1

MAKALAH

GEOMETRI TRANSFORMASI

MEMBAHAS TENTANG GESERAN (TRANSLASI)

Kelompok VI (Enam) DENGAN PERSONIL :

1. AYEN ARAVAH NPM : ( ) 2. FIRMAN NPM : ( ) 3. IDA AJENG NPM : ( ) 4. RIKA ARIYANI NPM : ( ) 5. SEB ARIZON NPM : ( ) 6. TRI HELENZA NPM : ( )

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU TAHUN AKADEMIK 2009/2010

KATA PENGANTAR

2

Segala puji kehadirat Allah S.W.T. atas berkat rahmat dan karunia-Nya penyaji

dapat menyelesaikan makalah Geometri Transformasi dengan pokok pembahasan mengenai

Geseran (Translasi). Dalam penyusunan makalah ini telah dirasakan oleh penyaji bahwa

penyusunannya begitu berat karena waktu yang singkat dengan teorema-teorema yang

semuanya harus dibuktikan sehingga memerlukan banyak waktu. Tapi meskipun demikian

penyaji dapat juga menyelesaikan tugas tepat pada waktunya. Waktu yang singkat dan

kurangnya pemahaman penyaji pada teorema-teorema dalam makalah ini tentu akan

mengakibatkan banyaknya kekurangan dan kesalahan dalam isi dan penyusunannya. Untuk

itu diharapkan kritik dan saran rekan-rekan sekalian sebagai perbaikan di kemudian hari.

Lubuklinggau, Mei 2010

(Kelompok VI)

DAFTAR ISI

3

x

Gambar 10.1

h

C

"B B

A

y

"A

g

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………... i

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………. ii

DAFTAR ISI ………………………………………………………………………… iii

GESERAN (TRANSLASI)

10.1. KETENTUAN DAN SIFAT-SIFAT ………………………………….. 1

- Teorema 10.1 ………………………………………………………. 1

- Teorema 10.2 ………………………………………………………. 1

- Teorema 10.3 ………………………………………………………. 2

- Teorema 10.4 ………………………………………………………. 3

10.2. HASILKALI GESERAN ……………………………………………... 3

- Teorema 10.5 ………………………………………………………. 3

- Teorema 10.6 ………………………………………………………. 4

- Teorema 10.7 ………………………………………………………. 5

- Teorema 10.8 ………………………………………………………. 5

GESERAN (TRANSLASI) 10.1. Ketentuan dan Sifat-sifat Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka "" BBAA = dengan )(" AMMA gh= dan ).(" BMMB gh=

Bukti : Kita pilih sebuah system koordinat dengan g sebagai sumbu –y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu-x (gambar 10.1). Andaikan ),( 21 aaA = dan ).,( 21 bbB = Jika N tengah-tengah ruas garis BA" maka harus

dibuktikan ")( BAS N = . Andaikan persamaan h adalah ),0(≠= kx apabila ),( yxP = dan

)(' PMP h= maka 'PP memotong h di sebuah titik ),( ykQ = dengan Q sebagai titik tengah

'PP , jadi ),2()(' yxkPMP h −== sedangkan ),()( yxPM g −= .

Jadi, [ ] ),2(),()( yxkyxMPMM hgh +=−=

Jadi pula ),2()( 21" aaxAMMA gh +== dan ),2()( 21

" bbxBMMB gh +==

Oleh karena N titik tengah BA" , maka

4

B

A h

D

C”

C P”

g P

+++=

2,

2

)2( 2211 babakN

Sedangkan

−

+−

++= 2

22,1

11

22

2

22)( a

baa

bakASN

Atau "),2()( 21 BbbkAS N =+=

Dengan demikian maka "" BBAA = .

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB

Sehingga setiap titik P pada bidang menjadi 'P dengan ')( PPG = dan .' ABPP =

Teorema 10.2 : Apabila CDAB = maka CDAB GG =

Bukti : Jika x sebarang, maka harus dibuktikan )()( XGXG CDAB = .

Andaikan 1)( XXGAB = dan 2)( XXGCD =

Jadi ABXX =1 dan CDXX =2

Karena CDAB = maka 21 XXXX = ini berarti bahwa 21 XX = sehingga CDAB GG = .

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah

tegak lurus pada g denga gC ∈ dan hD ∈ . Apabila CDAB 2= maka ghAB MMG = .

Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika )(' PGP AB= dan ),(" PMMP gh= maka

harus dibuktikan bahwa ".' PP = )(" CMMC gh=

Menurut ketentuan geseran, ABPP =' . Oleh karena CDAB 2= , maka CDPP 2' = . Berhubung ,),(" gCCMMC gh ∈= maka )(" CMC h= .

Jadi D adalah titik tengah "CC sehingga CDCC 2" = . Oleh karena

)1.10("" teoremaPPCC = , maka CDPP 2" = 'PP=

Ini berarti bahwa ".' PP = jadi ).()( PMMPG ghAB =

Karena P sebarang, maka ghAB MMG = .

Catatan :

Gambar 10.2

5

m

D

C

B

A

g

A

g

B

h n

M

1) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran ABG dapat ditulis

sebagai hasil kali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak AB2

1 .

2) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g, h dan n tiga garis yang

masing-masing tegak lurus di A, di M, dan di B pada AB maka

hnghAB MMMMG == .

3) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi, sedangkan

suatu refleksi adalah suatu transformasi, maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri disebabkan karena suatu refleksi adalah suatu isometri. Lagi pula suatu geseran adalah suatu isometri langsung sebab setiap refleksi adalah suatu isometri lawan.

Teorema 10.4 : Jika ABG sebuah geseran maka BAAB GG =−1)( . Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupaka grup bagian dari grup transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan 1)( −

ABG (gambar 10.3). Dari uraian di atas diperoleh : hnghAB MMMMG ==

Sedangkan hgnhBA MMMMG ==

Sehingga BAnhnhhnAB GMMMMMMG === −−−− 1111 )()(

Jadi BAAB GG =−1)( . 10.2. Hasil Kali Geseran Teorema 10.5 : Jika ABG sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga

CDAB 2= maka CDAB SSG = .

Bukti : Andaikan ,CDg = gk ⊥ di c, gm ⊥ di D (gambar 10.4)

Gambar 10.3

6

k

C

B

A

D

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena CDAB 2= Maka kmAB MMG = sedangkan gmD MMS = dan kgC MMS = .

Jadi : kggmkggmCD MMMMMMMMSS )())(( ==

Atau kmkmCD MMIMMSS == .

Dengan demikian maka

CDAB SSG =

Teorema 10.6 : Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Bukti : Andaikan ABG suatu geseran dan C sebuah titik sebarang.

Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga ABCE = . Andaikan D titik tengah CE maka

CDCE 2= ;menurut teorema 10.5 CDAB SSG =

Jadi )()( CCDCCSCAB SSSSSSSG ==

Akibat : Andaikan BA SS , dan CS masing-masing setengah putaran, maka DAEC SSSS =

dengan D sebuah titik sehingga BCAD = . Bukti : Kita peroleh berturut-turut : ZBCBC GSS = . JADI AZBCACC SGSSS = .

Andaikan XAZBC SSG = maka AXBC 22 = atau AXBC =

Jadi DABC SSSS = sehingga ADBC = .

Perhatikan dua geseran ABG dan BCG , maka BAGBC =)( dan CBGBC =)( , sehingga dapat

kita tulis bahwa )7.10()( gambarCAGG ABBC = .

Gambar 10.4

Gambar 10.6

7

A R P

Q

E”

E’

E

C

B

Apabila E titik sebarang, maka ')( EEGAB = dengan ABEE =' sedangkan ")'( EEGBC =

sehingga BCEE ="' .

Maka ")( EEGG ABBC = dengan ACEE ="

Sehingga )(")(" EGEEG ACEE== . Jadi ACABBC GGG = .

Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut. Dengan menggunakan teorema 10.6 :

Andaikan QP, dua titik sehingga ABPQ =2 dan titik R sehingga 2 BCQR = maka

PQAB SSG = dan QRBC SSG =

Sehingga QRPQQRABBC SSSSSSGG == ))((

Oleh karena 2 ACPR = maka ACPR GSS =

Jadi ACABBC GGG =

Dengan demikian terbukti teorema berikut : Teorema 10.7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

Catatan : Apabila BACD = maka IGGGG BAABCDAB == . Di sini I adalah transformasi

identitas. Jadi : Kalau BACD = maka kalau I dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku. Teorema 10.8 : Jika OAG sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan

A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai ),()( byaxPT ++= maka OAGT = .

Bukti : Untuk ),,( yxP = ),()( byaxPT ++= . Andaikan )(' PGP OA= maka OAPP ='

sehingga ),()0,0(' byaxbyaxP ++=−+−+= . Jadi VPPGPT OA ∈∀= ),()( . Ini berarti

TGOA = .

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10.7 perhatikan dua translasi

EFG dan KHG . Andaikan ),( baA = dan ),( dcB = dua titik sehingga EFOA = dan

KHOB = maka apabila ),( yxP titik sebarang, diperoleh ),,()()( byaxPGPG OAEF ++==

dan ),()()( dycxPGPG OBKH ++== maka

)],[()()( byaxGPGGPGG OBOAOBEFKH ++== ))(),(())(,)(( dbycaxdbycax +++=++++=

Ini berarti bahwa EFKH GG adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik ).,( dbca ++

Gambar 10.7

8

Contoh 1 : Andaikan ABG suatu translasi yang membawa titik A(2,3) ke titik B(4,1) dan

CDG suatu translasi yang membawa titik C(-3,4) ke titik D(0,3). Jika P(x,y) tentukan

).(PGG ABCD

Jawab : Andaikan )0(' ABGO = dan )0(" CDGO = maka AB='00 dan CD="00 . Jadi

).1,3()430,300('0 −=−+++=

Jadi )2,2()( −+= yxPGAB dan )1,3()( −+= yxPGCD sehingga

)3,5()12,32()]2,2[()( −+=−−++=−+= yxyxyxGPGG CDABCD .

DAFTAR PUSTAKA Rawuh , 1992, Geometri Transformasi, Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan.

9

A

B

A

B C

)(CG AB

g h

A B ghAB MMG =

g h

CA

B ghAB MMG =

g h

A B

Contoh Soal : 1. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris.

a) Lukislah )(AGAB dan )(BGAB . b) Lukislah )(CGAB c) Lukislah garis-garis g dan h dengan gA ∈ dan ghAB MMG =

d) Lukislah g dan h sehingga gC ∈ dan ghAB MMG =

Jawab: a) b) c) c)

2. Diketahui titik-titik A dan B dan garis g sehingga ABg ⊥ . Lukislah a) garis h sehingga ABgh GMM =

b) garis k sehingga ABkg GMM =

c) garis m sehingga )(' mGm AB= d) titik C sehingga BCGAB =)( Jawab : a)

10

A B

k g

m

B A

)(' mGm AB=

B C B BCGAB =)(

g

B A

h

g h

A Z C

ZAChg GMM = C

b)

c)

d)

3. diketahui garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.

a) Lukislah titik B sehingga ABgh GMM =

b) Lukislah titik C sehingga ZAChg GMM =

Jawab : a)

b)

11

A

P g

B D

C

A

B

P

D

C

)(PGG ABCD

A

B

C

D

P

)( PGG BACD

4. Diketahui titik-titik A, B, C, D, P dan garis g seperti pada gambar.

Lukislah : a) )(PGG ABCD

b) )(PGG BACD Jawab : a)

b) 5. Nyatakanlah P dan R dalam bentuk yang paling sederhana.

a) RPGG CDAB =)(

b) RPGS BCA =)( Jawab : a) Misal QPGCD =)(

maka RQGAB =)( b) Misal QPGBC =)(

maka RQS A =)(