handout mekanika 2013 (i made padri)

MEKANIKA

Disusun oleh I Made Padri

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2013

HANDOUT

I Made Padri

MATERI PERKULIAHAN

MEKANIKA FI.342

KINEMATIKA PARTIKEL

DINAMIKA PARTIKEL

GERAK HARMONIK

GAYA SENTRAL

KERANGKA ACUAN NON INERSIAL

SISTEM PARTIKEL

ROTASI BENDA TEGAR

METODE LAGRANGIAN

I Made Padri

KINEMATIKA PARTIKEL

APA YANG DIMAKSUD DENGAN KINEMATIKA PARTIKEL ?

KAPAN SUATU PARTIKEL DIKATAKAN BERGERAK ?

APA PERBEDAAN JARAK, PERPINDAHAN, LAJU, KECEPATAN DAN

PERCEPATAN?

BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN

PERCEPATAN DALAM KOORDINAT KARTESIAN?

BAGAIMANA CARA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK PARTIKEL BERDAS

ASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN ?

APA PERBEDA PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL ?

BAGAIMANA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL BERDASARKAN KONSEP

PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL?

BAGAIMANA KEADAAN VEKTOR KECEPATAN DAN PERCEPATAN DARI

BMACAM-MACAM GERAK PARTIKEL?

BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN

PERCEPATAN DALAM KOORDINAT POLAR?

POSISI KECEPATAN DAN LAJU

I Made Padri

2222 zkyjxir

12 rrr

)zz(k)yy(j)xx(ir 121212

∆s = Jarak

rdt

rd

Δt

rΔlimitv

0Δt

Kecepatan rata-rata

)tt(

)rr(

t

rv

12

12

Kecepatan sesaat

Perpindahan

t1

A

t2

B

Z

Y

X

r1 r2

v1

v2 v

s

Lintasan

x1 x2

y1

y2

z1

z2

r

O

k

1111 zkyjxir

t

sv

laju rata-rata

dt

ds

t

sitlimv0t

laju sesaat

i

j

Posisi pada saat t1 dan t2

Unit vektor i, j,k tetap

zkyjxirv

v1

v2

Percepatan sesaat t1

A

t2

B

Z

Y

X

r1 r2

x1 x2

y1

y2

z1

z2

O

k

i

j

PERCEPATAN DAN PERLAJUAN

v2

v t

v

tt

vva

12

12

Percepatan rata-rata dalam selang waktu (t2-t1)

a1 a2

v1

rdt

rdv

2

2

2

2

2

2

2

2

dt

zdk

dt

ydj

dt

xdi

dt

rd

dt

rd

dt

da

I Made Padri

vdt

vd

t

vlimita

0t

zkyjxi a

dt

zdk

dt

ydj

dt

xdi

dt

rdva

BESARNYA PERCEPATAN

DISEBUT PERLAJUAN

(t)r

dt

rd.rv

td

vdv

dt

rd..ra

2

2

dt avv 0

dt vrr 0

TOLONG !

I Made Padri

D

I

F

R

E

N

S

I

A

S

I

I

N

T

E

G

R

A

S

I

BAGAIMANA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK

BERDASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN

dt

vda

dt vrd

dt vrr 0

dt avd

dt avv 0

cv

(t)v

ca

(t)a

?

tavv 0

2

2

1

00 tatvrr

gka

gtkvv 0

2

2

1

00 gtktvrr

0 v0

00zkr

(gt)kz

)gt(zkz 2

2

1

0

00zkv

)gttz(zkz 2

2

1

00

gt)z(kz 0

tvrr0

Jatuh bebas

Dilempar vertikal ke atas

Gerak parabola

GLBB GLB

I Made Padri

dt

rdv

00zkr

PERSAMAAN GERAK

PERCEPATAN TANGENSIAL DAN NORMAL

v

v’

∆s n

v τv

dt

v)τd(

dtτdvvτa

0)Δt (Untuk

dt

τd ρ

v nv τa

2

a an

aτ

ptidak teta v kecepatan vektor

dan τr Unit vekto

Percepatan tangensial (a)

Percepatan normal (an)

dan vdt

ds ,n

dψ

τd ρ

dψ

ds

τ τ ˆˆΔ

Lintasan

ρ

vn

dt

ds

ds

dψ

dψ

τd

dt

vda

I Made Padri

ˆ

ˆ

ρ

BAGAIMANA KOMENTAR ANDA TENTANG ARAH PERCEPATAN TERSEBUT ?

R

vn

dt

dvτaaa

2

Nτˆˆ

R konstan, v berubah

R konstan, v konstan

R tak hingga, v berubah

R tak hingga, v konstan

A

P

A

K

A

H

A

R

T

I

N

Y

A

J

I

K

A

Resultan dan konstan

GERAK PARABOLA

GERAK MELINGKAR DENGAN LAJU BERUBAH

τa

na

GERAK MELINGKAR BERATURAN

GERAK LURUS BERATURAN

GERAK LURUS DENGAN LAJU BERUBAH

MENGANALISIS PERCEPATAN GERAK PARTIKEL

I Made Padri

Lampiran-1

No JENIS GERAK PERSAMAAN VEKTOR PERSAMAAN SEKALAR

1. MELENGKUNG

2. PARABOLA

BerubahR

vn

dt

dvτa

2

konstanR

vn

dt

dvτa

2

0 katv v

2

2

1

00 atktvrr

0 Xxv v

0y yv v

0 atz yv v

tvxx x00

tvyy y00

2

2

1

z00 attvzz

konstana 0;a 0;a zyx

I Made Padri

Lampiran-3


3. GLBB

dt

dvτaa τ

0aN

tavv 0

tavv zz0z

tavv yy0y

tavv xx0x

2

2

1

00 tatvrr

2

z2

1

z00 tatvzz

2

x2

1

x00 tatvxx

2

y2

1

y00 tatvyy

konstan aa τ

0aN

I Made Padri

Lampiran-4


JATUH BEBAS

VERTIKAL KE ATAS

4. GLB

k(gt)v

)gt(zkr 2

2

1

0

0k(z gt)v

)gttz(zkr 2

2

1

00

gtzv

2

2

1

0 gtzz

z0v gtzv

2

2

1

z00 gttvzz

tvrr 0

tvxx x0

tvyy y0

tvzz z0

konstanv 0a τ

0aN

0aN

konstanv 0a τ

I Made Padri

Lampiran-2


5. GMBB

6. GMB 0a τ

R

vnaa

2

spN

dt

dvτa τ

R

vnaa

2

spN

konstandt

dva τ

berubahR

va

2

sp

0a τ

konstanR

va

2

sp

berubahRakonstanR berubah berubahv Rv

τ

0 konstanR konstan konstanv Rv

v r

a r

v r

I Made Padri

KOORDINAT POLAR DUA DIMENSI

θ

r

POSISI :

KECEPATAN :

PERCEPATAN :

rerr

dt

)ed(rr r

θθ sinrjcosrir

dt

)ererd(r θr θ

θr e)r2(re)-rr(r θθθ2

tap tidak ter

e , θ

e runit vektodan θ

θθ sin jcos ier

θθ cosjsinieθ

dt

)sinjcosid(rer

θθr

θr erer θ

dt

edre)rr(

dt

edrer θ

θr

r θθθ

θcosr

θsinr

e

e r

i

j =X

Y

I Made Padri

K

KOORDINAT SILINDER

POSISI :

θrcos ksin sinθ r jcos θsin r ir

KECEPATAN : ? .....rv

zR e)Z(e)(Re)R(r

PERCEPATAN : ? .....ra

zR

2 eZe)RR(2e)R-R(r

zR eZeRr

tap tidak tedan θ,e ,e

tetapketor Unit vek

R

z

cosjsinie

sinjcosieR

Z

X

ez

e

eR

r

R

Y x

y

z

o

I Made Padri

Buktikan bahwa :

Buktikan bahwa :

KOORDINAT BOLA

POSISI :

KECEPATAN :

PERCEPATAN :

Rerr

θθθ cosr ksin sinr jcos sinr ir

.....?rv

θθ resin rerer θ R

.....?ra

e

eer

ˆ) cosθ θ2rsinθ r2sinθ (r

ˆ) cosθ sinθrθr2θ(rˆ)θrθsinr-r( θ

2

R

222

tap tidak teθdan sudut

e e eektor Unit v θ,,R

θθθ cos ksin sin jcos sin i eRˆˆˆ

sinksincosjcoscosi e

cos jsin ie

Z

Y

X

eR

e r

x

y

z

o

I Made Padri

e

Buktikan bahwa :

Buktikan bahwa :

Soal-soal untuk latihan

Y

]) Y ( 1 [( ρ

3/2

X Y Y X

) Y X( ρ

3/22

atau

θr

2 e )θ r 2 θ(r e )θr r( a

e θr e r v θr

zφR e z e R e R v

zR

2 e z e ) R R (2 e ) R R( a

θr e θr e θ sin r e r v

e θ) cos r 2 θ sin r 2 θ sin (r

e θ) cos θ sin r θ r 2 θ(r e )θr θ sin r r( a θ

2

r

222

I Made Padri

1. Buktikan bahwa pernyataan kecepatan dan percepatan dalam

a. Koordinat polar dua dimensi adalah :

b. Koordinat silinder adalah :

c. Koordinat bola adalah :

2. Buktikan bahwa partikel yang bergerak dalam bidang Y = f(x) dengan x = f(t)

memiliki jejari kelengkungan :

100

2X

Y Y

A

B

10 X

I Made Padri

j t)10 (12 i 5 (t)v

3. Sebuah partikel bergerak dengan r = dan =2t3 dalam SI. Tentukan

besar dan arah kecepatan serta percepatan partikel pada saat = 0,5

radian terhadap sumbu X.

4. Gerak sebuah partikel dapat dilukiskan seperti grafik berikut :

Dari A ke B laju tangensial partikel

tetap. Jika VA = 10 m/s dan dalam

waktu 10 detik tiba di B dengan laju

VB = 50 m/s. Tentukan percepatan

partikel pada saat di B.

5. Sebuah partikel bergerak dengan lintasan Y = X2 dan X = 2t. Tentukan

percepatan tangensial dan percepatan normal partikel tersebut.

6. Sebuah partikel bergerak pada bidang datar (X, Y) dengan kecepatan

Jika pada t = 0 partikel di titik (0,0), tentukan jari - jari kelengkungan

lintasannya pada saat Y = 7,2

TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 1

BUKU FOWLES : Halaman : 34

Soal nomor : 12, 13, 14, 15, 16, 17,

20, 23.

I Made Padri

Soal latihan : 1, 2, 3, 4, 5, 6

DINAMIKA PARTIKEL

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN DINAMIKA PARTIKEL ?

KONSEP DAN PRINSIP APAKAH YANG TERDAPAT DALAM HUKUM-HUKUM

NEWTON TENTANG GERAK ?

APA PERBEDAAN TEOREMA MOMENTUM DAN TEOREMA ENERGI ?

APA YANG DIMAKSUD GAYA FUNGSI POSISI, GAYA FUNGSI WAKTU DAN GAYA

FUNGSI KECEPATAN ? BERIKAN CONTOHNYA.

APA PERBEDAAN GAYA KONSERVATIF DAN GAYA DESIPATIF ?

APA PERBEDAAN HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM DAN HUKUM KEKEKALAN

ENERGI MEKANIK ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL DALAM MEDAN

KONSERVATIF ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA

UNGSI WAKTU ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA

FUNGSI KECEPATAN ?

HUKUM I NEWTON

HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK

HUKUM II NEWTON

HUKUM III NEWTON

MASSA KELEMBAMAN

PARTIKEL YANG TIDAK MENGALAMI

RESULTAN GAYA, BERADA DALAM

KEADAAN DIAM ATAU BERGERAK

LURUS BERATURAN

LAJU PERUBAHAN MOMENTUM

SAMA DENGAN RESULTAN GAYA

YANG BEKERJA PADA PARTIKEL

SIFAT KELEMBAMAN

SYARAT KESETIMBANGAN

KERANGKA ACUAN INERSIAL

MOMENTUM DAN GAYA

HUKUM KEKEKALAN

MOMENTUM

GAYA AKSI DAN REAKSI SELALU

SAMA BESAR DAN BERLAWANAN

ARAH

GAYA SEBAGAI HASIL

INTERAKSI

GAYA SELALU BERPASANGAN

I Made Padri

dt

vdμ

dt

vd BBA

A

A

BBA

m

m

dt

)vm d(

dt

)vm d( B A

dt

pd

dt

pd BA

Cpp

BA

dt

pdF

BAFF

0F

cp0pd

0dt

vdm

0vd

(diam) 0v

(GLB) Cv

Sistem tertutup

A

B

Hukum Kekekalan

Momentum linier

Hukum III Newton

Hukum II Newton

Momentum linier

Hukum I Newton

Perbandingan massa inersia

vmp

I Made Padri

dt

pdF

vmp

CF

cr

0r trr

00

2

2

1rt r trr

dt

vdmF

pdt (t)F

dm

dt

(v)F

vd

dt

)prd(Fr

dt

LdN

Ldt (t)N

dt

vdvmvF

dt

vdvm

dt

rdF

Trd(r)F

Teorema Momentum linier

Teorema Momentum sudut Teorema usaha dan Energi I Made Padri

GAYA FUNGSI POSISI

c

T rd F W .

(r) F F k

dk F (r) F F

2

1

r

r

k k rd (r)F W . T rd F rd (r)F .. dk

2

s

s

1

r

r

k

r

r

k k rd (r) F rd (r)F W . . T rdF (r) V .d

r

r

k

s

rd (r)F (r) V . (r) V T rd F .d

V(r) )V(r )V(r W 21K

E Wd

V(r) d rd (r) F .k

T V(r)

0 V(r) T

C V T E

V(r) (r) Fk

0

c s

ds )F( n rd F .

c

0 rd (r) F

0 (r)F

.

k

k

I Made Padri

KASUS SATU DIMENSI

)x(Vx mE 2

21

xm)x(F

Txd )x(F

x

x0

.

kF)x(F

)x(Vxd )x(F

x

x

k

0

.

EV

)x(VE m

2x

)x(VEm

2

dt

dxx

)x(VE{

dx

2

mdt

V(x)

X

x1 x2 x3 x3,,

E1

E2

E3

E4

x3’ x2,

Penafsiran secara kua-

litatif bergantung pada

V(x) ≥ E ≥ V(x)

Dengan energi :

E1 partikel berada di x1

E2 ada diantara x2, dan x2

E3 ada diantara x3, dan x3

E4 partikel berada di x4

Di x1 keadaannya setimbang stabil Di

x3 keadaannya setimbang labil

Di x4 keadaannya setimbang netral

x2,, x2,, x3, x3

, dan x3,, titik balik

x4

I Made Padri

2kx 2

1 )x(V

Xk (x)F

CONTOH PROBLEM

1 0

00kx-zyx

kji

(x)F x

GAYA KONSERVATIF

dx

V(x) d kx

t0 = 0

x

x 2

12

21

0 kx E

dx

2

mt2E

k x θ sin

E2

kxθsin

22

θsin k

2E x

2

1

θd θcos k

E2dx

2

1

0 2

12

2

1

2

1

kE2

θsin1E

θd θ cos

2

mt

I Made Padri

)x(VE{

dx

2

mdt

t

to

Misalkan :

)T/2( dan )/2(T 2kA2

1E

k

E2A

m

k

)tsin( k

E2x 0 0θtsinAx

2tt

0θtsinAx

? ..... x ?.....x

Gerak harmonik

0

θd1

t tθ θ 0

Periode Frekuensi

Amplitudo Energi

I Made Padri Lanjutan

2

0

2

0

2 zm2

1zm

2

1

zR

1

zR

1mgR

Tzd)z(F

kr

GMm )r(F

2

2

)R/M G(gdan zRr 2

R = jari-jari bumi

z = tinggi dari permukaan bumi

22

2zR

Rmg

r

GMm)z(F

Tdz

zR

Rmg

Z

Z

2

2

0

00 z 0z makz 0z

1

2

0

2

R

z1gz2zz

12

0

2

0mak

gR2

z1

g2

zz

makze0 zz

gR2z2

e

gz2zz 2

0

2 g2

zz

2

0mak

gR2ze

Laju Escape

gr2 z0 Rz

Vertkal ke atas

Titik balik

I Made Padri

CONTOH PROBLEM

1

Dari grafik di samping, tentukan persamaan gaya

untuk setiap selang waktu sebagai berikut :

a. t1 > t > 0

b. 2t1 > t > t1

c. 3t1 > t > 2t1

a. Pada t1 > t > 0

b. Pada 2t1 > t > t1

b = tanα = (F0/t1)

F(t1) = F0 a = 0

c. Pada 3t1 > t > 2t1

t1 2t1 3t1

F0

2F0

F

t

α

d = tan = (-2F0/t1)

F(2t1) = 2F0 c = 6F0

GAYA FUNGSI WAKTU

bta)t(F

0F)t(F

tt

F)t(F

1

0

tt

F2F6)t(F

1

00

dtc)t(F

I Made Padri

2 Sebuah partikel massa (m) bergerak dengan gaya seperti grafik. Jika

mula-mula partikel dalam keadaan diam, buktikan bahwa laju partikel

pada saat 2t1 adalah (5F0t1/2m), dan jarak yang ditempuh dalam

selang waktu 2t1 adalah (13F0t12/6m)

a. Pada t1 > t > 0

dt

xdmF0

dt

m

Fxd

t

0

0x

0

m

tFx 0

m

tF)t(x 10

1

dt

dxx

m2

tFx

2

0m2

tF)t(x

2

101

dtm

tFdx

t

0

0x

0

2F0

F

t

F0

t1 2t1

α

I Made Padri

b. Pada 2t1 > t > t1 bta)t(F

1

0

t

Ftanb

01 F)t(F

1

0

t

tF)t(F

0 a

dt

xdmF

t

1t 1

0x

m

1t

0F

dttm

tFxd

t

1t 1

2

010

tm2

tF

m

tFx

m2

tF5)t2( 10

1x

dt

dxx

m6

tF13)t2(

2

101x

1

2

010

tm2

tF

m2

tF

t

1t 1

2

010x

2m

21

t0

F

dt) tm2

tF

m2

tF(dx

I Made Padri

Lanjutan

GAYA FUNGSI KECEPATAN

2v c v b F

v b F

2v c F

GERAK VERTIKAL DALAM FLUIDA

zb mg z m

dt

zd z

z

0z

t

0 zbmg

zd mdt

0zb mg

zb mgln

b

m t

m

bt

0

e zb mg

zb mg

)(1 b

mg z z m

bt-

m

bt-

0 ee

)z m

b g ( z m

bt-

0 e

dt

dz z

t

0

m

bt-

m

bt-

0

z

0

dt) (1b

mg zdz ][ ee

b

mgt ) (1 g)

b

m z

b

m( z m

bt-

2

2

0 e

1

Ke bawah

I Made Padri

1cm1v 1cm1v

..... ! 2

x x 1 :TaylorDeret

2xe

)(1 b

mg z m

bt-

eb

m t

b

mg z

b

tg m ) (1

b

g m z m

bt-

2

2

e

b

m t

.................. tm

bg

6

1 tg

2

1 z 32

2 tg z21

............................... t m

gb g z

g z b

m t

tg z

m

bt-

e g z

0z0t:Untuk 0

Laju terminal

Karakteristik waktu

G

L

B

B

Jatuh bebas

............................ tm

bg

2

1 t g z 2

I Made Padri

GERAK PROYEKTIL DALAM FLUIDA k g m v b F ˆ

GERAK PADA SUMBU X

xb xm x x m

b

dt

xd x

dt

xd x

t

0

x

0x

dt x

xd

t x

xln

0

t- x x e0

dt

dx x

dt

dx

γt- x e0

t

0

0

x

0

dt t-

x dx e

t

0

0

t-

x x e

)γt-

1(x

x e0

2

GERAK PADA SUMBU Y

y b y m y y

γt- y y e0

)γ t-

(1 y

y e0

I Made Padri

..... 3

x

2

xx x)(1 ln

32

..........y y

g

3

1 y

y

g

2

1y

y

z z 3

3

0

2

2

00

0

Untuk

1 y

y

0

Lintasan parabola

1 y

y

0

Lintasan tidak parabola

Deret Taylor :

Z

Y

Tanpa gesekan

Ada gesekan

Jarak dekat

Gesekan kecil

Jarak jauh

Gesekan besar

Jarak dekat

Asimtut vertikal

I Made Padri

V0

V0

Lanjutan

JARAK TERJAUH

3

mak3

0

2

mak2

0

mak

0

0 y y

g

3

1 y

y

g

2

1y

z 0

y

..... g 3

zy 8

g

zy 2 y

2

2

0 o0 o mak

α elevasisudut dan v v0pada tJika 0

cos vy 00 sin v z 00

2sinv cos sin v2 z y 22

0

2

000

......... g

sin 2sin v

3

4

g

2sin v y

2

3

0

2

0 mak

I Made Padri

Z = 0

Lanjutan



Soal nomor : 1, 2 3, 4, 5, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 16

I Made Padri

Halaman : 109

Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,

10, 16, 17

GERAK HARMONIK

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK HARMONIK ?

APA PERBEDAAN GERAK HARMONIK SEDERHANA, TEREDAM DAN

TEREDAM TERPAKSA ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN

GAYA PEMAKSA YANG TIDAK SINUSOEDAL ?

BAGAIMANA HASIL SUPERPOSISI GERAK HARMONIK DUA

DIMENSI DAN TIGA DIMENSI ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN

GAYA PULIH TIDAK LINIER ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL

BERMUATAN DI DALAM MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET ?

GERAK HARMONIK SEDERHANA xkF

xmF

0x)(xmk

0)q(e2

0

2qt

00 i q

titi 00 eCeC)t(x

tsinitcose 00

ti 0

tsinitcose 00

ti 0

tsiniCiCtcosCC)t(x 00

tsinBtcosA)t(x 00

tcos)t(x 0A

Gerak harmonik sederhana 22 BA A (B/A) tanarc

2

1

0 )k

m( 2τ 2

1

0 )m

k(

2

1f

?x?x

21

0 )mk( I Made Padri

qtex

21

)(mk

0 ?x?x

cosA A

sinB A

xkF

KONSERVATIF

dX

)x(dV)x(F

2kX2

1)x(V

E = T + V(x) 22 kX

2

1Xm

2

1E

2Xm

k

m

E2 X

X = Xmak

2

makXm

k

m

E2 0

k

E2Xmak A

makXX

m

E2Xmak

2k2

1E A

0X

Energi

T

E

X

0 A A

V(x)

0X

dX

)x(dVkX

I Made Padri

Lanjutan

GERAK HARMONIK TEREDAM xkxcF

xmF

0xm

kx

m

cx

m2

c

2/1

0m

k

0xx2x2

0 qtex

0eqe2eq qt2

0

qtqt2 0q2q2

0

2

2/12

0

2

12 )(q

0 )(2

0

2 0 )(2

0

2 0 )(2

0

2

tq

2

tq

121 eAeAX

t )(t

2

t)(t

1

2/120

21/2 20

2

eAeAX

t )(

2

t )(

1

t 1/22

022/12

02

eAeAeX

X

t

Over damped

?X

?X

?

Fungsi Eksponensial

?

I Made Padri

0 )(2

0

2

2

0

2

0xx2x2

0

0xx2x 2

0x dt

d2

dt

d 22

0x

dt

d

dt

d

2

0

2

12q

21 qq

0u dt

d

u

dt

du dt

u

du

Atu ln

t-Aeu

dt

dxxu

dt

dxxAe t

tedt

dxxA

)xe(dt

dA t

tex dt A

txeBAt )BAt(e)t(X t

X

t

Critically damped

I Made Padri

Lanjutan

0 )(2

0

2

2

0

2

12q

2

1

22

0d )(

d1 iq

d2 iq

tqtq 21 eCeC)t(X t)i(t)i( dd eCeC)t(X

)eCeC(e)t(Xtitit dd

)tsinBtcosA(e)t(X d1d1

t

)t( cose)t(X d

t A

Fungsi periodik dengan aplitudo

semakin kecil secara eksponensial

tex A

tex A

X

t

Energinya mengecil secara eksponensial

t22ek2

1E A t2

0eEE

Dengan laju fraksional 2dt

E ln d

dt

dE

E

1


GERAK HARMONIK TEREDAM TERPAKSA

)t(FxkxcF

tcos FkxxcF xmF

)t(ieAx tcosm

Fxx)i(2x 02

0

2

tsin itcose ti

ti02

0

2 em

Fxx)i(2x

ti0)t(i22

0 em

FeA )i(2

i022

0 em

FA )i(2

sinicose i

)sin i(cosm

FA )i(2 022

0

cosF

Am

0

22

0

2

0

222

0 cosF

Am

sin iF

Ami2

0

2

2

0

2 sin F

Am)2(

?Adan ?

?x ?x

I Made Padri

0

22

0

0

F

Am

)FAm(2

cos

sintan

22

0

2 tan arc)(

2 2

0

22

2

0

2222 4

F

Am1cossin

)(D

)mF(

4)(

)mF()(A 0

22222

0

0

0

d

Ad

makA)(A r

2

1

22

0r )2( 2

r

222

r

2

0

0mak

4)(

)mF(A

2

1

22

0d )(

2

1

22

dr )(

)](tcos[)(A

t coseA)t(X d

t

Solusi umum

I Made Padri d

0

d

0mak

c

F

2

)mF(A

Lanjutan

Dengan pendekatan :

)( )( 00

22

0

)(2 00 0

22

0

mak

)(

A)(A

2

mak

2 A)(A21

0

r1

r2

2

0 02

WEAK

DAMPING

0

0

0

0mak

c

F

2

)mF(A

dan

Jika :

0

)0(A

)(AQ 0

Faktor kualitas

2Q 0

A

2

2

1

2 0(1/2)mc .1

. . . . .

.

.

.

.

0 02

0d

I Made Padri

0(1/4)mc .2

Lanjutan

2 0

STRONG DAMPING

2

2

02

0r 2/144

0

0

)(

)m/F()(A

22

0

2tan

0 0

2

I Made Padri

1

2

2

0(1/2)mc .1

0 02. . . .

.

.

0(1/4)mc .2

Lanjutan

GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PEMAKSA TIDAK SINUSOEDAL )t(Fkxxc)x(F

Deret Fourier

1n

nn0 )tnsin(b)tncos(aa2

1)t(f

DENGAN :

2T

2T

0 dt)t(fT

2a

2T

2T

n dt t)cos(n )t(fT

2a

2T

2T

n dt t)sin(n )t(fT

2b

n = 0, 1, 2, …

)t(f)t(f 0bn

FUNGSI GENAP

)t(f)t(f

FUNGSI GANJIL

0a 0 0 an

Periodik tidak sinusoedal

CONTOH

F(t)

T

t

T

0F)t(F

0)t(F

T2

1NTtT

2

1NT

... 2, ,1 ,0N

YANG LAINNYA 0

]

I Made Padri

dtt)cos(n F T

2a

2T

2T

0n

n

)TTn2sin(F

)n(

t)sin(n F

T

2a 0

2T

2T

0n

T

T2Fdt F

T

2a 0

2T

2T

00

0bn

SEHINGGA :

)tcos(

T

Tsin

2

T

TF)t(F 0

t2cos

T

T2sin

2

2

......t3cos

T

T3sin

3

2

DAN : n

nn

n

n )tncos(A)t(x)t(x

AMPLITUDO

2

1

2222222

0

0

n

nn

n4)n(

)TTnsin()n2()mF(

)(D

)ma(A

SUDUT FASE

222

0

1

nn

n 2tan

dan


Gerak partikel berupa lissajous dalam kotak berdimensi (2Ax, 2Ay, 2Az) dengan

frekuensi yang sepadan yaitu :

GERAK HARMONIK (2-3) DIMENSI

rkF

rmF

0xkxm x

0x)mk(x x

)tcos(Ax xx 2/1

xx )mk(

0ykym y

)tcos(Ay yy

0zkzm z

)tcos(Az zz

ENERGI TOTAL :

2

z2

12

y2

12

x2

1zkykxk z) y, ,x(v

22 kr2

1mv

2

1 E

2/1

yy )mk(2/1

zz )mk(

0y)mk(y y 0z)mk(z z

)n()n()n( zzyyxx

)n2()n2()n2( zzyyxx

Jika frekuensinya tidak sepadan, maka lintasannya tidak tertutup.

PERIODE :

I Made Padri

ENERGI POTENSIAL :

kxxm

kyym

)tcos(Ax x

)tcos(Ay y

2

1

m

k

)tcos(Ay y

Beda fase sin)tsin(cos)tcos(A y

)tcos(Ax x

sin

A

x1cos

A

x

A

y 2

1

2

y

2

xy

2

2

y

2

yx

2

x

2

sinA

y

AA

cos2xy

A

x

FUNGSI KUADRAT DALAM X,Y

feydxcybxyax 22

0)ac4b( 2 ELIP

0)ac4b( 2

0)ac4b( 2

PARABOLA

HIPERBOLA

2

yx

2 )AAsin2( )ac4b(

2

1)AY()AX( 2

y

22

x

2 ELIP

atau 0

x)AA(y xyGARIS LURUS

DENGAN KEMIRINGAN

2

y

2

x

yx

AA

cosAA22tan

< 0 ELIP

Ax

Ay

CONTOH GERAK HARMONIK ISOTROPIK DUA DIMENSI

]

I Made Padri

GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PULIH TIDAK LINIER

3

3xkx)x(F

xm)x(F

33 xm

xm

kx

2

1

0 )mk(

)m( 3

32

0 xxx t cos Ax ?x

t3costcostcos41

433

0t3cosA-tcos AA 322

0

2

4

1

4

3

* A = 0 TIDAK MEMENUHI SOLUSI PD SECARA EXSACT

* << 0A 22

0

2

4

3

Frekuensinya Fungsi Amplitudo 22

0

2 A4

3

I Made Padri

0A 22

0

2

4

3

22

0

2 A4

3

2

1

2

0

2

04

A31

0A4

1B9B- 3

0

2

2

0

3

22

0

3

32

A

A2732

AB

t3cos32

AtcosAx

2

0

3

0..............................................................................................

t3 cos Bt cos Ax ?x

Frekuensinya Fungsi Amplidudo

I Made Padri

t3cosAB9B- 32

0

2

4

1

tcos AA 22

0

2

4

3

Lanjutan

!5!3

sin53

CONTOH BANDUL SEDERHANA sin mgF xmF

sin -mgxm

sin

0L

g

0sL

gs

L

g0

g

L20

32

02

0!3

32

02

06

2

1

2

0

2

04

A31

2

12

0

2

1

2

0

22

00

8

A1

4

A)6(31

2

12

8

A1

g

L2

2

12

08

A1

6

2

0

θ

L

mg

S

mg sinθ

I Made Padri

θ

GERAK PARTIKEL BERMUATAN DALAM MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET

)B x v(qF

rmF

EqF

B)k x v(qrm

)xjyi(qB)zkyjxi(m

qEkrm

qEk)zkyjxi(m

tzz cy cx

-z 0y 0x

m

qEm

qE

0

B00

zyx

kji

qrm

1cyxyx

2cxy

xy

0zz

0z

)mqB(

0t cos Aax 0t sin Aby

222 A)by()ax( HELIK

Lingkaran

Garis lurus

)c(a 2

Parabola

I Made Padri

2

2 cxx 22 axx

1

2 cxy 22 byy

)c(b 1 )c(a 2

)t( cos Ay 0

)t( sin Ax 0 2

22222

m

B qAAyx

B q

mv

vA

2

1

22 )yx(v

Z

X

Y

I Made Padri

B

q

v (Kecepatan)

Jari-jari

(partikel bermuatan)

(Medan magnet)

Kelajuan

Lanjutan



Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10,

11, 15, 19.

I Made Padri

Halaman : 111

Soal nomor : 11 dan 18.

GAYA SENTRAL

I Made Padri

BAGAIMANA PERUMUSAN HUKUM NEWTON TENTANG GRAVITASI ?

BAGAIMANA HUBUNGAN GAYA, KUAT MEDAN, ENERGI POTENSIAL

DAN POTENSIAL DALAM MEDAN GRAVITASI ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA SENTRAL ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG

DIPENGARUHI OLEH GAYA SENTRAL ?

BAGAIMANA PENJELASAN TEORITIS HUKUM-HUKUM KEPLER

YANG BERSIFAT EMPERIS ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN KECEPATAN SATELIT AGAR

TETAP MENGORBIT BUMI ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN ORBIT KOMET ?

APA SYARAT STABILITAS ORBIT MELINGKAR ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUDUT APSIDAL ?

HUKUM NEWTON TENTANG GRAVITASI

GAYA GRAVITASI

Setiap partikel selalu menarik partikel lain, dengan besar gaya yang sebanding hasil kali kedua partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya. Gaya tarik tersebut berada disepanjang garis penghubung kedua partikel

Gaya gravitasi m1 pada m2

123

32

2121 rr

rr

mmGF

12

12

2

12

2121

rr

rr

rr

mmGF

r2

2121 e

r

mmGF

Hukum III Newton 2112 FF

r2

2112 e

r

mmGF

12 rrr

re12F 21F

1r2r

1m2m

I Made Padri

G = 6,672.10-11 Nm2kg-2

Konstanta gravitasi umum

Gaya gravitasi m2 pada m1

o

12 rrr

re AG BG

1r2r

1m2m

Gaya gravitasi persatuan massa partikel di suatu titik adalah intensitas medan gravitasi di titik tersebut

Intensitas medan gravitasi m1 di titik B

r

2

2

21

2

21B e

mr

mGm

m

F

G

r2

1B e

r

GmG

Intensitas medan gravitasi m2 di titik A

r2

2A e

r

GmG

Secara umum intensitas medan gravitasi di suatu titik yang berjarak (r) dari partikel bermassa (m) adalah :

r2p er

GmG

m p

r

repGI Made Padri

B A

O

MEDAN GRAVITASI

rd Fdw

r2e

r

GMmF

rder

GMmdw r2

drr

GMmdw

2

dwWAB

rrdeadalah Fsearah

rdKomponen

Usaha total dari A ke B

12

2r

1r

2ABr

1

r

1GMm

r

drGMmW

r1 = ~ r2 = r

r

GMm)r(V

Energi potensial gravitasi suatu partikel yang berjarak tertentu dari partikel lainnya

M A

2r

1rre

m drer

F

-F

rd

B

I Made Padri

ENERGI POTENSIAL GRAVITASI

Usaha memindahkan partikel m dari titik A ke B dalam medan gravitasi partikel M adalah :

m

Usaha untuk memindahkan partikel jauh takhingga ke jarak tertentu

dari partikel yang lain

A

Energi Potensial gravitasi persatuan massa partikel, adalah potensial gravitasi di titik tersebut

m

)r(V

r

GMA

r

GMm)r(V

m

M

r

Potensial gravitasi pada suatu titik (A) yang

berjarak tertentu (r) dari partikel bermassa M

Gaya gravitasi konservatif : )r(V F

G

G

m

F

m

)r(V

I Made Padri

POTENSIAL GRAVITASI

CONTOH INTERAKSI KULIT BOLA HOMOGEN DENGAN SEBUAH PARTIKEL

m u

r

p

Elemen Massa

d sinR2) Rd.(a2dM 2

cosRr2rRu 222

Kulit bola

2R4M

d Sin2

MdM

d sinRrudu

Rr2

MududM

Difrensiasi

I Made Padri

R

M

d

a

dM

u

GdM)r(d

Rr2

GMdu)r(d

r

GMR2

Rr2

GM)r(

2r

GM

r

r

GM

)r()r(

G

2r

GMmm)r(F G

Di luar Kulit Bola Di dalam kulit bola

R2RrRrrr minmaks r2)rR()Rr(rr minmaks

R

GMr2

Rr2

GM

0r

c)r()r(

G

00.)r(F G

I Made Padri

Lanjutan

maks

min

r

r

minmaks RRRr2

GM)r(dΦΦ(r)

Lanjutan

rmF

re)r(FF

0eF(r) x rdt

Ldr

CL

)erer( m x r r

)mrL( 2)r(F)rr(m 2

0)rr2(m

DENGAN : ? r dan u

1r

)u(FuL

mu

d

ud 1

222

2

PERS. DIFFERENSIAL ORBIT

0F x

c)r(V)rr(mE 222

2

1

)u(Vud

du

m2

LE 12

22

PERSAMAAN ENERGI ORBIT

r2e

r

kF

C)r(VT

? I Made Padri

GAYA SENTRAL

)u(FuL

mu

d

ud 1

222

2

r2e

r

kF

22

2

L

mku

d

ud

20L

mk)-cos( Au

2L

mkcos A

1r

00

PERSAMAAN IRISAN KERUCUT

cos e1

e1rr 0

cos e1

dr

Jika : e < 1

e = 0

e = 1

e l i p

lingkaran

e > 1

parabola

hiperbola

0 0rr 1rr

e1

e1rr 01

0 0rr

mk

ALe

2

)mkL(d 2

)e1(k

mLr

12

0

Aphelium (apogee) Perihelium (perigee)

r0 e = 0

r1

e < 1

e = 1 e > 1

HUKUM KEPLER I

;

0

π

I Made Padri

)e1(k

mLr

12

1

HUKUM-HUKUM KEPLER

r x r2

1A

v x r

2

1

dt

dAA

vm x rm2

1A

Cm2

LA

L

m2At 1212

HUKUM KEPLER II

A

At 2.1

2.1

L

m2ab

22

e1L

m2a

amk

L

L

ma2 22

32

2 ak

m4

2

3

ca

HUKUM KEPLER III

2e1a

b

)e1(mk

L2rra2

2

2

10

amk

Le1

22

32 a

2

32

1

ak

m2

O

P1

P2

r

r+∆r

∆r

∆A

t2

t1

A12

r1 ro

b

a

I Made Padri

Lanjutan

)u(Vud

du

m2

LE 12

22

dr

)r(dV)r(F

dr

)r(dV

r

k2

r

k)r(v

kuud

du

m2

LE 2

22

2/1

2

22u

L

mku2

L

Em2

dud

022

21

)m/L(E2k

k)m/uL(sin

ca

usin

ua

du 1

22

20

cos)sin(2

cos

mk

EL211

L

kmu

2/1

2

2

2

cos)d E21(1

dr

2

1

2

1

)Ed21(e

cos e1

dr

JIKA : E < 0 e < 1 (Elip/lingkaran)

E = 0 e = 1 (Parabola)

E > 0 e > 1 (Hiperbola)

MAKA UNTUK HARGA : (Elip/lingkaran)

(Parabola/hiperbola)

C)x(VTE

)x(VT

)x(V T

cos)kmL E21(1

kmLr

2/1212

112

I Made Padri

ENERGI ORBIT

)r(V)rr(m2

1E 222 2mrL

)r(Vmr2

L

2

rmE

2

22

)r(U2

rmE

2

)r(Vmr2

L)r(U

2

2

r

k)r(V

0r

)r(UE r

k

mr2

L2

2

E2

)mEL2k(kr

2

1

122

0.1

10 rra2

E

ka2

a2

kE

0mLkr2Er2 122

Potensial efektif

Potensial sentrifugal

r0 r1

a

U(r)

r0 r1 E

E

r

V(r)

2

2

mr2

L

b

I Made Padri

Pada titik balik

Lanjutan

GERAK SATELIT

2L

mk cos A

1r

1mk

ALmk

Lr

2

0

2

00

00LL

mkALe2

0

000

2

00 vmrmrL

)mrk(v 0

2

c

1v

ve

2

c

2

0

cos e1

e1rr 0

1k

vmre

2

00

cos1v

v1

)v/v(rr

2

c

2

0

2

c00

2

c0

2

c001

)vv(2

)v/v(rr

1rr

0rr

Laju lingkaran

0

r

c0 v v c0 vv

e 0

Elip ro = perigee

r = apogee

Bumi

I Made Padri

c0 v v

c0 vv

ro

)r

r(R

b

k

2

1

22 )mk2EL(1 e

k

2

kr

kmv

2

1E

kk v m x rL

2

1

2

2

kk

k

2

k

mk

)sin vr m)(r

k vm

2

1(2

1e

GERAK KOMET

Orbit bumi melingkar

2

b

b

v)mr

k(

2

1

22

bb

2

kk

k

2

b b2

k

) vr m(m

)sin vr m)(r

vr m vm

2

1(2

1e

)v

v(V

b

k

2

1

22 )(RVsin )R

2V(1e

rb

vk

vb

Komet

Matahari

Bumi

I Made Padri

?

KESTABILAN ORBIT MELINGKAR )r(f)rr(m 2

2r

h

)r(fr

mhrm

3

2

)a(fa

mh3

2

)ax(f)ax(mhxm 32

....]x)a('f)a(f[

]x)a('f)a(f[)a

x31(amhxm 32

acr

0r arx

0x)]a('f)a(fa

3[xm

0)]a('f)a(fa

3[

Atau : 0)]a('f3

a)a(f[

Syarat stabil harus memberikan solusi getaran harmonik, maka

....]xnaa[ 1nn

Untuk orbit radial

Lingkaran

I Made Padri

SUDUT APSIDAL

0x)a('f)a(fa

3xm

2

1

m

)a('f)a(fa

3

2

2

1

)a('f)a(fa

3

m2

2

1t t

2

1

22 ma

L

mr

L

)a(fma

L3

2

2

1

)a(f

)a('fa3

Sudut apsidal dicapai dalam waktu

Orbit mendekati lingkaran dan stabil (r = a)

rmak

rmin

I Made Padri



Soal nomor : 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 15, 16, 18,

20, 21, 23

I Made Padri

KERANGKA ACUAN TIDAK INERSIAL

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN KERANGKA ACUAN TIDAK

INERSIAL ?

APA KONSEKUENSI PENGGUNAAN KERANGKA ACUAN TIDAK

INERSIAL PADA MEKANIKA NEWTON ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA SEMU PADA PENGGUNAAN

KERANGKA ACUAN TIDAK ENERSIAL

BAGAIMANA PENGARUH ROTASI BUMI TERHADAP BENDA DIAM

DAN BERGERAK DI PERMUKAAN BUMI ?

MENGAPA BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL MENGALAMI GERAK

PRESISI ?

FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI

BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL ?

KERANGKA TRANSLASI DIPERCEPAT 'rRr o

'vvv o

'aAa o

'am)Am(F o

'rr

'z'k'y'j'x'izkyjxi

dt

'kd'z

dt

'jd'y

dt

'id'x'vv

'r'vv

KERANGKA BEROTASI

o o’

Ro

r r’

m

z Z’

X’

y y’

x

Gaya translasional (semu)

o O’

z Z’

x

X’

y

y’

r = r’

m

(tetap) k,j,i

(berubah) k,j,i '''

'r x dt

'rd

dt

rd

rotfix

r dt

rd

dt

rd

rotfix

dt

'zd'z

dt

'jd'y

dt

'id'x

dt

'dz'k

dt

'dy'j

dt

'dx'i'zk'yj'xi

amF

I Made Padri

v dt

vd

dt

vd

rotfix

)'r'v()'r'v(dt

d

dt

vd

fix

)'r('v2'r'aa

)}'rx(x{)'vx2()'rx(a'a

)}'r(m{)'vm2()'rm(F'am

Gaya tranversal Gaya coriolis Gaya centrifugal

m Fcf m m r

Vektor kecepatan :

'r'vv

v

Fcr Ftv

)'r ('v dt

)'r(d

dt

'vd

rotrot

)'r ( 'v dt

'rd 'r

dt

d

dt

'vd

rotrotrot

Percepatan tranversal

Percepatan coriolis

Percepatan centrifugal

amF

I Made Padri I Made Padri

Lanjutan

EFEK ROTASI BUMI

1. Benda diam dipermukaan bumi

)sin(90 'r'r

cos 'r

cos'r'r ( 2

cos)cos'r()a( 2

rcf

22 cos'r

Arah radial

sin)cos'r()a( 2

hcf

Arah horisontal

)}'r ( {)'v 2()'r (a'a

0'r

0)'v 2(

c

0

0'v

ga

'g'a

rcf )a(g'g

22 cos'rg'g

Memperkecil percepatan gravitasi

Mengubah arah percepatan gravitasi Di ekuator (λ = 0) 1cos2

'rg'g 2

Di kutub (λ = 90)

)'r ( g'g

0cos2

g'g (Maksimum)

(Minimum)

(acf)r

asf g r

λ

s

u

ω

I Made Padri

(acf)h

'g

sin

cos'r

εsin2

g'

sin cos'rε

2

2sin

'g2

'r

2

Di kutub : 90 02sin

0ε

Di ekuator : 0 02sin

0ε

02

mak 90Sing 2

'rε

rad10.7,1 3

mak

)0,1 ( 0

Besar penyimpangan arah percepatan gravitasi

g

acf

g’ λ

ε

sin

Penyimpangan terbesar di :

12sin 045

cos'ra 2

f c

Sudut kecil

ω

R acf

g

λ

I Made Padri

,g

Lanjutan

2. Gerakan benda di permukaan bumi

)'r ( 'v 2a'a

Kecil diabaikan 'v 2g'a

0'x cos

'y

sin 'z

'r 'v

)cos'x('k)sin'x('j

) sin'y cos 'z('i

)sin'ycos'z(20'x )sin'x(20'y

)cos'x(2gz

'x)sin'ycos'z(2'x o

'ysin 'x2'y o

'Zcos 'x2gt'z 0

Kompnen kecepatan

' x t'x)sin 'y-cos 'z(tcost g'x 0000

23

3

1

'ysin t'xt'y'y 0

2

00

'zcos t'x t'zt g'z 0

2

o0

2

2

1

Komponen percepatan

Komponen posisi

g'kg

ω

Z’

x’

y’

'v x

I Made Padri

λ

Belahan bumi utara

Belahan bumi selatan Pengaruh gaya sentrifugal

pada partikel jatuh bebas

Pengaruh gaya coriolis pada

partikel jatuh bebas

B

T

U

S

O

P

O’

B

U

S

O

P

O’

T

B

T

U

S

O

P

O’

v’

ω

B

T

U

S

O

P

O’

v’ ω

λ

λ

I Made Padri

Lanjutan

Belahan bumi utara

Belahan bumi selatan

ω

V’

acor

ach

acv U

T

S

λ

V’

T

B

S ω

acor

acv

ach

Pengaruh gaya coriolis pada gerak horisontal

PRESISI BANDUL FOUCAULT

Fc

λ

I Made Padri

v

Fc v

Lanjutan

Persamaan defrensial gerak bandul terhadap kerangka O’fik

di permukaan bumi adalah :

vm2gmS)'rm( fik

Tranformasikan terhadap

kerangka O’rot dengan frekuensi ω’

terhadap O’fik

'v'm2 )rx'('m)'rm()'rm( fikrot

'v'm2)r'('m)vm2gmS()'rm( rot

v )'(m2gmS)'rm( rot

k cosj sin0

0jvi vv yx

r'v'v fikrot

)r'('m

kecil ( diabaikan) harga

I Made Padri

mg

S

Proyeksi presisi

bidang ayun bandul

Lanjutan

cos -' :aJik

)vx(vx)'x(

)v x (m2gmS)'rm( rot

Karena persamaan difrensial bandul kembali kebentuk semula,

maka ω’ adalah frekuensi gerak presisi bidang ayun bandul

cos

2

)90(

sin

2 jam

sin

24

Periodanya :

sin v k )' cos( vj)' cos(v i v )'( xxy

I Made Padri

Lanjutan



Soal nomor : 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 13.

I Made Padri

SISTEM PARTIKEL

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN SISTEM PARTIKEL ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN PUSAT MASSA SISTEM PARTIKEL ?

APAKAH HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT BERLAKU

DALAM SISTEM PARTIKEL ?

BAGAIMANA PERNYATAAN MOMENTUM SUDUT DAN ENERGI KINETIK

SISTEM PARTIKEL DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS INTERAKSI DUA PARTIKEL

DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ?

BAGAIMANA CARA MENGKLASIFIKASI JENIS TUMBUKAN ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS TUMBUKAN SATU DIMENSI DAN

DUA DIMENSI ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK BENDA YANG MASSANYA

BERUBAH ?

rmF

SISTEM PARTIKEL rmp

ii)ext(i rmF

iii rmp

)ext(ii F

dt

pd

i

iiii

m

rm

dt

dmp

cmrdt

dMp

cmrMp

i

iicm

m

rmr

cm)ext( rMdt

pdF

i

iicm

m

rmr

i

iicm

m

rmr

Kecepatan pusat massa

Percepatan pusat massa

Posisi pusat massa

Momentum linier sistem partikel

0F )ext(

P = konstan

cr0r

Hukum kekekalan momentum linier

Partikel Partikel

I Made Padri

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Partikel rm rL

Sistem Partikel

)rm rrm r(dt

Ldiiiiii

)rm r(L iii

0

]F r [dt

Ld)ekt(i

)ekt(iNdt

Ld

0N )ekt(i

0dt

Ld

Hukum kekekalan momentum sudut

tankonsL

cm

cmr

mi

o

ir

vi Z

Y

X

I Made Padri

PENGGUNAAN ACUAN PUSAT MASSA

Momentum linier sistem partikel

ii rmp

o rcm

ri ir

mi

cm

X Y

Z

icmi rrr

iicmiii rmrmrm

0

cmiii rmrm

cmcmii v Mr Mrm

cmv Mp

Momentum linier sistem terhadap acuan O

0vmp ii

Momentum linier sistem terhadap acuan cm

o

Terhadap O

Terhadap O

Terhadap cm

cmii rrr

0r Mrm rm cmiiii

I Made Padri

Momentum sudut sistem partikel )vm r(L iii

icmi rrr

icmi vvv

)vv(m )rr(L icmiicm

)vm r()vm r()vm r()vm r(L iiicmiiiicmcmicm

)vmr()vrm()vm r(vM rL iiicmiiiicmcmcm

0 0

)vm r( )vM r(L iiicmcm

icm LL

cmii vvv

0v Mvm vm cmiiii

cmii rrr

0r Mrm rm cmiiii

Orbitel Spin I Made Padri

)vv(mvmT iii

2

ii2

1

2

1

icmi vvv

)vv()vv(mT icmicmi2

1

2

iiicmi

2

cmi vm)vv(mvmT2

1

2

1

2

iiiicmi

2

cm vmvmvmvT2

1

2

1

2

ii

2

cm vm2

1vM

2

1T

icm TT

Energi kinetik sistem partikel

0

cmii vvv

0v Mvm vm cmiiii

I Made Padri

GERAK INTERAKSI DUA PARTIKEL

21 rrR

Sistem tertutup

1

2

11 r

m

mrR

21

21

1

1mm

mm

m

Rr

22

1

2 rrm

mR

21

21

2

2mm

mm

m

Rr

21

21

mm

mm

1

1m

Rr

2

2m

Rr

Fdt

rdm

2

2

2

2

2

1

2

1dt

Rd

dt

rdm

2

2

2

2

2

2dt

Rd

dt

rdm

R2

2

e)R(ƒdt

Rd

R cm

m1

1r

m2 2r

0mm

rmrmr

21

2211cm

0rmrm 2211

Massa reduksi

I Made Padri

2R

k)R(ƒ GMmk

23

21

a)GM(2τ

R22

2

eR

)Mm(G

dt

Rd

mM

Mm

R22

2

eR

m)mM(G

dt

Rdm

2R

'k)R(ƒ

m)mM(G'k

2

3

2

1

a)'k

m(2τ'

23

21

a)]mM(G[2τ'

CONTOH INTERAKSI MATAHARI DAN PLANET

2

3

2

1

a)k

m(2τ Matahari sebagai acuan :

Pusat massa sebagai acuan :

Dikoreksi

Periodenya :

I Made Padri

TUMBUKAN DUA PARTIKEL

'

2

'

121 pppp

QTTTT '

2

'

121

Q = 0

Q > 0

Q < 0

Elastis

Exoergic

Endoergic

Penambahan / pengurangan energi kinetik

KASUS TUMBUKAN SATU DIMENSI

PADA SAAT TUMBUKAN

0Fext

'

22

'

112211 vmvmvmvm

Qm2

p

m2

p

m2

p

m2

p

2

2'

2

1

2'

1

2

2

2

1

2

1

m1 m2

'

2

'

121 pppp

I Made Padri

m1 m2

v1 v’1 v2 v’

2

m1 = m2

'

22

'

112211 xm xmxmxm

v

'v

xx

xx ε

12

'

1

'

2

21

222121'

1mm

x)εmm(x)εmm(x

21

212111'

2mm

x)εmm(x)εmm(x

)ε1(v2

1Q 22

Koefisien restitusi

0ε Sama sekali tidak elastis

'

2

'

1 xx

Setelah tumbukan kecepatan kedua partikel sama

1ε Elastis sempurna

1

'

2

2

'

1

xx

xx

Setelah tumbukan terjadi pertukaran kecepatan

21

21

mm

mmμ

12 xx v

Q 'T 'TTT 2121

)'TT()'TT(Q 2211

I Made Padri

Lanjutan

a. Acuan koordinat laboratorium

'

2

'

121 pppp

Qm2

p

m2

p

m2

p

m2

p

2

2'

2

1

2'

1

2

2

2

1

2

1

mQ2ppp2'

2

2'

1

2

1

) pp ( ) pp (p p '

2

'

1

'

2

'

111 . .

'

2

'

1

2'

2

2'

1

2

1 p p2ppp .

mQ2p p2 '

2

'

1 .

mQp p '

2

'

1 .

0Q

0p p '

2

'

1 .

m1 1p m2

0p2

m1

m2

'

1p

'

2p

1

2

KASUS TUMBUKAN DUA DIMENSI

0p2

21 mm '

2

'

11 ppp

Elastis sempurna 0

21 90

Setelah tumbukan arah gerak kedua partikel saling tegak lurus I Made Padri

b. Acuan koordinat pusat massa

Qm2

p

m2

p

m2

p

m2

p

2

2'

2

1

2'

1

2

2

2

1

2

1

Q2

p

2

p2'

1

2

1

21

2211cm

mm

vmvmv

21

11cm

mm

vmv

1

121

121 v

mmm

vmv

2

221

212 v

mmm

vmv

Q2

p

2

p2'

2

2

2

0pp 21

21

21

mm

mmμ

0p

Difinisi pusat massa

dan

0v2

cm11 vvv

m1

m1

m2

m2

1v

'

1v

2v'

2v

cm 0pp '

2

'

1

cm22 vvv

I Made Padri

sinvsinv '

11

'

1

cm

'

11

'

1 vcosvcosv

'

1

cm

v

vγ

θcos

θsintan 1

vcm

Diagram vektor kecepatannya

0Q

11 p'p 11 v'v

'

12

11

vm

vm

)mm( 21

1

)2(1

2)(2

Secara umum

21

2

1

2

1 )m

m1(

T

Q1

m

m

21

11cm

mm

vmv

21

121

mm

vmv

Elastis sempurna

12 m m 12 m m

1

'

1v '

1vθ

ф1

Hubungan kedua sudut hamburannya

I Made Padri

Lanjutan

mo ∆m

GERAK BENDA DENGAN MASSA BERUBAH

terhadap m0 u

terhadap pengamat inersial

t

v0

ptFext

)t( total)tt( totalext pptF

)]vu(mvm[)vv)(mm(tF 00000ext

(u + v0)

t

mu

t

v)mm(F 0ext

0t

muvmFext

Gaya gravitasi Gaya dorong Gaya gesekan

(v0+∆v)

(t+∆t)

I Made Padri

mo ∆m

t

vu

mvvmFext

v0 mo

dt

)vm(d

1. Partikel Hujan Bergerak Dalam Kabut

Diam terhadap pengamat inersial

∆t) t

(v0+∆v) mo

muvmFext

v0 mo

(t+∆t)

(v0+∆v) terhadap m0

u

terhadap pengamat

inersial (-u + v0)

I Made Padri

2. Sistem Roket

mm

m

mo ∆m

mo mo -∆m

muvm

0Fext

m

m

v

v 00m

dmuvd

m

mln uvv 0

0

)t( total)tt( totalext pptF

00000ext vm)]vu(m[)vv)(mm(tF

t

mu

t

v)mm(F 0ext

0t

muvmFext

I Made Padri

Lanjutan


BUKU FOWLES :

I Made Padri

Halaman : 187

Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14,

15, 16, 17, 18, 19, 20,

21, 22

ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN BENDA TEGAR ?

APA PERBEDAAN GERAK TRANSLASI DAN GERAK ROTASI ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN PUSAT MASSA BENDA TEGAR

BAGAIMANA PERNYATAAN ENERGI KINETIK DAN MOMENTUM SUDUT

ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?

BAGAIMANA HUBUNGAN ANTARA MOMENTUM SUDUT DAN TORSI

ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?

BAGAIMANA ANALOGI BERPIKIR ANTARA GERAK TRANSLASI DAN

GERAK ROTASI PADA SUMBU TETAP ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN MOMEN KELEMBAMAN ROTASI

BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS AYUNAN BANDUL FISIS ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK LAMINER ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK LAMINER ?

PUSAT MASSA

Sistem partikel

i

iicm

m

rmr

Benda tegar

dm

dmrrcm

dVdm

Benda dua dimensi : Benda satu dimensi :

? )Z ,Y ,(X cmcmcm

dS dV

dL dV

dV

dVrrcm

I Made Padri

Pusat massa kerucut pejal

x

dx

dz

X

Y

Z

h

z

Elemen volume

(dV)

R

dV

dV zzcm

h

0

x

0

zdz xdx 2dz dx x 2 z

4

hRzdz

h2

Rz 2zdz

2

x2

22h

0

2

22h

0

2

dz dx x 2dV h

zRx

h

z

R

xdan

dz dx x 2

dz dx x 2 z

h

0

x

0

dz dx x 2dz dx x 23

hRdz h2

Rz 2dz

2

x 2

2h

0

2

22h

0

2

Maka :

hR

hRZ

2

22

cm

3141

I Made Padri

(dari puncak) hZ4 3

cm

ROTASI PADA SUMBU TETAP

φi ri vi

ω

Z

Y

X

ii rx ωv

iii yjxir

iiii ysinrx

0z i xi

yi

mi

2

i

2

i

2

i yxr

iii cosrx

iii sinry

iiii xcosry

0z i

Lanjutan

MOMEN KELEMBAMAN DAN ENERGI KINETIK

Sistem partikel

2

iirot vm2

1T

rv 22

iirot )rm(2

1T

2

iiz rmI )yx(mI 2

i

2

iiz

)yx(r 2

i

2

i

2

i

Benda tegar

dm rI2

z dm )y(xI22

z

Momen kelembaman terhadap sumbu tetap Z 2

zrot ωI2

1T

Energi kinetik rotasi terhadap sumbu tetap Z I Made Padri

MOMENTUM SUDUT DAN TORSI

Sistem partikel

iii rm xrL

iii yjxir

iii yjxir

ii yx ii xy

0z i

)yx(mL 2

i

2

iiz

2

i

2

i

2

i yxr 2

iiz rmI

ωIL zz

dt

LdN

dt

LdN z

z

Terhadap Sumbu tetap Z

ωIN zz

Iz= konstan

Momentum sudut terhadap sumbu tetap Z

//L

Torsi terhadap sumbu tetap Z

I Made Padri

YAITU UKURAN BESARNYA SIFAT KELEMBAMAN ROTASI SUATU BENDA

RELATIF TERHADAP SUMBU TERTENTU

ANALOGI BERPIKIR ANTARA GERAK TRANSLASI

DAN GERAK ROTASI PADA SUMBU TETAP

Translasi pada sumbu X Rotasi terhadap sumbu Z

Momentum linier

Gaya

Energi kinetik

Momentum sudut

Torsi

Energi kinetik

xx vmp

xvmF

2

xmv2

1T

zz IL

zz IN

2

zI2

1T

Konsep momen kelembaman ( I ) pada gerak rotasi analog dengan konsep massa kelembaman ( m )

pada gerak translasi

I Made Padri

dmrI 2 MkI 2

PERHITUNGAN MOMEM KELEMBAMAN

Dalil Sumbu Tegak

Elemen massa

Jarak tegak lurus elemen

massa ke sumbu rotasi Jarak dari sumbu rotasi ke suatu titik

yang mewakili massa benda

(Jari-jari girasi)

I Made Padri

)yx(mI 2

i

2

iiz

2

iix ymI

2

iiy xmI

yxz III

Benda terletak pada bidang XY

Iz

Iy

Ix

xi

yi mi

zi = 0

ri

Dalil Sumbu Sejajar

ir

cmrir

mi

cm

O

Y

Z

X

)yx(mI 2

i

2

iiz

icmi rrr

2

icm

2

icmiz )yy()xx( mI

iicmiicm

2

cm

2

cmi

2

i

2

iiz ymy2xmx2)yx(m)yx(mI

l

Difinisi pusat massa

0ymxm iiii 2

cm

2

cm

2 yxl

2

cmz mlII I Made Padri

Y

Z

X

Momen kelembaman parallelepiped tegak lurus

dmm dv

dm

V

m

dy a2 h

dm

b2 a2 h

m dy

b2

mdm

dm y dI dI 2

zz ,

dmydm)a2( 22

121

dyb2

mydy

b2

ma 22

31

dyyb2

mdy

b6

ma 22

zz dII

b

a

Z

Y

X

Z’

h

y

dy

dm

m

dyyb2

mdy

b6

mab

b

2

b

b

2

b

b

3b

b

2

3

y

b2

m

b6

ma)y(

332

bbb2

m)bb(

b6

ma31

31

22 ba3

m

I Made Padri

(Dalil sumbu sejajar)

BANDUL FISIS

IN

sin

0I

mgl

0sinI

mgl Isin l mg

I

mgl0

mgl

I20

gl

k2

2

cm

o

O’

l

l’ )tcos( 00

Rotasi di O

Rotasi di O’

22

cm

2 l'kk

'gl

'lk2

22

cm'0

Jika : '00

O’ = pusat osilasi terhadap o

2

cmk'll

mg

2

cm mlII 22

cm

2 mlmkmk 22

cm

2 lkk

gl

lk 2

22

cm0

I Made Padri

EmghI2

1 2 sin

EVT

0

Pada saat apmlitudo maksimum :

0 0T

)cos1(mglE 0

)cos1(mgl)cos1(mglI 0

2

2

1

)cos(cosI

mgl2

dt

d0

0

2/1

0 )cos(cos

d

mgl2

It

)2/sin()k/1()2/sin(

)2/sin(sin

0

2/

0

2/122 sink1

d

mgl

I4

)-(

Hukum kekekalan energi mekanik :

)2

,k(F mgl

I 4

I Made Padri

0

2/122 sink1

d

mgl

It

)-(

)2/(sin21cos 2

Lihat tabel Integral eliptik

Lanjutan

GERAK LAMINER

MENGGELINDING DI ATAS BIDANG MIRING TANPA SLIP

θ mg

mg sinθ

mg cosθ

FN

f R

Persamaan gerak translasi

fcm Fsinmgxm Ncm Fcosmgym

cmy

0ycm

cosmgFN

Persamaan gerak rotasi

IR F cmf

IN

konstan

cmy ymF

cmx xmF

Rx cm

fxR

Icm2

cm

2

cmcm

R

Im

sinmgx

Silinder 2

cm mRI21

singx32

cm

I Made Padri

SYARAT AGAR TIDAK TERJADI SLIP

cosmgFF Nf

fcm Fsinmgxm IR F cmf

cmIR cosmg cosmgsinmgxm cm

2

cmcm k

R cosg

I

R cosmg

)cos(singxcm

0 0x0t cm

Integrasi

tI

R cosmg

cm

t)cos(singxcm

R1

tan

R

kx

2

2

cmcm

Syaratnya : 11tan

R

k2

2

cm

22

cm

kritis

k/R1

tan

Rotasi

Translasi

I Made Padri

Lanjutan



Soal nomor :

I Made Padri

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,

10, 11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20, 21.

ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU SEMBARANG

I Made Padri

BAGAIMANA MOMEN INERSIA, MOMENTUM SUDUT DAN ENERGI KINETIK ROTASI

BENDA TEGAR PADA SUMBU SEMBARANG ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN TENSOR INERSIA ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUMBU PRINSIPEL ?

BAGAIMANA MOMEN INERSIA, ENERGI KINETIK DAN MOMENTUM SUDUT ROTASI

BENDA TEGAR PADA SUMBU PRINSIPEL

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN SUMBU-SUMBU PRINSIPEL

APA YANG DIMAKSUD DENGAN PERSAMAAN EULER’S ?

APAKAH YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK PRESISI

FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI KECEPATAN SUDUT

PADA GERAK ROTASI BEBAS ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN SUDUT-SUDUT EULER’S ?

BAGAIMANA CARA MENGANALISIS ROTASI BENDA TEGAR DENGAN

MENGGUNAKAN SUDUT-SUDUT EULER’S ?

APAKAH YANG DIMAKSUD DENGAN GIROSKOP ?

FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI PADA GIROSKOP ?

2

iiRmI

coscosyxm2-coscosxzm2-

coscoszym2- cos)yx(m

cos)xz(mcos)zy(mI

iiiiii

iii

22

i

2

ii

22

i

2

ii

22

i

2

ii

ROTASI PADA SUMBU SEMBARANG

Momen Inersia dan Produk Inersia

coskcosjcosin

nxrsinrR iiii

coscosy2x- coscosx2z-

coscosz2y-cos)yx(

cos)xz(cos)zy(R

iiii

ii

22

i

2

i

22

i

2

i

22

i

2

i

2

i

Sistem partikel

I Made Padri

iiii zkyjxir

vi

mi

R

ri θi

X Y

Z

ω

α

β

γ

n

coscoscoscosI2coscoscosIcosIcosII xyzxyz

2

zz

2

yy

2

xx

Momen Inersia Terhadap Sumbu Rotasi Sembarang ( )

)zy(mI 2

i

2

iixx

)xz(mI 2

i

2

iiyy

)yx(mI 2

i

2

iizz

iiixy yxmI

iiiyz zymI

iiizx xzmI

Momen inersia terhadap

Sumbu X, Y dan Z

Produk inersia terhadap

Sumbu XY, YZ dan ZX

Benda tegar

dm)zy(I 22

xx

dm)xz(I 22

yy

dm)yx(I 22

zz

xydmIxy

yzdmIyz

zxdmIzx

Sistem partikel

Sistem partikel Benda tegar

I Made Padri

Lanjutan

Momentum Sudut

)vm xr(L iii

ii rxv

)rx( xrm[L iii

iiii zkyjxir

zyx kji

iiziiy

2

i

2

ixxii zxyx)zy()rx(xr

iiiziiiy

2

i

2

iixx zxmyxm)zy(mL

iiixiiiz

2

i

2

iiyy xymzym)xz(mL

iiiyiiix

2

i

2

iizz yzmxzm)yx(mL

zyx LkLjLiL ˆˆˆ

zxzyxyxxx II I

xyxzyzyyy III

yzyxzxzzz III

iixiiz

2

i

2

iyyii xyzy)xz()rx(xr

iiyiix

2

i

2

izzii yzxz)yx()rx(xr

I Made Padri

Energi Kinetik Rotasi

iiirot vvmT21

ii rxv

iiirot vm)rx(T21

CxBAC)BxA(

)vm x r(T iiirot 21

)vm xr(L iii

)LLL(LT zzyyxxrot 21

21

zxzyxyxxxx IIIL

zyzyyyxyxy IIIL

zzzyzyxzxz IIIL

)I2I2I2III(T zyyzzxxzyxxy

2

zzz

2

yyy

2

xxxrot 21

I Made Padri

Tensor Inersia

zyx LkLjLiL

)LLL(T zzyyxxrot 21

zxzyxyxxxx II I L

xyxzyzyyyy III L

yzyxzxzzzz III L

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

III

III

III

L

L

L

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxrot

III

III

III

2

1T

ω IL ~~

ω I ω2

1T

T ~

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

Tensor Inersia

I Made Padri

245coscosx

0

1

1

2

~

0112

T

dm)zy(I 22

xx dxdyy2 a

0

a

0

2 dxdyy4a

3

1

2

yyxxzz ma3

2I II

dmxyIxy dxdy y x

a

0

a

0

ydyxdx 4a4

1 2ma

4

1

0II yzxz

Contoh :

245coscosy

090coscosz

dy dx dm 2a m

Plat tipis homogen (z = 0)

α

β

γ

a

a

ω

X

Y

Z

dm)zx(I 22

yy dxdyx2 a

0

a

0

2 dydxx4a

3

1 2ma

3

1

coscosI2coscosI2coscoscoscosIcosII yzxzxy

2

zz

2

yy

2

xx

coscoscoscosI xy

2

yy

2

xx

222222 ma12

1)

2

1( )

2

1( )ma

4

1(2)

2

1(ma

3

1)

2

1(ma

3

1

I Made Padri

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

3ma200

03

ma4

ma

04

ma3

ma

2

22

22

~ IL~

0

1

1

2

800

043

034

12

ma 2

0 0 0

043

0 3 4

212

ma 2

0

1

1

212

ma 2

zyx LkLjLiL

0

212

maj

212

mai

22

22

2

)1()1(212

maL

2ma12

1

~ I 2

1T T

R

0

1

1

2

000

043

034

12

ma 011

22

1 2

0 0 0

043

0 3 4

011 48

ma

22

0

1

1

011 48

ma

22

)]011[(48

ma 22

22ma

24

1

I Made Padri

Lanjutan

SUMBU PRINSIPEL SUMBU ROTASI PADA SUATU BENDA YANG MENGHASILKAN PRODUK INERSIA NOL

2

3

2

2

2

1 cosIcosIcosII

333222111 IeIeIeL

)III(T2

33

2

22

2

11R 2

1

Berotasi bersama benda (tidak inersial) 0III yzxzxy

1xx II

2yy II

3zz II

1x

2y

3z

1ei

2ej

3ek

Momen prinsipel

I Made Padri

Momen inersia, momentum sudut dan enegi kinetik rotasi

terhadap sumbu prinsipel

Bagaimana cara menentukah Subu-sumbu

Prinsipel

?

a. Jika Salah Satu Sumbu Prisipel Diketahui (Z) 0II yzxz

Dua sumbu prinsipel lainnya Berada pada bidang XY

pII

pIL

xpyxyxxxx IIIL ypyyyxxyy IIIL 0Lz

yyxx

xy

II

I22tan

Sudut antara sumbu prinsipel

terhadap sumbu X adalah θ

x

ytan

pxyxx ItanII tanItanII pyyxxy

)1(tanItan)II( 2

xyxxyy

)tan1(

tan22tan

2

I Made Padri

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

3ma2

3ma

4ma

4ma

3ma

2

22

22

00

0

0

Sumbu Z adalah salah satu sumbu prinsipel

0I

0I

zy

zx

Telah diperoleh bahwa

3

ma

3

ma

)4

ma(2

22

2

2cos

2sin02cos

2

3 ;

22

oo 135dan 45

Dua sumbu prinsipel lainnya berada di bidang (XY)

membentuk sudut θ terhadap sumbu (X)

45

135

ω

X

Y

3

1

2 a

a

yyxx

xy

II

I22tan

Contoh :

Z

I Made Padri

b. Dengan Cara Diagonalisasi

3ma2

3ma

4ma

4ma

3ma

2

22

2

00

0

0

I

0

)(00

0)(ma

0)(

3ma2

3ma2

41

4ma

3ma

2

2

22

Sehingga :

3

2

1

I00

0I0

00I

I

32

127

121

2

00

00

00

ma

0])4/ma(})3/ma[{( ])3/ma2[( 22222

0])3/ma2[( 2

)3/a m2( 2

3

0)4/ma()])3/ma[( 2222

)4/ma()3/ma( 22

)4/ma()3/ma( 22

)12/ma( 2

1 dan )12/ma7( 2

2

I Made Padri

Terhadap sumbu prinsipel //L

~ ~ IL~

cos

cos

cos

cos

cos

cos

III

III

III

L

L

L

3

2

1

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

cos

cos

cos

cosIcosIcosI

cosIcosIcosI

cosIcosIcosI

3

2

1

zzzyzx

yzyyxy

xzxyxx

Karena ω ≠ 0, maka : 0

cos)I(cosIcosI

cosIcos)I(cosI

cosIcosIcos)I(

3zzzyzx

yz2yyyx

xzxy1xx

I Made Padri

Lanjutan

Sumbu Z salah satu sumbu prinsipel

2

Cos γ = 0

0II yzxz

Maka : 0cosIcos)I( xy1xx

0cos)I(cosI 2yyyx

0cos)4

ma(cos)

12

ma

3

ma(

222

cos4

macos

12

ma3 22

coscos

Karena : 1coscoscos 222

Maka : 1coscos 22

1cos2 2

)2/1(cos 00 135 ;45

I Made Padri

Lanjutan

L x )dt

Ld()

dt

Ld( Rotfix

L x )dt

Ld(N Rot

PERSAMAAN EULER’S

dt

LdN

Acuan sumbu prinsipel (tidak inersial)

332211

321

321

321

321

321

III

eee

LLL

eee

L

0321

)II(N 23321

)II(N 31132

)II(N 12213

032

0NNN 321

Berotasi pada sumbu tetap dengan ω kostan, diperlukan torsi ekternal

c

111 )Lx (LN

222 )Lx (LN

333 )Lx (LN

)II(IN 2332111

)II(IN 3113222

)II(IN 1221333

1

Berotasi pada sumbuprinsipel dengan ω konstan, tidak diperlukan torsi ekternal

Komponen torsi pada sumbu prinsipel (persamaan Euler’s)

I Made Padri

0NNN 321 S3 II III 21

0)II(I S321 0)II(I S132

0I 3s

011

012

3S

I

II

tcos01 tsin02

cos)1I

I( S

Persamaan Euler’s

3 = konstan

01

2

1

01

2

2

ROTASI BEBAS

I Made Padri

3

0

o

3

2

1

Body cone

Frekuensi presisi terhadap sumbu simetri

Frekuensi presisi

Untuk menyatakan orientasi benda di dalam ruang

X X’

Y

Z

Z’ ω L

1

2 Y’

3

o φ Ψ

α

sinΨecosΨe'i 21

cosΨesinΨe'j 21

3e'k

sinθ'jcosθ'kk

Untuk perputaran kecil di sekitar :

3eΨk'iθω

'i dθ

k d

3e dΨ

SUDUT EULER’S

( θ, φ, Ψ )

I Made Padri

θ

)cos(e)sincossin(e

)sinsincosθ(eω

32

1

sinsinθcosψθω1

sinψθcossinθω2

cos3

)cos('ksin'j'i

'x

sin'y

cos'z

Karena :

= Vektor rotasi (1, 2, 3) terhadap (X, Y, Z) ' = Vektor rotasi (X’, Y’, Z’) terhadap (X, Y, Z)

= Vektor rotasi (1, 2, 3) terhadap (X’, Y’, Z’)

Maka :

'

k)cos('ksin'j'i'

cos'ksin'j'i'

'x'

sin' 'y

cos' 'z

)Z',Y',(X' pada' Komponen

(1,2,3)sumbu padaKomponen

)Z',Y',(X'sumbu pada Komponen

I Made Padri

Lanjutan

UNTUK KASUS : )0N(

CL

(Pada sumbu Z) III 21

s3 II Dari gambar diperoleh :

0L 'x

sinLL 'y

cosLL 'z

0'x

sin'y

cos'z

tanL

L

'z

'y

tanI

Itan

s

sinIL 'y

cosIL s'z

IIs L

Terletak antara

dan sumbu simetri Z’ Benda pipih :

dan sumbu utama 3 sebagai sumbu simetri

tanII

L

L

z'z

'y

IIs L

Terletak antara

dan sumbu simetri Z’ Benda panjang :

ω L Z’

Y’ Body cone

Space cone

Y’

ω L Z’ Space cone

Body cone

I Made Padri

sin'y

sin'y

sin

sin 2

1

2

2

2

s ]cos)1I

I(1[

Torsi gaya gravitasi

GIROSKOP

sin l mgN x'

0N y'

0N z'

'x

sin'y

cos'z

IIL 'x'x'x'x

sinIIL 'y'y'y'y

SI)cosIIL s3'z'z'z'x (

Pada kasus tersebut sumbu simetri Z’ berpresisi terhadap dan dalam waktu yang sama berpresisi terhadap dengan frekuensi :

L

mg l

θ

IL

Z

Y’ Z’

Y

Z’

Z

Y’

Y

X X’

2

3

φ Ψ

θ

I Made Padri

1

Lanjutan

L x ')dt

Ld(N rot

sincosIsinsIIsinmgl 2

s

cosIsIsindt

dI0 s

sI0 s konstan sIL sz '

konstancossIsinI s

2

cdan 90o 0

sImgl sdt

ldN

sI

mgl

s

)90(tidak tankons o 0

cosIsImgl s

cosI2

)cosI mgl4sI(sI 2

1

22

ss

cosI mgl 4sI 22

s

0

I mgl 4sI 22

s

Keadan kusus dari penyataan umum

Fast dan slow precession hanya mungkin jika :

Steady precession

Sleeping top :

I Made Padri

Lanjutan



I Made Padri

Soal nomor : 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 16, 17, 19, 20, 21, 22

MEKANIKA LAGRANGE

I Made Padri

APA YANG DIMAKSUD DENGAN MEKANIKA LAGRANGE’S ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN KOORDINAT UMUM ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN SISTEM HOLONOMIK ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA UMUM ?

BAGAIMANA BENTUK UMUM PERSAMAAN LAGRANGE’S ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN FUNGSI LAGRANGE’S ?

BAGAIMANA BENTUK PERSAMAAN LAGRANGE’S DALAM MEDAN

KONSERVATIF ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN MOMENTUM UMUM ?

APA YANG DIMAKSUD DENGAN FUNGSI HAMILTON ?

BAGAIMANA BENTUK PERSAMAAN KANONIK HAMILTON ?

BAGAIMANA CARA MEMPEROLEH PERSAMAAN GERAK SUATU SISTEM

MEKANIK DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LAGRANGE’S DAN

HAMILTON ?

Konfigurasi sistem

KOORDINAT UMUM

DK=3N DK=3

N partikel 1 partikel Terkendala

DK<3N DK<3

f kendala

Ada (3N-f) variabel independen (koordinat umum) yang dapat

dipakai untuk menyatakan konfigurasi suatu sistem

qk=q1,q2,q3,………..…q(3N-f)

Dengan k = 1,2,3,……(3N-f)

Bebas Bebas

Kendala holonomik

Kendala tidak holonomik

DK=koordinat umum DK< koordinat umum

Mekanika Lagrange Memformulasikan

suatu sistem I Made Padri

DK=3N-f

KOORDINAT KARTESIAN

SEBAGAI FUNGSI DARI KOORDINAT UMUM

Andaikan terjadi perubahan q dari (q1, q2, . . . . . .) menjadi (q1 + δ1, q2 + δ2, . . . . . .)

maka perubahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian adalah :

x = x (q) (satu dimensi) = 1 dk

x = x (q1, q2)

y = y (q1, q2) (dua dimensi) = 2 dk

x = x (q1, q2, q3)

y = y (q1, q2, q3)

z = z (q1, q2, q3)

(tiga dimensi) = 3 dk

......qq

xq

q

xx 2

2

1

1

......q

q

yq

q

yy 2

2

1

1

......q

q

zq

q

zz 2

2

1

1

Untuk sebuah partikel :

Contoh : Sebuah partikel bergerak dalam bidang

Dalam koordinat polar (r, ) 21 qdan rq

Dengan : sinr),r(yydan cosr),r(xx

Perubahan (x, y) yang berkaitan dengan variasi (r, ) adalah :

sinrrcos

xr

r

xx

cosrrsin

yr

r

yy

r

cosrsin

sinrcos

y

x

I Made Padri

GAYA UMUM Usaha : rFW

zzyyxx FFF

i = 1, 2, 3 untuk satu partikel

i = 1, 2, . . ., 3N untuk N partikel

i

xi iFW

k

k

k

ix q

q

xi

k

k i k

ii q

q

xFW

i

kk q QW

i k

iik

q

xFQ

Gaya umum

Medan konservatif

i

ix

vF

i k

i

i

kq

x

x

vQ

k

kq

vQ

Banyak partikel

n

1k

k

k

ii q

q

xx

n

1k

k

k

ii q

q

yy

n

1k

k

k

iz q

q

zi

dk = n, koordinat umum (q1, q2, q3, ……qn)

Perubahan konfigurasi dari (q1, q2, . . . qn) menjadi (q1 + δ1, q2 + δ2, . . . qn+ δqn)

Partikel (i) bergerak dari titik (xi, yi, zi) ke (xi+δxi, yi+δyi, zi+ δzi )

Perubahan yang berkaiatan dengan koordinat kartesian adalah :

I Made Padri

Lanjutan

PERSAMAAN LAGRANGE’S

N

1i

2

i

2

i

2

ii zyxmT2

1 2

i

N3

1i2

1 x m T

Dengan : t,.q . . . ,q ,qxx n21ii

t

xq

q

xx i

k

k

k

ii

k

i

k

i

q

x

q

x

k

k

k q

TQ

q

T

dt

d

Persamaan Lagrange’s tentang gerak

ix Tidak f(t) 0t

x i

k

ii

k

ii

q

xx

dt

d

q

xx

dt

d

k

ii

k

ii

k

ii

q

xx

q

xx

q

xx

dt

d

iii xmF

2

xm

qq

xxm

2

xm

qdt

d 2

ii

kk

iii

2

ii

k

Hukum Newton :

Energi Kinetik :

I Made Padri

k

kkq

V'QQ

Fungsi Lagrange’s

L = T - V T dan V dalam koordinat umum

kkk q

V

q

T

q

L

kk q

T

q

L

kk q

L

q

L

dt

d

gaya umum tidak konservatif

k

k

k q

L'Q

q

L

dt

d

Gaya umum konservatif k

kq

VQ

kkk q

V

q

T

q

T

dt

d

V Tidak )q(f k

0q

V

k

kkk q

V

q

T

q

L

I Made Padri

Lanjutan

Contoh :

1 Bandul sederhana

L

m L(1-cosθ)

X

Y

Koordinat umum : q =

Energi kinetik : 22mLT2

1

Energi potensial : )cos1(mgLV

Fungsi Lagrange : VTL

)cos1(mglmlL 22

2

1

2mlL

sinmgl

L dan

LL

dt

d sinmglml

dt

d 2

sinmglml2 0sinl

g

I Made Padri

2 Gerak Partikel yang dipengaruhi gaya sentral

Koordinat umum : q1 = r dan q2 =

Energi kinetik : 2222 rrmmvT2

1

2

1

Energi potensial : )r(VV

Fungsi Lagrange : )r(VrrmVTL 2222

1

2mrL

0L

dan

rmr

L

)r(Fmr)r(V

rmr

r

L 22

dan

r

L

r

L

dt

d

LL

dt

d

)r(Fmrrmdt

d 2

)r(Frrm 2

0mrdt

d 2

tankonsmr2

hr2 I Made Padri

MOMENTUM UMUM

x mP 2x mT

2

1

x

TP

k

kq

VLP

VTL

k

kq

LP

0

q

L

q

L

dt

d

kk

kqVV

0q

V

k

0q

LP

dt

d

k

k

k

kq

LP

0q

LP

q

konstan P

Ignorable koordinat

Momentum umum

Untuk sistem konservatif

kqx

I Made Padri

FUNGSI DAN PERSAMAAN HAMILTON

LpqH kk

)q(V)q,q(TL kkk

kk q

T

q

L

k

kkkq

Lqpq

k

k

k

k

k

qq

Hp

p

HH

VTT2LT2H

VTH

Fungsi Hamilton

Lq ,pqpq ,pH kkkkkk

k

k

kkkkk qq

Lq

q

LpqqpH

kkkkkkkk qpqppqqpH

kkkk qppqH

k

k

qp

H

k

k

pq

H

Persamaan KanonikHamilton

dan

k

kkkq

Tqpq

Teorema Euler untuk fungsi homogen

T2pq kk

I Made Padri

kk q ,pH

Contoh : Pesawat Atwood

M2

(L-x)

M1

x

a

Panjang tali : L

Koordinat umum : q = X

Energi kinetik :

Energi Potensial :

Fungsi Hamilton : H = T + V

2

22

2

2

1 axIxmxmT

2

1

2

1

2

1

)xL(gmgxmV 21

)xL(gmgxmaxIxmxmH 21

2

2

2

1 2

2

2

1

2

1

2

1

xpx

H

x21 pgmgm

xpx

T

x221 pa

xIxmxm

x221 pa

xIxmxm

Maka :

gmgm 21 221a

xIxmxm

)a/(I(mm

gmmX

2

21

21

I Made Padri



Soal nomor : 1, 2, 3, 5, 6, 14, 19.

I Made Padri

Buku Sumber

I Made Padri

FI.394

Alonso Marselo, Finn. J. Edward, (1973), Fundamental University

Physics I (Mechanics), Addison-Wesly Publishing Company,

Massachusetts

Arya, P. A, (1990), Introduction to Classicval Mechanics, Printice Hall

Publishing, New Jersey

Barger Vernon, Olson Martin, (1995), Classical Mechanics a

Modern Perspective, McGaw-Hill, New York

Fowles. R. Grant, (1986), Analytical Mechanics, Sounders College

Publishing, Philadelphia

Symon. R. Keith, (1961), Mechanics, Addison-Wesley Publishing

Company, Massachusetts

Spiegel, R. Murray, (1982), Theoritical Mechanics, McGraw-Hill, New

York

handout mekanika 2013 (i made padri)

Documents