identifikasi karakteristik hazard rate distribusi ...digilib.unila.ac.id/22334/3/skripsi tanpa bab...

IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATEDISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL

(Skripsi)

Oleh

MERDA GUSTINA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2016

ABSTRAK


Oleh

Merda Gustina

Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisiskesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan,kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.Distribusi dari waktu kelangsungan hidup terdiri dari tiga fungsi yaitu FungsiKepekatan Peluang (fkp), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), danFungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentuk Hazard Rate padadistribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser. DistribusiGeneralized Exponential mempunyai empat bentuk hazard rate yaitu meningkat(increasing), menurun (decreasing), konstan, dan upside-down bathtub.

Kata Kunci: Distribusi Generalized Exponential, Fungsi Kelangsungan Hidup(Survival Function), Laju Kegagalan (Hazard Rate).

ABSTRACT

IDENTIFICATION CHARACTERISTIC HAZARD RATEGENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION

By

Merda Gustina

Survival Analysis is commonly used in predicting the probability of survival,recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survivaltime is the data that measure time to a certain event. The distribution of survivaltimes is usually described or characterized by three functions: the probabilitydensity function, the survival function, and the hazard function. Therefore, Of thethree can be studied form of Hazard Rate on Generalized Exponential distributionusing rules Glaser. The characteristic Hazard Rate Generalized Exponentialdistribution are increasing, decreasing, constant and upside-down bathtub.

Key Word: Generalized Exponential Distribution, Survival Function, HazardRate.


OlehMERDA GUSTINA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelarSARJANA SAINS

PadaJurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis di lahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 26

Agustus 1994, sebagai putri ke pertama dari pasangan Bapak Marzuki dan Ibu Siti

Sundari.

Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-Azhar 2 Bandar

Lampung pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 08

Bandar Lampung pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA

Negeri 13 Bandar Lampung pada tahun 2012.

Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis.

Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa

Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan sebagai Anggota Kesekretariatan

periode 2013-2014 dan Himpunan NATURAL yang diamanahkan sebagai

Anggota Kaderisasi periode 2013-2014.

Pada bulan Januari 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan

Pusat Statistika Provinsi Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah

didapatkan sewaktu kuliah. Pada bulan Juli 2015 penulis melaksanakan Kuliah

Kerja Nyata (KKN) di Desa Candra Jaya, Kecamatan Tulang Bawang Tengah,

Kabupaten Tulang Bawang Barat.

KATA INSPIRASI

“Do the best, be good, then you will be the best”

Lakukan yang terbaik, bersikaplah yang baik maka kau akan

menjadi orang yang terbaik

Andai kegagalan adalah bagaikan hujan, dan kesuksesan

bagaikan matahari, maka kita butuh keduanya untuk bisa

melihat pelangi.

Jika kita memang harus kalah, jangan lebih dari sehari.

Rebut kemenangan itu besok

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillahirobil’alamin serta dengan segala syukur,

rahmat, dan hidayah serta karunia Allah SWT dapat memberikanku kesempatan

untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.

Teruntuk Ayah dan Bunda ku tercinta

Setulus hatimu Bunda, searif arahanmu Ayah

Doamu hadirkan keridhaan untukku, petuahmu tuntunkan jalanku

Pelukmu berkahi hidupku, diantara perjuangan dan tetesan doa malam mu

Dan sebait doa telah merangkul diriku, menuju hari depan yang cerah

Kini diriku telah selesai dalam studi sarjana

Dengan kerendahan hati yang tulus, bersama keridhaan-Mu ya Allah,

Kupersembahkan karya tulis ini untuk yang termulia, Ayah... Bunda...Mungkin

tak dapat selalu terucap, namun hati ini selalu bicara,sungguh ku sayang kalian

Dan yang terkasih adikku (Rido Kurniawan) walaupun sering bertengkar namun

hal itu akan selalu menjadi warna yang tak tergantikan dan terima kasih dukungan

yang selalu diberikan untukku.

“Tanpa keluarga, manusia, sendiri di dunia, gemetar dalam dingin.”

SANWACANA

Alhamdulilahirabbil’alamin dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT serta

rahmat dan karunia Nya skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul

“IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI

GENERALIZED EXPONENTIAL” disusun sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) di Universitas Lampung. Selesainya

skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari

berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin

menyampaikan banyak terima kasih kepada:

1. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah

meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi.

2. Bapak Warsono Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah memberi

banyak masukan dan arahan kepada penulis selama menyusun skripsi.

3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan

dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.

4. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik

yang telah mengarahkan penulis dari awal sampai lulus kuliah.

5. Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D, selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung

7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.

8. Ayah, Bunda dan Adik ku tersayang yang telah memberikan motivasi, do’a,

dan kasih sayang yang begitu besar serta dukungan moril maupun materil

kepada penulis.

9. Sahabat yang sudah seperti keluarga Lina Nur Baiti, Anisa Rahmawati, Grita

Tumpi Nagari, Naelu Rasyida, Hana Ayu Masha, Sella Nofriska dan Citra

Anggana yang selalu ada dan setia menemani saat suka maupun duka penulis

saat menempuh pendidikan di Universitas Lampung.

10. Sahabat sedari dulu hingga sekarang Anisa Rahmawati, Nina Rosita, Rizky

Samty, Devi Anggraini, Nida Amalia yang selalu memberikan motivasi

kepada penulis.

11. Sahabat sekaligus teman seperjuanganku selama mengerjakan skripsi Mutia

Adillah atas kebersamaan dalam susah senang disaat proses pembuatan skripsi.

12. Sahabatku Maria Reni Harnani dan Putri Mulia Lestari yang selalu

memberikan dukungan baik suka maupun duka selama menyelesaikan skripsi

ini.

13. Teman-teman angkatan 2012 yaitu Gery, Yefta, Ernia, Putri, Elva, Dwi, Erni

serta teman-teman yang lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang

selalu memberikan motivasi dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini.

14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu

persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga

kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga

skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.

Bandar Lampung, 28 April 2016

Penulis

Merda Gustina

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ....................................................................... iii

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 21.3. Batasan Masalah....................................................................... 31.4. Manfaat Penelitian.................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Survival ...................................................................... 42.2 Fungsi Kepekatan Peluang ....................................................... 42.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function).................... 52.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)..................................... 62.5 Distribusi Eksponensial............................................................ 102.6 Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ........................................... 112.7 Distribusi Generalized Exponential ......................................... 12

2.7.1 Nilai Harapan Distibusi Generalized Exponential ........ 132.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential.................. 14

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 163.2 Metode Penelitian..................................................................... 16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Nilai Turunan Pertama Fungsi Kepekatan GeneralizedExponential............................................................................... 18

4.2 Mencari Nilai ( ) dan ′( ) ................................................... 194.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival) dan Hazard ............... 20

ii

4.4 Analisa Bentuk Kurva Hazard Rate......................................... 224.5 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized

Exponential............................................................................... 25

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 1,1 dan λ > 0 ................................................................ 25

2. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 2 dan λ > 0 ................................................................... 26





7. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential..................................................................................................... 31

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Setiap kehidupan pastinya terdapat masalah yang berhubungan dengan waktu

ketahanan hidup, seperti waktu kematian atau kesembuhan penyakit seseorang.

Dalam statistika, masalah ketahanan hidup disebut juga analisis survival. Analisis

survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan

bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan

peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Analisis survival

juga terdiri dari fungsi survival dan hazard rate.

Dalam analisis kelangsungan hidup tingkat probabilitas kegagalan juga

diperhitungkan yang dinamakan laju kegagalan (hazard rate). Laju kegagalan

(hazard rate) diperlukan untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam

fungsi kelangsungan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang

sesungguhnya. Secara spesifik laju kegagalan dihitung sebagai jumlah kegagalan

pada kurun waktu dalam rentang interval dibagi dengan rata-rata jumlah kejadian

yang sukses pada nilai tengah interval. Laju kegagalan (hazard rate) mempunyai

bentuk-bentuk kurva yaitu increasing (I), decreasing (D), bathtub (∪), upside-

down bathtub (∩) dan konstan. Model peluang laju kegagalan memiliki bentuk

yang berbeda-beda untuk setiap distribusi yang berbeda.

2

Salah satunya yaitu fungsi distribusi Generalized Exponential. Distribusi

Generalized Exponential merupakan perluasan dari distribusi Exponential yang

memiliki bentuk kurva hazard konstan. Sedangkan distribusi Generalized

Exponential mempunyai bentuk kurva yang spesifik, kurva naik dari nol mencapai

titik maksimum kemudian turun dan pada saat tertentu relatif konstan mendekati

nol. Fungsi ini dapat dipergunakan untuk menggambarkan model kurva

pertumbuhan. Gupta dan Kundu (1999) memperkenalkan distribusi eksponensial

tergeneral (Generalized Exponential / GE) sebagai alternatif dari distribusi gamma

atau weibull. Fungsi distribusi dari eksponensial tergeneral adalah :( ; , λ) = αλ (1 − )dengan merupakan parameter bentuk dan λmerupakan parameter skala.

Berdasarkan latar belakang diatas akan dikaji lebih mendalam bagaimana bentuk

kurva hazard rate pada distribusi Generalized Exponential.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mendapatkan fungsi kelangsungan hidup distribusi Generalized

Exponential dan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential

2. Mengidentifikasi karakteristik hazard rate dalam bentuk increasing,

decreasing, bathtub, upside-down bathtub atau yang terjadi pada

distribusi Generalized Exponential

3. Menggambarkan grafik fungsi hazard distribusi Generalized Exponential

3

1.3 Batasan Masalah

Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal

berikut:

1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Exponential

dengan 2 parameter ( , ).2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing,

decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi

Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah hasil dari penelitian ini dapat diterapkan pada

kasus ketahanan hidup yang berdistribusi Generalized Exponential (GE).

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Survival

Analisis survival adalah salah satu metode statistik yang digunakan untuk

menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian (event) menarik terjadi.

Analisis survival (survival analysis) atau waktu kelangsungan hidup atau analisis

kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan,

kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.

Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan dan difokuskan

pada tiga fungsi yaitu:

1. Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)

2. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)

3. Fungsi Hazard

Ketiga fungsi ini equivalen, artinya jika satu dari ketiganya diberikan maka dua

lainnya bias diperoleh. (Xian Liu, 2012)

2.2 Fungsi Kepekatan Peluang

Seperti peubah acak kontinu lainnya, waktu kelangsungan hidup T mempunyai

fungsi kepekatan peluang (fkp) yang didefinisikan sebagai limit dari peluang

5

suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke t + ∆ , atau peluang

kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai:

( ) = lim∆ → ( ( , + ∆ )∆= lim∆ → Pr( < < + ∆ )∆

(2.1)( ) adalah fungsi non negatif, yaitu:( ) ≥ 0 untuk semua t ≥ 0= 0 untuk t < 0

(Xian Liu, 2012)

2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)

Fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu individu akan tetap hidup sampai

waktu t ( > 0). Jadi jika x variabel random yang menotasikan waktu bertahan

hidup dari seorang individu, maka ( ) adalah probabilitas bahwa T lebih besar

dari . Dalam statistik fungsi kumulatif distribusi ( ) didefinisikan:( ) = ( ≤ )= ( )

Karena > 0 maka ( ) = ∫ ( ) (2.2)

Fungsi kelangsungan hidup menyatakan peluang suatu sistem tidak mengalami

kegagalan sampai batas waktu t. Fungsi ini didefinisikan sebagai:( ) = P( ℎ ℎ ℎ )

6

= P( > )= ( )

(2.3)

Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif ( ) = ( ≤ ), maka

fungsi survival dapat dituliskan sebagai berikut :( ) = ( > )= 1 − ( ≤ )= 1 − ( ) (2.4)

Sifat-sifat dari kelangsungan hidup S(t):

1. Fungsi tidak naik ( non-increasing) dengan (∞) = 0 dan (0) = 1Yaitu bahwa probabilitas suatu individu bertahan hidup pada waktu 0 adalah 1

dan probabilitas bertahan hidup sampai waktu mendekati tak berhingga adalah

nol.

2. Jika T peubah acak kontinu, maka S(t) kontinu. (Xian Liu, 2012)

2.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)

Laju kegagalan (Hazard Rate) atau fungsi hazard menyatakan peluang sesaat

kemudian (next-instan) antara (t,t + ∆ ), kemudian diketahui bahwa suatu sistem

telah berumur t. Hazard didefinisikan sebagai:

ℎ( ) = lim∆ → Pr( < < + ∆ | ≥ )∆= lim∆ → Pr[( < < + ∆ ) ∩ ( ≥ )] /( ≥ )∆

7

= lim∆ → Pr[( < < + ∆ ∩ ≥ )]∆ Pr( ≥ )= lim∆ → Pr( < < + ∆ )∆ (1 − ( ))= lim∆ → F(t + ∆t) − F(t)∆ (1 − ( ))= 1(1 − ( )) lim∆ → F(t + ∆t) − F(t)∆ℎ( ) = ( )( ( )) = ( )( ) (2.5)

dimana f(t) adalah fungsi kepekatan (density function) dan s(t) adalah fungsi

kelangsungan hidup (survival function).

Dari persamaan ( ) = Pr( ≤ ) = ∫ ( ) , karena:

( ) = ( ) = [1 − ( )] = − ( )Maka persamaan (2.5) dapat diperoleh:

ℎ( ) = ( )( ) = − ( )( ) = − [ln ( )]sehingga diperoleh:

ln ( )| = − ℎ( )Karena s(0)= 1, maka

ln ( )| = − ℎ( )Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup yaitu:( ) = exp −∫ ℎ( ) (2.6)

8

Dimana, s(t) : Fungsi kelangsungan hidup (survival function)

h(t) : Fungsi hazard (hazard rate/ hazard function)

Hazard rate h(t) untuk model distribusi laju kegagalan kontinu mempunyai sifat :

a. h(t) > 0

b. ∫ ℎ( ) = ∞Dari persamaan (2.5) dihubungkan dengan persamaan (2.6) akan diperoleh :( ) = ℎ( ) −∫ ℎ( ) ; ≥ 0 (2.7)

(John and Melvin, 2005)

Menurut McDonald dan Richard (1987) untuk mengetahui karakteristik fungsi

hazardnya h(t) diturunkan terhadap t sehingga:ℎ( ) = ( ) ( ) − ( )(− ( ))ℎ( ) = ( ) ( ) + ( )ℎ( ) = ( )( ) + ( )( )

Setelah diperoleh turunan pertama dari h(t), untuk mengetahui kapan h(t) naik,

turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat,dh(t) = 0( )( ) + ( )( ) = 0( )( ) = − ( )( )( )( ) = − ( )

9

Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan

1. Memiliki laju hazard naik (increasing) jika( )( ) > − ( ),

2. Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika( )( ) < − ( )

3. Memiliki laju hazard konstan jika( )( ) = − ( ).

Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang

diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya.

Menurut Glaser (1980) untuk menentukan bentuk laju hazard dengan

menggunakan metode satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser

menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu

fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva

dan didefinisikan sebagai berikut :( ) = − ( )( ) (2.8)

Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan

bentuk laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut :

a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka increasing (I)

b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka decreasing (D)

c. Misal terdapat > 0, sehingga ′( ) < 0 untuk semuaє (0, ), ′( ) = 0, ′( ) > 0 untuk semua > , dan

Jika lim → ( ) = 0, maka increasing (I)

Jika lim → ( ) → ∞, maka bathub (U)

d. Misalkan terdapat > 0, sehingga ( ) > 0 untuk semua є (0, ),( ) < 0 untuk semua > , dan

10

Jika lim → ( ) = 0, maka upside-down bathub (∩)

Jika lim → ( ) → ∞, maka decreasing (D)

2.5 Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu pertama kali

diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi eksponensial

adalah suatu fungsi special dari distribusi gamma yang berperan penting dalam

statistika. Berikut akan dijelaskan definisi PDF (Probability Density Function)

distribusi eksponensial.

Definisi 2.5.1 (Probability Density Function) PDF distribusi eksponensial

Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan peubah acak

eksponensial jika dan hanya jika kepekatan peluang (probability density),

mempunyai fungsi kepekatan peluang dalam bentuk:

( ) = λ λ , > 0, λ > 00, (2.9)

Dengan λ merupakan parameter skala.

Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah:( ; λ) = 1 − , > 0 (2.10)

(Gupta dan Kundu, 1999)

2.6 Sifat-Sifat Distribusi Eksponensial

11

Adapun sifat-sifat distribusi eksponensial menurut Gupta dan Kundu pada tahun

1999 sebagai berikut:

1) ( ) = lim→ ∫ λe =Bukti :( ) = lim→ λe = lim→ λ e

= lim→ λ −λ e + 1λ e= lim→ −te + e= lim→ −te − 1λ e |= lim→ 0 − 1λ e − 1λ= 1λ

2) ( ) = ( ) − ( ( ))= lim→ λe − 1λ= lim→ λe − 1λ= lim→ λ −λ + 1λ e 2 − 1λ= lim→ − + 2 te − 1λ

12

= lim→ − + 2λ − 1λ= 0 + 2λ − 1λ = 1λ

3) ( ) = lim → ∫ λe =Bukti :( ) = lim→ λe = lim→ λ e

= lim→ λ −1λ e |= lim→ −e |= lim→ −e +e= e

4) ℎ( ) = ( )( ) = = , maka nilai hazard konstan

2.7 Distribusi Generalized Exponential

Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada

tahun 1999. Distribusi Eksponensial diambil dari salah satu fungsi distribusi

kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk

membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk,

yang didefinisikan sebagai berikut:( ) = (1 − −λ ) (2.11)

Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi

ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi

distribusi kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:

13

( ; , λ) = (1 − ) (2.12)

dari turunan fungsi distribusi kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepekatan

peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:( ; , λ) = αλ (1 − ) (2.13)

Keterangan:

: Peubah acak

: Parameter Bentuk

λ : Parameter Skala

e : 2,7183

Untuk α > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter

skala. Jika α = 1 merupakan distribusi eksponensial. Maka pada kajian parameter

α dan λ = 1 merupakan distribusi Generalized Exponential dengan parameter

bentuk di notasikan dengan GE (α). (Dobson, 2002)

2.7.1 Nilai Harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ)

Nilai harapan dari suatu distribusi akan dijelaskan pada definisi 2.1 yaitu:

Definisi 2.1 (Nilai Harapan)

Misalkan x variabel acak, jika x variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan

peluang f(x) dan

| | ( ) < ∞Maka nilai harapan x adalah :

( ) = ( )

14

(2.14)

(Hogg and Craig, 1995)

Adapun nilai harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ) menurut Gupta

dan Kundu tahun 2003 adalah:( ) = ( ( + 1) − ( (1)) (2.15)

Dimana adalah fungsi digamma.

2.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential ( , λ)

Sebaran dari distribusi Generalized Eksponential ditentukan oleh standar deviasi,

.Kuadrat dari standar deviasi merupakan ragam dari distribusi GE. Definisi dan

bentuk rumus umum dari nilai ragam adapun penjelasannya sebagai berikut:

Definisi 2.2 ragam

Misalkan x merupakan sampel acak dengan rata-rata terbatas dan sedemikian

sehingga ([ − ] ) terbatas, maka ragam dari X didefinisikan sebagai ([ −] ). ([ − ] ) dinotasikan dengan atau Var (X)

Sehingga didefinisikan sebgai berikut :( ) = ([ − ] ) = ( ) − ( ( )) (2.16)

(Hogg and Craig, 1995)

Adapun menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 nilai ragam distribusi GE ( , λ)

adalah:( ) = ([ − ] ) = ( ) − ( ( ))( ) = − ( ′( + 1) − ( ′(1)) (2.17)

15

Dimana adalah derivative dari fungsi digamma.

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilakukan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung tahun ajaran 2015/2016.

3.2 Metode Penelitian

Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara

sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan

informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun

langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mencari turunan pertama dan fungsi kepekatan distribusi Generalized

Exponential

2. Mencari nilai η(t) =

dan turunan pertama dari distribusi Generalized

Exponential

3. Mencari fungsi kelangsungan hidup dari distribusi Generalized Exponential

4. Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential

5. Melakukan analisis fungsi hazard dengan dengan menggunakan aturan

Glaser (1980) sebagai berikut:

a. Jika untuk semua t > 0, maka increasing (I)

17

b. Jika untuk semua t > 0, maka decreasing (D)

c. Misalkan terdapat sehingga untuk semua

untuk semua dan

- Jika , maka increasing (I)

- Jika , maka bathtub ( )

d. Misalkan terdapat sehingga untuk semua

untuk semua dan

- Jika , maka upside-down bathtub

- Jika , maka decreasing (D)

Dimana:

6. Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential

dengan menggunakan program R

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh

kesimpulan sebagai berikut:

1. Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Exponential adalah1 − (1 − −λ ) sedangkan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential

adalahα λ −λ (1− −λ ) −1(1− −λ )

2. Hazard rate berbentuk konstan untuk α =1 dan λ > 0 untuk semua > 03. Hazard rate berbentuk increasing (I) atau naik untuk 1 < α < 2,2 dan λ > 0

untuk semua > 04. Hazard rate berbentuk decreasing (D) atau turun untuk 0 < α < 1 dan λ > 0

untuk semua > 05. Hazard rate berbentuk upside-down bathtub (∩)untuk α > 3 dan λ > 0 untuk

semua > 06. Hasil analisis dengan mengunakan teorema Glaser ternyata sebanding dengan

bentuk grafik dari hazard function menggunakan software R yaitu berbentuk

increasing, decreasing, upside-down bathtub dan juga konstan

DAFTAR PUSTAKA

John P. Klein and Melvin L.M.. 2005. Survival Analysis : Techniques forCensored and Truncated Data. Second edition. Springer, New York.

Glaser,R.E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J.American Statistical Association, Vol 75, pp 667-672.

Dobson, A.J. 2002. An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman &Hall, USA.

Mc. Donald, J.B and Richards, D.O. 1987. Hazard Rate and Generalized BetaDistribution. IEEE Transaction Realibility. R-36, 463-466.

Gupta, R.D., Kundu, D., 1999. Generalized Exponential Distributions. Austral.New Zealand J. Statist. 41 (2), 173–188.

Gupta, R. D. and Kundu, D. 2003. Discriminating between the Weibull and theGE distributions. Computational Statistics and Data Analysis, vol. 43, 179 -196.

Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifthedition. Prentice-hall Inc., New Jersey.

Liu, Xian. 2012. Survival Analysis : Models and Applications. First edition.John Wiley & Sons, USA.

identifikasi karakteristik hazard rate distribusi ...digilib.unila.ac.id/22334/3/skripsi tanpa bab...

Documents