Download - Vektor III
Vektor IIIVektor III
Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Erna Sri Hartatik
PembahasanPembahasan
Perkalian Cross (Cross Product)Perkalian Cross (Cross Product)- Model Model cross productcross product- Sifat Sifat cross productcross product
PendahuluanPendahuluan
Selain dot product ada fungsi perkalian product lain Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor , dan scalar triple product untuk suatu vektor , dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalarscalar
Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhanberbeda-beda, tergantung kebutuhan
Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensivektor 2 dimensi maupun 3 dimensi
Perkalian CrossPerkalian Cross
((CROSS PRODUCTCROSS PRODUCT))
Pengertian : ……Pengertian : ……
Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektorlurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor
Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.
KegunaanKegunaan
Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari persamaan lagrange.
Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan perkalian silang antara dua vektor.
Visualisasi Cross ProductVisualisasi Cross Productb. Perkalian Silang (Cross Product)
θ
A
B
C = A x B
θB
A
C = B x ACatatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
Hasilnya vektor
Sifat – sifat Cross ProductSifat – sifat Cross Product
Rumus UmumRumus Umum
v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α
v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol
Rumus KomponenRumus KomponenJika diketahui 2 buah vektor :Jika diketahui 2 buah vektor :aa = [a1,a2,a3] dan = [a1,a2,a3] dan b b = [b1,b2,b3], = [b1,b2,b3], maka persilangan antar keduanya maka persilangan antar keduanya v v = = a a x x b, b, menghasilkanmenghasilkanv v = [v1,v2,v3] dimana:= [v1,v2,v3] dimana:
vv x x w w = =
Shg:Shg:v1=a2.b3 - a3.b2v1=a2.b3 - a3.b2v2=a3.b1 – a1.b3v2=a3.b1 – a1.b3 v3 = a1b2 – a2.b1v3 = a1b2 – a2.b1
21
21
31
31
32
32 ,,bb
aa
bb
aa
bb
aa
Vektor i,j,k disebut vektor satuan standarVektor i,j,k disebut vektor satuan standar
Misal v sebarang vektor di RMisal v sebarang vektor di R33 berarti berarti
v=(vv=(v11,v,v22,v,v33))
v=vv=v11(1,0,0)+v(1,0,0)+v22(0,1,0)+v(0,1,0)+v33(0,0,1)(0,0,1)
v=vv=v11i + vi + v22j + vj + v33k k uxv = uxv =
j(0,1,0)
i(1,0,0)
k(0,0,1)
321
321
vvv
uuu
kji
Hubungan Perkalian Titik dengan Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian SilangPerkalian Silang
Jika u,v,w vektor di RJika u,v,w vektor di R33 berlaku berlaku u.(vxw) = 0 jika uu.(vxw) = 0 jika u(uxv)(uxv) v.(uxv) = 0 jika vv.(uxv) = 0 jika v(uxv)(uxv) ||uxv||||uxv||22 = ||u|| = ||u||22||v||||v||22 – (u.v) – (u.v)22
ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).wux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w (uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u(uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u
Contoh soalContoh soal
Diketahui Diketahui uu = (1, 2, -2) dan = (1, 2, -2) dan vv=(3, 0, 1) dengan =(3, 0, 1) dengan menggunakan koordinat tangan kanan, menggunakan koordinat tangan kanan,
hitunglah v = u x v !hitunglah v = u x v !
103
221
03
21,
13
21,
10
22
6,7,2 =
Jawab:
u x v =
ParallelogramParallelogram Jika u dan v vektor dengan titik asal sama Jika u dan v vektor dengan titik asal sama
maka ||uxv|| merupakan luas daerah maka ||uxv|| merupakan luas daerah parallelogram yang ditentukan oleh uxv.parallelogram yang ditentukan oleh uxv.
Luas jajaran genjang PQRSLuas jajaran genjang PQRS= alasxtinggi = ||u|| ||v|| sin= alasxtinggi = ||u|| ||v|| sinθθ = ||uxv|| = ||uxv||
Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½ ||uxv||genjang = ½ ||uxv||
θu ||u||
v ||v|| ||v||sinθ
P Q
RS
parallelogram
Harga mutlak dari determinanHarga mutlak dari determinan adalah adalah
sama dengan luas parallelogram di Rsama dengan luas parallelogram di R22 yang ditentukan oleh vektor u=(u yang ditentukan oleh vektor u=(u11uu22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) ) Harga mutlak dari determinanHarga mutlak dari determinan
adalah sama dengan volume parallelogram di Radalah sama dengan volume parallelogram di R33 yang ditentukan oleh vektor u=(u yang ditentukan oleh vektor u=(u11,u,u22,u,u33), v=(v), v=(v11,v,v22), dan w=(w), dan w=(w11,w,w22,w,w33))
21
21
vv
uu
321
321
321
www
vvv
uuu
Contoh soal 2:Contoh soal 2:
Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut.
Jawab :
Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.
Vektor OrtogonalVektor Ortogonal
Misal u,v vektor di RMisal u,v vektor di R22/R/R33/R/Rnn, maka u , maka u dikatakan tegak lurus v atau u disebut dikatakan tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika u.v=0vektor ortogonal, jika u.v=0
Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal Diberikan vektor aDiberikan vektor a0 dan vektor u0 dan vektor u00
ww11+w+w22 = u = u
ww11 = u-w = u-w22
Vektor wVektor w11 disebut proyeksi ortogonal vektor disebut proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a (wu pada vektor a (w11=Proj=Projaau)u)
Vektor wVektor w22 disebut komponen vektor u yang disebut komponen vektor u yang tegak lurus vektor a (wtegak lurus vektor a (w22=u-Proj=u-Projaau)u)
u
w2
w1 a
Jika a vektor di RJika a vektor di R22/R/R33 dan a dan a0 maka0 maka
ww11 = Proj = Projaau = u =
ww22 = u-Proj = u-Projaau =u =
aa
au.
.2
aa
auu .
.2
Ex: Ex:
u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2)u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2)
Tentukan ProjTentukan Projaau dan ||Proju dan ||Projaau|| !u|| !
Penyelesaian:Penyelesaian:
u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15
||a||||a||22 = 16+1+4 = 21 = 16+1+4 = 21
ww11 = Proj = Projaau = 15/21.(4,-1,2)u = 15/21.(4,-1,2)
= =
||w||w11|| = || =
7
10,
7
5,
7
20
21
30,
21
15,
21
60
2175
7
35775
49525
49100
4925
49400
SCALAR TRIPLESCALAR TRIPLEPRODUCTPRODUCT
Scalar Triple ProductScalar Triple Product
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
21
213
13
132
32
321
332211
321
321321321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
Sifat Hasil Kali Triple ScalarSifat Hasil Kali Triple Scalar
Latihan (1)Latihan (1)
1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) :a. a x (b - 2 c) c. a x b x cb. a·b x c
2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bilaa. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .
3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )
SummarySummary
Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanantangan kanan
Selamat MengerjakanSelamat Mengerjakan