5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 1/8

 

Teorema gradien

Teorema gradien, juga dikenal sebagai teorema dasar kalkulus untuk integral garis,

mengatakan bahwa garis integral melalui gradien lapangan (semua tak-berotasi medan vektor  dapat dinyatakan sebagai gradien) dapat dievaluasi dengan mengevaluasi asli medan skalar pada

titik-titik ujung dari kurva:

Ini adalah generalisasi dari teorema dasar kalkulus untuk setiap kurva pada garis bukan hanya

garis nyata. Teorema gradien garis mengimplikasikan bahwa integral melalui kolom vektor tak-

 berotasi jalur independen. In physics this theorem is one of the ways of defining a "conservative" 

force . Dalam fisika teorema ini adalah salah satu cara untuk mendefinisikan sebuah

"konservatif" memaksa. By placing Dengan menempatkan as potential, sebagai potensi is

a  conservative field  . adalah   bidang konservatif. Kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif tidak bergantung pada jalan diikuti oleh objek, tetapi hanya titik akhir, seperti persamaan di atasmenunjukkan.

Bukti

Biarkan menjadi φ 0-bentuk  (bidang skalar). 

Biarkan L menjadi 1-segmen (kurva) dari p ke q.

Oleh Stokes 'teorema: 

Tapi karena , ,

Kurva untuk membatasi ruang Euclides dan berkembang dalam koordinat Cartesian:

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 2/8

 

Teorema divergensi

Dalam kalkulus vektor, teorema divergensi, juga dikenal sebagai Gauss 'teorema (Carl 

Friedrich Gauss), Ostrogradsky Teorema (Mikhail Vasilievich Ostrogradsky), atau teoremaGauss-Ostrogradsky adalah hasil yang berhubungan dengan aliran (yaitu, aliran)  dari sebuah

medan vektor melalui permukaan ke perilaku vektor di dalam bidang permukaan.

Lebih tepatnya, teorema divergensi lahiriah menyatakan bahwa  fluks dari sebuah medan

vektor melalui permukaan tertutup sama dengan integral volume dari  divergensi dari daerah di bawah permukaan. Secara intuitif, itu menyatakan bahwa jumlah dari semua sumber dikurangi

 jumlah semua tenggelam memberikan aliran bersih dari suatu daerah.

Teorema divergensi adalah hasil penting bagi matematika rekayasa,  khususnya di

elektrostatika dan dinamika fluida.

Teorema ini adalah kasus khusus yang lebih umum Stokes 'teorema, yang yang generalizes

teorema dasar kalkulus. 

Jika fluida mengalir di beberapa daerah, dan kami ingin tahu berapa banyak cairan

mengalir keluar dari daerah tertentu di dalam daerah itu, maka kita perlu menambah sumber-sumber di dalam kawasan dan mengurangi wastafel. Aliran fluida diwakili oleh bidang vektor,

dan vektor divergensi lapangan pada suatu titik tertentu menggambarkan kekuatan sumber atau

tenggelam di sana. Jadi, mengintegrasikan lapangan perbedaan atas wilayah pedalaman harus

sama dengan integral dari medan vektor atas batas wilayah. Teorema Divergensi mengatakan bahwa hal ini benar.

Teorema Divergensi karenanya adalah hukum konservasi yang menyatakan bahwa volume

total dari semua tenggelam dan sumber, volume integral dari perbedaan, sama dengan aliran bersih melintasi batas volume itu.

 

A region V bounded by the surface S =∂ V with the surface normal n Suatu wilayah V dibatasi

oleh permukaan S = ∂ V dengan permukaan n normal

Misalkan V adalah himpunan bagian dari R  n (dalam kasus n = 3, V mewakili volume di

ruang 3D) yang kompak dan memiliki piecewise mulus  batas. then we have Jika F adalah medanvektor terdiferensialkan terus menerus didefinisikan pada sebuah lingkungan V, maka kita harus

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 3/8

 

Sisi kiri adalah integral volume atas volume V, sisi kanan adalah integral permukaan atas batas volume V. Manifold tertutup ∂ V  adalah batas umumnya cukup V-berorientasi dengan

menunjuk ke luar  normal, dan n adalah unit menunjuk ke arah luar bidang normal ∂ V batas. (d Sdapat digunakan sebagai singkatan untuk n d S.) Oleh simbol dalam dua integral itu ditekankansekali lagi bahwa ∂ V adalah permukaan tertutup. Dalam hal intuitif deskripsi di atas, sisi kiri

dari persamaan menunjukkan total dari sumber-sumber dalam volume V, dan sisi kanan

menunjukkan total aliran melintasi batas ∂ V. 

Dengan menerapkan teorema divergensi dalam berbagai konteks, identitas lain yang berguna dapat diturunkan (bdk. vektor identitas). 

• Menerapkan teorema divergensi dengan hasil dari fungsi  g skalar dan medan vektor F,

hasilnya adalah

Dalam hal ini teorema adalah dasar bagi identitas Green. 

• Menerapkan teorema divergensi ke salib-produk dari dua bidang vektor , asilnya

adalah

• Menerapkan teorema divergensi untuk produk dari fungsi skalar,  f, dan non-konstan nol

vektor, teorema berikut dapat dibuktikan: [1] 

. .

• Menerapkan teorema divergensi ke salib-produk dari medan vektor F dan non-konstan

nol vektor, teorema berikut dapat dibuktikan: [1] 

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 4/8

 

Curl

Curl dari sebuah medan vektor, dilambangkan or atau (notasi yang digunakandalam pekerjaan ini), didefinisikan sebagai medan vektor  yang memiliki besar maksimum samadengan "sirkulasi" pada setiap titik dan harus berorientasi tegak lurus terhadap bidang ini dari

 peredaran untuk setiap titik. adalah nilai membatasi peredaran per satuan luas. Ditulis secara

eksplisit,

dimana sisi kanan adalah garis integral di sekitar wilayah yang sangat kecil wilayah yang

diperbolehkan untuk menyusut menjadi nol melalui proses membatasi dan . adalah satuanvektor normal daerah ini. If Jika , , Maka bidang dikatakan menjadi lapangan tak-

 berotasi. secara berbeda-beda dikenal sebagai "nabla" atau "del."

Makna fisik curl dari sebuah medan vektor  adalah jumlah "rotasi" atau momentum sudutisi diberikan ruang wilayah. It arises in fluid mechanics and elasticity theory. Hal ini muncul

dalam mekanika fluida dan elastisitas teori. Hal ini juga fundamental dalam teori

elektromagnetisme, di mana ia muncul dalam dua dari empat persamaan Maxwell,

mana unit MKS telah digunakan di sini, , menunjukkan medan listrik, , adalah medan magnet,

, adalah konstanta proporsionalitas dikenal sebagai permeabilitas ruang bebas, , and adalah

kerapatan arus, dan . adalah konstanta proporsionalitas lain dikenal sebagai permitivitas ruang

 bebas. Bersama dengan dua lainnya dari persamaan Maxwell, formula ini menggambarkan klasik dan hampir semua sifat-sifat relativistik elektromagnetisme.

Dalam koordinat Cartesian, curl didefinisikan oleh

Ini memberikan motivasi di balik penggunaan simbol untuk curl, karena menafsirkan

sebagai  gradien operator , Yang "produk salib" dari operator gradien

dengan diberikan oleh

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 5/8

 

yang justru persamaan (4). Yang agak lebih elegan perumusan curl diberikan oleh operator matriks persamaan

(Abbott 2002).

Curl dapat serupa ortogonal sewenang-wenang didefinisikan dalam koordinat lengkung 

menggunakan

dan mendefinisikan

sebagai

Curl dapat digeneralisasi dari medan vektor ke medan tensor  sebagai

di mana is the    permutation tensor and ";" denotes a covariant derivative . adalah  tensor  

 permutasi dan ";" menunjukkan suatu turunan covariant.

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 6/8

 

NABLA

Operator nabla atau disebut juga operator del dengan simbol ∇ , yang bukan

merupakan suatu vektor dalam arti biasanya. Sebagai vektor operator nabla tidak

berdiri sendiri, tetapi bekerja pada suatu fungsi tertentu. Misalkan terdapat fungsi

dengan satu variabel f(x) . Misal turunan dari derivatif df/dx, ini artinya bahwa df =

(df/dx)dx, yang maksudnya perubahan dari x, sebesar da akan menyebabkab

perubahan harga f sebesar df, dimana df/dx addalah faktor pembandingnya.

Interferensi geometris dari df/dx merupakan kemiringan dari lengkungan f(x).

Misal suatu fungsi suhu dengan tiga variabel yaitu T(x,y,z) yang menunjukkan

suhu pada suatu ruangan. Menurut teori derivatif parsial pernyattan ini dapat

ditulis:

  dT =

dz 

 z 

T dy

 y

T dx

 x

T   

  

 

∂

∂+

   

 

 

 

∂

∂+ 

 

  

 

∂

∂

(1.1)

= ( ) ( )dl T  .∇ , dengan dl = i dx + j dy + kdz

maka gradien suhu T = =∇T k 

 z 

T  j

 y

T i

 x

T    

  ∂∂

+   

  

 ∂∂

+   

  ∂∂

, merupakan besaran vektor

dengan tiga konponennya yang masing-masing mempunyai arah sesuai dengan

arah suatu vektor i, j dan k. Jadi interferensi geometri suatu gradien, seperti vektor

yang mempunyai harga dan arah dan ditulis dalam bentuk abstrak, yaitu

dT = l d T 

.∇ =θ cosdl T ∇

(1.2)

Operator del dedifinisikan sebagai deferensial dari suatu fungsi yang oleh koordinat

kartesius definisiskan ∇ =  z k 

 y j

 xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

.

Ada tiga cara dalam perkalian untuk opertor nabla, seperti dalam vektor:

1. Bekerja pada fungsi skalar yang disebut gradien.

  =∇T k 

 z 

T  j

 y

T i

 x

T    

  ∂∂+  

  

  ∂∂+ 

  

  ∂∂

2. Bekerja pada fungsi vektor yang disebut divergensi, melalui perkalian dot.

  =∇V .   

  ∂∂

+   

  

 ∂∂

+   

  ∂∂

 z 

V 

 y

V 

 x

V 

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 7/8

 

3. Bekerja pada fungsi vektor melalui perkalian silang yang disebut rotasi atau curl

  ∇ x V  = z  y x V V V 

 z  y x

k  ji

...

..

..........

∂∂∂∂∂∂

=   

  

 ∂

∂−

∂

∂+ 

  

  

∂∂

−∂∂

+   

  

 ∂

∂−

∂∂

 y

V 

 x

V k 

 x

V 

 z 

V  j

 z 

V 

 y

V i Vx y z  xVy z 

beberapa aturan dalam perkalian operator nabla

1. ( ) ( ) ( ) f  g  g  f  fg  ∇+∇=∇2.

( ) A B A =∇ . x (∇ x B B +)

x (∇ x  A ) + ( ∇. A ) B + ( ∇. B

)  A

3.( ) A f ∇

=( ) ( ) f  A A f  ∇+∇.

4.A.(∇

x  B)

=  B (∇ x  A ) -  A .(∇ x  B ).

5.A f .(∇

 )

= f(∇ x  A ) -  A .(∇ f).

6. ∇ x (  A x  B ) = ( ) ( ) B A A B ∇−∇ ..

Perkalian tripel

1.B A.(

x)C 

= AC .(

x  B ) =C  B.(

x  A )

2. A x ( B x C ) =).().( B AC C  A B −

 Turunan kedua

1. .∇ (∇ x  A ) = 0.

2. ∇ x( ) f ∇

= 0

3. ∇ x (∇ x  A ) =∇∇(

x) A

-  A2∇

NAMA : MUHAMMAD YUSUF P

NO. REG : 5115087374

5/8/2018 GABUNGAN - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gabungan-559abe36c4b08 8/8