Download - Soal Latihan & Kunci Jawaban
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
A.Pilihan Ganda
1.Bilangan 237 pada barisan 3,12,21 ,...
Merupakan suku ke....
a. 20
b. 23
c. 25
d. 27
e. 29
2.∑n=1
5
(2n−1 ) xn , penjumlahan beruntunnya adalah...
a. 2 x+4 x2+6 x3+8x4+10x5
b. x+3 x2+5 x3+7 x4+9 x5
c. 3 x+5x2+7 x3+9 x4+11 x5
d. 2 x2+4 x3+6 x4+8 x5+10x6
e. 1+2 x+3 x2+5 x3+7 x4
3.Suku ke-n suatu deret geometri un=4n . Jumlah n suku pertama deret geometri
tersebut...
a. 4 (1−4n )
b.34
(1−4n)
c. 4 (4n−1 )
d.34
(4n−1 )
e.43
(4n−1 )
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 1
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
4.Jika u , v ,w membentuk barisan gometri maka hubungan berikut yang benar...
a. v2=uv
b. u2=vw
c. w2=uv
d. v=u2w
e. u=v2w
5.∑n=1
5 n (n+1 ) (n+2 )3
=¿....
a. 100
b. 110
c. 120
d. 130
e. 140
6.Jumlah n bilangan asli ganjl yang pertama adalah...
a. n
b. n2
c. 2n2
d. n2−n
e. 12n2+1
7.Dari suatu barisan aritmetika,suku ketiga 36.Jumlah suku kelima dan ketujuh
144.Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut...
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 2
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
a. 840
b. 660
c. 640
d. 630
e. 315
8.Nilai x yang memenuhi persamaan ∑k +1
5k
x2=1=3 adalah...
a. −1atau1
b. −2atau2
c. −3atau 3
d. −4atau 4
e. −5atau5
9.Rumus suku ke-n suatu deret geometri adalah n−n.Jumlah tak hingga deret tersebut...
a.13
b.12
c.23
d. 1
e.32
10.Diketahui (x2+ y2 ) merupakan suku pertama suatu deret aritmetika dan ( x+ y )2
merupakan suku keduanya,beda deret aritmetika tersebut...
a. 2 xy
b. x2 y
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 3
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
c. x+ y
d. x y2
e. x− y
11.Dari suatu deret geometri,U 1+U 2=5 dan jumlah deret tak hingganya 9.Rasio positif
deret tersebut...
a.78
b.56
c.23
d.13
e.12
12.Suatu barisan geometri diketahui U 4=83
dan U 3+U 5=203
. suku pertama barisan
tersebut...
a.23
b.43
c.163
d.323
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 4
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
e.643
13.Suatu deret geometri mempunyai suku pertama p−2 dan suku kedua p2x .Jika suku
kesepuluh p88 maka nilai x=¿...
a.14
b.12
c. 1
d. 2
e. 4
14.Notasi sigma 9∑k=1
n
k 2−6∑k=1
n
k+n , sama dengan...
a. ∑k=1
n
(3 k+1 )2
b. ∑k=1
n
(3 k−3 )2
c. ∑k=1
n
(3 k−1 )2
d. ∑k=1
n
(k−1 )2
e. ∑k=1
n
(k−3 )2
15.Bentuk notasi ∑k=2
101k−∑
k=1
81
k+2 bernilai...
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 5
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
a.12k
b.1
k+1
c.14
d.12
e. 0
B.Benar – Salah
Pilihlah jawaban B jika Benar dan S jika Salah pada pernyataan di bawah ini!
16. B – S : Suatu barisan bilangan U 1 ,U 2 ,U 3 ,… dinamakan barisan aritmetika
jika diantara dua suku yang berurutan mempunyai selisih yang
konstan (tetap).
17. B – S: Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Sn−Sn−1=U n
18. B – S : Rumus suku ke- n barisan aritmetika adalah U n=a+(n−1 )b
19. B – S : Rumus jumlah n suku pertama deret gepmetri tak hingga adalah
U n=arn−1
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 6
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
20. B – S : Notasi sigma yang dilambangkan dengan “Σ” merupakan huruf
Yunani yang artinya jumlah dan diperkenalkan oleh ahli
Matematika Yunani Diophantus.
21. B – S : Barisan bilangan aritmetika terdiri atas 21 suku .suku tengah
barisan tersebut 52,sedangkan U 3+U 5+U 15=106.maka suku ke-7
barisan tersebut adalah 35.
22. B – S : Jumlah suatu deret gometri tak hingga 6 dan jumlah dari suku-suku
bernomor ganjil adalah 4.maka suku ke-6 deret tersebut adalah
332
.
23. B – S : Rumus suku tengah barisan geometri jika n ganjil adalah
U n=Sn−Sn−1
24. B – S : Induksi Matematika merupakan salah satu cara pembuktian dalam
.
25. B – S : Suatu barisan geometri diketahui suku keempat dan keenam
berturut-turut −54 dan −486.Rasio dari barisan geometri tersebut
adalah 2.
26. B – S : Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh
Sn=n2
(5n−19 ).beda deret tersebut adalah 5.
27. B – S : Suku tengah barisan 19,15,11 ,…,−21 merupakan suku ke-5
28. B – S : Suatu deret aritmetika,diketahui suku ke-3 adalah 18 dan jumlah
suku ke-5 dan ke-8 adalah 29.suku ke-31 sama dengan −10.
29. B – S : Deret geometri tak hingga yang mempunyai limit jumlah disebut
divergen.
30. B – S: Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 bilangan
sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang
disisipkan membentuk barisan aritmetika.beda barisan aritmetika
tersebut adalah 4.
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 7
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
C.Mencocokkan
31. Deret geometri tak hingga yang mempunyai
limit jumlah
a. Deret Geometri
Tak Hingga
32. Cara singkat menuliskan penjumlahan beruntun
suku-suku barisan bilangan yang mempunyai
pola tertentu
b. Rumus jumlah n
suku pertama
deret geometri
33. Seorang ahli Paradoks Yunani,yaitu pernyataan
yang menurut perhitungan secara logika benar
tetapi bertentangan dengan akal sehat,tertarik
pada masalah ketakterhinggaan
c. Syarat geometri
konvergen
34.Sn=
a (1−rn )1−r
atau Sn=a ( rn−1 )r−1
d. Barisan geometri
35. Penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan
aritmetika
e. Zenon
36. Perbandingan dua suku yang berurutan selalu
sama
f. Induksi
Matematika
37. −1<r<1atau∨r∨¿1 g. Deret konvergen
38 Digunakan untuk membuktikan kebenaran
sifat,dalil,rumus atau teorema dalam
Matematika
h. Sifat-sifat notasi
sigma
39. Deret geometri yang jumlah sukunya tak
berhingga
i. Deret Aritmrtika
40.∑k=1
n
(ak+bk )2=∑k=1
n
ak2+2∑
k=1
n
ak bk+∑k=1
n
bk2j. Notasi sigma
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 8
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
D.Isian
41.Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn=2n2−10n.tentukan
nilai dari U 5+U 6+U 7+U 8…
42.Tentukan tiga suku pertama barisan geometri U s=181
;r=13
jika diketahui u dan
r...
43.Jumlah tak hingga deret x+1+1x+ 1x2
+… adalah 9 x ,maka nilai x=…
44.Jika U n adalah suku ke-n dari suatu barisan geometri maka U p+2×U 5 p+4
adalah....
45.Tentukan rumus suku ke-n setiap barisan geometri berikut.
a. 7,14,28 ,…
b. 1 ;1,2;1,44 ;…
46.Diketahui ∑k=5
20
Xk=4. nilai ∑k=5
20
(2+Xk )
47.Diberikan suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama −3 dan jumlahnya −6.maka rasionya adalah...
48.Jika Sn jumlah n suku suatu deret geometri yang rasionya r maka S4n2S2n
adalah...
49.Diketahui suku ke-3 dan ke-6 suatu deret aritmetika berturut-turut 8 dan 17.jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah...
50.Jumlah suku ganjil deret geometri tak hingga 18.jika jumlah tak hingga 24 maka suku pertamanya adalah...
E. Essay
1. Sebuah deret aritmetika terbentuk dari suku-suku yang nilainya positif dengan
a=2 dan U 5 .U 10=200. Hitunglah suku ke-20 dan jumlah 20suku pertama deret tersebut.
2. Seutas tali dipotong menjadi 6 ruas dengan panjang masing-masing potongan itu membentuk barisan geometri.jika potongan tali yang paling pendek 3cm dan potongan tali yang paling panjang 96 cm,tentukan panjang tali sebelum dipotong.
3. Banyaknya suku suatu deret aritmetika 12 dengan suku terakhirnya 200.jika jumlah semua sukunya 30maka suku pertamanya adalah..
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 9
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
4. Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika,buktikan bahwa :
Sn+3 Sn+3 Sn−1−Sn=0
5. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan Sn=4n2−3n .suku
ke−2 deret aritmetika itu adalah..
Kunci Jawaban
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban : dPenyelesaian
a=3 b=12−3=9U n=273
U n=a+(n−1 )b⟹237=3+ (n−1 )9⟹237=3+9n−9⟹237=9n−6 ⟺243=9n
n=2439
=27
Jadi,237 padabarisantersebut merupakansuku ke−27 .
2. Jawaban : bPenyelesaian
∑n=1
5
(2n−1 ) xn=(2×1−1 ) x1+(2×2−1 ) x2+(2××3 ) x3+(2×4−1 ) x4+(2×5 ) x5=x+3x2+5 x3+7x 4+9 x5
3. Jawaban : e Penyelesaian
U n=4n
a=U 1=41=4
U 2=42=16
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 10
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
r=U 2
U 1
=164
=4
Sn=a ( rn−1 )
(r−1 )
¿4 (4n−1 )4−1
¿ 43
(4n−1 )
4. Jawaban : aPenyelesaian
u , v ,wmerupakanbarisan geometrimakaberlaku :r=U n/U (n−1)
Sehinggar=v /u=w /v ⇔v2=uw
5. Jawaban : ePenyelesaian
Untuk n=1⟹1 (1+1 ) (1+2 )
3=2
Untuk n=2⟹2 (2+1 ) (2+2 )
3=8
Untuk n=3⟹3 (3+1 ) (3+2 )
3=20
Untuk n=4⟹4 (4+1 ) (4+2 )
3=4 0
Untuk n=5⟹5 (5+1 ) (5+2 )
3=7 0
Jadi, diperoleh :
∑n=1
5 n (n+1 ) (n+2 )3
=¿2+8+20+40+70=14 0¿
6. Jawaban : bPenyelesaian
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 11
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
a=1danb=3−1=2
Sn=n2
(2a+(n−1 )b )
¿ n2
(2×1+(n−1 )×2 )
¿ n2
(2+2n−2 )
¿n+n2−n ¿n2
7. Jawaban : bPenyelesaian Deret aritmetik a
U 3=36⟹a+2b=36……… ( i)U 5+U 7=144⟹a+4b+a+6b=14 4 ⟺2a+10b=14 4a+5b=72………( ii)
Eliminasi adari ( i )dan ( ii ) :
a+2b=36a+5b=72
−3b=−36⟺b=12−¿
Subtitusi b=12ke persamaan (i )diperoleh:
a+2×12=36⟺a=12
Jumlahsepuluh suku pert amaderet :
S10=102
(2a+19b )=5 (2×12+9×12 )
¿5×132=660
8. Jawaban : bPenyelesaian
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 12
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
∑k=1
5k
x2+1=3
⟺ 1x2+1
∑k=1
5
k=3
⟺ 1
x2(1+2+3+4+5 )=3
⟺ 15
x2+1=3
⟺3 (x2+1 )=15⟺ x2+1=5⟺ x2−4=0⟺ ( x+2 ) (x−2 )=0⟺ x=−2atau x=2
9. Jawaban : bPenyelesaian
U n=3−n
a=U 1=3−1=1
3
U 2=3−2=1
9
r=U 2
U 1
¿
1913
=13
S∞=a1−r
¿
13
1−13
=
1323
=12
jadi , jumlahtak hingga deret tersebut adalah12.
10.Jawaban : aPenyelesaian
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 13
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
b=U 2−U 1
¿ ( x+ y )2−(x2+ y2 )¿ (x2+2xy+ y2)−(x2+ y2 )¿ x2+2xy+ y2−x2− y2
¿2 x y
11.Jawaban : cPenyelesaian U 1+U 2=5⟺a+ar=5⟺a (1+r )=5
⟺a= 51+r
S∞=9⟹9=
51+r1−r
⟺9= 5(1+r ) (1−r )
9= 5
1−r2
⟺9−9 r2=5⟺9 r2=4
⟺ r2=49⟺ r=2
3
12.Jawaban : ePenyelesaian
barisan geometriU 4=83danU 3+U 5=
203
U3+U5
U4
=
20383
⟺ ar2+ar 4
ar3=208
⟺ 1+r2
r=52
⟺2+2 r2=5 r⟺2 r2−5 r+2=0⟺ (2 r−1 ) (r−2 )=0
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 14
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
⟺ r=12ataur=2
untuk r=12,mak a
U 4=a (12 )3
⟺ 18a=83
⟺a=643
untuk r=2 ,mak a
U 4=a .23makaU 4=a .23⟺8a=83
⟺a=13
jadi suku pertamabarisan tersebut643
atau13.
13.Jawaban : ePenyelesaaian
U 1=p−2
U 2=p2x
r=U 2
U 1
= p2 x
p−2=p2x +2
U 10=p88
U 1 r9=p88
⟺ p88=p−2 ( p2 x+2 )9
⟺ p88=p−2 . p18 x+8
⟺ p88=p18 x+16
⟺88=18x+16⟺18 x=72⟺ x=4
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 15
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
14.Jawaban :cPenyelesaian
9∑k=1
n
k 2−6∑k=1
n
k+n=∑k=1
n
9k2−∑k=1
n
6 k+∑k=1
n
1
¿∑k=1
n
(9k2−6k+1 )
¿∑k=1
n
(3k−1 )2
15.Jawaban : dPenyelesaian
∑k=2
101k−∑
k=1
81
k+2=∑
k=2
101k−∑
k=3
81k
¿( 12 +∑k=3
101k )−∑
k=3
101k
¿ 12+∑
k=3
10
( 1k−1k )
¿ 12
B.Benar – Salah
16.B⟶ (Benar )17.S⟶ (Salah )18.B⟶ (Benar )19.S⟶ (Salah )20.B⟶ (Benar )21.S⟶(salah)22.B⟶ (Benar )23.S⟶(Salah)24.B⟶ (Benar )25.S⟶(Salah)26.B⟶ (Benar )27.S⟶(Salah)28.B⟶ (Benar )
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 16
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
29.S⟶ (Salah )30.B⟶ (Benar )
C. Mencocokkan
31. g. Konvergen32. j. Notasi33. e. Zenon34. b. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri35. i. Deret Aritmetika36. d. Barisan Geometri37. c. Syarat geometri konvergen38. f. Induksi Matematika39. a. Deret geometri tak hingga40. h. Sifat notasi sigma
D.Isian
41. Jawaban :
Sn=2n2−10n
S1=2.12−10.1=−8
a=U 1=S1=−8
S2=2.22−10.2=−12
U 2=S2−S1 ¿−12−(−8 )¿−4 b=U 2−U 1
¿−4−(−8 ) ¿4
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 17
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
U 5+U 6+U 7+U 8
¿ (a+4b )+(a+5b )+ (a+6 )+ (a+7b )¿4 a+22b¿4 (−8 )+22.4¿−32+88¿56
42. Jawaban :
U 5=182
⟺a( 13 )4
= 181⟺ 1
81a= 181⟺a=1
U 1=a=1
U 2=ar=13
U 3=ar2=19
jadi , ketigasukutersebut adalah1 ,13, dan
19.
43. Jawaban :
a=x ,r=1x
S∞=a1−r
⟹9 x= x
1−1x
⟹9 x= xx−1x
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 18
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
⟹9 x= x2
x−1⟺9 x2−9 x=x2
⟺8 x2−9 x=0⟺ x (8x−9 )=0
⟺ x=0atau x=98
oleh karena r=1xmaka x ≠0
jadi ,nilai x=98.
44. Jawaban :
U n=arn−1
U p+2=ar p+2−1=ar p+1
U 5 p+4=ar5 p+4−1=ar5 p+3
U p+2 .U 5 p+4=ar p+1 . ar5 p+3
¿a2r6 p+4
¿ (ar 3p+2 )2
¿ (U 3 p+1 )2
45. Jawaban :
a. a=7 ;r=147
=2
U n=72n−1
b. a=1 ;r=1,21
=1,2
U n=1. (1,2 )n−1
¿ (1,2 )n−1
46. Jawaban :
∑k=5
20
(2+Xk )=∑k=5
20
2+∑k=5
20
X k
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 19
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
¿2. (20−5+1 )+4 ¿2.16+4 ¿36
47. Jawaban :a=−3 , S∞=−6
S∞=a1−r
⟹−6= −31−r
−6+6 r=−36 r=6−3
r=12
jadi ,rasioderet tersebut adalah12.
48. Jawaban :
S4n2S2n
=
a (r4n−1)r−1
2a (r2−1)r−1
¿ r 4n−12 ( r2n−1 )
¿(r2n−1 ) (r2n+1 )2 (r2n−1 )
¿ 12
(r2n+1 )
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 20
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
49. Jawaban :
Deret aritmetika
U 3=8⟹a+2b=8U 6=17⟹a+5b=17−3b=−9⟺b=3
−¿
subtitusib=3ke persamaana+2b=8diperoleh:
a+2.3=8⟺a=1
Jumlahdelapan suku pertama :
S8=82
(2a+7b )
¿4 (2..2+7.3 ) ¿4.25¿100
50. Jawaban : S∞=24
Sgenap=24−18 ¿6
r=Sgenap
Sganjil
= 618
=13
S∞=a1−r
⟹24= a
1−13
⟺a=16
jadi suku pertamanyaadalah 16 .
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 21
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
E. Essay
1. U 5 .U 10200⟺ (a+4b ) (a+9b )=200⟺ (2+4 b ) (2+9b )=200⟺4+26b+36b2
⟺36b2+26b−196=0⟺18b2+13b−98=0⟺ (18b+49 ) (b−2 )=0
⟺b=−498
ataub=2
deret aritmetikaterbentuk suku−suku yangnilainya positif makab=2
U n=a+(n−1 )b=2+ (n−1 )2=2n
U 20=202
(a+U 20 )=10 (2+40 )=420
jadi sukuke−20=40dan jumlah20 suku pertamanya420 .
2. Diketahuibarisan geometri ;a , ar , ar2 , ar 3 , ar 4 , ar5dengan a=3danar 5=96.ar5=96⟺3 r5=96⟺ r5=32⟺ r=2
panjangtali sebelum dipotongberarti S6 .
Sn=a ( rn−1 )r−1
⟺Sc=3 (26−1 )2−1
¿3. (64−1 ) ¿3.36 ¿189cm .
jadi , panjangtali sebelum dipotong189cm.
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 22
Barisan,Deret dan Notasi Sigma
3. Diketahuideret aritmetika dengan: n=12 S12=30U 12=200
S12=122
(a+U 12)
⟺30=6 (a+200 )
⟺ 306
=a+200
⟺5=a+200⟺a=−195
jadi , suku pertamanya−195 .
4. Sn+3−3Sn+2+3 Sn+1−Sn
¿ (Sn+3−Sn )−3 (Sn+2−Sn+1 )¿U n+1+U n+2+U n+3−(U n+2 )¿U n+1+U n+3−2U n+2
¿2U n+2−2U n+2
¿0
jadi ,terbukti bahwaSn+3−3Sn+2+3Sn+1−Sn
5. Sukuke−nsuatu deret aritmetika diperolehdari :U n=Sn−Sn−1
U n=(4 n2−3n )−(4 (n−1 )2 )−3 (n−1 )¿
¿ (4n2−3n )−(4 (n2−2n+1 )−3 (n−1 ) ) ¿ (4n2−3n )−(4n2−8n−4+3n−3 )¿8n−7
U 2n=8.2n−7=16n−7
Asesmen Pembelajaran Matematika Page 23