Fungsi Transenden

1. Fungsi Logaritma asli

2. Fungsi - fungsi balikan dan turunan

3. Fungsi - fungsi eksponen asli

4. Fungsi eksponen dan logaritma umum

5. Pertumbuhan dan peluruhan eksponen

6. Persamaan diferensial linear orde satu

7. Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya

8. Fungsi – fungsi hiperbola dan balikannya

1. Fungsi Logaritma asli

Logaritma asli adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah

2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua

bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang

bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya

adalah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita dapat

mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita

sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan

pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang

telah kita kenal di SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :

ln x=∫1

x1t

dt , x>0

ln x=e log x

Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk

menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)"

untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya

menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)"

untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk

logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log"

atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log

adalah untuk logaritma berbasis 10.

Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama

dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema

berikut.

Sifat-sifat logaritma natural :

1. b log1=0

2. b log b=1

3. b log ac=b log a+b log c

4.

b logac=b log a−b log c

5. b log ar=r⋅b log a

6.

b log a=c log ac log b

Teorema

Jika a dan b>0dan r bilangan rasional, maka

ln 1=0

ln ab=ln a+ln b

ln

ab=ln a−ln b

ln ar=r ln a

Contoh soal ( hal. 328)

1. Carilah ∫ 52 x+7

dx=

Penyelesain: missal u= 2x + 7 , du= 2 dx

∫ 52 x+7

dx= 52∫ −2 x2x+7

2dx=52∫ 1

udu

=

52ln|u|+c=5

2ln|2x+7+c

2. Hitunglah ∫−1

3x

10−x2dx=

Penyelesain :

missal u=10−x2 , du =-2x dx

∫ x

10−x2dx= 5

2∫ −2 x

10−x2dx= 5

2∫ 1

udu

=−12ln|u|+c= 1

2ln

|10−x2 |+ c

2. Fungsi – fungsi Balikan dan Turunannya

fungsi – fungsi f mengambil suatu nilai x dari derah asalnya D dan

memadankanya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. untuk memutuskan

apakah suatu fungsi f memiliki balikan yakni dengan x1 ≠x2 mengakibatkan f(x1 )

≠(x2 ). Ini sesuai dengan persyaratan geometri bahwa setiap garis memotong grafik

y=f(x) paling banyak satu titik.akan tetapi pada suatu keadaan tertentu , criteria ini

mungkin agak sulit diterapkan ,sebab kita harus mengetahui pengetahuan lengkap

tentang grafikkriteria ini yang lebih praktis yang mencangkup beberapa contoh

yang banyak digunaka bahwa fungsi tersebut harus monoton murni .dengan istilah

fungsi tersebut pada daerah asalnya berupa fungsi naik dan fungsi turun .

Teorema A

Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memilki balikan

Contoh sola ( hal 333 & 334)

3. Perhatikan bahwa f(x)=x5 +2x+ 1 memiliki balikan Penyelesain :f’( x)= 5x4+ 2>0 untuk semua x . jadi f naik pada seluruh garis real sehingga f memilki balikan.f-1(f(x))=x dan f(f-1(y))=y

4. Perhatikan bahwa f(x )= 2x + 6 memilki balikan .untuk mencari f-1 (y), kita selesaikan y=2x+6 untuk x, yang memberiakan x=(y-6)/2= f-1(y).maka

f-1 (f (x))=f-1(2x+6)=

2x+62

=x dan f (f-1(y))=

y−62

=2 y−62

+6= y

Teorema B

Teorema fungsi balikan , andaikan f diferensiasikan dan monoton murni pada

selang I,jika f’(X)≠ 0 disuatu x tertentu dalam I, maka f-1 terdiferensiasikan dititk

yang berpadanan y=f(X)dalam daerah hasil f dan (f-1)’(y)=

1f '( x )

3. Fungsi eksponen asli

Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma

natural.x=exp(y) ⇔y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln

e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian, ∫1

e1t

dt=1

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler),

yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat

ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial.

er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan

pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi

fungsi eksponesial, yaitu ex=exp ( x )

Jadi, untuk selanjutnya.

1. eln x=x , untuk x>0.

2. ln ( ex )=x , untuk tiap x.

Teorema

Andaikan a dan b sebuah bilangan real, maka eaeb=ea+b dan ea/eb= ea-

b.

Turunan dari exp(x) ,Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka

x= ln y. Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai,

diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =y . rumus turunan Dx ex= ex maka akan

menghasilkan intergral ∫ exdx= ex + c atau ∫ eu du= eu +c

Contoh Soal (hal 340 & 341 )

5. tentukan Dxex2 ln x

Penyelesain:

Misal u=√ x maka diperoleh

Dx e√x= e√x Dx √ x =

e√x12 x-1/2=

e√x

2√x

6. tentukanlah ∫ e−4x dx

penyelesain :

missal u= -4x ,dengan du= -4 dx

∫ e−4x

dx = -

14 ∫ e−4x

(- 4 dx)=

14 eu + c = -

14 e−4 x

+ c

4. Fungsi – fungsi eksponen dan logarima umum

Kita telah berhasil mendefinisikan ex untuk tiap bilangan real x, termasuk e

π

. Namun bagaimana dengan πe? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x).

Definisi

Jika a>0dan adalah sebarang bilangan real, maka

ax=ex ln a demikian, kita peroleh bahwa

ln ( ax )= ln ( ex ln a)=x ln a

catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

ln ( ar )=ln ( er ln a)=r ln a yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

Sifat-sifat ax

Teorema A meringkaskan sifat –sifat eksponen yang lazim ,yang

semuanya dapat dibuktikan dengan cermat dan lengkap , teorema B

menunjukan bagaimana kita mendefiniskan dan menginteegrasikan ax .

Teorema A

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a>0 , b>0 ,dan x , y sebarang bilangan

real.

1. ax a y=ax+ y

2. ( ax )y=axy

3. ( ab )

x

=ax

bx

4.

ax

a y=ax− y

5. (ab )x=ax bx

Teorema B

Teorema fungsi eksponensial

D x ax=ax ln a

∫ ax dx= 1

ln ax+C ,a≠1

Fungsi log a x

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan

positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial

ax.

Definisi

Misalkan a>0 , a≠1 , maka y=loga x⇔ x=a y

Catatan: ln=log a xHubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara

berikut. Misalkan y=loga x sehinggax=a y.

ln x=ln ay= y⋅ln a sehingga log a x=ln a

ln xContoh soal (hal 346)

7. Jika ( y= x2+ 1 )sin x carilah dydx

.

Penyelesain : dydx

=π ¿ +1)π-1 (2x)+πsin x ln π. Coz x

5. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka

waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka

waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi ∆y =

ky ∆t atau∆ y∆ t

=ky

Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial dydt

= ky , k > 0

populasi bertambah . k<0 populasi berkurang Untuk populasi dunia, sejarah

menunjukkan bahwa k sekitar 0,0132.

Menyelesaikan Persamaan Diperensial

dydt

= ky dengan syarat awal y=y0 apabila t=0 . dengan memisahkan dan

mengintegrasikan maka diperoleh ,

dyy

= k dt

∫ dyy

=∫kdt

ln y=k t+c

Syarat y=y0 pada saat t=0 akan menghasilkan c =ln y0 sehingga

ln y−ln y 0=kt

Ln yy0

= kt

yy0

=ekt

y=y0ekt

Peluruhan Radioaktif

Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami

penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan

diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k<0, dydt

= ky

Teorema A

limn→ ∞

(1+h ) 1h

=¿ e

Contoh soal (hal 350)

8. Banyaknya bakteri yang tumbuh dalam suatu kultur dengan cepat

ditafsirkan sebesar 10.000 pada tengah hari dan sebesar 40.000

padasetelah dua jam . berapakah banyak b akteri pada pukul 17.00?

Penyelesain:

Dianggap sebagai persamaan diferensial dy dt = ky dapat diterapkan

sehinggga y= y0 ekt . dengan y0= 10.000 dan y= 40.000 pada saat

t=2,sehingga

40.000=10.000 ek(2) / 4 =e2k ,dengan mengambil logaritma menghasilkan

Ln 4= 2k, atau k =12ln 4=ln√4 = ln 2

Jd y = 10.000e(ln 2)t

= 10.000e0.693(5)≈320.000

6. Persamaan diferensial orde satu

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu , pertama kita

dikalikan kedua sisi dengan factor integral . e∫ p( x )dx

didapatkan e∫ p( x )dx dy

dx +

e∫p ( x ) dxp(x)

y= e∫ p ( x ) dx Q(x) sisi kiri adalah turunan hasil kali y. e∫ p ( x ) dx, maka persamaanya

menjadi dydx

y. e∫ p ( x ) dx= e∫ p ( x ) dx Q (x) integrasi kedua sisi menghasilkan

y. e∫

p ( x ) dx

= ∫(Q( x )e∫ p ( x ) dx

) dx

y= e-e−∫ p ( x )dx

∫(Q( x )e∫ p ( x ) dx

) dx

contoh soal

9. Carilah penyelesain umum dari dydx

-3y = xe3x

Penyelesain :

ddx

-= (xe3x)= x

Jadi penyelesain umum dari adalah : y=e−3x

=∫ xdx= 1

2 x2e3x+ c e3x

7. Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya

Fungsi balikan sinus dan kosinus

Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal

mereka masing-masing pada selang [ - π2

,π2

] dan [ - 0 π2

,¿sehingga

X = tan-1 y y = tan x dan π2<x< π

2

X= sec -1 y y= sec x dan 0≤ x≤≠π2

Teorema

1.sin (cos-1 x) =√1−x2

2. cos(sin-1 x)=√1−x2

3.sec (tan-1 x )= √1−x2

4.tan (sec -1x )= {√1−x2 jika x≥1 {√1−x2 jika x ≤−1

Turunan fungsi trigonometri

1. Dx sin x = cos x 2. Dx cos x=- sin x3. Dx tan x = sec2x4. Dx cot x= - sec2 x 5. Dx sec x = sec x tan x6. Dx csc x= – csc x cot x

Turunan fungsi balikan trigonometri

1. dx sin -1 x = 1

√1−x -1 <x <1

2. dx cos-1 x = 1

√1−x -1 <x <1

3. dx tan -1 x = 1

1+ x2

4. dx sec -1 x = 1

1√ x2−1 |x| >1

contoh soal ( hal 364)

10.hitunglah ∫0

12

dx

√ x−12 dx=

penyelesain :

∫0

12

dx

√ x−12 dx=[ sin-1 x]0

1/2 = sin -1 12 - sin -1 0

π6- 0 = π

6

8. fungsi fungsi hiperbola dan balikanya

Fungsi sinushiperbola , fungsi cosines hiperbola , dan empat fungsi terkait lainya

Sin h x=ex−¿e−x

2¿ Cosh x= ex−e− x

2

Tanh x= sinh xcosh x

coth x= cosh xcoth x

Sech x= 1

cosh x csch x =

1sinh x

Soal dan Penyelesaian Fungsi Transenden

1. Fungsi Logaritma asli ( soal hal. 378 no. 17)

Soal : ∫ 4 x+2x2+x+5

dx

Jawab : misal u = x2+ x+5

du = 2x + 1 dx

∫ 4 x+2x2+x+5

dx = ∫ 2 (2x+1 )x2+x+5

dx = ∫ 2u du = 2 ∫ 1u du= 2 ln (u) + c

= 2 ln (x2+ x+5)

+ c

2. Fungsi - fungsi balikan dan turunan (soal hal.385 no. 17)

Soal : rumuskanlah f−1 (x ) ; kemudian cocokkanlah bahwa f−1( f ( x ))=x dan

bahwa f (f −1 ( x ))=x

f ( x )=√2 x+5

Jawab :

f ( x )=√2 x+5

y = √2x+5 y2 = 2x + 5

y2−52

= x

x = y2−52

f−1 (x )= x2−52

f−1 ( f ( x ) ) = f−1 (√2 x+5 ) f ( f −1 ( x ) ) = f ( y2−52 )

= √ 2( y2−5)2

+5 = √2 x+52−52

= √ y2−5+5 = 2x+5−5

2

= √ y2 = 2x2

= y = x

3. Fungsi - fungsi eksponen asli (soal hal.392 no. 36)

Soal :

∫1

2e3/ x

x2dx

Jawab :

Misal : u = 3/x

du =- 3/x2 dx

-1/3 du = 1/ x2 dx

∫1

2e3/ x

x2dx = -1/3 ∫

1

2

eu du

= -(1/3 e3/2) – (-1/3 e3/1)

= 1/3 (e3 - e3/2 )

≈ 5.20128

4. Fungsi eksponen dan logaritma umum (soal hal. 398 no. 24)

Soal :

∫105x−1dx

Jawab :

Misal : u = 5x-1

du = 5 dx

∫105x−1dx = ∫10−1+5 x dx

= 1/5 ∫10udx

=15 10

u

ln10 + c

= 105 x−1

5 ln10 + c

5. Pertumbuhan dan peluruhan eksponen (soal hal. 405 no. 405)

Soal : banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 1790 adalah 4 juta

dan menjadi 180 juta dalam tahun 1960. Apabila laju pertambahan penduduk

di andaikan sebanding dengan banyaknya penduduk pada suatu saat,

berapakah banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 2020 ?

Jawab :

Kita andaikan disini berlaku persamaan diferensial dy/dt = ky. Sehingga y =

y0ekt. Ada dua persyaratan : (y0 = 4 juta dan y = 180 juta pada saat t = 170).

Sehingga :

180.000.000 = 4.000.000ek(170)

Atau

45 = e170k

dengan mengambil logaritma akan menghasilkan

ln 45 = 170k

atau

k = 1170

ln 45 = ln 451/170 = ln 1,022≈ 0,02176

jadi

y = 4.000.000e0,02176t

dan, untuk t = 230 kita peroleh

y = 4.000.000 e0,02176(230) ≈ 596.509.018,9

jadi banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 2020 adalah

sebanyak 596.509.019.

6. Persamaan diferensial linear orde satu (soal hal. 413 no. 39)

Soal :

cos¿

Jawab :

Cos x = 1

sec x x = tan−1 x

Sec ¿

Jadi, cos¿ = 1

√1+x2 terbukti.

7. Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya (soal hal. 419 no. 11)

Soal : tentukan dy/dx pada soal :

y=7 cos−1√2x

Jawab :

Menggunakan aturan rantai :

Dx 7cos−1√2 x = 7 Dxcos−1√2 x = -7 1

√1−2xDx √2x = -7

1

√1−2x 1

√x

8. Fungsi – fungsi hiperbola dan balikannya (soal hal. 427 no. 13)

Soal : tentukan Dxy :

y=sinh 4 x cosh2 x

Jawab :

ddx

(uv) = u dvdx

+¿v dudx

u = cosh 2x v = sinh 4x

=cosh 2x ¿¿

=cosh 2x cosh 4 xddx4 x+sinh 4 x sinh 2 x

ddx2 x

= 4 cosh 2x cosh 4x + 2 sinh 4x sinh 2x

= 2 (2 cosh 2x cosh 4x + sinh 4x sinh 2x)

Bentuk tak tentu itegral

1. limx →0

x2 sin(1/ x)tan x

=

2. limx →0

cos x−1+ x2 /2x4

= limx →0

−sin x+2 x

4 x3 = lim

x →0

−cos x+212 x2

= −1+20

= 10

=

3. limx →0

ex−1e− x−1

= limx →0

ex

e− x = 11

= 1

4. limx→

lnx10000

x = lim

x→

10000x

= 10000

= 0

5. limx→

π2

3 sec x+5tan x = lim

x→π2

3 secxtanx

sec2 x = limx→ π

2

3 sec2 xsecxtanx =

6. limx→

¿¿¿¿ = 2lnx

7. limn→

n√a = limn→

a1 /n = a1/ = a0 = 1

8. limn→

n( n√a¿−1)¿=

9. limx→ 0+¿ x x¿

¿ =

10. limx→0+¿ (1¿¿ x+2 x)1/x ¿¿

¿ = ¿¿ = (1+1) = 2 =

11. limx→ 0+¿ (1+2e x)1 /x ¿

¿ = ¿¿ = (1+2.1) = 3 =

Fungsi Transenden

Nama : Risma Meilinda

Nim : 09081002026

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012