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7/21/2019 Estad Para Neg 1aEd 04

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Introduccin

En el lenguaje cotidiano, la gente se refiere a la probabilidad como una medida de certezao de certidumbre sobre lo que puede presentarse en el futuro. De hecho, si uno consultaun diccionario, la probabil idad se defi ne como la posibilidad de que ocurra algo; es decir,

es un indicador que seala qu tan cierto o qu tan posible es que se presente algn sucesoo acontecimiento.

Sin embargo, los problemas relacionados con la probabilidad que se presentan en lasciencias sociales y administrativas adquieren una mayor complejidad. Por esta razn, en estaunidad se te proporcionar un primer acercamiento al tema de probabilidad, exponiendo susconceptos y sus reglas bsicas, as como su aplicacin en la resolucin de problemas en los que sepresentan situaciones de incertidumbre.

El estudio de la probabilidad se motiva por dos razones. En primer lugar, en el mbito socialcomo en el mundo de los negocios es muy frecuente tomar decisiones ante escenarios inciertos.Por ejemplo, en un momento de inestabilidad financiera o de nerviosismo en los mercados, lasdecisiones deben tomarse de manera gil y correcta, pues una demora podra ocasionar prdidasmillonarias a una empresa, a un sector o a un pas. Al contar con un indicador de certeza oconfiabilidad se facilita la toma de decisiones ante escenarios inciertos.

En segundo lugar, si deseamos adentrarnos al estudio de la estadstica inferencial primeronecesitamos conocer los conceptos bsicos de la probabilidad para as poder cuantificar laincertidumbre asociada al proceso de inferencia. Una de las bases fundamentales del estudio dela estadstica inferencial consiste en conocer qu tan confiable es la conclusin a la que llegamospara describir una poblacin con la informacin proporcionada por una muestra.

Como analista de fenmenos sociales o desde una posicin en la alta gerencia, en muchasocasiones utilizars los conceptos de la probabilidad para tomar decisiones ante escenariosinciertos o para conocer qu tan confiable son tus resultados obtenidos mediante estudiosbasados en tcnicas de la estadstica inferencial.

4.1. Conceptos bsicos y enfoques de la probabilidad

Como ya se ha mencionado, la probabilidad es un indicador que seala qu tan cierto o qu tanposible es que se presente un suceso o acontecimiento. La probabilidad se expresa mediante laletra P y nicamente puede tomar valores dentro del rango de 0 a 1: 0 P 1


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198 ESTADSTICA PARA NEGOCIOS

Cuando la probabilidad es muy cercana a 0, interpretamos que es poco probable o pocoposible que se presente tal suceso o acontecimiento; en cambio, cuando tenemos una probabilidadmuy cercana a uno, sealamos que es muy probable o muy posible que se presente dicho sucesoo acontecimiento.

Por otra parte, cuando tenemos una probabilidad igual a 0, se dice que no existe ningunaposibilidad de que ocurra dicho suceso, mientras que cuando se tiene una probabilidad igual a 1, sedice que existe plena seguridad de que el acontecimiento ocurrir.

Por ejemplo, si la probabilidad de que se presente un incremento en la Bolsa Mexicanade Valores es de 0.12 y la probabilidad de que se incremente la Bolsa de Nueva York es de 0.48se dice que es ms probable observar un incremento en la Bolsa de Nueva York que en lade Mxico.

4.1.1. Experimento, espacio muestral y evento

Existen tres conceptos bsicos para adentrarse al tema de probabilidad, stos son: experimento,espacio muestral y eventos.

resultados posibles.

Si en un experimento existe un nico resultado posible, se tiene la plena certeza de obtenerese resultado, y no estaramos hablando de un experimento en probabilidad, pues no tendramos lapresencia de incertidumbre y, por lo tanto, no es inters del estudio de la probabilidad. Por esta razn,los experimentos en probabilidad se llaman experimentos aleatorios, cuyos resultados no puedenpredecirse con plena seguridad, pues estn sujetos al azar.

Algunos ejemplos de experimentos son los siguientes:

1. Registrar la preferencia de los estudiantes universitarios acerca de tres tarjetas de

crdito distintas.

2. Estimar el nmero de libros de arte que una casa editorial puede vender.

3. Estimar el nmero de accidentes de trabajo que ocurren anualmente en una empresadedicada a la produccin de medicamentos.

En estos tres ejemplos se habla de un proceso de observacin en el cual se obtiene un resultadoentre distintos resultados posibles.

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener de un

experimento y es representado mediante la letra .

Los resultados posibles que pueden obtenerse en un experimento tambin son conocidos comopuntos muestrales y cada uno de ellos se representa mediante la letra R

i. De esta manera, el espacio

muestral tambin se define como el conjunto de todos los puntos muestrales que se pueden obteneren un experimento.


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199UNIDAD 4. PROBABILIDAD

Ejemplo 1

Si se lanza una moneda al aire una sola vez, encuentra:

a) Cul es el experimento?b) Cules son los resultados posibles o puntos maestrales?c) Cul es el espacio muestral?

En este caso, el experimento consiste en lanzar una moneda al aire una sola vez, pues se tratade un proceso de observacin en el que se obtiene un resultado entre distintos resultados posibles.

En este experimento hay dos resultados posibles o dos puntos muestrales:

R1: Que sea guila. R

2: Que sea sol.

El espacio muestral de este experimento se representa de la siguiente manera:

S= {guila, sol

Ejemplo 2

Se pregunta a un directivo de una empresa cul es la computadora de su preferencia.

a) Cul es el experimento?b) Cules podran ser los posibles resultados o puntos muestrales?c) Cul podra ser el espacio muestral?

El experimento es registrar la preferencia de computadoras que tiene un directivo deuna empresa.

En este experimento podran existir cuatro resultados posibles o puntos muestrales:

R1: IBM

R2: Hewlett Packard R

3: Compaq

R4: Nec

El espacio muestral de este experimento se representa de la siguiente manera:

S= {IBM, Hewlett Packard, Compaq, Nec}

Ejemplo 3

Un inversionista seleccionar de manera aleatoria y sin reemplazo dos acciones entre un portafoliocompuesto por tres acciones: accin A, accin B y accin C. Cules son los posibles resultados opuntos muestrales?Cul es el espacio muestral?

Una seleccin sin reemplazo es aquella que ocurre cuando una opcin ya fue seleccionada y yano puede volver a ser seleccionada nuevamente, mientras que una seleccin con reemplazo es aquellaque ocurre cuando una opcin que ya fue seleccionada, puede volver a ser seleccionada nuevamente.Al ser un experimento sin reemplazo, existen seis posibles resultados:


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R1: (A, B) R

4: (B, A)

R2: (A, C) R

5: (C, A)

R3: (B, C) R6: (C, B)

Por ejemplo, en el primer resultado posible R1: (A, B), se seala que la primera y segunda accinseleccionada por el inversionista fueron A y B, respectivamente; mientras que en el cuarto resultadoposible R

4

: (B, A) se indica que la primera y segunda accin seleccionada por el inversionista fueronB y A, respectivamente.

El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S= { (A, B), (A, C), (B, C), (B, A), (C, A), (C, B) }

Ejemplo 4

Una estudiante adolescente se encuentra platicando en Internet con el propsito de encontrar novio.Existe la posibilidad de que los jvenes con los que platique sean guapos (G) o feos (F).

a) Cul es el espacio muestral si se encuentra platicando con un joven?

b) Cul es el espacio muestral si se encuentra platicando con tres jvenes?

Si la adolescente platica slo con un joven, entonces existen dos resultados posibles: que elpretendiente sea guapo (G) o que el pretendiente sea feo (F), por lo que el espacio muestral es:

S= {G, F}

Ahora, si la adolescente platica con tres jvenes simultneamente, entonces existen ochoresultados posibles pues es una seleccin con reemplazo (una opcin que ya es seleccionada con elprimer pretendiente, puede ser seleccionada nuevamente con el segundo pretendiente):

R1: (G, G, G) R5: (G, F, F)

R2: (G, G, F) R6: (F, G, F)R3: (G, F, G) R7: (F, F, G)R

4: (F, G, G) R

8: (F, F, F)

Por ejemplo, el primer resultado posible R1: (G, G ,G) seala que los tres jvenes con los que la

adolescente platica son guapos; mientras que el segundo resultado posible R2: (G, G, F) indica que elprimer y segundo joven son guapos, mientras que el tercer joven es feo.

El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S= {(G, G, G), (G, G, F), (G, F, G), (F, G, G), (G, F, F), (F, G, F), (F, F, G), (F, F, F)}

Ejemplo 5

Una empresa de mercadotecnia desea conocer la efectividad de anunciar productos por televisin enel horario en que se transmite un famoso programa detalkshow; para esto entrevist a 10 amas de casay les pregunt si vean dicho programa de televisin. Cul es el espacio muestral si lo que se deseaobservar es el nmero de amas de casa que ven ese programa?


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El experimento slo tiene el inters de conocer el nmero de amas de casa que ven el programa,por lo que el espacio muestral es:

S= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

En este caso existen 11 resultados posibles. Puede ocurrir que ninguna ama de casa vea eltalkshow, por lo que el resultado posible es 0; o bien, puede presentarse el caso en que las 10 amas decasa entrevistadas vean el programa, cuyo resultado posible se representa como 10.

El conceptoeventoes muy importante en el estudio de la probabilidad y se define de la siguiente manera:

Un eventoen probabilidad se le llama a la coleccin de uno o varios resultados posibles o puntos

muestrales que pertenecen a un espacio muestral. Es decir, un evento es un subconjunto del espacio

muestral. Generalmente los eventos se representan por la letra .

Cabe sealar que un evento no debe entenderse como sinnimo de posible resultado o punto

muestral. Un evento efectivamente puede tomar en cuenta un resultado posible o punto muestral,pero tambin puede considerar varios resultados posibles o puntos muestrales.

Tampoco deben confundirse los trminos experimento y evento. Un experimento es unproceso de observacin en el que se pueden obtener distintos resultados. Un evento es la coleccinde uno o ms de esos resultados que se puede obtener en un experimento y que se encuentra dentrodel espacio muestral.

Ejemplo 6

Del experimento en que una estudiante adolescente se encuentra platicando con tres jvenes con lafinalidad de encontrar novio, se pueden observar varios eventos.

Un evento podra ser que los tres jvenes sean guapos. En este caso, el evento slo estaraconsiderando un punto muestral (G, G, G) de los ocho puntos muestrales o resultados posibles deeste experimento.

Otro evento podra definirse como platique con dos jvenes que sean feos. En este evento seconsideran tres posibles resultados o puntos muestrales: (G, F, F), (F, G, F) y (F, F, G).

Otro evento podra definirse como almenosdos jvenes con los que platique sean guapos.En este evento se consideraran cuatro posibles resultados o puntos muestrales: (G, G, F), (G, F, G),(F, G, G) y (G, G, G).

Como puede apreciarse, el primer evento nicamente consta de un solo punto muestral de losocho existentes en el espacio muestral, mientas que en los dos ltimos eventos se tiene una coleccinde varios puntos muestrales.

Ejemplo 7

Para analizar el desempeo de un mercado acudimos a un experimento en el que se observan lossiguientes precios posibles de un producto: 18, 19, 20, 21 y 22 pesos, por lo que el espacio muestralqueda definido de la siguiente manera S= (18, 19, 20, 21, 22). En este caso podemos tener varioseventos, de los cuales se sealan slo algunos:


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E1: Que el precio del producto sea 18 pesos.

E2: Que el precio del producto sea 19 pesos.

E3: Que el precio del producto sea 20 pesos.E

4: Que el precio del producto sea mayor de 20 pesos (21 y 22 pesos).

E5: Que el precio del producto sea de 20 pesos o menos (18, 19 y 20 pesos).

Como podemos observar, los eventos E1

, E2

yE3

se encuentran compuestos slo por un posibleresultado o punto muestral. Los eventos E4y E5se encuentran compuestos por dos y tres posiblesresultados o puntos muestrales, respectivamente.

4.1.2. Enfoques de la probabilidad

En el estudio de la probabilidad resulta inapropiado establecer una definicin estricta de su concepto;en su lugar se han desarrollado tres enfoques conceptuales para determinar sus valores: enfoqueclsico, enfoque de frecuencia relativa y enfoque subjetivo. Cada uno representa planteamientosdistintos en cuanto a la concepcin y a la manera de obtener las probabilidades de un evento.

Enfoque clsico

El enfoque de probabilidad clsico predomin en los siglos XVII y XVIII, y se aplic principalmenteen juegos de azar como cartas y dados.

La probabilidad de que ocurra un evento desde el punto de vista clsico se calcula dividiendo el nmero

de resultados que son favorables al evento, entre el nmero total de resultados del experimento.

Probabil idad deun evento =Nmero de resultados favorables

Nmmero total de resultados

Este enfoque se basa en dos consideraciones: que los resultados son igualmente posibles o quelos resultados pueden ser previsibles sin necesidad de efectuarse el experimento.

Ejemplo 8

Considrese que lanzamos un dado una sola vez. Si nos preguntamos cul es la probabil idad de quecaiga uno?, nuestro evento lo definimos como que caiga uno y su probabilidad la expresamos comoP( ).

En este problema pueden ocurrir seis resultados: que el dado caiga en 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Tambinse observa que de esos seis resultados, slo uno es favorable al evento que caiga uno. Aplicando lafrmula del enfoque clsico de la probabilidad el resultado sera el siguiente:

Nmero de resultados favorables: 1

1 1( )

1 1 1 1 1 1 6P

Nmero total de resultados: 6

Probabilidad de caer el nmero uno

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20 3UNIDAD 4. PROBABILIDAD

Ahora si se desea conocer cul es la probabilidad de que al lanzar el dado una sola ocasin caiga unnmero par, aplicamos la siguiente frmula:

Nmero de resultados favorables: 3

1 1 1 3 1 ( ) 0.5

1 1 1 1 1 1 6 2P par

Nmero total de resultados: 6

Probabilidad de caer el nmero par

30.5

6

En este problema tambin pueden ocurrir seis resultados: que el dado caiga en 1, 2, 3, 4, 5 o 6;de esos seis resultados posibles, tres son favorables al evento que caiga un nmero par, que son losnmeros 2, 4 y 6, por lo que en el numerador de la frmula se pone el nmero 3.

Ejemplo 9

Una conocida cadena de tiendas de autoservicio desea promover sus ventas invitando a sus clientesa participar en un concurso denominado La vida es una tmbola. En ese concurso, a los clientesse les realizar un descuento de acuerdo con el porcentaje que se indique en cada una de las bolitasque seleccion de la tmbola. Dentro de la tmbola, existen 100 bolitas clasificadas de la siguientemanera: 1 otorga 100%, 9 otorgan 50%, 10 otorgan 30%, 10 otorgan 20%, 20 otorgan 10% y 50otorgan 0%.

a) Cul es la probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento?b) Cul es la probabilidad de que un cliente obtenga 30% de descuento?c) Cul es la probabilidad de que un cliente obtenga 0% de descuento?

La probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento es:

P( %)...

.1001

1 1 1 11

1000 01

La probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento en esta tmbola es de 0.01, esdecir, es una probabilidad muy baja. nicamente existe una bolita que ofrece 100% de descuentoentre las 100 que se encuentran en la tmbola.


P( %) .3010100

0 1

Existen diez bolitas que ofrecen 30% de descuento entre las 100 que se encuentran en latmbola.


P( %) .050

1000 5


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Existen cincuenta bolitas que ofrecen 0% de descuento entre las 100 que se encuentran en latmbola.

A la probabil idad clsica comnmente se le conoce como probabi lidad a pr iori , esto esdebido a que la probabilidad puede ser conocida de manera anticipada, sin necesidad de efectuarun experimento. En el ejemplo anterior no fue necesario efectuar observaciones para sabercul era la probabilidad de que un cliente obtuviera 100% de descuento, en lugar de esto laprobabilidad se calcula conociendo nicamente la composicin de la tmbola. Otro ejemplosimilar es cuando un joven acude al sorteo para conocer si tendr que realizar el servicio militarde manera activa, pues al i nicio del sorteo se seala cuntas bolas negras y blancas existen dentrode la urna.

Enfoque de frecuencia relativa

Existe una gran cantidad de situaciones donde la ocurrencia de posibles eventos no es igualmenteprobable ni puede ser previsible, sino que existe la necesidad de efectuar observaciones. En estassituaciones la probabilidad es obtenida utilizando el enfoque de frecuencia relativa, el cual se basaen la informacin que se ha obtenido en experiencias del pasado o en observaciones que se hanrecolectado a travs de una muestra.

La probabilidad de que ocurra un evento se calcula dividiendo el nmero de veces en que se ha

presentado dicho evento, ya sea en observaciones realizadas en el pasado o a travs de un muestreo,

representados como ( ), entre el nmero total de observaciones realizadas, que representamos como .

P A n A

N( )

( )

Donde:n(A) = nmero de veces en que se ha presentado el evento A. N = nmero total de observaciones realizadas.

Ejemplo 10

Un estudiante que se encuentra cursando materias de tronco comn desea conocer cules sonlas expectativas en el campo laboral de estudiar la carrera de contabilidad. Para esto consult losltimos 50 empleos ofrecidos en una bolsa de trabajo por Internet (www.occ.com.mx)y observque 12 plazas se ofrecan a contadores, 15 a administradores, 8 a mercadlogos, 10 a infomticosy 5 a otras carreras.

a) Encuentra la probabilidad de que se solicite un contador pblico.

b) Encuentra la probabilidad de que se solicite un administrador de empresas.c) Encuentra la probabilidad de que se solicite un mercadlogo.d) Encuentra la probabilidad de que se solicite un informtico.

Se uti liza el enfoque de frecuencia relativa pues nicamente pueden obtenerse las probabilidadesrealizando observaciones, en este caso, a travs de un muestreo en Internet. Las probabilidades sonlas siguientes:
http://www.occ.com.mx%29/http://www.occ.com.mx%29/


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PC n C

N( )

( ).

1250

0 24 Probabilidad de que se solicite un contador.

P A n A

N( )

( ).

1550

0 30 Probabilidad de que se solicite un administrador.

P M n M

N( )

( ).

850

0 16 Probabilidad de que se solicite un mercadlogo.

PI n I

N( )

( ).

1050

0 20 Probabilidad de que se solicite un informtico.

Donde:n(C) = nmero de veces en que se ha observado contadores.n(A) = nmero de veces en que se ha observado administradores.n(M) = nmero de veces en que se ha observado mercadlogos.n(I) = nmero de veces en que se ha observado informticos. N = nmero total de observaciones realizadas.

Ejemplo 11

De acuerdo con la experiencia, a una empresa de lnea electrnica se le solicitan mensualmente500 productos clasificados de la siguiente manera: 245 televisores, 55 videograbadoras, 100radiograbadoras y 100 hornos de microondas. Cul es la probabilidad de que un cliente que seencuentra dentro de la tienda dispuesto a comprar un artculo compre un televisor?

Definimos al evento T= que el cliente compre un televisor.Aplicando la frmula de frecuencias relativas se obtiene:

PT n T

N( )

( ).

245500

0 49

De acuerdo con la experiencia en el pasado, la probabilidad de que un cliente compreun televisor es de 0.49. La probabilidad de frecuencias relativas contribuye a mantener losinventarios correctos de esta tienda para el futuro. Por ejemplo, si se abastece a la tienda con100 nuevos artculos, el gerente debe solicitar al proveedor 49 televisores, pues al conocerque existe una probabilidad de 0.49, 49% de los artculos que demandarn los clientessern televisores.

El enfoque de frecuencia relativa es muy utilizado en las ciencias sociales y en los negocios,pues muchas de las decisiones que se toman en estas reas es con apoyo, en gran medida, en lasexperiencias que se han observado en el pasado o en la informacin que se obtiene a travs deuna muestra.

Enfoque subjetivo

Los enfoques clsico y de frecuencia relativa se determinan con base en hechos observables. Sinembargo, en ocasiones se presentan situaciones en las que no es posible realizar observaciones,ya sea porque resulta muy costoso o porque no existe ningn antecedente en el pasado. En estascondiciones, la probabilidad de ocurrencia de un evento debe evaluarse de manera subjetiva.


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Empleando el punto de vista subjetivo, la probabilidad de que suceda un evento es asignada por un

individuo, desde su apreciacin personal o con base en el grado de creencia que tiene sobre la ocurrencia

de un evento particular.

Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a la manoy relacionarla con intuiciones personales. Por esta razn, las distintas apreciaciones que tienen laspersonas hacia un mismo evento pueden derivar en la asignacin de distintas probabilidades.

La probabilidad subjetiva generalmente se asigna cuando los eventos se presentan una solavez o en un nmero muy reducido de veces. Por ejemplo, cuando una empresa no tiene ningnantecedente sobre el lanzamiento de un nuevo producto y tiene que decidir sobre el xito de lacampaa publicitaria.

Ejemplo 12

De acuerdo con su intuicin poltica, un asesor de la Presidencia de la Repblica considera que en elCongreso hay 230 diputados que votaran a favor de una reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo,

120 que votaran en contra y 150 que se abstendran de votar la iniciativa. Cul es la probabilidad deque se apruebe la reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo Federal?

Como esta informacin no fue recolectada mediante un cabildeo en el Congreso, sino desdeel punto de vista muy personal del asesor presidencial, estamos hablando del enfoque subjetivo. Laprobabilidad de que se apruebe la reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo se obtiene de la forma:

P( ) .s seapruebe230500

0 46

Sin embargo, el enfoque subjetivo de probabilidad tambin puede generar opiniones encontradasentre los miembros de un equipo de trabajo en la asignacin de la probabilidad hacia un mismoevento. Lo anterior se debe a las distintas apreciaciones que los miembros de ese equipo tienen hacia

el mismo evento, sin importar si todos cuentan con la misma informacin.


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UNIDAD 4. PROBABILIDAD

. s a co ecc n e uno o var os resu ta os pos es o puntos muestra es que pertenecen aespac o muestra :

a xper mento aeator o.spac o muestra .

c xper mento.ven o.

. s e con unto e to os os resu ta os pos es que se pue en o tener en un exper mento:

a Experimento aleatorio.spac o muestra .

c xper mento.ven o.

. s e proceso e o servac n e cua se o t ene un resu ta o:

a xper mento aeator o.b Espacio muestral.c xper mento.

vento.

. s e proceso e o servac n cuyos resu ta os no pue en pre ec rse con p ena segur a , puesest n su etos a azar:

a Experimento aleatorio.spac o muestra .

c xper mento.d vento.

. Un evento puede ser considerado como:

a Experimento aleatorio.tota e espac o muestra .

c n su con unto e espaco muestra.n proceso que cu m na con a toma e una ec s n.

. us supuestos son que os resu ta os son guamente pos es o pue en ser prev s es snneces a e eectuarse e exper mento:

a n oque c sco.

b Enfoque de frecuencia relativa.c n oque su et vo.

n oque e recuenc a acumu a a.


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08 STAD STICA P OCIOS

. La probabilidad es asignada por los individuos desde su apreciacin personal o con base en elgra o e creenc a que se t ene so re a ocurrenc a e un evento:

a n oque c sco.n oque e recuenc a re at va.

c n oque su et vo.n oque e recuenc a acumu a a.

. ara o tener a pro a a es necesar o rea zar o servac ones, ya que os eventos noson previsibles:

a n oque c sco.b Enfoque de frecuencia relativa.c n oque su et vo.d Enfoque de frecuencia acumulada.

. A la probabil idad subjetiva tambin se le conoce como probabil idad a priori, debido a que:

a Puede ser obtenida sin necesidad de efectuarse un experimento.

ecesar amente e en evarse a ca o o servacones.c Es el enfoque de mayor prioridad en un anlisis de probabil idad.d Es la probabil idad que debe obtenerse inmediatamente en un estudio.

. Es un enfoque en el cual pueden obtenerse distintas probabilidades asignadas por diferentespersonas para un m smo even o:

a n oque c sco.b Enfoque de frecuencia relativa.c n oque su et vo.d Enfoque de frecuencia acumulada.

. cont nuac n se exponen as pro a a es e tres eventos , y :

( = . = 0.72( = .

a u es e evento que t ene m s pos a e ocurr rb) Cul es el evento que tiene menos posibil idad de ocurrir

. Un inversionista necesita seleccionar tres opciones de manera aleatoria y sin reemplazo entreun porta o o compuesto por acc ones: acc n , acc n y acc n . u es son os pos es

resultados o puntos muestrales?Cul es el espacio muestral

. n encuesta or entrev star a os st ntas personas para conocer su op n n so re a ca ae un am n que es mostrar me ante una pro a a. as pos es respuestas que pue e rea zar

ca a uno e os encuesta os son: ueno, regu ar, mao. u es son os pos es resu ta os opuntos muestraes u es e espac o muestra


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. Un joven de 18 aos acude al sorteo del servicio militar a su delegacin respectiva. Se sabe queex sten personas nscr tas para e serv co m tar, que e sorteo se rea zar me anteuna urna que cont ene o as ancas y o as negras, y que a ser seeccona a una o ae eterm na o coor, nuevamente es regresa a a a urna para cont nuar e sorteo. u es a

pro a a e que a este oven e toque marc ar urante su serv co m tar u en oquee pro a a se ut zar a

. De acuerdo con los ltimos meses, la Secretara de Salud inform que de cada 1 500muertos en os t mos meses, se e a acc entes automov st cos, a c ncer ya problemas cardiacos.

a u es a pro a a e que a muerte e una persona se e a a un acc ente automov st cob Cul es la probabilidad de que la muerte de una persona se deba a problemas cardiacosc u en oque se estar a ut zan o en este eemp o

. na empresa e seguros t ene estu antes asegura os por concepto e gastos m cos.Por experiencia, se sabe que 5 de cada 100 estudiantes generan gastos mdicos mayores,

e ca a generan gastos m cos menores y e resto no generan n ng n gasto porservicios mdicos.

a Encuentra la probabil idad de que un estudiante asegurado genere gastos mdicos mayores.b Encuentra la probabil idad de que un estudiante asegurado genere gastos mdicos menores.c u en oque se estar a ut zan o en este eemp o


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4.2. Clasificacin de eventos y sus probabilidades

En la seccin anterior se dijo que un evento en probabilidad es la coleccin de uno o variosresultados posibles o puntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral.

Sin embargo, existe una amplia variedad de eventos que resulta necesario clasificar paratener presente sus diferencias entre s. De esta manera tendremos la posibilidad de entendersus probabilidades.

Eventos simples y eventos compuestos

Una primera manera de clasificar los eventos es en eventos simples y en eventos compuestos. Ambostienen diferentes interpretaciones y son muy tiles para analizar el concepto de probabilidad.

Eventosimplese le denomina a la coleccin de un nico resultado posible o un nico punto muestral.

Los eventos simplesse utilizan regularmente cuando se desea conocer la ocurrencia de un suceso

cuyo resultado es nico, es decir, que no viene acompaado de otros sucesos. Por esta razn, sedice que los eventos simples ya no pueden ser descompuestos o desagregados en diversos puntosmuestrales, pues nicamente considera la coleccin de un solo punto muestral.

Evento compuestose le denomina a la coleccin de dos o ms resultados posibles o puntos muestrales.

Los eventos compuestos tambin son llamados eventos conjuntos y pueden descomponerse envarios eventos simples. Por esta razn, a los eventos compuestos se les define como una coleccin dedos o ms eventos simples.

Ejemplo 13

Del ejemplo 6 sobre una estudiante adolescente que se encuentra platicando con tres jvenes con lafinalidad de encontrar novio, se haba sealado que el evento los tres jvenes sean guapos nicamenteconsideraba un punto muestral (G, G, G) de los ocho resultados posibles de este experimento, porlo que se trata de un evento simple.

Por otra parte, en el evento platique con dos jvenes que sean feos estaban considerados trespuntos muestrales (G, F, F), (F, G, F) y (F, F, G), por lo que ste es un evento compuesto o conjunto.

Por ltimo, en el evento definido al menosdos de los tres jvenes con los que platique seanguapos estaban considerados cuatro puntos muestrales (G, G, F), (G, F, G), (F, G, G) y (G, G, G),por lo que tambin se trata de un evento compuesto o conjunto.

Como puede apreciarse, los eventos compuestos pueden ser desagregados en distintos eventossimples. El evento compuesto platique con dos jvenes feos puede ser desagregado en tres eventossimples (G, F, F) o (F, G, F) o (F, F, G); mientras que el evento compuesto al menos dos de los tres

jvenes con los que platique sean guapos puede ser desagregado en cuatro eventos simples (G, G, F)o (G, F, G) o (F, G, G) o (G, G, G).


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Ejemplo 14

La Subsecretara de Negociaciones Comerciales efectuar dos reuniones con representantes de laOrganizacin Mundial de Comercio con el propsito de resolver una controversia sobre la exportacinde excedentes de azcar mexicana hacia Estados Unidos. En cada una de las reuniones a celebrar sepuede esperar que las negociaciones sean exitosas o que fracasen.

a) Encuentra el espacio muestral para este experimento.b) Si se define el evento que ambas negociaciones sean exitosas, de qu tipo de evento

estamos hablando, simple o compuesto?c) Si se define el evento que se tenga xito en al menos una reunin, de qu tipo de evento

estamos hablando, simple o compuesto?

Si se define E = xito y F = fracaso, los posibles resultados o puntos muestrales que se obtienende este experimento son:

R1: (E, E) R

3: (F, E)

R2: (E, F) R4: (F, F)

Por lo que el espacio muestral queda conformado de la siguiente manera:

S= { (E, E), (E, F), (F, E), (F, F) }

El evento que ambas negociaciones sean exitosas se trata de un evento simple, pues nicamenteconsidera un solo punto muestral (E, E).

En cambio, el evento que se tenga xito en al menos una reunin se trata de un evento compuestoo conjunto, pues se encuentra constituido por tres puntos muestrales: (E, E), (E, F) y (F, E).

Probabil idad simple y probabil idad conjunta

Derivado de los eventos simples y compuestos se obtienen las probabilidades simples yprobabilidades conjuntas.

La probabilidad simplees la posibilidad de que ocurra un evento simple, es decir, es la probabilidad de

que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta o desagregada en otras.

Una propiedad muy importante en probabilidad consiste en que la suma de todas lasprobabilidades simples de un espacio muestral es igual a uno.

PES ( ) 1

Probabilidad conjunta se denomina a la posibilidad de que ocurra un evento conjunto, es decir, la

probabilidad de que se presenten dos o ms puntos muestrales.


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As como los eventos compuestos pueden ser desagregados en eventos simples, tambin laprobabilidad conjunta puede ser desagregada en distintas probabilidades simples.

Ejemplo 15

El departamento de personal de una empresa dio a conocer que existe una vacante de supervisor en eldepartamento de control de calidad que se ofrece a sus empleados; existen 4 trabajadores (Juan, Pedro,Luis y Ral) al interior de la empresa que cubren con el perfil requerido para la vacante.

a) Cul es la probabilidad de que Juan sea seleccionado para cubrir la vacante de supervisor,si la seleccin se hace de manera aleatoria?

b) Qu tipo de probabilidad se trata, simple o conjunta?

El espacio muestral est constituido como S= {Juan, Pedro, Luis, Ral}, pues son los posiblesresultados que la empresa tiene al seleccionar a un trabajador para ocupar la vacante indicada.

La probabilidad de que Juan sea seleccionado para ocupar la plaza de supervisor se obtiene:

P Juan( ) .

1

4 0 25

En este caso se trata de una probabilidad simple, pues es la probabilidad de que sea seleccionadouno de los cuatro puntos muestrales del espacio muestral.

Observa que si sumamos las probabilidades simples de Juan, Pedro, Luis y Ral, su resultadoes igual a uno.

P Juan P Pedro PLuis PRal( ) ( ) ( ) ( )14

14

14

14

1

Por esta razn se dice que la suma de todas las probabilidades simples o la suma de lasprobabilidades de todos los puntos muestrales del espacio muestral es igual a uno.

Ejemplo 16

La aduana de un determinado punto fronterizo seleccionar 4 camiones para inspeccionar susmercancas. De acuerdo con las ltimas inspecciones, se sabe que 50% de los camiones que ingresanal pas trae mercanca de contrabando y el otro 50% su mercanca se encuentra en orden.

a) Encuentra los puntos muestrales y la probabilidad de que al realizarse la inspeccin, doscamiones tengan mercanca de contrabando.

b) Qu tipo de probabilidad se trata en este evento, simple o conjunta?

Si se defineS=s trae contrabandoyN=no traecontrabando, los puntos muestrales de inspeccionar4 camiones son:

R1: (S, S, S, S) R

5: (N, S, S, S) R

9: (S, N, S, N) R

13: (N, N, N, S)

R2: (S, S, S, N) R6: (S, S, N, N) R10: (N, S, S, N) R14: (N, S, N, N)R

3: (S, S, N, S) R

7: (S, N, N, S) R

11: (N, S, N, S) R

15: (N, N, S, N)

R4: (S, N, S, S) R8: (N, N, S, S) R12: (S, N, N, N) R16: (N, N, N, N)


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Existen 16 puntos muestrales en este experimento, de los cuales 6 consideran dos camiones quecontienen mercanca de contrabando (R

6,R

7, R

8,R

9,R

10, R

11).

Al conocer que 6 de los 16 puntos muestrales consideran que dos camiones traigan mercancade contrabando, la probabilidad se determina de la siguiente manera:

P doscamionescon contrabando( ) .6

160 375

Como se puede observar, el evento dos camiones que tengan mercanca de contrabando se encuentracompuesto de 6 puntos muestrales, por lo que la probabilidad es de tipo conjunta. Tanto el evento como laprobabilidad conjunta pueden ser descompuestos en seis eventos simples y en seis probabilidades simples.

Unin e interseccin de eventos

Dos conceptos bsicos que establecen la manera en que se relacionan los eventos entre s son la uniny la interseccin de eventos. Estos conceptos sern de gran utilidad para continuar con el estudio dela probabil idad.

Launin de eventoses la coleccin de puntos muestrales que se encuentran contenidos en los mismos.

Si se tienen dos eventos, y , la unin de stos es la coleccin de puntos muestrales que se encuentran

contenidos en el evento o en el evento Bo en ambos y se representa mediante el smbolo U .

Al ser una coleccin de puntos muestrales, la unin es considerada como un nuevo eventodel cual se puede encontrar su probabilidad. Por esta razn, la unin de eventos tambin puede serdefinida como el evento que contiene los puntos muestrales que se encuentran en los mismos.

Ejemplo 17

Del ejemplo anterior, si se definen dos eventos, A es el evento dos camiones que contengan mercancade contrabando, y B es el evento que el primer camin inspeccionado contenga mercanca decontrabando, encuentra la unin de los eventos A y B.

De los 16 puntos muestrales, 6 se encuentran contenidos en el evento Ados camiones quecontienen mercanca de contrabando (R

6,R

7, R

8,R

9,R

10, R

11). Por otra parte, de los 16 puntos

muestrales, 8 se encuentran contenidos en el evento B, que el primer camin inspeccionado contengamercanca de contrabando (R

1,R

2, R

3,,R

4,R

6, R

7, R

9,R

12).

Evento A: dos camiones que contienen mercanca de contrabando

R6: (S, S, N, N) R9: (S, N, S, N)R

7: (S, N, N, S) R

10: (N, S, S, N)

R8

: (N, N, S, S) R11

: (N, S, N, S)

Evento B: que el primer camin inspeccionado contenga mercanca de contrabando

R1: (S, S, S, S) R6: (S, S, N, N)R

2: (S, S, S, N) R

7: (S, N, N, S)

R3: (S, S, N, S) R

9: (S, N, S, N)

R4: (S, N, S, S) R12: (S, N, N, N)


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La unin de los eventos A y B se encuentra compuesta por 11 puntos muestrales: (R1,R

2, R

3,

R4,R

6, R

7, R

8,R

9, R

10,R

11, R

12). Para encontrar la unin de estos eventos se debe encontrar los puntos

muestrales que se contienen en el evento A o en el evento B. En caso de que un punto muestral seencuentre contenido en ambos eventos, nicamente debe ser sealado una sola ocasin.

R1: (S, S, S, S) R

6: (S, S, N, N) R

10: (N, S, S, N)

R2

: (S, S, S, N) R7

: (S, N, N, S) R11

: (N, S, N, S)R

3: (S, S, N, S) R8: (N, N, S, S) R12: (S, N, N, N)R4: (S, N, S, S) R9: (S, N, S, N)

La unin de estos eventos tambin puede ser representada mediante un diagrama de Venn.

A B

A BS

Figura 4.1. Unin de eventos A y B.

Observa en este ejemplo que la unin resultante de A y B son todos los puntos muestralesque se encuentran tanto en A como en B. Observa que en A B los puntos muestralesR

6, R

7yR

9, que

aparecen en ambos eventos nicamente, se sealan una vez. En un diagrama de Venn la unin es

representada por el rea sombreada que cubre ambos conjuntos, tanto a A como a B.Adicionalmente, se ha sealado que el resultado de la unin de los eventos A y B es un nuevo

evento A B, del cual tambin se puede encontrar su probabilidad.

P A B( ) .1116

0 6875 Probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B.

La interseccinde dos eventos A y B es el conjunto de todos los puntos muestrales que se encuentran

contenidos en ambos eventos A y B simultneamente, y es representada por el smbolo A B.

Al ser una coleccin de puntos muestrales, la interseccin tambin es considerada comoun nuevo evento. Se debe destacar que la interseccin considera nicamente aquellos puntosmuestrales que se encuent ran contenidos en ambos eventos; es decir, no pueden ser consideradosen la interseccin aquellos puntos muestrales que estn contenidos en el evento A, pero que nose encuentren contenidos en el evento B.


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Ejemplo 18

Consideremos nuevamente el ejemplo de la verificacin aduanal. Si se desea encontrar la interseccinde los eventos A dos camiones que contengan mercanca de contrabando, y B que el primer camininspeccionado contenga mercanca de contrabando, entonces:

De los 16 puntos muestrales que tiene el espacio muestral, existen tres puntos que se encuentrancontenidos simultneamente tanto en el evento A como en el evento B (R

6

,

R7

, R9

).

R6: (S, S, N, N)R

7: (S, N, N, S)

R9: (S, N, S, N)

La interseccin de estos eventos tambin puede ser representada mediante un diagrama de Venn.

A BS

A B

Figura 4.2. Interseccin de eventos A y B.

Observa en este ejemplo que la interseccin resultante de A y B nicamente son aquellos puntosmuestrales que se encuentran de manera simultnea en los eventos A y B. En el diagrama de Venn

la interseccin de dos eventos se representa por el rea sombreada que cubre nicamente la regindonde los eventos A y B son coincidentes.Adicionalmente, se ha sealado que el resultado de la interseccin de los eventos A y B tambin

es un nuevo evento A B, del cual tambin se puede encontrar su probabil idad.

P A B( ) .3

160 1875

Eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes

Adems de clasificar los eventos en simples y compuestos, tambin resulta necesario para el estudio de

la probabilidad definir los eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes.

Un evento complementario, como su nombre lo seala, se denomina a la coleccin de posibles resultados


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Por ejemplo, si ya tenemos definido un evento A, entonces el complemento de A es lacoleccin de todos aquellos puntos muestrales que no fueron incluidos en el evento A. Este eventocomplementario puede ser denotado como A.

Si tenemos un evento A, cuya probabil idad esP(A), entonces podemos sealar que la probabilidaddel complemento de A se encuentra definida mediante la siguiente expresin:

P A P A( ) ( )1

Dado que:

P A P A( ) ( ) 1

Ejemplo 19

Una empresa de transportes de carga hizo sus estimaciones de ventas para el prximo ao. De losresultados obtenidos existe la probabilidad de 0.90 que las ventas alcancen 100%, cul ser laprobabilidad de que las ventas no alcancen 100%?

Si se define al evento A que las ventas alcancen 100% y si se desea conocer la probabilidad deque las ventas no alcancen 100%, entonces el objetivo consiste en encontrar la probabilidad de P(A),sta se conoce como el complemento de P(A). Se sabe que P(A) = 0.90, por lo tanto:

Si, P A P A( ) ( )1

Sustituyendo se tiene que, P A( ) . .1 0 90 0 10

En conclusin, la probabilidad de que las ventas de la empresa no alcancen 100% es de 0.10.

Se dice que los eventos son mutuamente excluyentessi no tienen puntos muestrales en comn; es decir,

que cuando ocurre un evento el otro no puede ocurrir de manera simultnea.

Si tenemos dos eventos A y B, se considera que ambos son mutuamente excluyentes si lapresencia de un evento es suficiente para excluir la presencia del otro. Al no contar con ningn puntomuestral en comn, la interseccin de dos eventos mutuamente excluyentes es nula y su probabilidadde esta interseccin es 0, es decir, P(A B) = 0. Mediante un diagrama de Venn se puede apreciar queno existe interseccin A B para este tipo de eventos.

A B

Espacio muestral "S"

P ( A B) = 0

Figura 4.3. Eventos mutuamente excluyentes.


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Ejemplo 20

Una empresa de consultora desea medir el nivel de audiencia de los dos noticieros televisivosms importantes en cadena nacional. En el horario en que ambos noticieros son transmitidos, laempresa realiza una llamada a un hogar y pregunta cul es el noticiero que se encuentra viendo enese momento.

Si se definen los siguientes eventos:

A = Ve el noticiero de la televisora que se encuentra en el Ajusco.B = Ve el noticiero de la televisora que se encuentra en avenida Chapultepec.C = No se encuentra viendo ningn noticiero.

En este caso los eventos son mutuamente excluyentes, pues si la persona se encuentra viendo elnoticiero de la televisora del Ajusco implica que no se encuentra viendo el noticiero de la televisoraque se encuentra en avenida Chapultepec y viceversa.

En este caso la interseccin entre los tres eventos es nula: P(A B C) = 0

Ejemplo 21

Si se tienen los siguientes eventos: el evento A que la Bolsa Mexicana de Valores tenga un cierre haciala alza; el evento B que la Bolsa Mexicana de Valores cierre hacia la baja y el evento C que la BolsaMexicana de Valores cierre sin cambios, son eventos mutuamente excluyentes?

Estos tres eventos s son mutuamente excluyentes, pues si el evento A ocurre, no pueden ocurrirlos eventos B y C en un da determinado. De la misma manera, si el evento B ocurre, no puedenocurrir los eventos A y C en un da determinado.

Cabe sealar que cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la interseccin entreambos es diferente a cero.


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. e enom na a a co ecc n e os o m s puntos muestraes:

a vento s mp e.ven o compueso.

c vento comp ementar o.d Eventos mutuamente excluyentes.

. Se denomina a la coleccin de un nico punto muestral:

a vento s mp e.b vento compuesto.c vento comp ementar o.d Eventos mutuamente excluyentes.

. Se denomina a la coleccin de posibles resultados o puntos muestrales del espacio muestral queno ueron ncu os en otro evento ya e n o:

a vento s mp e.b vento compuesto.c Evento complementario.

ventos mutuamente excuyentes.

. uan o os eventos no t enen puntos muestra es en com n o que cuan o uno ocurre e otrono puede ocurrir de manera simultnea, se les llama:

a Evento simple.ven o compueso.

c Evento complementario.d Eventos mutuamente excluyentes.

. Es la posibilidad de que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuestao esagrega a en otras pro a a es:

a ro a a smp e.b ro a a con unta.c n n e eventos.d Interseccin de eventos.

. s a pos a e que se presenten os o m s puntos muestraes:

a ro a a smp e.

b Probabil idad conjunta.c n n e eventos.

ntersecc n e eventos.


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. Si hay dos eventos, A y B, es la coleccin de puntos muestrales que se encuentran contenidos ene evento o en e evento o en am os:

a ro a a smp e.ro a a con unta.

c n n e eventos.ntersecc n e eventos.

. se t enen os eventos y , a con unto e puntos muestraes que se encuentran conten osen ambos eventos A y B se le llama:

a ro a a smp e.b Probabil idad conjunta.c n n e eventos.d Interseccin de eventos.

. Si se define el evento que se presente un incremento en la Bolsa Mexicana de Valores cuyapro a a es e . , se aa e comp emento e este evento y su pro a a correspon ente:

a ue se presente un ncremento en a o sa con pro a a e . .b Que se presente una cada en la bolsa con probabil idad de 0.8.c Que no se presenten cambios en la bolsa con probabil idad de 0.8.

ue no se presente un ncremento en a o sa con pro a a e . .

. se t ene un evento con unto const tu o por puntos muestra es y e espac o muestra t eneun total de 10, entonces:

a El evento conjunto no puede ser descompuesto en eventos simples, pero tampoco se puedeo tener eventos smp es e espac o muestra .

b El evento conjunto no puede ser descompuesto en 4 eventos simples y del espacio muestralse puede obtener 10 eventos simples.

c evento con unto pue e ser escompuesto en eventos smpes y e espac o muestra sepuede obtener 10 eventos simples.

evento con unto pue e ser escompuesto en eventos smp es y e espac o muestra sepuede obtener 4 eventos simples.

. y que son mutuamente excuyentes, entonces e con unto :

a) Estar conformado por todos los puntos muestrales del espacio muestral.er nu o o no ex ste .

c er gua a uno.d Estar conformado por los puntos muestrales de ambos eventos.

. se t en puntos muestrales en un espacio muestral, entonces:

a e ten r en tota eventos smp es.e ten r en tota even os con un os.

c n mero e eventos smp es es gua a n mero e eventos con untos.o se pue e est mar e n mero tota e eventos smpes.


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. se t ene eventos simples, se puede afi rmar que:

a os eventos tam n son eventos con untos.o se sa e cu ntos puntos muestra es ex sten en e espac o muestra .

c os eventos no son mutuamente excuyentes.os eventos smp es son mutuamente excuyentes.

. se t enen eventos simples, se puede afi rmar que:

a No se sabe cuntos puntos muestrales existen en el espacio muestral.a suma e as pro a a es smp es e os eventos ser .

c a suma e as pro a a es y sus comp ementos es .d No se sabe cuntos puntos muestrales existen en el espacio muestral.

. Si se tiene un evento A, se puede afirmar que:

a El evento A es mutuamente excluyente del evento B.evento no es mutuamente excuyente e evento .

c La suma de la probabil idad de A y su complemento es igual a 1.

a suma e a pro a a e y as pro a a es smp es es .

. Si se definen los siguientes eventos:

A = {cetes, tipo de cambio, tasa de inters, centenario}= cetes, centenar o, petr eo, acc ones e

a ncuentra a un n e os eventos y .b Encuentra la interseccin de los eventos A y B.

. Una estudiante adolescente se encuentra chateando en Internet con t res jvenes con elpropsito de encontrar novio. Existe la posibilidad de que los jvenes con los que platique

sean guapos ( o eos ( . se e ne e evento que os venes sean guapos y e eventoC al menos dos jvenes sean guapos:

a Qu tipo de eventos son A y B, simples o compuestos u es a un n e os eventos y

c u es a ntersecc n e os eventos y

. Un inversionista seleccionar de manera aleatori a y sin reemplazo dos acciones entreun porta o o compuesto por acc ones: acc n , acc n y acc n . se e ne eevento que sa ga se ecc ona a a acc n y e evento que sa ga se eccona a aaccin B, encuentra:

a La unin de los eventos A y B.a ntersecc n e os eventos y .

c a pro a a e a un n e os eventos .a pro a a e a ntersecc n e os eventos .


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. Un encuestador entrevistar a dos distintas personas para conocer su opinin sobre la calidade una marca e am n que es mostrar me ante una pro a a. as pos es respuestas que

pue e rea zar ca a uno e os encuesta os son: ueno, regu ar, mao. se e ne e eventoque a menos una persona p ense que a ca a es uena , un evento a menos una

persona p ense que a ca a es maa .

a ncuentra a un n e os eventos y .b Encuentra la interseccin de los eventos A y B.c ncuentra a pro a a e a un n e os eventos .d Encuentra la probabilidad de la interseccin de los eventos A .e e a a s os eventos y son mutuamente excuyentes.

e a a a pro a a e comp emento e a ntersecc n e .g) Seala la probabil idad del complemento de la unin A .

u t po e eventos son y , smp es o compuestos


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4.3. Leyes de probabilidad

Una vez que ya se han clasificado los distintos tipos de eventos, en esta seccin se exponen tres leyes ydos definiciones fundamentales de la probabilidad que establecen relaciones entre las probabilidadesde distintos eventos. Estas son:

1. La ley de la adicin.

2. La probabilidad condicional.

3. La independencia estadstica.

4. La ley de la mult iplicacin.

5. La ley de Bayes.

Estas leyes son muy utilizadas para dar solucin a una gran cantidad de problemas que sepresentan cotidianamente en los negocios y en las ciencias sociales.

4.3.1. Ley de la adicin

En la seccin anterior se seal que la unin de dos eventos, A y B, es la coleccin de puntos muestralesque se encuentran contenidos en uno o en otro evento. Precisamente, la ley de adicin establece laprobabilidad de que ocurra la unin de esos dos eventos, es decir, la probabilidad de que se presenteel evento A o el evento B.

Existen dos frmulas de la ley de la adicin y su uso depende si los eventos que se estn analizandoson mutuamente excluyentes o no.

Si por ejemplo, si se tienen dos eventos que no son mutuamente excluyentes, A y B, la ley deadicin sera la siguiente:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Donde:P(A B): es la probabilidad de que se presente el evento A o el evento B.P(A): la probabilidad de que suceda el evento A.P(B): la probabilidad de que suceda el evento B.P(A B): la probabilidad de que sucedan A y B de manera simultnea.Por otra parte, si N eventos son mutuamente excluyentes, la ley de adicin queda expresada de

la siguiente manera:

P(A B C N ) = P(A) + P(B) + P(C) + + P(N)

Es decir, por ejemplo, si se tienen dos eventos que son mutuamente excluyentes, A y B, la leyde adicin sera la siguiente:

P(A B)= P(A) + P(B)

Recuerda que si dos eventos son mutuamente excluyentes, es imposible que ambos se presentenal mismo tiempo, por lo que la interseccin de los mismos es nula. Si se compara con la frmula


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anterior, la nica diferencia radica en que la probabilidad de interseccin P(A B) es cero cuando loseventos son mutuamente excluyentes.

Cuando se solicite la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B, o dicho de otra manera, laprobabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos, se debe acudir al uso de la ley de la adicin.

Ejemplo 22

En el proceso de admisin a las maestras en negocios durante el ao 2000, la Universidad de Stanfordadmiti a 8.3% de los aspirantes, la Universidad de Harvard admiti a 13.5% de los aspirantes,mientras que 5.1% de los aspirantes fue admitido en ambas universidades (fuente: Best GraduateSchools in Business, www.usnews.com).

Cul es la probabilidad de que un aspirante sea admitido en al menos una de las dosuniversidades citadas?

Definimos:P(S) = 0.083 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en Stanford.P(H) = 0.135 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en Harvard.P(S H) = 0.051 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en ambas.

Se aplica la ley de la adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes, puesto que si unaspirante es admitido en Stanford no implica que no pueda ser admitido en Harvard; un aspirantepuede ser admitido en ambas universidades de manera simultnea, razn por la cual P(S H) = 0.051.

P( S H ) = P(S) + P(H) P(S H) = 0.083 + 0.135 0.051 = 0.167

La probabilidad de que un estudiante sea admitido en al menosuna de las dos universidades o laprobabilidad de que un estudiante sea admitido en Stanford o en Harvard es de 0.167.

Ejemplo 23

En el ao 2000, una prestigiada universidad en Mxico tena una poblacin estudiantil de 43 328alumnos inscritos en cuatro diferentes campi: 19.5% se encontraba matriculado en el campus Atizapn,33.2% en campus Cuitlhuac, 14.2% en campus Marina y 33.1% en campus Sur. Adicionalmente,32.7% de sus estudiantes se encontraban matriculados en la Divisin Acadmica de Ingeniera, 1.1%en la Divisin Acadmica de Odontologa y 66.1% en la Divisin Acadmica de Administracin yCiencias Sociales. Los estudiantes nicamente pueden estar matriculados en un solo campus y en unadivisin acadmica.

a) Si se selecciona un alumno al azar, cul es la probabilidad de que se encuentre matriculadoen la Divisin Acadmica de Administracin y Ciencias Sociales o en la Divisin Acadmicade Ingeniera?

b) Si se selecciona un alumno al azar, cul es la probabilidad de que se encuentre matriculadoen el campus Cuitlhuac o en el campus Atizapn o en el campus Sur?

Definimos:P(I) = 0.328 Probabilidad de que est en ingeniera.P(O) = 0.011 Probabilidad de que est en odontologa.
http://www.usnews.com%29./http://www.usnews.com%29./


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P(ACS) = 0.661 Probabilidad de que est en administracin y ciencias sociales.P(A) = 0.195 Probabilidad de que sea de Atizapn.P(M) = 0.142 Probabilidad de que sea de Marina.P(C) = 0.332 Probabilidad de que sea de Cuitlhuac.P(S) = 0.331 Probabilidad de que sea del Sur.

Se utiliza la ley de la adicin para eventos mutuamente excluyentes en ambos incisos, pues losestudiantes nicamente pueden estar matriculados en un solo campus y en una sola divisin acadmica.

P( ACS I ) = P(ASC) + P(I) = 0.661 + 0.328 = 0.989

La probabil idad de que un estudiante escogido al azar est matriculado en la Divisin Acadmicade Administracin o Ciencias Sociales o en la Divisin Acadmica de Ingeniera es de 0.989.

P( C A S ) = P(C) + P(A) + P(S) = 0.332 + 0.195 + 0.331 = 0.858

La probabilidad de que un estudiante escogido al azar est matriculado en el campus Cuitlhuaco en el campus At izapn o en el campus Sur es de 0.858.

Ejemplo 24

De acuerdo con la informacin proporcionada por el INEGI, en el ao 1999 se encontraban inscritosen nuestro pas 1 481 999 estudiantes en el nivel superior, los cuales se presentan desagregados porsexo y por reas de estudio en la tabla 4.1. Si se definen los siguientes eventos:

A = Mujeres que estudian en el nivel superior.B = Hombres que estudian en el nivel superior.C = Alumnos inscritos en reas administrativas y sociales.D = Alumnos inscritos en un programa de las reas de ingeniera y tecnologa".

a) Cul es la probabilidad de que al seleccionar al azar a un estudiante de nivel superior,estudie en reas administrativas y sociales o en reas de ingeniera y tecnologa?

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado al azar, seamujer o estudie en reas administrativas y sociales?

c) Cul es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado al azar, seahombre o estudie en reas de ingeniera y tecnologa?

rea de estudio Mujeres Hombres Total

Agropecuarias 9 666 29 093 38 759Salud 78 934 52 906 131 840

Exactas 13 503 16 499 30 002Administrativas y sociales 412 792 329 699 742 491Educacin y humanidades 36 949 20 415 57 364Ingeniera y tecnologa 138 456 343 087 481 543

Total 690 300 791 699 1 481 999

Fuente: www.inegi.gob.mx

Tabla 4.1. Estudiantes de nivel superior en Mxico.
http://www.inegi.gob.mx/http://www.inegi.gob.mx/


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En el inciso a) se solicita P(C D). Ambos eventos son mutuamente excluyentes, pues de acuerdocon la informacin proporcionada por el INEGI, un estudiante nicamente puede estar matriculado enun rea de estudio, por lo tanto:

PC D PC PD ( ) ( ) ( ) .742 491

1 481 999481 543

1 481 9990 501 0

.. .3249 0 8259

De acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa, la probabilidad de que un estudiantede nivel superior estudie en reas administrativas y ciencias sociales se obtiene dividiendo elnmero de estudiantes de estas reas (742 491) ent re el total de estudiantes en el nivel superior(1 481 999), dando una probabilidad P(C) = 0.501, mientras que la probabilidad de que un estudianteestudie en reas de ingeniera y tecnologa se obtiene dividiendo el nmero de estudiantes de estasreas (481 543) entre el total de los estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidadP(D) = 0.3249. La probabilidad de que al seleccionar al azar a un estudiante de nivel superior, estudie enreas administrativas y de ciencias sociales o en reas de ingeniera y tecnologa es 0.8259.

En el inciso b) se solicita P(A C). A y C son eventos que no son mutuamente excluyentes,pues pueden ocurrir simultneamente (existen mujeres que se encuentran estudiando en reasadministrativas y sociales), por lo tanto:

P A C P A PC P A C ( ) ( ) ( ) ( ) 690 3001 481 999

742 4911 481 999

4412 7921 481 999

04657 0501 0 2785 06882. . . .

La probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea mujer y estudie en reas administrativasy ciencias sociales P(A C) se obtiene dividiendo el nmero de estudiantes que cumplen con amboseventos (412 792) entre el total de estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabil idad0.2785. Utilizando la ley de adicin, la probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea mujero estudie en reas administrativas y ciencias sociales es 0.6882.

En el inciso c) se solicita P(B D). Ambos eventos tampoco son mutuamente excluyentes, puespueden ocurrir de manera simultnea (existen hombres que se encuentran estudiando en reas de

ingeniera y tecnologas), por lo tanto:

PB D P B PD P B D ( ) ( ) ( ) ( )791 699

1 481 999481 543

1 4481 999343 087

1 481 999

0 5342 0 3249 0 2315 0 62. . . .

La probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea hombre y estudie en reas de ingenieray tecnologa P(B D) se obtiene dividiendo el nmero de estudiantes que cumplen con ambos eventos(343 087) entre el total de estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidad 0.2315.Utilizando la ley de adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que unestudiante de nivel superior sea hombre o estudie en reas de ingenieras y tecnologas es 0.6275.

4.3.2. La probabilidad condicional

Con frecuencia las probabilidades de los eventos se encuentran relacionados de manera tal, que laprobabilidad de ocurrencia de uno de ellos depende si los otros han ocurrido o no. Por ejemplo, esmuy probable que la Bolsa Mexicana de Valores experimente un comportamiento hacia la alza dadoque se presente un incremento en las bolsas de valores en el resto del mundo.


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Otro ejemplo por sealar es el relacionado con las enfermedades en las vas respiratorias. Todomundo sabe que la probabilidad de que las personas adolezcan de estas enfermedades se incrementacuando existe la presencia de condiciones climatolgicas adversas, por ejemplo en la temporada defro o de lluvias. Cuando la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos es condicionada o influidapor la presencia de otros eventos, existe una relacin de dependencia que suele asociarse con lallamada probabilidad condicional.

La probabilidad condicionalde un evento es aquella que est condicionada o determinada por la

presencia de otro evento.

La probabilidad condicional se representa mediante la siguiente frmula:

P A B P A B

PB( / )

( )( )

Donde:P(A/ B)= Probabilidad condicional de que se presente el evento A dado que ocurra el evento B.

P(A B)= Probabilidad de la interseccin del evento A con el evento B; es decir, la probabilidadde que ocurran estos eventos de forma simultnea.

P(B)= Probabilidad de que suceda el evento B. Observa que el evento B es el que condicionala probabilidad del evento A.

Ejemplo 25

De acuerdo con algunos estudios realizados por analistas de mercado, se sabe que la probabilidad de queexista una devaluacin del peso y una cada en la tasa de inters de manera simultnea es de 0.2. Adems,la probabilidad de que exista una cada en las tasas de inters es de 0.5. Seala cul ser la probabilidad deque exista una devaluacin en el peso dado que se presente una cada en las tasas de inters.

Se desea conocer cul es la probabilidad de que exista una devaluacin del peso inf luida por lacada en las tasas de inters, por lo que definimos:

Evento A= Devaluacin del peso.Evento B= Cada en las tasas de inters.P(A B)= 0.2P(B) = 0.5

P A B P A B

PB( / )

( )( )

.

..

0 20 5

0 4

Se puede sealar que la probabilidad de que se presente una devaluacin del peso motivada porla cada en las tasas de inters es de 0.4.

Hay que resaltar que la probabilidad condicional nicamente procede cuando se trata de eventosque no son mutuamente excluyentes, es decir, cuando la probabilidad de la interseccin P(A B) esdistinta a cero. En caso de que los eventos sean mutuamente excluyentes P(A B) sera igual a ceroy por lo tanto la probabilidad condicional P(A/ B) tambin sera igual a cero.


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4.3.3. La independencia estadstica

Cuando se habl de la probabilidad condicional se mencion que ciertos eventos son inf luidos o determinadospor otros. Sin embargo, tambin existen eventos que no son influidos por la presencia de otros eventos. Unamanera de formalizar esta ltima idea es mediante el trmino independencia estadstica.

que la probabilidad de un evento es indiferente a la presencia o no presencia de otro evento.

La independencia estadstica entre dos eventos se expresa mediante la siguiente frmula:

P(A/ B) = P(A)

Por el contrario, cuando los eventos s se influyen o se determinan entre s, se dice que noson estadsticamente independientes. En el caso de dos eventos que no son estadsticamenteindependientes se cumple lo siguiente:

P(A/ B) P(A)

Como se puede apreciar en la frmula para eventos que son estadsticamente independientes, laprobabilidad condicional P(A/ B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, exista o no la presenciadel evento B, la probabilidad P(A) no cambia, es indiferente. Por el contrario, cuando los eventos no sonestadsticamente independientes se observa que la probabilidad condicional P(A/ B) no es la misma a laprobabilidad del evento A, es decir, la presencia del evento B s influy en modificar la probabilidad delevento A. Mientras ms distinta sean estas probabilidades se dice que el evento B influye mucho sobre A.

Ejemplo 26

Se sabe que 50% de los refrescos que se consumen en una poblacin son de una determinadamarca, tambin se sabe que 60% de la poblacin ha visto por televisin el nuevo comercial deeste refresco, y que las personas que consumen esa marca de refresco y que han visto su nuevo

comercial representan 30% de la poblacin. Determina si la compra de refrescos de esta marca hasido estimulada por su nuevo comercial en televisin.

Si se desea conocer la inf luencia del nuevo comercial en la compra de refrescos acudimos alconcepto de independencia estadstica, para ello definimos:

Evento A = Consumo de refrescos de la marca sealada.Evento B = Nuevo comercial del refresco.P(A) = 0.5P(B) = 0.6P(A B) = 0.3

Se obtiene la probabilidad condicional P(A/ B) mediante la frmula:

P A B P A B

P B( / )

( )( )

.

..

0 30 6

0 5

Si comparan las probabilidades P(A/ B) = 0.5 y P(A) =0.5, se observa que ambas son iguales 0.5= 0.5. En este sentido sealamos que el evento A es estadsticamente independiente del evento B, es


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decir, la probabilidad de que un cliente consuma refrescos de esta determinada marca no est influidapor la presencia del nuevo comercial, por lo que se puede concluir que la publicidad de este refrescono es la adecuada.

Ejemplo 27

En muchas ocasiones se dice que ciertas carreras profesionales atraen en mayor nmero a las mujeresy otras carreras a un mayor nmero de hombres. De la informacin proporcionada en la tabla 4.2determina si la carrera de comunicaciones atrae a las mujeres.

Carrera Mujeres Hombres Total

Administracin 83 970 67 882 151 852Finanzas 1 032 1 248 2 280

Comunicaciones 28 853 17 867 46 720Contabilidad 86 592 66 328 152 920Economa 9 607 13 277 22 884

Mercadotecnia 11 622 8 680 20 302

Otras 191 116 154 417 345 533Total 412 792 329 699 742 491

Fuente: www.inegi.gob.mx

Tabla 4.2. Estudiantes de las reas administrativas y ciencias sociales, segn carrera en 1999.

Si se desea conocer la influencia que la carrera de comunicaciones tiene en la proporcinde las mujeres inscritas en dicho programa, se utiliza la probabilidad condicional, es decir, laprobabilidad de que al escoger aleatoriamente un alumno, dado que ya se sabe que estudiaciencias de la comunicacin, sea de sexo femenino. Para esto definimos: evento A = mujer y eventoB = comunicaciones. Se obtienen sus respectivas probabilidades:

P A( ) .412 792

742 4910 5559

y PB( ) .

46 720

742 4910 0629

Tambin se obtiene la probabilidad de la interseccin de ambos eventos:

P A B( ) .28 853

742 4910 0388

Ahora encontramos la probabilidad condicional de A dado B, y la comparamos con laprobabilidad simple del evento A, para saber si son independientes los eventos entre s:

P A B P A B

PBP A( / )

( )( )

.

.. . ( )

0 03880 0629

0 6168 0 5559

La probabilidad condicional de A dado B es distinta de la probabilidad simple del evento A, porlo que podemos decir que s inf luye esta carrera en que exista mayor nmero de damas inscritas eneste programa de estudios.
http://wwp.inegi.gob.mx/http://wwp.inegi.gob.mx/


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4.3.4. Ley de la multiplicacin

En la seccin anterior se seal que la interseccin de dos eventos es la coleccin de puntos muestralesque se encuentran contenidos ambos eventos de manera simultnea. La ley de la multiplicacinestablece la probabilidad de que se presente esa interseccin de dos eventos A y B.

Existen dos frmulas de la ley de la multiplicacin y su uso depende si los eventos que se estnanalizado sean estadsticamente independientes o no.

Si se tienen dos eventos que son estadsticamente independientes, la ley de multiplicacinestablece que la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B de manerasimultnea es:

P(A B) = P(A) P(B)

Donde:P(A B): Es la probabilidad de que se presente el evento A y el evento B.P(A): La probabilidad de que suceda el evento A.P(B): La probabil idad de que suceda el evento B.

Por otra parte, si dos eventos no son estadsticamente independientes, la ley de la mult iplicacin

establece que la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B se obtienemediante la siguiente frmula:

P(A B) = P(A/ B) P(B)

Donde:P(A/ B) = Es la probabilidad condicional de que suceda el evento A dado que se presente

el evento B.

Cuando se solicite la probabilidad de que ocurra un evento A y un evento B, o dicho de otramanera, la probabilidad de que ocurran ambos eventos de manera simultnea, se debe acudir al usode la ley de la multiplicacin.

Ejemplo 28

El departamento de mercadotecnia de una empresa realiz un estudio de mercado para saber cul dedos bebidas refrescantes prefieren los consumidores; la bebida refrescante A tuvo una probabilidadde aceptacin de 75%, mientras que la bebida refrescante B tuvo una aceptacin de 80%. Cul es laprobabilidad de que ambas bebidas refrescantes tengan aceptacin por parte de los consumidores sise supone que ambos eventos son estadsticamente independientes?

La probabilidad de A es de 0.75.La probabilidad de B es de 0.80.

Sustituyendo en la frmula se obtiene:

P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ( . )( . ) .0 75 0 80 0 6

La probabilidad de que ambas bebidas sean aceptadas es de 0.60.


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Ejemplo 29

En el departamento de produccin de una empresa se sabe que un conjunto de 10 partes de repuestocontiene ocho partes aceptables (A) y 2 defectuosas (B). Dada la seleccin aleatoria sin reemplazo dedos partes, cul es la probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptables?

Tenemos que P A( )8

10

, dado que se conoce la probabilidad de A, entonces la probabilidad

condicional PB A( / ) 79

. Recurdese que cuando se trabajan experimentos sin reemplazo primero se

realiza uno y luego el otro, en este ejemplo primero se toma una parte, la cual ya no se devuelve, de ah quetanto el numerador como el denominador de P(A) se vean disminuidos en una unidad para el siguienteexperimento, por lo tanto:

P A B P A P B A( ) ( ) ( / ) .8

1079

5690

0 6222

La probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptadas es de 0.62.

4.3.5. Ley de Bayes

En la mayora de las aplicaciones reales, las decisiones se actualizan conforme se obtiene nuevainformacin o cuando existe un cambio de escenarios. Por ejemplo, las empresas revisan susdecisiones sobre el nivel de produccin una vez que se conoce la presencia de un escenario favorableo desfavorable. Por esto se observa que cuando se mani fiestan los primeros sntomas de una cri siseconmica, las empresas realizan recortes en su produccin y en su planta laboral de manera anticipadacon el propsito de permanecer en el mercado.

La ley de Bayes proporciona un mtodo mediante el cual la probabilidad de cierto evento que ya esconocido (probabilidad a priori o previa) se va actualizando conforme se obtiene nueva informacin. Unavez que la probabilidad ha sido actualizada se le llama probabilidad a posteriori(o probabilidad posterior).

La probabilidad condicional determina la forma en que un evento es influido o determinado

dada la presencia de otro evento. Por esta razn, las probabilidades a posteriorison probabilidadescondicionales, pues han sido actualizadas por la presencia de un nuevo evento al haberse obtenidomayor informacin. La ley de Bayes se utiliza para obtener probabilidades ms precisas que lasprobabilidades a priori, dada la presencia de un nuevo evento.

La frmula para encontrar una probabilidad a posteriori es la que se conoce como la ley de Bayes,la cual se expresa de la siguiente manera:

Sea A un evento y A su complemento (informacin a priori). Si otro evento B ocurre, entonces:

P A B PB A P A

P B A P A P B A P A( / )

( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )

De lo anterior se puede deducir lo siguiente; si el evento A ocurre, cul es la probabilidad de

que haya sido generado por el evento B?

Donde:P(A/ B) = Probabilidad de que ocurra A dado que ocurri B (probabilidad a posteriori).P(B/A) = Probabilidad de que ocurra B dado que ocurri A.P(A) = Probabilidad del evento A (probabilidad a priori).P(A) = Probabilidad del complemento del evento A (probabilidad a priori).


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El teorema de Bayes ofrece un mtodo estadstico importante para evaluar nueva informacina partir de informacin pasada. Si el teorema es utilizado de manera correcta, se hace innecesarioreunir grandes cantidades de datos en un periodo largo de tiempo, esto sin lugar a dudas facilita latoma de decisiones.

Ejemplo 30

En una fbrica se tienen dos mquinas que producen pantalones de vestir. La mquina 1 produce45% del total de pantalones y la 2 produce 55% restante. La mquina 1 produce 10% de pantalonesdefectuosos y en la mquina 2 el porcentaje de produccin defectuosa es de 8%. Si se observa unpantaln defectuoso, cul es la probabilidad de que haya sido producido por la mquina 2?

Se puede identificar en el problema las siguientes variables:

A: produccin de la mquina 1.B: produccin de la mquina 2.X : productos defectuosos.Y: productos de buena calidad.

Para facilitar el anlisis se utilizar un diagrama de rbol.

A 45 % 10 %

B 55 %

90 %

08 %

92 %

Sustituyendo en la frmula de la ley de Bayes, tenemos:

P B P B P B

P B P B P B P B B

B

B B

( / )( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )X

X

X X

( . )( . )( . )( . ) ( . )( . )

( . )( . )

.0 08 0 55

0 08 0 55 0 10 0 450 0440 089

0 49

La probabilidad de que el pantaln defectuoso haya sido producido por la mquina 2 es de 49%.

Ejemplo 31

El departamento de compras de una empresa de plsticos report lo siguiente: 80% de materialde vinil recibido del proveedor A es de buena calidad mientras que slo 50% del material recibidodel proveedor B es de la misma calidad. Sin embargo, la capacidad de produccin del proveedor Aes limitada, razn por la cual slo 40% del material de vinil adquirido por la empresa de plsticosproviene del proveedor A. El restante 60% procede del proveedor B. Al inspeccionar un embarquede material de vini l, se encuentra que es de buena calidad. Cul es la probabilidad de que elmaterial de vinil haya sido adquirido del proveedor A?


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Se puede identificar el problema con las siguientes variables:

A: Proveedor A.B: Proveedor B.X: Buena calidad.Y: Mala calidad.

Como se mencion anteriormente, los diagramas de rbol son un instrumento muy til en lasolucin de este tipo de problemas.

A 40 %

B 60 %

80 %

20 %

50 %

50 %

Sustituyendo en la frmula de la ley de Bayes, tenemos:

P A P A P A

P A P A P A P AA

A

A B

( / )( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )X

X

X X

=( . )( . )

( . )( . ) ( . )( . )..

.0 80 0 40

0 80 0 40 0 50 0 600 320 62

0 516

La probabilidad de que el material de vinil haya sido adquirido por el proveedor A es de 51.6%


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. e sa e que e una po ac n e estu antes, een e per co a orna a, een eper co eormy een am os. ncuentra a pro a a e que una persona e estapo ac n, a ser seecc ona a e manera aeator a, ea a orna eorm.

. e acuer o con agunos estu os se sa e que a pro a a e que ex sta un ncremento enla bolsa de valores y una cada en las tasas de inters es de 0.3, mientras que la probabilidad deque se presente una ca a en as tasas e nter s es e . .

a u es a pro a a e que ex sta un ncremento en a o sa e vaores a o que sepresente una ca a en as tasas e nter s

b Seala qu tipo de probabil idad es la que hemos encontrado en el inciso anterior.

. En un mercado existe una probabil idad de que los inversionistas compren acciones tipo Ae . , una pro a a e que compren accones t po e . , una pro a a e que

compren ambas de 0.11. Cul es la probabilidad de que un inversionista compre accionest po a o que ya compr accones e t po

. a pro a a e que una empresa emp ee una nueva estrateg a e merca o para ncrementarlas ventas es de 0.54 y la probabilidad de que la nueva estrategia de mercado sea adoptada yque las ventas crezcan a los niveles proyectados es de 0.39, cul es la probabilidad de que si lacompa a emp ea a nueva estratega as ventas crezcan a os n vees proyecta os

. a pro a a e que a a m n strac n e una empresa tra ae con e cenc a es e . , se aobservado que el buen funcionamiento de la empresa depende en gran medida de la eficienciae a a m n strac n. e acuer o con estu os rea za os se est ma que a pro a a e que a

administracin sea eficiente y que la empresa trabaje a 100% es de 0.72, cul es la probabilidade que s a a m n strac n es e cente a empresa tra ae a

. Un inversionista se enfrenta a una cartera que contiene dos instrumentos financieros, un

ono gu ernamenta cuyo r esgo es e y una acc n e una mportante empresa etelecomunicaciones cuyo riesgo es de 35%, cul es la probabilidad de que la empresa enf rentee r esgo e una acc n a o que ya en rent e r esgo e ono gu ernamenta

. n una encuesta que se rea z a ca enas e t en as e a arrotes, stas revearon ossgu entes ngresos, espu s e escontar os mpuestos:

Ingresos despu s de descontar impuestos N mero de empresas

Menos de un milln 1021 a 20 millones 610 millones o ms 37

Cul es la probabilidad de que una cadena de tiendas de abarrotes seleccionada al azar tengaun ngreso entre un m n a , o un ngreso e m ones o m s

. omo parte e programa anua e serv co e sau a sus empea os, una empresa e qu m cosescu r que e os emp ea os requ ere zapatos espec aes, necesta serv c o enta y

requ ere tanto zapatos como serv co enta. u es a pro a a e que un tra aa orseeccona o a azar neceste zapatos espec aes y serv c o enta


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. Una empresa productora de llantas sabe que la probabil idad de que un neumtico dure 50 000es e . , cu es a pro a a e que cuatro neum t cos uren m

. conseo rect vo e una empresa e tee on a est const tu o por om res y mu eres.e va a seecconar en orma aeator a un comt con eementos para recomen ar a un nuevo

pres ente e a empresa.

a Cul es la probabilidad de que 2 integrantes sean mujeres u es a pro a a e que ntegrantes sean om res

. n equ po e s o uega e sus part os por a noc e y urante e a. equ pogana e sus uegos nocturnos y urnos. e acuer o con as t mas not c as, ganel ltimo fin de semana, cul es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por lanoc e

. n pro uctor espera etectar os art cu os e maa ca a para qu tar os e os nventar os.Supn que en una determinada planta de manufactura, hacia el final de la lnea de produccin,e nspector e ca a recoge a gunos art cu os que e parecen e ca a sospec osa parasometerlos a una inspeccin minuciosa. Si 10% de todos los artculos producidos son

e ectuosos, e os e ectuosos se someten a una nspecc n m nuc osa y s o e osno defectuosos se someten al examen, calcula la probabilidad de que un artculo sea defectuosodado que fue inspeccionado.


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4.4. Conteo de puntos muestrales

El conteo sigue desempeando un papel importante en diferentes reas, todava se tiene que contar,por ejemplo, cuando se hacen inventarios, cuando se quiere determinar el nmero de artculosque se desea producir o cuando se elabora un informe que indica en cuntas ocasiones las ventassufrieron fluctuaciones.

En los apartados anteriores se utiliza ejemplos en los cuales el nmero total de puntosmuestrales en estudio era reducido. Aun cuando esos ejemplos son significativos para ilustrar losobjetivos perseguidos, en la prctica la mayora de los problemas tienen un nmero mucho mayorde puntos muestrales.

En este apartado, se presentan algunas reglas para realizar el conteo, stas pueden ser de granayuda para resolver problemas de probabilidad cuando es grande el nmero de puntos muestrales.

Regularmente se uti lizan tres reglas: la reglamn, la regla de permutaciones y la de combinaciones.

La regla mn

La regla mnse aplica en situaciones en las que se busca el nmero de maneras distintas en las que sepueden formar pares de objetos, dichos objetos se seleccionan de dos grupos distintos, esta regla sepuede definir de la siguiente manera:

Con elementos1,

2,

3,, y elementos

1,

2,

3,, , es posible formar pares que

contengan un elemento de cada grupo.

Su frmula es:N=mn

Donde:N: nmero total de puntos muestrales.

Ejemplo 32

La lnea de autobuses Estrella Blanca ofrece recorridos a 50 destinos diferentes y brinda tres tiposdistintosde servicio, estos son: de primera, segunda y plus. Cuntos recorridos distintos ofrece esta lnea?

En este casomrepresenta el nmero de recorridos y nel tipo de servicio.m= 50 n=3N=mn= 50 3 = 150

Por lo tanto, esta lnea tiene 150 recorridos distintos.

Ejemplo 33

Un grupo de diez pacientes ingres a una clnica en donde sern atendidos cada uno, por uno de tresmdicos. De cuntas maneras se puede ordenar a los mdicos?


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En este caso mrepresenta el nmero de paciente y nel nmero de mdicos.

m= 10 n= 3N = mn 3 = 30

Existen treinta ordenaciones distintas.

Permutaciones

Segn se pudo observar, la reglamnse aplic para determinar posibles arreglos entre dos o ms grupos.Con frecuencia el inters se centra en un espacio muestral que contenga como elementos todos

los posibles rdenes o arreglos ordenados de un grupo de objetos. Por ejemplo, se desea conocercuntos arreglos diferentes son posibles para acomodar a seis personas en seis puestos diferentes, obien, cuntas formas diferentes existen para sacar dos boletos sorteados de la lotera de un total de50. Los diferentes arreglos ordenados se denominan permutaciones.

La regla de permutaciones sirve para determinar el nmero posible de arreglos cuando slo hayun grupo de objetos.

Permutacin: disposicin en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un

tercero, etc., hasta .

La frmula que se utiliza para contar el nmero total de permutaciones distintas es:

n rP n

n r

!( ) !

Donde:P: Es el nmero de permutaciones o formas en que pueden ordenarse los objetos.n: Es el nmero total de objetos.r: Nmero de objetos que se van a disponer cada vez.

Es necesario hacer notar que al trabajar ya sea con permutaciones o con combinaciones se

utiliza una notacin matemtica denominada factorial.

El factorial nse describe como n! y significa el producto de n (n1) (n2) (n3),,((n(n1)).Por ejemplo, 4! Se evaluara por 4 (4 1) (4 2) [4 (4 1)]. Entonces, 4 3 2 1 24 .

Por definicin, factorial de cero es igual a la unidad, es decir, 0! = 1Factorial de 3 es 3! = 3 2 1 6Factorial de 6 es 6! = 6 5 4 3 2 1 720 , y as sucesivamente.

Ejemplo 34

El presidente, el vicepresidente, el secretario y el tesorero de una determinada asociacin sern elegidosde entre 10 candidatos. De cuntas maneras distintas pueden ocuparse los puestos?

Donde:n= 10 y r= 4

10 410

10 4106

5 040P!

( )!!!

El nmero de maneras distintas en que puede ocuparse los puestos son 5 040.


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Ejemplo 35

En una empresa de lubricantes hay ocho lugares de capacitacin administrativa los cuales se asignarna ocho empleados. De cuntas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a losocho lugares distintos?

n= 8 y r= 8

8 88

8 880

40 320P !( )!

!!

Los ocho individuos pueden ser asignados de 40 320 formas diferentes.

Combinaciones

En muchas ocasiones el orden de un grupo de elementos no es lo importante, puede ser que, el intersse centre nicamente en saber cuntas combinaciones se pueden obtener de ese grupo de elementos.Esto es lo que marca la diferencia entre las permutaciones y las combinaciones; mientras que enlas permutaciones lo importante es el orden de los elementos de un grupo, en las combinaciones lo

relevante es combinar los distintos elementos del grupo.En consecuencia, el inters en las combinaciones siempre se dirige al nmero de diferentes subgrupos

que pueden formarse connobjetos. El nmero de combinaciones de nobjetos tomados de ra la vez es:

n rC n

r n r

!!( )!

Ejemplo 36

Una agencia de mercadotecnia desea contratar analistas en investigacin de mercados, hay 10aspirantes. De cuntas maneras se puede escoger 4 de los 10 aspirantes?

n= 10r= 4

10 410

4 10 4104 6

210C!

!( )!!

! !

El nmero total de puntos muestrales es 210.

Ejemplo 37

La Bolsa Mexicana de Valores ofrece 4 tipos de acciones a los inversionistas, de cuntas maneras se

puede seleccionar 2 tipos de

estad para neg 1aed 04

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