identifikasi parameter (2) - budi...

Pelatihan PC-Based Control

Permodelan Sistem

Melalui Identifikasi Parameter

Ir. Rusdhianto EAK, MT


Pengertian

� Adalah sekumpulan metode yang digunakanuntuk mendapatkan/menentukan parameter model pendekatan dari sistem melaluievaluasi data pengukuran input output

� Secara umum ada 2 cara untukmendapatkan model pendekatan sistem, yaitu melalui Pendekatan Respon Waktu danPendekatan Respon Frekuensi


Pendekatan Respon Waktu

� Respon waktu kontinyu :- sinyal uji berupa step- model pendekatan yang digunakan:

- orde I

- orde II

- orde tinggi

1)(

)(

+=

s

K

sX

sY

τ

121)(

)(

22 ++

=ss

K

sX

sY

nn ωζ

ω

N

s

s

e

sX

sY

)1()(

)(

2

1

+=

−

τ

τ


Pendekatan Respon Waktu

� Respon Waktu Diskrit- sinyal uji berupa sinyal random untuk

proses offline atau sinyal kontrol (online)- model pendekatan struktur diskrit


Pendekatan Respon Frekuensi

� Sinyal uji sinusoida dengan magnitude konstan dan frekuensi variabel

� Model pendekatan struktur kontinyu


Struktur Model Pendekatan

� Suatu sistem dengan masukan tersamplingu(k), keluaran y(k)dan noise µ(k) dapatdigambarkan dengan diagram blok :

Sistemu(k)

µ(k)

y(k)


Struktur Model Pendekatan

� Sistem tersebut dapat didekati dengan model umum :

)()(

)()(

)(

)()(

1

1

1

1

kqA

qCku

qA

qBqky

d

η−

−

−

−−

+=

dimanad : faktor delay

)()(;)()(

...)(

...1)(

...)(

1

110

1

11

1

110

1

ikukuqikykyq

qcqccqC

qaqaqA

qbqbbqB

i

nenc

nana

nbnb

−=−=

+++=

+++=

+++=

−−

−−−

−−−

−−−


Berbagai Bentuk StrukturPendekatan

� Struktur Deterministik (tanpa noise)(semua ci = 0; i = 0,1,…,nc)

� Struktur Stokastik (dengan noise)(terdapat ci ≠ 0, i = 0,1,…,nc)


Struktur Deterministik

� Jika b0 ≠ 0; bi=0, i=1,..,nb, aj ≠ 0; j=1,..,na

disebut struktur AR (Auto Regressive)

� Jika bi ≠ 0, aj = 0; j=1,..,na

disebut struktur MA (Moving Average)

� Jika bi ≠ 0 dan aj ≠ 0, i=0,..,nb,; j=1,..,na

disebut struktur ARMA


Struktur Stokastik

� Jika b0 ≠ 0, bi=0; i=1,..,nb; aj ≠ 0; j=1,..,na

disebut sebagai ARX (Auto Regressive Exogeneous)

� Jika bi ≠ 0, aj = 0; j=1,..,na

disebut sebagai MAX

� Jika bi ≠ 0, aj ≠ 0; i=0,..,nb; j=1,..,na

disebut sebagai struktur ARMAX (atau strukturlengkap)


Catatan

� Jika hanya ada c0� noise pada pengukuran� Jika terdapat ci ≠ 0, i =1,..,nc � noise pada

state


Metode Identifikasi Parameter

� Metode Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

� Metode Gradient� Metode Least Square


Metode Penyelesaian PersLinier Simultan

� Menemukan Parameter Rata-rata (P2SPR)� Menemukan Parameter Total (P2SPT)


Metode Gradient

� Gradient Constant Step (GCS)� Gradient Steppest Descent (GSD)� Gradient Binary Step (GBS)


Metode Least Square

� Metode Standard Least Square (SLS), (Unity forgetting factor least square)

� Metode Extended Least Square (ELS)


Metode Penyelesaian PersLinier

Suatu sistem dimodelkan dengan struktur ARMA dengan d=1 sbb:

)1(...)2()1(

)(...)2()1()(

10

21

−−++−+−+−−−−−−−=

bnb

na

nkbkbkb

nakyakyakyaky

µµµ

Jika terdapat sejumlah pengukuran k=0 s/d k=N, selalu dapat disusun sejumlah pers linier yang valid dengan parameter sebagai nilai yang akandicari.


P2SR (Penyelesian Pers Linier Simultan – Parameter Rata -rata

� Mulai k=na

s/d k=na+m-1 dapat disusun M buah

persamaan linier simultan yang memiliki satupenyelesaian linier.

YP

mny

ny

b

b

a

a

mu

unu

mymny

yny

mnk

nk

Y

a

a

nb

na

P

a

a

a

a

a

1

0

10

)1(

)1(

)(

)1(

)0()...1(

)1()...2(

)...1(

1

−=

++

=

−

−

−−+−

−−

++=

=

θ

θ44 344 21321

44444444 344444444 21


P2SR

� Demikian pula untuk k=na+1s/d k=n

a+m-1 θ(2) =

P-1Y� Sehingga dapat disusun Formulasi Parameter

Rata-rata

M : Jumlah semua solusi yang mungkinm : Jumlah persamaan/parameter yang diperlukan

untuk mendapatkan satu solusi.

∑=

=M

i

iM 1

)(1 θθ


P2ST (Penyelesaian PersamaanLinier Simultan Parameter Total)

� Sama dengan P2SR, dengan melibatkansemua persamaan linier secara total.

� Mulai k=na

s/d k=N (N:jumlah pengukuran), dapat disusun sejumlah persamaan linier simultan yang dapat dituliskan dalam format matrix.


P2ST

� Nilai θ dapat dirumuskan sbb:

11

0

10

11

)(

)(

)()...1(

)()...1(

)()...1(.

.)...1(

mxmxkxm

Y

a

nb

na

Q

b

baa

a

aa

YQ

Ny

ny

b

b

a

a

nNuNu

nnunu

nNyNy

yny

Nk

nk

mxmxkxm

=

=

−−

−−

−−−

−−

=

=

θ

θ43421321

44444444 344444444 21

K = jumlah semua pers linier

YQQQ TT 1)( −=θ


Metode Gradient

� Suatu sistem dimodelkan dengan strukturARMA dengan d=1 sbb:

)1(...)2()1(

)(...)2()1()(

10

21

−−++−+−+−−−−−−−=

bnb

na

nkbkbkb

nakyakyakyaky

µµµ

Atau dalam format perkalian vektor :

θϕ )1()( −= kky T

dimana

Tnbna

Tba

bbaa

nkukunkykyk

]......[

)]()...1()()...1([)1(

01=

−−−−−=−

θϕ


Metode Gradient

� Jika θ dinyatakan dalam hasil estimasi daridata pengukuran ke k

)(ˆ)1()(ˆ kkky T θϕ −=� Sehingga dapat dituliskan error estimasi

kuadrat adalah

221 )](ˆ)([ kykyJ −=


Metode Gradient

� Metode gradient adalah metode yang diturunkan melalui kriteria error estimasikuadrat minimum.

{ }221 )]()1()([minmin kkkyJ T θϕ −−=

� Dengan menggunakan gradien perubahanθ(k) pada sepanjang kurva J menuju error kuadrat paling minimum dapat disusunalgoritma metode gradien.


Algoritma GCS (Gradient Constant Step)

� Initialisasi1. Tentukan struktur model dan orde sistem2. Tentukan kondisi awal dari

3. Tentukan gain estimasi (step)

]...[

]0...0[)1(

]0...0[)1(

1 nb

T

T

ba

k

k

==−•=−•

θϕ

untuk proses offlineuntuk proses ONline

Iλθ =∆ ; λ = bilangan sembarang


Algoritma GCS

� Proses Iterasi/Rekursive1. Ukur input output plant u(k), y(k)

- untuk proses offline u(k): masukan random - untuk proses ONline u(k): sinyal kontrol

2. Rekonstruksi matrix ϕ(k-1)

Tba nkukunkykyk )]()...1()()...1([)1( −−−−−−=−ϕ


Algoritma GCS

3. Hitung estimasi parameter sistem

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuranselanjutnya.

{ })1()]1()1()([)1(ˆ)(ˆ −−−−∆+−= kkkkySignkk T ϕθϕθθθ


Algoritma GSD (Gradient Steppest Descent)



]...[

]0...0[)1(

]0...0[)1(

1 nb

T

T

ba

k

k

==−•=−•

θϕ




Algoritma GSD



2. Rekonstruksi matrix ϕ(k-1)T

ba nkukunkykyk )]()...1()()...1([)1( −−−−−−=−ϕ


Algoritma GSD

3. Hitung estimasi parameter sistem

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuranselanjutnya.

{ })1()]()1()([)1(ˆ)(ˆ −−−∆+−= kkkkykk T ϕθϕθθθ


Algoritma GBS (Gradient Binary Step)

� Initialisasi (4 tahap)1. Tentukan struktur model dan orde sistem2. Tentukan kondisi awal dari


]...[

]0...0[)1(

]0...0[)1(

1 nb

T

T

ba

k

k

==−•=−•

ϕϕ




Algoritma GBS

� Inisialisasi4. Tetapkan Sign awal

xmTs 11 ]1...1[=


Algoritma GBS



2. Rekonstruksi matrix ϕ(k-1)

Tba nkukunkykyk )]()...1()()...1([)1( −−−−−−=−ϕ


Algoritma GBS

� Proses Iterasi3. Hitung4. Hitung5. Hitung6. Hitung7. Jika selesai, stop. Jika belum buat s1 = s2

dan ulangi langkah 1.

[ ]{ }1()1()1()(2 −−−−= kkkkySignS T ϕθϕ

)()( 212141 ssssS T −−=

)1)(1()( 21 skk −−∆=∆ θθ

2.)1(ˆ)(ˆ skk θθθ ∆+−=


Metode Least Square

� Merupakan pengembangan dari metodegradient dengan kriteria yang diminimumkanmelibatkan semua pengukuran, yaitu:

Atau:

= ∑

=

k

i

ieJ0

221 )(minmin

( )

−−= ∑

=

k

i

T iiiyJ0

2

21 )(ˆ)1()(minmin θϕ


Metode Least Square

� Dengan metode yang sama seperti metodegradient dapat disusun Algoritma untukmendapatkan nilai estimasi parameter yaitu :

1. Algoritma SLS/RLS2. Algoritma ELS

)(ˆ kθ


Algoritma SLS


3. Tentukan gain estimasi awal

]...[

]0...0[)1(

]0...0[)1(

1 nb

T

T

ba

k

k

==−•=−•

θϕ


IkF λ=)(


Algoritma SLS

� Proses Iterasi1. Ukur input output plant u(k), y(k)2. Rekonstruksi

3. Hitung estimasi parameter

)1( −kTϕ)]()...1()()...1([)1( nbkukunkykyk a

T −−−−−−=−ϕ

{ } )1()1()1()()()1(ˆ)(ˆ −−−−+−= kkkkykFkk T ϕθϕθθ


Algoritma SLS

� Proses Iterasi4. Revisi nilai F(k+1) untuk proses iterasi

selanjutnya

5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangilangkah 1.

)1()()1(1

)()1()1()()()1(

−−+−−−=+

kkFk

kFkkkFkFkF

T

T

ϕϕϕϕ


Algoritma ELS


3. Tentukan gain estimasi awal

]...[

]0...0[)1(

]0...0[)1(

1 nb

T

T

ba

k

k

==−•=−•

ϕϕ


IkF λ=)(


Algoritma ELS

� Proses Iterasi1. Ukur input output plant u(k), y(k)2. Rekonstruksi

3. Hitung estimasi parameter

)1( −kTϕ)]()...1()()...1([)1( nbkukunkykyk a

T −−−−−−=−ϕ

{ } )1()1()1()()()1(ˆ)(ˆ −−−−+−= kkkkykFkk T ϕθϕθθ


Algoritma ELS

� Proses Iterasi4. Update:

λ1 dan λ2 dipilih dengan berbagai cara.- λ1 bilangan konstan < 1, λ2 = 1- λ1 =1 dan λ2 bilangan konstan > 1- λ1 = f(k), λ2 = 1- λ1 = 1; λ2 = f(k)- λ2 = 1; λ1 dipilih agar : - nilai Eigen F, tetap

- nilai Trace F tetap- determinan F tetap

( )

−−+−−−=+

)1()()1(1

)()1()1()()(

1)1(

21 kkFk

kFkkkFkFkF

T

T

ϕϕλϕϕ

λ


Algoritma ELS

� Proses Iterasi

5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangilangkah 1.


Validasi Model

� Adalah suatu proses untuk melihat seberapadekat model hasil identifikasi dengan plant asal


Beberapa Cara Validasi

1. Melalui kedekatan Respon Waktu� ujidengan input step

2. Melalui kedekatan respon frekuensi3. Melalui perhitungan error estimasi dari data

pengukuran untuk masukan random


Latihan

� Suatu plant:

� Lakukan identifikasi plant melalui berbagaipendekatan.

� Lakukan validasi model melalui: - Respon step- Respon Frekuensi- Kriteria Error

u(t) y(t)

1688

1223 ++++

sss

s

identifikasi parameter (2) - budi...

Documents