herramientas matemÁticas para en anÁlisis · relación entre dos –o quizás más- variables....

Cuadernillos de apoyo pedagógico Microeconomía I

APÉNDICE

HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA EN ANÁLISIS

MICROECONÓMICO.1

En general, los economistas usan, al igual que todos los

profesionales, herramientas de trabajo comunes a su ciencia. Y

normalmente, las ciencias operan usando como herramientas los modelos.

Un modelo es un marco analítico para entender algún fenómeno que lo

simplifica, con el objeto primordial de entender el fenómeno en sus partes

esenciales, de manera de tal de describirlo y poder predecir sobre el mismo.

Muchas veces (quizás Ud. crea demasiadas), los economistas utilizan

los modelos matemáticos para explicar los fenómenos económicos. Esto no

tiene ningún afán de complejizar excesivamente un asunto, sino todo lo

contrario: Especificando un par de ecuaciones de comportamiento, haciendo

los supuestos necesarios sobre las variables, y usando el razonamiento

matemático y lógico, podemos llegar a conclusiones generales sobre

fenómenos económicos importantes debidamente tipificados.

Este Apéndice de Herramientas matemáticas usadas en el análisis

económico pretende sintetizar el conjunto de conocimientos matemáticos

que el estudiante del curso Microeconomía I debe manejar para trabajar con

los modelos estudiados en el curso. (Modelo de la elección del consumidor,

modelo de elección de los insumos, la producción, modelos de equilibrio

parcial, modelos de monopolio, etc).

1El Siguiente apéndice es un resumen de muchos de los conceptos explicados (Nicholson, 2002),

capítulo 2: las matemáticas de la optimización. También se usan definiciones y explicaciones deconceptos extraídos de (Alpha Chiang, 2006). así como algunas explicaciones e interpretaciones de(Frank Ayres, 1991). En los casos en que las definiciones sean extraídas textuales; se citará a los autorescorrespondientes, en caso de no hacerlo, corresponde a una interpretación de los docentes a cargo deeste trabajo, y cualquier error, u omisión será atribuible a los mismos y no representa las intenciones deUniversidad de las Américas.


I. Desde la variable económica al modelo económico.

Una variablees algo cuya magnitud puede cambiar, es decir algo que

puede tomar valores diferentes (Alpha Chiang, 2006). Las variables de Uso

común en este curso serán:

Usualmente, representaremos estas variables con letras, o símbolos; por

ejemplo:

=

=

= − é

) : = {,, … … ({.

los precios de los bienes,

las cantidades producidas por empresas,

las cantidades demandadas por

consumidores,

el ingreso obtenido por los consumidores,

el beneficio –o ganancias- obtenidas por los

productores, sus costos,

y un gran etc.


Lo que se lee como que “La utilidad que estamos analizando es la obtenida

por el i-ésimo consumidor”… ¿quién es este consumidor?, uno de todos los

consumidores de este mercado que pueden ser el consumidor 1 ( ܷଵ ),

consumidor 2 (ܷଶ), el consumidor i (ܷ), hasta el n-ésimo (el último)

consumidor (ܷ).

Un Modelo económico, normalmente2es unconjunto de ecuaciones que

representan una explicación de un fenómeno económico, estás ecuaciones

están compuestas por Variables y parámetros. Durante este curso usaremos

muchos modelos matemáticos que representaran fenómenos económicos,

los modelos matemáticos pueden ser Uni-ecuacionales (si tienen sólo una

ecuación que describe el modelo), o multi-ecuacionales (si tienen un

conjunto de ecuaciones que describen el modelo). Las ecuaciones a su vez

tienen variables, hablemos un poco más de ellas.

Existen, a nivel general dos tipos de variables:

Variables Endógenas: que son aquellas variables que el modelo

intenta explicar y /o predecir¸ y

Variables Exógenas, que son variables que usamos para introducir

en el modelo con el objetivo de explicar a las variables endógenas.

Lo anteriormente dicho podemos esquematizarlo a través del siguiente

diagrama de sistema de entrada y salida:

2Existen modelos económicos que no usan ecuaciones, sino diagramas, o simplemente palabras. Un

ejemplo de este tipo de modelos es el modelo de flujo circular de macroeconomía (Véase también(Mankiw, 2009), capítulo 2: “pensar como un economista”)


Donde observamos que como inputs tomamos un conjunto de variables

exógenas, tales como los precios y los ingresos; y las relacionamos

(generalmente en ecuaciones -procesadores- como la función de utilidad,

la función de gasto) con variables endógenas como las demandas, y la

utilidad obtenida del consumo, con el objetivo de predecirlos valores de

salida u outputs que estás variables endógenas tomarán.

Aplicación Económica: La restricción presupuestaria.

En los modelos económicos intervienen muchas ecuaciones; como

por ejemplo en la Teoría del consumidor, la siguiente ecuación, conocida

como restricción de presupuesto; que nos dice en palabras que lo que una

persona gasta en dos bienes cualesquiera, debe ser igual a lo que esa

persona gana. Por eso es una restricción, porque estamos restringiendo los

valores de demanda de los bienes(valorando su cantidad en términos

monetarios, lo que significa multiplicándola por su precio). Por ejemplo:

ʹ ܲܺ ͺܲ ܻ ൌ ܫ


Y tenemos que cada símbolo utilizado representa:

ܺ ൌ ݀݁݉ ܽ݊ ݀ܽ�݀ ݈݁ �ܾ݅݁ ݊�ܺ �ሺ݁ ݊݀×݃ ݁݊ ܽሻ

ܻ ൌ ݀݁݉ ܽ݊ ݀ܽ�݀ ݈݁ �ܾ݅݁ ݊�ܻ ሺ݁ ݊݀×݃ ݁݊ ܽሻ

ൌܫ ݅݊ ݁ݎ݃ ݀�ݏ ݈݁ ݊ܿ� ݉ݑݏ ݅݀ �ሺ݁ݎ ݃×ݔ ݁݊ ܽሻ

ܲ ൌ ݁ݎ ݀�݅ܿ ݈݁ �ܾ ݅݁ ݊�ܺ ሺ݁ ݃×ݔ ݁݊ ܽሻ

ܲ ൌ ݁ݎ ݀�݅ܿ ݈݁ �ܾ ݅݁ ݊�ܻ ሺ݁ ݃×ݔ ݁݊ ܽሻ

ʹ ǡͅ ൌ �ܲ ݉ܽݎ ݊ܿ��ݏݎ݁ݐ ܽݐݏ ݁ݐ݊ Ǥݏ

Entonces la parte a la izquierda del igual en la ecuación me dice

que de ese lado estaremos explicando el gasto. Es decir la cantidad

demandada de cada bien al precio del mismo (el gasto en el bien).

Entonces, la suma del gasto es todos los bienes (en este caso simplificamos

a sólo 2 bienes) debe ser igual al ingreso (que es lo único que hay en la

parte derecha de la ecuación). Además de las variables cantidad de cada

bien, precios e ingreso, en esta ecuación aparecen dos números que

conocemos como parámetros o constantes.

Diremos que:

Un parámetro o constante, es una magnitud que no cambia, y por

lo tanto es lo contrario –la antítesis- de una variable. Además,

normalmente los parámetros le dan un cierto comportamiento o

forma a cada una de las funciones con las que trabajaremos.

En el ejemplo anterior, de la restricción presupuestaria, los

parámetros son 2, y 8, e indican que el precio de ܻ será siempre

4 veces el precio de ܺ.


II. Repaso sobre Funciones

¿Qué es una función?

Una función es la herramienta matemática que se usa para entablar una

relación entre dos –o quizás más- variables. Como hemos dicho, las

variables se denotan con letras y subíndices, y generalmente una función se

denota con:

Lo cual nos dice que la letra Y es función de la letra X. Y se lee como que “Y

es función de X”. Es decir, las funciones se denotan diciendo que una

variable es función de otra a través de un símbolo “=” sumado a una letra

(generalmente la letra “݂”) que indica la forma funcional que relaciona o

mapea a estas variables. En la terminología de funciones se indica que el

conjunto de valores que puede tomar la variable ݔ se llama dominio de la

función. Mientras que la cantidad de valores que puede tomar la variable ݕ

se llama recorrido de la función. Por otro lado cada relación específica entre

un ݔ (pre-imagen) y su respectivo ݕ (imagen) es un punto, o par ordenado

que pertenece a la función, o al conjunto de valores definidos por la función.

Ejemplo: Si sabemos que la nota que se saca una persona es una variable

continua (es decir que toma infinitos valores entre 1 y 7 –recorrido-), y que

está relacionada con las horas de estudio que esta persona dedica, que

también es una variable continua (toma infinitos valores entre 0 horas y 84

horas como máximo –dominio-) Lo podemos hacer mediante una función,

que nos diga que la Nota “ܰ” del i-ésimo alumno, es función de las horas

”ܪ“ de estudio de ese i-ésimo alumno, matemática o formalmente:

ܻ = (݂ܺ)

ܰ= ݂ (ܪ)


Recordemos que la letra ݂ nos dice que hay una “relación” entre las

variables, pero no especifica cuál relación, sino que lo deja abierto a miles

de posibilidades, es decir a todas las posibilidades. La forma que toma cada

una de éstas relaciones, será siempre un tipo distinto de función

matemática. Normalmente, se usan distintas relaciones funcionales, muchas

veces entre las mismas variables, con el objetivo de representar que esas

variables se están relacionando de una forma en particular y precisa. Esto

nos llevará a estudiar las distintas funciones matemáticas conocidas, y

observar que aplicaciones tienen en la economía.

III. Tipos de Funciones

Función Constante.

La función cuya imagen es siempre es siempre el mismo elemento

o tiene el mismo valor numérico, se conoce como función constante; y por

ejemplo tenemos la función

ൌݕ (ݔ݂) = 7

Que se puede expresar de forma alternativa como ൌݕ , o ݂ሺݔሻൌ .

Aplicación Económica: Costos Marginales Constantes.

Una aplicación económica que usaremos a menudo de las funciones

constantes son las funciones de costos marginales constantes. Recuerde

de su curso de introducción a la Economía, que el costo marginal para

determinada empresa es el incremento en los costos totales, derivados

de un aumento marginal –o unitario- en la cantidad producida, o


οܶܥȀሺοܳ ൌ ͳሻ

Si consideramos una gran empresa de comida rápida, que vende

sus productos (hamburguesas, papas fritas y bebidas) a lo largo del

mundo entero, y en cantidades gigantescas, tranquilamente podemos

suponer que dada su organización y tecnología; producir una

hamburguesa en el mercado interior de Santiago le supone un costo

constante de 1, 6 dólares. O sea un dólar y 60 centavos.

Si quisiéramos representar esto matemáticamente ¿cómo lo

haríamos?

La respuesta es usando una función que muestre que el costo

marginal de producir una hamburguesa en Santiago es 1.6 us$.

Para esto, usamos la notación anterior del costo marginal, pero ya que

sabemos que ܳ son hamburguesas, reemplazamos la notación ܳ ൌ ݄, e

igualamos esta expresión del costo marginal al valor constante 1.6 us$

οܶܥ

∆ℎ = 1= 1.6

Gráficamente, las funciones constantes como ésta, producen una

recta horizontal

Función Lineal, o Ecuación de la Recta.

Normalmente, usamos la ecuación de la recta cuando queremos

una función que describa que la relación de cambio entre las variables es


siempre la misma. Dicho de otra forma cada vez que la variable

independiente aumente en una determinada cantidad, podemos predecir

sin ningún problema, el valor que tendrá ܻ.

Donde ܻ ൌ ܽݒ ݅ݎ ܾܽ ݈݁ �݀ ݁݁ ݁ݐ݊݁݅݀݊

ܥ ൌ ݅݊ ݁ݐ ܿݎ ݁ܿ��ݐ݁ ݂݅ ܿ݅ ݁݊ ݁ݐ �݀ ݅ݏ݁� ܿ݅ ×݊ Ǥ

݉ ൌ ݁ ݁ݐ݊݁݅݀݊ ܽݎ�� ݊×ݖ �݀ �݁ܿܽ݉ ܾ݅ Ǥ

ܺ ൌ ܽݒ ݅ݎ ܾܽ ݈݁ �݅݊ ݀ ݁݁ ݁ݐ݊݁݅݀݊ Ǥ

Se conoce con este nombre, ya que como muestra la figura anterior (en

varias ocasiones) la gráfica que esta relación indica es una línea recta.

La siguiente

ecuación

Se conoce como

Ecuación de la

Recta


El primer componente es el Intercepto o coeficiente de posición que nos

muestra gráficamente dónde la recta intercepta al eje de las abscisas, su

interpretación práctica, usada en economía a menudo, es que nos dice

cuánto vale la variable dependiente, si la variable independiente es cero.

Para explicar su otro nombre (coeficiente de posición)véase en la figura

siguiente, para un intercepto ,ܥ la recta tendrá unaposición en el plano,

pero si el intercepto llegase a ser ଵܥ ,ܥ la posición de la misma recta (o

sea con la misma pendiente, lo que las haría paralelas) en el plano sería

más alta. Por lo tanto este término constante le da su posición en el plano a

cualquier recta. Gráficamente

La pendiente: Un asunto más técnico, pero de suma importancia.

La inclinación de una rectase mide por un número llamado

pendiente de la recta, representado en la función de ecuación de la recta

anteriormente mostrada por la letra ݉ .En la figura anterior, las dos rectas

tenían la misma pendiente, por eso son paralelas. Veamos cómo se calcula

la pendiente.

Sea una recta ࣦ ൌ ܻ ൌ ܥ ݉ ܺכ y ଵܲ(ݔଵǡݕଵ)ܲ�ݕ�ଶሺݔଶǡݕଶ) dos puntos

cualesquiera en ella. La pendiente ݉ de la recta ࣦ ൌ ܻ ൌ ܥ ݉ ǡyܺכ que se

define como ݉ ൌ௬మି௬భ

௫మି௫భes un cociente entre el cambio que sufre la variable

dependienteοݕ, dividido en el cambio que sufre la variable independienteοݔ.

Este cociente, la pendiente, también se conoce como razón media de

cambio, y que se puede representar análogamente como οݕȀοݔ.

Veamos lo anteriormente dicho en la gráfica del primer cuadrante


Recta ℒ

En este caso ݉ es positivo puesto que cuando ܺ aumentó ܻ

también lo hizo y un número positivo dividido en otro positivo darán sin

lugar a dudas un número positivo. En estos casos, al ser la pendiente

positiva, decimos que existe una relación directa entre las variables, o

sea a medida que ݔ va aumentando en los número reales (nos movemos

hacia el este.), ݕ también lo hace (nos movemos hacia el norte).

Entonces de forma general el valor de݉ , la pendiente, nos dice cuánto

aumenta (caso m>0), o disminuye (caso ݉ ൏ Ͳ) la variable dependiente ݕ

cuando la variable ݔ aumenta en una unidad.


Aplicación Económica de contenidos: Rectas dedemanda y oferta.

En este modelo intentamos representar dos fuerzas que mueven a

la economía. La primera es la fuerza que mueve a las personas a comprar

determinados productos sobre los que tienen preferencias (Demanda) y la

otra es la fuerza que mueve a los productores de cada uno de esos

determinados productos a venderlos en un determinado mercado al precio

aceptado y conocido por todos (Oferta).

De esta forma, estas fuerzas pueden ser cuantificadas como las

unidades de productos comprados/vendidos por cada integrante del

mercado. Esto sería la demanda individual; pero podríamos sumar las

cantidades compradas por todos los consumidores de este mercado a cada

uno de los distintos precios posibles existentes, y considerar esto como la

demanda del mercado. Por otro lado, se pueden sumar las distintas

cantidades vendidas por cada productor individual a cada uno de los precios

antes mencionados y considerar esto como la oferta del mercado.

Tenemos la siguiente tabla, que resume la información respecto de

la oferta y demanda en un mercado de helados de agua:

PRECIO DEMANDA OFERTA0 20 05 16 010 12 415 8 820 4 1025 2 1230 0 14

Lo que haremos será usar una función, para representar como

depende la cantidad demandada/ofertada del precio al que se vende

Usaremos los conocimientos aprendidos hasta ahora sobre las

funciones, los parámetros, las variables y las rectas, para estudiar un

modelo analítico que seguramente Ud. ya debe haber conocido, que es

el modelo de Oferta y Demanda.


esa cantidad demandada/ofertada. Estas funciones se conocen como

Funciones de oferta y demanda.

Formalmente:

Función de demanda: ൌ ()

Función de oferta inversa: ൌ ()�

Suponemos que existe una relación Lineal entre las cantidades

(demandadas y ofertadas)y el precio. Pero invertimos la relación para poder

expresar las cantidades en el eje de las abscisas, y el precio en el eje de las

ordenadas. De esta forma, aplicando a la forma funcional ݂ la fórmula

general de la ecuación de la recta:

; Donde

ܳௗ ൌ ݊ܽܥ ݀ܽ݀݅ݐ �݀ ݁݉ ܽ݊ ݀ܽ݀ ܽ��

݁ݎܲ =݅ܿ ݉ ∗ ܳௗ + ݊

(ܲ ܽܽݎ ݈ܽ ܽݒݎܿݑ ݀݁݀݁݉ ܽ݊ ݀ )ܽ

݁ݎܲ ൌ݅ܿ ݉ ܳ�כ ݊�

ܽ) ܽݎ ݈ܽ ܽݒݎܿݑ ݂݁݀ ܽݐ݁ݎ )

El problema: Queremos encontrar la forma de representar

las funciones de oferta y demanda en el primer cuadrante

del plano cartesiano (sólo puede haber precios y cantidades

positivas). Por lo cual, debemos construir dos funciones

lineales (rectas) que nos digan que la cantidad

demandada/ofertada de un bien, depende

(linealmente) del precio del bien en cuestión.


ܳ ൌ ݊ܽܥ ݀ܽ݀݅ݐ �ܱ ݂݁ݎ ܿ݅݀ܽ

݉ ൌ ݁ ݁ݐ݊݁݅݀݊ �݀ �݈݁ܽ ݁ݎ� ܽܿݐ

݊ ൌ ݅݊ ݁ݐ ܿݎ Ǥݐ݁

Usamos el hecho de que conociendo dos puntos cualquiera de la recta

podemos conocer su pendiente; y que una vez conocida esta, mediante

álgebra podemos obtener el valor del intercepto.

La fórmula para la pendiente es:

ǡ = െ

െ

;

Tanto para la cantidad ofrecida, como para la demandada, por eso los supra

índices "d"y subíndices "o" .

Y encontramos n reemplazando o evaluando cualquier punto de los

conocidos sobre la función lineal, con pendiente conocida.

Eligiendo para la demanda dos pares ordenados ሺܲ Ǣܳ �݀݀ܽሻǣ

(10; 12), (25; 2)

Y para la oferta ሺܲ Ǣܳ �ܱ ݂ሻǣ

(10; 4), (25; 12)

Obtenemos las pendientes, para la demanda:

=െ

െ = −

ൌ െǡǢ

ൌ ૡ

Y para la oferta:

=െ

െ =

ૡൌ ǡૡૠ

ൌ ǡ

Ahora que conocemos la pendiente, y el intercepto para cada curva, las

expresamos como lo hemos hecho usualmente, pero debemos invertirlas

porque necesitamos saber cómo depende la cantidad demandada del

precio, ese era el problema inicial:


Una vez encontradas las funciones de oferta y demanda podemos

igualarlas, para así encontrar lo que en la teoría económica se conoce como

el equilibrio parcial del mercado, y que consiste en un par

ordenado ܳ∗ǡܲ ∗ que satisfaga la condición de equilibrio, o vaciado del

mercado. Pero eso es objeto del curso de la línea de economía anterior a

éste.3

Función Cuadrática.

Anteriormente, hemos usado los conocimientos aprendidos sobre la

ecuación de la recta para mostrar una aplicación concreta al campo de la

Economía a través de las funciones de oferta y demanda; no obstante, las

relaciones lineales rara vez se dan en la realidad, y a pesar de que

normalmente usaremos funciones lineales, en algunos casosestrictamente

necesarios tendremos que utilizar otras formas funcionales adecuadas para

cada problema, una de éstas será la función cuadrática. Sobre la que nos

detendremos un poco.

3Si quiere ver una referencia más detallada y explicativa sobre este tema, véase (Mankiw, 2009),

capítulo 4: El funcionamiento de los mercados: las fuerzas de la oferta y la demanda.

ۯ܄܀܃۱ ۻ۲۳۲۳ ۯ۲ۼۯ ∶

= ૡ− , ∗

=ૡ

Ǥ−

Ǥ

ۯ܂܀۴۳۽��۲۳ۯ܄܀܃۱

ൌ ǡ ǡૡૠ�

= −Ǥ

.ૡૠ+

.ૡૠ


Las funciones cuadráticas, al igual que la función lineal

anteriormente estudiada, son casos particulares de otra función general,

que es la función polinomial, incluso la función constante también lo es.

La función polinomial general de una variable ,ݔ es la función que

relaciona la variable ݕ con la variable ݔ de la siguiente manera

ൌݕ �ܽ ଵܽݔଵ ଶܽݔ

ଶ ଷܽݔଷ ڮ ܽݔ

Donde si nos fijamos, el primer índice de cada constante ܽ coincide con el

exponente de la variable ݔ y esto no es coincidencia, puesto que el objetivo

es diferenciar cada parámetro, mediante la identificación de la potencia de

ݔ a la que acompaña. Nótese que el primer parámetro es el que acompaña

a la variable ݔ con exponente0, pero recuerde que:

Para todo ,ݔ siempre se cumple que ݔ = 1,y además: ܽX�ͳൌ ܽ

Para cada función polinomial, decimos que el exponente más

grande que la función tiene nos determina “el grado” de la función. Para la

función polinomial general anteriormente descrita, el grado de ésta es .݇

Para la función ݕ ൌ �ܽ ଵܽݔଵ, el grado es 1. Si observamos bien, esta es la

función lineal, debido a que cualquier número elevado a 1 es el propio

número, ܽ sería el intercepto, ଵܽsería la pendiente.

La función cuadrática es aquella donde el mayor exponente al

que está elevada la variable independiente es 2, es decir

ൌݕ �ܽ ଵܽݔଵ ଶܽݔ

ଶ

Al igualar esta función a cero, obtenemos la ecuación cuadrática, que es

aquella ecuación que nos servirá para obtener los ceros o raíces soluciones

de la ecuación.

ܽ ଵܽݔଵ ଶܽݔ

ଶ = 0

Es necesario, antes de proseguir, hacer un pequeño cambio de

notación, llamaremos a cada parámetro, con una letra distinta, para

incluirlos en una fórmula, recordemos que esto no cambia en nada ni la

ecuación, ni el problema que estamos intentando resolver solamente es un

cambio de etiqueta en la ecuación, pura cosmética.

Entonces, en la fórmula ܽ ଵܽݔଵ ଶܽݔ

ଶ = 0 , ordenaremos los

elementos desde el que tenga mayor potencia, al que tenga menor, de la


siguiente forma

aଶxଶ + aଵx

ଵ + a = 0

Y luego cambiamos las etiquetas de las constantes por las letras

del abecedario en el orden de la mayor, a la menor potencia, por tanto la

ecuación cuadrática queda representada por

ଶܽݔଶ ଵܽݔ

ଵ ܽ ൌ ݔܽଶ ଵݔܾ ܿൌ Ͳ

La ventaja de la expresión ଶݔܽ ଵݔܾ ,ܿ es que al igualarla a cero,

existe el método algebraico conocido como la fórmula cuadrática que nos

da las soluciones o raíces del problema ଵݔ∗ǡݔଶ

∗:

Dónde la parte + del signo ± produce ଵݔ∗, y el − del signo ± produce ଶݔ

∗.

Nótese que:

Si ܾଶ െ Ͷܽ ܿൌ Ͳ՜ ଵݔ∗ ൌ ଶݔ

∗

Es decir, si el discriminante es cero, los dos valores soluciones serán

los mismos.

Si ܾଶ െ Ͷܽ ܿ൏ Ͳ՜ ଵݔ∗ǡݔଶ

∗ ∉ ℜ.

Es decir, si el discriminante es negativo, los valores solución no

existirán en los reales.

Si ܾଶ െ Ͷܽ ܿ Ͳ՜ ଵݔ∗ ് ଶݔ

∗.

Es decir, si el discriminante es positivo, los dos valores soluciones

diferirán. Y este es el caso que normalmente nos interesará en economía.

ଵ∗

ଶ∗

ଶ ଵ/ଶ


Aplicación Económica: Equilibrio de mercado parcial: unmodelo no lineal4.

Supóngase que la demanda clásica de forma lineal en el modelo de

equilibrio del mercado parcial (anteriormente analizado como modelo de

oferta-demanda), por una función de demanda cuadrática, mientras que

seguimos considerando una función de oferta lineal. También, utilícense

coeficientes numéricos en vez de parámetros. Entonces tenemos un

modelo representado por las siguientes ecuaciones:

ܳௗ ൌ ܳ௦

ܳௗ ൌ Ͷെ ܲଶ

ܳௌ ൌ Ͷܲ െ ͳ

Como se mencionó anteriormente, este sistema de ecuaciones se

puede resolver para encontrar el Equilibrio Parcial del Mercado.

`Para esto utilizamos las ecuaciones antes mostradas, y resolvemos el

sistema.

¿Cómo procedemos?

La primera ecuación ܳௗ ൌ ܳ௦ nos dice que demanda y oferta deben

ser iguales.

La segunda y tercera ecuación ܳௗ ൌ Ͷെ ܲଶ; ܳௌ ൌ Ͷܲ െ ͳ. Describen

la relación entre demanda y precio, y la oferta y el precio,

respectivamente

Por lo tanto ¡podemos igualar la segunda y tercera

ecuaciones, lo que significa que estamos haciendo uso de la

primera.

ܳௗ ൌ ܳ௦ ൌ Ͷെ ܲଶ=�Ͷܲ െ ͳ՜ ܲଶ Ͷܲ െ ͷൌ Ͳ

Y ܲଶ Ͷܲ െ ͷൌ Ͳ es una ecuación cuadrática, por lo que podemos usar la

fórmula cuadrática para resolver para ܲ∗.

Podemos ver que: ܽ ൌ ͳǢܾ ൌ ͶǢܿ ൌ െͷ . Por lo tanto usando la fórmula

cuadrática:

4Este ejemplo ha sido extraído en su totalidad de el parágrafo 3.3 del capítulo 3 de (Alpha Chiang, 2006)


ଵܲ∗ǡܲ ଶ

∗ =ିସേሺଵାଶሻభȀమ

ଶ=

ିସേ

ଶ= 1, −5 , pero ya que no existen precios

negativos, el valor admitido es ܲ ൌ ͳ es el precio de equilibrio. Lo que nos

indica a su vez que la cantidad de equilibrioܳௗ ൌ ܳ௦ ൌ ܳ∗ = 3.

IV. Concepto de derivada y su aplicación económica.

Incremento

El incremento οݔ de una variable ݔ es el cambio en ݔ cuando crece

o decrece desde un valor ൌݔ ଵݔ hasta otro valor ൌݔ ଶݔ en su dominio (todos

los posibles valores que puede llegar a toma la variable .ሻݔ De ahí que

οݔൌ ଶെݔ ,�ଵݔ y podemos escribir ଶݔ ൌ ଵݔ οݔ.

Por otro lado, si la variable ݕ es función de la varaible ݔ ൌݕ) ݂ሺݔሻ).

Cuando la variable ݔ experimenta un incrementoοݔ a partir de ൌݔ ଵݔ (esto

significa que cambia desde ൌݔ ଵݔ a ൌݔ ଵݔ οݔ), este cambio, conllevará que

la función también cambie, en el siguiente incremento οݕ ൌ ଵݔ݂) οݔ) െ ݂ሺݔଵ)

a partir de ൌݕ ݂ሺݔଵ).

Estamos entonces en condiciones de definir el cociente razón

media de cambio, que anteriormente habíamos conocido como la pendiente

de una funciónο௬

ο௫=

��௬

��௫; no obstante, la razón media de cambio,

nos entrega la variación de ݕ frente a las varaiciones de ݔ en términos

unitarios. Y si por ejemplo,

ൌݕ ݊ܿ ݀�݉ݑݏ �݈݁ܽ ݂�ݏ ܽ݉ ݈݅݅ܽ ݄݅ܿ�ݏ ݈݁ ݊ ;ܽyݔൌ Óܽݏǡ݉݁݅ݐ� ǡ�me interesaría saber, no

solamente cuánto cambia el consumo de las familias chilenas por año, sino

también por mes, o por minutos, etc. A veces, los economistas, necesitan

analizar incluso hasta el último peso gastado, o incrementado.

La escuela marginalista de la economía, es una escuela que ha

incorporado en el campo analítico de la economía moderna el concepto de

“pensar en términos marginales”, debido al supuesto de que “las personas

racionales, piensan y toman sus decisiones en términos marginales”.5 Por lo

tanto, muchas veces, se hace necesario, introducir en el análisis

herramientas que reflejen esta minuciosidad a la hora de trabajar con los

5(Mankiw, 2009) Capítulo 1.


datos económicos. Este espacio teórico lo viene a llenar el concepto de

derivada. Esto debido a que; si manipulamos esta razón de cambioο௬

ο௫,Pero

la consideramos no cuando los cambios de la variable sonݔ unitarios, sino

cuando son muy pequeños, lo más pequeños que pudiésemos llegar a

imaginar. De esta manera la fórmula para la derivada en un punto ൌݔ .ݔ

limο௫՜ο௬

ο௫=

(௫బାο௫)ିሺ௫బ)

ο௫; Que quiere decir que analizamos el cociente

de la razón media de cambio de ݕ respecto de ,ݔ pero cuando este último

varía en una variación tan pequeña, que ésta tiende a cero(la variación más

pequeña que podríamos imaginar). Llamamos a esta variación

infinitesimal (infinitamente decimal, infinitamente pequeña).

Este es el objetivo, analizar una razón instantánea de cambio.Y

esto lo haremos a través de la función derivada.

Esta función (que en breve mostraremos cómo se obtiene), lo que

hace es “aproximar” una recta tangente que une las dos coordenadas que

estamos intentando analizar, coordenadas que nos hablan de una razón de

cambio6. Dicho de otra forma, la derivada nos entrega la pendiente que

tiene la recta tangente al punto que estamos analizando, y por tanto

la pendiente de nuestra función en algún punto en particular,

específicamente, en el punto que evaluemos la función, por ejemplo

.

Geométricamente.

6Nótese que ésta razón de cambio es instantánea, es decir, los dos puntos que analizamos son tan

próximos, que no podríamos distinguirlos al ojo humano, ni dibujarlos en Word; pero el dibujo quemostraremos a continuación, debe interpretarse como una imagen tomada con un telescopio.


A pesar de que las reglas y procedimientos para obtener una

función derivada de otra función, son bastante complejos, y podrían dar

para todo un curso de cálculo diferencial e integral, en este caso haremos

un breve y simple descripción de las principales reglas de derivación que

usaremos en este curso. Siempre hay que tener una sola cosa clara en

nuestros ejercicios: cuando sacamos una derivada, estamos analizando

cómo cambia la función, o el valor que toma la imagen ,ݕ cuando la

preimagen ݔ cambia en una variación muy pequeña, es decir estamos

obteniendo la pendiente de la función en ese punto.

Reglas de derivación.

A continuación, presentaremos las fórmulas más usadas para la

derivación en Microeconomía, con una breve explicación, para luego hacer

un par de ejemplos, puramente matemáticos. Y luego, como es costumbre,

pasar a la aplicación económica.

El proceso mediante el cuál calculamos la derivada de una función

se llama derivación. Las que se mencionan a continuación son las fórmulas

elementales. Para poder enunciarlas, debemos hacer las siguientes

suposiciones: ݑ ൌ ൌݒǡ(ݔ݂) ݓǡ(ݔ݂) ൌ ݂ሺݔሻ , es decir ݓ�ݕǡݒǡݑ Son funciones


diferenciables7 de ݔ y ,ܿ ݉ son constantes, o parámetros que pueden llegar

a intervenir en éstas funciones.

Las Reglas:

Esta primera regla nos dice que si estamos derivando cualquier

función de ,ݔ como ݓǡݒǡݑ , y en algunas de ella aparece una constante ,”ܥ“

la derivada de esta constante será 0. Esto se aplica al ejemplo de la función

constante que vimos anteriormente:

Ejemplo

Si ݑ ൌ ͷ՜ௗ௨

ௗ௫= 0

La regla nº 2 nos dice que si estamos derivando una función ǡݓǡݒǡݑ

con respecto a la variable ;ݔ la derivada de la variable ݔ elevada a la

potencia 1, será siempre el número 1.

Ejemplo

ൌݒ ͻ ݔ ݔ

݀

ݔ݀ൌݒ (0) + (1) + (0)

݀

ݔ݀ൌݒ ͳǤ

En este caso, mezclamos la regla 1 y la regla2. Por la regla 1, la

derivada de 9 es 0, y puesto que ݔ = 1, su derivada también es 0.. Por otro

7Una función es diferenciable cuando podemos calcular su derivada. Este supuesto es casi obvio, pero

existen ciertas funciones que no lo cumple, y estamos diciendo que ݓǡݒǡݑ no son, ni representanninguna de esas funciones.

1.ௗ

ௗ௫( )ܿ = 0.

2.ௗ

ௗ௫(ݔ) = 1.


lado, la derivada con respecto a la propia ൌݔ ͳ. Al sumarlas, tenemos que

finalmenteௗ

ௗ௫ൌݒ ͳ.

Esta regla nos dice que la derivada de una suma de funciones de la

variable ,ݔ es la suma de las derivadas individuales de cada función.

En el ejemplo anterior se uso esta regla. Como se ve, muchas

veces las reglas de derivadas no son excluyentes, sino que se aplican a la

par con otras reglas.

Esta regla, conocida como la derivada de una constante, nos dice

que si una función de ݔ se está multiplicando por alguna constante ,ܿ esta

constante se mantiene inalterada en la derivada.

Ejemplo

ൌݕ ʹ ݆ ʹ ݔ

ݕ݀

ݔ݀= 0 + 2

ݕ݀

ݔ݀= 2.

La quinta regla, conocida como regla del producto. Nos dice que si

tenemosݑǡݒ, dos funciones cualesquiera de .ݔ La derivada del producto de

éstas funciones será la suma entre la primera función no derivada ݑ

multiplicado por la derivada de la otra funciónௗ

ௗ௫ݒ más la derivada de la

otra funciónௗ

ௗ௫ݑ por la segunda función sin derivar .ݒ

3.ௗ

ௗ௫+ݑ) +ݒ ⋯ ) =

ௗ

ௗ௫(ݑ) +

ௗ

ௗ௫(ݒ) +

ௗ

ௗ௫(… ).

4.ௗ

ௗ௫( (ܿݑ = ܿ

ௗ

ௗ௫.(ݑ)

5.ௗ

ௗ௫(ݒݑ) = ݑ

ௗ

ௗ௫(ݒ) + ݒ

ௗ

ௗ௫.(ݑ)


Esta regla es sólo una extensión de la anterior.

Esta regla nos dice que si cualquiera de nuestras funciones ,ሻݓǡݒǡݑ)

está multiplicada por la constanteଵ

, la derivada de esta expresión será

la constante por la derivada de la función.

Esta regla, conocida como regla del cociente, tiene una

construcción bastante parecida a la regla del producto, excepto que

como es una división, los términos se restan y se dividen por

denominador al cuadrado.

Esta regla conocida como regla del exponente, nos dice que si

queremos la derivada de la variable ݔ elevada a cualquier exponente ݉ ,

debemos multiplicar la variable por este exponente m, y restarle uno al

nuevo exponente de la variable.

Ejemplo

ൌݕ ʹ ସݔ

ݕ݀

ݔ݀ൌ ʹ ଷݔכͶכ

ݕ݀

ݔ݀ൌ ଷͅݔ

Vemos que aquí, primero utilizamos la regla de la constante, y el 2

se mantiene en la derivada, luego el exponente de ݔ en la función (4)

baja multiplicando (ʹ Ͷൌݔ )ͅ, y la variable ݔ queda elevada al exponente

menos uno (4 − 1 = 3).

6.ௗ

ௗ௫(ݓݒݑ) = ݓݒ

ௗ

ௗ௫(ݑ) + ݓݑ

ௗ

ௗ௫(ݒ) + ݒݑ

ௗ

ௗ௫.(ݓ)

7.ௗ

ௗ௫ቀ௨

ቁ=

ଵ

ௗ

ௗ௫≠ܿ,(ݑ) 0.

8.ௗ

ௗ௫ቀ௨

௩ቁ=

௩

ೣ(௨)ି௨

ೣ(௩)

௩మ≠ݒ, 0.

9.ௗ

ௗ௫ݔ) ) = ݉ ݔ ିଵ.


La última regla aquí descrita es una extensión de la regla del

exponente antes mostrada, y nos dice que si ahora tenemos una

función,ݑ, de la variable ,ݔ que también está elevada a un exponente ݉ .

En este caso, el exponente también baja a multiplicar a la función tal

cual, quedando la función elevada a una potencia menor. Finalmente

debemos multiplicar esto por la derivada de la función .ݑ

Ejemplo

ݕ ൌ ሺͶെ ʹ ሻସݔ

ݕ݀

ݔ݀ൌ ͶሺͶെ ʹ ሻଷݔ

݀ሺͶെ ʹ ሻݔ

ݔ݀

ௗ௬

ௗ௫= 4(Ͷെ ʹ ʹଷ(ݔ .ݔ

Aplicación económica: Utilidad marginal yProductividad marginal.

I. Si tenemos la siguiente función de utilidad ,ݑ que nos representa las

preferencias de un individuo sobre dos bienes, ݕǡݔ :

ݑ ൌ ݔ ʹ ଶݕ

Y suponemos además, que el consumo del bien ݔ es constante e igual a 4.

Obtenga la derivada de

e interprétela.

Solución

En primer lugar, reemplazamos el consumo de la variable ,ݔ que se

ha mantenido constante en 4. Y la función se transforma en

ݑ ൌ Ͷ ʹ ଶݕ

10.ௗ

ௗ௫ݑ) ) = ݉ ݑ ିଵ

ௗ

ௗ௫.(ݑ)


Observamos que para calcular la derivada, deberemos aplicar tanto la regla

2 como la regla 9:

ݑ݀

ݕ݀=ݑ݀

ݕ݀4 +

ݑ݀

ݕ݀ʹ ଶݕ

ݑ݀

ݕ݀ൌ Ͳ Ͷݕ

ݑ݀

ݕ݀ൌ ͶݕǤ

II. Suponga que la curva de demanda inversa de un monopolio es

ܲ ൌ ͳͲͲെ ʹ ܳ . Además, por el curso de introducción a la economía

sabemos que los Ingresos totales para cualquier empresa

representativa (incluso un monopolio) será ܶܫ ൌ �ܲ .ܳכ

Obtenga la función de ingreso marginal de este monopolio.

Recordemos que si los ingresos totales están definidos como

ܶܫ ൌ �ܲ ,ܳכ y según la curva de demanda inversa del mercado tenemos la

siguiente expresión para ܲ ൌ ͳͲͲെ ʹ ܳ, entonces los ingresos totales serán

re/definidos como :

ܶܫ ൌ (ͳͲͲെ ʹ ܳ)ܳ

Y por nuestro curso de introducción a la economía, sabemos que

los ingresos marginales son cuánto aumentan (o varían) los ingresos totales

cuando la cantidad vendida del bien ܳ, aumenta en una unidad. Podemos

aproximar este cambio mediante la derivadaௗூ்

ௗொ, pero debemos aplicar

la regla del producto, puesto que tenemos dos funciones de ܳ, el precio, y

la constante ܳ

ܶܫ݀

݀ܳ= (ͳͲͲെ ʹ ܳ)(1) + (ܳ)(−2)

ܶܫ݀

݀ܳൌ ͳͲͲെ ʹ ܳ െ ʹ ܳ

ܶܫ݀

݀ܳൌ ͳͲͲെ Ͷܳ Ǥ

herramientas matemÁticas para en anÁlisis · relación entre dos –o quizás más- variables....

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