Download - The Truth of Everything.pdf
Schrӧdinger Equation
& The Truth of Everyting
Buku kecil ini dibuat untuk menambah pemahaman kita
akan kebenaran semua hal yang sering kali mendelusi
kita. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca untuk
mengurangi, bahkan melenyapkan ego juga mengikis
delusi AKU dan DIRI.
Sch ӧdinge E uation
Sebelum kita mulai mencoba memahami persamaan Schrӧdinger ini, marilah kita
sedikit merenung kutipan berikut ini :
Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Karena jika, para
bhikkhu, bentuk adalah diri, maka bentuk tidak akan menyebabkan
penderitaan, dan adalah mungkin untuk mengatakan sehubungan
dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah bentukku tidak
seperti ini. Tetapi karena bentuk adalah bukan-diri, maka bentuk
menyebabkan penderitaan, dan adalah tidak mungkin mengatakan
sehubungan dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah
bentukku tidak seperti ini. Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran.
Samyutta Nikaya, Khanda Vagga, Anattalakkhana Sutta
Di Sāvatthī. Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Penyebab dan
kondisi bagi munculnya bentuk adalah juga bukan diri. Karena bentuk
berasal-mula dari apa yang bukan-diri, bagaimana mungkin ia adalah
diri? Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran. Samyutta Nikaya, Khanda Vagga 2.20
Mari kita coba telisik persamaan Schrӧdinger untuk memahami konsep ketiadadirian
untuk menekan ego, sensasi diri, dan juga akar kebodohan dan ketidaktahuan.
Persamaan Schrӧdinger ini menjelaskan bahwa semua materi itu sungguh tidak
memiliki esensi diri, mereka semua ada sekaligus tidak ada. Ini adalah sifat alami dari
semua bentukan materi maupun batin. Sebelum lebih mendalam, satu hal yang perlu
diingat adalah persamaan ini merepresentasikan, mewakilkan sifat alami semua hal
sehingga butuh pemahaman dan keyakinan untuk memahaminya secara penuh. Bila
Anda masih tidak paham juga, berarti ego Anda terlalu besar untuk yakin bahwa
memang tiada AKU di sini.
Nah, berikut ada hubungan sederhana yang akan beberapa kali digunakan dalam
penuruan persamaan Schrӧdinger ini.
λ = ℎ =
p = ћk
E = hf = h = ћω
Ketika memahami semua materi memiliki sifat ada sekaligus tiada, maka kita dapat
menganggap semua materi sebagai gelombang dengan persamaan dalam ruang dan
waktu Ψ(x,t).
Fungsi gelombang yang ideal memiliki persamaan
Ψ(x,t) = A � �− ,
namun, setiap fenomena hanyalah muncul bila ia bergerak dalam dimensi ruang dan
waktu. Bila ia diam terhadap ruang dan waktu, fenomena itu lenyap. Demikian juga
kesadaran, hanya akan muncul ketika ada pergerakan / perubahan, sehingga kita
hanya dapat mengamati yang fenomena berubah, tanpa ada perubahan terhadap
ruang dan waktu maka kesadaran akan lenyap karena tidak dapat mengenali
apapun. Oleh karena itu marilah kita cek perubahan Ψ(x,t) ini baik terhadap waktu
maupun ruang.
Terhadap waktu Ψ , = -iω A � �− = -iω Ψ(x,t)
Terhadap ruang Ψ ,� = ik A � �− = ik Ψ(x,t)
Untuk memperumum bentuk Ψ(x,t) kita akan membuat beberapa operator.
1. Ψ , = -iω Ψ(x,t) ; E = ћω Ψ , = -i �ћ Ψ(x,t)
E Ψ(x,t) = iћ Ψ , � = iћ adalah operator energi yang dikenal sebagai operator Hamiltonian.
2. Ψ ,� = ik Ψ(x,t) ; p = ћk Ψ ,� = i ћ Ψ(x,t) p Ψ(x,t) = -iћ Ψ ,� = -iћ � adalah operator momentum.
Secara lengkap, energi dari suatu partikel adalah
E = K + V
E = + V
iћ Ψ = −ћ Ψ� + V Ψ adalah persamaan Schrӧdinger lengkap.
Dengan teknik sparasi variabel, Ψ(x,t) = X(x)T(t) akan membentuk persamaan
Schrӧdinger menjadi
Xiћ T = T −ћ X� + V XT
� iћ T = � −ћ X� + V
Misalkan � iћ T = ϵ, maka solusi untuk T adalah T = −�ћ .
Sedangkan persamaan utamanya akan menjadi
Xϵ = −ћ X� + VX, bila kita amati dimensinya � iћ T = ϵ, maka jelas ϵ adalah
energi juga. Oleh karena itu, persamaan Schrӧdinger tidak bergantung waktu adalah
E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)
Sekarang kita dapat melihat bahwa Ψ(x) mengandung energi yang terdiri dari energi
yang membuatnya bergerak terhadap ruang yang bisa saja dipengaruhi potensial
eksternal.
Ketika kita berbicara tentang gelombang, maka tidak ada nilai pasti, yang kita dapat
periksa hanyalah probabilitas. Namun karena probabilitas maksimum benilai 1, maka
perlu menormalisasi fungsi gelombang dengan cara
∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1, kita dapat memisalkan Ψ = A Ψ
A2∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1
A = √∫ Ψ∗Ψ∞−∞ � adalah konstanta normalisasi dari fungsi Ψ.
Nah, sekarang marilah kita lihat bagaimana pengaruh potensial terhadap Ψ.
E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)
−ћ (E – V) Ψ = Ψ � , misalkan k2 = ћ (E – V) sehingga
-k2 Ψ = Ψ �
Persamaan diferensial diatas memiliki solusi
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V
Ψ =
C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E
Penentuan syarat batas untuk mencari koefisien A dan B.
Kasus barier potensial tak hingga.
Dari figur di samping bila Vo menuju tak hingga,
maka
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah x < 0
Ψ =
0 , untuk daerah x 0
Kasus barrier potensial berhingga di sepanjang x positif.
Dari figur di samping bila Vo berhingga, maka
Untuk x < 0 : Ψ = A sinkx + B coskx
Untuk x 0 : pilihlah solusi yang konvergen, yakni Ψ = D − �
Bila kita lihat solusi Ψ, terbayangkan bahwa ketika Ψ menembus potensial di
sepanjang x, Ψ akan terus menerus meluruh secara cepat (eksponensial) bergantung
pada seberapa besar selisih V dengan E. Figur di bawah ini menunjukkan peristiwa
tersebut.
Ψ1 = A � � + B −� � Ψ2 = D − �
Nah, solusi di atas belumlah lengkap karena kita belum memasukkan syarat batas,
berikut adalah cara mencari nilai koefisien A, B dan D.
Ψ1(0) = Ψ2(0)
A + B = D
Fungsi Ψ harus kontinu di 0, berarti
dΨd = dΨd ik(A – B) = -rD
A – B = � D
A = D (1 + � )
B = D (1 - � )
Jadi,
Ψ1 = D (1 + � ) � � + D (1 - � ) −� � Ψ2 = D − �
Nilai D dapat diperoleh dengan cara menormalisasi Ψ,
∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1 ∫ Ψ ∗Ψ−∞ + ∫ Ψ ∗Ψ∞−∞ = 1
Peristiwa refleksi terjadi ketika Ψ menjalar dari potensial rendah menembus potensial
tinggi, koefisien refleksi R = |Ψ ||Ψ �|
Ψpantul = D (1 - � ) −� � yakni Ψ yang menjalar ke arah (–x).
Ψpantul* = D (1 + � ) � � yakni kompleks konjugetnya |Ψ | = Ψpantul* Ψpantul = D2 (1 - � ) (1 + � )
Sedangkan Ψdatang = D (1 + � ) � � sehingga
|Ψ �| = Ψdatang* Ψdatang = D2 (1 + � ) (1 - � )
Jadi, R = |Ψ ||Ψ �| = − � + � + � − � = 1
Kita juga dapat menganalisis dan memperhitungkan seberapa dalam Ψ menembus
barrier tersbut dengan menggunakan prinsip Heinsenberg
∆p ∆x = ћ
Karena proses menembus ini ada di daerah x 0, maka kita gunakan syarat di
daerah tersbut, yakni
r = √ ћ V – E setara dengan k, dan kita sudah mengetahui bahwa
p = ћk
Maka, p = ћ √ ћ V – E adalah momentum awal, dan momentum akhirnya akan = 0,
sehingga ∆p = ћ √ ћ V – E - 0 = ћ √ ћ V – E
Jadi, ∆x = ћ∆p = √ ћ V – adalah kedalaman partikel / gelombang yang menembus
potensial.
Kasus potensial berhingga diskrit dan fenomena refleksi dan fenomena penggalian.
Kita mengamati proses peluruhan eksponensial bila mana energi partikel kurang dari
energi potensial eksternal. Pada kasus sebelumnya kita melihat bahwa partikel /
gelombang akhirnya akan kehabisan energi di suatu titik yang dipengaruhi potensial
dengan ditandai momentumnya = 0, artinya Ψ� = 0, di titik ini juga akan
mengakibatkan Ψ2 = D − � akan = 0 ini membuktikan bahwa memang benar ketika
kita tidak lagi bergerak terhadap ruang dan waktu, maka kita lenyap. Hal inilah
yang disebut dengan Nibbana, namun ego sangat takut dengan hal ini, itulah nafsu
akan eksistensi yang selalu membuat batin dan materi bergerak dengan cara
“menginginkan”, ingin ini dan ingin itu. Itulah sumber problema seluruh kehidupan
dan eksistensi dalam roda kelahiran dan kehidupan. Mereka takut terlenyapkan,
padahal Nibbana, pemadaman, adalah proses penyederhanaan, itulah kebahagiaan
sejati, tiada lagi persamaan Schrӧdinger di sana, karena ΨNibbana = 0, itulah makna
SIMPLY THIS MOMENT.
Mari kita lanjutkan kasus berikutnya sekarang.
Mari kita selesaikan solusi umum persamaan secara cepat.
Ingat kembali bahwa
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V
Ψ =
C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E Untuk :
x 0 : Ψ1 = A � � + B −� � dengan k = √ ћ E – V 0 x a : Ψ2 = C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E x a : Ψ3 = E � � karena dari V tinggi ke V rendah tidak ada refleksi, maka
solusi bagian x negative tereliminasi.
Mari kita cari nilai setiap koefisien dengan menerapkan syarat batas :
1. Ψ1(0) = Ψ2(0)
A + B = C + D
2. dΨd = dΨd � (A – B) = C – D
3. Ψ2(a) = Ψ3(a)
C + D − = E �
4. dΨd � = dΨd �
C - D − = � E �
5. Persamaan 1 - Persamaan 2
D = {( A + B ) - � (A – B) }
6. Persamaan 1 + Persamaan 2
C = {( A + B ) + � (A – B) }
7. Persamaan 3 - Persamaan 4
D = E � {1 - � }
8. Persamaan 3 + Persamaan 4
C = − E � {1 + � }
9. Persamaan 5 = Persamaan 7
{( A + B ) - � (A – B) } = E � {1 - � }
{r( A + B ) - ik(A – B) } = E � {r - ik}
{A(r - ik) + B(r + ik) } = E � {r - ik}
A(r - ik) + B(r + ik) = E � {r - ik}
10. Persamaan 6 = Persamaan 8
{( A + B ) + � (A – B) } = − E � {1 + � }
A(r + ik) + B(r – ik) = − E � {r + ik}
Terakhir,
Tunnelling adalah perbandingan antara Ψ3* Ψ3 terhadap Ψdatang* Ψdatang. Untuk
mencarinya, kita hanya membutuhkan koefisien E dan A saja, jadi, mari kita
usahakan mengeliminasi B.
Persamaan 9 kalikan dengan (r – ik), lalu selisihkan dengan persamaan 10 yang
sudah dikalikan dengan (r + ik), akibatnya akan muncul
A(r - ik)2 - A(r + ik)2 = E � {r - ik}2 - − E � {r + ik}2
- 4Airk = E � { (r – ik)2 - − (r + ik)2}
- 4Airk = E � { (r2 – 2irk - k2) - − (r2 + 2irk – k2)}
- 4Airk = E � {( - − )(r2 - k2) - 2irk( + − )} �� = −� � {( - − )(r2 - k2) - 2irk( + − )} �� = −� � { − − (r2 - k2) - 2irk + −} �� = −� � {sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }
Tunnelling = �∗��∗� Kita hitung dahulu
A∗A∗ = [ − e a{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [ e− a{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }]
A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [sinh ra (r2 - k2)2 + 4r2k2 cosh ra ] A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + cosh ra , kita tahu cosh ra - sinh ra = 1 A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + 1 + sinh ra A∗A∗ = a [(r2 - k2)2 + 4r2k2] + 1 A∗A∗ = sinh ra + + 1 A∗A∗ = sinh ra + +
T = ∗A∗A = a + +
Bila ra >> 1, maka nilai sinh ra = − − ≈
T = ∗A∗A = + + = + +
Tunnelling pada kasus E > V agak sedikit berbeda, mari kita perhatikan bahwa ketika
V > E, maka k = √ ћ E – V dan r = √ ћ V – E , namun bila E > V, maka nilai r
menjadi imajiner, yakni r’ = √ ћ E – V = ir, hal ini mengindikasikan bahwa tidak
terjadi peluruhan eksponensial di derah dengan barrier potensial, namun hanya akan
mengubah bilangan gelombang r untuk fungsi sinusoidal.
Untuk T menjadi
T = ∗A∗A = a + + kita tahu bahwa sinh (ira) = I sin (ra)
T = ∗A∗A = a + +
Kasus Potensial V = kx2
E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)
ћ Ψ � + (E - V) Ψ(x) = 0
ћ Ψ � + (E - ) Ψ(x) = 0, ω = √ , k = �
ћ Ψ � + (E - � ) Ψ(x) = 0 Ψ � + ( �ћ - � ћ ) Ψ(x) = 0
Coba kita sederhanakan dengan memisalkan
x = √ ћ z dan c = �ћω sehingga menjadi
Ψ ћmω � + ( �ћ - � ћmωћ ) Ψ(z) = 0
Ψ � + ( ћω �ћ - � ћmω ћmωћ ) Ψ(z) = 0 Ψ � + ( �ћω - ) Ψ(z) = 0 Ψ � + (c - ) Ψ(z) = 0
Kita misalkan solusinya adalah Ψ(z) = H(z) −�
∂Ψ∂ = −� ∂H∂ - z −� H(z)
Ψ � = −� H � - z −� ∂H∂ - −�
H(z) + z2 −� H z - z −� ∂H∂
Jadi, persamaan utamanya menjadi
−� H � - z −� ∂H∂ - −�
H(z) + z2 −� H z - z −� ∂H∂ + cH(z) −�
– z2H(z) −� = 0 H � - z ∂H∂ - H(z) + z2H z - z ∂H∂ + cH(z) – z2H(z) = 0 H � - 2z ∂H∂ + H(z)(c – 1) = 0 H � - 2z ∂H∂ + 2nH(z) = 0 Persamaan diferensial Hermite orde n dengan
Hn(z) = (-1)n � dd −� , jadi n = (c - 1), c = 2n + 1
Jadi, solusi untuk Ψ(z) adalah
Ψ(z) = H(z) −�
Ψn(z) = Hn(z) −� bila kita normalisasi, maka
Ψn(z) = An Hn(z) −�
∫ Ψ z ∗Ψ z ∞−∞ = An2 ∫ H z ∗H z −� ∞−∞ , gunakan orthogonalitas Hermite
1 = An2 {2n n! √ }
An = √ ! √
Jadi, Ψn(z) = √ ! √ Hn(z) −� dengan c = �ћω E = ћωc = + (ћω) adalah hasil
kuantisasi energi untuk osilator harmonik sederhana.
Pada atom Hidrogen
Sekarang kita akan membuktikan bahwa memang atom pun memiliki sifat sunyata,
yakni ada sekaligus tiada, dan bagaimana paket – paket energi (kuanta) membentuk
suatu probabilitas electron sehingga muncul suatu atom. Kita perlu juga menyadari
bahwa atom – atom-yang ternyata hanyalah sekumpulan energi yang diskontinu
inilah-yang menyusun elemen rupa / tubuh kita. Karena sifat atom itu sunyata,
bukan aku, bukan diri, bukan kepunyaan, hanyalah bentukan yang muncul karena
pergerakan terhadap ruang dan waktu, maka begitu pula dengan tubuh ini, bukan
diri, bukan aku, bukan kepunyaan, tubuh ini hanyalah bentukan, jangan pernah
menyombongkan tubuh ini dan menganggapnya sebagai MILIKKU dan AKU, karena
tubuh ini lebih patuh terhadap hukum alam dari pada perintah Anda. Kelak tubuh ini
akan lenyap, terurai kembali, jadi janganlah melekat pada tubuh dan terdelusi oleh
ilusi ego.
Mari kita analisis terlebih dahulu operator untuk momentum sudut
� = r × = × = r × -iћ � = × -iћ = iћ ( × r) = mћ �Ψ = iћ ( Ψ × r) = mћΨ = LΨ
Misalkan kasus electron yang berputar di bidang xy searah dengan jarum jam, maka
akan muncul L = rp dengan arah . Hal ini mengindikasikan kita dapat
menyederhanakan �Ψ = iћ ( Ψ × r) mejadi �Ψ = iћr Ψ .
Sedangkan ��Ψ = iћr Ψ� = iћ Ψ� = mћΨ
Dengan memanfaatkan persamaan
iћ Ψ� = mћΨ
maka solusinya pastilah Ψ = A −� �, yang ternyata muncul konstanta kuantisasi m.
Momentum sudut total
�2 = L2 �2 = (iћr )2 = - ћ2r2 2 = - ћ2r2 { + � � sin � � + � ∂∂φ } �2 = - ћ2 { + � � sin � � + � ∂∂φ } �2 Ψ = - ћ2 { Ψ + � � sin � � Ψ + � ∂∂φ Ψ}
Dengan sparasi variabel, Ψ(r,θ,φ) = R(r)T(θ)F(φ)
Untuk koordinat bola kita dapat mendefinisikan fungsi spherical harmonic Y(θ,φ) =
T(θ)F(φ), mari kita analisis fungsi ini terlebih dahulu karena momentum sudut akan
sangat dipengaruhi fungsi ini.
�2 Y = - ћ2 { � + � � sin � � Y + � ∂∂φ Y} = L2Y
- ћ2 { � � sin � � Y + � ∂∂φ Y} = L2Y
- ћ2 � � sin � � � θ F φ - ћ2 � ∂∂φ � θ F φ = L2 T(θ)F(φ)
- T θ ћ2 � � sin � � � θ - ћ2 φ � ∂∂φ F φ = L2
Kita akan benar – benar memisahkan variabel � dan φ jadi, marilah kita kalikan
kedua ruas dengan sin � .
- T θ ћ2 sin � � sin � � θ - ћ2 φ ∂∂φ F φ = L2sin �
Kita pisahkan � di salah satu ruas sehingga menjadi
- ћ2 φ ∂∂φ F φ = L2sin � + T θ ћ2 sin � � sin � � θ
- φ ∂∂φ F φ = ћ L2sin � + T θ sin � � sin � � θ
Kita misalkan - φ ∂∂φ F φ = ml2 sehingga membentuk
∂∂φ F φ = - ml2F φ F φ adalah fungsi harmonik, dengan ml disebut
bilangan kuantum magnetik.
F φ = A φ + B − φ, kita normalisasi menjadi
∫ F φ ∗F φ φ = ∫ A φ + B − φ A − φ + B φ φ = ∫ A + B φ
= 2 C2 = 1 C = √ F φ = √ φ.
Selanjutnya marilah kita tinjau persamaan utamanya yang menjadi
L2sin � + T θ sin � � sin � � θ = ml2
Kalikan kedua ruas dengan T θ � sehingga menjadi
T θћ L2 + � � sin � � θ = T θ � ml2
� � sin � � θ + � θ {ћ − � } = 0
Persamaan ini akan menjadi persamaan Legendre Terasosiasi apabila ћ = l(l+1).
Akibatnya |L| = ћ√ + adalah momentum sudut yang terkuantisasi dengan l
disebut bilangan kuantum azimuthal. Nah, syarat umum persamaan Legendre
Terasosiasi adalah | ml | l, hal ini menjadi syarat kuantisasi kembali untuk ml yakni
selalu bernilai bilangan bulat –l, …, 0, …, l.
Visualisasi untuk ml = 1
Teori Bohr cocok untuk Lz yakni hasil proyeksi L
terhadap sumbu z : Lz = |L| cosθ = ml ћ. Sedangkan |L|
akan konstan |L| = ћ√ + .
Marilah kita melihat solusi untuk variabel θ, yakni : (x = cos θ)
T(x) = � (x)
T(x) = ! − � + −
Kita normalisasi fungsi T(x) ini dengan bantuan sifat orthogonalitasnya
∫ � x ∗� x − x = A2 + + !− ! = 1
A = √ + − !+ ! T(θ) = √ + − !+ ! � (cosθ)
Kita kembali ke solusi awal Y(θ,φ) = T(θ)F(φ) hasil normalisasi
θ
Y(θ,φ) = √ + − !+ !� (cosθ) √ φ = √ + − !+ !� (cosθ) φ = �
Hal ini sangatlah menarik karena Y(θ,φ) akan membentu berbagai bentuk orbital
yang unik. Mari kita lihat.
Nama Orbital l m �
s l = 0 m = 0 Y00 = √
px l = 1 m = -1 Y1-1 = √ �− (cosθ) − φ sinθ cosφ
Py m = 0 Y10 = √ � (cosθ) sinθ sinφ
pz m = 1 Y11 =√8 � (cosθ) φ cosθ dxy l = 2 m = -2 Y2-2 = √ �− (cosθ) − φ sin2θ cosφ sinφ
dxz m = -1 Y2-1 = √ �− (cosθ) − φ sinθ cosφ cosθ dyz m = 0 Y2-0 = √ � (cosθ) sinθ sinθ sinφ cosθ dx2-y2 m = 1 Y21 = √ � (cosθ) φ sin2θ (cos2φ – sin2φ
dz2 m = 2 Y22 = √8 � (cosθ) φ cos2θ Nah, untuk mengetahui bentuk orbital (Ψ) yang sesungguhnya, kita harus juga tahu
fungsi dengan variabel r karena kita menggunakan koordinat bola dan Ψ =
R(r)T(θ)F(φ).
Ketika suatu electron atau lebih mengelilingi inti, maka sesungguhnya akibat ada
gaya interaksi electron-inti, inti akan ikut bergerak. Jadi, kita perlu membuat
koordinat baru, yaknikoordinat pusat massa. Inti dan electron akan berotasi
terhadap titik asal tersebut.
� = + dengan � = X + Y + Z = -
Bila pengamat berada di proton, maka menurutnya, electron bergerak terhadap
pusat massa dan pusat massa bergerak terhadap proton.
∂∂�p = ∂X∂�p ∂∂X + ∂�∂�p ∂∂� ∂∂�p = ∂∂X - ∂∂� ∂∂�p = ∂∂�p ∂∂�p = ∂∂�p ∂∂X - ∂∂� = ∂∂�p ∂∂X - ∂∂�p ∂∂� = ∂∂X - ∂∂� ∂∂X - ∂∂X - ∂∂� ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� - ∂∂� ∂∂X
dan
∂∂�e = ∂X∂�e ∂∂X + ∂�∂�e ∂∂� ∂∂�e = ∂∂X + ∂∂� ∂∂�e = ∂∂�e ∂∂�e = ∂∂�e ∂∂X + ∂∂� = ∂∂�e ∂∂X + ∂∂�e ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� ∂∂X + ∂∂X + ∂∂� ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� + ∂∂� ∂∂X
∙ ∙ ∙ x
y
z
�� �� R X
Y
Z
Jadi, total perubahannya adalah
∂∂�p + ∂∂�e = ∂∂X + ∂∂� - ∂∂� ∂∂X + ∂∂X + ∂∂� + ∂∂� ∂∂X
∂∂�p + ∂∂�e = + ∂∂X + ( + ) ∂∂� = ∂∂X + ( + ) ∂∂� = ∂∂X + � ∂∂�
Atau secara umum untuk 3 D
+ = � + �
Jadi kita mendefinisikan � = + disebut massa tereduksi. Namun kita belum
mengetahui apa fungsinya. Nah, mari kita lihat fungsi dari massa tereduksi ini.
Marilah kita ingat kembali persamaan Schrӧdinger untuk 3D.
E Ψ = −ћ Ψ + V Ψ, karena ada elektron dan proton, persamaan ini menjadi
E Ψ = −ћ ( + ) Ψ + V Ψ
E Ψ = −ћ � + � Ψ + V Ψ
E Ψ = −ћ �Ψ − ћ� Ψ + V Ψ
, ternyata sekarang persaamaan ini menjadi sangat lengkap, suku pertama dari
energi kinetik merepresentasikan energi kinetik keseluruhan atom sedangkan suku
kedua merepresentasikan energi kinetik terhadap pusat massa. Nah, sekarang bila Ψ
hanya bergantung pada r dan tidak bergantung pada R, maka suku pertama dari
energi kinetik akan lenyap. Persamaannya menjadi
E Ψ = − ћ� Ψ + V Ψ, persamaan ini berlaku untuk setiap kasus atom dengan
massa inti berhingga. Namun untuk menyederhanakan penulisan, biarlah � = m.
Sekarang, matrilah kita memecahkan solusi untuk R(r).
E Ψ = − ћ Ψ + V Ψ, dengan Ψ = R(r)T(θ)F(φ) = R(r)Y(θ,φ).
Karena electron berada dalam potensial Coloumb, maka V = - � .
E Ψ = − ћ Ψ - � Ψ
Ψ + ћ (E + � Ψ = 0
= + � � sin � � + � �
Pada sebelumnya kita sudah menurunkan operator momentum sudut total untuk
fungsi spherical harmonic yakni
�2 = - ћ2 { � � sin � � + � ∂∂φ }
Bila kita substitusi ke dalam laplacian akan menjadi
= + − ћ
Persamaan utama akan menjadi
Ψ + ћ (E + � - ) Ψ = 0
RY + ћ (E + � - ) RY = 0
Y R + ћ (E + � - ) RY = 0, L2 = ћ2 l(l+1)
R + ћ (E + � - ћ + ) R = 0
R + � + ћ (E + � - ћ + ) R = 0
Terlihat jelas bahwa Vefektif = - � + ћ + yakni potensial radial dan potensial
angular yang berhubungan dengan bilangan quantum azimuthal (l). Sekarang mari
kita sederhanakan persamaan di atas agar dapat diketahui jenis persamaan
diferensial apakah itu.
Misalkan
= r =
= − 8 � � E = − 8 �
a = �ћ = 5,3 × 10-11 adalah jari – jari Bohr.
Misalkan solusi persamaan diferensial di atas adalah R( ) = s L( ) −�, L( ) adalah
polinom Laguerre.
R + � + ћ (E + � - ћ + ) R = 0 akan menjadi
Rρ + � + ћ (E + � ρ - ћ + ρ ) R = 0
Rρ + � + ћ ( E + �ρ - ћ +ρ ) R = 0
Rρ + � + ћ ( −8 � + �ρ - ћ +ρ ) R = 0
Rρ + � + ћ (- 8 � + �ρ - ћ +ρ ) R = 0
Rρ + � + (− ћ 8 � + ћ �ћ �ρ - +ρ ) R = 0
Rρ + � + (-ћ �ћ � + ћ �ћ �ρ - +ρ ) R = 0
Rρ + � + (− + ρ - +ρ ) R = 0
R( ) = s L( ) −� � = L −�
= − L −� + ρ −�
− L −� � = s − L −�
+ − ρ −� − − L −�
� = − − � −� + − −� – − � −�
+ − −� + ρ −�
− ρ −� – − L −�
– −� + L −�
= −�{L ( − − – − – − + ) + ρ − + − − – + ρ }
Persamaan utama menjadi
−�{L ( − − – − + ) + ρ − − + ρ } + −� − L + s − ρ − − L + (− + ρ - +ρ ) s L( ) −� = 0
L ( − − – − + ) + ρ − − + ρ + − L + s − ρ − − L + (− s + ρ - +ρ ) L( ) = 0
L − − – − + + s − − − − + ρ − +ρ + ρ − −+ − + ρ = 0 bagi dengan
L ( − − – − + + s − − − − + − − + − ) + ρ − − + − + ρ = 0 kalikan dengan
L ( − − – + + s − − − + − + − ) + ρ − + + ρ
= 0
L ( − − + − – + s − − + ) + ρ − + + ρ = 0 L ( + − + − + (– − + ) ) + ρ − + + ρ = 0
Agar mudah, pilihlah l = s sehingga
ρ + ρ + − + L − − = 0 atau
ρ + ρ + − + L − − = 0
Kita tahu bahwa persamaan diferensial berikut
� + � + − + = 0 adalah persamaan diferensial dengan solusi
polinom Laguerre Terasosiasi dengan solusi
y = � (x) = ��−! dd + −�
Kita juga dapat mencari hubungan p, q dengan s dan n.
n – l – 1 = q
2(s + 1) = p + 1 p = 2l + 1
Jadi, solusi R( ) = l � −� = l � − −+ −�
Syarat umum polinom ini adalah q dan p 0, sehingga mensyaratkan n l+1, ini
kembali mengkuantisasi bilangan n, yakni selalu mulai dari 1.
Mengingat sifat orthogonalitas polinom Laguerre
∫ (� )∞ −� = + !!
Dengan menggunakan hubungan rekursif
(q+1) � + = (2q + p + 1) � - x� – (p + q) � −
x� = (2q + p + 1) � – (p + q) � − - (q+1) � +
∫ � �∞ + −� = ∫ � �∞ −�
= ∫ q + p + � – p + q � − − q + � + �∞ −�
= ∫ q + p + � � – p + q � − � − q + � + �∞ −�
= q + p + ∫ (� � )∞ −� = + + + !!
Karena p + 1 = 2l + 2 dan q = n – l – 1
∫ � �∞ + −� = ∫ (� − −+ )∞ + −� = ( ( – – ) + + + ) + + − − !− − !
= + !− − !
Bila kita normalisasi solusi radial R, maka
∫ �∗�∞ r r = 1
� ∫ � − −+ −∞ r r = 1
� ∫ � − −+ −∞ = 1
� + !− − ! = 1
A = √ − − !+ !
Jadi, R( ) = √ − − !+ ! l � − −+ −� dengan =
Rnl(r) = √ − − !+ ! � − −+ −Z
Demikianlah sehingga lengkap sudah solusi
Ψ = R(r)T(θ)F(φ = � �
= √ − − !+ ! � − −+ −Z √ + − !+ !� (cosθ) φ
= √ + − !+ ! − − !+ !� (cosθ) � − −+ φ−Z
Solusi ini dapat divisualisasikan dengan cara mencari nilai probabilitas radial, yakni
P® = r2|Ψ|2 dan berikut adalah hasil visualisasi untuk orbital s, p, d dengan n
minimum.
Jadi, setelah mengetahui dan memahami bahwa memang keanattaan, kesunyataan,
ketiadadiri-dan-akuan dari semua hal-yang dinyatakan langsung oleh Buddha
Gotama- kini sudah dibuktikan oleh fisika modern, semoga hal ini dapat membuat
kita lebih bersemangat dan lebih cepat menuju Nibbana.
Sabbe sankhara anicca
Sabbe sankhara dukkha
Sabbe dhamma anatta’ti Sabbe satta bhavantu sukkhitata
Yamkinci samudayadhammam
Sabbantam nirodhadhammanti.
Karena semua hal terbentuk dari berbagai kondisi dari kekosongan,
maka suatu saat pasti mereka akan terurai kembali.
RELAX … everything is out of control …