Schrӧdinger Equation

& The Truth of Everyting

Buku kecil ini dibuat untuk menambah pemahaman kita

akan kebenaran semua hal yang sering kali mendelusi

kita. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca untuk

mengurangi, bahkan melenyapkan ego juga mengikis

delusi AKU dan DIRI.

Sch ӧdinge E uation

Sebelum kita mulai mencoba memahami persamaan Schrӧdinger ini, marilah kita

sedikit merenung kutipan berikut ini :

Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Karena jika, para

bhikkhu, bentuk adalah diri, maka bentuk tidak akan menyebabkan

penderitaan, dan adalah mungkin untuk mengatakan sehubungan

dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah bentukku tidak

seperti ini. Tetapi karena bentuk adalah bukan-diri, maka bentuk

menyebabkan penderitaan, dan adalah tidak mungkin mengatakan

sehubungan dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah

bentukku tidak seperti ini. Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran.

Samyutta Nikaya, Khanda Vagga, Anattalakkhana Sutta

Di Sāvatthī. Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Penyebab dan

kondisi bagi munculnya bentuk adalah juga bukan diri. Karena bentuk

berasal-mula dari apa yang bukan-diri, bagaimana mungkin ia adalah

diri? Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran. Samyutta Nikaya, Khanda Vagga 2.20

Mari kita coba telisik persamaan Schrӧdinger untuk memahami konsep ketiadadirian

untuk menekan ego, sensasi diri, dan juga akar kebodohan dan ketidaktahuan.

Persamaan Schrӧdinger ini menjelaskan bahwa semua materi itu sungguh tidak

memiliki esensi diri, mereka semua ada sekaligus tidak ada. Ini adalah sifat alami dari

semua bentukan materi maupun batin. Sebelum lebih mendalam, satu hal yang perlu

diingat adalah persamaan ini merepresentasikan, mewakilkan sifat alami semua hal

sehingga butuh pemahaman dan keyakinan untuk memahaminya secara penuh. Bila

Anda masih tidak paham juga, berarti ego Anda terlalu besar untuk yakin bahwa

memang tiada AKU di sini.

Nah, berikut ada hubungan sederhana yang akan beberapa kali digunakan dalam

penuruan persamaan Schrӧdinger ini.

λ = ℎ =

p = ћk

E = hf = h = ћω

Ketika memahami semua materi memiliki sifat ada sekaligus tiada, maka kita dapat

menganggap semua materi sebagai gelombang dengan persamaan dalam ruang dan

waktu Ψ(x,t).

Fungsi gelombang yang ideal memiliki persamaan

Ψ(x,t) = A � �− ,

namun, setiap fenomena hanyalah muncul bila ia bergerak dalam dimensi ruang dan

waktu. Bila ia diam terhadap ruang dan waktu, fenomena itu lenyap. Demikian juga

kesadaran, hanya akan muncul ketika ada pergerakan / perubahan, sehingga kita

hanya dapat mengamati yang fenomena berubah, tanpa ada perubahan terhadap

ruang dan waktu maka kesadaran akan lenyap karena tidak dapat mengenali

apapun. Oleh karena itu marilah kita cek perubahan Ψ(x,t) ini baik terhadap waktu

maupun ruang.

Terhadap waktu Ψ , = -iω A � �− = -iω Ψ(x,t)

Terhadap ruang Ψ ,� = ik A � �− = ik Ψ(x,t)

Untuk memperumum bentuk Ψ(x,t) kita akan membuat beberapa operator.

1. Ψ , = -iω Ψ(x,t) ; E = ћω Ψ , = -i �ћ Ψ(x,t)

E Ψ(x,t) = iћ Ψ , � = iћ adalah operator energi yang dikenal sebagai operator Hamiltonian.

2. Ψ ,� = ik Ψ(x,t) ; p = ћk Ψ ,� = i ћ Ψ(x,t) p Ψ(x,t) = -iћ Ψ ,� = -iћ � adalah operator momentum.

Secara lengkap, energi dari suatu partikel adalah

E = K + V

E = + V

iћ Ψ = −ћ Ψ� + V Ψ adalah persamaan Schrӧdinger lengkap.

Dengan teknik sparasi variabel, Ψ(x,t) = X(x)T(t) akan membentuk persamaan

Schrӧdinger menjadi

Xiћ T = T −ћ X� + V XT

� iћ T = � −ћ X� + V

Misalkan � iћ T = ϵ, maka solusi untuk T adalah T = −�ћ .

Sedangkan persamaan utamanya akan menjadi

Xϵ = −ћ X� + VX, bila kita amati dimensinya � iћ T = ϵ, maka jelas ϵ adalah

energi juga. Oleh karena itu, persamaan Schrӧdinger tidak bergantung waktu adalah

E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)

Sekarang kita dapat melihat bahwa Ψ(x) mengandung energi yang terdiri dari energi

yang membuatnya bergerak terhadap ruang yang bisa saja dipengaruhi potensial

eksternal.

Ketika kita berbicara tentang gelombang, maka tidak ada nilai pasti, yang kita dapat

periksa hanyalah probabilitas. Namun karena probabilitas maksimum benilai 1, maka

perlu menormalisasi fungsi gelombang dengan cara

∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1, kita dapat memisalkan Ψ = A Ψ

A2∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1

A = √∫ Ψ∗Ψ∞−∞ � adalah konstanta normalisasi dari fungsi Ψ.

Nah, sekarang marilah kita lihat bagaimana pengaruh potensial terhadap Ψ.

E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)

−ћ (E – V) Ψ = Ψ � , misalkan k2 = ћ (E – V) sehingga

-k2 Ψ = Ψ �

Persamaan diferensial diatas memiliki solusi

A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V

Ψ =

C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E

Penentuan syarat batas untuk mencari koefisien A dan B.

Kasus barier potensial tak hingga.

Dari figur di samping bila Vo menuju tak hingga,

maka

A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah x < 0

Ψ =

0 , untuk daerah x 0

Kasus barrier potensial berhingga di sepanjang x positif.

Dari figur di samping bila Vo berhingga, maka

Untuk x < 0 : Ψ = A sinkx + B coskx

Untuk x 0 : pilihlah solusi yang konvergen, yakni Ψ = D − �

Bila kita lihat solusi Ψ, terbayangkan bahwa ketika Ψ menembus potensial di

sepanjang x, Ψ akan terus menerus meluruh secara cepat (eksponensial) bergantung

pada seberapa besar selisih V dengan E. Figur di bawah ini menunjukkan peristiwa

tersebut.

Ψ1 = A � � + B −� � Ψ2 = D − �

Nah, solusi di atas belumlah lengkap karena kita belum memasukkan syarat batas,

berikut adalah cara mencari nilai koefisien A, B dan D.

Ψ1(0) = Ψ2(0)

A + B = D

Fungsi Ψ harus kontinu di 0, berarti

dΨd = dΨd ik(A – B) = -rD

A – B = � D

A = D (1 + � )

B = D (1 - � )

Jadi,

Ψ1 = D (1 + � ) � � + D (1 - � ) −� � Ψ2 = D − �

Nilai D dapat diperoleh dengan cara menormalisasi Ψ,

∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1 ∫ Ψ ∗Ψ−∞ + ∫ Ψ ∗Ψ∞−∞ = 1

Peristiwa refleksi terjadi ketika Ψ menjalar dari potensial rendah menembus potensial

tinggi, koefisien refleksi R = |Ψ ||Ψ �|

Ψpantul = D (1 - � ) −� � yakni Ψ yang menjalar ke arah (–x).

Ψpantul* = D (1 + � ) � � yakni kompleks konjugetnya |Ψ | = Ψpantul* Ψpantul = D2 (1 - � ) (1 + � )

Sedangkan Ψdatang = D (1 + � ) � � sehingga

|Ψ �| = Ψdatang* Ψdatang = D2 (1 + � ) (1 - � )

Jadi, R = |Ψ ||Ψ �| = − � + � + � − � = 1

Kita juga dapat menganalisis dan memperhitungkan seberapa dalam Ψ menembus

barrier tersbut dengan menggunakan prinsip Heinsenberg

∆p ∆x = ћ

Karena proses menembus ini ada di daerah x 0, maka kita gunakan syarat di

daerah tersbut, yakni

r = √ ћ V – E setara dengan k, dan kita sudah mengetahui bahwa

p = ћk

Maka, p = ћ √ ћ V – E adalah momentum awal, dan momentum akhirnya akan = 0,

sehingga ∆p = ћ √ ћ V – E - 0 = ћ √ ћ V – E

Jadi, ∆x = ћ∆p = √ ћ V – adalah kedalaman partikel / gelombang yang menembus

potensial.

Kasus potensial berhingga diskrit dan fenomena refleksi dan fenomena penggalian.

Kita mengamati proses peluruhan eksponensial bila mana energi partikel kurang dari

energi potensial eksternal. Pada kasus sebelumnya kita melihat bahwa partikel /

gelombang akhirnya akan kehabisan energi di suatu titik yang dipengaruhi potensial

dengan ditandai momentumnya = 0, artinya Ψ� = 0, di titik ini juga akan

mengakibatkan Ψ2 = D − � akan = 0 ini membuktikan bahwa memang benar ketika

kita tidak lagi bergerak terhadap ruang dan waktu, maka kita lenyap. Hal inilah

yang disebut dengan Nibbana, namun ego sangat takut dengan hal ini, itulah nafsu

akan eksistensi yang selalu membuat batin dan materi bergerak dengan cara

“menginginkan”, ingin ini dan ingin itu. Itulah sumber problema seluruh kehidupan

dan eksistensi dalam roda kelahiran dan kehidupan. Mereka takut terlenyapkan,

padahal Nibbana, pemadaman, adalah proses penyederhanaan, itulah kebahagiaan

sejati, tiada lagi persamaan Schrӧdinger di sana, karena ΨNibbana = 0, itulah makna

SIMPLY THIS MOMENT.

Mari kita lanjutkan kasus berikutnya sekarang.

Mari kita selesaikan solusi umum persamaan secara cepat.

Ingat kembali bahwa

A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V

Ψ =

C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E Untuk :

x 0 : Ψ1 = A � � + B −� � dengan k = √ ћ E – V 0 x a : Ψ2 = C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E x a : Ψ3 = E � � karena dari V tinggi ke V rendah tidak ada refleksi, maka

solusi bagian x negative tereliminasi.

Mari kita cari nilai setiap koefisien dengan menerapkan syarat batas :

1. Ψ1(0) = Ψ2(0)

A + B = C + D

2. dΨd = dΨd � (A – B) = C – D

3. Ψ2(a) = Ψ3(a)

C + D − = E �

4. dΨd � = dΨd �

C - D − = � E �

5. Persamaan 1 - Persamaan 2

D = {( A + B ) - � (A – B) }

6. Persamaan 1 + Persamaan 2

C = {( A + B ) + � (A – B) }

7. Persamaan 3 - Persamaan 4

D = E � {1 - � }

8. Persamaan 3 + Persamaan 4

C = − E � {1 + � }

9. Persamaan 5 = Persamaan 7

{( A + B ) - � (A – B) } = E � {1 - � }

{r( A + B ) - ik(A – B) } = E � {r - ik}

{A(r - ik) + B(r + ik) } = E � {r - ik}

A(r - ik) + B(r + ik) = E � {r - ik}

10. Persamaan 6 = Persamaan 8

{( A + B ) + � (A – B) } = − E � {1 + � }

A(r + ik) + B(r – ik) = − E � {r + ik}

Terakhir,

Tunnelling adalah perbandingan antara Ψ3* Ψ3 terhadap Ψdatang* Ψdatang. Untuk

mencarinya, kita hanya membutuhkan koefisien E dan A saja, jadi, mari kita

usahakan mengeliminasi B.

Persamaan 9 kalikan dengan (r – ik), lalu selisihkan dengan persamaan 10 yang

sudah dikalikan dengan (r + ik), akibatnya akan muncul

A(r - ik)2 - A(r + ik)2 = E � {r - ik}2 - − E � {r + ik}2

- 4Airk = E � { (r – ik)2 - − (r + ik)2}

- 4Airk = E � { (r2 – 2irk - k2) - − (r2 + 2irk – k2)}

- 4Airk = E � {( - − )(r2 - k2) - 2irk( + − )} �� = −� � {( - − )(r2 - k2) - 2irk( + − )} �� = −� � { − − (r2 - k2) - 2irk + −} �� = −� � {sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }

Tunnelling = �∗��∗� Kita hitung dahulu

A∗A∗ = [ − e a{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [ e− a{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }]

A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [sinh ra (r2 - k2)2 + 4r2k2 cosh ra ] A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + cosh ra , kita tahu cosh ra - sinh ra = 1 A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + 1 + sinh ra A∗A∗ = a [(r2 - k2)2 + 4r2k2] + 1 A∗A∗ = sinh ra + + 1 A∗A∗ = sinh ra + +

T = ∗A∗A = a + +

Bila ra >> 1, maka nilai sinh ra = − − ≈

T = ∗A∗A = + + = + +

Tunnelling pada kasus E > V agak sedikit berbeda, mari kita perhatikan bahwa ketika

V > E, maka k = √ ћ E – V dan r = √ ћ V – E , namun bila E > V, maka nilai r

menjadi imajiner, yakni r’ = √ ћ E – V = ir, hal ini mengindikasikan bahwa tidak

terjadi peluruhan eksponensial di derah dengan barrier potensial, namun hanya akan

mengubah bilangan gelombang r untuk fungsi sinusoidal.

Untuk T menjadi

T = ∗A∗A = a + + kita tahu bahwa sinh (ira) = I sin (ra)

T = ∗A∗A = a + +

Kasus Potensial V = kx2

E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)

ћ Ψ � + (E - V) Ψ(x) = 0

ћ Ψ � + (E - ) Ψ(x) = 0, ω = √ , k = �

ћ Ψ � + (E - � ) Ψ(x) = 0 Ψ � + ( �ћ - � ћ ) Ψ(x) = 0

Coba kita sederhanakan dengan memisalkan

x = √ ћ z dan c = �ћω sehingga menjadi

Ψ ћmω � + ( �ћ - � ћmωћ ) Ψ(z) = 0

Ψ � + ( ћω �ћ - � ћmω ћmωћ ) Ψ(z) = 0 Ψ � + ( �ћω - ) Ψ(z) = 0 Ψ � + (c - ) Ψ(z) = 0

Kita misalkan solusinya adalah Ψ(z) = H(z) −�

∂Ψ∂ = −� ∂H∂ - z −� H(z)

Ψ � = −� H � - z −� ∂H∂ - −�

H(z) + z2 −� H z - z −� ∂H∂

Jadi, persamaan utamanya menjadi

−� H � - z −� ∂H∂ - −�

H(z) + z2 −� H z - z −� ∂H∂ + cH(z) −�

– z2H(z) −� = 0 H � - z ∂H∂ - H(z) + z2H z - z ∂H∂ + cH(z) – z2H(z) = 0 H � - 2z ∂H∂ + H(z)(c – 1) = 0 H � - 2z ∂H∂ + 2nH(z) = 0 Persamaan diferensial Hermite orde n dengan

Hn(z) = (-1)n � dd −� , jadi n = (c - 1), c = 2n + 1

Jadi, solusi untuk Ψ(z) adalah

Ψ(z) = H(z) −�

Ψn(z) = Hn(z) −� bila kita normalisasi, maka

Ψn(z) = An Hn(z) −�

∫ Ψ z ∗Ψ z ∞−∞ = An2 ∫ H z ∗H z −� ∞−∞ , gunakan orthogonalitas Hermite

1 = An2 {2n n! √ }

An = √ ! √

Jadi, Ψn(z) = √ ! √ Hn(z) −� dengan c = �ћω E = ћωc = + (ћω) adalah hasil

kuantisasi energi untuk osilator harmonik sederhana.

Pada atom Hidrogen

Sekarang kita akan membuktikan bahwa memang atom pun memiliki sifat sunyata,

yakni ada sekaligus tiada, dan bagaimana paket – paket energi (kuanta) membentuk

suatu probabilitas electron sehingga muncul suatu atom. Kita perlu juga menyadari

bahwa atom – atom-yang ternyata hanyalah sekumpulan energi yang diskontinu

inilah-yang menyusun elemen rupa / tubuh kita. Karena sifat atom itu sunyata,

bukan aku, bukan diri, bukan kepunyaan, hanyalah bentukan yang muncul karena

pergerakan terhadap ruang dan waktu, maka begitu pula dengan tubuh ini, bukan

diri, bukan aku, bukan kepunyaan, tubuh ini hanyalah bentukan, jangan pernah

menyombongkan tubuh ini dan menganggapnya sebagai MILIKKU dan AKU, karena

tubuh ini lebih patuh terhadap hukum alam dari pada perintah Anda. Kelak tubuh ini

akan lenyap, terurai kembali, jadi janganlah melekat pada tubuh dan terdelusi oleh

ilusi ego.

Mari kita analisis terlebih dahulu operator untuk momentum sudut

� = r × = × = r × -iћ � = × -iћ = iћ ( × r) = mћ �Ψ = iћ ( Ψ × r) = mћΨ = LΨ

Misalkan kasus electron yang berputar di bidang xy searah dengan jarum jam, maka

akan muncul L = rp dengan arah . Hal ini mengindikasikan kita dapat

menyederhanakan �Ψ = iћ ( Ψ × r) mejadi �Ψ = iћr Ψ .

Sedangkan ��Ψ = iћr Ψ� = iћ Ψ� = mћΨ

Dengan memanfaatkan persamaan

iћ Ψ� = mћΨ

maka solusinya pastilah Ψ = A −� �, yang ternyata muncul konstanta kuantisasi m.

Momentum sudut total

�2 = L2 �2 = (iћr )2 = - ћ2r2 2 = - ћ2r2 { + � � sin � � + � ∂∂φ } �2 = - ћ2 { + � � sin � � + � ∂∂φ } �2 Ψ = - ћ2 { Ψ + � � sin � � Ψ + � ∂∂φ Ψ}

Dengan sparasi variabel, Ψ(r,θ,φ) = R(r)T(θ)F(φ)

Untuk koordinat bola kita dapat mendefinisikan fungsi spherical harmonic Y(θ,φ) =

T(θ)F(φ), mari kita analisis fungsi ini terlebih dahulu karena momentum sudut akan

sangat dipengaruhi fungsi ini.

�2 Y = - ћ2 { � + � � sin � � Y + � ∂∂φ Y} = L2Y

- ћ2 { � � sin � � Y + � ∂∂φ Y} = L2Y

- ћ2 � � sin � � � θ F φ - ћ2 � ∂∂φ � θ F φ = L2 T(θ)F(φ)

- T θ ћ2 � � sin � � � θ - ћ2 φ � ∂∂φ F φ = L2

Kita akan benar – benar memisahkan variabel � dan φ jadi, marilah kita kalikan

kedua ruas dengan sin � .

- T θ ћ2 sin � � sin � � θ - ћ2 φ ∂∂φ F φ = L2sin �

Kita pisahkan � di salah satu ruas sehingga menjadi

- ћ2 φ ∂∂φ F φ = L2sin � + T θ ћ2 sin � � sin � � θ

- φ ∂∂φ F φ = ћ L2sin � + T θ sin � � sin � � θ

Kita misalkan - φ ∂∂φ F φ = ml2 sehingga membentuk

∂∂φ F φ = - ml2F φ F φ adalah fungsi harmonik, dengan ml disebut

bilangan kuantum magnetik.

F φ = A φ + B − φ, kita normalisasi menjadi

∫ F φ ∗F φ φ = ∫ A φ + B − φ A − φ + B φ φ = ∫ A + B φ

= 2 C2 = 1 C = √ F φ = √ φ.

Selanjutnya marilah kita tinjau persamaan utamanya yang menjadi

L2sin � + T θ sin � � sin � � θ = ml2

Kalikan kedua ruas dengan T θ � sehingga menjadi

T θћ L2 + � � sin � � θ = T θ � ml2

� � sin � � θ + � θ {ћ − � } = 0

Persamaan ini akan menjadi persamaan Legendre Terasosiasi apabila ћ = l(l+1).

Akibatnya |L| = ћ√ + adalah momentum sudut yang terkuantisasi dengan l

disebut bilangan kuantum azimuthal. Nah, syarat umum persamaan Legendre

Terasosiasi adalah | ml | l, hal ini menjadi syarat kuantisasi kembali untuk ml yakni

selalu bernilai bilangan bulat –l, …, 0, …, l.

Visualisasi untuk ml = 1

Teori Bohr cocok untuk Lz yakni hasil proyeksi L

terhadap sumbu z : Lz = |L| cosθ = ml ћ. Sedangkan |L|

akan konstan |L| = ћ√ + .

Marilah kita melihat solusi untuk variabel θ, yakni : (x = cos θ)

T(x) = � (x)

T(x) = ! − � + −

Kita normalisasi fungsi T(x) ini dengan bantuan sifat orthogonalitasnya

∫ � x ∗� x − x = A2 + + !− ! = 1

A = √ + − !+ ! T(θ) = √ + − !+ ! � (cosθ)

Kita kembali ke solusi awal Y(θ,φ) = T(θ)F(φ) hasil normalisasi

θ

Y(θ,φ) = √ + − !+ !� (cosθ) √ φ = √ + − !+ !� (cosθ) φ = �

Hal ini sangatlah menarik karena Y(θ,φ) akan membentu berbagai bentuk orbital

yang unik. Mari kita lihat.

Nama Orbital l m �

s l = 0 m = 0 Y00 = √

px l = 1 m = -1 Y1-1 = √ �− (cosθ) − φ sinθ cosφ

Py m = 0 Y10 = √ � (cosθ) sinθ sinφ

pz m = 1 Y11 =√8 � (cosθ) φ cosθ dxy l = 2 m = -2 Y2-2 = √ �− (cosθ) − φ sin2θ cosφ sinφ

dxz m = -1 Y2-1 = √ �− (cosθ) − φ sinθ cosφ cosθ dyz m = 0 Y2-0 = √ � (cosθ) sinθ sinθ sinφ cosθ dx2-y2 m = 1 Y21 = √ � (cosθ) φ sin2θ (cos2φ – sin2φ

dz2 m = 2 Y22 = √8 � (cosθ) φ cos2θ Nah, untuk mengetahui bentuk orbital (Ψ) yang sesungguhnya, kita harus juga tahu

fungsi dengan variabel r karena kita menggunakan koordinat bola dan Ψ =

R(r)T(θ)F(φ).

Ketika suatu electron atau lebih mengelilingi inti, maka sesungguhnya akibat ada

gaya interaksi electron-inti, inti akan ikut bergerak. Jadi, kita perlu membuat

koordinat baru, yaknikoordinat pusat massa. Inti dan electron akan berotasi

terhadap titik asal tersebut.

� = + dengan � = X + Y + Z = -

Bila pengamat berada di proton, maka menurutnya, electron bergerak terhadap

pusat massa dan pusat massa bergerak terhadap proton.

∂∂�p = ∂X∂�p ∂∂X + ∂�∂�p ∂∂� ∂∂�p = ∂∂X - ∂∂� ∂∂�p = ∂∂�p ∂∂�p = ∂∂�p ∂∂X - ∂∂� = ∂∂�p ∂∂X - ∂∂�p ∂∂� = ∂∂X - ∂∂� ∂∂X - ∂∂X - ∂∂� ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� - ∂∂� ∂∂X

dan

∂∂�e = ∂X∂�e ∂∂X + ∂�∂�e ∂∂� ∂∂�e = ∂∂X + ∂∂� ∂∂�e = ∂∂�e ∂∂�e = ∂∂�e ∂∂X + ∂∂� = ∂∂�e ∂∂X + ∂∂�e ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� ∂∂X + ∂∂X + ∂∂� ∂∂� = ∂∂X + ∂∂� + ∂∂� ∂∂X

∙ ∙ ∙ x

y

z

�� �� R X

Y

Z

Jadi, total perubahannya adalah

∂∂�p + ∂∂�e = ∂∂X + ∂∂� - ∂∂� ∂∂X + ∂∂X + ∂∂� + ∂∂� ∂∂X

∂∂�p + ∂∂�e = + ∂∂X + ( + ) ∂∂� = ∂∂X + ( + ) ∂∂� = ∂∂X + � ∂∂�

Atau secara umum untuk 3 D

+ = � + �

Jadi kita mendefinisikan � = + disebut massa tereduksi. Namun kita belum

mengetahui apa fungsinya. Nah, mari kita lihat fungsi dari massa tereduksi ini.

Marilah kita ingat kembali persamaan Schrӧdinger untuk 3D.

E Ψ = −ћ Ψ + V Ψ, karena ada elektron dan proton, persamaan ini menjadi

E Ψ = −ћ ( + ) Ψ + V Ψ

E Ψ = −ћ � + � Ψ + V Ψ

E Ψ = −ћ �Ψ − ћ� Ψ + V Ψ

, ternyata sekarang persaamaan ini menjadi sangat lengkap, suku pertama dari

energi kinetik merepresentasikan energi kinetik keseluruhan atom sedangkan suku

kedua merepresentasikan energi kinetik terhadap pusat massa. Nah, sekarang bila Ψ

hanya bergantung pada r dan tidak bergantung pada R, maka suku pertama dari

energi kinetik akan lenyap. Persamaannya menjadi

E Ψ = − ћ� Ψ + V Ψ, persamaan ini berlaku untuk setiap kasus atom dengan

massa inti berhingga. Namun untuk menyederhanakan penulisan, biarlah � = m.

Sekarang, matrilah kita memecahkan solusi untuk R(r).

E Ψ = − ћ Ψ + V Ψ, dengan Ψ = R(r)T(θ)F(φ) = R(r)Y(θ,φ).

Karena electron berada dalam potensial Coloumb, maka V = - � .

E Ψ = − ћ Ψ - � Ψ

Ψ + ћ (E + � Ψ = 0

= + � � sin � � + � �

Pada sebelumnya kita sudah menurunkan operator momentum sudut total untuk

fungsi spherical harmonic yakni

�2 = - ћ2 { � � sin � � + � ∂∂φ }

Bila kita substitusi ke dalam laplacian akan menjadi

= + − ћ

Persamaan utama akan menjadi

Ψ + ћ (E + � - ) Ψ = 0

RY + ћ (E + � - ) RY = 0

Y R + ћ (E + � - ) RY = 0, L2 = ћ2 l(l+1)

R + ћ (E + � - ћ + ) R = 0

R + � + ћ (E + � - ћ + ) R = 0

Terlihat jelas bahwa Vefektif = - � + ћ + yakni potensial radial dan potensial

angular yang berhubungan dengan bilangan quantum azimuthal (l). Sekarang mari

kita sederhanakan persamaan di atas agar dapat diketahui jenis persamaan

diferensial apakah itu.

Misalkan

= r =

= − 8 � � E = − 8 �

a = �ћ = 5,3 × 10-11 adalah jari – jari Bohr.

Misalkan solusi persamaan diferensial di atas adalah R( ) = s L( ) −�, L( ) adalah

polinom Laguerre.

R + � + ћ (E + � - ћ + ) R = 0 akan menjadi

Rρ + � + ћ (E + � ρ - ћ + ρ ) R = 0

Rρ + � + ћ ( E + �ρ - ћ +ρ ) R = 0

Rρ + � + ћ ( −8 � + �ρ - ћ +ρ ) R = 0

Rρ + � + ћ (- 8 � + �ρ - ћ +ρ ) R = 0

Rρ + � + (− ћ 8 � + ћ �ћ �ρ - +ρ ) R = 0

Rρ + � + (-ћ �ћ � + ћ �ћ �ρ - +ρ ) R = 0

Rρ + � + (− + ρ - +ρ ) R = 0

R( ) = s L( ) −� � = L −�

= − L −� + ρ −�

− L −� � = s − L −�

+ − ρ −� − − L −�

� = − − � −� + − −� – − � −�

+ − −� + ρ −�

− ρ −� – − L −�

– −� + L −�

= −�{L ( − − – − – − + ) + ρ − + − − – + ρ }

Persamaan utama menjadi

−�{L ( − − – − + ) + ρ − − + ρ } + −� − L + s − ρ − − L + (− + ρ - +ρ ) s L( ) −� = 0

L ( − − – − + ) + ρ − − + ρ + − L + s − ρ − − L + (− s + ρ - +ρ ) L( ) = 0

L − − – − + + s − − − − + ρ − +ρ + ρ − −+ − + ρ = 0 bagi dengan

L ( − − – − + + s − − − − + − − + − ) + ρ − − + − + ρ = 0 kalikan dengan

L ( − − – + + s − − − + − + − ) + ρ − + + ρ

= 0

L ( − − + − – + s − − + ) + ρ − + + ρ = 0 L ( + − + − + (– − + ) ) + ρ − + + ρ = 0

Agar mudah, pilihlah l = s sehingga

ρ + ρ + − + L − − = 0 atau

ρ + ρ + − + L − − = 0

Kita tahu bahwa persamaan diferensial berikut

� + � + − + = 0 adalah persamaan diferensial dengan solusi

polinom Laguerre Terasosiasi dengan solusi

y = � (x) = ��−! dd + −�

Kita juga dapat mencari hubungan p, q dengan s dan n.

n – l – 1 = q

2(s + 1) = p + 1 p = 2l + 1

Jadi, solusi R( ) = l � −� = l � − −+ −�

Syarat umum polinom ini adalah q dan p 0, sehingga mensyaratkan n l+1, ini

kembali mengkuantisasi bilangan n, yakni selalu mulai dari 1.

Mengingat sifat orthogonalitas polinom Laguerre

∫ (� )∞ −� = + !!

Dengan menggunakan hubungan rekursif

(q+1) � + = (2q + p + 1) � - x� – (p + q) � −

x� = (2q + p + 1) � – (p + q) � − - (q+1) � +

∫ � �∞ + −� = ∫ � �∞ −�

= ∫ q + p + � – p + q � − − q + � + �∞ −�

= ∫ q + p + � � – p + q � − � − q + � + �∞ −�

= q + p + ∫ (� � )∞ −� = + + + !!

Karena p + 1 = 2l + 2 dan q = n – l – 1

∫ � �∞ + −� = ∫ (� − −+ )∞ + −� = ( ( – – ) + + + ) + + − − !− − !

= + !− − !

Bila kita normalisasi solusi radial R, maka

∫ �∗�∞ r r = 1

� ∫ � − −+ −∞ r r = 1

� ∫ � − −+ −∞ = 1

� + !− − ! = 1

A = √ − − !+ !

Jadi, R( ) = √ − − !+ ! l � − −+ −� dengan =

Rnl(r) = √ − − !+ ! � − −+ −Z

Demikianlah sehingga lengkap sudah solusi

Ψ = R(r)T(θ)F(φ = � �

= √ − − !+ ! � − −+ −Z √ + − !+ !� (cosθ) φ

= √ + − !+ ! − − !+ !� (cosθ) � − −+ φ−Z

Solusi ini dapat divisualisasikan dengan cara mencari nilai probabilitas radial, yakni

P® = r2|Ψ|2 dan berikut adalah hasil visualisasi untuk orbital s, p, d dengan n

minimum.

Jadi, setelah mengetahui dan memahami bahwa memang keanattaan, kesunyataan,

ketiadadiri-dan-akuan dari semua hal-yang dinyatakan langsung oleh Buddha

Gotama- kini sudah dibuktikan oleh fisika modern, semoga hal ini dapat membuat

kita lebih bersemangat dan lebih cepat menuju Nibbana.

Sabbe sankhara anicca

Sabbe sankhara dukkha

Sabbe dhamma anatta’ti Sabbe satta bhavantu sukkhitata

Yamkinci samudayadhammam

Sabbantam nirodhadhammanti.

Karena semua hal terbentuk dari berbagai kondisi dari kekosongan,

maka suatu saat pasti mereka akan terurai kembali.

RELAX … everything is out of control …