Download - Stat prob09 distribution_continue
DISTRIBUSI PROBABILITAS :Variabel Kontinyu
ARIF RAHMAN
1
Ruang Sampel dan Variabel AcakRuang sampel (sample space) adalah satu
set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.
Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite).
2
DistribusiDistribusi adalah sebaran variabel acak X
dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik.
3
Distribusi Empiris dan TeoritisDistribusi empiris (empirical distribution)
adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.
4
Fungsi ProbabilitasFungsi probabilitas menunjukkan tingkat
frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu.
5
Probability Mass FunctionFungsi massa probabilitas (probability
mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi : p(x)>0 untuk seluruh xR p(x) = 1
6
Probability Density FunctionFungsi kepadatan probabilitas (probability
density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=abf(x) dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi : f(x)>0 untuk seluruh xR f(x) dx = 1
7
Cumulative Distribution FunctionFungsi distribusi kumulatif (cumulative
distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi : F(x) = bp(x) untuk variabel acak diskrit xR F(x) = -bf(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR
8
Distribusi DiskritHubungan antara p(x) dengan F(x)
9
RxF
xpxXPxFxX
rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di
)()()(0
p(x) F(x)
Distribusi KontinyuHubungan antara f(x) dengan F(x)
10
RxF
dxxfxXPxFxX
rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di
)()()(
f(x) F(x)
Distribusi Continuous UniformDistribusi Continuous Uniform atau
Rectangular menunjukkan sebaran variabel acak dengan peluang keluaran berimbang (equally likely) dalam rentang tertentu antara a hingga b, X{a<x<b}.
Penerapan Distribusi Uniform Kontinyu antara lain untuk menunjukkan model awal kejadian acak antara a hingga b, sebaran sampel dalam rentang a hingga b.
11
Distribusi Uniform Kontinyu Parameter a (minimum) dan b (maximum) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
12
other
bxaabxf
0
1)(
f(x)
F(x)
bx
bxaabax
axxF
1)()(
0)(
Distribusi Uniform KontinyuDinotasikan dengan U(x;a,b)Parameter a dan bMean
Variance
13
2ba
12)( 2
2 ab
Distribusi TriangularDistribusi Triangular menunjukkan
sebaran variabel acak dengan peluang berubah linier dalam rentang tertentu antara a hingga c, X{a<x<c} dan memiliki modus pada nilai b.
Penerapan Distribusi Triangular antara lain untuk menunjukkan model kasar kemunculan kejadian acak antara a hingga c dengan pemusatan modus pada b.
14
Distribusi Triangular Parameter a (minimum), b (mode) dan c (maximum) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
15
other
cxbbcac
xc
bxaabac
ax
xf
0))((
)(2))((
)(2
)(f(x)
F(x)
cx
cxbbcac
xb
bxaabac
axax
xF
1))((
)(1
))(()(
0
)( 2
2
Distribusi TriangularDinotasikan dengan TRIA(x;a,b,c)Parameter a, b dan cMean
Variance
16
3cba
18
2222 bcacabcba
Distribusi ExponentialDistribusi Exponential menunjukkan
sebaran variabel acak yang menyatakan waktu antar kejadian sukses (interarrival time) dari proses Poisson dengan laju . Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.
17
Distribusi ExponentialPenerapan Distribusi Exponential antara
lain untuk menunjukkan waktu antar kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan , waktu antar kedatangan, waktu antar kerusakan, waktu antar pesanan.
18
Distribusi Exponential Parameter (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
19
otherxe
xfx
00.
)(.
f(x)
F(x)
0100
)( . xex
xF x
Distribusi ExponentialDinotasikan dengan EXPO(x;)Parameter Mean
Variance
20
1
22 1
Distribusi Exponential Parameter (scale) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
21
other
xexf
x
0
0)(
/
f(x)
F(x)
0100
)( / xex
xF x
Distribusi ExponentialDinotasikan dengan EXPO(x;)Parameter Mean
Variance
22
22
Distribusi ExponentialHubungan antara Distribusi Exponential
dengan Distribusi Poisson. Hingga saat T=t tidak terdapat satu kejadian
sukses proses Poisson, maka P(N(t)=0) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T>t) berdistribusi Exponential.
23
tt
tt
ee
etetTPttNP
tTPtNP
..
.0.
)1(1!0
).()(1).,0)((
)()0)((
Distribusi ExponentialHubungan antara Distribusi Exponential
dengan Distribusi Poisson. Jika waktu antar kejadian sukses proses
Poisson sebesar T<t, sehingga dalam selang t minimal terdapat satu kejadian yang terjadi, maka P(N(t)>1) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T<t) berdistribusi Exponential.
24
tt
tt
ee
etetTPttNPtTPtNP
..
.0.
11
)1(!0
).(1
)().,0)((1)()1)((
Distribusi ExponentialDistribusi Exponential ekuivalen dengan
Distribusi Gamma pada saat parameter shape () bernilai 1.
Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Weibull pada saat parameter shape () bernilai 1.
25
Distribusi ExponentialDistribusi Erlang merupakan multiplikasi
variabel acak (x1+x2+...+xm) dari Distribusi Exponential
Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Erlang pada saat parameter multiplication (m) bernilai 1.
26
Distribusi Double Exponential atau Laplace Parameter (scale) dan (location) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
27
xexf
x
.2
)(
)(
f(x)
F(x)
xe
xe
xF x
x
21
2)(
)(
Distribusi Double ExponentialDinotasikan dengan DBLEXPO(x;,)Parameter , Mean
Variance
28
22 2
Distribusi GammaDistribusi Gamma menunjukkan sebaran
variabel acak yang menyatakan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah () kejadian sukses dari proses Poisson dengan laju atau 1/. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.
29
Distribusi GammaPenerapan Distribusi Gamma antara lain
untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan , waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan.
30
Distribusi GammaFungsi Gamma, () didefinisikan dengan
Untuk bilangan bulat positif maka
Untuk =1/2 maka
31
)1().1()(
0untuk )(0
1
dxex x
)!1()(
)(
Distribusi Gamma Parameter (shape) dan (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
32
0
1
.1
)!1()( positifbulat jikadan )( mana di
0
0)()(
dxex
other
xexxf
x
x
f(x)
F(x)
0)(
00)(
0
xdiif
xxF
x
Distribusi GammaDinotasikan dengan GAMMA(x;,) Parameter dan Mean
Variance
33
22
Distribusi Gamma Parameter (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
34
0
1
/1
)!1()( positifbulat jikadan )( mana di
0
0)()(
dxex
other
xexxf
x
x
f(x)
F(x)
0)(
00)(
0
xdiif
xxF
x
Distribusi GammaDinotasikan dengan GAMMA(x;,) Parameter dan Mean
Variance
35
.
22 .
Distribusi GammaHubungan Distribusi Gamma dengan
Distribusi Exponential Pada saat nilai =1, Distribusi Gamma (1,)
sama dengan Distribusi Exponential () Jika X1,X2,...,Xm adalah m variabel acak
independen berdistribusi Exponential (), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (m,) dengan = m
36
Distribusi GammaDistribusi Gamma sebagai gabungan
(compound) Distribusi Gamma Jika 1,2,...,m adalah m parameter shape
independen variabel X1,X2,...,Xm berdistribusi Gamma (i,), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (1+2+...+m,)
37
Distribusi Erlang atau Gamma (m,) Parameter m (number of events) dan (scale) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
38
positifbulat mana di0
0)!1()(
/1
mother
xm
exxf
xmm
f(x)
F(x)
0!
1
00)( 1
0
/ xj
e
xxF m
j
jxx
Distribusi ErlangDinotasikan dengan ERLANG(x;m,) Parameter m dan Mean
Variance
39
.m
22 . m
Distribusi Chi-Square atau Gamma (/2,2) Parameter =/2 dan =2 Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
40
f(x)
F(x)
0)(
00)(
0
xdiif
xxF
x
other
xexxf
x
0
0)(
2)(
2/1
Distribusi Chi-SquareDinotasikan dengan CHISQR(x;,) Parameter =/2 dan =2Mean
Variance
41
22
Distribusi WeibullDistribusi Weibull menunjukkan sebaran
variabel acak sebagai pendekatan hukum probabilitas beberapa variabel acak. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.
42
Distribusi WeibullPenerapan Distribusi Weibull antara lain
untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses, waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan.
43
Distribusi Weibull Parameter (shape) dan (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
44
otherxexxf
x
00..)(
).(1
f(x)
F(x)
0)(
00)(
0
xdiif
xxF
x
Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,) Parameter dan Mean
Variance
45
11.
1
2
22 1121
Distribusi Weibull Parameter (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
46
otherxexxf
x
00.)(
)/(1
0100
)( )/( xex
xF x
F(x)
f(x)
Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,) Parameter dan Mean
Variance
47
1
222 1122
Distribusi WeibullHubungan Distribusi Weibull dengan
Distribusi Exponential Pada saat nilai =1, Distribusi Weibull (1,)
sama dengan Distribusi Exponential () Jika X adalah variabel acak berdistribusi
Exponential ( ), maka jumlah X adalah variabel acak berdistribusi Weibull (,)
48
Distribusi Weibull Parameter (shape), (scale) dan (location) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
49
otherxexxf
x
0)(.)(
)/)((1
xex
xF x )/)((10
)(
f(x)
F(x)
Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,,) Parameter , dan Mean
Variance
50
11.
222 1121.
Distribusi Rayleigh atau Weibull (2,) Parameter =2 (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
51
otherxexxf
x
00..2)(
2)/(2
f(x)
F(x)
0100
)( 2)/( xex
xF x
Distribusi RayleighDinotasikan dengan RAYLEIGH(x;) Parameter =2 dan Mean
Variance
52
2
22
2
22
Distribusi BetaDistribusi Beta menunjukkan sebaran
variabel acak dengan dua parameter shape (1 dan 2) sebagai pendekatan hukum probabilitas dua variabel acak. Variabel acak dalam rentang 0 hingga 1, X{0<x<1}.
53
)).(()2).((
)).(()2).((
2
1
acbcabc
acbcaba
Distribusi BetaPenerapan Distribusi Beta antara lain untuk
menunjukkan model kasar ketiadaan data, distribusi proporsi random, proporsi cacat item dalam batch, waktu penyelesaian tugas dalam PERT.
54
bcxacba modusdan jika 6.4
Distribusi BetaFungsi Beta, B(1,2) didefinisikan dengan
55
)()().(),(
0dan 0untuk )1(),(
21
2121
21
1
0
1121
21
dxxx
)).(()2).((
)).(()2).((
2
1
acbcabc
acbcaba
Distribusi Beta Parameter 1 (shape1) dan 2 (shape2) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
56
)()().(),( mana di
0
10),(
)1()(
21
2121
21
11 21
other
xxxxf
f(x)
F(x)
0)(
00)(
0
xdiif
xxF
x
Distribusi BetaDinotasikan dengan BETA(x;1,2) Parameter 1 dan 2
Mean
Variance
57
21
1
1212
21
212
Distribusi BetaHubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Continuous Uniform Variabel acak berdistribusi Uniform (0,1) adalah
variabel acak berdistribusi Beta (1,1)Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Triangular Variabel acak berdistribusi Triangular (0,0,1)
adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2) Variabel acak berdistribusi Triangular (0,1,1)
adalah variabel acak berdistribusi Beta (2,1)
58
Distribusi BetaHubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Gamma Jika X1 dan X2 adalah dua variabel acak
independen berdistribusi Gamma (i,), maka nilai X1/(X1+X2) adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2)
59
Distribusi Beta Parameter a (minimum), b (maximum), 1 (shape1)
dan 2 (shape2) Probability Density Function, f(x)
Cummulative Distribution Function, F(x)
60
)()().(),( mana di
0),(
)()()(
21
2121
21
11 21
other
bxaxbaxxf
axdiif
axxF
x
a
)(
0)(
f(x)
F(x)
Distribusi BetaDinotasikan dengan BETA(x;a,b,1,2) Parameter a, b, 1 dan 2
Mean
Variance
61
).(
21
1 aba
1212
21
212
62
Pendekatan Distribusi KontinyuPendekatan Distribusi Exponential pada variabel
acak berdistribusi Geometric saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0)
Pendekatan Distribusi Gamma pada variabel acak berdistribusi Negative Binomial saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0)
63
Dist. Exponential Dist. GeometricVariabel acak distribusi Exponential dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi Geometric dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan laju kejadian sukses () atau kebalikan scale (1/) yang menjadi parameter distribusi Exponential.
64
Dist. Exponential Dist. Geometric
65
pxE
p
11)(lim0
/
.
0
0
1
1)(lim
)1(1)(lim
x
x
p
x
p
e
exXP
pxXP
an
neaaa
na
...
!3!211lim
32
Dist. Exponential Dist. GeometricDist. ExponentialMean
Variance
Dist. GeometricMean
Variance
66
1
1p
22
22
)1(
)1(
pp
apap
)(lim0
1
222 1
pp
11lim0
Dist. Gamma Dist. Negative BinomialVariabel acak distribusi Gamma dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi Negative Binomial dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan kebalikan scale (1/) dan banyaknya sukses (s) ekuivalen dengan shape () yang menjadi parameter distribusi Gamma.
67
Dist. Gamma Dist. Negative Binomial
68
pxE
p
11)(lim0
x y
x y
p
x
si
sis
p
dyex
dyexxXP
ppsi
xXP
0
/10
.1
0
0
)(
)()(lim
)1(11
)(lim
an
neaaa
na
...
!3!211lim
32
Dist. Gamma Dist. Negative BinomialDist. GammaMean
Variance
Dist. Negative BinomialMean
Variance
69
.
ps
22
22
.)1.(
)1.(
pps
apap
)(lim0
.
222 .
pp
11lim0
s
70
71
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???