i. pilihlah salah satu jawaban yang paling benar dan ... web viewluas permukaan kerucut yang...

GEOMETRIpada RUANG DIMENSI 3

Standar Kompetensi 6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar 6.1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

6.2. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.

6.3. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dmensi tiga.

Modul Matematika 2| GEOMETRI PADA RUANG DIMENSI 3 | 1

GEOMETRI pada ruang RUANG DIMENSI 3

Kegiatan belajar 1

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan anda dapat:

Menentukan luas permukaan dan volume bangun ruang. Menggunakan rumus luas permukaan dan volume bangun ruang

untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.

LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG

1. PrismaTiga prisma berikut adalah beberapa bentuk dari prisma

Luas permukaan = keliling alas x tinggi + 2 x luas alasVolume = luas alas x tinggi


Sebelum melakukan operasi, seorang dokter

bedah terlebih dahulu akan menentukan letak dan

jarak antara tumor di dalam batok kepala diluar selaput otak di belakang lintasan

syaraf-syaraf.

Contoh :

Tentukan luas dan volume prisma tegak seperti gambar di bawah.

Penyelesaian:Luas alas = { (6 × 5) + ( 1

2× 3 × 4) = 36 cm2

Luas sisi tegak = keliling alas × tinggi = { (6+ 5 + 6 + 4 + 3) × ,5 } cm2= 108 cm2

Jadi luas prisma = { 108 + 2 ( 36 ) } cm2 = 180 cm2

Volume prisma = ( 36 × 4,5) cm3= 162 cm3

2. LimasPerhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di samping ini. Titik O merupakan perpotongan diagonal ruang, sehingga kubus terbagi menjadi 6 limas segiempat, dengan alas persegi, yang sama besar.Keenam limas tersebut adalah O.ABFE, O.ABCD, O.DCGH, O.BFGC, O.BHEG, dan O.HADE. Dengan demikian tinggi setiap limas adalah setengah panjang rusuk kubus, s. Karena keenam limas sama besar, makavolume setiap limas = 1

6 volume kubus = 1

6 s3

= 13 ( 1

2s)s2

= 13s2( 1

2s)

¿ 13luas alas x tinggi

Secara umum, suatu limas yang luas alasnya A , tingginya t, danvolumenya V, maka

V = 13At

Untuk memahami luas permukaan dari limas perhatikan gambar dibawah ini


Jaring-jaringnya adalah sebagai berikut:

Luas permukaan limas = luas alas + luas seluruh sisi tegak

Contoh

Sebuah limas tegak dengan alas berbentuk persegi panjang yang panjangnya 10 dan lebarnya 6. Jika tinggi limas 7, tentukan volume dan luas permukaan limas.

Penyelesaian:Jaring-jaringnya adalah sebagai berikut:

Alas berbentuk persegi panjang.Panjang alas = 10, lebar alas = 6, maka Luas Alas = 60.Tinggi limas 7.Luas permukaan = luas alas + luas seluruh sisi tegak

Luas sisi tegak

2 x luas Lebih dahulu kita temukan tingginya

√72+32=√58

Jadi luas seluruhnya a x t2

=10 x √582

=5√58

Luas sisi tegak

2 x luas

Tingginya:


√72+52=√74

Jadi luas seluruhnya a x t2

=6 x √742

=3√74 Sehingga luas permukaan seluruhnya adalah ( 60 +5√58+3√74¿cm2

dan volume limas = 13luas alas x tinggi = 1

3x60 x 7=140cm3

3. TabungSuatu tabung atau silinder merupakan sebuah prisma tegak dengan alas lingkaran.

Jika V, r dan h/t masing-masing menyatakan Volume, jari-jari dan tinggi tabung, makaV = luas alas x tinggi=πr 2tLuas selimut tabung = luas persegi panjang = 2πrtLuas permukaan tabung = luas persegi panjang + 2xluas lingkaran

= 2πrt +2π r2

ContohHitunglah luas permukaan dan volume tabung yang mempunyai jari-jari lingkaran alas 10 cm dan tingginya 14 cm

PenyelesaianLuas permukaan =2πrt +2π r2= 2.3,14.10.14 + 2.3,14.10.10 = 879,2 + 628 = 1507,2 cm2

V = π r2t = 227x102 x14=4400 cm3

4. KerucutKerucut adalah kejadian khusus dari limas. Kekhususannya terletak pada bentuk alas. Alas kerucut berbentuk lingkaran.


Luas permukaan kerucut yang berjari-jari r dan panjang sisi miring /apotema l adalah = luas selimut + luas alas

= π r l+π r2❑ = πr (l+r )Jika suatu kerucut dengan tinggi t dan jari-jari alas r dan volume V, maka V = 1

3π r2t

Contoh

Jika jari-jari sebuah kerucut 6 cm dan tingginya 8 cm, maka hitunglah volume dan luas permukaan kerucut tersebut.

Penyelesaian:Volume kerucut = 1

3π r2t

= 13x 22

7x 62 x 8=301,71cm3

Luas permukaan kerucut = πr (l+r )Lebih dahulu mencari l

l2=r2+t 2

l2=62+82

= 36 + 64 = 100

l❑=√100=10

Jadi, luas permukaan kerucut = 227

.6 (10+8 )=¿339,43 cm2

5. Bola

Jika suatu bola yang berjari-jari r, maka

Luas Permukaan Bola = 4 π r2 dan, Volume = 4

3πr 3


Contoh

Tentukan volume dan luas permukaan bola yang berjari-jari 7 cm.

PenyelesaianV = 4

3πr 3

= 43x 22

7x73= 1437,33 cm3

Luas Permukaan Bola = 4 x 227x72 = 616 cm2

Latihan 1. Tentukan luas balok dengan panjang 24 mm, lebar 18 mm, dan

tinggi 5 mm.2. Tentukan luas kubus yang rusuknya 12.3. Gambar di samping adalah gambar prisma

tegak dengan alas persegi panjang BCDE. Segitiga ABC merupakan salah satu sisi tegaknya.Tentukan luas prisma bila AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan CD = 7 cm.

4. Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas 14 cm dan apotema 10 cm. Tentukan luas kerucut tersebut.

5. Pak Dony ingin membuat tempat air berbentuk silinder dengan jari-jari lingkaran alas 1 m dan tingginya juga 1 m. Tentukan luas minimal bahan yang diperlukan Pak Dony.

6. Tentukan volume kayu yang digunakan untuk membuat kotak terbuka, yang berbentuk balok, dengan ketebalan 2 cm, jika diketahui ukuran bagian dalam kotak adalah panjang 54 cm, lebar 46 cm, dan kedalaman 18 cm.

7. Sebuah kontainer berbentuk balok dengan panjang 20 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 14 cm. Tentukan volume cairan, dalam l, yang dapat dimuat kontainer tersebut (hal ini sering disebut sebagai kapasitas kontainer).

8. Gambar di sebelah kanan menunjukkan potongan sebuah pipa logam. Jari-jari bagian dalam pipa adalah 2,1 cm, jari-jari bagian luar pipa adalah 2,5 cm dan panjang pipa 12 cm. Tentukan volume logam yang digunakan untuk membuat pipa.


9. Tentukan volume prisma yang gambarnya seperti tampak di

bawah ini. 10. Sebuah lempengan logam berbentuk silinder dengan tebal 0,25

cm dan diameter atau garis tengah 30 cm dilelehkan. Dari lelehan tersebut dibuat batang berbentuk silinder lagi tetapi diameternya 5 cm. Tentukan panjang batang yang diperoleh.

11. Sebuah lempengan logam berbentuk silinder dengan tebal 0,25 cm dan diameter atau garis tengah 30 cm dilelehkan. Dari lelehan tersebut dibuat batang berbentuk silinder lagi tetapi diameternya 5 cm. Tentukan panjang batang yang diperoleh.

12. Diagram berikut menunjukkan tempat air berbentuk setengah silinder dengan ukuran seperti pada gambar. Tentukan volumenya dalam liter.

13. Di dalam sebuah kubus yang rusuknya 14 cm dibuat sebuah bola yang menyinggung sisi-sisi kubus. Tentukan volume kubus yang berada di luar bola.

14. Tentukan volume dan luas permukaan bangun berikut, yang terdiri dari dua silinder atau tabung.

15. Di dalam sebuah limas T.ABCD dibuat kerucut yang alasnya berimpit dengan alas limas dan tingginya sama dengan tinggi limas. ABCD berbentuk persegi yang sisinya 7 cm. Tinggi limas 9 cm. Diameter kerucut sama dengan panjang sisi persegi. Tentukan volume limas yang terletak di luar kerucut.

16. Sebuah tangki berukuran panjang 4 m, lebar 2 m, dan tinggi 4,8 m. Mulamula tangki tersebut diisi air separonya. Tentukan kedalaman air dalam tangki setelah 4.000 l air ditambahkan lagi ke dalam tangki tersebut.

17. Tentukan volume prisma yang gambarnya seperti gambar di bawah ini.


18. Melalui sebuah pipa dengan garis tengah atau diameter 56 mm dialirkan air dengan kecepatan 3m/det. Berapa volume air, dalam liter, yang dapat ditampung dalam pipa tersebut per 1 menit?

19. Gambar di samping menunjukkan pipa yang terbuat dari logam dengan diameter bagian luar 28 mm dan diameter bagian dalam 20 mm. Panjang pipa 3,5 m. Tentukan volume logam yang diperlukan untuk membuat pipa tersebut.

20. Tentukan volume dan luas permukaan bangun berikut, yang terdiri dari dua balok.

21. Hitunglah volume dan luas bola yang berjari-jari 13 cm!22. Selimut sebuah kerucut yang dibeberkan berbentuk 3

4 lingkaran yang berjari-jari 9 cm.Hitung volume kerucut tersebut!

23. Diketahui limas tegak T.ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang. Panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm dan da panjang rusuk tegak adalah 10 cm. Tentukan volume limas tersebut!

Kegiatan belajar 2


Menggambar bangun ruang.

MENGGAMBAR BANGUN RUANG

Ada beberapa definisi yang perlu diperhatikan agar dapat menggambar bangun ruang dengan tepat.Definisi 1Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar dan mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dengan ukuran dan bentuk yang sebenarnya.Definisi 2Bidang Orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontalDefinisi 3Garis Frontal adalah garis yang sejajar dengan bidang gambar dan mempunyai ukuran yang sama dengan ukuran yang sebenarnyaDefinisi 4


Garis Orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal dan mempunyai ukuran yang berbeda dengan ukuran yang sebenarnyaDefinisi 5Sudut Surut adalah sudut yang dibentuk oleh garis frontal ke kanan dan garis orthogonal yang dapat berupa sudut lancip atau sudut tumpulDefinisi 6Perbandingan Orthogonal atau perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara pada panjang garis orthogonal pada gambar dengan panjang garis orthogonal yang sebenarnya Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan gambar berikut:

- Bidang ABFE dan DCGH adalah bidang frontal- Bidang ABCD,EFGH, BCGF dan ADHE adalah bidang orthogonal- Garis AB,EF,DC,HG,AE,BF,CG, dan DH adalah garis frontal- Garis AD, BC, FG, dan EH disebut garis Orthogonal- ABC, EFG, DAB dan HEF disebut sudut

surut- Panjang AB pada gambar dibandingkan panjang AB yang

sebenarnya pada kubus ABCD.EFGH disebut perbandingan proyeksi.

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm .Gambarkan kubus tersebut dengan ketentuan ABFE frontal, AB horizontal, sudut surut 600, dan perbandingan proyeksi 1 : 2

Penyelesaian

Karena AD merupakan garis orthogonal dengan perbandingan 1:2, maka panjang Ad = 3 cm.Sudut surut yaitu ∠ BAD dan ∠FEH= 600

Latihan

Gambarkan Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, bidang frontal ABFE, garis frontal hoisontal AB, sudut surut 1050, dan perbandingan Orthogonal 2:3


A BCD

HE FG

Kegiatan belajar 3


Menentukan hubungan antara titik dengan garis,titik dengan bidang, garis dengan garis, garis dengan bidang, bidang dengan bidang

Menentukan proyeksi titik dan garis pada bidang Menentukan jarak pada bangun ruang

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

1. Kedudukan titik terhadap garis

2. Kedudukan titik terhadap bidang

3. Kedudukan garis terhadap garis laina. Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis g dan h berpotongan, jika kedua garis g dan h sebidang dan mempunyai garis persekutuan

b. Dua Garis SejajarDua garis g dan h sejajar, jika kedua garis g dan h sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan


gA

Ag

lA

A

g

h

gh

c. Dua Garis BerhimpitDua buah garis g dan h berimpit, jika garis g dan h sebidang dan menempati posisi yang sama pada bidang tersebut

d. Dua Garis BersilanganDua buah garis g dan h bersilangan, jika garis g dan h tidak sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan

4. Kedudukan garis dengan bidanga. Garis terletak pada bidang

Garis g terletak pada suatu bidangjika garis g mempunyai lebih dari satu titik persekutuan dengan bidang .

b. Garis tegak lurus bidang Untuk menunjukkan garis g

tegak lurus bidang , minimal ada dua garis pada bidang (misal garis h dan f) yang tegak lurus garis g

Garis g tegak lurus bidang ,maka semua garis pada bidang tegak lurus garis g

c. Garis sejajar bidang Untuk menunjukkan garis g

sejajar bidang , minimal ada satu garis pada bidang (misal garis h) yang sejajar dengan garis g.

Jika garis g sejajar bidang , maka tidak semua garis pada bidang sejajar garis g

5. Kedudukan bidang terhadap bidang laina. Dua bidang sejajar

Bidang a dan bidang b sejajar, jika kedua bidang tersebut

tidak mempunyai titik

b. Dua bidang berpotongan

Bidang dan bidang berpotongan, jika kedua bidang mempunyai satu garis persekutuan (garis potong).


gh

g

h

g

h

f

g

hg

A

AB

B. PROYEKSI TITIK DAN GARIS PADA BIDANGa. Proyeksi Titik pada Bidang

Tarik garis dari titik A yang tegak lurus pada bidang (titik B adalah titik tembus titik A pada bidang

b. Proyeksi Garis g pada Bidang Ambil dua titik sembarang pada garis g (misal A dan B)Proyeksikan titik A dan titik B pada bidang (hasil proyeksi

adalah A’ dan B’)Hubungkan A’ dan B’ (garis g’ ) sebagai hasil proyeksinya.

C. JARAK PADA BANGUN RUANG

1. Jarak Antara Titik dengan TitikJarak antara dua titik adalah ruas garis terpendek yang menghubungkandua titik tersebut.

A B

2. Jarak Antara Titik dengan GarisJarak antara sebuah titik ke sebuah garis adalah panjang garis yangmemproyeksikan titik ke garis.

A

k BJadi, jarak antara titik A dengan garis k adalah panjang ruas garis AB

3. Jarak Antara Titik dengan BidangJarak antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus bidang itu.


AB

g

g’

A’

B’

A

B

A

AB

4. Jarak Antara Garis dengan BidangJarak antara garis dengan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik sembarang yang terletak pada garis tersebut yang tegak lurus bidang.

k

5. Jarak Antara Bidang dengan BidangJarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak dari salah satu titik pada bidang yang satu ke bidang yang lain.

Perhatikan gambar disamping.Jarak antara bidang ABCD dengan EFGH adalah Adalah jarak dari titik A ke E, B ke F, C ke G atau D ke H

6. Jarak Antara Garis dan Garisa. Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak salah satu titik

di salah satu garis ke garis yang lain. A

l

k B

b. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus pada kedua garis tersebut.

A l

k B

Contoh

1.


Penyelesaian

a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B. Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

b. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G. Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG

AC = 6√2 cm

RC = 6√22 cm =3√2

GR = √ (3√2 )2+62 = √54 = =3√6 cm

PC = 3√2 x63√6

= 2√3

PG = √62−(2√3)2 = √24=2√6

Jadi panjang proyeksi garis CG yaitu panjang garis PG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

2. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P ditengah-tengah AE, Q ditengah-tengah BC dan R ditengah-tengah CG.Tentukan:a. Jarak titik R ke Qb. Jarak titik E ke Qc.Jarak titik H ke garis EQ d. Jarak titik B ke bidang ACFe. Jarak antara bidang PFH dengan bidang BDR

Penyelesaian

a. BQ = CR = 12BC=5cm

Segitiga QCR siku-siku di C maka

QR2=QC2+CR2


QR2=52+52=50

QR=√50=5 √2

Jadi, jarak titik Q ke titik R adalah QR = 5√2cm

b. EQ=√BQ2+BE2

¿√52+(10√2 )2

¿√25❑+200¿√225=15Jadi, jarak titik E ke titik Q adalah EQ = 15 cm

c. Jarak antara titik H ke garis EQ adalah HK Jarak antara titik Q ke EH adalah QL = EB = 10√2cm EH xQL

2=HK x EQ

2 E L H

10x 10√22

=HK x152 K

100√215

=HK

20√23

=HK Q

Jadi, jarak antara EQ ke HK adalah 20√23

cm


D. SUDUT PADA BANGUN RUANG1.

E. IRISAN BANGUN RUANGIrisan antara bangun ruang dan bidang adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis dari perpotongan antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.Ada 3 cara untuk melukis bangun ruang yaitu:a. Sumbu Afinitasb. Perpotongan Bidang Diagonalc. Perluasan Bidang Sisi

Contoh

1. Menggunakan Sumbu Afinitas


2. Perpotongan Bidang Diagonal

3. Perluasan Bidang Sisi


Latihan

1. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P,Q dan R

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk 10 cm

EVALUASI

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar dan berikan alasannya !

1. Bila garis a tegak lurus pada bidang V, garis b tegak lurus bidang W dan bidang V berpotongan dengan bidang W pada garis h, maka …

a. b sejajar h a sejajar h c. a tegak lurus bidang W

d. b tegak lurus bidang V e. a dan b tegak lurus h

2. Garis g tegaklurus bidang V dan bidang W memebentuk sudut lancip dengan bidang V . Jika W memotong V pada garis s , maka proyeksi g pada W adalah …

a. tegaklurus pada V b. tegak lurus pada s

c. bersilangan tegak lurus dengan g d. sejajar dengan V e.ejajar dengan s

3. Garis a sejajar garis g, sedang garis b sejajar garis h. Bila garis a dan b berpotongan pada bidang W, sedangkan garis g dan h berpotongan pada bidang V , maka …

a. garis b berpotongan dengan garis g

b. garis a berpotongan dengan garis h

c. bidang V dan bidang W berpotongan

d. bidang V dan bidang W sejajar

e. bidang V dan bidang W bersilangan

4. Garis h dan k pada bidang V dengan h tegak lurus k. Jika garis g tegak lurus bidang V maka …

a. tidak ada bidang melalui g sejajar h

b. ada garis memotong g sejajar V dan tegak lurus h

c. g tegak lurus h dan g tegak lurus k

d. ada bidang yang tegak lurus g dan tegak lurus h

e. g sejajar h dan g tegak lurus k

5. Pada kubus ABCD.EFGH salah satu garis yang bersilangan dengan garis BH adalah …

a. CE b. DG c. AG


d. DF e. CG

6. Pada prisma segiempat beraturan ABCD.EFGH titik P pada pertengahan rusuk BC. Garis berikut yang berpotongan dengan garis PH adalah …

a. CD b. DG c. DF

d. BG e. CE

7. Pada kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 6 cm, jarak antara titik E ke bidang BDG adalah ….cm.

a. V3 b. 2V3 c. 3V3

d. 4V3 e. 4V2

8. Pada kubus di soal (7), jarak antara bidang AFH dengan bidang BDG adalah … cm.

a. . V3 b. 2V3 c. 3V3

d. 4V3 e. 4V2

9. Pada limas segitiga beraturan T.ABC, yang rusuk alasnya 6 cm , jarak antara titik T ke bidang ABC adalah … cm.

a. 2V6 b. 4V3 c. 3V3

d. 4V2 e. 3V2

10. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut yang dibentuk antara garis AH dengan garis EG adalah ….derajat.

a. 30 b. 45 c. 60

d. 75 e. 120

11. Pada kubus ABCD.EFGH , nilai tangen sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah … .

a. ½ V2 b. 1/3 V2 c. V2

d. V3 e. 1/3 V3

12. Pada limas segitiga beraturan T.ABC yang setiap rusuknya panjangnya sama, maka besar sudut antara garis TA dengan alas ABC adalah … .

a. 300 b. 450 c. 600

d. anti tan ½ V2 e. anti cos 1/3V3

13. Pada limas soal nomor (12), sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah … .

a. 300 b. 450 c. 600

d. anti tan 2V2 e. anti cos 1/3V3

14. Pada kubus ABCD.EFGH , sudut antara bidang ABCD dengan bidang ACH adalah . Nilai dari cos adalah … .

a. 1/3V6 b. ½ V2 c. 1/3V3

d. 1/3V2 e. 1/3


15. Pada bidang ermpat T.ABC , diketahui bidang-bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 3 cm , AB = AC = V3 cm , dan adalah sudut antara bidang ABC dengan TBC, maka nilai sin adalah …

a. √ 17 b. √ 3

7 c. √ 67

d. √ 27 e. √ 4

7


i. pilihlah salah satu jawaban yang paling benar dan ... web viewluas permukaan kerucut yang...

Documents