan ada dan
terhinggga.
Contoh 2
Evaluasi ∫0
1dx¿¿ ¿ = ?
Penyelesaian:
∫0
1dx¿¿ ¿ =
limt → 1−¿∫
0
tdx¿¿ ¿ ¿
¿
= limt → 1−¿ ¿¿
¿
= 3 [ ( t−1¿¿13 +1
15
= 3(1)
= 3
iii). Integran tak terhingga pada titik dalam selang
jika f kontiniu pada interval [a, b], kecuali di c dengan a < c < b, maka
∫a
b
f ( x )dx=¿ limt →c−¿∫
a
t
f ( x ) dx+ limt →c+¿∫
t
b
f ( x ) dx¿
¿¿
¿¿ asalkan limit kedua integal pada ruas kanan
ada dan terhingga.
Contoh 3
Evaluasi ∫0
3dx¿¿ ¿ = ?
Penyelesaian :
∫0
1dx¿¿ ¿ =
limt → 1−¿∫
0
tdx¿¿ ¿ ¿
¿
= limt → 1−1
¿ + limt → 1+¿ ¿¿
¿
= 3 limt → 1+¿ ¿
¿ [(t−1¿¿¿13+1]+¿3 lim
t → 1−¿ ¿¿ [¿
= 3 + 3,78
= 6,78
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Integral Tak Wajar disebut integral tidak sebenarnya/ integral tidak wajar, bila:
16
(i). Dalam a ≤ x≤ b , ada yang menyebabkan f(x) diskontinu.
(ii). Batas-batas atau b = ± ∞
Kemungkinan-kemungkinan:
a. Diskontinu di x=c, a < c < b
Cara penyelesaian : ∫a
b
f ( x )= limε → 0+¿ ∫
a
c−ε
f ( x ) dx+¿ limε → 0+¿∫
c+ε
b
f ( x ) dx¿
¿¿
¿¿
b. . Diskontinu diatas bawah x = a
Cara penyelesaian : ∫a
b
f ( x )=¿ limε → 0+¿ ∫
a+ε
b
f ( x ) dx ¿
¿¿
c. Diskontinu di x= b
Cara penyelesaian ∫a
b
f ( x )dx = lim
ε → 0+¿ ∫a
b−ϵ
f ( x )dx ¿
¿
d. Batas atas tak terhingga.
Cara penyelesaian: ∫a
∞
f ( x )dx= limπ → ∞
∫a
μ
f ( x ) dx
e. Batas bawah = -∞
Cara penyelesaian : ∫−∞
b
f ( x ) dx= lim μ →−∞
∫μ
b
f ( x ) dx
5.2 Saran
Saran penulis untuk pembaca, untuk merujuk kembali ke text book yang
memuat data-data yang lebih lengkap mengenai integral tak wajar.
17
DAFTAR PUSTAKA
Gazali, Wikaria dan Soadadyatmodjo.2007. Kalkulus.Graha Ilmu:Yogyakarta
Tim Dosen matematika. 2013. Matematika Umum II. Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam: Medan
18