fisik lab grafik de curvas

8/3/2019 Fisik Lab Grafik de Curvas

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LABORATORIO

N 2

GRAFICA Y AJUSTE

DE CURVAS


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Practica de Laboratorio N 2

GRFICA Y AJUSTE DE CURVAS

Universidad Nacional Federico Villarreal FCCNM

I. OBJETIVOS

1. Analizar los diferentes tipos de funciones que sepresentan en un proceso fsico o partir de la evaluacin

de los datos obtenidos experimentalmente.

2. Elaborar grficas de datos, utilizando papel milimetrado,logartmico y semilogartmico.

3. Realizar el ajuste de curvas aplicando el mtodo mnimoscuadrados.


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II. FUNDAMENTO TERICO

En el estudio de los fenmenos fsicos nos concentramos

con muchas variables que intervienen en dicho proceso lo

cual es muy complejo analizado simultneamente. Para

facilitar el anlisis elegimos dos de estas variables, el conjunto

de datos obtenidos, e organizan en una tabla. A partir de

estor datos graficar y establecer la funcin que mejor se

ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser

lineales, exponenciales, logartmicos, etc. Como se observa en

las figuasN1; N2; N3.

FIG. N1 Funcin LinealFIG. N2 Funcin Parablica

FIG. N3 Funcin Exponencial


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2.1 AJUSTES DE CURVAS

El ajuste de curvas consiste en determinar la

relacin matemtica que mejor se aproxime a los

resultados del fenmeno medido.

a) Funcin lineal: Y = a + bX

b) Funcin parablica o cuadrtica: Y = a + bX + cX2

c) Funcin Cbica: Y = a + bX + cX2+ dX3

d) Funcin Hiperblica: X2a2 - Y2b2 = 1

e) Funcin exponencial: Y = AB xf) Funcin potencial: Y = AX

B

e) otras

En todas estas expresiones X e Y representan

variables, mientras que las otras letras denotan

constantes o parmetros a determinar.

Una vez elegida la funcin se determina lasconstantes de tal manera que particularicen la curva del

fenmeno observado.


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2.2 METODO DE MINIMOS CUADRADOS

Considerando los valores experimentales (X1, X2),

(X1, X2),.. (Xn, Xn) la idea es construir una funcin F(x)

de manera que minimice la suma de los cuadrados de las

desviaciones, es decir:

S= + sea un nmero mnimo cuadrado

Nota

- Si se considera que S= 0 es decir = =...= = 0se tendr que F(x) pasa por todos los puntos

experimentales.

- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenasextrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de

los valores medios.


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2.3 AJUSTE DE CURVA LINEAL2.3.1. Mtodo geomtrico

Una funcin es lineal cuando las variables

aparecen elevadas solo a la primera potencia.

Una funcin lineal que relacione X con Y serepresenta algebraicamente como:

Y = a + bX (1)

Donde a y b son constantes. En la fig. 5

se muestra un grfico de los valores de X e Y

que satisfacen la ecuacin. La constante a es laordenada. La constante b es la pendiente de la

recta.


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b= ( )

2.3.2. Recta Mnima Cuadrtica

La recta mnima cuadrtica que ajusta el conjunto

de puntos (X1, X2), (X1, X2),.. (Xn, Xn) tiene

por ecuacin:

F(x) = Y = a + bX (2)

Donde las constantes a y b se determinan

resolviendo las dos siguientes ecuaciones

normales [1].

Resolviendo este sistema de ecuaciones

obtenemos:

a =

, b =

(4)

Ejemplo: Dado los siguientes datos, realice el

ajuste por el mtodo de mnimos cuadrados

(1,2) ;(2,3) ;(5,5) ;(6,5) ;(7,6) ;(8,7) ;(12,9)

(3)


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Solucin: Construyendo la siguiente tabla de

datos:

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

N=7 (nmero de datos)

Obteniendo:

= 41, ,

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones

4 y resolviendo el sistema se obtiene

a = 1,587 b = 0,631

Por lo tanto la recta tiene por ecuacin:

F(x) = Y = 1,587 + 0,631X

Al extrapolar (extender la grfica a ambos

lados), es posible determinar los valores de Y

para X cercanos y externos al intervalo de valores

medidos (Fig. N6)


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2.4 AJUSTE A UNA CURVA NO LINEAL

2.4.1. Parbola Mnima Cuadrtica

Para este caso el ajuste har a una funcin

parablica:

F(x)= a + bX + c (5)Para obtener las ecuaciones normales que

permiten calcular los coeficientes a, b y c se

procede de manera similar que para el caso de la

recta mnimo cuadrtico, tratando que:

S= +

tome su valor mnimo. As resulta:

(6) (7) (8)

Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las

ecuaciones 6,7 y 8.


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2.4.2. Funcin Potencial

Una funcin potencial es de la forma:

Y =Para realizar se aplica logaritmos y se obtiene:

Haciendo:

y = log Y b = B x = log B a = log A

Teniendo la ecuacin y = a + bX, la cual fue

tratada en 2.3.2.

2.4.3 Funcin Exponencial

Una funcin Exponencial es de la forma:

Y= o Y=Para linealizar podemos tomar logaritmos

decimales o neperianos.

A)Sea Y=

se toma logaritmos decimales

Log Y = log A + (log B) X

Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = log Y a = log A b = log B

Teniendo la ecuacin y = a + bX, la cual fue

tratada en 2.3.2.


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B) Sea Y= se toma logaritmo natural.InY = InA + InB

Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = InY a = InA b = B x = X

Para calcular los valores de a y b por

mnimos cuadrados cambiamos de variables

segn las equivalencias anteriores y luego

aplicamos las mismas frmulas (3) (4) tratadas

en 2.3.2.

Ejemplo. Para la funcin potencial.

b =

A = log Y log X

Ejemplo: Para los siguientes datos

experimentales haga el ajuste a una parbola

mnimo cuadrtico:(1,5;3);(3,49;7,1);(4,8;9,5);(6;12);(7,14;11,8);

(8,2;10,8);(9,1;10,3) los clculos necesarios para

expresar las ecuaciones normales se dispone la

siguiente tabla


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Reemplazando las ecuaciones 6,7 y 8 se tiene:

64,56 = a7 + b40, 23 + c274, 49

413,42 = a40, 23 + b274, 46 + c2041, 41

2924,80 = a274, 49 + b2041, 41 + c15957, 89

Al resolver las ecuaciones obtenemos:

a = -2,64 b = 3,96 c = -0,28

Con estos valores, la ecuacin de la parbola

mnima cuadrtica ser:

F(x) = -2,64 + 3,96X 0,28Lo cual muestra la figura N7

X Y XY 1,50 3,00 4,5 2,25 6,75 3,37 5,06

3,49 7,10 24,78 12,18 86,48 42,51 148,35

4,80 9,50 45,6 23,04 218,88 110,59 530,84

6,00 12,00 72 36 432 216 1296

7,14 11,80 84,25 50,98 601,56 363,99 2598,92

8,20 10,80 88,56 67,24 726,19 551,37 4521,229,10 10,30 93,73 82,81 852,94 753,57 6857,49


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III. EQUIPOS Y MATERIALES- Regla graduada en milmetros- Un juego de reglas- Papel milimetrado, logartmico y semilogartmico- Calculadora


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IV. PROCEDIEMIENTOEn las tablas N3, N4 y N5, hacer lo siguiente:

1.Usando una escala apropiada, grafica los puntos (X,Y) enpapel milimetrado para cada tabla

2.Trace la lnea de tendencia que corresponda en cadacaso.

TABLA N3

N X Y

1 50 31,02

2 100 63,25

3 150 115,824 200 144,42

5 250 179,84

TABLA N4

N X Y

1 1.58 6

2 3.26 14.3

3 5.14 23.3

4 9.3 34.25 14 41

6 19.9 43.2

7 24.8 40.2

8 29.7 34

9 34.5 20.5

10 37 10.5

N X Y

1 3.5 150.0

2 9.6 113.4

3 19.2 66.0

4 38.9 30.55 69.1 18.2

6 92.9 12.2

7 112.1 8.1

8 128.3 5.2

9 142.8 2.5

TABLA N5


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1.Si la curva obedece a la funcin lineal Y= a + bX. Determinar geomtricamente los parmetros a y b

de la grafica realizada en el papel milimetrado y

exprese su resultado.

En el grafico indicar el parmetro a y calcule elparmetro b

2.Con los mismos datos del paso anterior, utilice elmtodo de mnimo cuadrados y calcule losparmetros a y b

3.Si la curva no es lineal.

Construya la tabla y procese lo datos para expresarla ecuacin ajustada.

Pruebe linealizando en el papel logartmico ydetermine geomtricamente los parmetros a y b

(de acuerdo a su criterio).

Muestre grficamente los resultados.4.Con los datos de las tablas, calcule las constantes de

ajuste, por el mtodo de mnimos cuadrados y escriba lafuncin.

5.Trace la curva ajustada en papel milimetrado


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V. CUESTIONARIO1. Qu entiende usted por desviacin en el ajuste de una

curva?

El ajuste de curvas consiste en encontrar una funcin que

contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla

una serie de restricciones adicionales.

2. Comprobar los resultados, usando un lenguaje deprogramacin

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 100 200 300

TABLA N3

TABLA N3

Linear (TABLA N3)


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0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40

TABLA N5

TABLA N5

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150

TABLA N 4

TABLA N 4

Expon. (TABLA N 4)


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3. Investiga datos de algn experimento que se ajuste a unarecta, una parbola y un exponencial.

Una recta: se da en la relacin de la velocidad y eltiempo, en el Movimiento rectilneo uniformemente

acelerado.

Una parbola: Se puede encontrar este tipo defuncin en movimiento parablico, en donde se

relaciona la velocidad y la distancia.

Un Exponencial: En el movimiento rectilneouniformemente acelerado, en este caso la

aceleracin es constante, en el cual la relacin se da

entre el tiempo y la posicin.

VI. RESULTADOS6.3 TABLA N3: Al ubicar los puntos dados vemos que se

trata de una funcin lineal, primero se comprueba por

el mtodo geomtrico

6.4 TABLA N4: Al ubicar los puntos pedidos se ve que senos presenta una funcin exponencial

Se procede a graficar esta funcin en papelsemilogartmico

6.5 TABLA N5: Al ubicar los puntos pedidos, se puedevisualizar una funcin parablica.


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VII. CONCLUSIONES1. La obtencin de una frmula matemtica que modele los datos

de una experimentacin o anlisis puede facilitar la aplicacin delconocimiento.

2. Para modelar adecuadamente, mediante curvas de ajuste, esnecesario identificar las caractersticas las diferentes funcionesmatemticas.

3. La seleccin de la funcin que va a utilizarla en el ajuste de curvaes el aspecto ms importante del proceso, por lo que se debeanalizar todas las posibilidades para escoger la opcin msadecuada.

4. Se observa que el graficar una grafica por mtodo de mnimoscuadrados tiene un margen de error menor frente al mtodoexperimental.

5. Al obtener errores tan bajos podemos concluir que el mtodo deelaboracin de la prctica es confiable y sus resultados sonproducto de la buena elaboracin en el laboratorio.

6. Una vez finalizado el anlisis de este tema, los alumnos debenhaber aumentado en gran medida sus capacidades en el ajuste decurvas con datos. Deben dominar las distintas tcnicas, deben

haber aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y sercapaces de escoger el mejor mtodo (o mtodos) para cualquierproblema.
http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/informe-laboratorio/informe-laboratorio.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/informe-laboratorio/informe-laboratorio.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml


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VIII. BIBLIOGRAFIA

http://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdf(REVISADO EL DIA 14 07 2009)

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta(REVISADO EL DIA 14 07 2009)

http://personales.ya.com/mickysuis/met/alumno/rectas.htm(REVISADO EL DIA 15 07 2009)

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9003.(REVISADO EL DIA 15 07 -2009)
http://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://personales.ya.com/mickysuis/met/alumno/rectas.htmhttp://personales.ya.com/mickysuis/met/alumno/rectas.htmhttp://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9003http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9003http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9003http://personales.ya.com/mickysuis/met/alumno/rectas.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdfhttp://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdf

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