soal mid buk jamilah.docx

7/26/2019 soal mid buk jamilah.docx

1/27

Soal Operasi Biner

Contoh soal operasi biner

1. Lengkapi table operasi biner # di bawah ini untuk mendefinisikan operasi biner yang bersifat

komutatif dan asosiatif pada S = {ab!"

# a b !

a a !

b b ! a

! !

awab$

S = {ab!"

# a b !

a a b !

b b ! a

! ! a b

Bukti table di atas komutatif dan asosiatif%

a& 'omutatif

a#b = b#a

b = b

b& (sosiatif

a#)b#!& = )a#b!

a#a = b#!

a = a

*. +isalkan suatu himpunan yang tak kosong ,- adalah himpunan bilangan bulat

positifdidefinisikan / y = 0 y0 bila 2 y dan / = untuk setiap y 3 ,-. 4un5ukan

apakah operasi binernya tertutup komutatif dan asosiatif.

6enyelesaian %

a. 4ertutup

+isalkan = * dan y = 7

/ y = * / 7 = 1
https://rudihartonomath08.wordpress.com/2011/03/07/soal-operasi-biner/https://rudihartonomath08.wordpress.com/2011/03/07/soal-operasi-biner/


2/27

/ = * / * = *

/ y dan / tertutup tehadap ,- sehingga y 8 ,-

b. 'omutatif

y 3 ,- misalkan = * dan y = 7

/ y = * / 7 = 0* 70 = 1

y / = 7 / * = 07 *0 = 1

/ y = y / komutatif

!. (ssosiatif

y 9 3 ,- misalkan = * dan y = 7 9 = :

) / y& / 9 = )* / 7& / : = 0* 70 / : = 01 :0 = 7

/ )y / 9& = * / )7 / :& = * / 07 :0 = 0* 10 = 1

) / y& / 9 ; / )y / 9& tidak assosiatif.7. a& 4ertutup

6ada ,-didefenisikan # dengan a#b = a-b ab 3 ,-. apakah ,-tertutup iketahui 9 adalah himpunan semua bilangan bulat. >idefinisikan opersi / dimana a/b = a - b

ab 3 ,.

(pakah operasi / terdefinisi dengan baik idefinisikan operasi / pada , dengan syarat untuk

setiap ab3 , a/b=a/b.

(pakah operasi / merupakan operasi biner pada , iperhatikan bahwa 5ika a =1 dan b = * akan berakibat

a/b=1/*=1@* bukan anggota ,.adioperasi / tidak

memenuhi kondisi tertutup.

>iperhatikan 5uga bahwa 5ika a =1 dan b = A akan

berakibat a/b = 1/A = 1@A yang tidak biasdidefinisikan. adi operasi / tidak memenuhi kondisi

terdefinisi dengan baik.

adi operasi / bukan merupakan operasi biner pada ,

7. 4entukan apakah operasi biner berikut terdefinisi terdefinisi dengan baik dan tertutup. 7A

H.

6embahasan

Q = . ? . : . 7 . * . 1 = *A

awaban% (

Eomor *

? Q 7 Q = ...

(. 1? Q

B. 1A Q

C. K Q>. Q

H. Q

6embahasan


9/27

? Q = ? . : . 7 . * . 1 = 1*A

7 Q = 7 . *. 1 =

+aka ? Q 7 Q = 1*A = *A

*A = Q

awaban% H

Eomor 7

K Q @ ? Q = ...

(. 77

B. 7*

C. 71

>. *7H. **

6embahasan

awaban% (

Eomor :

(. A

B. ?A

C. 7?

>. *?

H. 1A


10/27

awaban% C

Eomor ?

n Q @ )n R 1& Q = ...

(. n

B. n R 1

C. n R *

>. n* R *

H. 1@n

6embahasan

awaban% (

Eomor

ika nQ @ )n R *&Q = *A maka nilai n = ...

(.

B. ?

C. :

>. 7

H. *


11/27

6embahasan

n* R n = *A

n* R n R *A = A

)n R ?& )n - :& = A

n = ? atau n = R: )tidak mungkin negatif&

awaban% B

Eomor

Eilai dari 67 sama dengan ...

(. K:A

B. *KAC. *1A

>. A

H. 7?

6embahasan

awaban% C

Eomor KEilai n agar n6* = * adalah...

(. T

B. K

C.


12/27

>.

H. ?

6embahasan

n*

R n R * = A)n R T& )n - K& = A

n = T atau n = RK )tidak mungkin negatif&

awaban% (

Eomor T

n-167 = n6: = maka n = ...

(. *

B. 7

C. :

>. ?

H.

6embahasan

n-167 = n6:

)n - 1& . n . )n R 1& Q = n . )n R 1& . )n R *& . )n R 7& Q)n - 1& = )n R *& . )n R 7&

n - 1 = n* R ?n -

n* R n - ? = A

)n R ?& )n R 1& = A


13/27

n = ? atau n = 1

awaban% >

Eomor 1A

Hmpat pe5abat yang diundang datang se!ara sendiriRsendiri )tidak bersamaan&. Banyak !ara

kedatangan ke empat pe5abat sebesar =...

(. 1

B. :

C. K

>. *:

H. :K

6embahasan

>iketahui%

n = :

k = 1 )sendiriRsendiri&

>itanya% :61 = ...

awab%

:61 = : Q @ ): R 1&Q = : . 7Q @ 7Q = :

awaban% B

Eomor 11

>alam suatu organisasi akan dipilih ketua bendahara dan sekretaris dari K !alon yang memenuhi

kriteria. Banyak susunan yang mungkin dari K !alon tersebut adalah...

(. ?

B. 77

C. :?

>. 1KA

H. *A

6embahasan


14/27

>iketahui

n = K

k = 7 )ketua bendahara sekretaris&

>itanya% K67 =

awab

K67 = KQ @ )K R 7&Q = K . . . ?Q @ ?Q = K . . = 77

awaban% B

Eomor 1*

Sebuah bangku pan5ang hanya dapat diduduki oleh ? orang. Banyak !ara K orang menduduki

bangku sama dengan...

(. *AB. 77

C. :A

>. 7

H. *:

6embahasan

>iketahui%

n = K

k = ?

>itanya% K6? = ...

awab%

K67 = KQ @ )K R ?&Q = K . . . ? . : . 7Q @ 7Q = K . . . ? . : = *A

awaban% (

Eomor 17

Banyak permutasi atau susunan yang berbeda orang duduk mengelilingi suatu me5a bundar

adalah...

(. *A

B. 1*A


15/27

C. *:

>. 1*

H.

6embahasan

Banyak susunan melingkar = )n R 1&Q = ) R 1&Q = ? Q = ? . :. 7 . * . 1 = 1*A

awaban% B

Eomor 1:

+isal orang akn duduk mengelilingi sebuah me5a bundar. ika ada dua orang tertentu yang

harus duduk sebelah menyebelah maka banyak susunan yang berbeda yang mungkin sama

dengan...(. T

B. :K

C. *:

>. 1:

H. 1*

6embahasan%

Banyak susunan = )n R *&Q karena ada * orang yang sebelah menyebelah

Banyak susunan = ) R *& Q = :Q = : . 7. * . 1 = *:

awaban% C

Eomor 1?

Banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata S(+(S(( = ...

(. 1KA

B. K:A

C. :A

>. *1A

H. 1A?


16/27

6embahasan

>iketahui

n1 = * )* huruf S sama&

n* = : ): huruf ( sama&

>itanya% K6*: =

awab%

K6*: = KQ @ *Q . :Q = K . . . ? . :Q @ *Q. :Q = K . . . ?@* = K:A

awaban% B

Eomor 1

ika * bola merah se5enis 7 bola kuning yang se5enis dan : bola hi5au yang se5enis disusun

se!ara teratur dalam satu baris maka banyak susunan adalah...(. 1*A

B. 7A

C. 71?

>. 1A?

H. *1

6embahasan

>iketahui%

n = * - 7 - : = T

n1 = *

n* = 7

n7 = :

>itanya% T6*7: = ...

awab

T6*7: = TQ @ *Q . 7Q . :Q = T . K . . . ? . :Q @ )* . 1& . )7 . *. 1& . :Q

T6*7: = 1?1*A @ * . = 1*A

awaban% (

Eomor 1


17/27

Banyak susunan atau permutasi 7 huruf yang diambil dari 7 huruf a b ! yang tersedia = ...

(. *

B. T

C.

>. 7

H. 1

Soal dan jawaban tentang Permutasi dan Kombinasi

Soal dan jawaban tentang Permutasi dan Kombinasi

PERMUTASI

1) Ada berapa cara bila orang remaja !w"#" $" %) menempati tempat dudu& $ang

a&an disusun dalam suatu susunan $ang teratur'

(awaban

P * +

* # , - . - 1

* . cara


18/27

.) Menjelang Pergantian &epengurusan /EM STMIK Tasi&mala$a a&an dibentu&

panitia inti seban$a& . orang !terdiri dari &etua dan wa&il &etua)" calon panitia tersebut

ada 0 orang $aitu a" b" c" d" e" dan 2 Ada berapa pasang calon $ang dapat dudu&

sebagai panitia inti tersebut'

(awaban

0P. * 0+3!04.)+

* !02522,2.21)3!2,2.21)

* 6.73.

* ,7 cara

,) Se&elompo& ma8asiswa $ang terdiri dari 17 orang a&an mengada&an rapat dan

dudu& mengelilingi sebua8 meja" ada berapa cara&a8 &elima ma8asiswa tersebut dapat

diatur pada se&eliling meja tersebut'

(awaban

P5 * !1741)+

* 92:26202522,2.21

* ,0.::7 cara

) /erapa ban$a& ;&ata< $ang terbentu& dari &ata ;STMIK


19/27

5) Peluang lulusan P=( dapat be&erja pada suatu perusa8aan adala8 7"652 (i&a

seorang lulusan P=( mendatar&an pada . perusa8aan" ma&a berapa&a8 dia dapat

diterima ole8 perusa8aan'

(awaban

>re&uensi 8arapan &ejadian A adala8 >8!A) * n - P!A)

?i&eta8ui P!A) * 7"65 dan n * .2 Ma&a

>8!A) * . - 7"65 * 1: perusa8aan2

0) Terdapat tiga orang !@" dan B) $ang a&an dudu& bersama di sebua8 bang&u2 Ada

berapa urutan $ang dapat terjadi '

(awaban

nP# * n+

,P, * ,+

* 1 # . # ,

* 0 cara !@B" @B" @B" B@" B@" B@)2

6) Suatu &elompo& belajar $ang beranggota&an empat orang !A" /" C dan ?) a&an

memili8 &etua dan wa&il &etua &elompo&2 Ada berapa alternati susunan &etua dan wa&il

&etua dapat dipili8 '

(awaban

nP# * !n+)3!n4#)+

P. * !+)3!4.)+

* 1. cara !A/" AC" A?" /A" /C" /?" CA" C/" C?" ?A" ?/" ?C) 2


20/27

:) /erapa ban$a&n$a permutasi dari cara dudu& $ang dapat terjadi ji&a : orang

disedia&an &ursi" sedang&an sala8 seorang dari padan$a selalu dudu& di&ursi

tertentu2

(awaban

(i&a sala8 seorang selalu dudu& di&ursi tertentu ma&a tinggal 6 orang dengan , &ursi

&osong2

Ma&a ban$a&n$a cara dudu& ada

6P, * 6+3!64,)+

* 6+3+

* 62025

* .17 cara

9) Ada berapa cara 5 gelas warna $ang mengitari meja &ecil" dapat menempati &elima

tempat dengan urutan $ang berlainan'

(awaban

/an$a&n$a cara dudu& ada !5 D 1) + * + 2 , 2 . 2 1 * . cara2

17) Tentu&an ban$a&n$a permutasi si&lus dari , unsur $aitu A" /" C

jawab

(i&a A sebagai urutan I A/C

(i&a / sebagai urutan I /CA


21/27

(i&a C sebagai urutan III CA/

(i&a ban$a& unsur n* DF A" /" C" ?

jadi ban$a&n$a permutasi si&lis dari unsur ! A / C ?) adala8 +3 * 2,2.213 * 0

KGM/I=ASI

11) ?alam mengada&an suatu pemili8an dengan mengguna&an ob$e& orang

pedagang &a&i lima untu& diwawancarai" ma&a untu& memili8 , orang untu& satu

&elompo&2 Ada berapa cara &ita dapat men$usunn$a'

(awaban

C, *+ 3 ,+ !4,)+

* !2,2.21) 3 ,2.2121

* . 3 0

* cara

1.) Suatu warna tertentu dibentu& dari campuran , warna $ang berbeda2 (i&a terdapat

warna" $aitu Mera8" Kuning" /iru dan Hijau" ma&a berapa &ombinasi tiga jenis warna

$ang di8asil&an2

(awaban

nC# * !n+)3!#+!n4#)+)

C, * !+)3!,+!4,)+)

* .30 * macam &ombinasi !MK/" MKH" K/H" M/H)2


22/27

1,) ?alam suatu pertemuan terdapat 17 orang $ang belum saling &enal2 Agar mere&a

saling &enal ma&a mere&a saling berjabat tangan2 /erapa ban$a&n$a jabat tangan $ang

terjadi2

(awaban

17C. * !17+)3!.+!174.)+) * 5 jabat tangan

1) Suatu &elompo& $ang terdiri dari , orang pria dan . orang wanita a&an memili8 ,

orang pengurus2 /erapa cara $ang dapat dibentu& dari pemili8an ji&a pengurus terdiri

dari . orang pria dan 1 orang wanita2

(awaban

,C. 2 .C1 * !,+)3!.+!,4.)+) 2 !.+)3!1+!.41)+) * 0 cara" $aitu 1 . J1 1 , J1 . ,

J1 1 . J. 1 , J. . , J.

15) ?alam sebua8 ujian" seorang ma8asiswa diwajib&an mengerja&an 5 soal dari :

soal $g tersedia2 Tentu&an

a2 ban$a&n$a jenis pili8an soal $g mung&in untu& di&erja&an

b2 ban$a&n$a jenis pili8an soal $g mung&in di&erja&an ji&a no20 dan 6 wajib

di&erja&an2

(awaban

c2 : C5 * :+35+!:45)+ * !:-6-0-5+)35+,+ * 50 cara

d2 0C, * 0+3,+!04.)+ * !0-5--,+)3,+,+ * .7 cara


23/27

10) /an$a& cara memili8 pengurus dari 0 calon" $ang ada sama dengan 2222

(awaban

0C * 0+3+!04)+ * !0-5-+)3+.+ * 15 cara

16) ?alam sebua8 &anto8 terdapat 6 &elereng2 /erapa ban$a& cara mengambil

&elereng dari &antong tersebut'

(awaban

6C * 6+3+!64)+ * !6-0-5-+)3+,+ * ,5 cara

1:) Siswa di minta mengerja&an 9 dari 17 soal ulangan" tetapi soal 145 8arus di

&erja&an2 /an$a&n$a pili8an $ang dapat diambil murid adala82

(awaban

5C * 5+3+!54)+ * !5-+)3+1+ * 5 cara

19) Seorang peterna& a&an membeli , e&or a$am dan . e&or &ambing dari seorang

pedagang $ang memili&i 0 e&or a$am dan e&or &ambing2 ?engan berapa cara

peterna& tersebut dapat memili8 terna&4terna& $ang di ingin&ann$a'

(awaban

/an$a& cara memili8 a$am * 0C, * 0+3,+!04,)+ * 0+3,+,+ * .7 cara

/an$a& cara memili8 &ambing * C. * +3.+!4.)+ * !-,-.+)3.+.+ * 0 cara

(adi" peterna& tersebut memili&i pili8an seban$a& * .7-0 * 1.7 cara


24/27

.7) Sebua8 perusa8aan membutu8&an &ar$awan $g terdiri dari 5 putra dan , putri2 (i&a

terdapat 15 pelamar" 9 diantaran$a putra2 Tentu&an ban$a&n$a cara men$ele&si

&ar$awan+

(awaban

Pelamar putra * 9 dan pelamar putri 0 ban$a& cara men$ele&si

9C5 # 0C, * 9+35+#!945)+ # 0+3,+#!04,)+ * .,07

conto8 soal subgrup si&li&

Conto8 1

Tentu&an subgrup dari B: dan B1. atas penjumla8an &emudian gambarla8 diagram

latticen$a +

(AJA/

12 B:*L7"1".",""5"0"6"

Ambil a* . dimana N.F * L7".""02 /erdasar&an teorema 2. ma&a

.1*.

..*

.,*0

.*7

.5*.

Apabila . selanjutn$a dipang&at&an sampai n" dimana n O B ma&a 8asiln$a a&an

berulang2 Se8ingga N.F tertutup ter8adap operasi di B:a&ibatn$a N.F merupa&an

subgrup dari B:2

Selanjutn$a ambil a*" dimana NF*L7"2 ?engan cara serupa &ita dapat&an

1*

.*7

,*

*7

5*
https://itha89.wordpress.com/2011/03/22/contoh-soal-subgrup-siklik/https://itha89.wordpress.com/2011/03/22/contoh-soal-subgrup-siklik/


25/27

Apabila dipang&at&an sampai n" dimana n O B ma&a 8asiln$a a&an berulang pada

order dari NF se8ingga NF tertutup ter8adap operasi di B:a&ibatn$a NF merupa&an

subgrup dari B:2

Tern$ata subgrup dari B: adala8 N.F dan NF dimana N.F*L7".""0 dan NF*L7"2 N.F

dan NF merupa&an subgrup sejati nontriial dari B:2

Se8ingga diagram latticen$a adala8

.2 B1.*L7"1".",""5"0"6":"9"17"11

Ambil a* . dimana N.F*L7".""0":"172 /erdasar&an teorema 2. ma&a.1*. .*:

..* .5*17

.,*0 .0*7

Apabila . dipang&at&an sampai n dimana n O B 8asiln$a tetap berada pada N.F

se8ingga tertutup ter8adap operasi pada B1.2 A&ibatn$a N.F merupa&an subgrup dari

B1.2

?engan cara serupa ambil a*, dimana N,F*L7","0"9 se8ingga diperole8

,1*, ,5*,

,.*0 ,0*0

,,*9 ,6*9

,*7 ,:*7

?ari 8asil di atas N,F merupa&an subgrup dari B1.2


26/27

Selanjutn$a ambil a* dimana NF*L7"":2 /erdasar&an teorema 2. ma&a

1* *

.*: 5*:

,*7 0*7

Apabila dipang&at&an sampai pang&at &e4n" dimana n O B 8asiln$a a&an sama

dengan order dari NF $aitu NF*L7"": se8ingga tertutup ter8adap operasi di

B1.a&ibatn$a NF merupa&an subgrup dari B1.2

Ambil a*0 dimana N0F*L7"0 dengan cara $ang sama diperole8

01*0 0,*0

0.*7 0*7

?engan memang&at&an a sampai pang&at &e4n 8asiln$a a&an sama dengan N0F

se8ingga N0F tertutup ter8adap operasi di B1.a&ibatn$a N0F merupa&an subgrup dari

B1.2

?ari 8asil diatas dapat disimpul&an N.F" N,F" NF" dan N0F merupa&an subgrup dari

B1.2 N.F" N,F" NF" dan N0F merupa&an subgrup sejati nontriial dari B1.dan N7F

merupa&an subgrup triial dari B1.2

?iagram lattice dari B1.adala8 sebagai beri&ut

Conto8 .

Pada conto8 sebelumn$a" $aitu pada B:N.F dan NF adala8 subgrup si&li& dari B:2

Conto8 ,


27/27

Carila8 pembangun dari B5 +++

(awab

Grder dari B0adala8 B0*L7"1".",""52 Misal &ita ambil a*1 ma&a

11" 1." 1," 1" 15" 10"Q2"*L1".",""5"7"Q2"* B02

Se8ingga N1F merupa&an pembangun dari B02

Selanjutn$a dicari pembangun $ang lain dari B02 Kita ambil a*.

.1" .." .," ." .5" .0"Q2"*L.""7".""7"Q2 B02

Se8ingga . bu&an pembangun dari B02

untu& a*, 8asiln$a

,1" ,." ,," ," ,5" ,0"Q2"*L,"7","7","7"Q2 B0

Se8ingga , bu&an pembangun dari B02

Kemudian untu& a* didapat&an

1" ." ," " 5" 0"Q2"*L"."7""."7"Q2 B0

Se8ingga bu&an pembangun dari B02

Selanjutn$a untu& a*5 diperole8

51" 5." 5," 5" 55" 50"Q2"*L5"","."1"7"Q2"* B02

Se8ingga N5F merupa&an pembangun dari B02

Kesimpulan

/erdasar&an 8asil di atas dapat &ita simpul&an ba8wa pembangun dari B 0adala8 1 dan5 &arena N1F*N5F* B02?ari deinisi di atas tern$ata B0merupa&an subgrup si&li&

dengan pembangun 1 dan 5

soal mid buk jamilah.docx

Documents