340

DASAR-DASAR FISIKA JILID II PENYELESAIAN: Karena medan tersebut berubah-ubah sepanjang bagian kawat, kita tidak dapat hanya mensubtitusikan data ke dalam Pers. 29.26, yang berlaku hanya untuk medan magnetik seragam B. Sebagai gantinya, kita harus membagi kawat menjadi panjang diferensial dan kemudian menggunakan Pers. 29.26 untuk menentukan gaya diferensial dFB pada masing-masing panjang. Selanjutnya, kita dapat menjumlahkan gaya diferensial ini untuk menentukan gaya magnetik neto FB pada seluruh bagian kawat. Gambar 29.22b menunjukkan vector panjang diferensial dL sepanjang kawat dalam arah arus; vektor tersebut memiliki panjang dx dan mengarah ke arah positif sumbu x. Jadi, kita dapat menulis vektor dL ini sebagaidL dx i

Komponen horizontal yang arahnya berlawanan. Komponen ini berkaitan dengan ruas garis yang diletakkan secara simetris pada sisi berlawanan dari busur. Jadi, gaya total pada busur pusat mengarah ke bawah dan gaya ini diberikan oleh

F2

0

dF sin0

0

iBR d 2iBR.

sin

iBR sin d

Gaya resultan pada seluruh kawat adalahF F1 F2 F3 iLB 2iBR iLB (Jawaban)

2iB( L R).

Perhatikan bahwa gaya ini sama dengan gaya yang beraksi pada kawat lurus dengan panjang 2(L+R). Hal ini berlaku tanpa mempedulikan bentuk ruas pusatnya.

(29.28)

(Hati-hati! Jangan salah menganggap vector satuan i dengan arus i.) Sekarang, dengan Pers. 29.26, gaya diferensial dFB pada panjang dx kawat adalah

dFB

i dL B i (dx i ) (2,0 xi 2,0 xj) i dx[2,0 x(i i ) 2,0 x(i j)] i dx[0 2,0 xk ] 2,0ix dx k.

(29.29)

GAMBAR 29.21 Soal Contoh 29.7. Ruas kawatyang menghantarkan arus i dicelupkan ke dalam medan magnetik. Gaya resultan pada kawat diarahkan ke bawah.

SOAL CONTOH 29.8Gambar 29.22a menunjukkan seutas kawat yang menghantarkan arus i =6,0 A pada arah positif sumbu x dan melayang dalam medan magnetic tak seragam yang diberikan oleh B = (2,0 T/m)xi + (2,0 T/m)xj, dengan B dalam tesla dan x dalam meter. Berapa gaya magnetik neto FB pada bagian kawat di antara x = 0 dan x = 2,0 m?

Dengan konstanta 2,0 memiliki satuan tesla permeter. Dari hasil ini, kita melihat bahwa gaya magnetik tidak bergantung pada komponen x dari B (karena komponen tersebut berada di sepanjang arah arus). Kita juga melihat bahwa gaya magnetik dFB pada panjang dx kawat berada dalam arah positif sumbu z (keluar bidang halaman dalam Gambar 29.22c) dan memiliki besar dFB =(2,0 T/m)ix dx. Karena arah gaya dFB adalah sama untuk semua panjang diferensial dx kawat, kita dapat menentukan besar gaya total dengan menjumlahkan semua gaya diferensial yang besarnya dFB. Untuk itu, kita integralkan dFB dari x = 0 ke x = 2,0 m dan kemudian subtitusi data yang diketahui. Kita dapatkanFB dFB2, 0 m 0

(2,0 T/m)ix dx2, 0 m

(2,0 T/m)i

1 2 x 2

0

1 (2,0 T/m)(6,0 A)( )(2,0 m) 2 2 24 (T A m) 24 N (Jawaban)

Bab 29 MEDAN MAGNET Gaya ini diarahkan sepanjang arah positif sumbu z.

341

cenderung merotasikan loop terhadap sumbu pusatnya. Meskipun banyak detail yang penting telah diabaikan, gambar tersebut menjelaskan bagaimana cara kerja medan magnetik, melakukan suatu torsi pada loop arus, menghasilkan gerak rotary pada motor listrik. Mari kita analisis cara kerja motor listrik.

GAMBAR 29.22 Soal Contoh 29.8. (a) Seutaskawat dengan arus i terletak di dalam medan magnetic tak seragam B. (b) Sebuah elemen kawat, dengan vektor panjang diferensial dL dan panjang dx. (c) Gaya diferensial dF yang beraksi pada elemen (b) yang ditimbulkan oleh medan magnetik; gaya tersebut diarahkan keluar dari bidang gambar.

GAMBAR 29.23

Elemen-elemen sebuah motor listrik. Sebuah loop rektangular dari kawat, yang menghantarkan arus dan bebas merotasikan terhadap sumbu tetap, ditempatkan dalam suatu medan magnetik. Sebuah komutator (tidak diperlihatkan) membalik arah arus setiap setengah revolusi sedemikian sehingga torsi magnetik selalu beraksi dalam arah yang sama. Gambar 29.24a menunjukkan loop rektangular dengan sisi a dan b, yang menghantarkan arus i dan tercelup dalam medan magnetik seragam B. Kita menempatkan loop dalam medan tersebut sedemikian sehingga sisi panjangnya, yang diberi label 1 dan 3, tegak lurus terhadap arah medan magnetik (yaitu ke dalam bidang gambar), tetapi sisi pendeknya, yang diberi label 2 dan 4, tidak demikian. Kawat-kawat dibutuhkan untuk membawa arus masuk dan keluar dari loop, tetapi agar lebih sederhana, kawat-kawat tersebut tidak diperlihatkan.

29.8 TORSI PADA SEBUAH LOOP ARUSSebagian besar usaha di dunia dilakukan oleh motor listrik. Gaya di balik usaha ini adalah gaya magnetik yang kita kaji dalam subbab sebelumnya, yaitu gaya yang dikerjakan oleh medan magnetik pada kawat yang menghantarkan arus listrik. Gambar 29.13a menunjukkan sebuah motor sederhana, yang terdiri dari sebuah loop penghantar arus tunggal yang dicelupkan ke dalam medan magnetic B. Kedua gaya magnetic F dan F bergabung untuk melakukan torsi pada loop,

Bab 29 MEDAN MAGNET Anggap kita menggantikan loop tunggal arus dengan sebuah kumparan N loop, atau gulungan. Lebih lanjut, anggap bahwa gulungan tersebut dililiti cukup kencang sehingga gulungan dapat diperkirakan memiliki dimensi yang sama dan menggantung dalam bidang. Kemudian gulungan membentuk kumparan datar dan torsi ' didapat dari aksi pada masing-masing gulungan. Maka torsi total adalahN'

343

berlawanan yang menyeimbangkan torsi magnetik sehingga arus tunak i yang diberikan dalam kumparan menghasilkan suatu pembelokan sudut tunak sebesar . Jika arus 100 A menghasilkan pembelokan sudut 280, berapa seharusnya konstanta torsi dari pegas, seperti yang digunakan dalam Pers. 16.24 ( )? PENYELESAIAN: Dengan menetapkan torsi magnetik (Pers. 29.31) sama dengan torsi pegas dan menggunakan medan magnetik mutlak, kita dapatkanNiAB sin (29.32)

NiabB sin

( NiA) B sin ,

(29.31)

dengan A (= ab) adalah luas daerah yang dilingkupi oleh kumparan. Besaran dalam tanda kurung (NiA) digabungkan bersama karena besaran tersebut meliputi semua sifat dari kumparan: banyaknya gulungan, luas, dan arus yang dihantarkan. Persamaan ini berlaku untuk semua kumparan datar, tanpa mempedulikan bentuknya, dengan syarat medan magnetik seragam. Sebagai pengganti memusatkan perhatian pada gerakan kumparan, adalah lebih mudah untuk menjaga vektor n , yang merupakan vektor normal terhadap bidang kumparan. Pers. 29.31 menjelaskan bahwa kumparan datar penghantar arus yang ditempatkan dalam suatu medan magnetik akan cenderung berotasi sedemikian sehingga n mengarah pada arah medan.

SOAL CONTOH 29.9 Ammeter dan voltmeter analog bekerja dengan cara mengukur torsi yang dikerjakan oleh medan magnetik pada kumparan penghantar arus. Pembacaan ditampilkan dengan menggunakan pembelokan jarum penunjuk pada skala. Gambar 29.25 menunjukkan galvanometer dasar, yang merupakan prinsip kerja dari ammeter analog dan voltmeter analog. Tinggi kumparan adalah 2,1 cm dan lebarnya 1,2 cm; kumparan ini memiliki 250 gulungan dan dipasang sedemikian sehingga dapat berotasi terhadap suatu sumbu (ke dalam bidang halaman) dalam medan magnetik radial seragam dengan B = 0,23 T. Untuk sembarang orientasi dari kumparan, medan magnetik neto yang melewati kumparan adalah tegak lurus terhadap vektor normal dari kumparan. Pegas Sp menyediakan torsi

GAMBAR 29.25

Soal Contoh 29.9. Elemenelemen galvanometer. Berdasarkan rangkaian eksternal, peralatan ini dapat dililiti baik sebagai voltmeter ataupun ammeter dengan adalah pembelokan sudut kumparan dan jarum 4 2 penunjuknya, dan A ( 2,52 10 m ) adalah luas daerah yang dilingkupi oleh kumparan. Karena medan magnetik neto yang melewati kumparan selalu tegak lurus terhadap vektor normal dari 90 0 untuk sembarang orientasi jarum kumparan, penunjuk.

344

DASAR-DASAR FISIKA JILID II Ketika medan magnetik eksternal melakukan torsi pada dipol magnetik seperti kumparan penghantar arus, usaha harus dilakukan untuk mengubah orientasi dipol. Kemudian, dipol magnetik harus memiliki energi potensial magnetik yang tergantung pada orientasi dipol dalam medan tersebut. Untuk dipol listrik, kita telah menunjukkan (Pers. 23.28) bahwaU( ) p E

Menyelesaikan Pers. 29.32 untuk , kita dapatkan

NiAB sin (250)(100 10 6 A)(2,52 10 -4 m 2 ) (0,23 T)(sin 90 o ) 28 0 5,2 10 8 N m/derajat.

(Jawaban)

Sebagian besar ammeter dan voltmeter modern dibuat secara digital, tipe pembacaan langsung dan dioperasikan dengan cara yang tidak melibatkan kumparan gerak.

Dengan analogi yang tepat, kita dapat menuliskan untuk kasus magnetic

U( )

B

(29.36)

29.9 DIPOL MAGNETIKKita dapat menguraikan kumparan penghantar arus pada subbab sebelumnya dengan sebuah vektor tunggal , yaitu momen dipol magnetik. Kita menetapkan arah sebagai arah vektor normal n terhadap bidang kumparan, sebagaimana digambarkan dalam Gambar 29.24c. kita mendefinisikan besar sebagai

Suatu dipol magnetik memiliki energi terendah ( B cos 0 B) apabila momen dipol segaris dengan medan magnetik (Gambar 29.26). Selanjutnya dipol magnetik memiliki energi B cos 180 0 B) apabila tertinggi ( menuju arah berlawanan dengan medan. Perbedaan energi di antara kedua orientasi ini adalah

U

(

B) (

B)

2 B

(29.37)

NiA

(momen magnetik). (29.33)

Oleh karena itu, Pers. 29.31 menjadiB sin , (29.34)

Usaha yang banyak ini harus dilakukan oleh faktor eksternal (sesuatu selain medan magnetik) untuk membelokkan medan magnet magnetik 180 0 , yang dimulai ketika dipol dideretkan dengan medan magnetik.

dengan adalah sudut antara vektor dan B. Kita dapat menggeneralisasikan bentuk persamaan ini menjadi hubungan vektorB, (29.35)

yang mengingatkan kita betapa banyak persamaan yang berpadanan dengan torsi yang dikerjakan oleh medan listrik pada dipol listrik, yaitu Pers. 23.34:

p E

GAMBAR 29.26Dalam setiap kasus, torsi yang dilakukan oleh medan eksternal baik magnetik ataupun listrik adalah sama dengan perkalian vektor dari momen dipol yang berpadanan dan medan vektor.

Orientasi energi tertinggi dan energi terendah dari dipol magnetik dalam suatu medan magnetik B. Arah arus i menentukan arah momen dipol magnetik dengan menggunakan aturan tangan kanan yang ditunjukkan untuk n dalam Gambar 29.24b.

Bab 29 MEDAN MAGNET Sejauh ini, kita telah mengidentifikasikan hanya kumparan penghantar arus sebagai dipol magnetik. Akan tetapi, magnet batang sederhana juga merupakan dipol magnetik. Oleh karena itu, magnet tersebut merupakan bola berotasi dari muatan. Bumi merupakan dipol magnetik. Akhirnya, partikel subatomik terbanyak, termasuk elektron, proton, dan neutron, memiliki momen dipol magnetik. Sebagaimana Anda lihat dalam Bab 32, semua besaran ini dapat dipandang sebagai loop arus. Untuk perbandingan, beberapa perkiraan momen dipol magnetik ditunjukkan dalam Tabel 29.2.

345

PENYELESAIAN: Besar momen dipol magnetik kumparan, dengan luas A sama dengan 2,52 10 4 m 2 , adalah

NiA (250)(100 10 6,3 106 6

A)(2,52 10 -4 m 2 ) 6,3 106

A m2

J/T (Jawaban)

TABEL 29.2 BEBERAPA MOMEN DIPOL MAGNETIKSebuah magnet batang yang kecil Bumi Sebuah proton Sebuah elektron 5 J/T 8,0 10 22 J/T 1,4 10 26 J/T 9,3 10 24 J/T

Anda dapat membuktikan bahwa kedua bentuk satuan ini identik. Secara logis, bentuk satuan kedua mengikuti Pers. 29.36. Arah , seperti pengamatan pada Gambar 29.25, ditunjukkan oleh jarum penunjuk. Anda dapat menjelaskan hal ini dengan membuktikan bahwa, jika kita asumsikan sebagai arah jarum penunjuk, torsi diprediksikan oleh Pers. 29.35 sedemikian sehingga torsi ini benar-benar menggerakkan jarum penunjuk searah jarum jam melalui skala. (b) Momen dipol magnetik dari kumparan galvanometer dideretkan dengan medan magnetik eksternal yang kekuatannya 0,85 T. Berapa besar usaha yang dibutuhkan untuk memutar kumparan dari ujung ke ujung? PENYELESAIAN: Usaha yang dibutuhkan sebanding dengan kenaikan energi potensial; yaitu dari Pers. 29.37,W U 2 B 2(6,3 106

Pos

UJI 6: Gambar berikut ini menunjukkan empat orientasi pada sudut dari sebuah momen dipol magnetik dalam suatu medan magnetik. Urutkan orientasi tersebut berdasarkan(a) besar torsi pada dipole dan (b) energi potensial dari dipole, mulai dari yang terbesar.

J/T)(0,85 T) (Jawaban)

10,7 10 -6 J 11 J

Nilai ini kira-kira sama dengan usaha yang dibutuhkan untuk mengangkat tablet aspirin setinggi 3 mm. (c) Berapa besar torsi maksimum yang dilakukan oleh medan eksternal B pada momen dipol magnetik? SOAL CONTOH 29.10 (a) Berapa besar momen dipol magnetik dari kumparan pada Soal Contoh 29.9, dengan asumsi bahwa kumparan menghantarkan arus sebesar 100 A ? PENYELESAIAN: Dari Pers. 29.34, torsi maksimum terjadi apabila nilai sin adalah 1. Jadi, kita dapatkan

B sin (6,3 10 6 J/T)(0,85 T)(1) 5,4 10 -6 N m (Jawaban)

346

DASAR-DASAR FISIKA JILID II

TINJAUAN & RINGKASANMedan Magnetik B Medan Magnetik B didefinisikan dalam kaitannya dengan gaya FB yang beraksi pada partikel uji dengan muatan q yang bergerak melintasi medan dengan kecepatan v: Partikel Bermuatan yang Melingkar dalam Medan Magnetik Partikel bermuatan dengan massa m dan besar muatan q yang bergerak dengan kecepatan v tegak lurus terhadap medan magnetik B akan menempuh lintasan melingkar. Penerapan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar akan menghasilkan

FB

qv B

(29.2)

Satuan SI untuk B adalah tesla (T): 1 T =1 N/(Am) = 104 gauss.

qvB

mv 2 , r

(29.15)

Efek Hall Apabila suatu bilah logam konduksi dengan tebal l yang menghantarkan arus i ditempatkan dalam medan magnetik B, beberapa pembawa muatan (dengan muatan e) terbentuk di sisi konduktor, yang menghasilkan beda potensial V melewati bilah. Polaritas V memberikan tanda pembawa muatan; rapatan bilangan n dari pembawa muatan dapat dihitung dengan Bi n , (29.12) Vle

dari rumus tersebut, kita dapat menentukan radius r sebagair mv , qB (29.16)

Frekuensi revolusi f, frekuensi sudut dan periode T dari gerak tersebut ditentukan dengan

f

2

1 T

qB , 2 m

(29.19, 29.18, 29.17)