Download - soal mid buk jamilah.docx
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
1/27
Soal Operasi Biner
Contoh soal operasi biner
1. Lengkapi table operasi biner # di bawah ini untuk mendefinisikan operasi biner yang bersifat
komutatif dan asosiatif pada S = {ab!"
# a b !
a a !
b b ! a
! !
awab$
S = {ab!"
# a b !
a a b !
b b ! a
! ! a b
Bukti table di atas komutatif dan asosiatif%
a& 'omutatif
a#b = b#a
b = b
b& (sosiatif
a#)b#!& = )a#b!
a#a = b#!
a = a
*. +isalkan suatu himpunan yang tak kosong ,- adalah himpunan bilangan bulat
positifdidefinisikan / y = 0 y0 bila 2 y dan / = untuk setiap y 3 ,-. 4un5ukan
apakah operasi binernya tertutup komutatif dan asosiatif.
6enyelesaian %
a. 4ertutup
+isalkan = * dan y = 7
/ y = * / 7 = 1
https://rudihartonomath08.wordpress.com/2011/03/07/soal-operasi-biner/https://rudihartonomath08.wordpress.com/2011/03/07/soal-operasi-biner/ -
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
2/27
/ = * / * = *
/ y dan / tertutup tehadap ,- sehingga y 8 ,-
b. 'omutatif
y 3 ,- misalkan = * dan y = 7
/ y = * / 7 = 0* 70 = 1
y / = 7 / * = 07 *0 = 1
/ y = y / komutatif
!. (ssosiatif
y 9 3 ,- misalkan = * dan y = 7 9 = :
) / y& / 9 = )* / 7& / : = 0* 70 / : = 01 :0 = 7
/ )y / 9& = * / )7 / :& = * / 07 :0 = 0* 10 = 1
) / y& / 9 ; / )y / 9& tidak assosiatif.7. a& 4ertutup
6ada ,-didefenisikan # dengan a#b = a-b ab 3 ,-. apakah ,-tertutup iketahui 9 adalah himpunan semua bilangan bulat. >idefinisikan opersi / dimana a/b = a - b
ab 3 ,.
(pakah operasi / terdefinisi dengan baik idefinisikan operasi / pada , dengan syarat untuk
setiap ab3 , a/b=a/b.
(pakah operasi / merupakan operasi biner pada , iperhatikan bahwa 5ika a =1 dan b = * akan berakibat
a/b=1/*=1@* bukan anggota ,.adioperasi / tidak
memenuhi kondisi tertutup.
>iperhatikan 5uga bahwa 5ika a =1 dan b = A akan
berakibat a/b = 1/A = 1@A yang tidak biasdidefinisikan. adi operasi / tidak memenuhi kondisi
terdefinisi dengan baik.
adi operasi / bukan merupakan operasi biner pada ,
7. 4entukan apakah operasi biner berikut terdefinisi terdefinisi dengan baik dan tertutup. 7A
H.
6embahasan
Q = . ? . : . 7 . * . 1 = *A
awaban% (
Eomor *
? Q 7 Q = ...
(. 1? Q
B. 1A Q
C. K Q>. Q
H. Q
6embahasan
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
9/27
? Q = ? . : . 7 . * . 1 = 1*A
7 Q = 7 . *. 1 =
+aka ? Q 7 Q = 1*A = *A
*A = Q
awaban% H
Eomor 7
K Q @ ? Q = ...
(. 77
B. 7*
C. 71
>. *7H. **
6embahasan
awaban% (
Eomor :
(. A
B. ?A
C. 7?
>. *?
H. 1A
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
10/27
awaban% C
Eomor ?
n Q @ )n R 1& Q = ...
(. n
B. n R 1
C. n R *
>. n* R *
H. 1@n
6embahasan
awaban% (
Eomor
ika nQ @ )n R *&Q = *A maka nilai n = ...
(.
B. ?
C. :
>. 7
H. *
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
11/27
6embahasan
n* R n = *A
n* R n R *A = A
)n R ?& )n - :& = A
n = ? atau n = R: )tidak mungkin negatif&
awaban% B
Eomor
Eilai dari 67 sama dengan ...
(. K:A
B. *KAC. *1A
>. A
H. 7?
6embahasan
awaban% C
Eomor KEilai n agar n6* = * adalah...
(. T
B. K
C.
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
12/27
>.
H. ?
6embahasan
n*
R n R * = A)n R T& )n - K& = A
n = T atau n = RK )tidak mungkin negatif&
awaban% (
Eomor T
n-167 = n6: = maka n = ...
(. *
B. 7
C. :
>. ?
H.
6embahasan
n-167 = n6:
)n - 1& . n . )n R 1& Q = n . )n R 1& . )n R *& . )n R 7& Q)n - 1& = )n R *& . )n R 7&
n - 1 = n* R ?n -
n* R n - ? = A
)n R ?& )n R 1& = A
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
13/27
n = ? atau n = 1
awaban% >
Eomor 1A
Hmpat pe5abat yang diundang datang se!ara sendiriRsendiri )tidak bersamaan&. Banyak !ara
kedatangan ke empat pe5abat sebesar =...
(. 1
B. :
C. K
>. *:
H. :K
6embahasan
>iketahui%
n = :
k = 1 )sendiriRsendiri&
>itanya% :61 = ...
awab%
:61 = : Q @ ): R 1&Q = : . 7Q @ 7Q = :
awaban% B
Eomor 11
>alam suatu organisasi akan dipilih ketua bendahara dan sekretaris dari K !alon yang memenuhi
kriteria. Banyak susunan yang mungkin dari K !alon tersebut adalah...
(. ?
B. 77
C. :?
>. 1KA
H. *A
6embahasan
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
14/27
>iketahui
n = K
k = 7 )ketua bendahara sekretaris&
>itanya% K67 =
awab
K67 = KQ @ )K R 7&Q = K . . . ?Q @ ?Q = K . . = 77
awaban% B
Eomor 1*
Sebuah bangku pan5ang hanya dapat diduduki oleh ? orang. Banyak !ara K orang menduduki
bangku sama dengan...
(. *AB. 77
C. :A
>. 7
H. *:
6embahasan
>iketahui%
n = K
k = ?
>itanya% K6? = ...
awab%
K67 = KQ @ )K R ?&Q = K . . . ? . : . 7Q @ 7Q = K . . . ? . : = *A
awaban% (
Eomor 17
Banyak permutasi atau susunan yang berbeda orang duduk mengelilingi suatu me5a bundar
adalah...
(. *A
B. 1*A
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
15/27
C. *:
>. 1*
H.
6embahasan
Banyak susunan melingkar = )n R 1&Q = ) R 1&Q = ? Q = ? . :. 7 . * . 1 = 1*A
awaban% B
Eomor 1:
+isal orang akn duduk mengelilingi sebuah me5a bundar. ika ada dua orang tertentu yang
harus duduk sebelah menyebelah maka banyak susunan yang berbeda yang mungkin sama
dengan...(. T
B. :K
C. *:
>. 1:
H. 1*
6embahasan%
Banyak susunan = )n R *&Q karena ada * orang yang sebelah menyebelah
Banyak susunan = ) R *& Q = :Q = : . 7. * . 1 = *:
awaban% C
Eomor 1?
Banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata S(+(S(( = ...
(. 1KA
B. K:A
C. :A
>. *1A
H. 1A?
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
16/27
6embahasan
>iketahui
n1 = * )* huruf S sama&
n* = : ): huruf ( sama&
>itanya% K6*: =
awab%
K6*: = KQ @ *Q . :Q = K . . . ? . :Q @ *Q. :Q = K . . . ?@* = K:A
awaban% B
Eomor 1
ika * bola merah se5enis 7 bola kuning yang se5enis dan : bola hi5au yang se5enis disusun
se!ara teratur dalam satu baris maka banyak susunan adalah...(. 1*A
B. 7A
C. 71?
>. 1A?
H. *1
6embahasan
>iketahui%
n = * - 7 - : = T
n1 = *
n* = 7
n7 = :
>itanya% T6*7: = ...
awab
T6*7: = TQ @ *Q . 7Q . :Q = T . K . . . ? . :Q @ )* . 1& . )7 . *. 1& . :Q
T6*7: = 1?1*A @ * . = 1*A
awaban% (
Eomor 1
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
17/27
Banyak susunan atau permutasi 7 huruf yang diambil dari 7 huruf a b ! yang tersedia = ...
(. *
B. T
C.
>. 7
H. 1
Soal dan jawaban tentang Permutasi dan Kombinasi
Soal dan jawaban tentang Permutasi dan Kombinasi
PERMUTASI
1) Ada berapa cara bila orang remaja !w"#" $" %) menempati tempat dudu& $ang
a&an disusun dalam suatu susunan $ang teratur'
(awaban
P * +
* # , - . - 1
* . cara
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
18/27
.) Menjelang Pergantian &epengurusan /EM STMIK Tasi&mala$a a&an dibentu&
panitia inti seban$a& . orang !terdiri dari &etua dan wa&il &etua)" calon panitia tersebut
ada 0 orang $aitu a" b" c" d" e" dan 2 Ada berapa pasang calon $ang dapat dudu&
sebagai panitia inti tersebut'
(awaban
0P. * 0+3!04.)+
* !02522,2.21)3!2,2.21)
* 6.73.
* ,7 cara
,) Se&elompo& ma8asiswa $ang terdiri dari 17 orang a&an mengada&an rapat dan
dudu& mengelilingi sebua8 meja" ada berapa cara&a8 &elima ma8asiswa tersebut dapat
diatur pada se&eliling meja tersebut'
(awaban
P5 * !1741)+
* 92:26202522,2.21
* ,0.::7 cara
) /erapa ban$a& ;&ata< $ang terbentu& dari &ata ;STMIK
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
19/27
5) Peluang lulusan P=( dapat be&erja pada suatu perusa8aan adala8 7"652 (i&a
seorang lulusan P=( mendatar&an pada . perusa8aan" ma&a berapa&a8 dia dapat
diterima ole8 perusa8aan'
(awaban
>re&uensi 8arapan &ejadian A adala8 >8!A) * n - P!A)
?i&eta8ui P!A) * 7"65 dan n * .2 Ma&a
>8!A) * . - 7"65 * 1: perusa8aan2
0) Terdapat tiga orang !@" dan B) $ang a&an dudu& bersama di sebua8 bang&u2 Ada
berapa urutan $ang dapat terjadi '
(awaban
nP# * n+
,P, * ,+
* 1 # . # ,
* 0 cara !@B" @B" @B" B@" B@" B@)2
6) Suatu &elompo& belajar $ang beranggota&an empat orang !A" /" C dan ?) a&an
memili8 &etua dan wa&il &etua &elompo&2 Ada berapa alternati susunan &etua dan wa&il
&etua dapat dipili8 '
(awaban
nP# * !n+)3!n4#)+
P. * !+)3!4.)+
* 1. cara !A/" AC" A?" /A" /C" /?" CA" C/" C?" ?A" ?/" ?C) 2
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
20/27
:) /erapa ban$a&n$a permutasi dari cara dudu& $ang dapat terjadi ji&a : orang
disedia&an &ursi" sedang&an sala8 seorang dari padan$a selalu dudu& di&ursi
tertentu2
(awaban
(i&a sala8 seorang selalu dudu& di&ursi tertentu ma&a tinggal 6 orang dengan , &ursi
&osong2
Ma&a ban$a&n$a cara dudu& ada
6P, * 6+3!64,)+
* 6+3+
* 62025
* .17 cara
9) Ada berapa cara 5 gelas warna $ang mengitari meja &ecil" dapat menempati &elima
tempat dengan urutan $ang berlainan'
(awaban
/an$a&n$a cara dudu& ada !5 D 1) + * + 2 , 2 . 2 1 * . cara2
17) Tentu&an ban$a&n$a permutasi si&lus dari , unsur $aitu A" /" C
jawab
(i&a A sebagai urutan I A/C
(i&a / sebagai urutan I /CA
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
21/27
(i&a C sebagai urutan III CA/
(i&a ban$a& unsur n* DF A" /" C" ?
jadi ban$a&n$a permutasi si&lis dari unsur ! A / C ?) adala8 +3 * 2,2.213 * 0
KGM/I=ASI
11) ?alam mengada&an suatu pemili8an dengan mengguna&an ob$e& orang
pedagang &a&i lima untu& diwawancarai" ma&a untu& memili8 , orang untu& satu
&elompo&2 Ada berapa cara &ita dapat men$usunn$a'
(awaban
C, *+ 3 ,+ !4,)+
* !2,2.21) 3 ,2.2121
* . 3 0
* cara
1.) Suatu warna tertentu dibentu& dari campuran , warna $ang berbeda2 (i&a terdapat
warna" $aitu Mera8" Kuning" /iru dan Hijau" ma&a berapa &ombinasi tiga jenis warna
$ang di8asil&an2
(awaban
nC# * !n+)3!#+!n4#)+)
C, * !+)3!,+!4,)+)
* .30 * macam &ombinasi !MK/" MKH" K/H" M/H)2
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
22/27
1,) ?alam suatu pertemuan terdapat 17 orang $ang belum saling &enal2 Agar mere&a
saling &enal ma&a mere&a saling berjabat tangan2 /erapa ban$a&n$a jabat tangan $ang
terjadi2
(awaban
17C. * !17+)3!.+!174.)+) * 5 jabat tangan
1) Suatu &elompo& $ang terdiri dari , orang pria dan . orang wanita a&an memili8 ,
orang pengurus2 /erapa cara $ang dapat dibentu& dari pemili8an ji&a pengurus terdiri
dari . orang pria dan 1 orang wanita2
(awaban
,C. 2 .C1 * !,+)3!.+!,4.)+) 2 !.+)3!1+!.41)+) * 0 cara" $aitu 1 . J1 1 , J1 . ,
J1 1 . J. 1 , J. . , J.
15) ?alam sebua8 ujian" seorang ma8asiswa diwajib&an mengerja&an 5 soal dari :
soal $g tersedia2 Tentu&an
a2 ban$a&n$a jenis pili8an soal $g mung&in untu& di&erja&an
b2 ban$a&n$a jenis pili8an soal $g mung&in di&erja&an ji&a no20 dan 6 wajib
di&erja&an2
(awaban
c2 : C5 * :+35+!:45)+ * !:-6-0-5+)35+,+ * 50 cara
d2 0C, * 0+3,+!04.)+ * !0-5--,+)3,+,+ * .7 cara
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
23/27
10) /an$a& cara memili8 pengurus dari 0 calon" $ang ada sama dengan 2222
(awaban
0C * 0+3+!04)+ * !0-5-+)3+.+ * 15 cara
16) ?alam sebua8 &anto8 terdapat 6 &elereng2 /erapa ban$a& cara mengambil
&elereng dari &antong tersebut'
(awaban
6C * 6+3+!64)+ * !6-0-5-+)3+,+ * ,5 cara
1:) Siswa di minta mengerja&an 9 dari 17 soal ulangan" tetapi soal 145 8arus di
&erja&an2 /an$a&n$a pili8an $ang dapat diambil murid adala82
(awaban
5C * 5+3+!54)+ * !5-+)3+1+ * 5 cara
19) Seorang peterna& a&an membeli , e&or a$am dan . e&or &ambing dari seorang
pedagang $ang memili&i 0 e&or a$am dan e&or &ambing2 ?engan berapa cara
peterna& tersebut dapat memili8 terna&4terna& $ang di ingin&ann$a'
(awaban
/an$a& cara memili8 a$am * 0C, * 0+3,+!04,)+ * 0+3,+,+ * .7 cara
/an$a& cara memili8 &ambing * C. * +3.+!4.)+ * !-,-.+)3.+.+ * 0 cara
(adi" peterna& tersebut memili&i pili8an seban$a& * .7-0 * 1.7 cara
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
24/27
.7) Sebua8 perusa8aan membutu8&an &ar$awan $g terdiri dari 5 putra dan , putri2 (i&a
terdapat 15 pelamar" 9 diantaran$a putra2 Tentu&an ban$a&n$a cara men$ele&si
&ar$awan+
(awaban
Pelamar putra * 9 dan pelamar putri 0 ban$a& cara men$ele&si
9C5 # 0C, * 9+35+#!945)+ # 0+3,+#!04,)+ * .,07
conto8 soal subgrup si&li&
Conto8 1
Tentu&an subgrup dari B: dan B1. atas penjumla8an &emudian gambarla8 diagram
latticen$a +
(AJA/
12 B:*L7"1".",""5"0"6"
Ambil a* . dimana N.F * L7".""02 /erdasar&an teorema 2. ma&a
.1*.
..*
.,*0
.*7
.5*.
Apabila . selanjutn$a dipang&at&an sampai n" dimana n O B ma&a 8asiln$a a&an
berulang2 Se8ingga N.F tertutup ter8adap operasi di B:a&ibatn$a N.F merupa&an
subgrup dari B:2
Selanjutn$a ambil a*" dimana NF*L7"2 ?engan cara serupa &ita dapat&an
1*
.*7
,*
*7
5*
https://itha89.wordpress.com/2011/03/22/contoh-soal-subgrup-siklik/https://itha89.wordpress.com/2011/03/22/contoh-soal-subgrup-siklik/ -
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
25/27
Apabila dipang&at&an sampai n" dimana n O B ma&a 8asiln$a a&an berulang pada
order dari NF se8ingga NF tertutup ter8adap operasi di B:a&ibatn$a NF merupa&an
subgrup dari B:2
Tern$ata subgrup dari B: adala8 N.F dan NF dimana N.F*L7".""0 dan NF*L7"2 N.F
dan NF merupa&an subgrup sejati nontriial dari B:2
Se8ingga diagram latticen$a adala8
.2 B1.*L7"1".",""5"0"6":"9"17"11
Ambil a* . dimana N.F*L7".""0":"172 /erdasar&an teorema 2. ma&a.1*. .*:
..* .5*17
.,*0 .0*7
Apabila . dipang&at&an sampai n dimana n O B 8asiln$a tetap berada pada N.F
se8ingga tertutup ter8adap operasi pada B1.2 A&ibatn$a N.F merupa&an subgrup dari
B1.2
?engan cara serupa ambil a*, dimana N,F*L7","0"9 se8ingga diperole8
,1*, ,5*,
,.*0 ,0*0
,,*9 ,6*9
,*7 ,:*7
?ari 8asil di atas N,F merupa&an subgrup dari B1.2
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
26/27
Selanjutn$a ambil a* dimana NF*L7"":2 /erdasar&an teorema 2. ma&a
1* *
.*: 5*:
,*7 0*7
Apabila dipang&at&an sampai pang&at &e4n" dimana n O B 8asiln$a a&an sama
dengan order dari NF $aitu NF*L7"": se8ingga tertutup ter8adap operasi di
B1.a&ibatn$a NF merupa&an subgrup dari B1.2
Ambil a*0 dimana N0F*L7"0 dengan cara $ang sama diperole8
01*0 0,*0
0.*7 0*7
?engan memang&at&an a sampai pang&at &e4n 8asiln$a a&an sama dengan N0F
se8ingga N0F tertutup ter8adap operasi di B1.a&ibatn$a N0F merupa&an subgrup dari
B1.2
?ari 8asil diatas dapat disimpul&an N.F" N,F" NF" dan N0F merupa&an subgrup dari
B1.2 N.F" N,F" NF" dan N0F merupa&an subgrup sejati nontriial dari B1.dan N7F
merupa&an subgrup triial dari B1.2
?iagram lattice dari B1.adala8 sebagai beri&ut
Conto8 .
Pada conto8 sebelumn$a" $aitu pada B:N.F dan NF adala8 subgrup si&li& dari B:2
Conto8 ,
-
7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx
27/27
Carila8 pembangun dari B5 +++
(awab
Grder dari B0adala8 B0*L7"1".",""52 Misal &ita ambil a*1 ma&a
11" 1." 1," 1" 15" 10"Q2"*L1".",""5"7"Q2"* B02
Se8ingga N1F merupa&an pembangun dari B02
Selanjutn$a dicari pembangun $ang lain dari B02 Kita ambil a*.
.1" .." .," ." .5" .0"Q2"*L.""7".""7"Q2 B02
Se8ingga . bu&an pembangun dari B02
untu& a*, 8asiln$a
,1" ,." ,," ," ,5" ,0"Q2"*L,"7","7","7"Q2 B0
Se8ingga , bu&an pembangun dari B02
Kemudian untu& a* didapat&an
1" ." ," " 5" 0"Q2"*L"."7""."7"Q2 B0
Se8ingga bu&an pembangun dari B02
Selanjutn$a untu& a*5 diperole8
51" 5." 5," 5" 55" 50"Q2"*L5"","."1"7"Q2"* B02
Se8ingga N5F merupa&an pembangun dari B02
Kesimpulan
/erdasar&an 8asil di atas dapat &ita simpul&an ba8wa pembangun dari B 0adala8 1 dan5 &arena N1F*N5F* B02?ari deinisi di atas tern$ata B0merupa&an subgrup si&li&
dengan pembangun 1 dan 5