fungsi harmonik
DESCRIPTION
Fungsi Harmonik. Oleh : Kelompok 5 Farid Sugiono070210191156 Akhmad Mukhlis070210191154 M. Sidik Yusuf070210191157 M. Sofyan Hadi070210191140 Malihur Rohma 070210191143 Martha Citra D.070210191161. Fungsi Harmonik - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Fungsi HarmonikOleh : Kelompok 5
Farid Sugiono 070210191156Akhmad Mukhlis 070210191154M. Sidik Yusuf 070210191157M. Sofyan Hadi 070210191140Malihur Rohma 070210191143Martha Citra D. 070210191161
#
Fungsi Harmonik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan
v mempunyai derivatif parsial di semua orde
yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R ,
ux = vy dan uy = –vx
Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v
kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika
dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial
terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku
uxx + uyy = 0
vxx = vyy = 0
#
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D
memenuhi persamaan differensial Laplace
dalam 2 dimensi.
u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada
suatu domain maka f(z) harmonik pada domain
tersebut.
0yx 2
2
2
2
#
Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu
domain dinamakan Dua Fungsi yang
Harmonik Konjugat dalam domain itu.
Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi
pers. Laplace disebut fungsi Harmonic
(u,v:harmonic function)
u : fungsi sekawan harmonis v
v : fungsi sekawan harmonis u
#
#
#
#
#
#
#
Contoh 3
Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v
yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ
Jawab :
Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)
jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian
sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx
ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x)
karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3
sehingga
g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C
Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C
#
Cara Milne ThomsonCara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik
konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y)
harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga
f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D
f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)
sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)
z = x + iy dan = x – iy sehingga diperoleh
i
zzydan
zzx
22
i2zz,
2zz
i2zz,
2zzf(z) =
ux – iuy
z
#
Suatu identitas dalam z dan , jika diambil =
z maka
f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) –
iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)
z z
#
Contoh 5
Dari Contoh 3 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ, jika
diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.
Jawab :
ux = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3
f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
= –i(– 4z3)
= 4iz3
sehingga f(z) = iz4 + C
f(z) = i(x + iy)4 + C
= 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + C
#
Thankz