![Page 1: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/1.jpg)
1
MATEMATIKA
01
SET 1PERSAMAAN KUADRAT
A. BENTUK UMUMax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
B. MENCARI AKAR/SOLUSIa. Faktorisasib. Rumus ABC
C. OPERASI DASAR AKAR
a. x xba1 2+ = -
b. x xca1 2 =×
c. x xD
a1 2 = –−
D. SIFAT-SIFAT AKARa. Akar real D ≥ 0
1. akar berlainan D > 0 2. akar kembar D = 0 3. akar rasional D = k2, k = 1, 2, 3, … 4. akar irasional D ≠ k2, k = 1, 2, 3, …
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
ADVANCE AND TOP LEVEL
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 2: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/2.jpg)
2
b. Akar tidak real D < 0c. Sifat akar lain, analisis sifat x1 + x2 dan x1 . x2
E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRATPersamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalahx2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
Contoh Soal
TIPE SOAL: OPERASI AKAR1. Misalkan x1 dan x2 merupakan akar-akar positif dari persamaan x2 – mx + n = 0. Jika x1
2 – x22
= -3 dan x1 : x2 = 1 : 2, maka m : n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236)A. 0,5B. 1C. 1,5D. 2E. 2,5
Pembahasan:• x1 > 0, x2 > 0 x1 + x2 > 0 x1x2 > 0 m > 0 n > 0
• xx
x x1
22 1=
12
= 2→ • x1
2 – x22 = -3
x12 – (2x1)2 = -3
-3x12 = -3
x1 = 1 x2 = 2 • x1
+ x2 = m → m = 3
•
mn
=32
= 1,5
Jawaban: C
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 3: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Latihan Soal
1. Akar-akar positif dari persamaan x2 + mx + n = 0 adalah α dan β. Jika 2β – α = 12 dan α2 = 4β, maka m + n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
Jawaban: 39
2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax + b = 0 memenuhi persamaan 2x2 – (a + 3)x + (3b – 2) = 0, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)(1) a = 3(2) b = 2(3) 2a – 2ab + 3b = 0(4) ab = 5
Jawaban: (1), (2), dan (3) benar
3. Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 – 2x + p = 0 adalah 98, maka nilai p adalah .... A. -20B. -15C. -1D. 15E. 20
Jawaban: B
4. Persamaan kuadrat x2 – ax = 5a2 memiliki akar-akar x1 dan x2. Nilai x ax a
x ax a
1
1
2
2++
+− −
adalah .... A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5
Jawaban: B
5. Akar dari persamaan (x – 2014)2 + (x – 4029)2 – (x + 1)2 = 0 adalah ....A. (2014, 10074)B. (2013, 10073)C. (-2014, 10074)D. (-2014, 2014)E. (-2014, -10004)
Jawaban: A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 4: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/4.jpg)
4
TIPE SOAL: SIFAT AKAR6. Misalkan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan x2 – bx + 6 = 0. Jika 1
α dan
1β
adalah akar-akar dari persamaan x2 – 4x + c = 0, maka akar-akar dari persamaan x2 – (bc)x
+ bc = 0 merupakan .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. akar kembar dan positifB. akar kembar dan negatifC. dua akar berbeda dan berlainan tandaD. dua akar berbeda dan positifE. dua akar berbeda dan negatif
Jawaban: A
7. Himpunan bilangan k sehingga x2 + 2(k – 1)x + k + 5 = 0 memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. {k R | k ≤ -1}B. {k R | -∞ < k < ∞}C. {k R | 0 < k ≤ 1}D. {k R | -1 < k < ∞}E. {k R | k > 0}
Jawaban: A
8. Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 2x2 + (m + 1)x – 2m = 0 dan persamaan x2 – (2m2 – m + 1)x – 3m – 66 = 0 mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka hasil kali semua m yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. -1B. 0C. 14364D. 143640E. tak hingga
Jawaban: E
9. Misalkan α dan β adalah akar-akar dari persamaan x2 + 2(k – 3)x + 9 = 0 dengan α ≠ β, maka himpunan semua bilangan k sehingga -6 < α < 1 dan -6 < β < 1 adalah .... (Soal SI-MAK Tahun 2011)A. {k ∈ R | 6 < k < 6,75}B. {k ∈ R | 1 < k < 6,75}C. {k ∈ R | 1 < k < 9}D. {k ∈ R| 6,75 < k < 9}E. {k ∈ R | 6 < k < ∞}
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 5: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/5.jpg)
5
10. Akar-akar persamaan x2 + (m – 2)x + 14
m = 0 adalah x1 dan x2. Batas-batas nilai m agar 1 < x1 < 2 dan 2 < x2 < 3 adalah ....
A. -
45
< < 0m
B. 15
< <45
m
C. 0 < <45
m D. 1 < m < 4 E. -1 < m < 6
Jawaban: C
TIPE SOAL: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT11. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 4x – 2 = 0, persamaan kuadrat
yang mempunyai akar-akar x13 + x2
3 dan x15 + x2
5 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. x2 + 96x – 1.148 = 0B. x2 – 96x – 1.148 = 0C. x2 – 82x + 840 = 0D. x2 + 82x + 840 = 0E. x2 + 96x + 1.148 = 0
Jawaban: E
12. Suku banyak yang akarnya 2 5− adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. x4 + 14x2 + 9 = 0B. x4 – 14x2 + 9 = 0C. x4 – 14x2 – 9 = 0D. x4 + 14x2 + 89 = 0E. x4 – 14x2 + 89 = 0
Jawaban: B
13. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga 1
+1
=7
10a b adalah .... (Soal
SNMPTN Tahun 2010)A. x2 + 7x – 10 = 0B. x2 + 7x + 10 = 0C. x2 – 10x + 7 = 0D. x2 – 7x – 10 = 0E. x2 – 7x + 10 = 0
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 6: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/6.jpg)
6
14. Jika f(x) = 3x2 – 6x + 1, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya pangkat 3 dari akar-akar f(x) = 0 tersebut adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. 27x2 + 6x + 1 = 0
B. x2 + 24x – 14
= 0
C. x2 – 6x + 1
27= 0
D. 2x2 + 12x + 2
27 = 0
E. x2 – 24x + 1
27 = 0
Jawaban: C
TIPE SOAL: ANTARRUANG LINGKUP15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,
3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 (Persamaan kuadrat, Peluang, Integral))A. 1
B. 34
C. 24
D. 14
E. 0 Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 7: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/7.jpg)
9
MATEMATIKA
02
Set 2MATRIKS
A. ORDO MATRIKSAm × n, m baris, n kolom
B. TRANSPOSE MATRIKSBaris ke i ↔ kolom ke iNotasi: At
C. PENJUMLAHAN/PENGURANGAN MATRIKSsyarat : ordo samacara : jumlah/kurang unsur seletak
D. PERKALIAN ANGKA DENGAN MATRIKScara : kalikan angka dengan semua unsur matriks
E. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKSsyarat : Am × n × Bn × p × Cm × p
kolom = baris cara : baris ke i × kolom ke j dengan pola kali tambah
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
ADVANCE AND TOP LEVEL
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 8: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/8.jpg)
10
F. IDENTITAS/MATRIKS SATUAN
I I2 2 3 3=1 00 1
, =1 0 00 1 00 0 1
× ×
sifat : A.I = I.A = A
G. INVERS MATRIKSNotasi: A-1
Sifat-sifat : 1. A.A-1 = A-1.A = I 2. (AB)-1 = B-1A-1
3. (A-1)-1 = A
cara : AA
A-1 =1
adj× [ ]
|A| determinan A dimana|A2 × 2| = ad – bc|A3 × 3| gunakan skema SarrusBila |A| = 0, matriks A tidak punya invers/singular
Contoh Soal dan Latihan
1. Jika A B=1 01 1
, =1 10 1
, dan A B
a bc d
2012 2012+ =
, maka a + b + c + d = .... (Soal
SIMAK UI Tahun 2012)
A. 2012B. 2014C. 4024D. 4028E. 6039
Pembahasan:
A =1 01 1
perhatikan pola
A
A A A
2
3 2
=1 01 1
1 01 1
=1 02 1
= =1 02 1
1 01 1
×
=1 03 1
dst =1 0
1maka =
1 02012 1
n 2012An
A
Contoh Soal dan LatihanContoh Soal dan LatihanContoh Soal dan LatihanContoh Soal dan Latihan
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 9: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/9.jpg)
11
A
A A A
2
3 2
=1 01 1
1 01 1
=1 02 1
= =1 02 1
1 01 1
×
=1 03 1
dst =1 0
1maka =
1 02012 1
n 2012An
A
dengan cara yang sama B2012 =1 20120 1
, maka
A Ba bc d
2012 2012+ =2 2012
2012 2=
, sehingga
a + b + c + d = 4028Jawaban: D
2. Jika A B C=-2 41 -1
, =-1 -2-1 1
, =0 -1-1 2
, dan AB C
x yz w
=
, maka (x – 2y – 3z + 3w)2
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)
A. 0B. 36C. 63D. 144E. semua salah
Jawaban: A
3. Jika x dan y memenuhi persamaan -1 54 -6
=-1324
xy
dan xa
=-1 54 -6
, maka nilai a
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)
A. 42B. 3C. -3D. -14E. -42
Pembahasan:Cara 1
-1 54 -6
=-1324
=-1 54 -6
-13-1
xy
xy 224
=1
-14
-6 -5-4 -1
-1324
= -1
xy
xy 114
-4228
=3-2
xy
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 10: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/10.jpg)
12
-1 54 -6
=-1324
=-1 54 -6
-13-1
xy
xy 224
=1
-14
-6 -5-4 -1
-1324
= -1
xy
xy 114
-4228
=3-2
xy
a x=-1 54 -6
= 3 6 - 20 = -42( )
Cara 2Aturan Cramer
a bc d
xy
pq
p bq da cb d
y
a pc qa bc d
= x = ,
=
→
dari soal tampak jelas
a
a
=-13 524 -6
= 78 - 120 = -42
Jawaban: E
4. Diketahui persamaan matriks
3 2 31 4 23 -1 2
=134
13
xyz
bila xa
zb
=3 2 31 4 23 -1 2
, =3 2 31 4 23 -1 2
,
maka nilai a + b adalah ....Jawaban: A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 11: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/11.jpg)
13
5. Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan x x x
x
2 + 3 2 +1+ 5 4
= 3 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)
A. -12
B. -12
C. 1
D. 32
E. 4Jawaban: A
6. Hubungan yang benar antara matriks A =
1 -22 1
dengan matriks B =
2 4-4 2
adalah ....
(Soal SIMAK UI Tahun 2009)(1) B = 2A(2) A = B-1
(3) A = Bt
(4) B = 10A-1
Jawaban: 4 saja yang benar
7. Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan 3 13 2
2 51 3
=2 14 5
B , maka determi-
nan dari B-1 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)
A. 2
B. -12
C. 0
D. -12
E. -2
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 12: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/12.jpg)
14
8. Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan 11 2 11 3 2
= 0y x
memenuhi sifat-sifat ....
(Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Persamaan Garis))(1) memotong sumbu x di titik (-1, 0)(2) memiliki gradien 1(3) melalui (1, 2)(4) tegak lurus garis x + y + 1 = 0
Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) benar
9. Jika tan 1
1 tancos
sinxcos=
12
2xx
xx
ab
, dimana b = 2a, maka 0 ≤ x ≤ π yang memenuhi
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Trigonometri))
(1) π6
(2) π
12
(3) 56π
(4) 512
π
Jawaban: (2) dan (4)
10. Jika f x x( ) = 3 2 +1, maka invers dari 16
4 4 ’ 112
’ 4 - ’ 112
6
f f
f f
( )
( )
adalah .... (Soal UM UGM
Tahun 2008 (matriks/turunan))
A. -0, 9 -0,10, 6 -0, 6
B. 0, 9 -0, 6
0,1 0, 6
C. 0, 6 0, 6-0,1 0, 9
D. 0, 6 -0, 60,1 0, 9
E. -0, 6 0, 6-0,1 -0, 9
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 13: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/13.jpg)
17
MATEMATIKA
03
Set 3PERTIDAKSAMAAN
A. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONALa. Bentuk 1
f x g x( ) ( )≤
syarat: f(x), g(x) ≥ 0 cara:
f x g x
f x g x
( ) ( )( ) ( )
2 2
≤
→ ≤
b. Bentuk 2
f x g x( ) ( )≤
syarat: g(x) ≥ 0 cara: permisalan
B. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAKa. Bentuk 1 |f(x)| < |g(x)|
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
ADVANCE AND TOP LEVEL
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 14: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/14.jpg)
18
cara: |f(x)|2 < |g(x)|2
→f(x)2 < g(x)2
b. Bentuk 2
f x
g xa
( )( )
<
syarat: g(x) ≠ 0 cara: |f(x)| < a |g(x)| →f(x)2 < g(x)2
c. Bentuk 3 |f(x)| + |g(x)| < h(x) cara: kembalikan pada defi nisi nilai mutlak
f xf x f x
f x f x( )
( ) ( )( ) ( )
, ‡0
- , < 0
Contoh Soal
1. Himpunan penyelesaian dari -1 + 3− ≥x x adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. {x|x ≤ 1}B. {x| -5 ≤ x ≤ 2} C. {x|x ≤ i} D. {x|x ≤ -2} E. {x| -3 ≤ x ≤ -2}
Pembahasan:• -1 + 3− ≥x x syarat - 1 – x ≥ 0 x ≤ -1 ….. Hp1
• Penyelesaian
-1 -1 + 2
- + 2 misal : -1 =
+ 2 0
+ 2 1 0
2
2
− ≥ − −
⇒ ≥ −
⇒ − ≥
⇒ − ≥
⇒
x x
p p x p
p p
p p
p
( )
( )( )≤≤ − ≥
⇒ ≤ − − ≥
⇒ − ≥
2 atau 1
-1- 2 atau -1 1
tidak mungkin -1 1
- 1
2 2
p
x x
x( ) ( ) ( )−− ≥
≤ −
∩
≤ − ∈
x 12 ......... Hp
Hp = Hp Hp
= 2,
2
total 1 2
x
x x x R{ }
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 15: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/15.jpg)
19
-1 -1 + 2
- + 2 misal : -1 =
+ 2 0
+ 2 1 0
2
2
− ≥ − −
⇒ ≥ −
⇒ − ≥
⇒ − ≥
⇒
x x
p p x p
p p
p p
p
( )
( )( )≤≤ − ≥
⇒ ≤ − − ≥
⇒ − ≥
2 atau 1
-1- 2 atau -1 1
tidak mungkin -1 1
- 1
2 2
p
x x
x( ) ( ) ( )−− ≥
≤ −
∩
≤ − ∈
x 12 ......... Hp
Hp = Hp Hp
= 2,
2
total 1 2
x
x x x R{ } Jawaban: D
2. Himpunan penyelesaian dari 3 3 > 5− −x x adalah ....Jawaban: -1 < x < 2
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x x x2 21 3 + 2− ≤ − adalah .... (Soal SIMAK
UI Tahun 2009)
A. x x x≤ ≥-1atau12
B. {x|x ≥ 1 atau x ≤ -1} C. {x|x ≤-1} D. {x|-1 ≤ x ≤ 1} E. x x
12
1≤ ≤
Jawaban: B
4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x x x x2 5 + 6 < 2 4 < 3 + 4− − adalah ....Jawaban: 2 < x < 4
5. Himpunan penyelesaian x x x x− −4 < 4 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. x > 5B. x > 4C. 4 < x < 5D. 0 < x < 4E. 0 < x < 4 atau x > 5
Jawaban: x > 5
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 16: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/16.jpg)
20
SOAL NILAI MUTLAK6. Nilai-nilai x yang memenuhi x – 2 ≤ |1 – 2x| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. semua bilangan riieal
B. x ≥ -1 atau x ≤ C. -1 ≤ x ≤ 1D. x ≤ -1 atau x ≥ 1E. x ≤ atau x ≥ 1Pembahasan:
Definisi 1 21 2 ,
12
2 1, >12
−− ≤
−x
x x
x x
maka penyelesaian untuk soal di atas dibagi ke dalam dua domain
untuk x ≤ 12
maka
x – 2 ≤ |1 – 2x|⇒ x – 2 ≤ 1 – 2x⇒ 3x ≤ 2⇒ x ≤ 1
x ≤ 12∩x ≤ 1 → Hp1 x ≤
12
untuk x >
12
maka
x – 2 ≤ |1 – 2x|⇒ x – 2 ≤ 2x – 1⇒ -x ≤ 1⇒ x ≥ -1 ∩x >
12→ Hp2 x ≥ 1
Hp gab = Hp1 ∩Hp2
Jawaban: E
7. Himpunan penyelesaian dari xx
+ 2 <15
adalah ....Jawaban: 0 < x < 3
8. Himpunan penyelesaian dari x
x + 21≤ adalah ....
Jawaban: -1 ≤ x ≤ 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 17: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/17.jpg)
21
9. Himpunan penyelesaian dari 2 3
30
2x x
x
− −−
≥ adalah ....Jawaban: x < -3 atau atau x > 3
10. Nilai x yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010) A. 0 ≤ x ≤ 4B. x ≤ -2 atau x ≥ 4C. x ≤ 0 atau x ≥ 4D. x ≤ 1 atau x > 3E. x < 1 atau x ≥ 4
Jawaban: C. x ≤ 0 atau x ≥ 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 18: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/18.jpg)
23
MATEMATIKA
04MATERI DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN)
TOP LEVEL - XII SMA
Set 4SISTEM PERSAMAAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEARSistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang terdiri dari 2 atau lebih peu-bah yang memiliki derajat tertinggi satu.Bentuk umum sistem persamaan linear 2 peubah ax + by = c px + qy = rBentuk umum sistem persamaan linear 3 peubah ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = rSolusi sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan proses eliminasi atau substi-tusi atau eliminasi-substitusi.
B. SISTEM PERSAMAAN GABUNGANSistem persamaan jenis ini memiliki bentuk bermacam-macam, ada bentuk persamaan linear 2 variabel dengan fungsi kuadrat, contoh:2x – y = 7y + 2x2 + x = 1atau bentuk persamaan linear multivariat, contoh:4xy + y = 12x + 3xy = 2dan lain-lain.
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 19: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/19.jpg)
24
Sistem persamaan n variabel, umumnya membutuhkan n persamaan agar variabelnya bisa ditemukan. Metode memecahkan sistem persamaan gabungan umumnya dengan cara substitusi.
Contoh Soal
1. Diketahui dua sistem persamaan linear berikut mempunyai solusi yang sama:
ax y bx y
+ 2 = +1+ = 3
dan 2 + = + 2
+ 3 = 3
2x y ax y
maka nilai a – b adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. -9B. -5C. 0D. 5E. 9
Pembahasan:Karena solusinya sama, maka, kita eliminasix + 3y = 3 x + y = 3 – 2y = 0 y = 0, x = 3kita substitusikan (3, 0) keax + 2y = b + 1 → 3a – b = 1 ….. (1)2x + y = a2 + 2 → a2 = 4 a = ±2a = 2, substitusi ke persamaan (1), b = 5sehingga a – b = -3a = -2, substitusi ke persamaan (1), b = -7sehingga a – b = 5
Jawaban: D
2. Jika 3 + 5 = b
3 = 216
b log4
3
x y
x y−
dan 3log a = x + y, maka a = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)
A. 2B. 7C. 9
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 20: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/20.jpg)
25
D. 12E. 16
Jawaban: C
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: x – y = 7 y = x2 + 3x – 10
adalah {(x1, y1), (x2, y2)}. Nilai y1 + y2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)A. -16B. -2C. 8D. 12E. 20
Pembahasan:x – y = 7 y = x – 7 …. (1)Persamaan (1) substitusi ke y = x2 + 3x – 10, menjadi x2 + 3x – 10 = x – 7⇒ x2 + 2x – 3 = 0⇒ (x +3)(x –1) = 0⇒ x1 = -3 atau x2 = 1dari persamaan (1)y1 = -10 atau y2 = -6maka y1 + y2 = -16
Jawaban: A
4. Dari sistem persamaan123x + 321y = 345321x + 123y = 543nilai x2 + y2 adalah ....
Jawaban: 52
5. Diberikan sistem persamaan berikut.
x kykx y
+ = 3+ 4 = 6
Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi x > 1 dan y > 0 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. 0B. 1C. 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 21: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/21.jpg)
26
D. 5E. tak hingga
Pembahasan:Lakukan eliminasi x + ky = 3 × k x + ky = 3 × 4kx + 4y = 6 × 1 kx + 4y = 6 × k
kx k y kkx y
k y k
yk
ky
kk
+ = 3+ 4 = 6
- 4 = 3 6
=3 6
4di mana > 0
3 64
> 0
2
2
2
2
−
−
−
−
−
−
( )
33 2+ 2 2
> 0
1+ 2
> 0
> -2 .... Hp1
kk k
kk
−
−
( )( )( )
4 + 4 = 12
+ 4 = 6
4 = 12 6
=6 2
2 2 +
=6+ 2
d
2
2
x ky
k x ky k
k x k
xk
k k
xk
−
− −
−
−
( )( )
( )( )
ii mana > 16+ 2
> 1
6+ 2
+ 2+ 2
> 0
- + 4+ 2
> 0
-2 < < 4 .... Hp2
x
k
kkk
kk
k
−
k bilangan bulat yang memenuhi hanya k = 35(1 buah bilangan)
Jawaban: D
6. Jika diketahui sistem persamaany ax
x y
= + 3
+ = 12 2
mempunyai dua pasang penyelesaian (x, y), syarat untuk nilai a adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. -2 2 < < 3 2a B. a a< -2 2 atau > 2 2 C. a > 0D. a > 2 2 E. semua bilangan riil
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 22: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/22.jpg)
27
7. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy + x + y = -33 dan x2y + xy2 = 162. Nilai |x – y| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. 3B. 6C. 9D. 11E. 12
Pembahasan:xy + x + y = -33x2y + xy2 = 162 – xy(x + y) = 162Dua persamaan di atas bisa dipenuhi oleh xy = -27 dan x + y = -6nilai x dan y yang memenuhi dua persamaan baru di atas adalah x = -9 dan y = 3maka |x – y| = 12
Jawaban: E
8. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:
x xy y x yx y
2 2+ 3 + 2 5 4 = 0+ 2 = 4− − −
maka x2 – y2 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. -6B. -3C. 0D. 3E. 6
Jawaban: D
9. Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut.(x – 2)(y – 1) = 3(x + 2)(2y – 5) = 15A. -4B. -3C. 3D. 4E. 5Pembahasan:
x y
yx
yxx
− −
−−
−
2 1 = 3
1=3
2
=+1
2.... (1)
( )( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 23: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/23.jpg)
28
(1) disubstitusi ke (x + 2)(2y – 5) = 15, menjadi
xx
x
x x x
x x
+ 22 + 2
25 = 15
+ 2 -3 +12 = 15 2
- 3 + 6 + 24 = 12
( )
( )( ) ( )−
−
⇒ −
⇒ 55 30
- 3 9 + 54 = 0
+ = -ba
= -3
2
1 2
x
x x
x x
−
⇒ −
Jawaban: B
10. Diketahui sistem persamaan(x – 1)(y – 2) = 12(y – 2)(z – 3) = 20(z – 3)(x – 1) = 15x, y, z > 0Nilai 3x + 2y + 3z adalah .... A. 48B. 36C. 24D. 12E. 6
Jawaban: A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 24: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/24.jpg)
1
MATEMATIKA
05MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
Set 5FUNGSI
Soal-soal matematika IPA yang terkait dengan fungsi, umumnya terkategori ke dalam tipe soal berikut1. Fungsi komposisi dan invers2. Menentukan daerah asal dan hasil suatu fungsi3. Fungsi kuadrat yang lebih kompleks4. Menentukan rumus fungsi
Definisi, sifat, dan rumus yang terkait adalah1. (fog)(x) = f [g(x)]2. Domain (fog)(x) adalah irisan dari domain g(x) dan fungsi akhir dari (fog)(x)3. Domain fungsi secara umum adalah x ∈ R kecuali
a. y = g x( ) di mana g(x) ≥ 0
b. y = h x
g x( )( )
di mana g(x) ≠ 0 c. y = log g(x) di mana g(x) > 0
4. Range fungsi secara umum adalah y ∈ R kecuali
a. y = g x( ) di mana y ≥ 0
b. y = c
g x( ) di mana y ≠ 0
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 25: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/25.jpg)
2
5. y = f(x) ⇔ x = f-1(y) 6. (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) 7. Menentukan fungsi dari soal cerita, bisa melalui langkah-langkah berikut
a. Baca soal dengan teliti.b. Tuliskan semua peubah yang disebutkan dalam soal.c. Tuliskan apa yang diketahui.d. Perlu dianalisa apa jenis fungsinya apakah fungsi linear, kuadrat, rasional, dan lain-
lain.
Contoh Soal
TIPE SOAL: FUNGSI, KOMPOSISI, DAN INVERS
1. Soal SIMAK UI Tahun 2012 Diberikan fungsi f : R → R dengan f(2log 4x) = 2x + 1. Jika f-1 adalah invers dari fungsi f,
maka nilai f-1(3) = . . . .A. 5B. 3C. 2D. 1E. -1Pembahasan:f(2log 4x) = 2x + 1makaf-1(2x + 1) = 2log 4xset 2x + 1 = 3 2x = 2 x = 1substitusi x = 1 kef-1(2x + 1) = 2log 4xf-1(3) = 2log 4 = 2
Jawaban: C
2. Soal SIMAK UI Tahun 2011 Jika diberikan g(x) = x +1 , maka untuk sembarang t selalu berlaku . . . .
1) g(t2 – 1) = |1|
2) g(t2 – 2) = t 2 1−
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 26: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/26.jpg)
3
3) g(t2 – 3) mungkin tak terdefinisi
4) g(2t) = 2 +1t Pembahasan:1) g(x) = x +1
g(t2 – 1) = t t2 21 + 1 =− = |t| benar
2) g(t2 – 2) = t t2 22 + 1 = 1− − benar
3) g(t2 – 3) = t t2 23 + 1 = 2− − benar
mungkin tak terdefinisi bila
- 2 < < 2t
4) g(2t) = 2 + 1t benar Jawaban: 1), 2), 3), dan 4) benar
3. f-1(x) dan g-1(x) menyatakan invers fungsi f(x) dan g(x). Jika h(x) = 2x + 1 dan (fogoh)(x2) = 8x2 + 2, maka nilai (g-1of-1)(2) = . . . .A. 2B. 1
C. 12
D. 14
E. 18
Pembahasan: (fogoh)(x2) = 8x2 + 2
⇒
⇒
⇒−
⇒
fogoh x x
fog x x
fog xx
f
( )( )( )( )
( )( )
= 8 + 2
2 +1 = 8 + 2
= 81
2+ 2
oog x x
fog xx
g of xx
g of
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
= 4 2
=+ 24
=+ 24
2
-1
-1 -1
-1 -1
−
⇒
⇒
⇒ (( ) = 1
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 27: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/27.jpg)
4
4. Invers dari fungsi f(x) = 8 + 60 +150 +1256 +12 8
3 2
3 2
x x xx x x− −
adalah f-1(x) = ax
x
13
13
5
+ b
−, maka nilai a + b
adalah . . . .A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2Pembahasan:
8 + 60 +150 +1256 +12 8
=
2 5
2=
2 52
=
2
3 2
3 2
3
3
13
x x xx x x
y
x
xy
xx
y
− −
−
−
−−
( )( )
xx y x− −5 = 21
3 ( ) 2 = 5 2
2 = 5 2
=5 2
2
=2 5
2
mak
13
13
13
13
13
13
13
13
x y x y
x y y
xy
y
xy
y
− −
− −
−
−
−
−
( )
aa =2 5
2
-1
13
13
f xx
x( ) −
−
a = 2b = -2makaa + b = 0
Jawaban: C
5. Soal SNMPTN Tahun 2009 Jika fungsi f memenuhi persamaan 2f(x) + f(9 – x) = 3x untuk setiap x bilangan real, maka
nilai f(2) adalah . . . .
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 28: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/28.jpg)
5
A. 11B. 7C. -3D. -5E. -11Pembahasan:2f(x) + f(9 – x) = 3xsubstitusi x = 2 2f(2) + f(7) = 6 . . . (1)substitusi x = 72f(7) + f(2) = 21 . . . (2)
(1) × 2 4f(2) + 2f(7) = 12(2) × 1 2f(7) + f(2) = 21 – 3f(2) = -9 f(2) = -3
Jawaban; C
6. Diketahui f(x) = 11
−x
, bila f2(x) = f(f(x)), f3(x) = f(f(f(x))) dan seterusnya, maka nilai f34(5) adalah . . . .
A. 45
B. 35
C. 25
D. 15
E. 0
Pembahasan:
f xx
f xx
xf x
x
f x fx
x
xxx
( )
( ) ( )
( )
= 11
=1
=-1
1
=1
=
11
1
-1
2
−
−↔
−
−−
−
−xx
x xx x
f x f xx
f x f f f x f f x
=1
1=
-11
= = -1
1
= =
2 -1
3 -1
− −− −
−( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ))( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
=
= ...
= =1
5 = 5 =5 1
5=
45
34 33
34
x
f x f f x
f xx
x
f f
−
−
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 29: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/29.jpg)
6
f xx
f xx
xf x
x
f x fx
x
xxx
( )
( ) ( )
( )
= 11
=1
=-1
1
=1
=
11
1
-1
2
−
−↔
−
−−
−
−xx
x xx x
f x f xx
f x f f f x f f x
=1
1=
-11
= = -1
1
= =
2 -1
3 -1
− −− −
−( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ))( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
=
= ...
= =1
5 = 5 =5 1
5=
45
34 33
34
x
f x f f x
f xx
x
f f
−
−
Jawaban: A
7. Soal Fungsi Kuadrat Jika titik puncak fungsi kuadrat y = (a – 1)x2 + acx + 4 adalah 1,
394
2a
, maka jarak antar-
titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu x adalah . . . .
A. 219
1101 B. 21
22
C. 23
21
D. 2 13
E. 23
21 Pembahasan:
xp = 1 → -2
= 1ba
-2 1
= 1
- = 2 2
=2 2
-
aca
ac a
ca
a
−
−−
( )
y ap =
394
2 → b ac
aa
a c a
aa
a c a a
22
2 22
2 2
4-4
=394
4 1 4
-4 1=
394
16 +16 = -39
−
− × − ×−
−
( )( )
22
2
2
22
2
1
2 216 +16 = -39 1
4 1 16 1
a
aa
aa a a
a a
−
−− −
− − −
( )( )
( )
( ) ( )) ( )( )
( )( )
= -39 1
4 1 16 = -39
39 + 4 20 = 0
13 +10 3 2 = 0
=
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a
−
− −
−
−
--1013
atau =23
a
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 30: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/30.jpg)
7
b aca
a
a c a
aa
a c a a
22
2 22
2 2
4-4
=394
4 1 4
-4 1=
394
16 +16 = -39
−
− × − ×−
−
( )( )
22
2
2
22
2
1
2 216 +16 = -39 1
4 1 16 1
a
aa
aa a a
a a
−
−− −
− − −
( )( )
( )
( ) ( )) ( )( )
( )( )
= -39 1
4 1 16 = -39
39 + 4 20 = 0
13 +10 3 2 = 0
=
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a
−
− −
−
−
--1013
atau =23
a
Jawaban: E
TIPE SOAL: DOMAIN DAN RANGE
8. Soal SIMAK UI Tahun 2010
Jika f(x) = 1
1x − dan g(x) = x , maka daerah asal dan daerah hasil dari (gof)(x) adalah . . . .
1) daerah asal {x | -∞ < x 1, 1 < x < ∞} 2) daerah asal {x | 1 < x < ∞} 3) daerah hasil {x | -∞ < y 1, 1 < y < ∞} 4) daerah hasil {x | 0 < y < ∞}
Pembahasan:g[f(x)]• cari domain input yaitu f(x)
f(x) = 1
1x −
memiliki domain x ∈ R, x ≠ 1 . . . Hp1
• cari domain g[f(x)]
g
x x1
1=
11− −
syarat 1
10
x −≥
x > 1 atau bisa ditulis
1 < x < ∞ . . . Hp2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 31: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/31.jpg)
8
• Domain komposisi = Hpgabung = Hp1 ∩ Hp2 = {x | 1< x < ∞} • Untuk daerah hasil Rf = {y ∈ R, y ≠ 0} maka Rgof = {y ∈ R, y > 0}
9. Misalkan diketahui g(x) = log x, h(x) = 4 2− x , daerah asal (goh)(x) adalah . . . .A. -2 ≤ x ≤ 2B. -2 < x < 2C. -∞ < x < -2D. 2 < x < ∞E. x ∈ R Pembahasan:(goh)(x) = g[h(x)]1) cari domain h(x)
h(x) = 4 2− x
h(x) terdefinisi bila 4 – x2 ≥ 0 x2 – 4 ≤ 0 (x + 2)(x – 2) ≤ 0 -2 ≤ x ≤ 2 . . . Hp1
2) cari domain g[h(x)]
g[h(x)] = log 4 2− x
g[h(x)] terdefinisi bila 4 – x2 > 0 x2 – 4 < 0 (x + 2)(x – 2) < 0 -2 < x < 2 . . . Hp2
Sehingga domain {x | x ∈ R, -2 < x < 2}Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 32: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/32.jpg)
9
TIPE SOAL: MENENTUKAN FUNGSI
10. Soal UMB Tahun 2013
POPULASI SATWA LANGKA Seorang peneliti mengamati populasi satwa langka di suatu hutan tertutup. Populasinya
pada tahun ke-t diperkirakan sekitar P(t) satwa, dan pada saat diamati (t = 0) adalah sekitar 850 satwa.
Berdasarkan data dan prediksi pengamat diperoleh suatu rumus hampiran untuk P(t) yang berlaku untuk setiap saat t. Suatu rumus hampiran untuk besarnya laju perubahan dari P terhadap t adalah
P tt
tt’ =
4.800
+16, 0 12
2 2( )( )
≤ ≤
dengan P(0) adalah populasi satwa pada saat diamati. Rumus hampiran untuk banyaknya satwa di hutan tertutup pada tahun ke-t, 1 ≤ t ≤ 12
adalah P(t) = . . . .
A. 1.0004.800
+162−t
B. 1.150
4.800+162−
t C. 1.000
2.400+162−
t D. 850
2.400+162−
t
E. 8002.400
+162−t
Pembahasan:
P(t) = ’P t dt( )∫
=4.800
+16
= 4.800 +16
2 2
2 -2
t
tdt
t t dt
( )( )
∫
∫
= 4.800 +16+16
2
= 2.400+16
-1+
2 -22
2 -1
td t
tC
( ) ( )
( )∫
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 33: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/33.jpg)
10
P tt
C( ) = -2.400
+16+2
Karena P(0) = 850, maka
P(0) = -2.400
16 + C = 850
= -150 + C = 850 C = 1.000
P(t) = 1.0002.400
+162−t
Jawaban: C
Latihan Soal
1. Soal SNMPTN Tahun 2009
Jika fx
x8
1+=
, dengan x ≥ 0, maka f(4) = . . . .
A. 36B. 25C. 16D. 9E. 1
2. Soal SNMPTN Tahun 2009 (Fungsi Simetris) DIberikan fungsi f memenuhi persamaan 3f(-x) + f(x – 3) = x + 3 untuk setiap bilangan real
x. Nilai 8f(-3) adalah . . . .A. 24B. 21C. 20D. 16E. 15
3. Diketahui f(x) = ax7 + bx3 + cx – 5. Jika f(-7) = 7, maka f(7) adalah . . . .
A. -17B. -7C. 14D. 17E. 21
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 34: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/34.jpg)
11
4. Soal UMB Tahun 2013
Daerah hasil dari f(x) = 2 4
42
xx
−−
adalah . . . .A. (-∞, ∞) B. (-∞, -2) ∪ (-2, ∞) C. (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞) D. - ,
12
12
,∞ ∪ ∞
E. - , 0 0,12
12
,∞ ∪ ∪ ∞( )
5. UMB 2009
denah kebun bunga
taman bermain
persegipanjang
setengahlingkaran
Pada gambar diperlihatkan taman bermain yang berbentuk persegi panjang. Bagian tengah taman adalah sebuah kebun bunga yang berbentuk gabungan persegi panjang dengan cakram setengah lingkaran. Keliling kebun bunga ini adalah 60 meter dan diameter setengah lingkarannya adalah x meter.
Luas kebun bunga sebagai fungsi kuadrat dari x adalah L(x) = . . . .
A. 3014
+1 2x x− π
B. 3014
+12
2x x− π
C. 30
18
+12
2x x− π
D. 60 + 3018
+12
2x x− π
E. 60 3018
+12
2− − πx x
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 35: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/35.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 6BARISAN ARITMETIKA
a. Ringkasan FoRmulaa. Suku ke-n = Un = a + (n – 1)b a = U1 = suku pertama b = bedab. b = U2 – U1 = U3 – U2 = . . . = Un – Un – 1
c. p, q, r barisan aritmetika maka 1. 2q = p + r 2. p + q + r = 3qd. Suku tengah (Ut)
Ua U
tn=
+2
Un = suku terakhir n = banyak bilangan e. Bila U1, U2, U3, . . ., Un barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara 2 bilangan
berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka 1. U1 tidak berubah 2. beda berubah menjadi b’, di mana b
bk
’ =+ 1
06MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 36: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/36.jpg)
2
f. Jumlah n suku pertama (Sn), di mana
1. Sn
a Un n=2
+( )
Untuk suku awal dan akhir diketahui 2. S
na n bn =
22 + 1−( )( )
Untuk beda diketahui 3. Un = Sn – Sn – 1
Contoh Soal
1. Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah Un = log cn (c konstanta positif ), maka U1 + U2 + . . . + Un + . . . + U2n = . . . . (soal umB Tahun 2013)
A. 12
+1 logn n c( )
B. n(n + 1) log c C. n(2n – 1) log c D. n(2n + 1) log c E. 2n(n + 1) log c Pembahasan:Un = log cn
• U1 = a = log c• U2 = log c2
= 2 log c• beda = b = 2 log c – log c = log c
•
Sn
a n b
S n c n c
S n c n
n
n
n
2
2
2
=22
2 + 2 1
= 2log + 2 1 log
= log 2 + 2 1
−
−
−
( )( )( )( )
( ))( )S n n cn2 = 2 1 log−
Jawaban: C
2. Diketahui a2 – b2 + c2 – d2 = 2010 dan a + b + c + d = 2.010. Jika a, b, c, d adalah empat suku pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a = . . . . (soal simak ui Tahun 2013)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 37: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/37.jpg)
3
A. 1.008B. 898C. 788D. 604E. 504
Pembahasan:Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a2 – b2 + c2 – d2 = 2.010(a + b)(a – b) + (c + d)(c – d) = 2.010 (a + b)(-p) + (c + d)(-p) = 2.010 -p (a + b + c + d) = 2.010 -p (2010) = 2.010 p = -1sehingga a + b + c + d = 2.010a + (a – 1) + (a – 2) + (a – 3) = 2.010 4a – 6 = 2.010 4a = 2.016 a = 504
Jawaban: E
3. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya adalah 12. Maka akar-akar dari f(x + 1) adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)1) 1 dan 32) 1 dan 53) 3 dan 54) 2 dan 4
Pembahasan:misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah x1, x2, x3 dimana
x3 = 3x1 . . . (1)x1, x2, x3 barisan aritmetika, maka 2x2 = x1 + x3
2x2 = x1 + 3x1 {substitusi (1)} 2x2 = 4x1
x2 = 2x1 . . . (2)jumlah akar-akarnya 12, maka x1 + x2 + x3 = 12 x1 + 2x1 + 3x1 = 12 {substitusi (1) dan (2)} 6x1 = 12 x1 = 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 38: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/38.jpg)
4
maka x2 = 4, x3 = 6akar-akar f(x + 1) adalah
x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1 yaitu 1, 3, 5Jawaban: a
4. Diberikan dua buah barisan aritmetika (An) dan (Bn). Diketahui jumlah 100 suku pertama dari barisan (An) dengan beda bernilai satu adalah 5.850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan (Bn) sama dengan suku kedua terakhir barisan (An). Jika beda barisan (Bn) adalah 2, maka jumlah barisan (Bn) adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)A. 2.385B. 2.470C. 2.725D. 2.900E. 2.925 Pembahasan:misal An: U1, U2, U3, . . . , Un , Bn = U1’, U2’, . . . , Um’ S100 = 5.850 b’ = 2 b = 1
S a b
a
aaa
100 =100
22 + 99 = 5.850
50 2 + 99 1 = 5.850
2 + 99 = 1172 = 18
= U
( )
( )( )
11 1= 9 = U ’
misal banyak suku barisan An ada 100maka untuk barisan Bn
Um’ = U99
U1’ + (m – 1)b’ = U1 + 98b (m – 1) 2 = 98 . 1 m – 1 = 49 m = 50maka
S U b50 1=502
2 ’ + 49 ’
= 25 18 + 98 = 2.900
( )
( ) Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 39: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/39.jpg)
5
5. soal simak ui Tahun 2010 Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama
ialah p. Maka jumlah (p + q) suku pertama barisan tersebut adalah . . . .
A. (p + q)
B. p + q
2( )
C. p + q + 1D. -(p + q)E. -(p + q + 1) Pembahasan:
S qp
a p b q
app b pb
q
S pq
a q b
p
p
=2
2 + 1 =
+2 2
= ...(1)
=2
2 + 1 =
2
→ −
−
→ −
( )( )
( )( ) pp
aqq b qb
p+2 2
= ...(2)2
−
(1) dan (2) eliminasi
(1)(2)
+2 2
=
+2 2
=
22
22
××
−
−
qp
apqp qb pqb
q
apqp qb pqb
p
p q pq bq p
pqp q b
q p q p
bp q
pq
2 22 2
2=
2= +
= -2 +
...(3)
−−
−−
( )
( ) ( )( )
( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 40: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/40.jpg)
6
Sp q
a p q b
pa p b qb
qa q b pb
p+q =+2
2 + + 1
=2
2 + 1 + +2
2 + 1 +
( ) ( )( )( ) ( )
−
− −(( )
( )( ) ( )( )=2
2 + 1 +2
+2
2 + 1 +2
= + +
substitus
pa p b
pqb qa q b
pqb
q p pqb
− −
ii (3)
= + +-2 +
= - +
p q pqp q
pq
p q
( )
( ) Jawaban: D
6. Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6.655 + . . . adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)A. log (551150)B. log (525 111225)C. log (2525 111225)D. log (2751150)E. 1.150 log (5) Pembahasan:log 5 + log 55 + log 605 + . . . barisan aritmetika karena log 55 – log 5 = log 605 – log 55 log 11 = log 11 = bdiketahui: a = log 5 b = log 11
S a50
50
=502
2 + 49b
= 25 2log5 + 49log11
= 50log5 +1225log11
= log 5
( )( )
××
×
11
= log 25 11
1225
25 1225
( )( )
Jawaban: C
7. Diketahui barisan dengan suku pertama U1 = 15 dan memenuhi Un – Un – 1 = 2n + 3, n ≥ 2. Nilai U50 + U2 adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 41: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/41.jpg)
7
A. 2.688B. 2.710C. 2.732D. 2.755E. 2.762 Pembahasan: Un – Un – 1 = 2n + 3 Un = Un – 1 + 2n + 3n = 2 U2 = U1 + 7 = 22n = 3 U3 = U2 + 9 = U1 + 7 + 9n = 4 U4 = U3 + 11 = U1 + 7 + 9 + 11makaU50 = U1 + S49
di mana S49 jumlah 49 suku pertama dari deret 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + U49
S a b49 =492
2 + 48
=492
2 7 + 48 2
= 2.695
( )
( )× ×
maka U50 = U1 + 2.695 = 2.710maka U50 + U2 = 2.732
Jawaban: C
8. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi
12
+13
+14
p q r = s. Nilai p + q adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)
A. 51B. 52C. 53D. 54E. 56 Pembahasan:p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = 1maka q = p + 1 r = p + 2 s = p + 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 42: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/42.jpg)
8
12
+13
+14
=
12
+13
+1 +14
+ 2 = + 3 12
p q r s
p p p p( ) ( ) ×
6P + 4P + 4 + 3P + 6 = 12P + 36 13P + 10P = 12P + 36 P = 26 maka q = 27p + q = 53
Jawaban: C
9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 42, maka kelilingnya adalah . . . . (soal umB Tahun 2009) A. 6B. 12C. 13 D. 12 7 E. 15Pembahasan:misal segitiga siku-siku itua – b, a, a + bdengan [a + b]2 = [a – b]2 + a2
a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + a2
4ab = a2
Luas = 42, maka
12
b a = 42
12
14
= 42
38
= 42
= 112
= 4 7 = 7
2
2
a
a a a
a
a
a b
− ×
− ×
→
( )
Keliling = K = 3a = 12 7 Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 43: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/43.jpg)
9
10. Jika akar-akar persamaan suku banyak x4 – 8x3 + 2ax2 + (5b + 3)x + 4c – 3 = 0 diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Nilai a + b + c = . . . . (soal simak ui Tahun 2009)A. -3B. 1C. 3D. 5E. 6Pembahasan:misal akar x1, x2, x3, x4 di manax1 < x2 < x3 < x4 atau x1 < x1 + 2 < x 1 + 4 < x1 + 6
x1 + x2 + x3 + x4 = -ba
x1 + x1 + 2 + x1 + 4 + x1 + 6 = 8 4x1 + 12 = 8 x1 = -1makax2 = 1, x3 = 3, x4 = 5
maka polinomnya (x1 + 1)(x2 – 1)(x3 – 3)(x4 – 5) = 0 (x2 – 1)(x2 – 8x + 15) = 0 x4 – 8x3 + 14x2 + 18x – 5 = 0
dapat disimpulkan2a = 14; 5b + 3 = 8; 4c – 3 = -15 a = 7 b = 1 c = -3maka a + b + c = 5
Jawaban: D
11. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara 2 suku disisipkan 4 buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S’. Perbandingan S dan S’ adalah . . . . A. n : 2n + 1B. n : 3n + 1C. n : 5n – 4D. n : 5n + 4E. n : 5n – 3 Pembahasan:Barisan pertama
Sn
a n bn =2
2 + 1−( )( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 44: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/44.jpg)
10
Barisan kedua menjadi m suku
b
b b’ =
4 +1=
5
berlaku Um = Un a + (m – 1)b’ = a + (n – 1)b(m – 1) = (n – 1)b – m = 5n – 4maka
SS
na U
ma U
nm
nn
n
m
n
m
= 2+
2+
= =5 4
( )
( )
− Jawaban: C
Latihan Soal
1. Diketahui 3 buah bilangan memiliki perbandingan 2 : 3 : 5. Jika bilangan kedua ditambah 2, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah . . . .A. 30B. 40C. 60D. 80E. 100
2. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akar-akarnya sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian f(x + 6) oleh x2 + 1 adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)
3. Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b – a = p + 5, d – c = 2p + 3, dan d = 6, maka nilai a adalah . . . .A. -5B. -10C. -15D. -20E. -25
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 45: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/45.jpg)
11
4. Jika Up = q dan Uq = p, maka Sp + q = . . . .
A. 12
+p q( )
B. 12
+ 2p q( )
C. 12
+ + +1p q p q( )( )
D. 12
+ + 1p q p q( )( )−
E. 1
2p q−( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 46: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/46.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 7BARISAN GEOMETRI
a. Rumus suku ke-n (un)a. Un = arn – 1
b. Un = Up.rq, n = p + q
B. Rasio (R)
a. rUU
UU
U
Un
n
= = = ... =2
1
3
2
+1
b. rU
Un p qn p
q
= , = −
C. suku Tengah (uT), pada n ganjil
a. U a Ut n= ×
b. tn
=1+
2
d. jumlah n suku peRTama
Sa r
r
a r
rn
n n
=1
1=
1
1
−
−
−
−
( ) ( )
07MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 47: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/47.jpg)
2
e. deReT geomeTRi Tak hingga (s∞)
a. Sa
r∞ −=
1b. -1 < r < 1 syarat barisan konvergen
F. u1 u2 . . . uT . . . un = uTn
n bilangan ganjil
Contoh Soal
1. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1, k, x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . .
A. -12
-1 +12
( )n
B. -12
-112
( )n −
C. 1
2-1 +
12
( )n
D. - -1( )n
E. 1
2-1
12
( )n −
pembahasan:• x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 a = 1 b = -(2k2 – k – 1) c = 3k + 4• x1, k, x2 barisan geometri k2 = x1x2
k2 = 3k + 4 k2 – 3k – 4 = 0 (k – 4)(k + 1) = 0 k = 4 atau k = -1• kembali ke persamaan kuadrat untuk k = 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 48: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/48.jpg)
3
P.K. x2 – 27x + 16 = 0 akar-akarnya bukan bilangan bulat (k ≠ 4)untuk k = -1P.K. x2 – 2x + 1 = 0 akar-akarnya bulat yaitu x1 = 1, x2 = 1• Barisan geometrinya menjadi 1, -1, 1 dengan r = -1 maka Un = arn – 1
= 1 -1
=-1
-1= - -1
1
1
× −( )( )( )
( )
n
nn
jawaban: d
2. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)A. 14B. 24C. 28D. 32E. 42 pembahasan:• Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama
2 = 3 +
21
1= 3
1
1
4 2 4
4 4
2
S U U
a r
r
ar r
r
( )
( )
( )−
−
−
−
2 =3+1
2 + 2 = 3 = 2
rr
r r r→
• Misal barisan geometrinya a, 2a, 4a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r = 2
a, 2a, 2a + 2, 4a, 4a + 2, 4a + 4, 4a + 6, 8a ekuivalen dengan
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 49: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/49.jpg)
4
a, 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6, 2a + 8, 2a + 10, 2a + 12 4a = 2a + 4 2a = 4 a = 2• Maka barisannya menjadi
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
disisipkan
• maka jumlah bilangan yang disisipkan 6 + 10 + 12 + 14 = 42
jawaban: e
3. Bentuk deret geometri bilangan 8,88888… adalah . . . . (soal sBmpTn Tahun 2010) A. 8
110
+1
=1
∑
n
n
∞
B. 81
10
+1
=0
∑
n
n
∞
C. 8
110
1
=0
∑
n
n
−∞
D. 0, 81
10=1
∑
n
n
∞
E. 81
10
1
=1
∑
n
n
−∞
pembahasan:• 8,8888… = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + … = 8 (1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …)• Mencari rumus Un barisan geometri dengan a = 1, r = 0,1
U arn
n
=
=1
10
n 1
1
−
−
• Menyusun notasi sigma
8,8888… = 8=1
Unn
∞
∑
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 50: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/50.jpg)
5
= 81
10
+1
=1
∑
n
n
∞
jawaban: a
4. Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga dikurangi 21, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga suku barisan aritmetika sama dengan . . . . (soal umB Tahun 2009)A. 8B. 9C. 15D. 21E. 28 pembahasan:• Misal barisan aritmetikanya a – b, a, a + b• Barisan geometrinya a – b, a + 3, a + b – 21 maka (a + 3)2 = (a – b)(a + b – 21) . . . (1)• Sifat lainnya a + b + 9 = 3(a + 3) a + b + 9 = 3a + 9 b = 2 . . . (2)• pers (1) substitusi ke pers (2) (a + 3)2 = (a – 2a)(a + 2a – 21) a2 + 6a + 9 = -a(3a – 21) a2 + 6a + 9 = -3a2 + 21a 4a2 – 15a + 9 = 0 (4a – 3)(a – 3) = 0
maka a = 34
atau a = 3
kita ambil a = 3 maka jumlah 3 bilangan semula a – b + a + a + b = 3a = 9
jawaban: B
5. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U6 = 64 dan log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2, maka nilai U3 adalah . . . . (soal snmpTn Tahun 2009)A. 8B. 6
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 51: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/51.jpg)
6
C. 4D. 2E. 1
pembahasan:• log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2 log (U2.U3.U4) = log 29 U2.U3.U4 = 29
Ur3 . U3.U3.r = 29
U33 = 29 U3 = 23 = 8
jawaban: a
6. Barisan geometri diketahui Sn = 150 , Sn + 1 = 155, dan Sn + 2 = 15712
. Maka suku pertamanya adalah . . . .A. 72,5B. 75C. 80D. 85,5E. 90 pembahasan:• Un + 1 = Sn + 1 – Sn
arn = 155 – 150 arn = 5 . . . (1)• Un + 2 = Sn + 2 – Sn + 1
arn + 1 = 157,5 – 155 arn.r = 2,5 {substitusi (1)} 5r = 2,5
r = 15712
• Sr
rn
n
=a 1
1= 150
−
−
( )
a
a
n
n
112
12
= 150
112
= 75
112
−
−
−
( )
n
n
a
aa
=75
12
=75
... 2−
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 52: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/52.jpg)
7
a
a
n
n
112
12
= 150
112
= 75
112
−
−
−
( )
n
n
a
aa
=75
12
=75
... 2−
S
a
n
n
+1
+1
=
112
112
= 155
−
−
a
aa
a
n
112
12
= 75,25
175 1
2= 75,25 substi
− ×
−−
×
ttusi 2
2 + 752
= 75,25
+ 752
= 75,25
+ 75 = 155= 80
( ){ }
a
a aaa
aa
−
jawaban: C
7. Deret geometri dengan 10 suku. Diketahui suku ketiga adalah 253
dan jumlah logaritma
semua suku-sukunya adalah 45log 5 – 35log 3. Suku ke-2 barisan itu adalah . . . . A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6pembahasan:• log U1 + log U2 + log U3 + . . . + log U10 = 45log 5 – 35log 3
log U1U2U3 . . . U10 = log 53
45
35
U1U2U3U4U5U6U7U8U9U10 = 53
45
35
U
r
Ur
U U rU r U r U r U r U r U r32
33 3 3
23
33
43
53
63
745
35=
53
×
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 53: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/53.jpg)
8
U r
r
r
310 25
45
35
1025
45
35
2545
35
10
2
=53
253
=53
=53
35
×00
2525
=53
=53
r r
→
• UUr23= =
253
53
= 5 jawaban: d
8. Diketahui U1, U3, U13, dan Un dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah . . . .A. 60B. 63C. 65D. 68E. 72 pembahasan:• U1, U3, U13 barisan geometri U32 = U1U13
[a + 2b]2 = a[a + 12b] a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 12ab 4b2 = 8ab b = 2a• Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + 2b, a + 12b, Un
a, a + 2(2a), a + 12(2a), Un
a, 5a, 25a, Un = 125a
×5 ×5 ×5• maka Un = 125a a + (n – 1)b = 125a a + (n – 1)(2a) = 125a (n – 1)(2a) = 124a n – 1 = 62 n = 63
jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 54: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/54.jpg)
9
9. Misal 3x, 4y, 5z membentuk barisan geometri, sementara 1
,1
,1
x y z membentuk barisan
aritmetika. Nilai dari xz
zx
+ adalah . . . .
A. 3016
B. 3415
C. 3517
D. 3919
E. 4121
pembahasan:• 3x, 4y, 5z barisan geometri
16y2 = 15xz → xzy
=16
15
2
• 1
,1
,1
x y z barisan aritmetika
2=
1+
1
2=
+
2=
1516
+
=1532
+ + =3215
2
y x z
yx z
xz
y
x z
y
y x z x z y
×
→
( )
( )
• Nilai xz
zx
x zxz
+ =+2 2
=+ 2
=+
2
=
321516
15
2 =3415
2
2
2
2
x z xz
xz
x z
xz
y
y
( )
( )
−
−
−
jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 55: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/55.jpg)
10
10. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali suku pertama dan terakhirnya 2.500. Jumlah logaritma semua suku-sukunya sama dengan lima kali logaritma
suku tengahnya dan kuadrat dari suku kedua sama dengan 25
kali suku keempat. Suku kedua barisan itu adalah . . . .A. 5B. 8C. 10D. 15E. 25pembahasan:• U1Un = 2.500
U U1 n = 50
Ut = 50• log U1 + log U2 + . . . + log Un = 5log Ut
log U1U2 … Ut … Un = log Ut5 Ut
n = Ut5 n = 5 maka t =
n +12
= 3 sehingga U3 = 50
• U U22
4=25
Ur
U r
rr
r r
32
3
2
2
3
=25
50=
25
50
125 = maka = 5
×
× ×
• maka nilai UUr23= =
505
= 10 jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 56: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/56.jpg)
11
Latihan Soal
1. Hasil penjumlahan 3 + 33
9+ 6
381
+123
729
adalah . . . .
A. 9
73
B. 107
3
C. 117
3
D. 127
3
E.
137
3 2. Diketahui barisan bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut (1), (2, 4, 8), (16, 32, 64,
128, 256), …. Suku ke-5 dari kelompok ke-10 adalah . . . . A. 285
B. 286
C. 287
D. 288
E. 289
3. Misal sin θ, cos θ, tan θ, … adalah barisan geometri untuk beberapa θ ∈ R. Pada urutan ke
berapa sukunya menjadi cosec θ?A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 57: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/57.jpg)
12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 58: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/58.jpg)
1
MATEMATIKA
08MATERI DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN)
TOP LEVEL - XII SMA
Set 8LOGARITMA
A. Review SingkAt MAteRia. alog b = c – ac = b syarat numerous a, b > 0, a ≠ 1b. Sifat-sifat 1. alog xy = alog x + alog y
2. alog xy
= alog x – alog y
3. alog xm = m alog x
4. alog b = logloga
=loglog
=1
logb b
a a
p
p b
5. a m an
bmn
blog = log
6. alog b . blog c = alog c 7. alog 1 = 0 8. a alog b = b c. Persamaan alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x), f(x), g(x) > 0
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 59: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/59.jpg)
2
d. Pertidaksamaan alog f(x) < alog g(x), f(x), g(x) > 0 1. f(x)< g(x) bila a > 1 2. f(x) > g(x) bila 0 < a < 1
Contoh Soal
1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2013)A. {x ∈ R | x < 0 atau x > 2}B. {x ∈ R | 0 < x < 2}C. {x ∈ R | x ≤ 0 atau x > 2}D. {x ∈R | 0 ≤ x < 2}E. {x ∈ R | x > 2}Pembahasan:log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13log (52x + 25) > x – xlog 2 + log 26log (52x + 25) > log 10x – log 2x + log 26log (52x + 25) > log 5x . 26maka 52x + 25 > 5x . 26[5x]2 – 26 . 5x + 25 > 0(5x – 25)(5x – 1) > 0pembuat nol x = 2, x = 0garis bilangan
0
+ _ +
2x
Hp = {x | x < 0 atau x > 2, x ∈ R}
Jawaban: A
2. Nilai x dengan x > 4 yang memenuhi x xx x− −− −4 > 42 4 5( ) ( ) adalah . . . . (Soal SiMAk
Ui tahun 2012)
A. -1 < x < 32
B. x > 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 60: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/60.jpg)
3
C. x > 5
D. x > 32
atau x < 1
E. x > 34
atau x < -1
Pembahasan:Karena x > 4 maka x – 4 > 0sehingga
x x
x x
xx
x x
x x− −
⇒ − −
⇒ −−
⇒ − −
− −
−−
4 > 4
4 > 4
4 >5
22 8 > 5
2
2
4 5
x 4x 5
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )
⇒⇒ − −
⇒ −
2 3 > 0
2 3 +1 > 0
2x x
x x( )( )
akar x = 32
atau x = -1
garis bilangan
-1
+ _ +x
32
Hp = x x x| < -1atau >32
Jawaban: D
3. Batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log <1
log 102 -3 -1xx( )
adalah . . . . (Soal
SiMAk Ui tahun 2010)
A. x >34
174
−
B. 34
174
< <174
+34
− x
C. 3
2<
174
+34
≤ x
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 61: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/61.jpg)
4
D. 3
2< <
174
+34
x
E. 3
2<
174
+34
≤ x Pembahasan:
2log <1
log 102 3 -1xx −( )
syarat: 1) x > 0 . . . Hp1
2) (2x – 3)-1 > 0
1
2 3> 0
x − akar x =
32
garis bilangan
_ +x
32
Hp2 = x x| >32
3) (2x – 3)-1 ≠ 1
1
2 31
x −≠
2x – 3 ≠ 1 x ≠ 2 . . . Hp3
Penyelesaian pertidaksamaan
2log <1
log 10
log < log 2 3
2log < -2log 2 3
lo
2 3
2 10 -1
-1x
x x
x x
x −
−
−
( )
( )( )
gg < -log 2 3x x −( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 62: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/62.jpg)
5
log < log 2 3
<1
2 31
2 3< 0
2 3 12 3
< 0
-1
2
x x
xx
xx
x xx
−
−
−−
− −−
( )
x1,2 =3 – 9 + 8
4
=3 – 17
4
akar pembilang (Rumus ABC)
x x1 2=3 17
4, =
3 + 174
−
akar penyebut x = 32
garis bilangan
– –+ +x
32
3 174
− 3+ 174
Hp3 = x x<3 17
432
< <3 + 17
4−
∪
maka Hptotal
Hptotal = Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3
0 234
174
−32
34
+174
Hptotal = x x|
32
< <174
+34
Jawaban: D
4. Jika p dan memenuhi persamaan 3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6), maka nilai p + q = . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2009)A. -6B. -3C. 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 63: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/63.jpg)
6
D. 6E. 12
Pembahasan:3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6)
⇒ −
⇒ −
3 3 3 2
3 3
log 4 3 7 = log13
+ log 3 + 6
log 4 3 7 = log
x x
x
( )( ) ( )
( )( ) 33 + 6
3
4 3 7 =3 + 6
3
3 12 3 + 27 = 0
3 9 3 3 =
2
2
2
x
xx
x x
x x
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
⇒ −
⇒ −
⇒ − − 00
3 = 9 atau 3 = 3= 2 atau = 1
= 2 atau = 1maka + = 3
1 2
⇒⇒⇒
x x
x x
p qp q
⇒ −
⇒ −
3 3 3 2
3 3
log 4 3 7 = log13
+ log 3 + 6
log 4 3 7 = log
x x
x
( )( ) ( )
( )( ) 33 + 6
3
4 3 7 =3 + 6
3
3 12 3 + 27 = 0
3 9 3 3 =
2
2
2
x
xx
x x
x x
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
⇒ −
⇒ −
⇒ − − 00
3 = 9 atau 3 = 3= 2 atau = 1
= 2 atau = 1maka + = 3
1 2
⇒⇒⇒
x x
x x
p qp q
Jawaban: C
5. Himpunan penyelesaian |log(x – 1)| < 1 adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2009) A. {x | 11 < x < 110} B. {x | -11 < x < 110} C. {x | -9 < x < 110}
D. x x| -1110
< < 11
E. x x|1110
< < 11
Pembahasan:|log(x – 1)| < 1• syarat x – 1 > 0 x > 1 . . . Hp1
• |log(x – 1)| < 1 -1 < log(x – 1) < 1
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 64: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/64.jpg)
7
log1
10< log 1 < log10
110
< 1< 10
1110
< < 11 ... Hp2
x
x
x
−
−
( )
• Hptotal = Hp1 ∩ Hp2
1 11x
1110
Hptotal = x x x|
1110
< < 11, R∈
Jawaban: e
6. Nilai x yang memenuhi 9 + 4 = 853 2log 2 +1 log +3x x( ) ( ) adalah . . . .
A. -5 dan 3B. 2 dan 3C. 3 dan 5D. 3E. 5Pembahasan:
3 + 2 = 85
3 + 2 = 85
2 +1
2 log 2 +1 2 log +3
log 2x+1 log +3
3 2
3 2 2 2
x x
x
x
( ) ( )
( ) ( )
(( ) ( )2 2
2 2
2
2
+ + 3 = 85
4 + 4 +1+ + 6 + 9 = 85
5 +10 75 = 0
+ 2 15 = 0
+ 5
x
x x x x
x x
x x
x
−
−
(( )( )x
x x
− 3 = 0
= -5 atau = 31 2
test 2x + 1 x + 3
x1 = -5 -9 x -2 x bukan solusi
x2 = 3 7 6 solusi
solusinya x = 3Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 65: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/65.jpg)
8
7. xlog xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0 x > y > 0, x, y ≠ 1, nilai x + y adalah . . . .
A. 3 + 2
B. 7
C. 5
D. 2 + 3
E. 1+ 5
Pembahasan:xlog xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0
loglog
loglog
+log y
log
log
log= 0
log + lo2
xyx
xyy
x
x
x y
y
xy
×−
×−( ) ( )
[ ] gg = 02
x y−( )
log xy = 0 dan log (x – y) = 0xy = 1 x – y = 1 . . . (2)
yx
=1
& (1)
(1) substitusi ke (2) x x
x xa b c
xb b a
a
x
−
⇒ −
⇒−
⇒
1= 1
+ 1= 0= 1, = 1, = -1
=- – 4 c
2
=-1– 5
2
=-1+ 5
2
2
1,2
2
xx > 0{ }
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 66: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/66.jpg)
9
yx
y
y
x y
x y
=1
=1
-1+ 52
=2
5 1
5 +1
5 +1
=5 +12
maka + =5 12
+5 +12
+ = 5
⇒
⇒−
×
−
Jawaban: C
8. Un menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika log =log45 + log15 log25
log125+
11+ log5 + log 5
+ log55 2
1Un
nn− − −
log =log45 + log15 log25
log125+
11+ log5 + log 5
+ log55 2
1Un
nn− − − , maka rumus Un adalah . . . .
A. 0,3 × 10n B. 27 × 10n C. 10 × 3n
D. 27010n
E. 9 × 10n Pembahasan:
log =log45 + log15 log25
log125+
11+ log5 + log 5
+ log5
=log
5 2-1U
nn
n− −
2273
+log10
log10log10 log5
+ log5
=13
log27 + 1 log2 + 1
-1-1
nn
n n
−
− −( ) (( )
( )
log5
= log3 + n 1 log10
= log3 10 -1
−
× n →→ ×
×
Unn
n
= 3 10
= 0,3 10
-1
Jawaban: A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 67: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/67.jpg)
10
9. Harga x yang memenuhi persamaan 3 + 2 2 3 2 2 =32
x x
− − adalah . . . .
A. 3-2 2 log2
B. 3-2 2 log3
C. 1+ 2 log2
D. 2 log 1+ 2( ) E. 3 log2
Pembahasan:
3 + 2 2 3 2 2 =32
2 +1 2 1 =32
2 +11
2 +
x x
x x
x
− −
− −
−11
=32
misal 2 +1 =
1=
32
2 2 = 3
2 3 2 = 0
2 +1
2
2
( )
x
xy
yy
y y
y y
y y
−
−
− −
− 22 = 0
= -12
atau = 2
2 +1 = -12
2 +1 = 2
( )
y y
x x
3 + 2 2 3 2 2 =32
2 +1 2 1 =32
2 +11
2 +
x x
x x
x
− −
− −
−11
=32
misal 2 +1 =
1=
32
2 2 = 3
2 3 2 = 0
2 +1
2
2
( )
x
xy
yy
y y
y y
y y
−
−
− −
− 22 = 0
= -12
atau = 2
2 +1 = -12
2 +1 = 2
( )
y y
x x
pilihan pertama tidak mungkin
karena 2 +1 > 0
x
maka
2 +1 = 2
log 2 +1 = log2
= log2
2 +1 2 +1
2 +1
x
x
x
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 68: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/68.jpg)
11
10. Bila log 2 = a, log 3 = b, dan 2x+1 = 32-3x, maka nilai x + 1 adalah . . . .
A. 5
3 +a
a b
B. 53
aa b−
C. 5+ 3
ba b
D. 5
3b
a b−
E.
3 +5
a ba
Pembahasan: 2x+1 = 32-3x
⇒
⇒ −
⇒ −
⇒
log2 = log3
+1 log2 = 2 3 log3
+1 = 2 3
+ 3
+1 2-3x x
x x
x a x b
ax
( ) ( )( ) ( )
bbx b a
x a b b a
xb a
a b
xb a
a ba ba b
x
= 2
+ 3 = 2
=2
+ 3
+1=2
+ 3+
+ 3+ 3
+1
−
⇒ −
⇒−
⇒−
⇒
( )
==5+ 3
ba b
⇒
⇒ −
⇒ −
⇒
log2 = log3
+1 log2 = 2 3 log3
+1 = 2 3
+ 3
+1 2-3x x
x x
x a x b
ax
( ) ( )( ) ( )
bbx b a
x a b b a
xb a
a b
xb a
a ba ba b
x
= 2
+ 3 = 2
=2
+ 3
+1=2
+ 3+
+ 3+ 3
+1
−
⇒ −
⇒−
⇒−
⇒
( )
==5+ 3
ba b
Jawaban: C
Soal Latihan
1. Diketahui 2log 2log 3log x = 2log 3log 2log y = 0, maka x + y adalah . . . . A. 8B. 9C. 16D. 17E. 18
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 69: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/69.jpg)
12
2. Bila x , log3, dan log4 adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai x yang mungkin adalah . . . .
A. log4 dan log12
B. log43
dan log12
C. log43
saja
D. log12 saja
E. tidak ada yang memenuhi 3. Apabila x memenuhi
2
2 8
loglog2 log2
= 3x
x −, maka nilai dari 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... adalah . . . .
A. 12
B. 1C. 2D. 4E. 8
4. Perhatikan xy = 10a, yz = 10b, xz = 10c. Nilai dari log x + log y + log z adalah . . . .
A. abc
B. abc
2
C. a + b + cD. 2a + 2b + 2c
E. a b c+ +2
5. Diketahui persamaan 2x – 3log y = 7 2y + 3log x = 9 maka nilai x + y adalah . . . .
A. 3B. 4C. 5D. 6E. 8
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 70: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/70.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 9PELUANG
A. RingkAsAn MAteRia. Aturan Perkalian
m cara
kejadian 1 dan
n carakejadian 2
= m × n cara
b. Aturan tambah
m cara
kejadian 1 atau
n carakejadian 2
= m + n
c. Faktorial n (n!) n! = n(n – 1)(n – 2) ... 1d. Permutasi (kejadian Menyusun Objek) 1. permutasi n unsur = n! 2. permutasi k unsur dari n unsur
nPk = Pn
n kkn =
!!−( )
3. Permutasi unsur berulang
n kPn
k kk ,1 2
1 2=
!! !
4. Permutasi siklis n unsur = n!
09MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 71: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/71.jpg)
2
e. kombinasi (kejadian Memilih)
C
nk n kk
n =!
! !−( )f. Peluang suatu kejadian A
P An A
n S( ) ( )
( )=
A = kejadian yang diharapkan S = kejadian yang mungkin
Contoh Soal
1. Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah . . . . (UM UgM 2013)A. 13B. 11C. 9D. 5E. 3Pembahasan:misal banyak anak laki-laki = x banyak anak perempuan = 15 – x
banyak kemungkinan terambil 1 laki-laki dan 1 perempuan
C C
xx
x
x
x x
x x1 1
15- = 26
!1 !
15 !
14 != 26
15 = 26
−×
−−
× −
( )( )( )
( ) x yang memenuhi x = 13maka banyak perempuan 2 orang sehingga selisihnya 11 orang
Jawaban: B
2. Jika L(a) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola y = ax + x2, 0 < a <
1, maka peluang nilai a sehingga L(a) ≥ 1
48 adalah . . . . (sBMPtn 2013)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 72: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/72.jpg)
3
A. 1112
B. 78
C. 56
D. 34
E. 12
Pembahasan:• misal A = kejadian L(a) ≥
148
• Daerah yang dibatasi oleh y = ax + x2 dan sumbu X Luasnya bisa menggunakan
LD D
a=
6 2
D = b2 – 4ac → D = a2
maka La a a
=6 1
=6
2 2
2
3
×
• L(a) ≥ 1
48
⇒ ≥ ⇒ ≥
≥
aa
a
33
61
4818
12
maka agar L(a) ≥
148
, maka a ≥ 12
sedangkan 0 < a < 1 kalau kita gambar pada garis bilangan
a1
n(A) = 12
n(S) = 1
0 12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 73: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/73.jpg)
4
maka peluangnya P A
n A
n S( ) ( )
( )= =
12
Jawaban: e
3. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan angka kedua mempunyai selisih 2 adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 120B. 130C. 140D. 150E. 160 Pembahasan:Bilangan ratusan terdiri dari 3 angka ratusan puluhan satuanAngka ratusan dan puluhan selisih 2 adalah
1, 3 3, 1
2, 4 4, 2
3, 5 5, 3
4, 6 6, 4
5,7 7, 5
6, 8 8, 6
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (( )( ) ( )( )
7, 9 9, 7
2, 0
15 kemungkinan
maka 15 10 ratusan puluhan satuanbanyak angkanya adalah 15 × 10 = 150
Jawaban: D
4. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah . . . . (sBMPtn 2013)
A. 160
B. 1
30
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 74: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/74.jpg)
5
C. 1
15
D. 110
E. 15
Pembahasan:Ada 6 orang duduk berjajarn(S) = 6!L1L2 P1P2P3 L3
Kelompok perempuan dianggap 1 bagian dari 4 bagian, maka cara menyusun 3 laki-laki dan 1 kelompok wanita adalah 4!.Karena kelompok perempuan terdiri dari 3 orang, maka cara menyusun 3 wanita pada kelompok wanita adalah 3! makan(A) = 4! × 3!Peluangnya
P An A
n S( ) ( )
( )= =
4! 3!6!
=6
30=
15
×
Jawaban: e
5. Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. Andi mengambil 1 bola secara acak lalu mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melakukan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapatkan jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 6B. 12C. 15D. 16E. 18 Pembahasan:3 angka berjumlah 102, 3, 5 banyak susunan 3! = 61, 4, 5 banyak susunan 3! = 6total kejadian 6 + 6 = 12 kejadian
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 75: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/75.jpg)
6
6. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 4], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 0
B. 13
C. 23
D. 56
E. 1
Pembahasan: Suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1 tidak memiliki akar (pembuat nol) bila
D > 0b2 – 4ac > 0
a b>
14
... (1)2
sedangkan a, b dipilih dari selang [0, 4] atau 0 ≤ a ≤ 4 dan 0 ≤ b ≤ 4karena a, b ∈ R, perlu kita gambar grafiknya
n(A)
b
a = 14
b2
n(S) = 1 × 1 = 1
a
1
14
n(A) adalah sekumpulan (b, a) sehingga
a b>14
... (1)2
n A
n A
( )
( )
( )
( )
=13
114
+34
1
=1
12+
34
=1012
=56
makaa = =56
P An A
n S( ) ( )
( ) Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 76: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/76.jpg)
7
7. Di dalam kotak terdapat 2 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . . (sBMPtn 2012)
A. 78
B. 6
8
C. 58
D. 2
8
E. 1
8
Pembahasan:Kondisi banyak bola merah 2 kali lebih banyak bola putih adalah A = (2P, 4M, 1B) → n(A) = 1
sedangkan n(S) = C78 =
8!1!7!
= 8
P An A
n S( ) ( )
( )= =
18
Jawaban: e
8. Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah . . . . (sBMPtn 2012)A. 10B. 20C. 25D. 28E. 58 Pembahasan:
A
mobil A
B
mobil B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 77: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/77.jpg)
8
Pilihan 1: 3 orang di mobil A dan 2 orang di mobil BPilihan 2: 2 orang di mobil A dan 3 orang di mobil BBanyak kemungkinan menyusun/menempatkan penumpang adalah
C C C C35
22
25
33+ =
5!3! 2!
+5!
2! 3!= 20 cara
Jawaban: B
9. Sepuluh titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah . . . . (snMPtn 2011) A. 30B. 60C. 120D. 150E. 300
Pembahasan:
C310 =
10!3!7!
=10 9 8 7!
3 2 7!= 120 segitiga
× × ×× ×
Jawaban: C
10. Banyak siswa laki-laki 10 orang dan siswa perempuan 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 10 orang dan terdiri atas paling sedikit 2 orang perempuan dan paling banyak 4 orang perempuan adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 4.800B. 3.150C. 2.700D. 2.300E. 2.250 Pembahasan:Siswa terdiri dari 10 laki-laki dan 5 perempuan 2 perempuan10 orang C C8
1025
8 laki-laki 3 perempuan10 orang C C7
1035
7 laki-laki 4 perempuan10 orang C C6
1045
6 laki-laki
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 78: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/78.jpg)
9
maka banyak kemungkinan formasi panitia adalah
C C C C C C810
25
710
35
610
45+ + =
10!8!2!
5!2!3!
+10!7!3!
5!3!2!
+10!6
× ×!!4!
5!4!1!
= 45 10 +120 10 + 210 5 = 2.700
×
× × ×
Jawaban: C
Latihan Soal
1. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 buah bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . .
A. 1330
B. 233
C. 4
33
D. 16
55
E. 1
12
2. Diketahui segilima ABCDE, dengan A(0, 2), B(4, 0), C(2π + 1, 0), D(2π + 1, 4), dan E(0, 4). Titik
P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul adalah . . . . (snMPtn 2011)
A. 38
B. 14
C. 1
2
D. 516
E. 58
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 79: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/79.jpg)
10
3. Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 600B. 605C. 610D. 620E. 625
4. Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 6B. 12C. 18D. 24E. 48
5. Ada 5 orang, 2 di antaranya adik kakak, duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah . . . . (snMPtn 2011)
A. 1120
B.
160
C.
124
D. 1
5
E. 2
5
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 80: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/80.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 10TEOREMA SISA
A. RingkAsAn MAteRia. Suatu polinom p(x) bila dibagi (x – a) maka sisanya (S) S = p(a)b. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b) maka sisanya (S(x))
S x
x a
b ap b
x b
a bp a( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +
−−
−−
c. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) maka sisanya (S(x))
S x
x b x c
a b a cp a
x a x c
b a b cp b
x a( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )= + +
− −− −
− −− −
−(( )( )( )( ) ( )
x b
c a c bp c
−− −
d. Bila p(x) habis dibagi (x – a) p(a) = 0e. Bila (x – a) faktor dari p(x) maka p(a) = 0f. Untuk polinom derajat 3, p(x) = 0 ax3 + bx2 + cx + d = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku
1. x x xba1 2 3+ + = -
2. x x x x x xca1 2 1 3 2 3+ + =
10MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 81: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/81.jpg)
2
3. x x xda1 2 3 =× ×
g. Untuk p(x) polinom derajat 4 dan p(x) = 0 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku
1. x x x xba1 2 3 4+ + + = -
2. x x x x x x x x x x x xca1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4+ + + + + =
3. x x x x x x x x x x x x
da1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4+ + + = -
4. x x x x
ea1 2 3 4 =× × ×
h. Mencari akar polinom derajat tiga atau lebih bisa menggunakan skema Horner
Contoh Soal
1. Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (soal sBMPtn tahun 2013 kode 130)A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2 Pembahasan:f(x) habis dibagi (x – 1)f(1) = 0x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) ... (1)substitusi x = 11 + a + b – 10 + 15 – 6 = 0 a + b = 0 ... (2)turunkan pers (1)4x3 + 3ax2 + 2(b – 10)x + 15 = f’(x)(x – 1) + f(x) . 1masukkan x = 14 + 3a + 2b – 20 + 15 = 03a + 2b = 1 . . . (3)eliminasi (2) dan (3) akan didapatb = -1
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 82: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/82.jpg)
3
2. Diketahui g(x) = ax2 – bx + a – b habis dibagi x – 1. Jika f(x) adalah suku banyak yang bersisa a ketika dibagi x – 1 dan bersisa 3ax + b2 + 1 ketika dibagi g(x), maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 253)A. -1B. -2C. 1D. 2E. 3Pembahasan:• g(1) = 0 → a – b + a – b = 0 f(1) = a 2a – 2b = 0 a = b . . . (1)• f(x) : g(x) → S(x) = 3ax + b2 + 1 f(x) = g(x) . h(x) + 3ax + b2 + 1 substitusi x = 1 f(1) = g(1) . h(1) + 3a + b2 + 1 a = 0 . h(1) + 3a + b2 + 1 2a + b2 + 1 = 0 substitusi (1) 2a + a2 + 1 = 0 (a + 1)2 = 0 a = -1
Jawaban: A
3. Diketahui f(x) = x3 – (a – b)x2 – x + b + 1 habis dibagi oleh (x – 1). Jika kurva y = f(x) bersinggungan dengan garis x + y = -1 di titik (2, -3), maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 559)A. -4B. -2C. 1D. 3E. 5 Pembahasan:• f(1) = 0 1 – (a – b) – 1 + b + 1 = 0 -a + 2b = -1 . . . (1)• f(x) bersinggungan dengan x + y = -1 f’(x) = mgs = -1 3x2 – 2(a – b)x – 1 = mgs
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 83: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/83.jpg)
4
substitusi x = 2 3(2)2 – 2(a – b)2 – 1 = -1 12 – 4a + 4b – 1 = -1 -4a + 4b = -12 a – b = 3 . . . (2) (1) dan (2) dieliminasi maka a = 5
Jawaban: e
4. Diketahui sisa pembagian f(x) = x4 – a2x3 + a2x2 – 2a – 3 oleh x + 1 adalah a dan a > 0. Titik minimum grafik f adalah . . . . (snMPtn 2011 kode 559)A. (1, -6)B. (0, -7)C. (2, -7)D. (-6, 1)E. (1, -7)Pembahasan:• f(-1) = a 1 + a2 + a2 + – 2a – 3 = a 2a2 – 3a – 2 = 0 (2a + 1)(a – 3) = 0
a = -12
atau a = 2
• ambil a = 2 (a > 0) f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 – 7 f ’(x) = 4x3 – 12x2 + 8x f “(x) = 12x2 – 24x + 8• syarat maksimum, minimum f ‘(x) = 0 4x3 – 12x2 + 8x = 0 4x(x2 – 3x + 2) = 0 4x(x – 2)(x – 1) = 0 f ‘(0) = -7 f “(0) = 8 > 0 (minimum) f ‘(2) = -7 f “(2) = 8 > 0 (minimum) f ‘(1) = 0 f “(1) = -4 < 0 (maksimum)
Jawaban: B dan C
5. Jika suku banyak p(x) dibagi dengan (x + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi (x – 1) memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p(x) dengan pangkat x genap adalah . . . . (soal siMAk Ui tahun 2013 kode 131)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 84: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/84.jpg)
5
A. 0B. 3C. 6D. 10E. 20 Pembahasan:p(-1) = 13p(1) = 7bilap(x) = an xn + an-1 xn
-1 + an-2 xn-2 + . . . + a0
bila n ganjil maka
p(-1) = -an + an-1 – an-2 + . . . + a0
p(1) = an + an-1 + an-2 + . . . + a0 +13 + 7 = 2[an-1 + an-3 + . . . + a0]10 = an-1 + an-3 + . . . + a0
Jawaban: D
6. Diketahui suku banyak f(x) bersisa -2 bila dibagi x + 1, bersisa 3 bila dibagi x – 2. Suku banyak g(x) bersisa 3 bila dibagi x + 1 dan sisa 2 bila dibagi x – 2. Jika h(x) = f(x) . g(x), maka sisa h(x) dibagi x2 – x – 2 adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 659/578/559)A. 3x – 2B. 4x – 2C. 3x + 2D. 4x + 2E. 5x – 2 Pembahasan:• f(-1) = -2 f(2) = 3• g(-1) = 3 g(2) = 2 h(x) dibagi x2 – x – 2 memiliki sisa S(x) = ax + b, maka h(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b f(x) . g(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b x = -1 → f(-1) . g(-1) = -a + b = -6 x = 2 → f(2) . g(2) = 2a + b = 6 – -3a = -12 a = 4 → b = -2 sehingga S(x) = 4x – 2
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 85: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/85.jpg)
6
7. Diketahui f(x) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x3 sama dengan 1, yang habis dibagi (x – 3)(x + 1). Jika f(4) = 30, maka f(2) = . . . . (soal UM UgM tahun 2006 kode 372)A. -8B. -7C. -12D. 0E. 7Pembahasan:misal• f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + p) x = 4 f(4) = 5(4 + p) = 30 p = 2• f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 2) f(2) = (-1)(3)(4) f(2) = -12
Jawaban: C
8. Diketahui p(x) = ax5 + bx – 1, dengan a dan b konstan. Jika p(x) dibagi dengan (x – 2.006) bersisa 3, maka bila p(x) dibagi dengan (x + 2.006) akan bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 420)A. -1B. -2C. -3D. -4E. -5Pembahasan:• p(2.006) = 3 a(2.006)5 + b(2.006) – 1 = 3 a(2.006)5 + b(2.006) = 4• p(-2.006) = a(-2.006)5 + b(-2.006) – 1 = -a(2006)5 – 2.006b – 1 = -(a(2006)5 + b(2.006)) – 1 = -4 – 1 = -5
Jawaban: e
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 86: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/86.jpg)
7
9. Diketahui h(x) = x2 + 3x – 4 merupakan salah satu faktor dari g(x) = x4 + 2x3 – ax2 – 14x + b. Jika g(x) dibagi dengan x + 1 akan bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 121)A. 0B. 3C. 9D. 12E. 24Pembahasan:g(x) : x2 + 3x – 4g(x) : (x + 4)(x – 1)g(1) = 0g(-1) = y1 + 2 – a – 14 + b = 01 – 2 – a + 14 + b = y – 4 – 28 = -ymaka y = 24
Jawaban: e
10. Diketahui p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b dengan q(x) suatu suku banyak. Jika p(x) dibagi dengan (x + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan (x – 1) bersisa 20, maka jika p(x) dibagi dengan (x – 2) bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 320)A. -10B. 0C. 5D. 15E. 25 Pembahasan:p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b• -(-1) = 10 -a + b = 10 . . . (1)• p(1) = 20 a + b = 20 . . . (2)eliminasi (1) dan (2) didapata = 5 b = 15maka p(x)) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) + 5x + 15sisa pembagian p(x) oleh x – 2 adalahp(2) = 5(2) + 15p(2) = 25
Jawaban: e
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 87: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/87.jpg)
8
Latihan Soal
1. Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (soal sBMPtn tahun 2013 kode 130)A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2
2. Salah satu akar persamaan x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain
persamaan tersebut adalah . . . . (soal sPMB tahun 2005 kode 480)A. 6B. 5C. 4D. 3E. 2
3. Diketahui f(x) = x3 – 5 x + 20, g(x) = 2x3 + 5x2 + 11, dan h(x) = x + 3. Jika a dan b merupakan
masing-masing sisa hasil pembagian f(x) dan g(x) oleh h(x), maka a + b = . . . . (soal sPMB tahun 2005 kode 280)A. -20B. 10C. 34D. 118E. 142
4. Jika salah satu akar suku banyak f(x) = 0 adalah a, maka salah satu akar (x2 + 3x + 6) f(x + 2)
= 0 adalah . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 521)A. a + 2B. a + 3C. a – 3D. 2aE. a – 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 88: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/88.jpg)
9
5. Diketahui suku banyak g(x) = ax2 – bx – (a + b) habis dibagi x – 4 dan salah satu akar persamaan suku banyak f(x) = 0 adalah 4. Jika f(x) dibagi g(x) sisanya ax + b – 2, maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011)
A. 67
B. 5
7 C. 4
7 D. 2
7 E.
17
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 89: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/89.jpg)
1
MATEMATIKA
11
Set 11TRIGONOMETRI SEGITIGA
A. RINGKASAN MATERIa. Untuk segitiga siku-siku ABC A
B C
bc
a
sin cos
cos sec
tan cot
Ccb
ec Cbc
Cab
Cba
Cca
an Cac
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
b. tansincos
xxx
=
c. sin2 x + cos2 x = 1 tan2 x + 1 = sec2 x cotan2 x + 1 = cosec2 xd. sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y
MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 90: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/90.jpg)
2
e. C
A c B
b a
Aturan Sinus
aA
bB
cCsin
=sin
=sin
Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 – bc cos A b2 = a2 + c2 – ac cos B c2 = a2 + b2 – ab cos Cf. Sifat sudut pada kuadran Kuadran I sin α = cos (90 – α) cos α = sin (90 – α) tan α = cot an (90 – α) Kuadran II sin (180 – α) = -sin α sin (90 + α) = cos α cos (180 – α) = -cos α cos (90 + α) = -sin α tan (180 – α) = -tan α tan (90 + α) = -cot tanα Kuadran III sin (180 + α) = -sin α sin (270 – α) = -cos α cos (180 + α) = -cos α cos (270 – α) = -sin α tan (180 + α) = tan α tan (270 – α) = cot tanα Kuadran IV sin (360 – α) = -sin α sin (270 + α) = -cos α cos (360 – α) = cos α cos (270 + α) = sin α tan (360 – α) = -tan α tan (270 + α) = -cot tanαg. Jumlah sin dan cos
sin sin sin cos
sin - sin cos sin
cos cos
A BA B A B
A BA B A B
A
+ =+ −
=+ −
+
22 2
22 2
BBA B A B
A BA B A B
=+ −
− =+ −
22 2
22 2
cos cos
cos cos - sin sin
h. Sudut ganda 1. sin 2x = 2 sin x cos x 2. cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x
3. tantantan
22
1 2xx
x=
−
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 91: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/91.jpg)
3
Contoh Soal
1. Jika dalam segitiga ABC diketahui 5 sin A + 12 cos B = 13 dan 5 cos A + 12 sin B = 6 2 , maka sin C = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)A. 1
2
B. 12
2
C. 12
3
D. 3 E. 3
5
Pembahasan:
C
A B
5 sin A + 12 cos B = 13 5 cos A + 12 sin B = 6 2 masing-masing persamaan dipangkat-duakan
25 sin2 A + 144 cos2 B + 120 sin A cos B = 169 25 cos2 A + 144 sin2 B + 120 cos A sin B = 72 +25 + 144 + 120 (sin A cos B + cos A sin B) = 241 169 + 120 sin (A + B) = 241 120 sin (A + B) = 72
sin (A + B) = 72
120
sin (A + B) = 35
Karena sifat sudut segitigaA + B + C = 180→ C = 180 – (A + B)→ sin C = sin 180 – (A + B)→ sin C = sin (A + B)→ sin C =
Jawaban: E
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 92: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/92.jpg)
4
2. Diberikan koordinat titik O(0, 0), B -3, 7( ) , dan A(a, 0), dengan a > 0. Jika pada segitiga
AOB, ∠OAB = α dan ∠OBA = β, maka cos12
+α β( ) = .... (Soal UM UGM Tahun 2013
Kode 261)
A. 14
B. 14 2
C. 14 6
D. 7
E. 14 14
Pembahasan:Ilustrasi
7
y
oOB = 3 + 72 2
⇒ OB = 4
xAP
B
θ
β
α
aO-3
misal ∠AOB = θ, berlaku
θ α β
α β θα β θ
α βθ
+ + =
+ = −+
= −
+( ) =
180
180
290
212 2
o
o
o
cos sin
Perhatikan ∆POB!
∠ = −∠ =
=
⇒ − =
⇒ =
POBPOB
o180
34
1 212
34
12
78
2
2
θθ
θ
θ
θ
cos -cos
cos -
sin -
sin
⇒⇒ = =sin12
7
8
14
14θ
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 93: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/93.jpg)
5
∠ = −∠ =
=
⇒ − =
⇒ =
POBPOB
o180
34
1 212
34
12
78
2
2
θθ
θ
θ
θ
cos -cos
cos -
sin -
sin
⇒⇒ = =sin12
7
8
14
14θ⇒ = =sin
12
7
8
14
14θ
Jawaban: E
3.
A B 50
D
40o 20o
C
Pada gambar, jika ∠CAD = 40o, ∠ACD = 20o, dan BC = 50, maka panjang ruas garis AD adalah .... (Soal UMB Tahun 2013 Kode 183) A. 25(sin 20°)2
B. 25(cos 20°)2
C. 25(tan 20°)2
D. 25(cot 20°)2
E. 25(sec 20°)2
Pembahasan:
A B 50
D
40o 20o
C
Perhatikan
tan
tan
20
50 20
o
o
BDBC
BD
=
⇒ =
Perhatikan
sin
sin
tansin
sincos
40
40
50 2040
50 2020 2
o
o
o
o
o
o
BDAD
ADBD
AD
AD
=
⇒ =
=
=ssin cos
sec
20 20
25 202
o o
oAD
( )=
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 94: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/94.jpg)
6
4. Jika sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x, dengan π
≤ π2
< t , maka nilai dari cos t adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521)
A. 1 1 2− −( )x B. - 1 1 2− −( )x C. - 1 1 2+ −( )x D. -
1
1 1 2− −( )x
E.
1
1 1 2+ −( )x
Pembahasan:
sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x
⇒ −
−
sin
sin sin2
2
11
11
tt t
11
2−−
=sinsin
tt
x
maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1Karena t kuadran II makasin t = x – 1 > 0
sin t = x −1
1
x – 1 I
t
1 1 2− −( )x
maka cos t = - 1 1 2− −( )x
dengan cos t < 0
Jawaban: B
5. Diketahui segitiga dengan titik sudut (-3, 0), (3, 0), dan (3 cos θ, 3 sin θ) untuk 0 ≤ θ ≤ 2π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 8 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 Kode 334)A. 4B. 3C. 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 95: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/95.jpg)
7
D. 1E. 0Pembahasan:
C
At
3
θB
3x
-3
Luas ∆ = ( )( )12
alas tinggi
Luas ∆ = × × =12
6 3 8sinθ
sin =
89
θ
sin =89
θ atau sin = -89
θ
maka θ yang memenuhi ada 4, karena θ mencakup semua kuadranJawaban: A
6. Dalam segitiga ABC, jika sudut α berhadapan dengan sisi a dan sudut β berhadapan dengan sisi b, maka
tan
tan
1212
α β
α β
+( )
−( ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. a ba b
−+
B. a ba b
+−
C. a ba b−+
2
D. a ba b++
2 E. a b
a b+−
2 Pembahasan:
A B
C
a
α
b
β
misal ∠C = θ α + β + θ = 180o
a b
a bba
sin sin
sin sin sin sin
α β
β α β α
=
= → =
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 96: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/96.jpg)
8
tan
tan
sin cos
sin cos
1212
12
12
12
12
α β
α β
α β α β
α β α
+( )
−( )=
+( ) −( )
−( ) + ββ( )
=+[ ]
−[ ]
=+
=+−
1212
sin sin
sin sin
sin sin
sin - sin
α β
α β
α α
α α
ba
ba
a ba b
Jawaban: B
7. Pada segitiga ABC diketahui sudut α, β, dan γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika a2(a + cos α) = 2 bc sin2 α, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. α = βB. α = γC. β = γD. α = β = γE. salah satu sudut adalah siku-siku Pembahasan:a2(a + cos α) = 2 bc sin2 αa2(a + cos α) = 2 bc (1 – cos2 α)a2(a + cos α) = 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α)a2(a + cos α) – 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α) = 0(1 + cos α) (a2 – 2 bc (1 – cos α)) = 0(1 + cos α) (a2 – 2 bc + 2 bc cos α) = 0• 1 + cos α = 0 cos α = -1 α = 180° (tidak mungkin)• a2 – 2 bc + 2 bc cos α = 0 a2 = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc cos α = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc = 0 (b – c)2 = 0 b = c β = γ
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 97: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/97.jpg)
9
8. Diketahui bahwa a dan b adalah besar dua suku pada sebuah segitiga. Jika sin sina b+ =12
2
dan cos cosa b+ =12
6, maka cos (a – b) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)
A. -1
B. -12
C. 0
D. 12
E. 1Pembahasan:
sin sina b+ =12
2
cos cosa b+ =12
6
pangkat dua
sin sin sin sin2 2 2
12
a b a b+ + =
cos cos cos cos2 2 232
a b a b+ + =
1 + 1 + 2 cos (a – b) = 2 cos (a – b) = 0
Jawaban: C
9. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 1 cm, BC = 2 cm, dan AC = k cm. Jika α adalah sudut
ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cosα <78
adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2008) A. 3
22< <k
B. 32
2 0< < <k atau k
C. 12
1< <k
D. 12
1 0< < <k atau k
E. 032
< <k
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 98: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/98.jpg)
10
Pembahasan:
A B
C
a = 2 cmb = k cm
c = 1 cm
α
cosα =+ −
<a b c
ab
2 2 2
278
=+ −× ×
− <
=+
− <
+ −<
− +<
−(
4 12 2
78
0
34
78
0
2 6 78
0
2 7 68
0
2 3
2
2
2
2
kk
kk
k kk
k kk
k )) −( )<
k
k
2
80
k k k= = ≠32
2 0, ,
garis bilangan
k20
++ ––
k atau k< < <032
2
k atau k< < <032
2
Jawaban: B
10. Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui tan α = -4 dan cos 2 β = -119169
, dimana 45o < β < 90o, maka nilai dari tan γ adalah ....
A. 553
B. 6
53 C. 7
53 D. 8
53 E. 9
53
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 99: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/99.jpg)
11
Pembahasan:• cos 2 β = -
119169
⇒ − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
2 1119169
250
16925
1695
13
2
2
2
cos -
cos
cos
cos
β
β
β
β
B
β
5
12 ⇒ βtan =
125
• α + β + γ = 180o
γ α β
γ α β
= − +( )= +( )
180o
tan -tan
=+
=+
−
-tan tan- tan tan
--
-
α βα β1
4125
1 4125
=
=- -8
538
53
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 100: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/100.jpg)
12
Soal Latihan
1. Misalkan sudut pada segitiga ABC adalah A, B, C. Jika sin B + sin C = 2 sin A, maka nilai dari
tan tanB C2 2
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 504)
A. 13
B. 43
C.
12 6
D. 1
6 3
E. 2122
2. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 2, AB = 3, dan BC = 7 . Jika α menyatakan sudut BAC,
β menyatakan sudut ABC, p = cos 2α dan q = cos 2β, maka 8p2 + 7q sama dengan .... (Soal UMB Tahun 2008 Kode 380)A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7
3. Dalam segitiga ABC, diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c, maka
b cb c
−+
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A.
sin
cos
12
12
β γ
α
−( )
( )
B. cos
sin
12
12
β γ
α
−( )
( )
C. tan
sin
12
12
β γ
α
−( )
( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 101: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/101.jpg)
13
D.
tan
tan
12
12
β γ
α
−( )
( )
E.
tan
cot
12
12
β γ
α
−( )
( )
4. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui sudutb α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c,
maka a cos12
β γ−( ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)
A. b c+( ) sin12
α B. b c+( )cos
12
α C. b c+( )tan
12
α D. b c+( )cot
12
α E. b c+( )csc
12
α
5. Perhatikan gambar berikut.
b a
α β
γ
Bila tan tan tan tan
12
12
12
12
23
α β β γ× + × = , maka ....
A. a + c = bB. a + c = 2bC. a – c = bD. a – c = 2bE. a + b = 2c
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 102: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/102.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 12TRIGONOMETRI 2
A. RINGKASAN MATERIa. sin x = sin α ⇒ x = α + k . 30o k = 0, 1, 2, ... ⇒x = 180o – α + k . 360o, k = 0, 1, 2, ... b. cos x = cos α ⇒x = + α + k . 360o, k = 0, 1, 2, ... c. tan x = tan α ⇒x = α + k . 180o, k = 0, 1, 2, ... d. A cos x + B sin x = k cos(x – α)
dengan k A B= +2 2
tanα =
BA
Penentuan kuadran α A > 0, B > 0 α kuadran I A < 0, B > 0 α kuadran II A < 0, B < 0 α kuadran III A > 0, B < 0 α kuadran IV
12MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 103: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/103.jpg)
2
e. Jumlah sin dan cos sin sin sin cos
sin sin cos sin
cos cos
A BA B A B
A BA B A B
A
+ =+ −
− =+ −
+
22 2
22 2
BBA B A B
=+ −
22 2
cos cos
cos cos - sin sinA B
A B A B− =
+ −2
2 2
f. sin cos sin sinA B A B A B= +( ) + −( ) 12
cos sin sin sin
cos sin cos cos
A B A B A B
A B A B A B
= +( ) − −( )
= +( ) + −
1212
(( )
sin sin - cos cosA B A B A B= +( ) − −( ) 12
g. sin sin cos cos sinx y x y x y±( ) = ±
cos cos cos sin sin
tantan tan
tan tan
x y x y x y
x yx y
m x y
±( ) = ±
±( ) = ±1
Contoh Soal
1. Banyaknya solusi dari persamaan sin cosx x+ =2 04 untuk -2π < x < 2π adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 Kode 236)A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4
Pembahasan:
sin cosx x+ =2 04
dipenuhi bila sin cosx dan x= =0 2 04
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 104: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/104.jpg)
3
• sinx = 0
sin
sin sin
x
x
x k
x k
k x x
k
o
o o
o o
o o
=
=
= + ×
= + ×
= = =
0
0
0 360
180 360
0 360 1801 2
== = = →{ }- - - - ,1 360 180 180 1803 4x xo o o o
• 2 04 cosx =
2 00
90
90 360
0 90 90
11 2
3
coscos
cos cos
-
xx
x
x k
k x x
k x
o
o o
o o
==
=
= ± + ×
= = =
= == = →{ }450 270 90 90 2704o o o o ox - , ,
Karena tidak ada irisan maka solsinya tidak adaJawaban: A
2. Jika sin2 t(csc2 t – )(1 – sin t – sin2 t – sin3 t + ...) = x , dengan π
π2< ≤t , maka nilai dari cos t
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521)
A. 1 1 2− −( )x B. - 1 1 2− −( )x C. - 1 1 2+ −( )x D. -
1
1 1 2− −( )x
E.
1
1 1 2+ −( )x
Pembahasan:sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x
⇒ −
−
sin
sin sin2
2
11
11
tt t
11
2−−
=sinsin
tt
x
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 105: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/105.jpg)
4
maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1Karena t kuadran II makasin t = x – 1 > 0
sin t = x −1
1
x – 1 I
t
1 1 2− −( )x
maka cos t = - 1 1 2− −( )x
dengan cos t < 0
Jawaban: B
3. Untuk -32
2π
π< <x , banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan
sin cos cos2 3 2 56
22
x x x+( ) − = −
πadalah ....
A. 4B. 3C. 2D. 1E. 0Pembahasan:
Bentuk 3 2 2 2cos sin cosx x A x+ = −( )θ
• A = ( ) +3 12
2
A = 2
• tanθ = =1
3
13
3 θ
π=
6
Bentuk sin cos cos2 3 2 56
22
x x x+( ) − = −
π
Persamaan pada soal bisa dinyatakan 2 2
65
62
26
5
cos cos
cos
x x
x
−
− = −
−
=
π π
π
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 106: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/106.jpg)
5
Nilai - cos1 26
1≤ −
≤x
π maka untuk cos 2
65x −
=
π tidak ada nilai x memenuhi
Jawaban: E
4. cot 105o . tan 15o .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)A. -7 4 3+
B. 7 4 3+
C. 7 4 3−
D. -7 4 3−
E. -7 2 3+
Pembahasan:cot 105o . tan 15o = -tan2 15o
= −( )( )=
−+ ×
=
- tan
-tan tan
tan tan
--
45 30
45 301 45 30
1
2
2
o o
o o
o o
113
3
113
3
3 3
3 3
3 3
3 3
12 6 36
2
2
2
+
=−+
×−−
=−
-
-
= −
= +
-
-
2 3
7 4 3
2
Jawaban: A
5. Nilai dari - sin sinsec cos
sin2 2 10 2 35
52
405
o oo o
o− −
adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun
2013)A. -4B. -2C. 0D. 2E. 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 107: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/107.jpg)
6
Pembahasan: 2 2 2 35 10
2 105
2 2 10 405
2 2 4
- sin sinsin
cossin cos
sin
cos
o oo
o
o o
o( ) + + =
55 252 2 5 5
52 2 5 5 40
5
2
o oo o
o
o o o
o− + + =cossin cos
cossin cos cos
sin
2212
2 2 2 25 2 2 5 2 2 45 35
2 2 2 2 35
× + + + =
+ +
- cos sin cos cos
cos - c
o o o o
o oos sin
- sin sin sin
sin
25 2 2 5
4 2 2 2 30 5 2 2 5
4 2 2 5
o o
o o o
o
+ =
+ + =
− ++ =2 2 5 4sin o
Jawaban: E
6. Nilai sec 40° + sec 80° + sec 160° = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10Pembahasan: 1
40180
1160
160 80 160 40 8
cos cos cos
cos cos cos cos
o o o
o o o ocos
+ + =
+ + 00 4040 80 160
40 2 160 80 2 160
o o
o o o
o o o o
coscos cos cos
sin cos cos cos
=
+ ccos cos cos
sin cos cos cos
40 2 80 40
2 40 40 80 1
o o o
o o o
+( )
660o =
12
40240 80 200 120 120
sincos cos cos cos cos coso
o o o o o+ + + + + 44018
320
o
osin
=
- - cos cos cos
- - cos co
412
80 2012
12
40
432
80
+ − − − +
=
+ +
o o o
o ss cos
- - cos cos cos
40 20
432
2 60 20 20
o o
o o o
−
=
+ −
= -- - cos cos4
32
20 20 6+ −
= o o
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 108: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/108.jpg)
7
7. Jika sin x + cos x = -15
dan 34π ≤ x < π, maka nilai sin 2x adalah .... (Soal SNMPTN Tahun
2011 Kode 591)
A. -2425
B. -
725
C. 725
D. 8
25 E. 24
25
Pembahasan:
sin cos -
sin cos
sin
sin -
x x
x x
x
x
+ =
+( ) =
+ =
=
15
125
1 21
25
22425
2
Jawaban: A
8. Jika sudut lancip ϕdan θ memenuhi persamaan (cos ϕ + cos θ)2 + (sin ϕ – sin θ)2 = 1 , maka tan (ϕ+ θ)= .... (Soal UMB Tahun 2011)A. - 3
B. -13 3
C. -1
D. 13 3
E. 3 Pembahasan:
cos cos sin sin
cos cos sin sin
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ
+( ) + −( ) =
+ + +
2 2
2 2 2 2
1
++ − =
+ + +( ) =
+( ) =
2 2 1
1 1 2 1
12
cos cos sin sin
cos
cos -
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ
ϕ θ
ϕϕ θ+ =120o
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 109: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/109.jpg)
8
cos cos sin sin
cos cos sin sin
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ
+( ) + −( ) =
+ + +
2 2
2 2 2 2
1
++ − =
+ + +( ) =
+( ) =
2 2 1
1 1 2 1
12
cos cos sin sin
cos
cos -
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ
ϕ θ
ϕϕ θ+ =120o
maka tan (ϕ+ θ)= tan 120o = -tan 60o = - 3 Jawaban: A
9. Jumlah dari semua nilai sin x dimana 0° < x < 180° yang memenuhi cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)
A. 2
10
B. 12
+2
10
C. 3
2 D. 1
1
10−
E. 1+
1
10
Pembahasan:cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2cos2 x + sin2 x – 3 sin x cos x + sin2 x = 21 – 3 sin x cos x + 1 – cos 2x = 2-3 sin x cos x – cos2 x = 0-cos x (3 sin x + cos x) = 0maka cos x = 0 atau 3 sin x + cos x = 0 3tan x + 1 = 0 x =
π2
sin x = 1 tan x = -13
3
-110
sinx =
1
10
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 110: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/110.jpg)
9
10. Selesaikan persamaan tan 2x + 2sin x = 0, untuk 0 < x ≤π adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659)A. 2π
B. 53π
C. 32π
D. 43π
E. 34π
Pembahasan:tan 2x + 2sin x = 0, 0 < x ≤π sincos
sin
sin coscos
sin
sincos
22
2 0
22
2 0
2
xx
x
x xx
x
xx
+ =
+ =
+
ccoscos
sin cos cos
cossin
22
0
2 2 1
20
2
2
xx
x x x
xx
=
+ −( )=
22 1 1
20
cos cos
cos
x x
x
−( ) +( )=
sin x = 0 cos x = -1x = 0o (salah) x = 180o
x = 180o (benar)
cos x = 12
x = 60o (benar)nilai x1, x2 yang memenuhi x1 = 60° dan x2 = 180°
maka x1 = x2 = 240o = 43π
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 111: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/111.jpg)
10
Latihan Soal
1. Diketahui sin A + sin B = 1 dan cos a + cos B = 53
. Nilai cos (A– B) = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)
A. 1
B. 12 3
C. 1
2 2 D. 1
2 E.
13
2. Nilai dari cos a . cos 2a . cos 3a ... cos 2015a dimana a =
22015π
adalah ....
A. 12
B. 12015
C. 1
20152
D. 122015
E.
120152015
3. Diberikan persamaan (1 + tan 1o)(1 + tan 2o) ... (1 tan 45o) = 2n maka nilai n adalah ....
A. 20B. 22C. 23D. 45E. 90
4. Nilai dari (1 – cot 22°)(1 – cot 23°) adalah ....A. 1B. 2C. 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 112: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/112.jpg)
11
D. 4E. 5
5. Nilai dari sin10o . sin 50o . sin 70o adalah ....
A. 12
B.
14
C. 1
8
D. 1
6 E. 1
32
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 113: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/113.jpg)
1
Set 13PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. RINGKASAN MATERILangkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan:
1. Buat pertidaksamaan dalam bentuk tunggal • sinf(x)<c • cosf(x)<c • tanf(x)<c carinilaixyangmemenuhipersamaannya laludibuatkandiagramtanda,dengan
memperhatikandomain.
2. Buatpertidaksamaandalambentukfaktor,denganruaskanannol,[sinf(x)][cosg(x)]<0
carinilaixyangmemenuhi sinf(x)=0dancosg(x)=0 khususuntuktanf(x),makaf(x)≠180n–90,dengannilainbilanganbulat,nilaix
dimasukkankedalamdiagramtanda,dengantetapmemperhatikandomain.
3. Buatpertidaksamaandalambentukpecahantunggaldenganruaskanannol
misal sin
cos
f x
g x( )( )
< 0
dengansyaratcosg(x)≠0
MATEMATIKA
13MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 114: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/114.jpg)
2
cari pembuatnol dari sin f(x) dan cosg(x) kemudianditempatkanpadadiagramtanda.
Contoh Soal
1. Nilai 3 sinx–cosx<0,jika....(Soal SNMPTN Tahun 2012) A. 7
611
7π π< <x
B. 56
76
π π< <x
C. 57
107
π π< <x
D. π π6
96
< <x
E. π π
1254
< <x
Pembahasan:• 3 sinx–cosx<0 2cos(x–120o)<0 cos(x–120o)<0
• caripembuatnol cos(x–120o)=0 cos(x–120o)=cos90o
x–120o=+90o+k.260o
untukk=0 x1=210° x2=30° k=1 x3=570° x4=390°
• membuat diagram tanda
30o
– – –+ +
210o 390o 570o
diantara pilihan yang memenuhi hanya 5
676
π π< <x
Jawaban: B
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 115: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/115.jpg)
3
2. Semuanilaix∈[0,2π]yangmemenuhipertidaksamaansinx+tan2x<0adalah....(Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 523)
A. π π2
32
< <x
B. ππ
ππ
232
2< < < <x atau x C. 0<x<π
D. π π ππ
3 232
2< < < <x atau x E. π π
332
< <x Pembahasan:
sin tan
sinsincos
cos sin sincos
sin cos
x x
xxx
x x xx
x x
+ <
+ <
+<
+
2 0
2 0
20
2(( )<
cosx0
mencaripembuatnol:i. sinx =0 x =0°+k.360° x =180°+k.360° untukk=0 x1=0° x2=180°k=1 x3=360°ii. cosx=0 cosx=cos90° x =±90°+k.360° untukk=0 x3=90° k=1 x4=270° membuat diagram tanda pada garis bilangan
360o
x270o
ujidenganx=60o
180o90o0
makadiagramtandamenjadi
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 116: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/116.jpg)
4
360o
x270o180o90o0
+ +– –
maka himpunan penyelesaiannya
ππ
ππ
232
2< < < <x atau x Jawaban: B
3. Solusidaripertidaksamaanberikut.sinx>0,5tanx>1,0≤x≤2πadalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 508) A. x x x x
π π π π6 4 2
56
< <
∪ < <
B. x x
π π6
56
< <
C. x x
π π4 2< <
D. x x
π π6 2< <
E. x x
π π4
56
< <
Pembahasan:Pertidaksamaan 1sinx>0,5• carisolusisinx=0,5 sinx =sin30° x =30°+k.360° x =150°+k.360° untukk=0 x1=30° x2=150° k=1 tidakadayangmemenuhi• diagram tanda
ujidenganx=90o
0 2ππ6
56π
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 117: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/117.jpg)
5
didapatsin90°=1>0,5,makadiagramtandanyamenjadi
0
– + –
2ππ6
56π
Hp1= x x
π π6
56
< <
Pertidaksamaan 2tanx>1mencarisolusitanx =1, x≠ tanx =tan45°x =45°+k.180°untukk=0 x3=45°=k=1 x4=225°=membuat diagram tanda
2π34π5
4ππ
4π2
0
ujix=60o
tan60o= 3 >1 diagramtandamenjadi
2π34π5
4ππ
6π2
0
– –+ +
Hp2=π π π π4 2
54
32
< < < <
x atau x
Solusisistemnya
0 π6
π4
π2
56π 5
4π 3
3π 5π
Hp= x xπ π4 2< <
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 118: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/118.jpg)
6
4. Himpunan penyelesaian dari sin sinx x−
− +
+ ≥
π π6
56
2 0 untuk0≤x≤2π adalah ....
(Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 605) A. x x
53
2π
π≤ ≤
B. x x0
3≤ ≤
π
C. x x0
23
≤ ≤
π
D. x x0
53
≤ ≤
π
E. x x
-π π3
53
≤ ≤
Pembahasan:
sin sin
cos
x x
x x
−
− +
+ ≥
− + +
π π
π π
656
2 0
2 656
2
− − +
+ ≥
+
sin
cos sin -
x x
x
π π
ππ
656
22 0
213 22
2 0
213
2 0
13
1
+ ≥
+
+ ≥
+
≤
- cos
cos
x
x
π
π
cos cos( )x
x
x
Tidak memenuhi
+
≤
+ ≤
≤ −
13
0
13
0
13
π
π
π
cos cos ( )
x
, |
x
x
Jadi x x
+
≤
+ ≤
≤
≤ ≤
13
2
13
2
53
053
π π
π π
π
π
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 119: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/119.jpg)
7
5. Untuk0≤x≤π,makahimpunanpenyelesaiandari tanxsinx1
2cosxadalah .... (Soal
SIMAK UI Tahun 2009 Kode 965) A. x x x x
π π ππ
4 3 2≤ ≤
∪ ≤ ≤
B. x x x x
π π ππ
4 234
< <
∪ < ≤
C. x x x x
π π ππ
4 234
< ≤
∪ ≤ <
D. x x x x
π π ππ
4 3 2≤ <
∪ < <
E. x x x x
π π ππ
4 2 2≤ <
∪ < <
Pembahasan:
tan sincos
sincos cos
sincos
-coscos
x xx
xx x
xxxx
>
− >
−>
12
12
0
2 12
0
2
2
2
>>
<
0
20
coscos
xx
tan sincos
sincos cos
sincos
-coscos
x xx
xx x
xxxx
>
− >
−>
12
12
0
2 12
0
2
2
2
>>
<
0
20
coscos
xx
caripembuatnolpembilangdanpenyebut:1) cos2x=0
cos = cos2
xπ
22
2
4
x k
x k
= ± + ×
= ± + ×
ππ
ππ
untukk=0 x1=
22
2
4
x k
x k
= ± + ×
= ± + ×
ππ
ππ
k=1 x2=
34π
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 120: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/120.jpg)
8
2) cosx=0
cos = cos
2x
π
x k= ± + ×
ππ
4
untukk=0 x3=π
2
membuat garis bilangan
34π ππ
4π2
0
ujix=60o
cos120cos 60
<0o
o(negatif )
maka diagram tandanya
++ ––
34π ππ
4π2
0
solusi:
Hp= x x x xπ π π
π4 2
34
< ≤
∪ ≤ <
Jawaban: C
6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 sincos
cossin
− θθ
≤θθ untuk 0<
2θ ≤
π adalah ....
(Soal SNMPTN Tahun 2010 Kode 528)
A. 0<6
θ ≤π
B. 0
6≤ θ ≤
π
C. 0
3< θ <
π
D.
π< θ ≤
π6 3
E. π
< θ ≤π
6 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 121: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/121.jpg)
9
Pembahasan: 2 sincos
cos sin
2sin sin cos sin , cos >0
2si
2 2
− θθ
≤θθ
θ− θ ≤ θ θ θ{ }nn sin cos 0
2sin 1 0
sin 12
2 2θ− θ− θ ≤θ− ≤
θ ≤
dipenuhi
06
≤ θ ≤π
Jawaban: B
7. Nilai-nilaix,untuk0<x<πyangmemenuhicos3x>sinxadalah....(Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. 08 2
34
< < < <x xπ π π,
B. 08
58
34
< < < <x xπ π π,
C. 0
4 234
< < < <x xπ π π,
D. 34π
E. π8
Pembahasan:cos3x>sinxcos3x>cos(90°–x)3x=±(90°–x)+k.360°(i) 3x=(90°–x)+k.360° 4x=90°+k.360° x=22,5°+k.120°(ii) 3x=-90°+x+k.360° 2x=-90°+k.360° x=-45°+k.180° untukk=0 x1=22,5°=
π8
x2=142,5°=
π8
x3=34π
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 122: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/122.jpg)
10
makabilakitacaridiagramtandanya
+ +– –
0 π8
58π 3
4π π
08
58
34
< < < <x xπ π π,
Jawaban: B
8. Nilai-nilaix,untuk0°≤x≤360°yangmemenuhisinx+sin2x>sin3xadalah....(Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. 0°<x<120°,180°<x<240°B. 0°<x<150°,180°<x<270°C. 120°<x<180°,240°<x<360°D. 150°<x<180°,270°<x<360°E. 0°<x<135°,180°<x<270°Pembahasan:sinx+sin2x>sin3xsin3x–sinx–sin2x<02cos2xsinx–2cosxsinx<02sinx(cos2x–cosx)<02sinx(2cos2x–cosx–1)<02sinx(2cosx+1)(cosx–1)<0
sinx=0ataucosx=12ataucosx=1
dengan menyelesaikan 3 persamaan di atas didapatx=0°,x=120°,x=180°,x=240°,x=360°membuat diagram tanda + ++ +
0 120o 180o 240o 360o
Himpunan penyelesaian{x|0°<x<120°,180°<x<240°}
Jawaban: A
9. Solusidaripertidaksamaan5+2cosx≤3|2sinx–1|untuk0≤x≤2π adalah .... A. 90°≤x≤270°B. 90°≤x≤210°atau330°≤x≤360°C. x=90°atau210°≤x≤330°
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 123: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/123.jpg)
11
D. x<90°atau210°≤x≤270°E. 210°≤x≤330°Pembahasan:5+2cosx≤3|2sinx–1|5+2(1–2sin2x)≤3|2sinx–1|7–4sin2x≤3|2sinx–1|
misaly=sinx7–4y2≤3|2y–1|
• bila y ≥ 12
7–4y2≤3(2y–1) 4y2+6y–10≥0 2y2+3y–5≥0
y≥1atauy≤-52
solusidiatasdiiriskandengany≥12
didapat y ≥ 1
• bilay<12
7–4y2≤-3(2y–1) 4y2–6y–4≥0 2y2–3y–2≥0
y≤-12
atau y ≥ 2
diiriskandengany<12didapatkany≤-
12
Jadi yang memenuhi pertidaksamaan
sinx≥1dansinx≤-12
untuksinx≥1yangbisadipenuhiadalahsinx=1sehingga sinx =1 sinx =sin90° x =90°+k.360°k=0 x=90°k=1dsttidakmemenuhi
untuksinx≤-12
sinx=sin-30°x=-30°+k.360°x=210°+k.360°
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 124: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/124.jpg)
12
untukk=0 x=210°k=1 x=330°pada garis bilangan berlaku
+ – +
210o 330o
210°≤x≤330°solusinyax=90°atau210°≤x≤330°
Jawaban: C
10. Solusidaripertidaksamaan sin cos6 6 1316
x x+ > dengan -π π2 2≤ ≤x adalah ....
A. {x|-90o≤x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x≤90o} B. {x|-90o<x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x<90o}C. {x|x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪x≥75o} D. {x|-15o≤x≤-15o} E. {x|15o≤x≤75o}
Pembahasan: sin cos
sin cos sin sin cos cos
6 6
2 2 4 2 2 4
1316
1316
x x
x x x x x x
+ >
+( ) − +( ) >
11 31316
1 312
21316
3
2 2 2 2 2
2
sin cos sin cos
sin
x x x x
x
+( ) −( ) >−
>
442
316
214
12
12
414
12
414
412
2
2
sin
sin
cos
- cos
cos
x
x
x
x
x
<
<
− <
< −
>
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 125: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/125.jpg)
13
cos
cos cos
412
4 60
4 60 360
15 90
x
x
x k
x k
o
o o
o o
=
=
= ± + ×
= ± + ×
untukk=-1 x=-75° k=0 x1=15° x2=-15° k=1 x3=75°berlaku pada garis bilangan
-90o
+ – + – +
-75o -15o 15o 75o 90o
{x|-90o≤x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x≤90o} solusi
Jawaban: A
Latihan Soal
1. Himpunan penyelesaian sin tan ,2 2 02
x x x+ ≥ ≤ ≤π
adalah ....
A. 08
< ≤xπ
B. 04
< ≤xπ
C. 04
≤ ≤xπ
D. π π
4 4≤ <x
E. π π
4 2≤ ≤x
2. Himpunan penyelesaian dari 54
14
2 22 2sin sin cosx x x+ > dengan0≤x≤2π adalah ....
A. π π π π6 2
56
76
< < ∪ < <x x B. π π π
π6
72
116
2< < ∪ < <x x
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 126: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/126.jpg)
14
C. π π π π6
52
76
116
< < ∪ < <x x
D. 06
56
116
≤ < ∪ < <x xπ π π
E. π π
611
6< <x
3. Himpunanpenyelesaian|tanx|> 3 ,0°≤x≤180°adalah....
A. 60o<x<90o B. 60o<x<90o∪ 120o<x<180o C. 60o<x<90o∪ 90o<x<120o D. 60o<x<120o∪ 150o<x<180o E. 120o<x<180o
4. Himpunanpenyelesaian|sinx|+|cosx|>1,0≤x≤π adalah ....
A. 0<x<π B. 0≤x<π
C. 02
≤ ≤xπ
D. 0<x< π2
E. π3<x<
π2
5. Himpunan penyelesaian dari
sinx+cosxsinx cosx
> 3−
,0≤x≤2π adalah ....
A. 45o<x<75o ∪ 225o<x<235o B. 45o<x<75o ∪ 255o<x<255o C. 45o<x<90o ∪ 255o<x<255o D. 45o<x<135o ∪ 255o<x<315o E. 45o<x<135o
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 127: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/127.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 14LIMIT
A. RINGKASAN MATERIa. Limit aljabar bentuk
00
, diselesaikan dengan 1. Faktorisasi 2. Dalil L’Hospital
Lim
f x
g xLim
f x
g x
f a
g ax a x a→ →
( )( )
=( )( )
=( )( )
’
’
’
’
b. Limit aljabar betuk ∞∞
, gunakan pembagian pangkat tertinggi
c. Limx
xLim
xxx x→ →
= =0 0
1sin tan
d. Rumus bantu bentuk limit trigonometri
cos sin
cos cos sin
cos sin
cos sin
AxA
x
x x x
x x
x x
= −
= −
− =
= −
1 22
2
1
2
2
2 2
2 2
π
+( ) = +−
tantan tan
tan tanx y
x yx y1
14MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 128: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/128.jpg)
2
Contoh Soal
1. Limx
x xx→
−0
31 costan
.... (Soal UM UGM Tahun 2013)
A. 0
B. 12
C. 34
D. 32
E. 3 Pembahasan:
Limx
x xx→
−0
31 costan
=−( ) + +( )
=( ) × + +( )
=
→Lim
x x x
x x
x
x
x 0
2
2 2
2
1 1
12
1 1 1 1 32
cos cos cos
tan
Jawaban: D
2. Diketahui bahwa Limf x g x g x f x
f x xx→
( )× ( ) − ( ) + ( ) −( ) − −( )5
3 3
3 5terdefi nisi. Nilai dari g(5) = .... (Soal
SIMAK UI Tahun 2013) A. 3B. 2C. 1D. 0E. -1Pembahasan:
Limf x g x g x f x
f x xLim
g x f xx x→ →
( )× ( ) − ( ) + ( ) −( ) − −( )
=( ) ( )
5 5
3 3
3 5
−− + ( ) − ( ) − −( )
=( ) − × ( ) +
→
3 3
3 5
3 15
f x
f x x
Limf x g x
x
( ) − −( )f x x3 5
maka g(5) + 1 = 0 → g(5) = -1Jawaban: E
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 129: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/129.jpg)
3
3. Limx x
xx→ −0
31tan sin
cos = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)
A. 0B. 1C. 3 D. 6 E. 6
Pembahasan:
Lima bx cx
nxa b c
nx→ −=
× ×0 21
2
tan sincos
Limx x
xLim
x xxx x→ →−
=−
=× ×
=0 0
31
31
3 1 112
6tan sin
costan sin
cos
Jawaban: D
4. Limx xx xx→
− +0
2 1sin costan
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)
A. 32
B.
12
C. -
12
D. -1 E. -2
Pembahasan:
Limx xx xx→
− +0
2 1sin costan
Limx x
x xLim
x xx xx x→ →
+
=
××
+0
2 2
0
212 2sin sin
tansin sin
tan
sin112
12
112
32
x
x
x
x×
= + =
sin
tan
Jawaban: A
5. Limx
X X X→∞
+( )5 531
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. 0B. 1
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 130: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/130.jpg)
4
C. 10D. 25E. 125Pembahasan:
Lim Limx
X X Xx
X X X
→∞ →∞+( ) = +( ) 5 5 5 1 53
12
1
= × +( ) = × +
= × =
→∞ →∞Lim Limx
X Xx x
x5 1 5 5 5
15
1
5 5 125
21
22
1
2
Jawaban: E
6. Limx
x xx→∞
+
+
7
4 32 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. -∞
B. -12
C. 0
D. 12
E. ∞Pembahasan:
Limx
x xx→∞
+
+
7
4 32
misal: pxp
=→ ∞→∞
-
Limp
p p
Limp
p
p
p
→∞
→∞
+
−+
=
-
--
7
4 3
72
12
2
Jawaban: B
7. Lim
x
x xX→
−
+
0
2
2
1
4
cos
cotπ = .... (Soal SNMPTN Tahun 2012)
A. -1
B. 0C. 1
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 131: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/131.jpg)
5
D. 22
E. 3 Pembahasan:
Lim
x
x xX→
−
+
0
2
2
1
4
cos
cotπ = tan
π4
1
=
Jawaban: C
8. Lima b
ab
a bab
a b→
−
+ −
−
tan tan
tan tan1 1= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)
A. 1b
B. bC. -b
D. - 1b
E. 1Pembahasan:
Lima b
ab
a bab
a b→
−
+ −
−
tan tan
tan tan1 1= Lim
a b
a bab
a ba b→
+( ) +( )tan - tan
tan tan - tan tan1 1
Lima b
ab
a bLim
a bb a
b
a b a b→ →
−
−
+[ ]
=−( )
−( )tan tan
tan tan
tan
1 1==
−( )−( )
=→
Limb a b
a bb
a b
- tan-
Jawaban: C
9. Jika Limg x
xx→
( )=
02 , maka Lim
g x
xx→
( )− −0 1 1
= .... (Soal SNMPTN Tahun 2011)
A. -4B. -2C. 1D. 2E. 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 132: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/132.jpg)
6
Pembahasan:
Limg x
xLim
g x
xx
x
Limg x
xLim
x
x
x x
x x
→ →
→ →
( )− −
=( )
×− −
( )×
− −
0 0
0 0
1 1 1 1
1 1
== × =211
2 1
4-
-
Jawaban: A
10. Jika diketahui Limax x b
xx→
+−
=0 1
1sin
cos, maka nilai a dan b yang memenuhi adalah .... (Soal
SIMAK UI Tahun 2010)
A. a = 12
, b = 0
B. a = 1, b = 1
C. a = 12
, b = 0
D. a = 1, b = -1E. a = 1, b = 0Pembahasan:
Limax x b
x
ax x b x
ax bx
x
x
x
→
→
→
+−
=
+ ≅ − −( )
+ ≅ − +
0
0
20 2
11
1
20
sincos
sin cos
⇒⇒∴ = =a b- ,12
0
Jawaban: A
Latihan Soal
1. Limx x xx xx→
−0
2 2 23sin costan
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)
A. 2
B. 12
C. -1
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 133: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/133.jpg)
7
D. -12
E. -2
2. Limx x
xx→
+
( )0
2 2
2
32 2
sintan = .... (Soal UMB Tahun 2013)
A. 0
B. 13
C. 34
D. 32
E. 52
3. Untuk t > 0 maka Limt t
tt→
+
+ −( )
0
1 11 1 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)
A. -∞
B. -12
C. 0
D. 12
E. ∞
4. Limx x x
xx→
− × −0
2 2
4
1 cos sin cos = ....
A.
12
B. 14
C. 18
D. 116
E. 132
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 134: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/134.jpg)
8
5. Limx
x xx→ −0
3
tan sin = ....
A. 1B. 2C. 3D. 4
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 135: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/135.jpg)
1
MATEMATIKA
Set 15TURUNAN 1
A. RINGKASAN MATERI
a. y = f(x) → = ( ) = ( )= =
+( ) − ( )→
y f xdf x
dxdydx
Limf x h f x
hh’ ’
0
b. Turunan Aljabar 1. y = k → y' = 0 2. y = kxn → y' = nkxn – 1 3. y = k[f(x)n] → y' = nk[f(x)]n – 1 f'(x) 4. y = f(x) + g(x) → y' = f'(x) + g'(x) 5. y = f(x) . g(x) → y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) 6. y
f x
g xy
f x g x f x g x
g x=
( )( )
→ =( )× ( ) − ( )× ( )
( )’
’ ’2
c. Turunan Fungsi Trigonometri 1. y = sin x → y' = cos x 2. y = cos x → y' = sin x 3. y = tan x → y' = sec2 x 4. y = sin f(x) → y' = f'(x) cos f(x) 5. y = cos f(x) → y' = f'(x) sin f(x) 6. y = tan f(x) → y' = f'(x) sec2 f(x) 7. y = cot f(x) → y' = f'(x) csc2 x
15MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 136: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/136.jpg)
2
Contoh Soal
1. Jika f(x) = x2 + 5x + 1 dan g x Limf x f x h
hh( ) = ( ) − −( )
→0, maka grafi k fungsi y = (f – g)(x)
bersifat .... (Soal UMB Tahun 2013)A. tidak memotong sumbu YB. ada di atas sumbu XC. menyinggung sumbu XD. memotong sumbu X di dua titikE. ada di bawah sumbu X
Pembahasan:
g x Limf x f x h
hh( ) = ( ) − −( )
→0= f’(x) = 2x + 5
maka y = (f – g)(x) = (x2 + 5x + 1) – (2x + 5) y = x2 + 3x – 4 → memotong sumbu X di dua titik karena D > 0
Jawaban: D
2. Jika f(x) = cos2 x, 0 < x < π π π π6 2
56
76
< < ∪ < <x x, memenuhi persamaan 2f(x) – f’(x) = 1 , maka sin 4x = .... (Soal
UMB Tahun 2012)A. -1
B. -12
C. 0
D. 12
E. 1Pembahasan: f(x) = cos2 x2f(x) – f'(x) = 12cos2 x – 2cos x (-sin x) = 1(2cos2 x – 1) + 2sin x cos x = 0 cos 2x + sin2 2x = 0 (kuadratkan!) cos2 2x + 2cos 2x sin 2x + sin2 2x + 01 + sin 4x + 0 → sin 4x = -1
Jawaban: A
Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 137: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/137.jpg)
3
3. Diberikan f(x) = sin2 x. Jika f’(x) menyatakan turunan pertama dari f(x), maka
Lim f xh
f xX→∞
+
− ( )
’ ’1
= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)
A. sin 2xB. -cos 2xC. 2cos 2xD. 2sin xE. -2cos xPembahasan:
Lim f xh
f xX→∞
+
− ( )
’ ’1
= f''(x) sehingga f(x) = sin2 x f’(x) = 2 sin x cos x = sin 2x f’(x) = 2 cos 2x
Jawaban: C
4. Diketahui fungsi f dan g dengan g(x) = f(x2 + 2). Jika diketahui bahwa g’(1) = 2, maka f’(3) nilainya adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. 0B. 1C. 2D. 3E. 6 Pembahasan:g(x) = f(x2 + 2)g’(x) = 2x . f’(x2 + 2), substitusi x = 1g’(1) = 2 . f’(3) 2 = 2 . f’(3)f’(3) = 1
Jawaban: B
5. Diketahui fungsi y = ax cos x + bx sin x dan y” adalah turunan kedua dari y. Jika y” + y = sin x – 3 cos x, maka nilai a + b = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. 2
B. 32
C. -12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 138: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/138.jpg)
4
D. -32
E. -2
Pembahasan:y = ax cos x + bx sin xy‘ = a cos x + ax (-sin x) + b sin x + bx cos xy‘ = (bx + a) cos x – (ax – b) sin x
makay” = b cos x – (bx + a) sin x – [a sin x + (ax – b) cos x]y“ = -(bx + 2a) sin x – (ax – 2b) cos xmakay“ + y = -2a sin x + 2b cos x = sin x – 3 cos x
kesimpulannya -2a = 1 dan 2b = 3
a = -12
b = -32
maka a + b = -2Jawaban: E
6. Jika f x x x3 2 1+( ) = + dan f’ adalah turunan pertama fungsi f, maka 12f’(11) = .... (Soal SNMPTN Tahun 2009)A. 9B. 11C. 12D. 14E. 15Pembahasan:
f x x x
df x
dxx
x
x
f x xx
xsubsti
3 2 1
3 21
2 1
3 3 2 12 1
+( ) = +
+( )= + +
+
+( ) = + ++
’ , ttusi x
f
f f
=
( ) = +
( ) = ⇒ ( ) =
3
3 11 43
2 4
3 1134
12 11 11
’
’
f x x x
df x
dxx
x
x
f x xx
xsubsti
3 2 1
3 21
2 1
3 3 2 12 1
+( ) = +
+( )= + +
+
+( ) = + ++
’ , ttusi x
f
f f
=
( ) = +
( ) = ⇒ ( ) =
3
3 11 43
2 4
3 1134
12 11 11
’
’ Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 139: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/139.jpg)
5
7. Diketahui fungsi f dan g dengan nilai f(2) = f(4) = g’(2) = g’(4) = 2 dan g(2) = g(4) = f’(2) = f’(4) dengan f’ dan g’ berturut-turut menyatakan turunan pertama fungsi f dan g. Jika h(x) = f(g(x)), maka nilai h’(2) adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2009)A. 40B. 32C. 24D. 16E. 8 Pembahasan:h(x) = f(g(x))h’(x) = f’[g(x)] . g’(x)suubstitusi x = 2 h’(2) = f’[g(2)] . g’(2) h’(2) = f’(4) . 2 = 4 . 2 = 8
Jawaban: E
8. Diketahui f xx x xx x x
( ) = − +− +
sin sin sincos cos cos
3 23 2
maka nilai dari f ’π6
adalah ....
A. 1
B. 32
C. 2D. 3E. 4Pembahasan:
f xx x x
x x x( ) =
+( ) −+( ) −
sin sin sin
cos cos cos
3 2
3 2
=−−
=−( )
2 2 22 2 2
2 2 1
2 2
sin cos sincos cos cos
sin cos
cos
x x xx x x
x x
x ccos
tan
x
x
−( )=
1
2
f x xx
f o
’ seccos
’cos
( ) = =
= =
22
2
21
2
61120
4π
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 140: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/140.jpg)
6
9. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx + c, jika f(1) = 3, f’(2) = 2, f’(-1) = 5, maka nilai 2a + b – c adalah .... A. 0B. 4C. 12D. -4E. -12Pembahasan:f(1) = (1)3 + a(1)2 + b(1) + c = 3 a + b + c = 2 . . . (1)f’(x) = 3x2 + 2ax + b
makaf’(2) = 3(2)2 + 2a(2) + b = 2 4a + b = -10 . . . (2)f’(-1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 5 -2a + b = 2 . . . (3)
(2) dan (3) dieliminasi, didapat a = -2, b = -2nilai a, b disubstitusi ke (1) didapat2a + b – c = 12
Jawaban: C
10. Turunan dari yxx
=−+
11
coscos
adalah ....
A. cosec xB. cosec x cotan xC. cosec x(cosec x – cotan x)D. cosec2 x – 1E. 1 – cotan2 xPembahasan:Sederhanakan
1
111
11
−+
=−+
×−−
coscos
coscos
coscos
xx
xx
xx
=
−( )−
=−
= −
1
11
2
2
cos
coscos
sincsc cot
x
xx
xx x
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 141: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/141.jpg)
7
maka y' = -csc x . cot x + csc2 x y' = csc x(csc x – cot x)
Jawaban: C
Latihan Soal
1. Suatu fungsi f(x) = h(x2 + 1), bila f’(3) = 12, maka nilai dari h’(10) adalah .... A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5
2. Diketahui f x
xx
xx
xx
L( ) =+
++
+
+
+2 2
2
2
3
1 1 1 maka f’(x) adalah ....
A. 1
1
2
2 2
+
− +( )x
x x
B. 1
1
2
2 2
−
− +( )x
x x
C.
1
12 2x x− +( )
D.
x
x x
2
2 21− +( )
E.
-x
x x
2
2 21− +( )
3. Diketahui fungs y = (x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)(x16 + 1). Nilai dari f’(0) adalah ....
A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 142: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/142.jpg)
8
4. Bila f(x) = tan 2x, maka nilai Limf x a f x
aa→
−( ) − ( )0
2 adalah .... A. sec2 2xB. -sec2 2xC. 2sec2 2xD. -2sec2 2xE. -4sec2 2x
5. Diketahui fungsi f(x) = sin x + sin3 x + sin5 x + … maka
df x
dx( ) adalah ....
A. sec x(2tan2 x – 1)B. sec x(2tan2 x + 1)C. tan x(2sec2 x + 1)D. tan x(2sec2 x – 1)E. tan x(1 – 2sec2 x)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 143: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/143.jpg)
1
MATEMATIKA
SET 16TURUNAN 2
RINGKASAN MATERI
1. Gradien garis singgung di titik (x1, y1) pada kurva y = f(x)
mgs = f'(x1)
2. Fungsi Naik/Turunf(x) naik bila f'(x) > 0 f(x) turun bila f'(x) < 0 f(x) tidak naik bila f'(x) ≤ 0 f(x) tidak turun bila f'(x) ≥ 0
3. Maksimum/minimum fungsi• f(x) maksimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) < 0 • f(x) minimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) > 0
4. Titik belok fungsi(x1, y1) titik belok bila f''(x1) = 0
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
16 WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 144: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/144.jpg)
2
CONTOH SOAL
1. Garis g menyinggung kurva y = x x −1 di titik (2, 2). Jika garis g memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B, maka AB = … (UMB 2013)
A. 2 D. 2 5
B. 2 2 E. 5
C. 12 5
Pembahasan:• Persamaan garis g : y = mx + c di titik (2, 2)
m f’ x x x= (2) = 1 1 +12
1
= 1 2 1 +12
2 2 1
= 2
-12
-12
− −
− −
( )
( )
• y = 2x+ c melalui (2, 2) 2 = 2 (2) + c ⇒c = -2
y = 2x – 2
A
B
0
-2
1
AB = OA + OB
AB = 1 +(-2) = 5
2 2
2 2
Jawaban: E
2. Jika kurva f(x) = ax2 – bx2 + 1 mempunyai titik ekstrem (1, -5) maka kurva tersebut naik pada … (UM UGM 2013)
A. {x|x ≤ 0 atau x ≥ 2} D. {x|x ≤ -12
atau x ≥ 0}
B. {x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} E. {x|x ≤ -2 atau x ≥ 1}C. {x|x ≤ -2 atau x ≥ 0}
CONTOH SOALCONTOH SOALCONTOH SOALCONTOH SOAL
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 145: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/145.jpg)
3
Pembahasan:• f(x) = ax2 – bx2 + 1 f(1) = a – b + 1 = 5 a – b = -6 a + b = 6 ----- (1)
• Titik ekstrem → f'(x) = 0 f'(x) = 3ax2 – 2bx = 0 = 3a(1) – 2b(1) = 0 → 3a = 2b ----- (2) Dari persamaan 1 dan 2, didapat: A = 12, dan b = 18
• Kurva naik f'(x) ≥ 0 3 . 12x2 – 2 . 18x ≥ 0 ≥ 36x2 – 36x ≥ 0 – 36x (x – 1) ≥ 0
+0 1
+–
HP = {x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} Jawaban: B
3. Diketahui f(x) = 13
x3 + x2 – 3x + 13. Jika g(x) = f(1 – x), maka kurva g naik pada selang …
(SBMPTN 2013)
A. -3 ≤ x ≤ 1 D. -4 ≤ x ≤ 0 B. -1 ≤ x ≤ 2 E. -3 ≤ x ≤ 3 C. 0 ≤ x ≤ 4 Pembahasan:
f(x) = 13
x3 + x2 – 3x + 13
g(x) = f(1 – x)
g(x) = 13
+ (1 – x)3 + (1 – x)2 – 3(1 – x) + 13 g naik, jika g(x) ≥ 0 -1(1 – x)2 – 2(1 – x) + 3 ≥ 0
× (-1) (1 – x)2 + 2(1 – x) – 3 ≤ 0(1 – x + 3)(1 – x – 1) ≤ 0(-x + 4)(-x) ≤ 0
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 146: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/146.jpg)
4
Diagram tanda 0 ≤ x ≤ 4
Jawaban: C
4. Grafik fungsi f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12 naik jika … (SNMPTN 2012)A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a < 0B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a > 0C. b2 – 3ac > 0 dan a > 0Pembahasan:f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12f'(x) = 3ax3 + 2bx2 – c > 0 (naik), f(x) naik ⇒ f'(x) > 0 ⇒3ax3 + 2bx2 – c > 0 (definit positif )
⇒D < 0 ∩3a > 0 ⇒ (2b)2 – 4(3a)(c) > 0 ∩a > 0 ⇒4b2 – 12ac > 0 ⇒b2 – ac > 0
Jawaban: C
5. Dari semua garis singgung pada kurva yx
=5+ 62 , maka persamaan garis singgung
dengan kemiringan terkecil adalah … (SIMAK UI 2011)A. 32 5 2 = 30y x− D. 12 4 3 = 21y x−
B. 8 2 = 24y x− E. 12 4 3 = 7y x−
C. 32 + 5 2 = 30y x
Pembahasan:
Maka, y' = -5 2
+ 62 -2
× x
x( )
= -10
+ 62 -2
x
x( )
Garis singgung minimum: y'' = 0
⇒−-10 + 6 -10 2 + 6 2
+ 6= 0
2 2 2
2 2
x x x x
x
( ) ( )( )( )( )
( )
⇒ −-10 + 6 + 6 4 = 02 2 2 2x x x( ) ( )
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 147: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/147.jpg)
5
⇒ 3x2 + 6 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = + 2
Buat diagram tanda
+ –
- 2
+
2
Minimal di x = 2
Maka mmin =-10 2
2 + 6=
-5 2322 2( )
, dan
y =
5
2 + 6=
582
y x− −
58
= -5
322 2( )
32 20 = -5 2 2y x− −( )
32 20 = -5 2 +10y −
⇒ 32 + 5 2 = 30y x Jawaban: C
6. Diketahui f x x x( ) = sin1
3 . Persamaan garis singgung di f yang melalui titik asal adalah …
(SNMPTN 2011)A. x = 0 D. y = -x B. y = 0 E. Tidak adaC. y = xPembahasan:
f x x x( ) = sin1
3 di titik (0, 0)
m f’ x x x x x= = sin + cos-23
13( )
m =sin 0
0+ 0 1=× ∞
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 148: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/148.jpg)
6
∴Tidak ada garis singgungJawaban: E
7.
x x/2
y
y
Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum, maka x = … satuan panjang (SNMPTN 2011)
A. 2aπ
D. a
4 + 2π
B. aπ
E. 24 +
aπ
C. a4 + π
Pembahasan:Keliling = k x y x a= + 2 +
12
=π
⇒ π
12
+1 + 2 =
x y a
⇒ − π2 =
12
+1y a x
⇒ − πya
x=2
14
+12
----- (1)
Luas = L xy x a= +12
12
=2
π
= +
18
2xy xπ ----- (2)
Substitusi (1) pada (2)
L xa
x x=2
14
+12
+18
2− π π
La
x x x=2
14
+12
+18
2 2− π π
La
x x=2
18
+12
2− π
Syarat L' = 0
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 149: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/149.jpg)
7
ax
22
18
+12
= 0− π
14
+1 =2
π
x
a
(π+ 4)x = 2a
x
a=
2+ 4π( )
Jawaban: E
8. Grafik y = f'(x) ditunjukkan pada gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah … (SNMPTN 2011)A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0, -1) B. Fungsi f naik pada interval (0, ∞) C. Titik minimum lokal f terjadi di x = -2D. Fungsi f bernilai positif pada selang (-∞ , -2)E. Titik minimum lokal f terjadi di x = 2Pembahasan:
+ –
-2 2
+
Fungsi naik pada x < -2 atau x > 2 Fungsi turun pada -2 < x < 2 Minimum di x = 2 Maksimum di x = -2
Jawaban: E
9. Dalam sebuah bola padat yang berjari-jari 3 cm dibuat kerucut tegak. Volume maksimum kerucut itu adalah …A. 16
3 D. 1283
B. 323
E. 2563
C. 643
Pembahasan:
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 150: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/150.jpg)
8
Perhatikan irisan penampang bola
A
3
3
O
D
x
3
B
h
C
Misal:
Jari-jari kerucut adalah xTinggi kerucut adalah h
Maka volume kerucut
V x h=13
2
Dari gambar di atas, diperoleh: OD x= 9 2−
h = 3 + ODh = 3 + OD x= 9 2−Maka:
V x x=13
3 + 92 2−( )Syarat Vmax :V' = 023
3 + 9 +13
-2
2 9= 02 2 2
2x x x
x
x−
−( )
23
3 + 9 =3 9
23
2x x
x
x−
−( )
2 3 + 9 =
9
22
2−
−x
x
x( )
6 9 2− x = 3x2 – 18
26 9 2− x = x2 – 64(9 – x2) = x4 – 12x2 + 364x – 8 x2 = 0x2(x2 – 8) = 0 → x = 2 2
Maka h x= 3 + 9 = 42−
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 151: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/151.jpg)
9
V x h=13
2
V
RCS RCS
xCS
CS x
QR PQ QR
=13
2 3 2 2 4
: = 30
33
= = 3
=12
sin60
2
o
o
( )
( )( )
×
∆ ∠
→
V =13
2 2 42( ) ×
V =323
Jawaban: B
10. Sebuah karton berbentuk segitiga samasisi yang panjangnya 6 cm akan dibuat prisma segitiga beraturan tanpa tutup dengan memotong pojok-pojok nya. Agar memperoleh prisma yang mempunyai volume terbesar, maka ukuran tinggi prsma tersebut adalah …
A. 13
D. 3 B.
13 3 E. 2 3
C. 1Pembahasan:Misal : SR = x
A B
C
RS
Q
T
P
∆RCS ⇒ ∠RCS = 30o
tan 30o = SRCS
33
= = 3x
CSCS x→
BT = CS = x 3
Maka sisi alas prismaQR = 6 – 2x 3
Luas alas = 12
(PQ)(QR) sin 60o
= 12
(6 – 2x 3 )(6 – 2x 3 ) . 12 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 152: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/152.jpg)
10
= 14 3 (6 – 2x 3 )2
Volume Prisma = Luas Alas × Tinggi
= 14
3 6 2 32
− ×x x( )
ya
bx=
2 +3
5
= 14
3 36 24 3 +12 2x x x−( ) Volume Prisma = 9 3 18 + 3 32 3x x x− Syarat Vmax → V’ = 0
9 3 18 + 3 32 3x x x− = 0
3 4 + 3 = 02x x−
3 1 3 = 0x x− −( )( )
x = 1
3 x = 3 (Tidak memenuhi)
x = 13
3
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 153: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/153.jpg)
11
Latihan Soal
1. Diketahui f x x x x( ) =23
12
3 +16
3 2− − . Jika g(x ) = f(2 – 1x), maka kurva g naik pada selang
… (SBMPTN 2013)
A. -14
≤x ≤ 1 D. -34
≤x ≤ 1
B. -1 ≤x ≤ 14
E. -34
≤x ≤ 1
C. -54
≤x ≤ 1
2. Grafi k fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 25 turun jika … (SNMPTN 2011)A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0
3. Pesegi panjang PQRS dibuat dengan ketentuan titik P dan Q terletak pada parabola y = 12
x2 + 2, titik R dan S terletak pada garis y = 26. Luas maksimum persegi panjang PQRS yang dapat dibentuk adalah … satuan luasA. 72
P Q
R
Y
X
y = 26
y = 12
x2 + 2
SB. 128 C. 144D. 169E. 216
4. Pada setengah lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = a2 digambar sebuah persegi panjang (lihat gambar). Luas maksimum persegi panjang itu adalah …
A. a2
4 D. 2a2
B. a2
2 E. 4a2
C. a2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 154: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/154.jpg)
12
5. Kurva ya
bx=
2 + melalui titik (1, 1) dan gradien garis singgung di titik tersebut
35
, maka nilai a + b adalah …
A. 18
D. 1
B. 14
E. 2
C. 12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 155: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/155.jpg)
1
MATEMATIKA
SET 17INTEGRAL 1
RINGKASAN MATERI
1. ∫ F'(x) dx = F(x) + c
2. Rumus Dasar Integral Aljabara. ∫ a dx = ax + c
b. ∫ axn dx = a
nx n
+1+1 + c, n ≠ 1
c. ∫ ax -1 dx = a in |x| + c
3. Rumus Dasar Integral Trigonometria. ∫ sin x dx = -cos x + c b. ∫ cos x dx = sin x + c c. ∫ sec2 x dx = tan x + c d. ∫ cosec2 x dx = -cotan x + c e. ∫ sec x. tan x dx = sec x + c f. ∫ cosec x . cotan x dx = -cosec x + c
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
17 WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 156: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/156.jpg)
2
4. Sifat Integrala. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) g(x) b. ∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx c. ∫ f(x) . g(x) dx = ∫ f(x) dx . ∫ g(x) dx
5. Integral Substitusi
∫ [f(x)]n f'(x) dx = ∫ un du
di mana: u = f(x) dan du = f'(x) dx
6. Rumus Bantu Trigonometri
a. sin A . cos B = 12
sin (A + B) + 12
sin (A – B) b. cos A . sin B =
12
sin (A + B) – 12
sin (A – B) c. cos A . cos B =
12
cos (A + B) + 12
cos (A – B) d. sin A . sin B = -
12
cos (A + B) + 12
cos (A – B) e. sin2 A =
12
– 12
cos 2A f. cos2 A =
12
+ 12
cos 2A
7. Integral Tentu
f’ x dx f’ x dx f x f b f ax=a
x=b
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫= = =x= a
x= b−
8. Sifat Integral Tentu
a. f x dx f x dxa
b
b
a
( ) ( )∫ ∫= -
b. f x dx f x dx f x dx a c ba
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + , ⟨ ⟨
c. f x dx f u dua
b
a
b
( ) ( )∫ ∫=
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 157: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/157.jpg)
3
CONTOH SOAL
1. x xx
dx2
0
2 + 3+ 2
= ...∫
A. 4
157 2−( ) D.
815
7 2 1−( )
B.
415
7 2 1−( ) E. 815
7 2 +1( )
C. 4
157 2 +1( )
Pembahasan:
x xx
dx2
0
2 + 3+ 2
= ...∫
⇒− −x x
xdx
+ 2 + 2 2
+ 2=
2
0
2 ( ) ( )∫
x x x dx+ 2 + 2 2 + 2 =212
-12
0
2
( ) ( ) ( )
∫ − −
25
+ 223
+ 2 4 + 2 =52
32
12
0
2x x x( ) ( ) ( ) ]− −
25
3223
8 4 225
4 223
2 2 4 2 =× − × − × − × − × −
192 80 12015
24 2 20 2 60 215
=− −
−− −
-8
15+
56 215
=
815
7 2 1−( )
2. ∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx = .... SBMPTN 2013
A. sin (x – 1) + sin (3x – 1) + CB. sin (x – 1) – sin (3x – 1) + C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 158: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/158.jpg)
4
C. -sin (x – 1) + 13
sin (3x – 1) + C
D. -sin (x – 1) – 13
sin (3x – 1) + C
E. sin (x – 1) + 13
sin (3x – 1) + C
Pembahasan: ∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx =
∫ (cos [x + (1 – 2x)] + cos [x – (1 – 2x)]) dx =∫ (cos [1 – x] + cos [3x – 1]) dx =
sin(1 – x) – 13
sin (3x – 1) = -sin (x – 1) –
13
sin (3x – 1) + C 3. Diketahui f x dx ax bx c( )∫ =
14
+ +2 dan a ≠ 0. Jika f(a) = a + 2
2b
dan f(b) = 6, maka fungsi
f(x) = .... (SNMPTN 2011)
A. 12
+ 4x D. x + 4
B. 2x + 4 E. -12
x + 4
C. -12
x – 4
Pembahasan:
f x dx ax bx c( )∫ =14
+ +2
f x ax b( ) =12
+
Diketahui: f(a) = a + 2
2b
⇒
12
+ =+ 22
2a ba b
⇒ a2 + b = a + 2b ⇒ a2 – a = 0 ⇒ a (a – 1) = 0 a = 0 atau a = 1
Sehingga f(x) = 12
ax + b
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 159: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/159.jpg)
5
Diketahui: f(b) = 6
⇒ 12
b + b = 6
⇒ b = 4
Sehingga f(x) = 12
x + 4
4. 3
1+1
= ...2
18
13
x xdx∫ (UMB 2011)
A. 33 D. 40B. 36 E. 45 C. 38Pembahasan:
Misal:• u = 1 + x-1 • du = -x-2dx
x2dx = -du
3 1+-2 -1
12
18
13
x x dx( )∫
= 3 -
12u du∫ ( )
= -312u du∫
= -2u u
= -2 1+ 1+-1 -11
8
13γ( ) ]x
= -2[4 . 2 – 9 . 3] = 38
5. Jika f x dx( )∫1
4
= 6 , maka f x dx5 = ...1
4
−( )∫ (SIMAK 2010)
A. 6 D. -1 B. 3 E. -6 C. 0Pembahasan:
f x dx f u du( ) ( )∫ ∫1
4
1
4
≡
Ditanyakan : f x dx51
4
−( )∫ ≡ Equivalen
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 160: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/160.jpg)
6
= 5f x dxx=1
x=4
−( )∫
Misal:• u = 5 – dx • du = -dx
dx = -du• x = 1 → u = 4 x = 4 → u = 1
= -f u duu=4
u=1
( ) ( )∫
= -4
1
f u du( )∫
=1
4
f u du( )∫
f x dx f x dxa
b
b
a
( ) ( )∫ ∫= -
= 6
6. Diketahui f(x) = |x – 1|. Nilai f x dx( )∫0
1
= ... (SNMPTN 2010)
A. 0 D. 2
B. 12
E. 4
C. 1 Pembahasan:
x – 1, untuk x ≥ 1 f(x) = |x – 1|
x – 1, untuk x < 1
Ditanyakan: f x dx( )∫0
1
=
x xx=0
x=1
−1 d =∫
− −x dxx=0
x=1
1 =( )∫
1 =− x dxx=0
x=1
( )∫
x x−
12
=12
20
1]
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 161: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/161.jpg)
7
7. Jika x
xdx a
1+=
0
1
∫ , maka 1
1+= ...
0
1
xdx∫ (SNMPTN 2010)
A. a D. a – 12
B. 1 – a E. a2 C. 2a
Pembahasan:
xx
dxx
dx dx1+
+1
1+=
0
1
0
1
0
1
∫ ∫ ∫
a y x+ =
0
1] y = 1 – a
8. x xx
dx2
2
+ 4 11
= ...−
−∫ (SIMAK UI 2009)
A. 4x + 2 in |3x – 2| + C D. x + 2 in |x2 – 1| + C B. 4x + 4 in |3x – 2| + C E. x + in |x2 – 1| + C C. 2x + 2 in |3x – 2| + C
Pembahasan:
x xx
dx2
2
+ 4 11
=−
−∫x x
xdx
2
2
1 + 4
1
−
−
( )∫
Misal:• u = x2 – 1 • du = 2x dx
2du = 4x dx =
11
+4
1
2
2 2
xx
xx
dx−− −∫
= 1+
412
xx
dx−∫
= +
412
xx
xdx
−∫
= +2
xu
du∫ = x + 2in |u| + C = x + 2in |x2 – 1| + C
9. ∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx adalah … (SIMAK 2009)A. ∞ D. sec x + sin x + CB. ctg x + C E. cosec x + CC. sec x + C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 162: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/162.jpg)
8
Pembahasan:Bentuk deret:sin x + sin3 x + sin5 x + ...Adalah deret geometri tak hingga dengan rasio sin2 x, maka
sin x + sin3 x + sin5 x + ... = ar1−
=
sin1 sin2
xx−
= sin
cos2
xx
= sec x tan x Maka:∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx = ∫ sec x tan x dx = sec x + C
10. Hasil substitusi u = x + 1 pada x x dx2
0
1
+1∫ adalah … (SNMPTN 2009)
A. u u du−1 2
0
1
( )∫ D. u u du−1 2
0
1
( )∫
B. x u du2
0
1
∫ E. u u du−1 2
1
2
( )∫
C. u u du−11
2
( )∫Pembahasan:• u = x + 1 • x = u – 1 du = dx• Bila x = 0 → u = 1 x = 1 → u = 2
x x dx2
0
1
+1∫
= +12x x dx
x=0
x=1
∫
= 1 2
=1
=2
u u duu
u
−( )∫
= u u du−1 2
1
2
( )∫
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 163: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/163.jpg)
9
Latihan Soal
1. x x dx+1 = ...-2
1
( )∫
A. 13
D. 43
B. 23
E. 53
C. 1
2. xx x
dx4
3
+1= ...
−∫
A. 12
- ln1
+22
xx
xC
− D. 12
ln1
+2
xx
xC−
−
B. 12
+ ln1
+22
xx
xC
− E. 1
2ln
+1+
2
xx
xC−
C. 12
+ ln1
+2
xx
xC
−
3. dx
x xsin cos= ...3
25
2∫
A. 23
tan + 2cotan +3
2 12x x C( ) D. 2
3tan + 4 cotan +
32x x C( )
B. 2
3tan 2cotan +
32 1
2x x C( ) − E. 13
tan + 4 cotan +3
2 12x x C( )
C. 23
tan + 4 cotan +3
2 12x x C( )
4. cos2 + cos
1+ cos= ...
x xx
dx∫
A. 2 sin x + x + C D. -2 sin x – x + CB. 2 sin x – x + C E. 2 sin x + x + CC. -2 sin x + x + C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 164: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/164.jpg)
10
5. x x dxsin = ...3
0
π
∫
A. 6 + 312π D. 6π + 13
B. 6 +1312
π E. 6π – 13
C. 6 1312
π −
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 165: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/165.jpg)
1
MATEMATIKA
SET 18INTEGRAL 2
RINGKASAN MATERI
1.
y = g(x)
x
y
ba
y = f(x) Luas daerah
L f x g x dxa
b
= ( ) ( )( )∫ −
2. x = g(g) x = f(g)
x
y
b
a
Luas daerah
L f y g y dya
b
= ( ) ( )( )∫ −
MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
18 WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 166: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/166.jpg)
2
3.
y = f(x)
y = g(x)
y
xa b
Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu x
V f x g x dxa
b
=2 2
π −( ) ( ) ∫
4.
x = g(y) x = f(y)
x
y
b
a
Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu y
V f y g y dya
b
=2 2
π −( ) ( ) ∫
Contoh Soal
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x2 dan y = 2|x| adalah…
A. - 2 + 32
0
1
x x dx−( )∫ D. - 2 + 32
-1
1
x x dx−( )∫
B. 2 - 2 + 32
-1
0
x x dx−( )∫ E. 2 - + 2 + 32
-1
0
x x dx( )∫
C. - + 2 + 32
-1
1
x x dx( )∫
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 167: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/167.jpg)
3
Pembahasan:Diketahui fungsi y = 2|x|, dimana:
2x, x ≥ 0 sketsa
x
y = 2|x|
-3 -2 -1 1 2 3
246
y
y = 2|x| -2x, x < 0
x
y
-1 1
Sketsa daerah Karena daerah simetris terhadap sumbu y, maka
L x x dx= 2 3 22
0
1
− −∫
L x x dx= 2 3 + 22
-1
0
−∫
2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari 2, sebagai mana diberikan dalam gambar di samping. Jika tali busur pada gambar berjarak 1 dari garis tengah , maka luas daerah di bawah tali busur adalah …
A. 2 2 4 12
0
1
π − − −x dx( )∫ D. 4 2 4 12
0
3
π − − −x dx( )∫
B. 2 2 4 12
0
3
π − − −x dx( )∫ E. 4 2 4 2
0
3
π − − x dx( )∫
C. 4 4 12
0
1
π − − −x dx( )∫ Pembahasan: Ilustrasi grafi k Persamaan lingkaran x2 + y2 = 4 y2 = 4 – x2
Larsiran = Llingkaran – L1
A By = 1
2
1l
-2
2a-2 Larsiran = π − − −r x dxa
2 2
0
2 4 1( )∫
= 4 2 4 12
0
π − − −x dxa
( )∫
= 4 2 4 12
0
3
π − − −x dx( )∫
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 168: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/168.jpg)
4
Mencari absis B
4 = 12− x
4 – 2x = 1x = 3
Jawaban: D
3. Jika diketahui garis singgung parabola y = ax2 + 12x – 14 pada titik x = 3 membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar π – arctan (6), maka luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x – 32 dan parabola tersebut adalah … (Simak 2012)
A. 852
D. 115
2
B. 952
E. 1252
C. 1052
Pembahasan:• y' = mgs = tan a
Substitusi x = 3 m = π – arctan (6)
⇒ 2ax + 12 = tan a ⇒ 2ax . 3 + 12 = tan ( π – arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -tan (arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -6 ⇒ a = -3
• Batas daerah menjadi (1) y1 = -3x2 + 12x – 14 (2) y2 = 9x – 32
• ygab = y1 – y2 = (-3x2 + 12x – 14) – (9x – 32) = -3x2 + 3x + 18 a = -3, b = 3, c = 18 D = b2 – 4ac = 32 – 4(-3)(18) = 9 + 216 = 225
• LD D
a=
6=
225 225
6 -3=
12522 2( )
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 169: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/169.jpg)
5
4. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva yx
=4
2, x = 1, dan y = c, c > 0 adalah 2
14
satuan
luas, maka jumlah semua bilangan c yang mungkin adalah … (SIMAK 2011)
A. 25 D. 252
B. 253
E. 50
C. 254
Pembahasan:Sketsa kemungkinan
y = c2
1
4
y = c1c1
c2
L1
Luas L1 = 1
2= 2
14
4
1
−y
dyc
∫
⇒ −y yc
4 =94
12 1
4]
⇒ − − − −c c1 14 4 8
94
= 01
2( ) ( )
⇒ −c c1 14 +
74
= 01
2
⇒ −4 16 + 7 = 01 11
2c c
⇒ − −2 1 2 7 = 01 1
12
12c c( )( )
c
c
1
1
12 =
12
=14
c
c
1
1
12 =
72
=494
c c1 1+ =
504
=252
Jawaban: D
5. Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y = m2 dan garis y = a2 dimana h ≠ n diputar mengelilingi sumbu x volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu y. Nilai a yang memenuhi adalah … (SIMAK 2011)
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 170: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/170.jpg)
6
A. 58
D. 85
B. 38
E. 52
C. 25
Pembahasan:
y = x2
a
y = a2
Volume diputar sumbu x = Volume diputar sumbu y
a x dxa
4 4
0
−( )∫ = y dya
0
2
∫
a x xa4 50
15
− π] = 12
20
2
ya] π
a a5 515
− = 12
4a
a = 58 Jawaban: A
6. Luas daerah di bawah y = -x2 + 8x, di atas y = 6x – 24, dan terletak dikuadran I adalah … (SNMPTN 2011)
A. - + 8 + 2 242
0
42
4
6
x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫ − −
B. - + 8 + - + 2 + 242
0
42
4
6
x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫
C. - + 8 + - + 2 + 242
0
62
6
8
x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 171: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/171.jpg)
7
D. 6 24 + - + 84
62
6
8
x x dx x x dx−( ) ( )∫ ∫
E. 6 24 + - + 80
42
4
6
x x dx x x dx−( ) ( )∫ ∫Pembahasan:
y = 6x – 24y = -x2 + 8x
x
y
4 6 8
Luas yang diarsir
= - + 8 + - + 8 6 242
0
42
4
6
x x dx x x x dx( ) ( ) ( )∫ ∫ − −
= -x + 8x + -x + 2x + 242
0
42
4
6
( ) ( )∫ ∫dx dx
Jawaban: B
7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, dan garis y = x – 2 adalah … (UMB 2011)A. 3 D. 4
B. 313
E. 413
C. 323
Pembahasan: Rumus Cepat:
2
2 4
-2
y = -x – 2
y = x
y
t
Maka Luas Daerah Arsiran
L =
23
4 212
2 2× × − × ×
L =
163
2 =103
= 313
−
Jawaban: B
L = 23
at
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 172: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/172.jpg)
8
8. Suatu daerah dibatasi oleh y = sin x dan sumbu x untuk 0 ≤ x ≤ π diputar mengelilingi sumbu x, maka volume yang terjadi adalah …
A. 14
π2 D. 32
π2
B. 12
π2 E. 2π2
C. π2
Pembahasan: V x dx= sin 2
0
ππ
( )∫
V x dx=
12
+12
cos20
ππ
∫
V x x=
12
+14
sin20]π πo π
V =
12
2π
Jawaban: B
9. Besar volume yang terjadi jika elips diputar mengelilingi sumbu x adalah …A. 10π D. 36π B. 14π E. 48π C. 16π
Pembahasan:
V = π −449
2
-3
3
x dx
∫
= 2 449
2
0
3
π − x dx
∫
= 2 44
273
0
3π −x x
]
x
y
3
2
-3
x y2 2
9+
4=1
= 2π(12 – 4) = 16π Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 173: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/173.jpg)
9
10. Volume daerah yang dibatasi oleh y = in x, x = 0, y = 0, y = 1 bila diputar terhadap sumbu y adalah …
A. 12
π(e2 + 1) D. 12
πe
B. 12
π(e2 – 1) E. 12
π
C. 12
πe2
Pembahasan:
1
y = in x
y
y = in x → x = ey
V e dyy=2
0
1
π ( )∫
= 2
0
1
π e dyy∫
=
12
20
1e y ] π
=12
12
2π − πeCatatan:
• e dx e Cx x∫ = + • in ex = x• ein x = x
=
12
12π −e( )
Latihan Soal
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x= 2 1 2− dan sumbu x adalah …
A. 12
π D. 2π
B. π E. 3π
C. 32
π
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis singgung kurva di (-1, 1) dan garis singgung di (3, 9) adalah …
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 174: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/174.jpg)
10
A. 283
D. 343
B. 303
E. 353
C. 333
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva yx
=5
2
, y
x=
5 2
, sumbu x positif, dan garis x =
10 adalah … (SPMB 2005)
A. 356
yx
=5
2
yx
=5 2
y
0x
x = 10
B. 4
C. 416
D. 456
E. 516
4. Volume benda berputar dari daerah yang dibatasi oleh x – 2y = 0 dan parabola y2 – 2x = 0 mengelilingi sumbu x adalah …
A. 643
π D. 923
π
B. 723
π E. 953
π
C. 813
π
5. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi yx
=2
, garis y = 2x, x = 0, x = 4 dan diputar terhadap sumbu y adalah …
A. 16
π D. 76
π
B. 46
π E. 86
π
C. 56
π
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 175: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/175.jpg)
5
Dinyatakan: ACAC
ABAB = =
304
330
18
-
ACAB = =
9
3 2
32
2
Jawaban: e 3. soal simAk Ui tahun 2012 Dalam segitiga ABC, AB = a , AC = b .JikatitikGadalahberatsegitigaABCmaka=....
A. 16
a b+( ) D. 23
a b+( )
B. 14
a b+( ) E. 34
a b+( )C.
13
a b+( )
PemBAHAsAn:
A BQ
C
PG
b
AG = 23
AP
= 23
AB BP+( )
= 23
12
AB BC+
= 23
12
AB BA AC+ +( )
= 23
12
12
AB AC+
= 13
a b+( )
Jawaban: C
4. Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada sama dengan tiga kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah ....
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 176: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/176.jpg)
6
A. 1 : 3 cos θ D. cos θ : 3 B. 3 : cos θ E. 1 : cos θ C. 3 cos θ : 1
PemBAHAsAn:
Diketahui: uv = 3 v
u v
v
× = 3 v
u v
v
cos θ = 3 v
u
v =
3cos θ
Jawaban: B
5. soal snmPtn tahun 2012 Jika u dan v adalah dua vektor satuan membentuk sudut 30O, maka ( u + v ). v = ....
A. 32
D. 2
2+1
B. 3
2+1 E.
13
+1
C. 3
2-1
PemBAHAsAn: ( u + v ). v = u . v + v . u
= u v vcos θ+2
= 1.1.cos 30o + 12
= 12
3 +1
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 177: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/177.jpg)
7
6. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (a, –2, –1) dan v = (a, a, –1). Jika vektor u tegak lurus pada v , maka
nilai a adalah ....A. -1 D. 2B. 0 E. 3C. 1
PemBAHAsAn: u . v = 0 ↔ u ⊥ v
a aa-
- -21 1
0
×
=
a2 – 2a + 1 = 0 (a – 1)2 = 0 a = 1
Jawaban: C
7. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (1, – 3a + 1,2) dan v = (a3 – 3a2, 3, 0) dengan –2 < a < 4. Nilai maksimum
u . v adalah ....A. 27 D. 1B. 8 E. -24C. 3
PemBAHAsAn:
u v aa a
× +
13 1
2
330
3 2
--
u . v = a3 – 3a2 – 9a + 3 f(a) = a3 – 3a2 – 9a + 3 fungsi maksimum: f'(a) = 0 3a3– 6a – 9 = 0 a2 – 2a - 3 = 0 (a – a)(a + 1) = 0 a = 3 atau a = –1
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 178: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/178.jpg)
8
–1 3
+ – +
Maksimum di a = –1 maka, f(-1) = 8Jawaban: B
8. soal snmPtn tahun 2011 Vektor u i bj ck= + +4 tegak lurus vektor w i j k= +2 2 3- dan u w= 2 , maka nilai b
memenuhi .... A. 13b2 – 32b + 404 = 0 D. 13b2 + 32b + 404 = 0B. 13b2 + 3b – 404 = 0 E. 3b2 – 10b – 402 = 0C. 13b2 – 32b – 404 = 0
PemBAHAsAn:Diketahui :
u bc
=
4,
2w 2
3
= −
,
apabila u w⊥ maka:
u w⋅ = 0
4 2b 2 0c 3
⋅ − =
8 – 2b + 3c = 0 3c = 2b-8 →
2b 83−
Diketahui:
u w= 2
42 2 2+ + b c = 2 2 2 32 2 2+ − +( )
16 2 2+ +b c = 2 17
16 + b2 + c2 = 68 b2 = 52 – c2
b2 = 52 – 2 8
3
2b -
b2 = 52 – 4 32 64
9
2b b− +
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 179: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/179.jpg)
9
9b2 = 468 – 4b2 + 32b – 64 13b2 – 32b – 404 = 0
Jawaban: C
9. soal simAk tahun 2010 Diketahui vektor-vektor a = (2, 2, z), b = (–8, y, –5), c = (x, 4y, 4), dan d = (2x, 22 – z, 8).
Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b , dan vektor c sejajar dengan d , maka (y + z) = ....A. –5 D. 2B. –1 E. 5C. 1
PemBAHAsAn:
a b⊥ ⇒ × =a b 0
⇒
×
=
22
8
50
zy-
-
⇒ 16 – 2y – 5z = 0 ⇒ 2y – 5z = 16 ....(1) c // d ⇒ c = k d
⇒4126
−−
k = 12
, maka:
⇒ 4y = 12
(22 – z)
⇒ 8y + z = 22 ....(2)
Mencari y dan z dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) (1) x 4 8y – 20z = 64
(2) x 1 8y + z = 22
–21z = 42 z = –2
Substitusi balik, didapatkan y = 3 Maka nilai y + z = 1
Jawaban: C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 180: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/180.jpg)
10
10. Diketahui a = 4126
−−
dan b = 424−
, dan vektor c merupakan proyeksi orthogonal
vektor a terhadap b . Jika vektor d = 21x
memiliki panjang yang sama dengan vektor c
, maka nilai dari x adalah ...
A. 133
D. 233
B. 173
E. 293
C. 193
PemBAHAsAn:
d c=
⇒ d ab=
⇒ 2 1
4126
424
4 2 4
2 2 2
2 2 2+ + =
−−
−
+ + −( )x
⇒ 2 16 8
x 56 3
+ = =
⇒ x2 5649
+ =
⇒ x2 199
=
⇒ x = ± = ± 199
193
Jawaban: C
LATIHAN SOAL
1. soal sBmPtn tahun 2013 Diketahui A (3, 0, 0), B (0, -3, 0), dan C ( 0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi AC ke vektor AB
adalah ...
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 181: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/181.jpg)
11
A. 5 2
2 D.
23
B. 2 2 E. 2
C. 3 2
2
2. soal snmPtn tahun 2012 Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada v
sama dengan dua kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah ....A. 1 : 2 cos θ D. 1 : cos θB. 2 : cos θ E. cos θ : 2C. 2 cos θ : 1
3. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (a3, 3, 4a) dan v = (2, –7a2, 9) dengan 0 < a < 8. Nilai maksimum u
. v adalah ...A. 108 D. 6B. 17 E. 1C. 15
4. soal snmPtn tahun 2010
Diketahui a , b , dan c vektor dalam dimensi –3. Jika a ⊥ b , dan a ⊥ ( a + 2 c ), maka a .(
b – c ) = ....A. 4 D. 0B. 2 E. –1C. 1
5. soal UmB tahun 2009 Jika vektor a dan b memenuhi ( a + b ) . b = 12, a = 2, dan b = 3, maka sudut antara
a dan b adalah ....A. 60o D. –45o
B. 30o E. –60o
C. –30o
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 182: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/182.jpg)
12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 183: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/183.jpg)
1
MATEMATIKA
20MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
Set 20Dimensi 3: Jarak dan Sudut
A. ringkAsAn mAteria. Jarak titik ke titik adalah ruas garis yang menghubungkan titik A dan B.b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang memotong garis tersebut (garis tinggi). A
A1
jarak AA1
garis
c. Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang memotong bidang secara tegak lurus.
bidang
jarak
A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 184: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/184.jpg)
2
d. Sudut antara garis dengan garis adalah sudut terkecil pada perpotongan 2 garis tersebut.
h
g
α
e. Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang.
o
proyeksi op pada bidang ν
p1
p
α
ν
f. Sudut antara bidang dengan bidang adalah sudut pada garis/titik pertemuan dua bidang tersebut yang terbentuk oleh bidang ketiga yang tegak lurus pada dua bidang tersebut.
garis pertemuan
bidang 1
bidang 3bidang 2
α
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 185: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/185.jpg)
3
g. Rumus Bantu Segitiga 1. Segitiga siku-siku
D
AB
C AB . BC = AC . BD
2. Segitiga Sama Kaki
B C
A
A1
B1
• GaristinggiAA’=garisbenar(AB=AC) • GaristinggiBB’garisbenar(BA≠ BC) • BerlakuBCxAA’=ACxBB’
3. Segitiga Sama Sisi
S
S
t
t = S sin 60o
L = S2
43
4. Segitiga Sembarang
C1
C
C
B
ab
A
GunakansegitigacosinusuntukmencariCC’
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 186: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/186.jpg)
4
• Cos B = a c b
ac
2 2 2
2+ −
Cari sin B → CC’=asinB
• CosA=b c a
bc
2 2 2
2+ −
Cari sin A → CC’=bsinA
CONTOH SOAL
1. soal sBmPtn tahun 2013 DiketahuikubusABCD.EFGHmempunyaisisi4cm.TitikPadalahtitiktengahCD,titikQ
adalahtitiktengahEH,dantitikRadalahtitiktengahBF.JarakPkeQRadalah....
A. 15 D. 5B. 3 2 E. 2 2
C. 6
PemBAHAsAn:
yr
x+
z+
R
F
H
P
P1
C
BA
GQ
E
D
4
MencaripanjangQR:• QR2 = QE2 + EF2 + FR2
QR2 = 22 + 42 + 22
QR = 24 = 2 6• PQ2 = QH2+HD2+DP2
PQ = 2 4 22 2 2+ + = 2 6• PR2 = RB2 + BC2+CP2
PR = 2 +6 +22 2 2 = 2 6
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 187: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/187.jpg)
5
QPRsegitigasamasisi
aP1
R
P
60O
JarakPkeQR=PP’PP’ = PQsin60o
= 2 6 × 12
3 = 18 =3 2
Jawaban: B
2. soal snmPtn tahun 2012 DiberikanlimasT.ABCdenganAB=AC=BC=6danTA=TB=TC=5.JaraktitikTkebidang
ABC adalah ....
A. 18 D. 52
3
B. 13 E. 2 3C. 4
PemBAHAsAn:
S
BA6o
Ct
T
P
JarakTkebidangABC(t) AP2 = AB2–BP2
AP = 6 -32 2 = 3 3
AO = 13AP
= 2 3 TO2 = t2=AT2 – AO2
t = S - 2 32 2( ) = 13
Jawaban: B
3. soal simAk Ui tahun 2010 PadakubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuk6cm.TitikPdanQberturut-turutmerupa-
kanpusatbidangEFGHdanABCD.JarakantargarisQFdenganDPadalah....
A. 3 D. 32 2
B. 2 3 E. 2
C. 3 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 188: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/188.jpg)
6
PemBAHAsAn: GH
EF
Q
BA 6
DC
P PerhatikanbidangdiagonalBDHF! H F
BDQ
P
JarakDFdanQFadalah:
13
BF = 13
6 3 = 2 3
Jawaban: B
4. soal snmPtn tahun 2011 PrismategaksegitigasamasisiABC.DEFdenganpanjangAB=sdanAD=t.JikatitikGterle-
takditengah-tengahsisiEF,makapanjangAGadalah....
A. t s2 234
− D. t s2 2−
B. t s2 234
+ E. t s2 214
+
C. t s2 2+
PemBAHAsAn:
S
A C
B
E
GFD
t
60o
DG =Ssin60o
DG = 12
3 S
AG2 = AD2+DG2
AG2 = t2 + 12
32
S
AG2 = t2 + 34
S
AG2 = t S2 234
+
Jawaban: B
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 189: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/189.jpg)
7
5. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuikubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuknya2a.JikatitikPberadapadaper-
panjangangarisHGsehinggaHG=GP,makajaraktitikGkegarisAPadalah....
A. a6
6 D. 23
3a
B. a3
3 E. 23
6a
C. a3
6
PemBAHAsAn:
H G
G'
P
C
BA 2a
FE
D
JarakGkeAP(GG’) GP =2a AP2 =AH2+HP2
AP = 2 2 42 2a a( ) + ( )
AP =2a 6
L ∆ AGP = 12.AH.GP= 1
2.AP.GG'
2a 2 . 2a = 2a 6 GG'
GG' = 2 2
6
a
= 13
a 3
Jawaban: D
6. soal simAk tahun 2012 Diberikan bidang empat ABCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD.
Jika BD = BD = 2 cm,danAB=acm,makasudutantarabidangACDdanBCDsamaden-gan ....
A. π6
D. 34π
B. π4
E. π2
C. π3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 190: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/190.jpg)
8
PemBAHAsAn:
B
C
P
D
α
a 2
a
A
a 2
∠ACD,BCD=∠AP,PB=∠ α ∠BCD=45O
BP =BCSin45O
BP =a 2 .12 2
BP =a
tan α = aa
= 1
α = π4
Jawaban: B
7. soal simAk Ui tahun 2011 DiberikanprismasegitigaberaturanABC.DEFdenganBE=2AC.TitikPdanQadalahtitik
pusatsisiADEBdanCFEB.TititkRadalahtitikpusatsisiABCdantitikSadalahtitiktengahrusuk CF. Jika αadalahsudutyangterbentukantaragarisPQdangarisRS,makanilaicosα adalah ....
A. 12
D. 14 3
B. 12 3 E. 1
C. 13
PemBAHAsAn: D F
S
P QE
C
B
M
Ra
2a
A
∠PO,SR=∠ ST,SR CM2 = CB2 – BM2
CM2 = a2 – 12
2
a
CM a
CM a
2 2 2
2
314
34
2
= −
=
CM = 12
a 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 191: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/191.jpg)
9
SR2 = SC2 + CR2
SR2 = SC2 + 23
2
CM
SR2 = a2 + 13
32
a
SR = 13
a 3
= 14
3
cosα =
12
23
3
a
a
Jawaban: D
8. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuilimasTABCdenganTAtegaklurusbidangABC,panjangrusukAB,AC,BCdanTA
berturut-turutadalah3cm,4cm,5cm, dan 95
cm. Jika ϕ merupakan sudut antara bidang
BCTdenganbidangABC,makanilaicosϕ adalah ....
A. 35
D. 925
B. 45
E. 1225
C. 6
25
PemBAHAsAn: T
C
P
B
59
A
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 192: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/192.jpg)
10
PerhatikanTAP! C
A B3
45
Berlaku BCxAP = ABxAC 5xAP = 3x4
AP = 125
T
Aν
P
95
155
TP = 155
=3(TriplePythagoras)
Maka sin ϕ = ATTP
= 953
35
=
Jawaban: A
9. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang rusuk 10 cm. Jika sudut antara
bidangTABdanbidangABCadalahα ,makanilaisinα adalah ....
A. 23
D. 13
B. 2 3
3 E.
13
C. 2 23
PemBAHAsAn:
10
10
B
B
M
t
S
B
α
TM=MC = 10 52 2−
= 5 3
MO = 13
MC = 53
3
TO = TM MO2 2−
= 75253
− = 103 6
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 193: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/193.jpg)
11
sin α = TOTM
= =
103
6
5 3
23
2
Jawaban: C
10. soal simAk Ui tahun 2010 PadakubusABCD.EFGH,titikKterletakpadarusukGH,sehinggaHK:GH=1 :2.TitikM
terletakpadarusukEFsehinggaEM:MF=1:2.Jikaα adalah sudut yang terbentuk antara irisanbidangyangmelaluititikA,C,K,danirisanbidangyangmelaluiA,C,M,makanilaidari cos α adalah ....
A. 711
19 D. 5711
19
B. 117
19 E. 2
1119
C. 1157
19
PemBAHAsAn:
G F
M
E
P
D
k
B
AD
H
QN
C
PerhatikanpersegiEFGH,misalEH=12 G F
M
Q
P
K
EHL 12
N FQ = FMsin45
= 8 . 12
2 = 4 2
HP = HLsin45
= 6 . 12 2 = 3 2
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 194: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/194.jpg)
12
PQ = HF–(HP+FQ)
= 12 2 – (3 2 + 4 2 )=5 2 PerhatikanBidangBDHF!
H
D
12
5 2 4 23 2
3 2 2 2
F
B
12
T
P
R S
Q
αγθ
tan θ = 2 2 tan γ = 3 2
α + θ + γ = 180o
α = 180o – ( θ + γ ) tan α = –tan ( θ + γ )
= – tan tantan tan
α γ
θ γ+
−1
= – 2 2 +3 21 12−
tan α = 5 211
de
sa( )( )
11α
3 195 2
Maka:
cos α = =
11
3 19
1157
19
Jawaban: C
LATIHAN SOAL
1. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuikubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuk2cm.TitikMberadaditengahruas
garisEH.TitikNberadaditengahruasgarisEF.JaraktitikEkebidangMNAadalah....
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 195: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/195.jpg)
13
A. 1 D. 34
B. 13
E. 14
C. 12
2. soal simAk Ui tahun 2010 Diberikanprismategaksegitigasiku-sikuABC.DEFdenganalasABCsiku-sikudiB.Panjang
rusuk tegak prisma 2 2 satuan,panjangAB=panjangBC=4satuan.MakajarakAkeEFadalah ... satuanA. 4 D. 2 6B. 4 2 E. 4 6C. 4 3
3. soal snmPtn tahun 2009 DiketahuikubusABCD.EFGH.TitiktengahsisiAB,BF,danFGdiberisimbolX,Y,danZ.Besar
∠YXZadalah....A. 15o D. 60o
B. 30o E. 90o
C. 45o
4. PadasuatukubusPQRS.TUVWsudutantaragarisPWdanbidangdiagonalQUWSsamadegan ....A. 75o D. 30o
B. 60o E. 15o
C. 45o
5. BesarnyacotangentsudutBEGdanABGHpadakubusABCD.EFGHadalah....A. 2 D. 6B. 3 E. 2 2 C. 5
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 196: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/196.jpg)
14
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 197: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/197.jpg)
1
MATEMATIKA
21MATERI DAN LATIHAN SBMPTN
TOP LEVEL - XII SMA
Set 21Dimensi 3 : Luas dan Volume
A. Ringkasan Materi
a. Bidang iris adalah bidang datar yang membagi bangun ruang menjadi 2 bagian.
bagian 1
bagian 2
bidang iris
b. Untuk membentuk bidang iris minimal dibutuhkan 3 titik.c. Langkah membentuk bidang iris:
1. Hubungkan semua titik yang terletak pada bidang yang sama.
A
EF
P
Q
GH
B
CD
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 198: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/198.jpg)
2
2. Hubungkan garis yang didapat pada no.1 dengan perpanjangan rusuk yang sebidang dengan garis.
A
EF
P
Q
GH
B
CD
3. Bila terdapat dua titik pada alas atau atap, hubungkan untuk membentuk sumbu afinitas.
A
EF
P
Q
GH
B
C sumbu afinitasD
4. Hubungkan sumbu afinitas dengan perpanjangan rusuk alas.
A
EF
P
Q
GH
B
D C
5. Kembali hubungkan dua titik sebidang, sehingga terbentuk bidang iris.
A
EF
P
Q
GH
B
D C
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 199: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/199.jpg)
3
d. Luas dan Volume1. L AB t= ( )( )1
2 L AB AC= ( )( )1
2sinα
A B
t
α
C
2. Perbandingan Luas dan Volume
LL
ab
PQR
PST
=2
2
L
b ab
LQRST PST=−2 2
2
S
R Q
P
ab
T
VV
ab
TABC
TPQR
=3
3
Vb a
bVPQRABC TPQR=
−3 3
3
B
C A
T
a
b
P
Q
R
3. VSilinder = Lalas × T VKerucut =
13
Lalas × T
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 200: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/200.jpg)
4
CONTOH SOAL
1. Soal Simak UI 2013 Pada kubus ABCD.EFGH titik P terletak pada segmen BG sehingga 2 × PG = BP. Titik Q
adalah titik potong garis HP dan bidan Gabcd. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah … cm2.A. 3 2 D. 27 2 B. 9 2 E. 36 2 C. 18 2
PEMBAHASAN:
E
A B
C
P
Q
F
GH
D
6 2
6
• BP = 23
BG
= 23
6 2× = 4 2 • Perhatikan ∆HAQ!
A B
Q
P
H
6 2 9 2
• Berlaku:
BQ
BQ + 6 =
4 2
6 2
3BQ = 2BQ + 12 BQ = 12
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 201: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/201.jpg)
5
• Maka luas APQ
LAPQ = 12
AQ BP×
= 12
18 4 2×
= 36 2 Jawaban: E
2. Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG
sehingga PG = FP. Jika α adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka luas bidang α adalah … cm2.
A. 32
6 D. 52
B. 2 6 E. 92
C. 3 3
PEMBAHASAN:
CR AC= =12
2
FG EG= =
14
12
2
Perhatikan ∆SCR! Berlaku:
x
x +2 =
12
2
2
A B2
CD
R
QH
E P
GF
x
x +2 =
12
12
2
F G
2
X
S
CR 12
2
2x = x + 2 x = 2Panjang RS:
RS CR CS= +2 2
RS = ( ) + =2 4 3 2
22
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 202: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/202.jpg)
6
Luas BDS: LBDS =
12
BD RS× α( )
12
2
= 12
2 2 3 2 = 6 cm2×
Luas BDQP (α), rasio 12
2
L cmBDQP = × =
34
692
2
Jawaban: E
3. Soal Simak UI 2010 Pada kubus ABCD.EFGH, titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga HK : KG = 1 :
2. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C, dan K adalah …
A. a2
922 D.
43
222a
B. 49
222a E. a2
322
C. 29
222a
PEMBAHASAN:
A a
P
L
EF
GH K
B
C
M
D
• HK HG=
13
• HK a=13
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 203: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/203.jpg)
7
Perhatikan persegi EFGH! • HM = HL sin 45o
HM = a3
12
2
HM = a6
2
K GN
L M
E F
Perhatikan ∆PDL!
xx a+
=13
3x = x + a 2x = a → x
a=
2
MH
a
XP
D 12
2a
16
2a
Maka PD = 32
a
Panjang LP PD DL= +2
LP a a=
+
32
12
22 2
LP a a= +94
24
2 2
LP a=12
11
Luas ∆ACP: L AC LPACP = × ×
12
L a aACP = × ×12
212
11
L aACP =
14
222
Luas ACKL, Rasio
13
2
L LACKL ACP=
89
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 204: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/204.jpg)
8
L aACKL = ×89
14
222
L aACKL =29
222
Jawaban: C
4. Soal UMB 2012 Sebuah silinder terletak di dalam kerucut sehingga bidang alasnya berimpit dengan
bidang alas kerucut dan lingkaran atasnya terletak pada selimut kerucut. Jika tinggi silinder adalah sepertiga tinggi kerucut, maka perbandingan volume silinder terhadap volume kerucut adalah ….A. 1 : 3 D. 5 : 9B. 4 : 9 E. 5 : 8C. 1 : 2
PEMBAHASAN:
t t
tt2 1
2
1
13
13
= → =
QR PR=
13
Maka, PQ PR=23R
Q
P
T t1
r1
r2
S
Dengan prinsip kesebangunan QT RS=23
r rrr2 12
1
23
23
= → =
Maka, VV
Silinder
Kerucut
= π
π
r t
r t
22
2
12
1
13
= 3 2 2 2
1 1 1
r r tr r t
= 3 2 2 13 3 3
49
. . .. .
=Jawaban: B
5. Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG = 2FP. Jika α
adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka bidang tersebut membagi volume kubus dalam perbandingan ....
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 205: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/205.jpg)
9
A. 18 : 36 D. 20 : 36B. 19 : 35 E. 20 : 45C. 19 : 38
PEMBAHASAN:
E
H QG
(1)
(2)
(3)
P
C
BA
D
• Misal Panjang AB = 6 cm
• GP = 23
FG = 4 cm
• Rasio = r = 46
=23
• CR = 3 × CG = 3 × 6 = 18
Volume CBDGPQ (V1) • V total Kubus = V = 216 V1 = 1
827
−
VRCBD Maka, Volume Bagian Kedua adalah:
= 1927
.13
.12
6 . 6 . 18 V2 = 216 – 76 = 140
V1 = 76 • Maka, VV
1
2
1935
=
Jawaban: B
6. Soal SNMPTN 2010 Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P dan BC dengan |PC| = t dm. Titik Q adalah
proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Luas segitiga AQR adalah … dm3.
A. 1
2 12t + D. t2 1
2−
B. 1
12t + E. 1 + t2
C. 2 12t +
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 206: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/206.jpg)
10
PEMBAHASAN:
A
E
H R G
F
D Q
B
Pt dm
C
A B
P
t
CSD
Q
S
• PD = 1 2+ t • Perhatikan ∆ APD S × S = PD × AQ
AQ
t=
+
1
1 2
• Luas AQR = 12
AQ QR
= 12
1
11
2+ t.
= 1
2 1 2+ t
Jawaban: A
7. Soal SNMPTN 2010 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan, kemudian P, Q, dan R berturut-turut
adalah titik tengah AB, BF, dan FG. Luas perpotongan bidang PQR dengan kubus tersebut adalah … satuan
A. 3 D. 6 3
B. 3 2 E. 8 3
C. 3 3
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 207: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/207.jpg)
11
PEMBAHASAN:
A B
CD
Q
R
GH
FE
Bangun yang terbentuk adalah segi enam beraturan dengan panjang sisi 2 .Maka luas segi enam tersebut adalah:
L cm= 654
32
2.
=
32
. 2 3 cm2
= 3 3 cm2
Jawaban: C
8. Soal UMB 2009 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P di tengah-tengah AE, titik
Q di tengah-tengah BF, titik R pada FG dan titik S pada EH sedemikian sehingga bidang PQRS membentuk sudut 30o dengan bidang ABCD. Bidang PQRS mengiris kubus menjadi 2 bagian. Perbandingan volume bagian yang kecil dan yang besar adalah ….
A. 3 + 8 361
D. -3 + 8 367
B. -3 + 8 361
E. 3 + 8 363
C. 3 + 8 367
PEMBAHASAN:
A 2 B
CQ
FE
S
H G
R
B
30o
60o
1
C
GRF
Volume Prisma FQR.EPS Panjang FR = FQ tan 60o
V1 = Luas FQR × Tinggi PR = 3 =
12
1 3 2 = 3( )( )×
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 208: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/208.jpg)
12
Maka Volume Bagian 2 (V2 ) V2 = V kubus – V1 = 8 – 3
Maka, VV
1
2
3
8 3
8 3
8 3=
−×
++
=
3 + 8 363
Jawaban: E
9. Soal UMB 2008 Tinggi sebuah limas tegak adalah 5 cm dan alasnya suatu segi empat ABCD dengan semua
titik sudutnya terletak pada busur lingkaran, titik B dan D masing-masing berjarak 10 cm dan 6 cm dari A dan keduanya tidak terletak pada busur yang sama, maka volume limas sama dengan …A. 39 cm3 D. 65 cm3
B. 50 cm3 E. 75 cm3
C. 60 cm3
PEMBAHASAN:
D
6 10
A
B
C
10
CD = 8 cm (Pythagoras)
LACD = 12
. 6 . 8
= 24BC = 3 10 (Pythagoras)
LACD = 12
. 10 . 3 10 = 15
LABCD = LADC + LABC
= 39
VLimas = 13
LABCD × TLimas
= 13
. 39 ×5 = 65 cm3
Jawaban: D
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 209: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/209.jpg)
13
10. Soal SNMPTN 2008 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang tiap rusuk 2 3 . Jika titik P terletak pada
EF dan titik Q terletak pada GH sehingga bidang APQD membentuk sudut 60o dengan bidang ABCD, maka bidang APQD mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih kecil adalah ….A. 8 cm3 D. 11 cm3
B. 9 cm3 E. 12 cm3
C. 10 cm3
PEMBAHASAN:
B 2 3 A
C
60o
D
P EF
G Q H
Perhatikan AEP P E
A
30o
60o
2 3
tan 300 = PEEA
PE = tan 300 EA = ⋅ =2 3
13
3 2
Volume bagian kecil adalah volume prisma dengan alas AEP dan tinggi EHV = (LAEP) × (EH)
= (12
. 2 . 2 3 ) × (2 3 ) = 12 cm3
Jawaban: E
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 210: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/210.jpg)
14
LATIHAN SOAL
1. Soal SINPENMARU Tahun 1988
A B
C
Q
P
E F
GH
D
ABCD.EFGH adalah sebuah kubus dengan panjang rusuk a cm. Jika P dan Q masing-masing adalah titik pada perpanjangan FB dan FG, perbandingan isi bidang empat P.EFQ dan isi kubus ABCD.EFGH adalah ....A. 1 : 1 D. 2 : 3B. 1 : 2 E. 3 : 4C. 1 : 3
2. Soal UMPTN Tahun 2000 Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah
diagonal ruang BH. Perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD. EFGH adalah ….A. 1 : 4 D. 1 : 12B. 1 : 6 E. 1 : 24C. 1 : 8
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 211: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/211.jpg)
15
3. Soal UMPTN Tahun 2000
A C
B
D F
E
Perhatikan gambar prisma tegak di ABC DEF di atas. Jika volume limas F ABC sama dengan 12 cm3 dan tinggi prisma 4 cm, luas alas prisma tersebut adalah ….A. 3 cm3 D. 1 : 12B. 4 cm3 E. 1 : 24 C. 6 cm3
4. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dan CG, dibuatlah bidang datar. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan ....
A. 32
2a D. 2a2
B. a2 6 E. 12
62a
C. 13
62a
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang masing-masing rusuk 4. Jika I di tengah-tengah AB dan J di tengah-tengah FG, luas segitiga ICJ sama dengan ....
A. 5 21 D. 2 21B. 4 21 E. 21C. 3 21
WWW.E-SBMPTN.COM
![Page 212: VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) Jawaban: 39 2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax](https://reader038.vdokumen.com/reader038/viewer/2022102401/5a8af8477f8b9a4a268c2f59/html5/thumbnails/212.jpg)
16
WWW.E-SBMPTN.COM