gelombang elektromagnetik -...
TRANSCRIPT
Mata Kuliah GELOMBANG-OPTIKTopik 6
GELOMBANG GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
Dosen Mata KuliahDosen Mata KuliahDosen Mata KuliahDosen Mata Kuliah
Andhy Setiawan, M.Si
Menu Utama
Pendahuluan
Persamaan MaxwellPersamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik
Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Transversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Pandu Gelombang
ElektromagnetikHukum SnelliusPersamaan Fresnel
Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat
Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial
Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar melalui vakum.
A. PENDAHULUANA. PENDAHULUANA. PENDAHULUANA. PENDAHULUAN
melalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.
B. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medanPersamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun sumber arus. sumber arus.
Persamaan-persamaan Maxwell
0. =∇ E
VakumMedium
D ρ=∇→
.1.
0. =∇ B
0. =∇ E
t
BxE
∂∂−=∇
bD ρ=∇.
0. =∇ B
t
BxE
∂∂−=∇
1.
2.
3.
t
ExB o ∂
∂=∇ 0εµ4.
Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing persamaan di atas
Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa: “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.”dilingkupi permukaan tersebut.”Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
∫ ∑=∧→
o
qdAnE
ε.
.
∫ ∫=∧→
dqdAnEε1
..
∫ ∫= dqdAnEoε
.
∫ ∫=•∧→
dVdAnEo
ρε1.
( )∫ ∫ +=∧→
dVdAnE bfo
ρρε1
..
( )∫ ∫ +•∇−=•∧→
dVPdAnE bo
ρε
r1.
Dari teorema divergensi ∫∫∧→ r.
∫ ∫=
•∇+
•∇→→
dVdvPE bo ρε
( )∫ ∫ +•∇−=•∇ dVPdVE bo
ρε
rr 1
Dari teorema divergensi ∫∫ •∇=•∧→
dVEdAnEr.
DEPEo ==+→→→
εε
bD ρ=•∇→
Persamaan Maxwell (1) dalam Medium
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka 0=ρ sehingga:
ερbE=•∇
r
0εE=•∇
0=•∇→E
Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatanPersamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatan
Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”
Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapatdituliskan dalam bentuk integral:
∫ ==∧→
0. dAnBBφ
Dari teorema divergensi dVBdAnB∫ ∫→∧→
∇= .. makaDari teorema divergensi dVBdAnB∫ ∫→∧→
∇= .. maka
∫ =∇→
0.BdV
0. =∇→B Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum
Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.”
Secara matematis dituliskan:
t∂∂−= φε ∫
∧→= dAnB.φdengan
t∂−=ε
dAnBt
dlE∧→→
∫∫ ∂∂−= ..
Dari teorema Stokes ∫ ∫∧→→
∇= dAnExdlE ..
∫= dAnB.φdengan
karena dlE.∫→
=ε maka
Dari teorema Stokes ∫ ∫∇= dAnExdlE ..
∫∫∧→∧→
∂∂−=∇ dAnBt
dAnEx ..
t
BEx
∂∂−=∇
→→ Persamaan Maxwell (3) dalam medium
Dan vakum.
Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere:
∫ =→
IdlB µ.
∫ = IdlH .
dAnJJdlH ..∧
∫ ∫
+=rr
→→
= HB
µdAnJI ∫
→∧
= .dengan
fb JJJ→→→
+=
;
dan
dAnJJdlH fb ..∧
∫ ∫
+=rr
( ) dAnt
EJdAnxH b ..
∧
→→
∧
∫∫
∂∂+=∇ ε
t
EJxH b
∂∂+=∇
→→
ε
t
DJxH b
∂∂+=∇
→→
Persamaan Maxwell (4) dalam medium
IdlB 0. µ=∫→
dAnBxldB∧→→
∫∫ ∇= ..r
→→∧→
Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:
Dari teorema Stokes maka
dAnJdAnBx→→∧→
∫∫ =∇ .. 0µ→→
=∇ JBx 0µ
t
EBx
∂∂=∇
→→
00εµ Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,Tanpa sumber muatanTanpa sumber muatan
→
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Dari persamaan Maxwell (3):
t
BE
∂∂−=×∇
→→
×∇
∂∂−=
×∇×∇→→BE
Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan operasi rotasi, maka:
×∇∂
−=
×∇×∇ Bt
E
→→→∇−
∇∇=
×∇×∇ EEE 2.
Dari vektor identitas
×∇∂∂−=∇−
∇∇→→→B
tEE 2.
2∂→
Maka:
Dengan 0. =∇→E
t
EB
∂∂=×∇
→→
00εµdan sehingga
02
2
002 =
∂∂−∇
→→
t
EE εµ2
2
002
t
EE
∂∂=∇
→→
εµ
2
2
002
t
EE
∂∂−=∇−
→→
εµt∂
1 22 =∂−∇
→→ E
dengan 00
1
εµ=c
01
222 =
∂∂−∇
→
t
E
cE
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
xEtczyx
1 2222 ∂∂∂∂ →
Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk diferensial:
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
yEtczyx
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
zEtczyx
Solusi paling sederhana:Solusi paling sederhana:
( ) ( )tkzEtzE ω−=→→
cos, 0
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (4):
t
ExB o ∂
∂=∇ 0εµ
Dengan operasi rotasi:
(t
EBB
∂×∇∂=∇−
∇∇→
→→ ). 00
2 εµ
t
EB
∂×∇∂=
×∇×∇→
→ )(00εµ
Dengan operasi rotasi:
→→→∇−
∇∇=
×∇×∇ BBB 2.
0. =∇→B
t
BE
∂∂−=×∇
→→
Karena vektor identitas
Dan persamaan Maxwell (2) serta (3):
dan
2
2
22 1
t
B
cB
∂∂=∇
→→
2
2
002
t
BB
∂∂=∇
→→
εµ
sehingga
01
2
2
22 =
∂∂−∇
→→
t
B
cB
tc ∂
Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk diferensial:
1 2222 ∂∂∂∂ →0
12
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
xBtczyx
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
yBtczyx
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ →
zBtczyx
Solusinya: ( ) ( )tkzBtzB ω−=→→
cos, 0
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)
)( tkzf ω−
kv ω=
Bentuk umum:
Kecepatan:
Bentuk muka gelombangnyaBentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka:
tan. konszk =→∧
Sifat-sifat gelombang datar:1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan,
arah z).2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada
koordinat transversal (pada contoh, koordinat3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada
koordinat transversal (pada contoh, koordinattransversalnya x dan y).
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:
),(),( tzEjtzEiE yx
∧∧→+= ),(),( txEktxEjE zy
∧∧→+=yx
),(),( tzBjtzBiB yx
∧∧→+=
zy
),(),( txBktxBjB zy
∧∧→+=
B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):
Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)
0. =∇→E
0),(),(),( =
∂∂+
∂∂+
∂∂
→→→
z
tzE
y
tzE
x
tzE zyx
0),( =
∂∂
→
z
tzE z
t
EB
∂∂=×∇
→→
00εµ
t
E
y
B
x
Bzzy
∂∂
=∂
∂−
∂∂
→→→
00εµ 0),(
=∂
∂→
t
tzE z
Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)
Sisi temporal
∂z
Yang berarti Ez tidak bergantung pada t
Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arahrambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.pada arah rambat.
0. =∇→B
),(),(),( ∂∂∂→→→
tzBtzBtzB
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (2):
0),(),(),( =
∂∂+
∂∂+
∂∂
→→→
z
tzB
y
tzB
x
tzB zyx
0),( =
∂∂
→
z
tzB zSisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantungpada z.
t
BEx
∂∂−=∇
→→
t
tzB
y
E
x
Ezxy
∂∂
=∂
∂−
∂∂
→→→
),(
Dan dari persamaan Maxwell (3):
tyx ∂∂∂
0),(
=∂
∂→
t
tzB z Sisi temporal, yang berarti Bztidak bergantung pada t.
Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.lurus terhadap arah rambatnya.
Dengan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.
yx EjEiE∧∧→
+=
)cos()cos( 00 tkzEjtkzEiE yx ωω −+−=∧∧→
yx BjBiB∧∧→
+=
Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:
yx
)cos()cos( 00 tkzBjtkzBiB yx ωω −+−=∧∧→
t
BEx
∂∂−=∇
→→
+−−=
−−∧∧∧∧
yoxoxoy jBBitkzjEEitkzk 0)sin()sin( ωωω
+−=
−∧∧∧∧
yoxoxoy jBBijEEik 0ω
( ) →−=×− BEk ω
rrB
kE
ω= cBE =BErr
⊥
Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:
B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN
ENERGIENERGIENERGIENERGI
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari Energi Medan listrik dan energi medan magnet.
uuu += EB uuu +=
20
2
0 2
1
2
1EBu ε
µ+=
EBdu ∂∂→
→→
→1
Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energiterhadap waktu:
t
EE
t
BB
dt
du
∂∂•+
∂∂•=
→→
00
1 εµ
t
BEx
∂∂−=∇
→→
Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka:
dant
EB
∂∂=×∇
→→
00εµ
×∇•+
×∇−•=→→→→BEEB
dt
du
00
11
µµ
×∇•−
×∇•−=→→→BEEB
dt
du r
0
1
µ
Sehingga
( )
×∇•−
×∇•=ו∇→→→→BEEBBE
rr
dt 0µ
( )BEdt
du rr
ו∇−=0
1
µ 0=•∇+→S
dt
du
Dari vektor identitas
maka
( )rr→ 1dengan disebut vektor poynting
Hukum Kekekalan Energi
( )BESrr
×=→
0
1
µdengan disebut vektor poynting
mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu per satuan luas yang dibawa oleh medan elektromagnetik
C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DALAM MEDIUMDALAM MEDIUMDALAM MEDIUMDALAM MEDIUM
D =∇. ρ
Persamaan-persamaan Maxwell
t
DJH
t
BE
B
D
b
b
∂∂+=×∇
∂∂−=×∇
=∇=∇
0.
. ρ
t∂
C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF
Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan darihubungan B = µ H dan D = ε E, persamaan Maxwell 4 dapat ditulis:
),()(B
EdenganE
JB
t
EJB
t
DJH b
∂−=×∇∂+∂=×∇∂∂∂+=×∇
∂∂+=×∇
εµµ
εµµ
,)(
),()(
2
2
t
E
t
JE
tEdengan
tJ
tB
t
∂∂+
∂∂=×∇×∇−
∂−=×∇
∂+
∂=×∇
∂
µεµ
εµµ
maka
0
)).((
22
2
22
∂+∂=∇+
∂∂+
∂∂=∇−∇∇−
EEE
t
E
t
EEE
µεµσ
µεµσ
EJdanEEE σ=∇−∇∇=×∇×∇ 2).()(
0
0
2
22
22
=∂∂−
∂∂−∇
∂∂+
∂∂=∇+
t
E
t
EE
t
E
t
EE
µσµε
µεµσ
Dengan solusi : E(z, t) = E0 cos (κz - ωt)
Atau dalam bentuk kompleks :Atau dalam bentuk kompleks :
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt )
Sehingga :
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt ) 02
22 =
∂∂−
∂∂−∇
t
E
t
EE µσµε
( ) EeEieEz
E tzitzi 2)(0
22)(02
22 κκ ωκωκ −==
∂∂=∇ −−−−
EeEit
E
EieEit
E
tzi
tzi
2)(0
222
2
)(0
ωω
ωω
ωκ
ωκ
−==∂∂
==∂∂
−−
−−
( ) EeEieEz
E 002κκ −==
∂=∇
t∂
-κ2E + µεω2E – µσiωE = 0
κ2E - µεω2E + µσiωE = 0
κ2= µεω2 – iµσω
Misal : κ = a + ib
κ2 = (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi
Dari pers κ2= µεω2 – iµσω, maka :
a2 – b2 = µεω2 dan 2ab = - µσω
222
222
)(
)2
(
µεωµσω
µεωµσω
=−
=−−
a
aa a
b2
µσω−=
kalikan dengan 4a2222 )
2( µεωµσω =−
aa kalikan dengan 4a2
4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0
Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh :
4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0
222222,1
2222
22,1
22222
2,1
2
1)(
2
1)(
)()(2
1
2)(
8
))(4(4)4(4)(
σωεµωµεω
µσωµεωµεω
µσωµεωµεω
+±=
+±=
+−±=
a
a
a
22222,1
2,1
)(12
1)(
2
1)(
22
εωσεµωµεω +±=a
22222,1 )(1
2
1)(
2
1)(
εωσεµωµεω +±=a
+±=2
222,1 11)(
2
1)(
εωσµεωa
++=
222 11)(
1 σµεωa
Karena a bilangan riil, maka a2 harus positif sehingga dipilih:
++= 22 11)(2
1
εωσµεωa
−
++= 2
222 11
1 µεωεωσµεωb
a2 – b2 = µεω2
b2 = a2 - µεω2
++=2
22 11)(2
1
εωσµεωa
++−=
−
++=
−
++=
222
222
111
112
1
2
1
112
σµεω
εωσµεω
µεωεω
µεω
b
b
b
++−=
++−=
222
22
112
12
1
2
1
εωσµεω
εωσµεω
b
b
222
2))((*
κ
κκκ
+=
−+==
ba
ibaiba
Besarnya bilangan gelombang
222
22222
)(1
)(112
1)(11
2
1
εωσµεωκ
εωσµεω
εωσµεωκ
+=
++−+
++=
κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi. Medium tersebut seperti medium dispersif.
Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >> maka
112
12
22
εωσµεω
++=a
2
1
12
1
2
22
222
εωσµεω
εωσµεω
εω
=
+=
a
a
2
2
µσωεω
=
a
Sehingga :
2
µσωµσω
µσω
−=
−=
b
ab
2
22
µσω
µσω
−=b
Jika makaδ 2=1=−= baJika maka
µσωδ 2= δ
1=−= ba
Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)
Jadi
δκ )1( i
iba−=+=
merupakan bilangan gelombang untuk medium dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah maka solusinya :
[ ]
)1
(
0
)(0
),(
),(
tzi
i
tzibai
eEtzE
eEtzE
ωδ
ω
−−−
−+−
=
=
)(
0
0
),(
),(
tz
iz
eeEtzE
eEtzE
ωδδ
−−−
=
=
Untuk medium yang konduktivitasnya rendah (konduktor buruk), σσσσ jauh lebih kecil dari ωε. Maka Skin depthnya :
++= 2
22 )(11
σµεωa
++= 22 )(11
2 εωσµεω
a
Diuraikan dengan deret Maclaurin
+−−+−++=+32 xxnL+−−+−++=+
!3)2)(1(
!2)1(1)1(
xnnn
xnnxx n
jika 2)(εωσ=x maka :
..........)12
1(
2
1.!2
1
2
11)1( 22
1
+−++=+ xxx22!22
........)(1
1)(1
......))(2
1(
4
1)(
2
11)(1
22
1
2
422
1
2
−+=
+
+−++=
+
σσ
εωσ
εωσ
εωσ
........)(2
1)(1 22 −+=
+εωεω
Jadi,
µσεωσµεω
εωσµεω
.......)(2
12
2
.......)(2
111
2
22
22
2
22
2
=
+
+=
+
++=
a
a
a
εµσε
µσε
µσ
2
4
42
2
=
=
=
a
a
a
εµσ
2=−= ba dengan
µε
σδ 2=
yang disebut skin depthδ1=−= ba
Dari solusi persamaan gelombang pada medium konduktif yaitu :
)(
0),(t
zi
z
eeEtzEω
δδ−−−
=
yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang menjadi dari amplitudo semula.
e
1
Jika z = δ maka
)1(10),( ti
E
eeEtzE ω−−−=Jika z = δ maka
)1(0),( tiee
EtzE ω−−=
EBωκ=Medan Magnet :
[ ]tzibaio eE
ibatzB ω
ω−+−+= )( ),(
θireiba −=+Karena dengan
=+= − b
bar 122 tandan, θ
[ ]tzibaieEtzE ω−+−= )(0),(
θireiba −=+Karena dengan
=+= −
a
bbar 122 tandan, θ
maka[ ]θω
ω+−+−+= tzibai
o eEba
tzB )(22
),(
Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B) tidak lagi mempunyai fase yang sama
22
2 )(112
++=
εωσµεω
a
Kecepatan fase:
2
1
2
22
2
)(112
)(112
2
++=
++=
εωσ
εωσ
εω
ka
ka
dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase pada medium konduktif < v di udara/non konduktif
Besarnya vektor poynting untuk medium konduktif, yaitu :
)(1
BESrr
×=µ dengan EB
ωκ=
= )(1
EESωκ
µ
21ES κ
µω=
)(220)(
1 tzieEibaS ωκ
µω−−+=
+−+−
+= 2)(2
20
22 θω
µωtzibai
eEba
S
[ ]tzibaieEiba
S ω
µω−+−+= )(22
0
)(
0µω
Untuk medium konduktifδ1=−= ba
+−−−
+= 2222
0
22 θωδδ
µωt
ziz
eeEba
Smaka
Faktor
merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.
δz
e2−
C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR
DAN PLASMADAN PLASMADAN PLASMADAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan persamaan Maxwell 3, yaitu :persamaan Maxwell 3, yaitu :
t
BE
∂∂−=×∇
t
J
t
EE
∂∂−
∂∂−=∇− 02
2
002 µεµ
-tt ∂∂
-
002
2
002 =
∂∂−
∂∂−∇
t
J
t
EE µεµ (1)
Gerakan elektron :
Eqdt
dvm e= dengan v = kecepatan elektron
Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nqe
EqNt
Nvqm e
e 2)()( =
∂∂
)2........()( 2 EqNt
Jm e=
∂∂
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
dan J = vqeN, maka :
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
0)( 2
02
2
002 =−
∂∂−∇ E
m
Nq
t
EE eµεµ
Sehingga :
0)( 2
02
2
002 =−
∂∂−∇ E
m
qN
t
EE eµεµ
dan )(0),( tkzieEtzE ω−−= 0),( eEtzE =
EkeEkiE tkzi 2)(0
222 −==∇ −− ω
EieEit
E tkzi ωω ω ==∂∂ −− )(
0
maka,
EeEit
E tkzi 2)(0
222
2
ωω ω −==∂∂ −−
maka,
0)(
)(2
02
002 =−+− E
m
qNEEk eµωεµ-
-
m
qNk e
2)(0
200
2 µωεµ −=m
20
2
200
2 )(1
ωεωεµ m
qNk e−=
20
2
2
2
00
)(1
1
ωεωεµ m
qNk e−= dengan 22)(
pe
m
qN ωε
=
karena 00
2 1
εµ=c dan
22
2 1
v
k =ω
mε
−=
2
2
2
2
1ωω p
v
cmaka
Berdasarkan definisi indeks bias :v
cn =
−=2
2 1ω pn
−=
22 1
ωω pn
2
2
1ωω pn −= Indeks Bias Plasma
21
ωn −=
Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner yang berarti gelombang di dalam plasma tsb akan teredam.teredam.
Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n berupa bilangan nyata (real) sehingga gelombang akan diteruskan.
D.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUS
D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)
E1 k1
B1
E2
k2B2
Med1
Med2µ ε
µ1ε11α 2α
α
x x
E3
k3
B3
Med2µ2ε23α
x
Dari gambar tersebut diperoleh persamaan untuk gelombang medan magnet
)(011011
1)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=
)( 2)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•= Persamaan 1)(022022
2)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=
)(033033
3)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=
dengan
k1 = k1 [ i sin (α1) – j cos (α1)]
k = k [ i sin (α ) + j cos (α )]
Persamaan 1
Persamaan 2k2 = k2 [ i sin (α2) + j cos (α2)]
k3 = k3 [ i sin (α3) – j cos (α3)]
Persamaan 2
])cos()sin([011
111),( tyxkieBtrB ωαα −−=])cos()sin([
022222),( tyxkieBtrB ωαα −+= Persamaan 3
Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:
])cos()sin([033
333),( tyxkieBtrB ωαα −−=
Syarat batas di y = 0 ; maka
B1x – B2x = B3x
B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3
Dan persamaan 3 menjadi :
)sin(303
)sin(202
)sin(101
332211 .cos.cos.cos ααα ααα xkixkixki eBeBeB =−
Persamaan
dapat dipandang sebagai Aeax + Bebx = Cecx
dengan menggunakan deret eksponensial:
)sin(303
)sin(202
)sin(101
332211 .cos.cos.cos ααα ααα xkixkixki eBeBeB =−
++++
++++
+++ .....
!21.....
!21.....
!21
222222 xccxC
xbbxB
xaaxA
dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh :
A + B =C
Aax + Bbx = CcxAax + Bbx = Ccx
Aax + Bbx = (A + B) cx
[ ] [ ]
=
cx
cxBA
bx
axBA
diperoleh a = b = c
maka k sin α = k sin α
Dalam bentuk matriks :
maka k1 sin α1 = k2 sin α2
Karena gelombang datang dan gelombang pantul berada dalam medium yang sama yaitu medium 1 maka : k1 = k2
sehingga α1 = α2
k1 sin α1 = k3 sin α3Dari a = c maka
n
cv
v
cn
vk =⇒=⇒= ω
nkc
n
n
ck ≈⇒== ωω
n
maka k1 dan k3 sebanding dengan n1 dan n3
sehingga n1 sin α1 = n2 sin α3
Persamaan SnelliusPersamaan Snellius
D.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELL
Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnyaakan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan Fresnelldatang yang disebut dengan persamaan Fresnell
Kasus Transverse Magnetik (TM)
B1 k1
E1 k2B2
1 µ1ε1
x
E2αα
•
B3*
k3
E3
2µ2ε2
µ1ε1
θ
⋅•
Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar)
Untuk medan listrik :
E1x + E2x = E3x
( ) ( ) ( )θα coscos 321 EEE =+Untuk medan magnet :
……… 1
Untuk medan magnet :
B1 – B2 = B3
( ) 32
211
11E
vEE
v=−
Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium
sehingga dan n=c/v maka 1/v ~ n
maka n1 (E1-E2) = n2 E3
( )2
2113 n
EEnE
−=
……… 2.1
……… 2.2
Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalampersamaan 1,maka akan diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−=
+
−=+
αθθα
θα
coscoscoscos
coscos
2
11
2
12
212
121
n
nE
n
nE
EEn
nEE
22 nn
Maka diperoleh koefisien refleksi yaituperbandingan antara medan pantul terhadap medandatang (E2/E1).
dikali n2
( ) ( )αθ coscos2
1
2
−==
nn
n
ErTM dikali n2
maka
( ) ( )αθ coscos2
11 +==
n
nErTM
( ) ( )( ) ( )αθ
αθcoscos
coscos
21
21
1
2
nn
nn
E
ErTM +
−== ……… 3
Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaann1 (E1-E2) = n2 E3
1
32112 n
EnEnE
−= …… 4
Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :
− ( ) ( )
( ) ( ) ( )θαα
θα
coscoscos2
coscos
331
21
31
32111
EEn
nE
En
EnEnE
=−
=
−+
dikali n1
maka ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )αθα
θααcoscoscos2
coscoscos2
21311
313211
nnEEn
EnEnEn
+==−
Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi,Yaitu perbandingan antara E3/E1
( )( ) ( )αθ
αcoscos
cos2
21
1
1
3
nn
n
E
EtTM +
==
Kasus Transver Elektrik (TE)
B1
k1
E1
k2
E
21 µ1ε1
x
B2
αα
•
B3k3
E3
2µ2ε2
θ
⋅•
Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syaratbatas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syaratbatas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :
Untuk meda magnet
B1x-B2x = B3x
( ) θα coscos 321 BBB =− ……… 1
Untuk medan listrik
E1 + E2 = E3
Dari hubungan EBωκ= BE
κω=
κω=v
v
cn =
maka
;; ; ;
E1 + E2 = E3maka
v1 (B1 + B2) = v2 B3 v ~ 1/n
....... 2.1
( )2 BBn
B += ....... 2.2
( ) 32
211
11B
nBB
n=+
E1 + E2 = E3
( )211
23 BB
n
nB += ....... 2.2
( ) ( )
αθθα
θα
coscoscoscos
coscos
21
22
211
221
−
=
+−
+=−
n
nB
n
nB
BBn
nBB
Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1
Sehingga diperoleh :
θα coscos 2n−
αθθα coscoscoscos1
11
2 −
=
+−n
Bn
B
θα
αθ
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
nn
n
B
BRTE
+
−=−=maka
θα
θα
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
nn
n
B
BrTE
+
−==
θαθα
coscos
coscos
21
21
nn
nnrTE +
−=
Dari persamaan 2.1 kita peroleh
( ) 32
21
11B
nBB
n=+
131
2 BBn
nB −= ....... 313
22 n
Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1
θαα
θα
coscoscos2
coscos
331
1
3132
11
BBn
B
BBBn
nB
=−
=
−−
θαα coscoscos2 332
11 BB
nB =−
( )θαα coscoscoscos2 21312 nnBBn +=
θααcoscos
cos2
21
2
1
3
nn
n
B
BtTE +
==
Apabila sudut bias 090 maka,
Dari hukum Snellius diperoleh hubungan
211
3211
90sinsin
sinsin
n
nn
nno=
=
ααα
1
21sin
n
n=α
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090
sudut kritis
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.
maka n1 > n2
Apabila o90=+ θα
dari hukum Snellius diperoleh hubungan:dari hukum Snellius diperoleh hubungan:
αα
ααθα
cossin
)90sin(sin
sinsin
1
2
21
21
n
n
nn
nno
=
−=
=
( )1
2tann
n=α
Sudut datang yang menghasilkan o90=+ θα
Sudut Brewster
1n
E. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANG
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity).Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang
Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = 0 Dan B = 0
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan Bentuk fungsi sebagai berikut :
( ) ( ) ( )tkxiezyEtzyxE ω−= ,,,,( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tkxio
tkxio
ezyBtzyxB
ezyEtzyxEω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3dan 4 ,Maka akan diperoleh :
yz BiEE ω=
∂−∂
zyx BiikE
E ω−=−∂
∂
……… 1
……… 2.3……… 2.1x
z Bizz
ω=∂
−∂
yzx BiikE
z
E ω=−∂
∂
zy BiikEy
ω−=−∂
xyz E
c
i
z
B
y
B2
ω−=∂
∂−
∂∂……… 2.2 ……… 2.4
……… 2.3……… 2.1
yzx E
c
iikB
z
B2
ω−=−∂
∂
zyx E
c
iikB
y
B2
ω=−∂∂
Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan
……… 2.5
……… 2.6
Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan Solusi Untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut
( )
∂∂+
∂∂
−=
z
B
y
Ek
kc
iE xx
y ωω 22/
( )
∂∂−
∂∂
−=
y
B
z
Ek
kc
iE xx
z ωω 22/
……… 3.1
……… 3.2( )
( )
∂∂−
∂∂
−=
z
E
cy
Bk
kc
iB xx
y 222/
ωω
( )
∂∂+
∂∂
−=
y
E
cz
Bk
kc
iB xx
z 222/
ωω
……… 3.3
……… 3.4
Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen Longitudinal Ex dan Bx diketahui, maka komponen lainnya dapat diketahui.
Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaanDifferensial dari komponen longitudinal sebagai Differensial dari komponen longitudinal sebagai Berikut :
022
2
2
2
2
=
−
+∂∂+
∂∂
xEkczy
ω
02222
=
−
+∂+∂
Bkω
……… 4.1
……… 4.20222
=
−
+∂∂+
∂∂
xBkczy
ω
0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× Bn
……… 4.2
……… 5
Dengan menggunakan syarat batas pada permukaankonduktor sempurna, yaitu :
Dengan n̂ adalah vektor satuan normal pada
konduktor, maka akan kita peroleh
Ex = 0 Di permukaan
0=∂∂Bx Di permukaan
……… 6.1
……… 6.20=∂n
Di permukaan
Bila Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrikBila Bx = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik), Dan Ex = 0 dan Bx = 0, disebut gelombang TEM (TransverseElectric Magnetik)
Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak
……… 6.2
Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidakpernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila Ex = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
0=∂
∂+∂
∂z
E
y
Ezy ……… 7
Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum FaradayBerlaku hubungan
0=∂
∂−
∂∂
z
E
y
E yx
Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik
……… 8
Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrikV = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum GaussAtau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstanDidalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari Persamaan
Et
B ×∇=∂∂−
t∂Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga
E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
PENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPAT
Persamaan differensial dari komponen longitudinal
022
2
2
2
2
=
−
+∂∂+
∂∂
xBkczy
ω ……… 1
Dan syarat batas 0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× BndanMaka dengan pemisalan : Bx (y,z) = Y (y) Z(z)
Substitusikan ke persamaan 1, maka :
0)()(22
2
2
2
2
=
−
+∂∂+
∂∂
zZyYkczy
ω ∂∂ czy
022
2
2
2
2
=
−
+∂∂+
∂∂
YZkcz
ZY
y
YZ
ω
011 2
2
2
2
2
2
=
−
∂∂+
∂∂
kkz
Z
Zy
Y
Y
ω
dibagi YZ
……… 2
Sehingga 022
2 =−
+−− kc
ZkYkω dengan
z
y
kz
Z
Z
ky
Y
Y
22
2
22
2
1
1
−=∂∂
−=∂∂
Solusi dari persamaan 3 :
( ) ( )ykBykAY yy cossin +=
………3
……… 4
Syarat batas 0=dy
dY di y = 0 dan di y = a
0 = ky A, maka A = 0( ) ( )ykyBkykAkdy
dYyyyy sincos −=
( )akBk yy sin0 = maka, πmak y = dengan m = 0, 1, 2,….
atau a
mk y
π=a
k y =
Untuk solusi zkz
Z
Z2
2
21 −=∂∂
yaitu ( ) ( )ZkBZkAZ zz cossin +=
Syarat batas 0=dz
dZ di z = 0, z = b
( ) ( )ZkBkZkAkdz
dZzzzz sincos −=maka untuk ( )
Ak
ZkAkdz
dZzz
=
=
0
cos
Akz=0 ( ) 0cos ≠ZkzUntuk ( )ZkBkdz
dZzz sin= 0≠Bkz dan kzz = 0
Sin kzz = 0
b
nk
nbk
nzk
z
z
z
πππ
=
==maka dengan n = 0, 1, 2, ….
z=b
maka untuk ( ) ( )
=
+=
+=
a
ymB
ya
mB
YkBYkAY yy
π
π
cos
cos0
cossin ( ) ( )
=
+=
+=
b
znB
b
znB
ZkBZkAZ zz
π
π
cos
cos0
cossin
Sehingga ( )
⋅
= znB
ymBzyBx
ππcoscos,Sehingga ( )
⋅
=b
Ba
BzyBx coscos,
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka daripersamaan yang sudah didapat
022
2 =−
+−− kc
ZkYkω dengan
a
mk y
π= b
nkz
π=dan
maka 2222
0=−
+
−
− kcb
n
a
m ωππ
222
2222
−
−
=
−
−
=
b
n
a
m
ck
b
n
a
m
ck
cba
ππω
ππω mmc
k 221 ωω −=
22
+
=b
n
a
mcmm πω
Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat diperoleh dari persamaan
dk
dvg
ω=dkd
vg /
1
ω=
Dari persamaan : mmc
k 221 ωω −=c
( )
( )mm
mm
mm
cd
dkd
d
cd
dk
cd
d
d
dk
2
122
2
122
22
22
11
1
1
ωωωω
ωωωω
ωωωω
⋅−=
−=
−=
−
22 −=ω
ωω mm
g
cv
( )
( )
mm
mm
mm
cd
dkcd
dkcd
22
2
122
22
ωωω
ω
ωωωω
ωωωω
−=
−=
⋅−=
−
2
2
2
2
2
1
−=
−=
ωω
ωω
ωω
mmg
mm
g
v
v
E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR
TRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIAL
Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupajalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder
Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :
yzx E
c
iikB
z
B2
ω−=−∂
∂
silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder
zyx E
c
iikB
y
B2
ω=−∂∂
0=∂
∂+∂
∂z
B
y
Bzy
0=∂
∂−
∂∂
z
B
y
B yx
Untuk medan listrik : Untuk medan magnet :
0=∂
∂+∂
∂z
E
y
Ezy
0=∂
∂−
∂∂
z
E
y
E yx
∂∂ zy
Maka cBz = Ey dan cBy = -Ez
∂∂ zy
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
rr
EE oo ˆ1= dan Φ= ˆ1
rc
EB o
o
Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0
Sehingga fungsi gelombangnya
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tkxio
tkxio
ezyBtzyxB
ezyEtzyxEω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
Untuk persamaan :
( ) ( ) ( )tkxio ezyEtzyxE ω−= ,,,,
( ) ( )tkxEitkxE oo ωω −+−= cosˆcos
Substitusikan rr
EE oo ˆ1=r
diperoleh ( )rtkxr
EE o ˆcos ω−=
Untuk persamaan
( ) ( ) ( )tkxio ezyBtzyxB ω−= ,,,,
( ) ( )tkxBitkxB ωω −+−= cosˆcos( ) ( )tkxBitkxB oo ωω −+−= cosˆcosyang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi
Φ= ˆ1
rc
EB o
o maka ( )Φ−= ˆcos
r
tkx
c
EB o ω