Erwien Tjipta Wijaya, ST.,M.Kom

PENDAHULUAN Logika Fuzzy pertama kali dikenalkan oleh Prof. Lotfi

A. Zadeh tahun 1965

Dasar Logika Fuzzy adalah teori himpunan fuzzy.

Teori himpunan fuzzy adalah peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan.

Nilai keanggotaan / Derajat keanggotaan / Membership function menjadi ciri utama dari penalaran pada Logika Fuzzy tersebut.

Logika Fuzzy digunakan untuk memetakan permasalahan dari input menuju ke output

ALASAN PERLUNYA LOGIKA FUZZY 1. Mudah dimengerti, karena logika fuzzy menggunakan dasar teori

himpunan.

2. Sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi terhadap perubahan- perubahan dan ketidakpastian pada permasalahan.

3. Memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat. Jika diberikan sekelompok data yang cukup homogen dan kemudian terdapat beberapa data yang “eksklusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani data eksklusif tersebut.

4. Mampu memodelkan fungsi – fungsi nonlinear yang komplek.

5. Membangun dan mengimplikasikan pengalaman – pengalaman para pakar secara langsung tanpa melalui proses pelatihan. (atau biasa dikenal dengan Fuzzy Expert System)

6. Dapat digunakan pada teknik – teknik kendali secara konvensional. (Teknik Industri, Teknik Mesin dan Teknik Elektro)

7. Didasarkan pada bahasa alami. Logika Fuzzy menggunakan bahasa sehari – hari sehingga mudah dimengerti

HIMPUNAN FUZZY Himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan item x dalam

suatu himpunan A, ditulis 𝜇𝐴(𝑋) dengan memiliki 2

kemungkinan, yaitu :

1. Satu (1), berarti bahwa suatu item menjadi anggota

dalam suatu himpunan.

2. Dua (2), berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota

dalam suatu himpunan.

Jika diketahui : (Contoh Himpunan Dasar)

S = {1,2,3,4,5,6,7} //semesta pembicaraan

A = {1,2,3}

B = {3,4,5}

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Dikatakan bahwa :

Nilai keanggotaan 2 pada himpunan A, 𝜇𝐴 2 = 1,karena 2 ∈ A

Nilai keanggotaan 3 pada himpunan A, 𝜇𝐴 3 = 1, karena 3 ∈ A

Nilai keanggotaan 4 pada himpunan A, 𝜇𝐴 4 = 0, karena 4 ∉ A

Nilai keanggotaan 2 pada himpunan B, 𝜇𝐵 2 = 0, karena 2 ∉ B

Nilai keanggotaan 3 pada himpunan B, 𝜇𝐵 3 = 1, karena 3 ∈ B

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Misalkan variabel umum dibagi menjadi 3 kategori,

yaitu : (Contoh Himpunan Umur)

1. Muda umur < 35 tahun

2. Parobaya 35 ≤ umur ≥ 55 tahun

3. Tua umur > 55 tahun

Visualisasi dalam bentuk grafis

1

µ(x)

0

0 35Umur (th)

1

µ(x)

0

0 55Umur (th)35

1

µ(x)

0

0Umur (th)55

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Penjelasan :

1. Apabila seorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨(34) = 1).

2. Apabila seorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨(35) = 0).

3. Apabila seorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µ𝑴𝑼𝑫𝑨(35th – 1hr) = 0).

4. Apabila seorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(35) = 1).

5. Apabila seorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(34) = 0).

6. Apabila seorang berusia 55 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(55) = 1).

7. Apabila seorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(35th – 1hr) = 0).

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Himpunan crisp umur masih belum adil, adanya

perubahan kecil akan mempengaruhi perbedaan

kategori yang cukup signifikan.

Himpunan Fuzzy digunakan untuk mengantisipasi

hal tersebut.

Seseorang dapat masuk dalam 2 himpunan yang

berbeda, MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan

TUA dan sebagainya.

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY)

1

µ (x)

0,5

0,25

0

MUDA PAROBAYA TUA

Umur (th)

25 30 40 45 50 55 65

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Penjelasan :

1. Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam

himpunan MUDA dengan µ𝑴𝑼𝑫𝑨(40) = 0.25, namun

dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA

dengan µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(40) = 0.5

2. Seorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam

himpunan TUA dengan µ𝑻𝑼𝑨(50) = 0.25 namun dia

juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan

µ𝑷𝑨𝑹𝑶𝑩𝑨𝒀𝑨(50) = 0.5.

LANJUTAN (HIMPUNAN FUZZY) Himpunan Fuzzy memiliki 2 atribut :

1. Linguistik, Penamaan grup yang mewakili suatu

keadaan / kondisi tertentu dengan menggunakan

bahasa alami. Misal : MUDA, PAROBAYA dan TUA

2. Numeris / Domain, Suatu nilai (angka) yang

menunjukan ukuran dari suatu variabel seperti : 40,

35, 60 dan seterusnya

SISTEM FUZZY

VARIBEL FUZZY

START

HIMPUNAN FUZZY

SEMESTA

PEMBICARAAN

DOMAIN

MEMBERSHIP

FUNCTION

KOMPOSISI ATURAN

(IF-THEN RULES)

OPERASI LOGIKA

DEFUZZIFIKASI / FUZZY

INFERENCE ENGINE

END

MEMBERSHIP FUNCTION Fungsi keanggotaan / Membership Function adalah

sebuah kurva yang menunjukan pemetaan titik –

titik input data ke dalam nilai keanggotaannya atau

disebut derajat keanggotaan yang memiliki nilai 0

sampai dengan 1.

Fungsi – fungsi keanggotaan fuzzy adalah :

1. Representasi Linier, memiliki 2 macam himpunan

fuzzy. Diantaranya adalah :

REPRESENTASI LINIER NAIK Representasi Linier Naik

Fungsi keanggotaan :

𝜇 𝑥 =

1; 𝑥 > 𝑏𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

0; 𝑥 ≤ 𝑎

CONTOH REPRESENTASI LINIER NAIK Fungsi keanggotaan untuk himpunan PANAS pada

variabel TEMPERATUR

Misal : 𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 32 = (32 −25)

(35 −25)=

7

10= 0,7

Berapakah jika temperatur : 𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 27 = ? 𝑑𝑎𝑛 𝜇𝑝𝑎𝑛𝑎𝑠 34 = ?

REPRESENTASI LINIER TURUN Representasi Linier Turun

Fungsi Keanggotaan

𝜇 𝑥 =

1; 𝑥 < 𝑎(𝑏 − 𝑥)

(𝑏 − 𝑎); 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏

0; 𝑥 ≥ 𝑏

CONTOH REPRESENTASI LINIER TURUN Fungsi keanggotaan untuk himpunan DINGIN pada

variabel TEMPERATUR

Misal : 𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 20 = (30 −20)

(30 −15)=

10

15= 0,667

Berapakah jika temperatur : 𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 25 = ? 𝑑𝑎𝑛 𝜇𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 17 = ?

REPRESENTASI SEGITIGA 2. Representasi Segitiga

Fungsi Keanggotaan

𝜇 𝑥 =

0; 𝑥 ≤ 𝑎(𝑥 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑎); 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

(𝑐 − 𝑥)

(𝑐 − 𝑏); 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐

0; 𝑥 ≥ 𝑐

CONTOH REPRESENTASI SEGITIGA Fungsi keanggotaan untuk himpunan NORMAL pada

variabel TEMPERATUR

Misal : 𝜇𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 23 = (23 −15)

(25 −15)=

8

10= 0,8

REPRESENTASI TRAPESIUM 3. Representasi Kurva Trapesium / Trapezoid

Fungsi Keanggotaan

CONTOH REPRESENTASI TRAPESIUM Fungsi keanggotaan untuk himpunan NORMAL pada

variabel TEMPERATUR

Misal : 𝜇𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 32 = (35 −32)

(35 −27)=

3

8= 0,375

REPRESENTASI SIGMOID (PERTUMBUHAN) 4. Representasi Kurva S atau Sigmoid

Sigmoid (Pertumbuhan)

Fungsi Keanggotaan

REPRESENTASI SIGMOID (PENYUSUTAN) Sigmoid (Penyusutan)

Fungsi keanggotaan

REPRESENTASI KURVA S ATAU SIGMOID Kurva S didefinisikan dengan 3 parameter, yaitu :

Nilai keanggotaan nol (α)

Nilai keanggotaan lengkap (γ)

Titik infeksi / crossover (β), titik memiliki domain 50%

benar

CONTOH REPRESENTASI KURVA S (PERTUMBUHAN) Fungsi keanggotaan untuk himpunan TUA pada variabel

UMUR

Misal : 𝜇𝑡𝑢𝑎 50 = 1 − 2 60 − 50

(60 − 35)

2= 1 − 2

10

25

2= 0,68

Berapakah jika UMUR : 𝜇𝑡𝑢𝑎 42 = ?

CONTOH REPRESENTASI KURVA S (PENYUSUTAN) Fungsi keanggotaan untuk himpunan MUDA pada

variabel UMUR

Misal : 𝜇𝑚𝑢𝑑𝑎 37 = 2 50 −37

(50 − 20)

2= 2

13

30

2= 0,376

REPRESENTASI BAHU 5. Representasi Bahu

Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang direpresentasikan dalam bentuk segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik dan turun (misalkan: DINGIN bergerak ke SEJUK bergerak ke HANGAT dan bergerak ke PANAS). Tetapi terkadang salah satu sisi dari variabel tersebut tidak mengalami perubahan. Sebagai contoh, apabila telah mencapai kondisi PANAS, kenaikan temperatur akan tetap berada pada kondisi PANAS. Himpunan fuzzy „bahu‟, bukan segitiga, digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. Bahu kiri bergerak dari benar ke salah, demikian juga bahu kanan bergerak dari salah ke benar.

REPRESENTASI LONCENG (BELL CURVE)

6. Representasi Lonceng di bagi menjadi 3 bagian :

Pi

Beta

Gauss

REPRESENTASI LONCENG (PI) Kurva PI berbentuk lonceng dengan derajat

keanggotaan 1 terletak pada pusat dengan domain

(γ) dan lebar kurva (β)

REPRESENTASI LONCENG (BETA) Kurva BETA berbentuk lonceng namun lebih rapat,

kurva ini terdapat 2 parameter, dimana nilai domain

yang menunjukkan pusat kurva (γ) dan setengah

lebar kurva (β).

Salah satu perbedaan mencolok kurva BETA dari kurva PI adalah, fungsi keanggotaannya akan mendekati nol hanya jika nilai (β) sangat besar.

CONTOH KURVA LONCENG (BETA) Fungsi keanggotaan untuk PAROBAYA pada

variabel umur

REPRESENTASI KURVA LONCENG (GAUSS)

Jika kurva PI dan BETA menggunakan 2 parameter

yaitu (γ) dan (β). Kurva Gauss juga menggunakan

(γ) untuk menunjukan nilai domain pada pusat kurva,

dan (κ) yang menunjukan lebar kurva.

OPERASI LOGIKA Operasi logika adalah operasi yang menggabungkan dan

memodifikasi 2 atau lebih himpunan fuzzy.

Nilai keanggotaan baru hasil dari operasi 2 himpunan disebut firing strenght atau predikat (α).

Ada 3 operasi dasar yan diciptakan oleh zadeh :

1. Operator AND, berhubungan dengan operasi intersection pada himpunan, α predikat diperoleh dengan mengambil nilai minimum antar ke dua atau lebih himpunan.

AB = min(A[x], B[y])

Contoh :

MUDAGAJITINGGI = min( MUDA[27], GAJITINGGI[2juta])

= min (0,6 ; 0,8) = 0,6

LANJUTAN (OPERATOR LOGIKA) 2. Operator OR, berhubungan dengan operasi

union pada himpunan, predikat diperoleh dengan mengambil nilai maximum antar kedua himpunan.

AB = max(A[x], B[y])

Contoh : MUDA GAJITINGGI = max(MUDA[27], GAJITINGGI[2juta])

= max (0,6 ; 0,8)

= 0,8

LANJUTAN (OPERATOR LOGIKA) 3. Operasi NOT, berhubungan dengan

operasi komplemen pada himpunan,

predikat diperoleh dengan mengurangkan

nilai keanggotaan elemen pada himpunan

dari 1.

Contoh : MUDA[27] = 1 - MUDA[27]

= 1 - 0,6

= 0,4

PENALARAN MONOTON Metode Penalaran Monoton digunakan sebagai dasar

untuk teknik implikasi fuzzy.

Metode ini sudah jarang digunakan tapi masih digunakan untuk pengskalaan fuzzy.

Contoh jika 2 daerah fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana (Cox, 1994)

IF x is A THEN y is B

Transfer fungsi :

𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝐴 , 𝐵

Sistem dapat berjalan tanpa komposisi dan dekomposisi fuzzy.

CONTOH PENALARAN MONOTON µ𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 165 =

165 −150

170 −150=

15

20= 0,75

µ𝐵𝐸𝑅𝐴𝑇 𝑦 = 𝑆 𝑦; 40,55,70 = 0,75

Karena 0,75 > 0,5 maka letak y adalah

Antara 55 sampai dengan 70 sehingga

1 − 2((70 − 𝑦)/(70 − 40))2 = 0,75

1 − 2(70 − 𝑦)2 / 900 = 0,75

2(70 − 𝑦)2/ 900 = 0,25

(70 − 𝑦)2= 112,5

(70-y) = +√(112,5) y = 70 + 10,6 ambil (-) karena nilainya Harus < 70 y = 59,4

FUNGSI IMPLIKASI Secara umum ada 2 fungsi implikasi yang dapat

digunakan (Yan,1994):

1. Min (minimum), fungsi ini akan memotong output

himpunan fuzzy.

LANJUTAN FUNGSI IMPLIKASI 2. Dot (product), fungsi ini akan mengskala output

himpunan fuzzy.

DEFUZZIFIKASI DENGAN FUZZY INFERENCE SYSTEM

Fuzzy Inference System, berfungsi sebagai sistem

penalaran fuzzy yang bertugas untuk mengolah data

himpunan fuzzy yang telah ditentukan kemudian

menghitung nilai rata – rata terbobot.

Macam – macam FIS (Fuzzy Inference System) :

Metode Tsukamoto

Metode Sugeno

Metode Mamdani

METODE TSUKAMOTO METODE TSUKAMOTO, Perluasan dari penalaran

monoton, setiap konsekuen pada aturan IF-THEN

harus direpresentasikan degan himpunan fuzzy

dengan fungsi keanggotaan yang monoton. Sebagai

hasil inferensi dari tiap – tiap aturan diberikan secara

tegas (crisp) berdasarkan α-predikat (fire strength).

Hasil akhir dengan rata – rata terbobot.

INFERENSI TSUKAMOTO (Jang, 1997)

STUDI KASUS Suatu perusahaan makanan kaleng akan memproduksi

makanan jenis sarden.

Diketahui : (Data 1 bulan terakhir)

1. 1000 ≤ Permintaan ≥ 5000 (Kemasan / Perhari)

2. 100 ≤ Persediaan Gudang ≥ 600 (Kemasan / Perhari)

3. 2000 ≤ Produksi ≥ 7000 (Kemasan / Perhari)

Pertanyaan:

Berapa kemasan yang diproduksi jika jumlah permintaan 4000 kemasan dan persediaan digudang masih 300 kemasan

ATURAN FUZZY [R1] IF Permintaan TURUN AND Persediaan

BANYAK THEN Produksi BERKURANG

[R2] IF Permintaan TURUN AND Persediaan

SEDIKIT THEN Produksi BERKURANG

[R3] IF Permintaan NAIK AND Persediaan

BANYAK THEN Produksi BERTAMBAH

[R4] IF Permintaan NAIK AND Persediaan SEDIKIT

THEN Produksi BERTAMBAH

JAWABAN Ada 3 variabel fuzzy yang akan di modelkan terdiri –

dari :

1. Input : Permintaan dan Persediaan

2. Output : Produksi

INPUTAN PERMINTAAN Representasi Linier Naik dan Turun :

Persamaan Linier Turun :

𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 𝑥 =

1; 𝑥 ≤ 10005000 − 𝑥

5000 − 1000; 1000 ≤ 𝑥 ≤ 5000

0; 𝑥 ≥ 5000

LANJUTAN INPUTAN PERMINTAAN Persamaan Linier Naik:

𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 𝑥 =

1; 𝑥 ≥ 5000𝑥 − 1000

5000 − 1000; 1000 ≤ 𝑥 ≤ 5000

0; 𝑥 ≤ 1000

Hitung nilai keanggotaannya :

𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁=

5000 −40004000 =0,25

𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾=

4000 −10004000 =0,75

INPUTAN PERSEDIAAN Representasi Linier Naik dan Turun :

Persamaan Linier Turun

𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇 𝑦 =

1; 𝑦 ≤ 100600 − 𝑦

600 − 100; 100 ≤ 𝑦 ≤ 600

0; 𝑦 ≥ 600

LANJUTAN INPUTAN PERSEDIAAN Persamaan Linier Naik

𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾 𝑦 =

1; 𝑦 ≥ 600𝑦 − 100

600 − 100; 100 ≤ 𝑦 ≤ 600

0; 𝑦 ≤ 100

Hitung nilai keanggotaannya:

𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇=

600 −300500 =0,6

𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾=

300 −100500 =0,4

OUTPUTAN PRODUKSI Representasi Linier Naik dan Turun :

Persamaan Linier Turun

𝜇𝑃𝑟𝑑𝐾𝑈𝑅𝐴𝑁𝐺 𝑧 =

1; 𝑧 ≤ 20007000 − 𝑧

7000 − 2000; 2000 ≤ 𝑧 ≤ 7000

0; 𝑧 ≥ 7000

LANJUTAN OUTPUTAN PRODUKSI Persamaan Linier Naik

𝜇𝑃𝑟𝑑𝑇𝐴𝑀𝐵𝐴𝐻 𝑧 =

1; 𝑧 ≥ 7000𝑧 − 2000

7000 − 2000; 2000 ≤ 𝑧 ≤ 7000

0; 𝑧 ≤ 2000

HITUNG NILAI α-Predikat 𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡1 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾

= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁(4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾(300))

= min(0,25; 0,4) = 0,25

Himpunan produksi KURANG :

(7000 – z)/5000 = 0,25 𝑧1 = 5750

𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡2 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇

= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑇𝑈𝑅𝑈𝑁(4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇(300))

= min(0,25; 0,6) = 0,25

Himpunan produksi KURANG :

(7000 – z)/5000 = 0,25 𝑧2 = 5750

LANJUTAN NILAI α-Predikat 𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡3 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾

= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾(4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝐵𝐴𝑁𝑌𝐴𝐾(300))

= min(0,75; 0,4) = 0,4

Himpunan produksi TAMBAH :

(Z – 2000)/5000 = 0,4 𝑧3 = 4000

𝛼 − 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑎𝑡4 = 𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾 ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇

= min(𝜇𝑃𝑚𝑡𝑁𝐴𝐼𝐾(4000) ∩ 𝜇𝑃𝑠𝑑𝑆𝐸𝐷𝐼𝐾𝐼𝑇(300))

= min(0,75; 0,6) = 0,6

Himpunan produksi TAMBAH :

(Z – 2000)/5000 = 0,6 𝑧4 = 5000

HITUNG NILAI Z 𝑧 =

𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑1∗𝑧1+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑2∗𝑧2+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑3∗𝑧3+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑4∗𝑧4

𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑1+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑2+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑3+𝛼𝑝𝑟𝑒𝑑4

𝑧 = 0,25∗5750+0,25∗5750+0,4∗4000+0,6∗5000

0,25+0,25+0,4+0,6

𝑧 =7475

1,5= 4983

KESIMPULAN Jadi jumlah sarden yang harus diproduksi sebanyak

4983 kemasan dan termasuk produksi harus

ditambah.