1 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL
MATEMATIKA IPA 2015
Paket 1
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
1. Diberikan premis-premis berikut!
1. Jika n bilangan prima ganjil maka 2n .
2. Jika 2n maka 42 n .
Ingkaran dari kesimpulan tersebut adalah …..
A. Jika n bilangan prima ganjil maka 42 n .
B. Jika n bilangan prima ganjil maka 42 n .
C. n bilangan prima ganjil dan 42 n .
D. n bilangan prima ganjil dan 42 n .
E. n bilangan prima ganjil atau 42 n .
Solusi:
Ingkaran dari pernyataan “Jika n bilangan prima ganjil maka 42 n ” adalah “ n bilangan prima
ganjil dan 42 n ”. D
2. Anggaplah bahwa 360 adan 560 b
. Nilai dari ....12 22
1
b
ba
A. 8 D. 4
B. 7 E. 2
C. 6
Solusi:
5
6012 dan 560 b
Sehingga
p q
q r
p r
(p q) p q
Jika n bilangan prima ganjil maka 2n
Jika 2n maka 42 n
Jika n bilangan prima ganjil maka 42 n
2 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
b
b
16060
6012
b
babb
ba
22
1122
1
6012
2
1
60
ba
ba 160ba6060
60
53
60
24
3. Diberikan 32
32
a dan
32
32
b . Jika hasil dari 22 ba dinyatakan dalam bentuk 3qp ,
maka nilai dari .... qp
A. 152 D. 42
B. 112 E. 18
C. 54
Solusi:
34732
32
32
32
a
34732
32
32
32
b
bababa 22 347347347347 31121438 3qp
0p dan 112q
Jadi, nilai 1121120 qp . [B]
4. Jika akar-akar persamaan 2log
11log
log
126
x
xx
x
xadalah 1x dan 2x . Nilai 2
21 xx
adalah ….
A. 5 D. 2
B. 4 E. 1
C. 3
Solusi:
2log
11log
log
126
x
xx
x
x
22log1log6log xxx xx
2log
2
16log x
xx xx
2
2
16x
xx
22 265 xxx
0652 xx
032 xx
21 x atau 22 x
Jadi, nilai 13222
21 xx [E]
3 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
5. Garis h melalui titik (2,0) menyinggung parabola xxy 62 . Jika titik singgungnya terletak
pada parabola di kuadran kedua, maka persamaan garis h adalah ….
A. 03618 yx D. 042 yx
B. 03618 yx E. 042 yx
C. 042 yx
Solusi:
Ambillah persamaan garis singgungnya adalah nmxy
(2,0) nmxy
nm 20
mn 2
Persamaan garis singgungnya menjadi mmxy 2
mmxy 2 xxy 62
xxmmx 62 2
0262 mxmx
Syarat yang harus dipenuhi agar garis menyinggung parabola adalah 0D , sehingga
021462
mm
0836122 mmm
036202 mm
0182 mm
2m atau 18m
2m 0262 mxmx
0442 xx
022x
2x
2x xxy 62 82622
Koordinat titik singgungnya 8,2 yang terletak di kuadran II.
18m 0262 mxmx
036122 xx
062x
6x
6x xxy 62 726662
Koordinat titik singgungnya 72,6 yang terletak di kuadran IV.
Jadi, persamaan garis singgung yang diminta adalah
2m mmxy 2 42 x
042 yx [D]
4 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
6. Diberikan persamaan kuadrat 02 2 kxx mempunyai akar-akar p dan q. Jika 4
522 qp ,
maka nilai k adalah ….
A. 7 D. 1
B. 5 E. 2
C. 3
Solusi:
02 2 kxx akar-akarnya adalah p dan q.
2
1 qp …………. (1)
2
kpq …………….. (2)
4
522 qp
4
5 qpqp
4
5
2
1
qp
2
5 qp …………... (3)
Jumlah persamaan (1) dan (3) menghasilkan:
32 p
2
3p
2
3p
2
1 qp
2
1
2
3 q
1q
21
2
3k
pq
q
p
2
12
3 k
3k [C]
7. Jika dan adalah akar-akar persamaan 0242 xx , maka persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya 25 dan 25 adalah ….
A. 068162 xx D. 016862 xx
B. 086162 xx E. 016162 xx
C. 086162 xx
5 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Solusi:
Alternatif 1:
0242 xx akar-akarnya adalah dan .
4 dan 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 25 dan 25 .
Jumlah akar-akarnya:
16445452525
Hasil kali akar-akarnya:
410252525 864410225
Persamaan kuadrat yang diminta adalah
021212 xxxxxx
086162 xx
086162 xx [C]
Alternatif 2:
x 25 5
2
x
5
2
x 0242 xx
025
24
5
22
xx
0504020442 xxx
086162 xx [C]
8. Garis g adalah garis singgung pada lingkaran 1022 yx di titik )1,3( A . Salah satu garis h
menyinggung lingkaran itu dan tegak lurus pada garis g adalah ….
A. 0103 yx D. 0103 yx
B. 0103 yx E. 01033 yx
C. 0103 yx
Solusi:
Gradien garis OA adalah 3
1
03
01
OAm .
Gradien garis g adalah mg
1 OAg mm
13
1
gm
3gm
Gradien garis h adalah mh
1 gh mm
13 hm
X
Y
O
A(3,1)
g
6 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
3
1hm
Persamaan garis singgungnya:
12 mrmxy
13
110
3
12
xy
3
10
3
1 xy
0103 yx dan 0103 yx
Jadi, salah satu garis h menyinggung lingkaran itu dan tegak lurus pada garis g adalah
0103 yx A
9. Diberikan fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai b
xxf
5 , 0b dan
2
x
axxg , 2x ,
0a . Jika 84 ffog dan 121o 1 fg , maka nilai .... ba
A. 10 D. 6
B. 9 E. 5
C. 8
Solusi:
b
xxf
5
b
yx
5
5 bxy 51 bxxf
84 ffog
b
gf3
4
b
af
3
24
4
b
af3
2
bb
a 352
352 a
4a
10. Jika x
xxf
24
32
, 2x dan
1f adalah invers dari fungsi f, maka ....11 f
A. 10 D. 6
B. 9 E. 7
C. 8
Solusi:
121o 1 fg
1211 fg
125 bg
12
25
5
b
ba
12
3
54
b
b
935 bb
42 b
2b
Jadi, nilai
6)2(4 ba
[D]
7 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Ambillah tx 2 2 tx
x
xxf
24
32
224
32
t
ttf
t
t
28
1
x
xxf
28
1
, dengan 4x
Alternatif 1:
x
xxf
28
1
y
yx
28
1
128 yxyx
1812 xxy
12
18
x
xy
12
181
x
xxf , dengan
2
1x
9112
11811
f [B]
11. Diberikan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga 12 xx merupakan faktor dari
123 bxax . Nilai ba adalah ….
A. 3 D. 1
B. 2 E. 2
C. 1
Solusi:
Membagi 123 bxax dengan 12 xx menghasilkan:
111 223 axxxbxax
1223 axxaxxax
111 23 xaxaax
Sehingga
01 a
1a
2111 ab
Jadi, 121 ba [C]
12. Lima belas tahun yang lalu umur Mathman adalah 2 kali umur Martha; 15 tahun yang akan datang
umurnya 3
4kali umur Martha. Jumlah umur mereka sekarang adalah ….
A. 80 tahun D. 65 tahun
B. 75 tahun E. 60 tahun
Alternatif 2:
dcx
baxxf
acx
bdxxf
1
x
xxf
28
1
12
18
12
181
x
x
x
xxf ,
2
1x
9112
11811
f [B]
8 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
C. 70 tahun
Solusi:
Ambillah sekarang umur Mathman x tahun dan umur Martha y tahun.
15215 yx
152 yx ……….. (1)
153
415 yx
604453 yx
1543 yx ……….. (2)
Persamaan (2) – 2 Persamaan (1) menghasilkan:
45x
45x 152 yx
15245 y
30y
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah (45 + 30) tahun = 75 tahun. [B]
13. Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis pencukur. Sebuah pencukur tanpa kabel listrik
membutuhkan waktu 4 jam untuk membuatnya dan dijual seharga $40. Pencukur yang lainnya
dengan kabel listrik membutuhkan waktu 2 jam untuk membuatnya dan dijual seharga $30.
Perusahaan itu hanya menpunyai waktu kerja 800 jam untuk digunakan memproduksi pencukur
per harinya dan departemen pengiriman dapat membungkus 300 pencukur per hari. Banyak
masing-masing jenis pencukur yang diproduksi oleh perusahaan itu per harinya agar diperoleh
pendapatan maksimimum adalah ….
A. 300 pencukur dengan kabel listrik saja
B. 200 pencukur tanpa kabel listrik saja
C. 150 pencukur tanpa kabel listrik dan 150 pencukur dengan kabel listrik
D. 100 pencukur tanpa kabel listrik dan 200 pencukur dengan kabel listrik
E. 200 pencukur tanpa kabel listrik dan 200 pencukur dengan kabel listrik
Solusi:
Ambillah banyak pencukur tanpa kabel listrik = x buah dan banyak pencukur dengan kabel listrik
= y buah.
0
0
300
80024
y
x
yx
yx
Fungsi objektif yxxf 3040
80024 yx
4002 yx ………….. (1)
300 yx ………..….. (2)
Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
100x
100x 300 yx
O
400
300
300
(100,200)
300 yx
X
Y
80024 yx
200
9 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
300100 y
200y
Koordinat titik potongnya adalah (100,200)
Titik yxxf 3040
(0,0) 0030040
(200,0) 000.803020040
(100,200) 000.102003010040
(maksimum)
(0,300) 900030030040
Jadi, banyak masing-masing jenis pencukur yang diproduksi oleh perusahaan itu per harinya agar
diperoleh pendapatan maksimimum adalah 100 buah pencukur tanpa kabel listrik dan 200 buah
pencukur dengan kabel listrik. [D]
14. Diberikan persamaan matriks
30
12
1
242
10
11
12
12
23A , dengan matriks A
berordo 22 , tA adalah transpos matriks A, dan I adalah matriks identitas berordo 22 . Nilai
determinan matriks 2AIAt adalah ….
A. 16 D. 216
B. 184 E. 232
C. 200
Solusi:
30
12
1
242
10
11
12
12
23A
2 2 1 2
2 5 0 6
1 0
2 1
12
01
32
21
2213
1A
38
25
32
85tA
38
25
38
252 AAA
716
49
716
49
10
01
32
852AIAt
716
49
32
85
418
124
Det IAA t2 200181244418
124
[C]
15. Diberikan vektor-vektor kjia 22 dan kjib 8104 . Sudut antara vektor
ba
2
1 dan
a adalah ….
A. 150o D. 60
o
10 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
B. 120o E. 45
o
C. 90o
Solusi:
kjikjiba 81042
122
2
1 kji 244
Sudut antara vektor
ba
2
1 dan a adalah .
Rumus: ba
ba cos
222222 212244
2
1
2
2
4
4
cos
0
41441616
448
90
Jadi, sudut antara vektor
ba
2
1 dan a adalah 90
o. [C]
16. Diberikan vektor kjia 643 dan kjib 632 . Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
adalah ….
A. 10 D. 6
B. 8 E. 5
C. 7
Solusi:
Rumus: Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b
bac
222 632
6
3
2
6
4
3
c3694
36126
49
42 6
7
42
Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 6.
17. Garis 0632 yx adalah peta dari garis yang ditranformasikan oleh matriks
32
11
dilanjutkan dengan dilatasi 2,O . Persamaan garis semula adalah ….
A. 088 yx D. 03118 yx
B. 0333 yx E. 03113 yx
C. 03118 yx
Solusi:
Alternatif 1:
11 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
y
x
y
x
32
11
20
02
'
'
y
x
64
22
'
'
24
26
4262
1
y
x
y
x
'
'
24
26
4
1
y
x
'
'
2
11
2
1
2
3
y
x
'2
1'
'2
1'
2
3
yx
yx
'2
1'
2
3yxx ………. (1)
'2
1' yxy …………(2)
Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
'2
1xyx
yxx 22'
yxx 22' '2
1' yxy
'2
122 yyxy
'442 yyxy
yxy 64'
0632 yx
06643222 yxyx
06181244 yxyx
062216 yx
03118 yx
Jadi, garis semula adalah 03118 yx . [C]
Alternatif 2:
Ambillah garis semula adalah 0 cbyax .
y
x
y
x
32
11
20
02
'
'
y
x
64
22
'
'
24
26
4262
1
y
x
y
x
'
'
24
26
4
1
y
x
'
'
2
11
2
1
2
3
y
x
'2
1'
'2
1'
2
3
yx
yx
'2
1'
2
3yxx
'2
1' yxy
0 cbyax
12 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
0'2
1''
2
1'
2
3
cyxbyxa
02
1'
2
3
cbaxba 0632 yx
6c
22
3 ba …..……(1)
32
1
2
1 ba ……. (2)
Persamaan (1) – 2 Persamaan (2) menghasilkan:
82
1a
16a
16a 22
3 ba
2162
3 b
22b
062216 yx
03118 yx
Jadi, garis semula adalah 03118 yx . [C]
18. Diberikan fungsi eksponen baxf x 2 yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jika
xf 1 adalah invers dari fungsi eksponen f , maka ....1 xf
A.
1
4
1log2 x
B.
1
4
1log2 x
C. 4log4
1 2 x
D. 4log2 2 x
E. 214
1log2
x
Solusi:
)8,0( baxf x 2
ba 028
8 ba …….. (1)
)20,2( baxf x 2
ba 2220
204 ba …….. (2)
O X
Y
(2,20)
xfy
(0,8)
13 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:
123 a
4a
4a 8 ba
84 b
4b
Persamaan fungsi eksponen adalah 42424 2 xxxf
42 2 xxf
42 2 yx
42 2 xy
4log2log 2 xy
4log2log2 xy
4log2 2 xy
24log2 xy
4log4log 22 xy
1
4
1log2 xy
Jadi, fungsi inversnya adalah
1
4
1log21
xxf [A]
19. Diberikan barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 20 dan suku ke-12 adalah 41. Jumlah 20
suku ganjil pertama dari barisan tersebut adalah …..
A. 900 D. 1.200
B. 1.000 E. 1.300
C. 1.100
Solusi:
205 u 204 ba ……….. (1)
4112 u 4111 ba ……... (2)
Selisih persamaan (2) dan (2) adalah
217 b
3b
3b 204 ba
2034 a
8a
Barisan aritmetika: 8, 11, 14, 17, 20, …
Barisan aritmetika suku ganjil: 8, 14, 20, …, dengan suku pertama a = 8 dan beda b = 14 – 8 = 6
bnan
Sn 122
300.16120822
2020 S
14 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Jadi, jumlah 20 suku ganjil pertama dari barisan tersebut adalah 1.300. [E]
20. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya 26. Jika bilangan ke-2 ditambah 4
menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah ….
A. 6 D. 14
B. 8 E. 16
C. 12
Solusi:
Barisan geometri: arar
a,,
26 arar
a
rarara 262
arraar 262 ………. (1)
Barisan aritmetika: arar
a,4,
44 aarr
aa
rarararar 44 2
0822 ararar ……… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
08226 rararr
0318 arr
063 ar
0r (ditolak) atau 6a
Jadi, nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah 6.
21. Diberikan balok ABCD.EFGH, dengan AB = 40 cm, BC = 30 cm, dan CG = 18 cm. Jarak dari titik
C ke bidang BDG adalah ….
A. 7063
1 cm D.
5
314 cm
B. 7063
2 cm E. 14 cm
C. 5
214 cm
Solusi:
22 CDBCBD 504030 22 cm
Luas BCD CPBDCDBC 2
1
2
1
2450
4030
BD
CDBCCP cm
22 CPCGPG 302418 22 cm
A B
C D
E F
G H
P
Q
40
30
18
15 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Luas GCP CQPGCPCG 2
1
2
1
5
214
30
2418
PG
CPCGCQ cm
Jadi, jarak dari titik C ke bidang BDG adalah 5
214 cm.
22. Dari prisma segitiga tegak ABC.DEF diketahui ABC adalah siku-siku di A, AB = 6 cm, luas
ABC = 24 cm2, dan jumlah luas bidang sisi tegak = 96 cm
2. Sudut yang dibentuk antara bidang
BCD dan bidang alas adalah . Nilai cos adalah ….
A. 61
5 D.
61
10
B. 61
6 E.
61
12
C. 61
8
Solusi:
Luas ABC ACAB 2
1
AC 62
124
8AC cm
22 ACABBC 1086 22 cm
Luas ABC APBCACAB 2
1
2
1
8,410
86
BC
ACABAP cm
Jumlah luas bidang sisi tegak = 96
961086 hhh
9624 h
4h cm
22 ADABBD 5246 22 cm
22 ADACCD 8048 22 cm
Pandanglah BCD:
CDBD
BCCDBDD
2cos
222 80522
10805222
541322
1008052
541322
32
65
2
65
61sin D
B
A C
E
D F
P
6
h
2
D
65 61265 22
16 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Luas BCD DPBCDCDBD 2
1sin
2
1
10
65
618052
sin
BC
DCDBDDP
10
65
6154132
615
4
615
4
8,4cos
DP
AP
61
6 [B]
23. Keliling segi-12 beraturan yang mempunyai luas 588 cm2 adalah ….
A. 267 cm D. 1684 cm
B. 2614 cm E. 2684 cm
C. 1284 cm
Solusi:
Luas segi-n beraturan n
Rn
360
sin2
1 2
Luas segi-12 beraturan 12
360sin
2
112 2
R
30sin6588 2R
2
16588 2 R
1962 R
14R
Menurut aturan Kosinus:
30cos2222 RRRRp1
196 196 2 14 14 32
2 196 196 3
31961962 p 3487 12287 267
Jadi, keliling segi-12 beraturan itu adalah 26842678 cm. E
24. Diberikan limas segitiga beraturan ABCT . , dengan 34TA dm dan 6AB dm. Volume limas
tersebut adalah ….
A. 318 liter D. 312 liter
B. 18 liter E. 8 liter
C. 316 liter
Solusi:
Lihat APB siku-siku di P:
3360sin6sin BABAP dm
Lihat TPB siku-siku di P:
222 BPTBTP 39948334 22
Lihat TAP:
R R
p
30o
A
B
C
T
T1
h
P
6
6
3
3
34
17 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
TAAP
TPTAAP
2cos
222
34332
39343322
72
394827
72
36
2
1
60
Luas TAP sin2
1APTA 60sin3334
2
13
2
118 39 cm
2
392
11 TTAP
39332
1 h
6h cm
volume limas itu adalah 3
1 Luas ABC h 660sin66
2
1
3
1 318 liter A
25. Jika dan , dengan adalah solusi dari persamaan 0sec45tansin2 xxx , dengan
π20 x , maka nilai ....cos
A. 1 D. 0
B. 32
1 E. 1
C. 2
1
Solusi:
0sec45tansin2 xxx
0cos
145
cos
sinsin2
xx
xx
04cos5sin2 2 xx
04cos5cos12 2 xx
04cos5cos22 2 xx
02cos5cos2 2 xx
02cos1cos2 xx
2
1cos x (diterima) atau 2cos x (ditolak)
3
πcos
2
1cos x
π23
πkx , dengan Bk
3
πx atau
3
5πx
Jadi, 2
1
3
π4cos
3
π
3
π5coscos
[C]
26. Sinus-sinus dari tiga buah sudut dalam suatu segitiga berbanding sebagai 3 : 4 : 5. Jika A adalah
sudut dalam terkecil dan C adalah sudut terbesar dari segitiga itu, maka nilai BA tan adalah ….
18 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 3
4 D.
24
7
B. 1 E. 1
C. 24
7
Solusi:
Menurut aturan Sinus dalam ABC :
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
5:4:3sin:sin:sin CBA
5:4:3sin:sin:sinsin2:sin2:sin2:: CBACRBRARcba
Ambillah ka 3 , kb 4 , dan kc 5 , dengan 0k
Menurut aturan Kosinus dalam ABC :
Abccba cos2222
bc
acbA
2cos
222
5
4
542
354222
kk
kkk
5
3
5
41sin
2
A
4
3
cos
sintan
A
AA
Baccab cos2222
ac
bcaB
2cos
222
5
3
532
453222
kk
kkk
5
4
5
31sin
2
B
3
4
cos
sintan
B
BB
Jadi, nilai BA
BABA
costan1
tantantan
24
7
3
4
4
31
3
4
4
3
[C]
27. Jika 3
5cossin xx , dengan 900 x , maka nilai xx sincos adalah ….
A. 3
15 D.
3
8
B. 3
13 E.
3
7
C. 3
11
Solusi:
19 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
3
5cossin xx
2
2
3
5cossin
xx
9
5cossin2cossin 22 xxxx
9
52sin1 x
9
42sin x
9
65
9
412cos
2
x
3
13
3
5
9
65
sincos
2cos
sincos
sincossincos
22
xx
x
xx
xxxx B
28. Nilai
2008200952010124lim 222 xxxxxx
xadalah ….
A. 2 D. 5
B. 3 E. 8
C. 4
Solusi:
Alternatif 1:
Anda harus ingat rumus: a
pbqpxaxcbxax
x 2lim 22
2008200952010124lim 222 xxxxxx
x
200820095
4
201032lim 222 xxxxxx
x
2008
4
2010320095
4
20103lim 2222 xxxxxxxx
x
514
12
13
12
53
Alternatif 2:
Anda tidak harus ingat rumus: a
pbqpxaxcbxax
x 2lim 22
2008200952010124lim 222 xxxxxx
x
20 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
22
2
2
1
2
532lim xxx
x
2
1
2
532lim xxx
x
2
1
2
532lim xxx
x5 C
29. Nilai ....tansin
8cos1lim
20
xxx
x
x
A. 64 D. 8
B. 32 E. 4
C. 16
Solusi:
Alternatif 1:
xxx
x
xxx
x
xx tansin
4sin2lim
tansin
8cos1lim
2
2
020
x
xx
x
xx
4sin
tansin
4sin
2lim
22
20
xxxx
xxxx
x
xx
4sin4sin
tan44sin
16
1
4sin
4
16
1
2lim
20
16
1
16
1
2
16 C
Alternatif 2:
xxx
x
xxx
x
xx
2
2
020
82
1
limtansin
8cos1lim 16
2
32lim
2
2
0
x
x
x C
30. Diberikan kurva fungsi baxxy 23 , dengan 0a , a dan b adalah konstanta. Garis singgung
kurva pada titik
0,
3
1aP dan (3,4) adalah sejajar. Nilai ....2 22 baba
A. 49 D. 1
B. 7 E. 49
C. 1
Solusi:
baxxy 23
axxdx
dy23 2
Gradien garis singgung adalah ax
xdx
dy
dx
dym
3
13
aaaa
3
12
3
133233
2
2
3
2
33233
222 aa
a
2627 aa
21 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
02762 aa
039 aa
9a (ditolak) atau 3a (diterima)
baxxya
23
4,3
3
b23
3334
4b
Jadi, nilai 222 2 bababa 1432
31. Keuntungan maksimum jika persamaan permintaan (demand equation) xp 436 dan biaya total
(total cost) 62 2 xC adalah ….
A. $96 D. $32
B. $64 E. $28
C. $48
Solusi:
Keuntungan Cpx 62436 2 xxx 6366 2 xx
6366 2 xx
3612' x
12"
Nilai stasioner (titik kritis) dicapai untuk 0' , sehingga
03612 x
3x
Karena 012" , maka fungsi keuntungan dicapai pada 3x .
486336362
Jadi, keuntungan maksimumnya adalah $48. [C]
32. Jika
a
a
dttdxx
4
0
1218313 , maka nilai a adalah ….
A. 6 D. 2
B. 4 E. 1
C. 3
Solusi:
a
a
dttdxx
4
0
1218313
4
0
2 12129392
13tdtxx
a
a
4022 12639
2
1339
2
13 taaaa
2
3
2
3
1026142678 a
616278 a
22 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
278
156a
Jadi, nilai a adalah 2. [D]
33. Hasil dari
8
31
3
x
xadalah ….
A. 64 D. 32
B. 48 E. 12
C. 36
Solusi:
Alternatif 1: Metode Substitusi:
Ambillah 1 xu 12
x
dxdu
1 xu 12 ux
3x 1 xu 213
8x 1 xu 318
8
31
3
x
x
3
2
2 16 duu 323 62 uu 3212161854 [D]
Alternatif 2: Metode Integral Parsial:
Ambillah xu 3 dxdu 3
dxx
dv1
1
dx
x
xdv
1
112 x
vduuvudv
dxx
x
1
3dxxxx 312123 11616 xdxxx
Cxxxx 11416
8
31
3
x
x 8
311416 xxxx 444418994948
323218108144 [D]
34. Hasil integral dari ....cos16
2
0
4
xdx
A. π16 D. π3
B. π13 E. π2
C. π6
Solusi:
2
π
0
4cos16 xdx 2
π
0
22cos16 dxx
2
π
0
2
2
2cos116 dx
x
2
π
0
2
4
2cos2cos2116 dx
xx
23 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2
π
0
2 2cos2cos214 dxxx
2
π
02
4cos12cos214 dx
xx
2
π
0
4cos222cos84 dxxx2
π
0
4sin2
12sin46
xxx
0sin2
10sin40π2sin
2
1sinπ4π3 π3 [D]
35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi 22xy , 2y , dan 0206 yx adalah ….
A. 5 D. 3
27
B. 3
15 E.
3
217
C. 3
25
Solusi:
Batas-batas integral:
Kurva 22xy dan 2y .
22 2 x
1x
Kurva 22xy dan 0206 yx .
02062 2 xx
01032 xx
052 xx
2x atau 5x
Kurva 0206 yx dan 2y .
02026 x
3x
Luas b
a
dxxfL
Luas daerah yang diarsir adalah
3
2
2
1
2 220622 dxxdxxL 322
2
1
3 18323
2xxxx
3612542723
24
3
16
3
251
3
14 . [D]
36. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 24 xy , garis xy 3 ,
dan garis 2x yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah ….
A. π15
262 D. π
15
160
O X
Y
1 2 3
(3,2)
(2,8) 8
2
22xy
2y
0206 yx
24 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
B. π15
260 E. π
15
120
C. π15
162
Solusi:
Batas-batas integral:
Kurva 24 xy dan garis xy 3
243 xx
0432 xx
014 xx
4x atau 1x
dxxgxfV
b
a
22π , xgxf
dxxxV
2
1
22243π dxxxx
2
1
422 8169π dxxx
2
1
42 1617π
2
1
53
516
3
17π
xxx
5
116
3
17
5
3232
3
136π
5
3116
3
119π π
15
262 [A]
37. Data yang disajikan pada berikut adalah tinggi badan sekelompok siswa .
Tinggi Badan (cm) Frekuensi
151 155 5
156 160 20
161 165 a
166 170 28
171 175 7
Jika modus pada tabel tersebut adalah 163,625, maka nilai a adalah ….
A. 48 D. 42
B. 46 E. 40
C. 44
Solusi:
pdd
dLMo
21
1
dengan: Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus ( yang memiliki frekuensi tertinggi)
p = panjang kelas atau interval kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Nilai modus pada tabel tersebut adalah 163,625 menunjukkan bahwa kelas modus terletak pada
interval kelas 161 165 dengan frekuensi a.
O X
Y
24 xy 2x
xy 3
1
25 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Mo = 163,625; L = 160,5; p = 5; 201 ad ; dan 282 ad
52820
205,160625,163
aa
a
52820
20125,3
aa
a
482
20625,0
a
a
203025,1 aa
1025,0 a
40a
Jadi, nilai a dalah 40. [E]
38. Banyaknya bilangan 8 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka
dari 91909595 adalah ….
A. 840 D. 325
B. 735 E. 105
C. 420
Solusi:
Bilangan 91909595 terdiri dari 8 angka, dengan dua angka 5 dan empat angka 9 yang sama,
sehingga banyaknya susunan 8 angka adalah 840!412
!45678
!4!2
!8
.
Perlu dipahami bahwa banyaknya bilangan 840 buah ini termasuk bilangan dengan angka pertama
0 (misalnya 01559999 artinya 1559999 bukan bilangan 8 angka yang dimaksud)
Sehingga banyak bilangan dengan 0 yang bertindak sebagai angka pertama adalah
105!412
!4567
!4!2
!7
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk tersebut adalah 840 – 105 = 735. [C]
39. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 laki-laki dan sisanya perempuan akan dibentuk kelompok belajar
yang beranggotakan 6 orang. Jika dalam kelompok belajar itu terdapat paling sedikit 3 laki-laki,
maka banyaknya cara membentuk kelompok belajar tersebut adalah ….
A. 812 D. 352
B. 800 E. 112
C. 720
Solusi:
Ada 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan.
Kelompok belajar yang akan dibentuk beranggotakan 6 siswa, dengan paling sedikit ada 3 orang
laki-laki.
Kemungkinannya adalah (3L, 3P), (4L, 2P), (5L, P), (6L, 0P)
Jadi, banyaknya cara membentuk kelompok belajar tersebut adalah
0567155725473537 CCCCCCCC
!5!0
!5
!1!6
!7
!4!1
!5
!2!5
!7
!3!2
!5
!3!4
!7
!2!3
!5
!4!3
!7
26 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
!51
!5
1!6
!67
!41
!45
12!5
!567
!312
!345
123!4
!4567
12!3
!345
!4123
!4567
1752110351035
7105350350
812 [A]
40. Dalam sebuah kantong terdapat 10 butir kelereng yang terdiri dari 6 butir kelereng berwarna hijau
dan sisanya kelereng berwarna putih. Jika dari kantong itu diambil secara acak (random) 3 butir
kelereng sekaligus, maka peluang yang terambil kelereng berawarna sama adalah ….
A. 15
7 D.
5
3
B. 5
1 E.
21
5
C. 5
2
Solusi:
Kelereng berwarna hijau = 6 butir
Kelereng berwarna putih = 10 – 6 = 4 butir
P(kelereng berwarna sama) 310
3436
C
CC
!310!3
!10
!34!3
!4
!36!3
!6
!7123
!789101!3
!34
!3123
!3456
120
420
120
24
5
1 [B]