Download - Teorema Limit
G3.2 TEOREMA – TEOREMA LIMIT
Pada pasal ini akan diperolehbeberapa hasil yang sering digunakanuntuk menghitung nilai limit barisan.
Definisi 3.2.1
Suatu barisan bilangan-bilangan real
Nnnx
dikatakan terbatas jika terdapat
bilangan M > 0 sehingga Mxn untuk
setiap n N.
Akibat:Barisan
Nnnx
terbatas jika dan hanya
jika {xn│n N} terbatas di }.Bukti:
)( DipunyaiNnnx
terbatas.
Ambil sembarang n N.Pilih M >0 sehingga Mxn .
Jelas Mxn MxM n .
Jadi–M suatu batas bawah {xn│n N}M suatu batas atas {xn│n N}.Jadi {xn│n N} terbatas.
)( Dipunyai {xn│n N} terbatas.
Tulis A: {xn│n N},Mb: suatu batas bawah A,Ma: suatu batas atas A.
Pilih M = maks{│Mb│,│Ma│}.Jelas Mxn .
Jadi M > 0 Mxn n N.
JadiNnnx
terbatas.
Teorema 3.2.2:
JikaNnnx
konvergen maka
Nnnx
terbatas.
Bukti:Dipunyai
Nnnx
konvergen.
Tulis xxNnn
.
Pilih 01 .Pilih )1(K N sehingga
1 xxn apabila n K(1).
Jelas 1 xxxx nn .
Jadi 1 xxn apabila n K(1).
Tulis }1,,,sup{ 11 xxxM k .
Jadi xMxM n0 N.
JadiNnnx
terbatas.
Teorema 3.2.3:
Jika xxNnn
dan yy
Nnn
maka:
(1) yxyxNnnn
,
(2) yxyxNnnn
,
(3) yxyxNnnn ..
,
(4) xKxKNnn ..
,
(5) Jika 0
zzNnn
makaz
x
z
x
Nnn
n
.
Bukti (3):Jelas ))(( xyyxyxyxxyyx nnnnnn
xyyxyxyx nnnn
= xxyyyx nnn .
Dipunyai xxNnn
dan
yyNnn
.
JelasNnnx
terbatas.
PPilih nMxM n 00 0 N.
Tulis },sup{ 0 yMM .
Jelas xyyx nn xxMyyM nn .
Ambil sembarang 0 .Pilih K1, K2 N sehingga:
Mxxn 2
apabila n K1 dan
Myyn 2
apabila n K2.
Pilih },sup{ 21 KKK .
Jels xyyx nn apabila n K.
Jadi K0 N sehingga
xyyx nn apabila n K.
Jadi yxyxNnnn ..
.
Bukti (5):
Dipunyai 0
zzNnn .
Ambil sembarang 0 .Pilih )(K N sehingga
2
2zzzn apabila n K().
Pilih 2K N sehingga
2
zzzn apabila n K1.
Jelas2
zzzn
2
zzzzz nn .
Jadi2
zzn
zzn
21 .
Pilih }),(sup{ 1KKK .
Jadi nnn
n
n
zzzzzz
zz
zz
.
1.
1
.
11
2.
22
2
z
z = .
Jadi )(0 K N sehingga
zzn
11apabila )(Kn .
Jadizz
Nnn
11
.
Jadiz
x
zx
zx
z
x
Nnnn
Nnn
n
1.
1. .
Teorema 3.2.4
Jika xxNnn
dan xn 0 Nn
maka x 0.
Bukti:Andaikan x < 0.Ambil sembarang 0 .Pilih K N sehngga
xxn apabila n K.
Jelas xxn xxx n .
Kasus x :Jelas xk < x – x = 0.Ini suatu kontradiksi.
Jadi x 0.
Teorema 3.2.5
Jika xxNnn
, yy
Nnn
, dan
Nnyx nn maka bxa .
Bukti:
Dipunyai xxNnn
, yy
Nnn
,
dan Nnyx nn .
Jelas yxyxNnnn
dan
Nnxy nn 0 .
Jadi yxxy 0 .
[Teorema 3.2.6
Jika xxNnn
dan Nnbxa n
maka a ≤ x ≤ b.
Bukti:Dipunyai
xxNnn
dan Nnbxa n .
Bangun Nnayy nNnn
, dan
Nnbzz nNnn
, .
Jelas ayNnn
dan bz
Nnn
.
Jadi a ≤ x ≤ b.
Perolehan berikut ini menyatakanbahwa jika barisan
Nnny
diapit oleh
dua barisan yang konvergen ke suatubilangan real yang sama maka barisan
Nnny
konvergen ke nilai yang sama.
Teorema 3.2.7
Dipunyai barisan-barisanNnnx
,
Nnny
, danNnnz
mempunyai sifat
nnn zyx untuk setiap n N.
JikaNnnx
dan
Nnnz
konvergen ke
suatu bilangan real yang sama makabarisan
Nnny
.
Bukti:Tulis xx
Nnn Nnnz
.
Ambil sembarang 0 .Pilih NK sehingga
xxn dan xzn apabila n N.
Dipunyai nnn zyx xzxyxx nnn .
Jadi },sup{ xzxxxy nnn .
Jadi NK 0 sehingga
xyn apabila Kn .
Jadi xyNnn
.
Contoh 3.2.8
(a) BarisanNn
n
divergen.
Bukti:Andaikan
Nnn
konvergen.
Tulis xnNn
untuk suatu bilangan
real x.Jadi
Nnn
terbatas.
Pilih M > 0 sehingga NnMn .Ini suatu kontradiksi.Jadi
Nnn
divergen.
(b) BarisanNn
n
)1( divergen.
Bukti:
Jelas Nnn 11)1( .
JadiNn
n
)1( terbatas.
Andaikan aNn
n
)1( untuk suatu
bilangan real a.Ambil = 1.
Pilih NK 1 sehingga 1)1( an
apabila 1Kn .Kasus n gasal:
Jelas 11 a –2 < a < 0.
Kasus n genap:Jelas 11 a 0 < a < 2.
Ini suatu kontradiksi.
JadiNn
n
)1( divergen.
K
(c) Tunjukkan 212
Nnn
n.
Bukti:
JelasNnNn nn
n
1
212
.
BangunNnnx
dengan xn = 2 Nn
danNnny
dengan xn = Nn
n
1.
Jelas 2Nnnx dan 0
Nnny .
Jadi 20212
Nn
Nnnn n
nyx .
(d) Tunjukkan 25
12
Nnn
n.
Bukti:
JelasNnn
n
Nnn
n
5
1
1
2
5
12.
Jerlas 22 1 Nnn dan 11 5
Nnn .
Jadi 11
2
1
2
5
125
1
Nnn
n
Nnn
n.
(e) Tunjukkan 01
22
Nnn
n.
Bukti:
Jelas
Nn
Nn
n
nn
n
2
2 11
2
1
2.
Jelas 02
Nnn
dan 11
12
Nnn
.
Jadi 01
0
1
22
Nnn
n.
(f) Tunjukkan 0sin
Nnn
n.
Bukti:
Jelas Nnn 1sin1
Nnnn
n
n
1sin1.
JelasNnNn nn
1
01
.
Jadi 0sin
Nnn
n.
(g) Dipunyai xxNnn
untuk suatu
bilangan real x. Jika p(x) suatu sukubanyak maka )()( xpxp
Nnn
.
Bukti:
Tulis 01
1)( atatatp kk
kk
.
Jelas )()(0
xptaxpNn
n
i
iiNnn
.
Teorema 3.2.9
Jika xxNnn
maka xx
Nnn
.
Bukti:
Ambil sembarang 0 .Pilih NK sehingga
xxn dan xzn apabila n N.
Jelas xxxx nn .
Jadi xxn .
Jadi 0 NK sehingga
xxn apabila n N.
Jadi xxNnn
.
[Teorema 3.2.10
Dipunyai barisan xxNnn
.
Jika xn 0 maka xxNn
n
.
Bukti:Kasus x = 0:
Ambil sembarang > 0.
Pilih K N sehingga 20 nx apabi-
la n K.Jelas 20 nx xn < 2
nx
0nx .
Jadi 00 nxNK apabila
n K.
Jadi xxNn
n
.
Kasus x > 0:
Jelas 0x .Jelas
xxxxx
xxxx n
n
nn
.
1.
Jelas 01
x
dan 0Nnn xx .
Jadi xxNn
n
.
Latihan 3.2
1. Periksa barisan-barisan berikut inikonvergen atau divergen:
(a)Nnn
n
1(c)
Nn
n
n
1
)1(
(b)Nn
n
n
1
2
(d)Nn
n
n
1
322
2
2. Berikan contoh dua barisan yang divergenakan tetapi jumlahnya konvergen.
3. Tunjukkan bahwa barisanNn
n
2
divergen.
4. Tentukan nilai limit barisan berikutini:
(a)Nnn
2)1
2( (c)Nn
n
n
2
)1(
(b)Nn
n
n
1
1(d)
Nnnn
n
1
5. Dipunyai nnyn 1 untuk
semu Nn . Tunjukkan bahwa
barisanNnny
dan
Nnnyn
konvergen.
6. Jika nnnn baz
1
)( dengan 0<a<b
tunjukksn bahwa bzNnn
.